Bài tập Đại số tuyến tính

Math231: Bài tập Đại số tuyến tính (Bản nháp, hoàn thiện) Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn 2021-2022 Mục lục Không gian vector 1.1 Khái niệm không gian vector 1.2 Tổ hợp tuyến tính 1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 1.4 Khái niệm không gian vector 1.5 Cơ sở bổ sung thành sở 1.6 Tổng giao hai không gian vector con; Không gian vetor sinh tập 1.7 Tập độc lập tuyến tính tối đại hạng hệ vector 1.8 Hạng ma trận Ánh xạ tuyến tính 2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính ma trận biểu diễn 2.2 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 2.3 Hạng ánh xạ tuyến tính 2.4 Tự đồng cấu tổng trực tiếp 2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối 2.6 Hệ phương trình tuyến tính 2.7 Định thức ngẫu Cấu trúc tự đồng cấu 3.1 Giá trị riêng vector riêng 3.2 Tự đồng cấu chéo hóa được; Bội đại số, bội hình học 3.3 Không gian bất biến 3.4 Tự đồng cấu, ma trận lũy linh 3.5 Dạng chuẩn Jordan 3.6 Định lý Cayley-Hamilton; Đa thức tối tiểu ma trận 3.7 Phương trình đa thức ma trận 2 4 5 7 8 9 10 12 14 14 14 15 15 16 17 18 Không gian vector Euclid 4.1 Dạng song tuyến tính Tính chất khơng gian vector Euclid 4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao & Ma trận trực giao 4.3 Dạng toàn phương 4.4 Ma trận đối xứng thực & Toán tử đối xứng 4.5 Tính tốn vector; Khoảng cách; Định thức Gram; Trực giao hóa Gram-Schmidt 4.6 Một số định lý phân tích ma trận 19 19 20 21 22 22 24 Tài liệu tham khảo 25 Chương Không gian vector 1.1 Khái niệm không gian vector Xét tập R3 với hai phép toán + định nghĩa sau: (x, y, z) + (x0 , y , z ) = (x + x0 , y + y , z + z ), λ(x, y, z) = (λx, y, z) Hỏi R3 với hai phép tốn + có lập thành R−không gian vector không? Xét tập R2 với hai phép toán + định nghĩa sau: (x, y) + (x0 , y ) = (x + x0 , y + y ), λ(x, y) = (2λx, 2λy) Hỏi R2 với hai phép tốn + có lập thành R−không gian vector không? Tập số thực x ≥ với phép + thông thường có lập thành R−khơng gian vector khơng? 1.2 Tổ hợp tuyến tính Hãy biểu diễn vector ~x sau thành tổ hợp tuyến tính vector ~u, ~v , w ~: a) ~x = (7, −2, 15), ~u = (2, 3, 5), ~v = (3, 7, 8), w ~ = (1, −6, 1) b) ~x = (0, 0, 0), ~u = (2, 3, 5), ~v = (3, 7, 8), w ~ = (1, −6, 1) c) ~x = (1, 4, −7, 7), ~u = (4, 1, 3, −2), ~v = (1, 2, −3, 2), w ~ = (16, 9, 1, −3) (Lấy từ [4]) Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính hai vector A B Viết tọa độ tương ứng X A B (a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1) (b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1) (c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0) 1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Các tập vector R3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a) (1, 2, 3), (3, 6, 7) b) (4, −2, 6), (6, −3, 9) c) (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3) d) (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) (lấy [4]) Chứng minh vector sau độc lập tuyến tính R C a) (1,1,1) (0,1,-1) b) (-1,1,0) (0,1,2) c) (π, 0) (0,1) d) (1,1,0), (1,1,1) (0,1,-1) e) (0,1,1), (0,2,1) (1,5,3) (Lấy từ [4]) Cho (a, b) (c, d) hai vector mặt phẳng Chứng minh ad − bc = hai vector phụ thuộc tuyến tính Nếu ad − bc 6= hai vector độc lập tuyến tính (Lấy từ [3] [4]) Xét không gian vector C[a, b] hàm số thực liên tục đoạn [a, b], hệ vector sau độc lập tuyến tính? (a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 (b) 1, et , e−t (c) sin x, sin 2x, , sin kx với k số nguyên dương (d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+ ) t, 1/t (e) et , log t 10 (Lấy từ [13]) Trong khơng gian vector thực R4 , tìm hạng hệ vector sau (a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1) (b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1) 11 (Lấy từ [3]) Trong C[a, b], với a < b số thực đó, tìm hạng hệ vector sau (a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t (b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x 1.4 Khái niệm không gian vector 12 Tập không gian vector R3 ? a) Các vector có dạng (a, 0, 0) với a ∈ R? b) Các vector có dạng (a, 1, 1)? c) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c? d) Các vector có dạng (a, b, c) với b = a + c + 1? 13 Ký hiệu P3 tập tất đa thức biến hệ số thực có bậc Đây R−khơng gian vector Hỏi tập sau không gian vector P3 ? a) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 = ? b) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 + a1 + a2 + a3 = ? c) Các đa thức a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 với a0 , a1 , a3 số nguyên? 1.5 Cơ sở bổ sung thành sở 14 Chứng minh hệ vector {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 0, 1)} độc lập tuyến tính R4 Hãy bổ sung thêm vector để hệ trở thành sở R4 15 Hệ vector sau sở kgvt R4 ? Khi đó, tìm tọa độ vector ~v = (1, 9, 8, 1) (a) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1) (b) (0,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1) (c) (0,1,2,3), (1,2,3,4), (2,3,4,5), (3,4,5,6) (bài tập II.17, giáo trình) 16 Xét tập V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z + t = x + 2y + 3z + 4t = 0} Biết V không gian vector R4 Xác định sở V dim V 17 Xét tập V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 } (a) Chứng minh V không gian vector R4 (b) Cho vector α = (3, 0, 1, 0) β = (0, 4, 0, 2) vector độc lập tuyến tính V Bổ sung thêm vector để thu sở V (bài tập II.26, giáo trình) 18 Giả sử α ~ 1, α ~ 2, , α ~ n sở R−kgvt V Chứng minh hệ vector α ~ 1, α ~1 − 2~ α2 , α ~ − 3~ α3 , , α ~ n−1 − n~ αn sở V (bài tập II.19, giáo trình) 1.6 Tổng giao hai không gian vector con; Không gian vetor sinh tập 19 Cho U không gian vector sinh (1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1) V không gian sinh (1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3) Tìm dim(U ∩ V ) (Bài tập 3.23, trang 35, sách Đại số tuyến tính qua ví dụ tập GS Lê Tuấn Hoa) 20 Cho U không gian sinh (1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9) V sinh (1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1) Tìm sở U ∩ V U + V (bài 3.24, sách Đại số tuyến tính qua ví dụ tập GS Lê Tuấn Hoa) 1.7 Tập độc lập tuyến tính tối đại hạng hệ vector 21 Tìm tập tập độc lập tuyến tính tối đại tính hạng hệ vector Bài tập 22 Tính hạng hệ vector sau R3 Xác định hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) b) (3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) c) (2, −3, 1), (4, 1, 1), (0, −7, 1) d) (1, 6, 4), (2, 4, −1), (−1, 2, 5) 1.8 Hạng ma trận 23 Xác định  1 a) A =  1 hạng ma trận sau theo số thực λ :  λ 2  10 17 4 3   −1 −1  λ −1 −1 −1  b) B =   λ 1 2 −1 (bài 3.44 sách Toán cao cấp tập GS Nguyễn Đình Trí chủ biên, tái lần 6) 24 Chứng minh điểm (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ R2 thẳng hàng x1 x2 x3 y1 y2 y3 = 1 25 Cho A, B hai ma trận vuông cấp Chứng minh rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} 26 Chứng minh A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I với I ma trận đơn vị, rank(A + I) + rank(A − I) = n 27 Cho A, B hai ma trận vuông cấp n Chứng minh bất đẳng thức sau: a) rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) b) rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} c) rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − n (lưu ý: hai bất đẳng thức sau bất đẳng thức Sylvester; ý c) chưa giảng phức tạp, sinh viên cần phải đọc phần Phụ lục Chương III sách Toán cao cấp tập ) 28 Chứng minh hạng ma trận r định thức nằm giao r hàng độc lập tuyến tính với r cột độc lập tuyến tính khác Chương Ánh xạ tuyến tính 2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính ma trận biểu diễn 29 Các ánh xạ sau từ R4 → R4 có phải ánh xạ tuyến tính khơng? Khi tìm ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở tắc Cơ sở tắc sở gồm vector (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) a) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (x1 x2 , x2 − x1 , x3 , x4 ) b) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (ax2 , x2 − x1 , x3 , x4 ) với a số thực cố định c) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ (0, x3 , x2 , x1 + x2 + x3 + x4 ) (Bài tập III.10, giáo trình) 30 Ánh xạ f : R3 → R2 tuyến tính? Giải thích a) f (x, y, z) = (x, y + z) b) f (x, y, z) = (x3 − 1, y + z) √ √ c) f (x, y, z) = ( x, z) (đề ĐSTT-Math121 kỳ 1, 2020-2021) 31 Cho h : R3 → R2 ánh xạ tuyến tính Cho (e1 , e2 , e3 ) sở R3 (f1 , f2 ) sở R2 Giả sử ma trận h cặp sở (e1 , e2 , e3 ) (f1 , f2 )   −1 A= −3 a) Ta xét sở R3 sau: e01 = e2 + e3 ; e02 = e3 + e1 ; e03 = e1 + e2 Xác định ma trận h cặp sở (e01 , e02 , e03 ) (f1 , f2 ) b) Ta xét sở cho R2 là: f10 = (f1 + f2 ); f20 = (f1 − f2 ) Xác định ma trận h cặp sở (e01 , e02 , e03 ) (f10 , f20 ) 32 Tồn   B=   hay khơng ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 nhận ma trận A = 3 4  3 ma trận biểu diễn cặp sở đó? (Đề kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022) 2.2 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 33 Cho khơng gian vector V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} Tìm ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 thỏa mãn Im(f ) = V (Đề kỳ Math231T lớp LT1 kỳ 1/2021/2022) 34 Tìm sở ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính từ R4 vào R5 sau (a) (x, y, z, t) 7→ (5x − y, x + y, z, t, x) (b) (x, y, z, t) 7→ (x + y + 7z + t, 2z + t, x, y, y − x) (c) (x, y, z, t) 7→ (−x + y + z + t, z − y, 17x + 13y, 16x + 5t, y − t) 35 Cho f : E → F g : E → G ánh xạ tuyến tính Chứng minh điều kiện cần để tồn ánh xạ tuyến tính h : F → G cho g = h ◦ f ker f ⊂ ker g Hỏi có phải điều kiện đủ khơng? 2.3 Hạng ánh xạ tuyến tính Nhận xét: Ma trận coi ánh xạ tuyến tính Do đó, hạng ma trận ánh xạ tuyến tính một, điều có nghĩa ta chứng minh bất đẳng thức đẳng thức hạng theo cách ma trận ánh xạ tuyến tính Ưu điểm cách ma trận dễ tiếp cận với nhiều người học khơng chun ngành Tốn Ưu điểm cách sử dụng ánh xạ tuyến tính tính trừu tượng, đơi thu lời giải ngắn gọn, ví dụ bất đẳng thức Sylvester giải ngắn gọn nhờ vào định lý đồng cấu tuyến tính 36 Cho f, g : V → W hai ánh xạ hai không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh : |rank f − rank g| ≤ rank(f + g) ≤ rank f + rank g 37 (Bất đẳng thức Sylvester ) Cho f : E → F g : F → G ánh xạ tuyến tính không gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng: (a) rank(gf ) ≤ min(rank f, rank g) (b) rank f + rank g ≤ rank(gf ) + dim F Ghi 38 Bất đẳng thức Sylvester thường viết dạng ma trận sau Giả sử A, B ∈ Rn,n Khi ta có bất đẳng thức sau rank A + rank B ≤ rank(AB) + n 39 (Bất đẳng thức Frobenius) Cho A, B, C ∈ Rn,n Chứng minh rank(AB) + rank(BC) ≤ rank B + rank(ABC) 2.4 Tự đồng cấu tổng trực tiếp 40 Cho f : V → V tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = f Chứng minh V = Im(f ) ⊕ Ker(f ) 41 Cho f : V → V tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f ◦ f = f Chứng minh V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id) 42 Cho f : V → V tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = Id Chứng minh V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + Id) 43 Cho f : V → V tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f ◦ f = 3f − 2Id Chứng minh V = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2Id) 2.5 Không gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu 44 Cho f : V → V tự đồng cấu không gian vector hữu hạn chiều V Ký hiệu M ma trận f sở Khi ta định nghĩa vết f vết M Ký hiệu vết f Tr(f ) (a) Chứng minh vết f không phụ thuộc vào ma trận biểu diễn (b) Chứng minh Tr(f ) = Tr(f ∗ ) với f ∗ ánh xạ đối ngẫu f 45 Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai khơng gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rằng: (a) f đơn cấu f ∗ toàn cấu (b) f toàn cấu f ∗ đơn cấu (c) f đẳng cấu f ∗ đẳng cấu Bình luận Tôi nghĩ kết V W có chiều vơ hạn, tơi chưa nghĩ cẩn thận chuyện ý Một hệ tập tập sau 46 Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai khơng gian vector hữu hạn chiều Chứng minh rank f = rank(f ∗ ) Bình luận Bài tập cho ta chứng minh đẳng thức rank(A) = rank(AT ) với A ∈ Rm,n Vì sao? 47 Cho V không gian vector hữu hạn chiều f1 , , fn sở V ∗ Chứng minh tồn sở (e1 , , en ) V cho (f1 , , fn ) sở đối ngẫu (e1 , , en ) Gợi ý: Sử dụng ánh xạ tự nhiên ΦV : V → V ∗∗ 48 Chứng minh ánh xạ sau Φ : Hom(V, W ) → Hom(W ∗ , V ∗ ) f 7→ f ∗ ánh xạ tuyến tính 49 Cho V khơng gian vector n chiều f1 , , fm ∈ V ∗ độc lập tuyến tính Chứng minh dim Ker(f1 ) ∩ ∩ Ker(fm ) = n − m 50 Cho V không gian vector f, f1 , , fn ∈ V ∗ Giả sử Ker(f ) ⊃ Ker(f1 ) ∩ ∩ Ker(fn ) Chứng minh f tổ hợp tuyến tính f1 , f2 , , fn Gợi ý : Dùng tập 35 2.6 Hệ phương trình tuyến tính 51 Xác định xem hệ sau có nghiệm khơng, có giải nghiệm tìm hệ nghiệm chúng a)   3x − 2y + 5z + 4t = 6x − 4y + 4z + 3t =  9x − 6y + 3z + 2t = b)  8x + 6y + 5z + 2t = 21      3x + 3y + 2z + t = 10 4x + 2y + 3z + t =   3x + 5y + z + t = 15    7x + 4y + 5z + 2t = 18 52 Với giá trị a hệ sau khơng có nghiệm ( x − 2y =5 ? 3x + ay = (đề cuối kỳ Math231T, kỳ 3/2020/2021) 10 53 Với giá trị a, b hệ sau khơng có nghiệm ( x − by =5 ? 3x + ay = 54 Giải biện luận theo tham số   λx + y + z = a) x + λy + z =   x + y + λz =   x + ay + a z = a b) x + by + b2 z = b3   x + cy + c2 z = c3   =1 x + y + z c) ax + by + cz =d   2 a x + b y + c z = d2 55 Xác định tất số thực a, b cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:   =1 ax + y + z x + 2y + z =b   2x − y + 2z = 56 Xác định tất số thực a, b cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:   =1 x + y + z ax + 2y + z =   2x − y + 2z = b 57 Xác định tất số thực a, b cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:   =1 ax + y + z + t x + 2y + z − t =b   2x − y + 2z + 2t = 58 Xác định tất số thực a, b cho hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:   =1 ax + y + z + t x + 2y + z − bt =1   2x − y + 2z + 2t = 59 Cho A ma trận vng cấp m × n Tìm điều kiện cần đủ hạng A để hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm với vector cột B ∈ Rm 60 Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B thỏa mãn: A, B ma trận có hệ số hữu tỷ hệ có nghiệm Chứng minh hệ có nghiệm gồm toàn số hữu tỷ 11 2.7 Định thức 61 Tính hợp thành phép sau viết phép thu thành tích xích rời rạc tính dấu chúng    5 a) 5    5 b) 4 c) (1, 2)(2, 3) (n, n − 1) 62 Biết số nghịch dãy a1 , a2 , , an k Tìm số nghịch dãy an , an−1 , , a1 63 Cho A ∈ Rn,n Chứng minh det A 6= cột A độc lập tuyến tính 64 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp n với hệ số thực thỏa mãn aij = − δij , với δij ký hiệu Kronecker Tính det A 65 Tính định thức sau