XHU QUỐC ANH - NGUYÊN ANH KIỆT - TẠ MÂN - NGUYÊN DÓÃN TUẤN
KH sy ee
DAI SO TUYEN TINH VA HINH HOC GIAI TICH
Trang 2
KHU QUOC ANH - NGUYEN ANH KIET TA MAN - NGUYEN DOAN TUAN
BAI TAP DAI SO TUYEN TINH VA HINH HOC GIAI TicH
In lần thứ 3
LC/478
Trang 3LOI GIG! THIEU
Cuon sach bài tập này nhằm giúp sinh viên học tập, giải các
bai tap da nêu ra trong Giáo trình Toán đại cương phần một:
Đại số tuyến tính và Hình học giải tích của cùng các tác giả tNhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998)
Sách gồm có hai phần Phần I là tóm tất lý thuyết và nêu
đề bài tập từng chương Phần II là lời giải tương đối chỉ tiết
của các bài tập đó
Tác giả của các chương I, Il, III theo thứ tự là Nguyễn Doãn Tuấn, Khu Quốc Anh, Tạ Mân và Nguyễn Anh Kiệt
Chúng tôi nghỉ cuốn sách sẽ giúp ích cho mọi sinh viên muốn
học tập bộ môn cơ bản này của Tốn đại cương
Chúng tơi xin giới thiệu cùng các độc giả
Người giới thiệu
GS Đoàn Quynh
Trang 4PHAN |
Trang 5Chương I
MO DAU VE LY THUYET TAP HOP VA
ANH XA SO THUC VA SO PHUC
§1 TAP HOP QUAN HE ANH XA
1 Tap hgp
Ta xem tập hợp là một khái niệm cơ bản không được định
nghĩa mà được hiểu như là một sự tụ tập những vật hay những đối tượng có thể liệt kê ra được, hoặc có cùng một tính chất chung nào đấy
Ta thường kí hiệu tập hợp bởi cdc chit in hoa A, B, C, X,
Y, Z, Các phần tử của tập hợp kí hiệu bởi chữ in thường a,
b, c, x, y, z, Nếu x thuộc tập X, ta viết x € X Nếu x không
thuộc tập X ta viết x ý X hay x € X
Tập A được gọi là tập con của X nếu mọi phần tử của A
đều thuộc X, ta viết A C X Hai tập hợp X va ŸY được gọi là
bàng nhau nếu mọi phần tử của X đều là phần tử của Y và
ngược lại, ta viết X = Y Như vậy X = Y =XC Y và Y C X
Cho hai tập hợp A và B Ta định nghĩa
Trang 6Néu A C X thi X\A duge-goi la phần bù của A trong X ki hiéu la CyA Các phép toán hợp và giao có thể suy rộng cho một số tủy ý các tập hợp: UA, = {x | x€A, với một ¡ nào đó] iel nA, i€l
II {x | x€A; với mọi i e1]
Hãy chứng minh công thức De Morgan
Trang 72 Logic ménh dé
Mệnh đề là một câu phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan Một mệnh đề toán học chỉ có hai giá trị đúng hoặc sai Các biến mệnh đề là các mệnh đế chưa xác định Mệnh đề đúng có giá trị
chân lý bằng l còn mệnh đề sai có giá trị chân lý bằng 0 Các mệnh
đề thường được kí hiệu là p, q, s
Phủ định của mệnh đề p kÍ hiệu p được định nghĩa bởi p đúng khi và chỉ khi p sai
Tuyển của hai mệnh đề p và q (kí hiệu là pVq) là một mệnh đề
sai khi và chỉ khi cả p và q đều sai
Hội của hai mệnh đề p và q (ki hiệu là pAq) là một mệnh đề đúng khi và chỉ khi cả p và q đều đúng
Cho hai mệnh đề p và q Mệnh đề "p kéo theo q" (kí hiệu p = q)
là một mệnh đề sai khi p đúng, q sai và đúng trong các trường hợp
con lai
4 Mệnh đề "p tương đương q" (kí hiệu p ©q) có nghỉa là p > q
va q > p
5 a) Biét mệnh đề q = p sai Hỏi mệnh đề p = q đúng hay sai? b) Biết mệnh đề p = q đúng, p ©‹q sai, có thể nói gì về giá trị caân lý của p và q
6 Mệnh đề "Nếu ngày hôm nay là thứ hai, thì ngày mai là
thứ bảy" đúng khi nào và sai khi nào (vể mặt logic)
3 Quan hệ
Cho hai tập hợp X và Y Ta gọi tích Đề-các của X và Y
le tap hợp, kí hiệu X x Y, gồm các cặp sắp thứ tự (x,y) sao
đo x € X và y € Ÿ
Trang 8Với xy © X, ta ndi rang x co quan hé véi y theo quan hé R nếu (xy) € R, và viết xRy
Quan hệ hai ngôi R có tính chất phản xạ nếu với mọi
x €X, ta có (xx) € R Quan hệ R có tính chất đối xứng nếu
x,y © X ma xRy thì cũng có yRx Quan hệ R có tính chất bác
cầu (hay truyền ứng) nếu với x, y z tùy ý mà xRy và yRz thì cũng có xRz Quan hệ R có tính chất phản đối xứng nếu với x,y
ma co xRy va yRx thi x = y
Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là một quan hệ tương
đương trên X nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bác cầu
Quan hệ tương đương thường được kí hiệu bởi "~" Nếu trên X
C6 quan hệ tương đương "~", thì một tập con của X gồm tất cả
các phần tử của X mà hai phần tử bất kỳ của X đều tương đương nhau được gọi là một lớp tương đương Mỗi lớp tương
đương hoàn toàn được xác định bởi một phần tử của nó, gọi là
phần tử đại diện Hai lớp tương đương bất kỳ hoặc trùng nhau, hoặc giao nhau bằng rỗng Như vậy X là hợp rời rạc các lớp
tương đương Khi đó tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một
lớp tương đương được gọi là tập thương của X đối với quan hệ tương đương "~" và được kí hiệu là X/~
Quan hệ hai ngôi R trên tập X được gọi là một quan hé thứ tự trên X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và
bấc cầu, quan hệ thứ tự thường được kí hiệu bởi "<" Nếu quan hệ "<" trên X có tính chất: với mọi x € X và y € Y ta có x < y hoặc y < x thì nó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần Tập hợp X cùng với quan hệ thứ tự "<" trên mớ
được gọi là tập sắp thứ tự Nếu "<" là quan hệ thứ tự toàn
phần thì ŒX, <) được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần
Cho (X, <) là một tập sắp thứ tự, A C X A được gọi là bị
chặn trên nếu tồn tại q € X sao cho a < q với mọi a © A Khi
Trang 9Nếu q là một phân tử chặn trên của A sao cho moi phan
từ chạn trên q` của A đều có q < q, thì q được gọi là cận
trên của A, kí hiệu sup A
Cho (X, <) là một tập sắp thứ tự Tập con A C X được gọi là bị
chan dưới nếu tồn tại p € X sao cho p < a với moi a € A Khi do p được gọi là một phần tử chặn dưới của A
Nếu p là một phần tử chạn dưới của A trong (X, <) sao clo với mọi phần tử chặn dưới p` của A ta đều có p` < p, thi
p được gọi là cận dưới của A, kí hiệu Inf A
Tap A trong (X <) được gọi là tập bị chán, nếu A vừa bị
elạn trên vừa bị chạn dưới Nếu Inf A € A, thì Inf A còn gọi
là phần tử bé nhất của A, kí hiệu min A Nếu sup A € A thì
stp A con gọi là phần tử lớn nhất của A, kí hiệu max A
7 a) Trên tập hợp Q các số hữu tỷ, ta xác định một quan h¿ hai ngôi 5 như sau:
aSb ©œaŸ < b
Chứng tỏ rằng S là một quan hệ thứ tự toàn phan
b) Trên tập hợp Q các số hữu tỷ, ta xác định quan hệ hai ngôi T như sau:
aTb = a! < bỉ
Xét xem T có phải là quan hệ thứ tự trên Q hay không?
T có là quan hệ tương đương trên Q hay không?
8 Quan hệ R trên tập X có dạng như thế nào, nếu R vừa là quan hệ tương đương, vừa là quan hệ thứ tự trên X
4 Ánh xạ
Cho hai tập hợp X, Y Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy
Trang 10I Ta kí hiệu f X —> Y hay X —> Y
Tập hợp X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích
của ánh xạ f Với A C X, tap f(A) = {f(x) |xe Al được gọi là ảnh của tập hợp A Với B C Y, tap f !(B) = [x eX | f(x) € By
được gọi là tạo ảnh của tập hợp B Khi B là tập một điểm {y},
thì f l{y) còn kí hiệu là £ l(y)
Tập fX) còn gi là ảnh của f hay là tap gid trị của £ kí hiệu Imf
Anh xa f được gọi là đơn ánh nếu với x, x'` â X,x # x thi fix) Ơ fix’) Anh xạ f duge goi la toan anh néu f(X) = Y, nghia là với
mọi y € Y, tồn tại x € X dé f(x) = y
Ánh xạ f:' X —> Y được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh
Giả sử f' X —> Y và g: Y —> Z là hai ánh xạ, khi đó
ánh xạ h: X —> Z được xác định bởi h(x) = g(f(x)) được gọi
là tích hay hợp thành của hai ánh xạ f và g và viết h = gf
9 Giả sử f R —> R là ánh xạ được cho bởi công thức:
f+%) = x2+4x—5 với mọi x € R Hãy tìm f(), f (1),
Trang 1112 Chứng mỉnh các hệ thức sau đây cho một ánh xạ tùy ý ft: X —+'Y vi Ac X, Bc Y a Ac f'[ fA) b) t[r '®] cB ce) f(X) \ f(A) C f(XÀA! ad) f 4YSB) = XI 'Ị, e) [a n £14®)] = f(A) A B 13 Nếu f: X —> Y là một ánh xạ và |E,,¡ € tt là một họ những tập con của Y, được đánh chỉ số bởi tập I, thì ta có: a) fF (UE) = uf (B) i€l i€l b) F!{n Ej) = n £!Œ,) i€l i€I 14 Cho Z là tập các số nguyên, a b, œ d, € Z mà ad - be = 1, Xót ánh xạ f: Z° > Z / (x, y) -> (ax + by, cx + dy)
a) Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viét cong thtic xdc dinh f!
b) Chứng tỏ rằng nếu f và g là các ánh xạ có dạng trên,
thì gof cũng là ánh xạ có dạng trên
lỗ Giả sử h = gf là hàm hợp của các hàm f: X —> Y
và g:; Y —> Z Chứng minh rằng:
a) Nếu h là toàn ánh, thì g là toàn ánh
b) Nếu h là đơn ánh, thì f là đơn ánh
Các kết luận ngược lại của mệnh đề a) và b) có đúng không?
Trang 12a) Anh xa nao trong hai anh xa trén 1a don anh, toan anh Hay
tim Imf, Img
b) Hay xac dinh anh xa tich gof
17 Cho các ánh xạ f: X—>Y, f: X—>Y, g: Y —>Z
a) Chứng minh rằng nếu g đơn ánh và gsf = gof’ thi f = Ÿ
b) Chứng minh ràng nếu với mọi f, Ÿ mà từ gf = gŸ ta luôn suy ra f = f, thì g là đơn ánh
18 Giả sử f X —> Y Trên tập X ta xác định quan hệ R
như sau: xRx’ = f(x) = f(x’) Hay chting to R la một quan hệ tương duong trén X va anh xa f: X/R —> Y xée dinh boi T(x) = f(x) là một đơn ánh ((x) là lớp tương đương chứa phần tử x)
5 Lực lượng của một tập hợp
Cho hai tập hợp X và Y Ta nơi rằng hai tập hợp X và Y cd cùng lực lượng (hay có cùng bản số) nếu có song ánh f: X —> Ÿ Tập hợp X và Y có cùng lực lượng còn gọi là hai tập tương đương Nếu X tương đương với tập (1, 2, , n} thì ta nơi rằng ;
X có n phần tử, hay cardX = n, hoặc #X = n Lực lượng của
ø bàng 0 Những tập như vậy gọi là những tập hợp hữu hạn
Tập hợp X gọi là có lực lượng đếm được, nếu X hữu hạn hoặc :
X có =ùng lưc lượng với tập số tự nhiên N Như vây ta có:
+ Tập con của một tập đếm được là một tập đếm được
Trang 1321 Giả sử X là tập hợp gồm n phần tử (CardX = n), Y là tập gồm m phần tử (CardY = m) Chứng mỉnh ràng tích Dê
các XxŸ là tập gồm nm phan ti (Card XxY = nm)
22 a) Bang cach xét ham mii exp: R —> R’, exp x = €Ÿ
với mọi x € R Hãy chứng tỏ ràng tập số thực R và tập các số thực dương RỶ có cùng lực lượng b) Bang cach xét hàm f: (0, 1) —> R* cho bởi công thức: 1 x néu O<x<5 ffx) =} | 1 4q1= nếu g<x<l
Hãy chứng minh rằng khoảng đơn vị mở (0, 1) co cùng lực
lượng với tập hợp R” các số thực dương Từ do suy ra R, R*
và khoảng (0, 1) có cùng lực lượng
§2 TRƯỜNG SỐ THỰC VÀ TRƯỜNG SỐ PHỨC
Cho X là một tập hợp tùy ý Ta gọi một phép tốn hai ngơi
trên X là một ánh xạ đi từ XxX đến X
Giả sử X là tập hợp tùy ý và "*" là phép tốn hai ngơi trên X Cập (X, *) được gọi là một nhớm nếu phép toán (*) có các tính chất sau:
a) Với mọi x, y, z € X, ta có:
(x * y) * z = x * (y * z) (tính chất kết hợp) b) Tồn tại phần tử e € X sao cho:
x*e=e*x=x với mọi x€ X
©) Với mọi x € X, tổn tại x € X sao cho: x*x=x*x =e,
Khi phép toán "*" có tính chất giao hoán, tức là với mọi
Trang 14giao hoán hay nhớm Abel Phần tử e trong định nghia nhóm được
gọi là phần tử trung hòa thay phần tử đơn vị) của nhóm, phần
tử x được gọi là phần tử đối xứng (hay phần tử nghịch đảo) của phần tử x
Giả sử X là một tập hợp, trên đó có hai phép toán "+" va
"" X cùng với hai phép toán trên làm thành một vành nếu ŒX, +) là một nhớm Abel, còn phép toán "" có tính chất kết hợp và
phân phối đối với phép toán cộng
Nếu phép toán nhân "" có tính chất giao hoán, thì vành
được gọi là vành giao hoán Nếu phép toán "” trong vành có
phần tử đơn vị 1, tức là 1x = xl = x với mọi x € X, thì
vành được gọi là vành có đơn vị Phần tử trung hòa trong phép
toán "+" của vành được gọi là phần tử không
Tập hợp X có quá một phần tử cùng với hai phép tốn hai ngơi trên nó, được kí hiệu là "+" và "*" được gọi là một trường nếu X với hai phép toán đó làm thành một vành giao hoán, có
đơn vị 1 va moi phần tử khác không đều có nghịch đảo (đối với
phép nhân)
Cho (X, +, ) là một trường, tập con X' C X cùng với các :
phép toán "+", "" cảm sinh từ X làm thành một trường thì X''
được gọi là một trường con của trường X.-'
Giả sử ŒX, +, ) là một trường, trên đó có quan hệ thứ tự í
toàn phần "<" sao cho:
Nếu x < x’ thi x + x” < x + x” với mọi x” © X
và nếu 0 < x, 0 < x’ thiO < xx’ In
Khi đó trường ŒX, +, ) được gọi là một trường sắp thứ tự
Ta nhận thấy tập các số hữu tỷ Q cùng với hai phép tốn cộng ¢
và nhân thông thường làm thành một trường sắp thứ tự Nhưng ø
không phải tập con nào của Q cũng có cận trên (hay cận dưới) trong g
Q Ta noi rằng Q là trường sắp thứ tự không đẩy Ta cần xây dựng g một trường K sắp thứ tự, đẩy, chứa trường Q mà quan hệ thứ tự và à
Trang 15trên K (tức Q là trường sắp thứ tự con của K) Người ta chứng minh
được có trường như thế và trường đó là duy nhất (sai khác đẳng cấu trường sắp thứ tự chứa @) và gọi nó là trường số thực, kí hiệu R Cơ
nhiều cách mở rộng trường số hữu tỷ Q thành trường số thực R
(xem giáo trình ĐSTT và HHGT - NXBDHQG Hà Nội, 1998)
Trên trường số thực R, do bình phương của một số thực bất
kì là số không âm, nên phương trình x°+1 = 0 không có
nghiệm trên R Vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là mở
rộng trường số R thành một trường rộng hơn, trong đó phương trình x”+1 = 0 cớ nghiệm Trường số này được gọi là trường số phức
Xét C = {@, b)|aER, be RI, trén C ta dinh nghia hai
phép toán:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + a) (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + be)
Tập hợp C gọi là tập các số phức Với hai phép toán cộng và nhân như trên, C làm thành một trường được gọi là trường
: số phức
Với a € R, ta đặt tương ứng với số phức (a, 0), ta có thể ‹coi trường số thực R là trường con của trường số phức C
Ta dat (0, 1) = i € C, ¡ gọi là đơn vị ảo, thế thì ((0, 1) (0, 1) = -1, nghĩa là i + 1 = 0 vì thế trong trường tsố phức, phương trinh x*+1 = 0 co nghiệm Ta có (a, b)
:=(a, 0) + (0, bì = a + bi và được gọi là dạng đại số của số
¡phức, a gọi là phần thực của z = (a, b), kí hiệu a = Rez,
tb gọi là phần ảo của z, kí hiệu b = Imz
Nếu z = a + bi, số phức z = a— bi được gọi là liên hợp của số
I phức z
Trang 16Với z = a + bị, đạt |z| = ÝzZ = Ýa+hể, số |z| = Va? +b? được gọi là mođun của số phức z = a + bi Gia st z = a + bi, z’ = a’ +bi Nếu z # 0, ta có: 1s a2 la nhi 2 ZZ a2+b `
Tế a oh aa’ + bb’ ab’ —a’b
tit do: ae ae =p tee be # a’ bbe a? + b? Nếu z = a + bi # 0, ta có RE b z = Ya“+b ae | |z|(cosp + ising) ) Ýa? + b? Va? +b? 6 dé y là góc xác định sai khác cộng 2kx (k € Z) sao choo a b cosp = ————, sing = ———— ¢ duge goi la argumentt Ýa? +b? Va2 +b? cia z, ki hiéu y = argz Ta coi z = 0 có modun 0 và argu:- ment không xác định
Néu z = |z|(cosp + isinp), w = |w|(cosp+isinp) thii
= |z|.|œ| (cosy + #) + isin(y + #)) Như vậy, tích hai sốố
phức là một số phức có mođun bằng tích của hai moduna,
còn argument bằng tổng của hai argument của hai số phứcc thành phần Từ đó z" = |z|”(eomg +isimø) và đặc biệtt:
(cosø + isinø)" = cosnø + isinnø Day là công thức Moivre
Cho số phức z, căn bậc n của z là số phức œ sao cho œ” = z2
Giả sử z = |z|(cos + isine) và œ = |w|(cosy +isiny), thhi
n | Qn
Jo| = Iz| vay = £4 k=, k © Z C6 n nghiệm phân biệệt
của œ để œ" = z ( z # 0) ứng với k = 0, 1,., n -1
23 Một dãy số hữu tỷ {an} = (Ai, 4¿, ;an, ) duge gooi
là dãy cơ bản nếu với mọi £ > 0 (£ thuộc tập số hữu tyy
Trang 17P, q 2 k, ta co la, ~ ag| < £ Ki hiéu ® là tập các dây cơ
bản như trên
a) Chứng tỏ rằng mỗi dãy cơ bản là một tập bị chặn
bì Cho hai dãy cơ bản lan] và {Pn
= (ai +bị, a; +bạ, wep By + Dy gees) | Ta thành lập các dãy sau: = an +b; py = [oy Hãy chứng tỏ {e a va lan | là các dãy co ban Day {en } được \ a)
= (ayb,, ab), ., anba, )
gọi là tổng, day {4n} sige sử là tích của hai day cơ bản {en|
và {Po}:
c) Mét dãy cơ bản gọi là 0 - dãy nếu với mọi £ > 0, tổn tai k, > 0 để |an| < £ với mọi n > kụ Xét quan hệ tương đương ~ trên ® được xác định như sau:
{20} ~ {Pa} = [an - bạ) là một 0 - dãy
Hãy chứng tỏ rằng quan hệ ~ là một quan hệ tương đương
trên tập ®
d) tT K = ®⁄~ Ta xác định hai phép toán trên K như sau: với {ay} {Ba} thuộc K K,
{Sa} + {Bo} = {FB} n n
{@} * {Bo} = {Po}
Hay chứng tỏ rằng, với hai phép toán xác định như trên, K làm thành một trường
e) Hãy chứng tỏ rằng trường số hữu tỷ Q có thể coi là trường con của trường K được xây dựng ở trên
Chú ý: Người ta có thể xây dựng trên K một quan hệ thứ tự đẩy mà thu hẹp trên Q, ta được quan hệ thứ tự ở trên Q
Nhu vậy trường K đẳng cấu với trường số thực được xây dung
Trang 18phân Day là một phương pháp khác để xây dựng trường số thực
24 Hãy tính:
a+" (cosp + ising)”
8) sang Die on ste en
Gay (cosp — i siny)
c) (1 + cosy + ising)" d) (1 +V8¡)!"
25 a) Tính căn bậc hai của 1 +3i, 1+i, -Ý3
b) Tim can bậc n của V3 —i, ¡, 1 và 4+ 4Vði
26 Chứng minh rằng tổng các giá trị của căn bậc n của
một số phức bất kỳ bằng không
27 Hãy tính tổng:
a) C = cosx + cos2x + + cosnx
b) S = sinx + sin2x + + sinnx; (x # k2z)
Trang 19c) zt - 52? - 6 =0
30 Giả sử X = jer |e € Qvax?+y* # 0Ì Chứng
tỏ rằng X với phép nhân thông thường là một nhóm gíao hoán
31 Giả sử Z là nhóm cộng các số nguyên Chứng minh ràng
tập con khác rỗng G của Z với phép toán cộng trên Z làm thành
một nhóm khi và chỉ khi G co dang n.Z (n € Z; n > 0, nZ là
tập các số nguyên chia hết cho n)
32 Cho X = Ja+V5b | a,b € Q| Chứng minh rằng X
cùng với hai phép toán cộng và nhân tiên tập số thực là một trường sắp thứ tự 33 Giả sit 1, €, €; la n + 1 giá trị khác nhau của căn bậc (n + 1) của 1 Chứng minh rằng: a) (l-—€)(1 -&) (1-€) = n+1 1 1 1 n + + =>: 1-Â, 1- 1-&, 2 â Tp {1, £¡, , £ạ| lầm thành mit nhóm vớ phép nhân trong C b) §3 DA THUC TREN TRUONG SO THUC VA TRUONG SO PHUC 1 Vành đa thức
Giả sử K là một trường Gọi Y là tập hợp các dãy (a„, ai, sy Gp +.) trong đó các a¿ € K với mọi ¡ € N, và bằng không hầu hết trừ một số hữu hạn Với mỗi dãy (a, aj, ., ay -.)
€ Y, giả sử n là chỉ số lớn nhất mà a„ạ z 0 Khi đó biểu thức
a, + ax + ax? + + a,x" được gọi là đa thức bậc n của
ẩn x (hay biến x), n gọi là bậc của đa thức Đa thức ứng với dãy (0, 0, , 0, ) được gọi là đa thức không Ta quy ước bậc
của đa thức 0 bằng -œ hoặc không có bậc Tập các đa thức của
Trang 20trường K, kí hiệu K[x] Các phần tử của K[x] thường được k¿i hiệu la f(x), g(x),
Tập K[x] làm thành mét vanh giao hodn, cd don vi, véi heai
phép toán cộng và nhân xác định như sau:
Giả sử f(x) la đa thức xác định bởi day (a, ai, , an, ) vưà
g(x) được xác định béi day (b,, bj, , by, ) thi f(x) + g(x) la dia
thtic duge xdc dinh bdi day (a, + b,, a; + bj, ., an + bạ, )
và f(x).g(x) là đa thức xác định bởi (c„ eị, Cp -.) 6 did k QQ = 5 ajb,_; (k = 0, 1, ) Ta nhận thấy K[x] la vành khônag i=o có ước của không nghĩa là néu f(x).g(x) = 0 (đa thức không) tÈhì f(x) = 0 hoae g(x) = 0 Định lý I:
Gia st f(x), g(x) lA hai da thức của vành K[x], khi đó tồn ttại duy nhất da thtic q(x) va r(x) thuéc K[x], sao cho f(x) = g(x).q(x) -+
r(x), néu r(x) # 0 thì bac r(x) < bac g(x) Khi r(x) = 0, đa thúức f(x) duge goi la chia hét cho g(x)
Dinh lý 2:
Gia su f(x) © K[x] và c € K, khi đó dư của phép chia f(Xx) cho x - c là f(c)
Da thie f(x) € K[x] được gọi là bất khả quy nếu bậc fC(x) > 1 và f(x) chỉ chia hết cho đa thức dạng kf&) với k ‹€ KW0) Hai đa thức fx) € K[x] và gœ) € K[x] được gọi là nguyên
tố cùng nhau nếu chúng không cùng chia hết cho một đa thúức
nào có bậc > 1 của K[x]
Ta có một số định lý sau:
Định lý 3:
Hai da thuc f(x), g(x) cua K[x] nguyên tố cùng nhau khi và chỉ kkhi
có r(x) và s(x) của K[x] sao cho f(x).r(x) + g(x)s(x) = 1 Định lý 4:
Trang 21Dinh ly 5:
Mọi đa thức f(x) trên trường số thực đều có thể phân
tích thành tích các nhân tử bậc nhất và bậc hai dạng
f(x) = an(xŸ +bịx + c,)*! 5 (x? + Bix + cạ)Em (x- xụh we (XO xu ở đó xị, , x, là các nghiệm thực phân biệt của đa thức f(x) với bội lần lượt là lị, , l Các tam thức bậc hai không có nghiệm thực, và các tam thức bậc hai khác nhau
không có nghiệm phức chung
34 Giả sử K là trường con của trường L
a) Nếu đa thức f(x) © K[x] bất khả quy trên trường K thi có bất khả quy trên trường L không?
b) Nếu hai đa thức f+x) € K[x], g(x) € K[x] nguyên tố cùng nhau trên trường K thì có nguyên tố cùng nhau trên trường L không? Ngược lại, chúng nguyên tố cùng nhau trên trường L thì có nguyên tố cùng nhau trên trường K không?
35 Cho da thtic P(x) = a,x" + a, yx™! + + ax ta, ae R
P(x) € R[x] Gid si P(x) = (x - a) S(x) + r, r © R va
S(x) =bạ_¡x"”! + b„_;x" ? +.„+ bịx + bạ, Chứng tỏ rằng œc hệ số h œa 56) œ thể tính đưc theo cng thức bạ_¡ =an, b, = abj¿¡ + ais)
(0 <i <n - 2) var = f(a)
Ghi chú: Sơ đồ dé tìm bị như trên gọi là so dé Hoócne
Trang 22b) xt + 3x> + 3x2 +x và xÌ— 8xÌ + 24x” — 32x + 16
2 Phân thức trên trường số thực
P|
Mọi phân thức có dạng a5 ở đó P(x) va Q(x) là các đđa thức với hệ số thực đều có thể viết dưới dạng: Ky A, +B: Km Ái +B, P(x) ¥ ee on EE | ee —_ ee QŒœ) ae) +e (x? +b x +c)! ee Ko] (x? #tx Cm)! mn lị j I, Pee er Men i= ` jgnt & — XS) ở đó đa thức Q(x) có dạng:
Trang 23Chương TI
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
A KHƠNG GIAN VÉC TƠ
Định nghĩa không gian véc tơ
Cho tập hợp V mà các phần tử được kí hiệu a, Lx yo va
trường K mà các phần tử được kí hiệu x, y, z Giả sử trên V có hai phép toán: - Phép toán trong, kí hiệu +: V x V -> V @, BaP ~ Phép tốn ngồi, kí hiệu : K x VoV (x, a) we xa thoả mãn các tiên đề sau với mọi ø, ` ye V va véi moi x y € K 1) (G 1+ + y= a7+ + yŸ
9) Cơ 0€ V sao cho 0+2°= =a
Trang 24Khi dé V cing vdi hai phép toan noi trén gọi là một không gian
rác tơ trên trường K hay K - khong gian vec to
Hệ véc tơ (@, i € I) cua V gọi là hệ uéc fơ độc lập tuyến tinh nếu Y x, = 0 kéo theo x, = 0, vi € I iel Một hệ véc tơ gọi là phụ thuộc tuyến tỉnh nếu nó không độc lập tuyến tính
Hệ véc tơ &@, i € 1) goi là độc lập tuyển tính tối dại trong hệ › véc tơ B = {a € V, i € Ij néu B chtta hé do, hệ đó độc lập tuyén 1 tính và mọi véc tơ của B đếu biểu thị tuyến tính qua các véc tơ của ì
hệ
Hệ véc tơ (@, i € 1) gọi là một hệ sinh của hệ véc tơ B nếu ¡ mọi véc tơ của B đều biểu thị tuyến tính qua các véc tơ của hệ
Nếu B hữu hạn sinh (nghĩa là có hệ sinh gồm hữu hạn phần a tử) thì B có hệ độc lập tuyến tính tối đại gồm hữu hạn phẩnn tử và số phần tử của các hệ véc tơ độc lập tuyến tính tối đại trong B là bằng nhau Số đó gọi là hang của hệ uéc tơ B Nếuu
B = V thì số đó gọi là số chiều của không gian véc to V vaa kí hiệu la dim V Mỗi hệ véc tơ độc lập tuyến tính tối dại của V goi la mot co suid của V => — Giả sử (e,, ., en) là một cơ sở của V, khi đó mỗi véc tdơ = x EV déu co thé viết được một cách duy nhất = > cop x = xe, + † XnÊn >
Bd n s6 (x1, «4 Xn) gọi là các toa độ của x trong cơ söỞ => — =>
Trang 25> > -
(e'1, «., en) va e7 = Ỳ aij a >jJ = 1, n, thi ta có công thức
đổi toa do:
n
= 2, ax’, xi = 1¿ ¿¿ h
jut
Một tập con khác rỗng W của V được gọi là một không gian uéc
ta con của V nếu nó ổn định đối với hai phép toán của V, nghỉa là:
Vx yeWthi Ax + uy 6 W,VA, 0 EK
Cho X C V thì giao của mọi không gian véc tơ con của V chứa X
gọi là bao tuyén tính của X trong V và kí hiệu là <X> Nếu X # ø thì <X> là tập các tổ hợp tuyến tính của các hệ (hữu han) véc to trong X <@> = { of
Tổng của một họ các không gian véc tơ con của
V: {Wi} i€ 1, kí hiệu: 5 W, xác định bai: Sw, = <UW,>
i61 iel i€l
Khi dé V G@ € DW, , déu có thể viết được dưới dạng
i€l
f= a, Few,ie
iél
Nếu cách viết đố là duy nhất thì tổng trên được gọi là ting true tidp của họ {MỊ: ¡ €I và được kí hiệu @W, Nếu I = {L-on} thi
iél
tổng đó được viết là: W¡@ @W, Đặc biệt W¡ + W,; là tổng trực tiếp khi và chỉ khi W¡n W; = I3:
Nếu V = W @ Z thì Z gọi là 6b yến tinh cha W trong V
Giả sử W và Z là hai không gian véc tơ con của không gian ›véc tơ hữu hạn chiều V thì
Trang 26Cho W là một không gian véc tơ con của V Xét quan hệ
# trong V như sau:
z®Pz-je W
Dễ thấy #Ø là một quan hệ tương đương Khi đó V với hai
phép toán:
(zì +t#} = tz+Ø]
k[a] = [ke ,ke@K
là một không gian véc tơ gọi là không gian uóc tơ thương (cla V
chia cho W) và kí hiệu là V/W Ta có
dim V/W = dim V - dim W
1 Với các -phép toán cộng và nhân véc to với mỘt vô
hướng trong K - không gian véc tơ K", các tập hợp sau có phải
là K - không gian véc tơ không: a) Tập các phẩn tử có dạng (x, , x) € K" b) Tap cdc phan tt có dạng (0, x2, X ) € Kk" n c) Tap céc phan ti (x, x2, Xp) © K" sao cho Zi to ấy ÉP i, SO d) Tập các phần tử Œị, xạ Xn) € K" sao cho Sy He Xe sốt J/nj= } 2 a) Tập các số thực R với phép cộng SỐ thực và phéyp
nhân một số thực với một số hữu tỷ có phải là một Q - khong
gian véc tơ không
b) Cũng câu hỏi đó khi thay R bằng tập các số phức C
3 Lấy số phức z € C Goi Q(z) = {at+bz|a, be ì Với
Trang 274 Xét các hàm số thực xác định trên đoạn [a, b] C R véi phép cộng hai hàm số và phép nhản hàm số với số thực Tập các hàm sô
sau có phải là R - không gian véc tơ không
a) Tập các hàm số liên tục tre [a, b]
bj Tập các hàm số khả vi trên [a, b] (tức có đạo hàm bậc nhất tại mọi điểm trên [a, b])
c) Tap các hàm số bị chặn trên [a, b]
d) Tap các hàm số f: [a, b] —> R sao cho sup|f(x)| < 1
[a.b]
e) Tap cac ham số không âm trên [a, b]
g) Tap các hàm số trên [a, b] sao cho f(a) = 0
h) Tập các hàm số trên [a, b] sao cho f(a) = 1
i) Tap cac ham số đơn điệu tăng trên [a, b]
k) Tập các hàm số đơn điệu trên [a, b]
5 V, i = 1, , n la những K - không gian véc tơ Xét
tich Dé céec V, x x V, véi hai phép toan: > _—> => _—> —> v > = v ; ? (Vị; =2 Vn) † (VÌ; s Vận) = (VỊ TVN, và nh Vn) =
AW sos Va) = Avi, oy Av), 2 EK
Chứng minh rằng VỊ x x V„ là K - không gian véc tơ
6 Chứng mỉnh rằng có thể chứng minh được tiên đề 4 từ các tiên đề khác của định nghĩa không gian véc tơ
7 Chứng minh rằng không thể chứng minh được tiên đề 8 từ các tiên đề khác trong định nghỉa không gian véc tơ
8 Cho hệ véc tơ (@;, đã, 0g a) trong K - không gian véc tơ V Xét xem hệ này độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính trong các trường hợp sau:
a) Có một véc tơ của hệ bằng ov
Trang 283 + +} và hệ
c) a = Bi: a = Bit Bees a, = By + 8
ras Be) độc lập tuyến tính
>
ad) F = Bry he) = Beets Gn = Bat Bye) Voi A E K và hệ
@ Bye) độc lập tuyến tính
9 Xét tập các đa thức một biến x với hệ số thực bậc < n:
[f@© = a, tae t wet ae", a, € R, i = 0, 1, n a) Ching minh rang tập đó là một R - không gian vóc to
b) Chứng minh ring (1, x, x7), x") (Lx -a 6 -aŸ „„ « -a),
a € R là những cơ sở của nó
e) Tìm toạ độ của đa thức a, + ayx + + a,x” theo các cơ sở trên
10 Trong R - không gian véc tơ các đa thức me biến x với
hệ số thực, chứng minh rằng hệ véc tơ Ci x, x ý “E9 ) là độc lập tuyến tính và là hệ sinh của không gian đó
11 Trong R - không gian véc tơ các hàm số thực liên tục trên R, hệ hàm số sau phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính a) f(t) Bt, f(t) = t+5, f(t) = 2t? b) f(t) = 1, f(t) = eb, f(t) = c) f(t) = t, f(t) = t?, f(t) = e” d) f\(t) = sint, f(t) = cost, f,(t) = t
12 He vée to @ = (1,0, 1), @ = (1,0), a =(i,2,1 +i) 05
độc lập tuyến tính trong CỔ không Biểu thị @ = (1, 2, 3),, >
B = (i, i, i) qua hé trên
Trang 2914 Giả sử ŒT sms £) là một cơ sở của K - không gian véc tơ V
và Cis ean &) là một hệ độc lập tuyên tính Chứng minh ràng có
thể thay thế p véc tơ trong cơ sở trên bằng các véc tơ a, đi để p
được một hệ mới cũng là một cơ sở của V
15 Không gian vóc tơ R trên trường Q có phải là một khong
gian véc tơ hữu hạn sinh không?
16 Chứng minh rằng Œ, ey Es) là cơ sở của RỶ và tìm tọa độ
` -=* x `,
của « trong cơ sở đó biết rang:
a) & = (21,1) & = 62,0), & = (7,0, 7), @= (15,3, 1)
oe (0, 1,1), & = (3, 2,0), & = (1, 0,1), @= (2, 3,0) 17 Chứng minh rang:
a) Nếu hai hệ véc tơ (@, 2, sey @,) va Bi, Boy Be) của K ~ không gian véc tơ mà mỗi véc tơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ kia thì hai hệ đó cùng hạng
b) Hạng của hệ véc tơ Gì, «an a) (n > 2) trong V không đổi khi:
i) Déi chỗ hai véc tơ của hệ
ii) Nhan mot vée to cha hé véi A © K\{0} tay y
li) Cộng vào một véc tơ của hệ với một véc tơ khác của
hệ, nhân với một phần tử tùy ý của K
Từ đó suy ra: hạng của hệ véc tơ không đổi khi ta cộng
Trang 30chứng minh rang bang ba phép biến đổi nơi ở bì và đổi chỗ các cột nếu cẩn cố thể đưa A về ma trận có dạng: ĐÁ, i 1 A^=E—— O X | wi- | J
(Kí hiệu X nơi rằng do 1a nhiing phan tu nao do ctia K) Vay
hang của hệ véc tơ cột của A bằng hang của hệ véc to cla A’ Hay
tinh hang do
Chú ý: Xét phép biến đổi dòng thì cũng bằng ba phép biến
đổi nói ở b) và đổi chỗ hai dòng nếu cần có thể: đưa được ma
trận đang xét về ma trận
my
mà hạng của hệ véc tơ dòng của ma trận ban đầu bằng hạng của hệ véc tơ dòng của A”
18 V là một K - không gian véc to n chiều W là tập có
Trang 3120 Chứng minh rằng hệ véc tơ a =(1,-1,0), a = (0, 1, -1), đã = (1,0, I) là một cơ sở của RỶ Viết công thức đổi cơ sở từ cơ sở
chính tác của RỶ sang cơ sở đó TÌm toạ độ của véc to (3, -3, 2)
trong cơ sở đó
21 Trong R - không gian véc tơ RỶ các bộ phận sau có phải là không gian véc tơ con khêng?
a) A= {(x,.x2,x3) | xị € Qi= 1, 2, 3}
b) B= (& ;Xa,Xa) | x) tx, +x; = 0} ce) C= {Œ: Xa: 3) | x) +x) +x; = 1}
A) D = {(X, 25X53) | 2x) — x2 + x3 = 0, x, + x2 — 4x3 = 0}
e)E= {@ »X2,%X3) | ayx, + ax; + asx; = b, ai, a2, ay, b € R]
Hãy tìm số chiều của những không gian véc tơ con trong bài
22 Chứng minh rằng số chiều của không gian véc tơ con sinh bởi hệ véc tơ (@,, ., øn) bằng hạng của hệ véc tơ đơ
23 Trong Q - không gian véc tơ @, chứng minh rằng bao tuyến
tính của {Q,2,4),(,1, 3| và bao tuyến tính của {, 1,1),(-1,1, -1} bằng nhau 24 Trong R -không gian R chứng minh rằng các bộ phận sau: A= {Œ& „Xa,Xs) | Xị= 9} B = {G¡.%;¿.xạ) | x; = 0} là những không gian véc tơ con Hãy xác định A 1B, A + B, R3/A và tìm số chiều của chúng
25 Trong Q - không gian véc tơ R, hãy chứng minh rằng bộ phận A = {a + bV2 + eV3 + AVG | a,b,c,d, € Q} là một không
gian véc tơ con, hãy tìm dim A Xét bao tuyến tính của các tập con X
Trang 3226 Trong không gian véc to RỶ xét các không gian véc tơ
con W sinh bởi (1, 0,0, 2), (0, 2, 1 -1), (-1, 6, 3, 7) và Z sinh bởi (3, 2, 0, 1), (1, 2, 1, 1) Tim s6 chiéu cia W, Z, W+ Z, WN Z,
RỲW
27 Chứng minh rằng mọi không gian con W của K - không gian véc tơ hữu hạn chiều V đều có bù tuyến tính Z, tức có không gian véc tơ con Z của V để V = W @ Z Hỏi Z có duy nhất không
28 Giả sử W¡, W, là những không gian véc tơ con hữu hạn
chiều của K - không gian véc tơ V Chứng minh ràng các điều kiện sau tương đương: m a) W = OW, i=l m m b) W = Dw, va win |> W, = {0} ,i=1, m lj=i Ji m m c) W => W, vadim W = > dimW, 29 a) Tìm số chiều của không gian véc tơ Mat(m, n), Mat(n) trên trường K b) Goi S(n) là tập hợp các ma trận đối xứng cấp n (tức các ma tran A = (aj) € Mat(n) ma a; = ai) Chứng mỉnh rang S(n) là không gian véc tơ con của Mat(n) Tìm số chiểu của nó
e) Cũng câu hỏi trên đối với tập các ma trận phản đối xứng A(n) (tức các ma tran A = (aj) € Mat(n) ma aj = -aij)
d) Phải chăng Mat(n) = S(n) @ A(n)
30 Gia si W,, W là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ hữu hạn chiều V Chứng minh rằng nếu
Trang 33thi tong W; + W> tring vdi một trong các không gian con da cho con giao W; f1 W¿ trùng với không gian con còn lại
31 Giả sử W và Z là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ hữu hạn chiều V Chứng minh rằng nếu dim W + dim Z > dim V thì W ñ Z chứa véc tơ khác 0
B ANH XA TUYEN TINH VA MA TRAN
Giả sử V, W là những K - không gian véc tơ Ánh xạ f: V —> W bảo tồn hai phép toán của K - không gian véc tơ, tức là:
f(a + BY = f(Œ3 + fH), tka} = kf@Ÿ, v œ8 eV, keK
được gọi là đnh xạ tuyến tính (hay dồng cấu) từ V đến W
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến W với các phép
toán cộng ánh xạ và nhân một ánh xạ với vô hướng thuộc K làm thành một K - không gian véc tơ, kí hiệu là Hom (V, W) hay #(V, W)
Mỗi ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của một cơ sở Giả sử G, ag e,) là một cơ sở của V, — (61, , ch) là một cơ sở của W, f € #(V, W) m Giả sử f(@) = Xayei ,j = 1 n Goi (x), , Xa) (y¡, „ Ym) là các toạ độ của # và f(a) trong > c_ - > cac cd sé (e), ., Cn) Va (€), «, Cm) tuong tng thi n y= > ai x) LS dysey, TH ay € K
Công thức trên goi la biéu thitc toa dé cia ánh xạ tuyến tính f
Trang 34Đại ˆ" 822 Sạn \ : ‘
A= & bại ‹ 3513 Rà.%45 B
ani 8m2 amn
gọi là ma trộn của _ánh xa tuyến tính f trong các cơ SỞ
(er eon en) của V và @1, Sa em) của W
Ma trận A gồm có m dòng và n cột như vậy gọi là ma trận
cỡ (m, n) trên trường K Tập hợp các ma trận như thế kí hiệu:
Mat(m x n, K) Trong tập đó định nghĩa được hai phép toán
như sau: Giả sử B = (bj) € Mat(m x n, K) và Â € K thì
A+B = (a; + bj)
= (Âa)
Với hai phép toán đó Mat(m x n, K) la một K - không gian véc tơ, còn ánh xạ f € #(V,W) => A = (ai) € Mat(mx n, K) la một đồng cấu giữa các K - không gian véc tơ và là song ánh
Nếu V, W, Z là những K - không gian véc tơ, f: V —> W,
g: W —> Z là những ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ tích (hay hợp thành) gi: V —> Z cũng là một ánh xạ tuyến tính Giả sử
= G3, i = 1, , n lA co sé của V, £# = đủ, j=1, , m là
cơ sở của W, y = 9, k = 1, p 1a œ sở của Z và A = (ai),
B = (bj) la ma trận của f va g trong các cơ sở tương ứng thì
Trang 35to, U la khong gian véc tơ con của V, W là không gian véc tơ
con của V' Khi đó f(U) là không gian véc tơ con của V' còn
ft) = \ve V | fw Ee W| là không gian véc tơ con của V Đặc biệt
f(V)` được gọi là ảnh của đồng cấu f và được kí hiệu là Imf
r1 (ti )= t'(0) được gọi là hat nhan (hay hạch) của đồng cấu f và
‹ được kí hiệu là Ker ƒ dim Imf gọi là hạng của f
Đồng cấu f được gọi là đoàn cấu (dơn cấu, dang cấu) nếu f là toàn ánh (đơn ánh, song ánh) Dễ thấy nếu V, W hữu hạn
cchiều thì
ƒ lồn cấu © hạng ƒ = dừn W
ƒf dơn cấu © Ker ƒ = {o] = dnh ctia mot co sd la một hé déc lap
ttuyén tinh <> hang f = dim V
dim V = dim Ker f + dim Imf
Hang cia ma tran A © Mat(m x n, K) la hang ctia hé véc ted cot của nó (khi xem các véc tơ cột đó là phần tử của K,
DÔễ thấy nếu A là ma trận của đồng cấu f như ở trên thì Hạng A = Hạng f
Ma trận cỡ (n, n) goi là ma trận vuông cấp n, tập các ma trran vuông cấp n trên trường K được kÍ hiệu: Mat(n, K) Cho
A\ € Mat(n, K), nếu cớ B € Matin, K) sao cho AB = BA =
Tim 6 day I, lA ma tran cd dang
1 Oo
J=| Oo ' 1 |= (5) (gọi là ma trận đơn vị)
thai A duge goi là ma trận khả nghịch và kí hiệu B = A'Ì Dé thấy
A_ khả nghịch có B để BA = 1n =có B đề AB = In ©A là ma
trận của một dẳng cấu (luyến tính) ƒ
Tập các ma trận vuông khả nghịch cấp n được kí hiéu: GL(n, K) Anh xa tuyến tinh f từ V đến chính nớ gọi là một // đồng
Trang 36các tự đẳng cấu của V duge ki hiéu: GLIV) Dé thay f € GLV) =f là toan cau =f la don cau n Bây giờ giả sử (e) (e) la cic oo 8 cla V 8 => oye, j = 1, , m Khi do dễ thấy ma trận C = (s) khả nghịchh Nếu f œ GL(V) thì: : _—y
(a) - Sa (@) Das =
A= (ai) va A’ = (2 : J gọi là ma trận của tự dồng ccấu : f trong các cơ sở (s) 5 (ei tương ứng Khi đó ta có
A’ = CAC
Hai ma trận A, A' € Mat(n, K) nếu có C € GLin, K) «dé
A' = CAC được gọi là đồng dạng
Cho K - khong gian véc to V thi V* = #(V, K) gọi là
không gian uéc tơ dối ngẫu của V Nếu (si, mờ en) là một cơ
sở của V thì hệ véc tơ của V*: (9, aly 6.) xác định kbởi
%(s] = =ỗi, lý = dị n làm thành một cơ sở của V* Cơ sở
đó được gọi là cơ sở đối ngấu của cơ SỞ (s, Lấy en) trong \V*
Tu dé suy ra dim V* = dim V = n và Ánh xạ ø: V—> V*
xác định bởi ?(s) = 6, la đẳng cấu
1 Xét các không gian véc tơ thực R và RỶ Hỏi các áánh
Trang 37©) x, yl eax + by, a b cô định thuộc R 8) (x, yl me Ýz? + y 2 Các ánh xạ từ Rˆ —> R` sau có phải là ánh xạ tuyến tíính không: a) (x, y) —> (2x, 2y) b) (x, y) —> (y, -x) c) (x, y) —> (x + 2,y + 2) 3 Cho f V —> V' là một ánh xạ tuyến tính giữa các không giảan véc tơ Chứng mỉnh rằng a) Nếu hệ (f@), v5 f(@)) độc lập tuyến tính, thi he (3, sử 2n) cũng độc lập tuyến tính b) Hạng (si, = E9) > hạng (tà, Hy f2)
4 Với số nguyên dương n, xét cơ sở En = (1,x, ,x”) của R: - không gian véc tơ V„ các đa thức một biến x với hệ số hữu
ty’ bac < n
a) Chứng minh rằng phép lấy đạo hàm:
âu † aiX + + anx” củ ai + 2ax + + ae?!
Trang 38a) Viết ma trận của tự đồng cấu trong R biến a thành)
B tương ứng, ¡ = 1, 2, 3 trong cơ sở chính tắc của R
b) Viết ma trận của tự đồng cấu trong R biến B thanhh
—> 7 ‹ ⁄^ ah 3
œ; tương ứng trong cơ sở chính tắc của R'
e' Tìm ảnh cla a = (3, 2, 1) qua các tự đồng cấu nơi trêna
6 Xác định tất cả các ánh xạ tuyến tính từ Q vào Q
không gian véc tơ R
7 Cho K - không gian véc tơ V Hãy xác định tất cả các ánhh
xạ tuyến tính từ V dén K và các ánh xạ tuyến tính từ K đến VV
8 Cho tự đồng cấu œ@ của K - không gian véc to V maa pop = y Hãy chứng minh rang V = Imp @ Kem Với một tự đồng cấu tùy ý của V điểu đó có đúng không?
9 Cho hai không gian véc tơ con W và Z của không gỉaan
véc tơ hữu hạn chiều Ÿ sao cho dim V = dim W + dim Z Tinm
một tự đồng cấu ø cla V ma W = Ing, Z = Kerp
10 Tim cơ sở của ảnh và hạt nhân của các tự đồng cấấu
Trang 39Matim x n, K) các ma trận cỡ (m, n) trên trường K
12 Trong K - không gian véc tơ Matt2, K) các ma trận
a b
ec d
Ching minh rang cic phép nhan bén trai X € Mati2, K) — AX
và phép nhân bên phải X € Mati2, K) > XA với A là những tự đông cấu của Mat2, KI Tìm ma trận của chúng trong cơ sở
` Lo 0Ì 0 1 00 0 0
Ey = | i} Big = > i} Ey = | i} En = ‘ |
13 Tính các tích AB và BA trong đó A, B là những ma
trận trên R được cho bởi:
vuông cấp 2 trên trường K cho ma trận A = 1 0 1 3-2 0 0 2 veep Paap Be [ 1Ì, 21 1 0-11 a a b) A= [2 -1 0 1/,B = 0 1 10) Bà 10 1 0 14 Với n nguyên > 2, i, j = 1, 2, , n, G # jp, AE K >xét cdc ma trận vuông cấp n sau: 1 | | (Các phần tử trên ——Ø——4 đường chéo chính bằng eo a : 1 trừ vị trí (,ï) (jj)
a) C(i, j) = / _| | Phần tử ở vi tri (i,j) J — va (j,i) bang 1, cac
| | “4| vị trí khác bằng 0)
Trang 40' (Cac phần tử trên đường chéo chính bằng 1 trừ vị trí (i, i) thi bang 4 Các vị trí khác bằng 0) b0 7<: PS i (Các phần tử trên đường a i es chéo chính bằng 1 trừ ©) EGA) = Joe ek se vị tri (ji) thi bang 4 i Các vị trí khác bằng 0) `4
(Nói vị trí (, ï) tức là giao của dòng j với cột i)
Chứng minh rằng với ma trận, A cỡ (m, n) trên trường KY
ma trận A.Cú, j), A.DG, 4), A.EđG, j; A) theo tht tự là ma trậpn
có được từ A bằng cách
a) Hoan vị hai tột i, j
b) Nhân cột ¡ với Â
c) Cong vào cột ¡, cột j rồi nhân với Â
Hỏi muốn làm điều đó với các dòng của ma trận A thi carn
nhân trái ma trận nào với A
15 Cho ø, ý: V —> V' là những dong cau giữa các khôngg gian véc tơ hữu hạn chiều Chứng minh
hạng (+) > | hạng ø - hạng ý |
16 Cho ø, € End V thoả mãn các điều kién: p + y = idd, yop = 0 Chứng minh rằng
a) p? = p, ý” = , ps = 0
b) V = Imø @ Imự Hỏi ø uờ ý có liên quan gì với cáác