PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN BÀI TẬP
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trang 2PHAN HUY PHU - NGUYEN DOAN TUAN
BAI TAP
DAI SO TUYEN TINH
Trang 3Chịu trách nhiệm xuất bản
Trang 4LOI NOI DAU
Môn Đại số tuyến tính được đưa vào giảng dạy ở hầu hết
các trường đại học và cao đẳng như là một môn học cơ sở cần thiết để tiếp thu những môn học khác Nhằm cung cấp thêm
một tài liệu tham khảo phục vụ cho sinh viên ngành Toán và
các ngành Kĩ thuật, chúng tôi biên soạn cuốn "Bài tập Đại số
tuyến tính" Cuốn sách được chia làm ba chương bao gồm những vấn dé cd ban của Đại số tuyến tính: Định thức và ma trận - Không gian tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, hệ phương
trình tuyến tính - Dạng toàn phương
Trong mỗi chương chúng tôi trình bày phần tóm tắt lý
thuyết, các vi dy, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần hướng dẫn (HD) hoặc đáp số (8) Các ví dụ và bài tập được chọn lọc ở mức độ từ trung bình đến khó, có những bài tập mang tính lý thuyết và những bài tập rèn luyện kĩ năng nhằm
giúp sinh viên hiểu sâu thêm môn học
Chúng tôi xin cảm ơn Ban biên tập nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện để cuốn sách sớm được ra mắt bạn đọc
Mặc dù chúng tôi đã sử dụng tài liệu này nhiều năm cho
sinh viên Toán Đại học Sư phạm Hà Nội và đã có nhiều cố gắng khi biên soạn, nhưng chắc chắn còn có khiếm khuyết Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của độc giả
Hà Nội, tháng 3 năm 2001
Trang 5MỤC LỤC Chương 1: ĐỊNH THỨC - MA TRẬN ccccccccve 7 Á-'Tôn tắt lý tha yEtsscccssssesssssissscosescstesssaracensivesisisisecivsseicasves 7 Š„2: THỊNH THẮNG an nhanh nh Gun tháng a0 110141 010020010100340000 3018010 8 lốc nh ° Chương 9: KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH -55ss 57 A- Tom tat ly thut §1 Khơng gian véc tơ §2 Ánh xạ tuyến tính
§ 3 Hệ phương trình tuyến tin! §4 Cấu trúc của tự đồng cấu
B- Ví dụ
§1 Khơng gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính
§2 Hé phuong trinh tuyén tinh eee essences nese 104 §3 Cấu trúc của một tự đồng cấu
Trang 6-110 „122 -125 §1 Không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính § 2 Hệ phương trình tuyến tính
§3 Cấu trúc của một tự đồng cấu
Chương IIT: DẠNG TOÀN PHƯƠNG - KHÔNG GIAN VÉC TƠ
ØCLIT VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ UNITA .-.- 134
A Tém tat ly thuyét
§1 Dạng song tuyến tính đối xứng và dang toàn phương 134
§ 2 Khơng gian véc tơ Ơclit
§3 Khơng gian véc tơ Unita
Trang 7Chuong 1 ĐỊNH THỨC - MA TRẬN A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT §1 PHÉP THẾ Một song ánh ơ từ tập {1, 2, , n} lên chính nó được gọi là một phép thế bậc n, kí hiệu là 1 93 3 n
0, Ơy Ơy Ơn
Ở đó ơi = ø(1), ơ; = ơ(9), ơạ = ơ(n)
Tập các phép thế bậc n với phép nhân ánh xạ lập thành
một nhóm, gọi là nhóm đối xứng bậc n, kí hiệu S„ Số các phần
tử của nhóm S„ bằng nl = 1, 2 n
Khi n > 1, cặp số {i, j} &không thứ tự) được gợi là một nghịch
thế của ơ nếu số (i - j) (ơ,- ø) âm Phép thế ơ được gọi là chẵn nếu số nghịch thế của ơø chăn, ø được gọi là phép thế lẻ nếu số nghịch thế của ơ lẻ
| 1néus la phép thé chan Ki hiéu sgno =
-1néuo la phép thé lé
và sgnơ gọi là dấu của phép thế o Néu o va 1 là hai phép thé
cung bac, thi sgn(o oT) = sgn(o) sgn(T)
Phép thế ø được gọi là một vòng xích độ dài k nếu có k số i¡,
Trang 8
và ơ() = ¡ với mọi ¡ #i¡, i Vong xich đó được kí hiệu là
(, lạ 1) Mọi phép thế đều phân tích được thành tích những
vòng xích độc lập
Một vòng xích độ dài 2 được gọi là một chuyển trí Vòng
xích (¡, i„, ., Í) phân tích được thành tích (i¡„ i)đ,, i⁄.,) ( in)
§2 ĐỊNH THỨC
1 Giả sử K là một trường (trong cuốn sách này ta chủ yếu xét K là trường số thực IR hoặc trường số phức C) Ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K là một bảng chữ nhật gồm
m hàng, n cột các phần tử a¡ e K,¡= 1m, J Ln Tập các ma
trận kiểu (m, n) được kí hiệu M(m, n, R) Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng, n cột Tập các ma trận vuông cấp n với các
phần tử thuộc trường K kí hiệu là Mat(n, K)
2 Cho ma trận A vuéng cap n, A = (aj), i, j = 1, 2 me Định thức của ma trận A, kí hiệu đet A là một phần tử của K được xác định như sau:
detA = Ysen(o)ajecr) + B99(2) + Angin) +
e5,
3 Tính chất của định thức
a) Nếu đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) nào đó của ma trận A, thì định thức của nó đổi đấu
Trang 9c) Nếu một dòng (hay một cột) phân tích thành tổng, thì định thức được phân tích thành tổng hai định thức, cụ thể: #m ®ị TA ác địa Ay, và Ag tay Ay det! 221 ai Tại an | = Amo Ani tani Ann An Aa Ay Am =â1i Fin Ay) Ay; «Ao, Bạt sùi Ao, = det|^z! 2i 2n | +det| 22! 2i 2n Aq Ani Ann an Ay c“ng
Trang 10Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng hay theo cột b) Định lý Laplace Cho ma trận A = (a,) e Mat(n, K) Với mỗi bộ „1, l1 <l¿< <iy< n, lui
Va Guiecide 1Sji<j<2.<j <n 1<ken, đặt Ai ‘i la i
định thức của ma trận vuông cấp k nằm ở các dòng Ì¡, i¿ và các „` đấy nu ` ‘ Ä cột j¡ J của ma tran A; M, Š là định thức của ma trận vuông h cấp (n - k) có được bằng cách gạch các dòng thứ i, ¡„ và các cột thứ j¡, j, của ma trận A Ta có kết quả: detA = Leyie tess +Ík
ở đó j¡ j, là k cột cố định Tổng được lấy theo tất cả các bộ (i¡ iy)
sao cho 1 <i¡ <i;¿< <i¿ <n Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo k cột j¡, .j, Tương tự, ta có công thức khai triển theo k dòng Khi k = 1, ta được công thức đã nói
trong mục a
§3 MA TRẬN
1 Ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K đã được giới thiệu trong §2 Tập các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử trên trường K được kí hiệu là Mat(m, n K) A e Mat(m, n K) được viết A =(aj) i=1,m; j=1,2 n hay ré rang hon:
Trang 112 Cac phép toán trên Mat(m, n, K)
Cho A = (ai), B= (bị) thuộc Mat(m, n, K)
Ta có:
a) Ma trận C=(cj) ở đó œ¡ = aj + bị
được gọi là tổng của hai ma trận A và B và kí hiệu là A +B
Ma trận D = (d,) ở đó dụ = aj - bị
được gọi là hiệu của ma trận A và B và kí hiệu là A - B
b) Với ke R, ma trận kA có các phần tử là (ka¡,) được gọi là tích của ma trận A với phần tử k của trường K
e) Nếu A= (aj) € Mat(m, n, K) và B= (by) € Mat(n, p, K) thì ma trận A B e Mat(m, p, K) mà các phần tử được xác định bởi AB = (cu), ở đó n ey =3 ayDjy E1
được gọi là tích của hai ma trận B và A
Với A, B e Mat(n, K), ta có det(AB) = detA detB
Trang 12đ) Tập Mat(n, K) các ma trận vuông cấp n với phép toán cộng lập thành một nhóm giao hoán, còn với phép toán cộng ma trận và phép nhân ma trận lập thành một vành không giao
hoán, có đơn vị
3 Hạng của ma trận; Ma trận nghịch đảo
Giả sử A e Mat(m, n, K), ta định nghĩa hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không rút ra từ ma trận A Khi A € Mat(n, K) va hang A = n (ta ciing ding kí hiệu hạng A là rang A) thi ma tran A gọi là không suy biến, khi đó
detA # 0 và tổn tại duy nhất ma trận B thuộc Mín, K) để
A.B=B.A =1; ở đó I, là ma trận đơn vị Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là A''
Gia si A =(Aj)là ma trận phụ hgp cua ma tran A = (aj),
Trang 13Loi giai
a) Phan tich o thanh tich các chuyển trí:
1 2 3 4 5 a Re E 5
o=() 3 5 4 z4 235)=(1,5)(,3)(1.2) (chú ý là phép nhân các chuyển trí được thực hiện từ phải sang trái như hợp thành của các ánh xạ)
Vậy sgnơ = (-1)” = -1
Có thể làm cách khác: Các nghịch thế của ơ là (1, 5), (2, 5)
(3, 5), (4, 5), (3, 4)
Vậy ơ có 5 nghịch thế nên sgnơ = -l
b) Ta hãy tính số nghịch thế của hoán vị (1, 4, 7 3n-2, 2,
5, 8 3n-l, 3, 6, ẩn)
1 không tham gia vào nghịch thế nào
4 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó 7 tham gia vào 4 nghịch thế
3n - 2 tham gia vào 2(n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó 3 không tham gia vào nghịch thế nào với các số đứng sau nó ð tham gia vào 1 nghịch thế với các số đứng sau nó
8 tham gia vào 2 nghịch thế với các số đứng sau nó
đn - 1 tham gia vào (n - 1) nghịch thế với các số đứng sau nó
ác số 3, 6, 9 3n không tham gia vào nghịch thế nào với các số đứng sau nó
Trang 15Vi du 1.3
' Chứng minh rằng việc nhân một phép thế với chuyển trí đ, j) về bên trái tương đương với việc đổi chỗ các số
j ở dòng
dưới củ
a phép thế Cũng như vậy, nhân một phép thế với chuyển trí (, j) về bên phải tương đương với đổi chỗ ¡, j ở dòng trên của phép thế
Lời giải
3iả sử ø là phép thế cho trước, (, j) là phép chuyển trí Xét trường hợp nhân bên trái tức là f= (¡ J) ø 1 9 „.ơœ , B 3 sợ n Giả sử ơ= 5 Of Boom doi YP uo By 1 Theo heo định nghia (i, j) dinh nghia (i, j) = ( 2 je i t " " S 8 oC tà 13 " + Vậy t=6.0sø=[ Gj Go = ji wi w Gp “ "| Trường hợp nhân bên phải được xét tương tự
Ví dụ 1.4 Cho f và g là hai phép thế của n số tự nhiên đầu tiên a) Chứng minh rằng có thể đưa f về g bằng không quá (n-1)
phép chuyển trí (nghĩa là tồn tại k phép chuyển trí oy, Ø;, Gụ, k«<n-1 để g=ơy.ơy., ơi 0
b) Chứng minh rằng không thể giảm bớt số chuyển trí nói trong câu a) tức là có thể chọn f và g sao cho không thể đưa f về g bang it hon n - 1 phép chuyển trí
Trang 16Lời giải a) Xét phép thế go f`, phân tích g o F thành tích các vòng xích độc lập Tị, Tạ Tụ gof'= T1 Tạ Tụ Nếu kí hiệu m, là độ dài của vòng xích T, thì mị + m; + + m, =n
Nhắc lại rằng một vòng xích (a,, ag, ., a„) là một phép thế
ø các số tự nhiên từ 1 đến n sao cho ø(a,) = a,,, (i = 1, m-1) và ø(a„) = a¡, còn ø() = / nếu Ï # a; với mọi ¡ = 1, m Vòng xích (aj, a, a,,) goi 1a c6 dé dai m
Trang 17¢ 1 8 ø Be VIÊN CS
Với một phép thế h = " „ ta nói rằng ¡ là
hy hy hy
phần tử chính quy nếu h, > ¡ Để ý rằng nếu nhân vào bên trái của h một chuyển trí thì số phần tử chính quy tăng cùng lắm là một đơn vị Thật vậy, nếu ngược lại, chẳng hạn ¡, j là hai phần tử không chính quy của h mà nếu đổi chỗ h, với h; ta lại được hai phần tử chính quy (của phép thế mới) thé thi: hj <i, h,< j nhung hj 2 i, h,>j vô lý Do f chỉ có một phần tử chính quy, và g có n phần tử chính quy, vì vậy không thể đưa f về g bằng ít hơn n - 1 phép chuyển trí Ví du 1.5 Chung minh rang với mỗi số k (0 < k < C?) tổn tại một phép thế ø e 8, có đúng k nghịch thế Lời giải Cách 1: Ta hãy chứng minh một kết quả mạnh hơn: và œ có k Nếu ơ = (ơi, œ,) là một hoán vị của 1, 2
nghịch thế, 0 <k< = thì có thể déi ché hai phan tu a;, a, nào đó để thu được hoán vị J có k + 1 nghịch thế Thật vậy, trước hết ta nhận thấy rằng nếu œ,> œ„¡ với mọi ¡= 1, 2, , n-1 thì
aco ce nghịch thế Vì vậy, do số nghịch thế của œ là k < g,
nén ton tai ip dé ai, <đi vi:
Xét hoán vị B = (B¡, B,) trong d6 B, =a, néu i # ig, ip + 1,
con Bi, =),41 + Biv =a), thì rõ ràng Ð có nhiều hơn œ một
nghịch thế Nghĩa là số nghịch thế của B là k + 1
17
Trang 18Cách 2 Xét phép thế đồng nhat op = (1, 2 , n) mdi lan chuyển số nhỏ nhất sang bên phải một đơn vị, ta được một phép thế mới có số nghịch thế lớn hơn phép thế cũ 1 đơn vị, sau n bước ta được phép thé o,., = (2, 3, n, 1), làm tiếp tục như vậy với số hai, cuối cùng ta được phép thế o= 12 ea có Bộ nghịch thế n n-1 1 Như vậy trong dãy trên, với mỗi 0< k< Cỷ, só một phép thế có đúng k nghịch thế Cách 3 Ta chứng mình quy nạp theo n Dễ thử thấy với n = 2, 3, 4, bài toán đúng
Giả sử bài toán đúng với n > 4; Ta chứng minh nó đúng với n+1;nghĩa là với 0< k < Câu , ta chứng tỏ có ø e S„¡ để số
nghịch thế của ø bằng k Ta xét hai trường hợp:
a) Với 0< k< C2, theo giả thiết quy nạp có T € Sn để 1 có đúng k nghịch thế Khi đó 1 2) n n+l T Ty «+ Tạ n+l CES, oF ( ) có đúng k nghịch thế 2 n+]
b) Với k> C2, don> 3 nên C2, =k< Cả
Vi vậy, theo giả thiết quy nạp có phép thé te S, để 1 có
đúng € 3 ? ¡—k nghịch thế Khi đó xét
Trang 19: _( 1 3 nm n+l ø= thì ø có đúng k nghịch thế (n41 mow | Ví dụ 1.6 Tính f°° và g2 nếu: 1 9.8.4 f= 123 4 35 41 = 1 ° 3 Khai trién f va g thanh tich nhiing vong xich déc lap soo 6 78 9 10 10269 8 on 4 6 46971 108 2 ow i we 2 Lời giải: f=(1 3 4)(2 5 7)(6 8 10) g=(1 346 7)(2 5 9 8 10) Vì các vòng xích có mặt trong khai triển của f đều có độ dài 3 nên f = ¡d, vì vậy ° = ¡d từ đó f9 = £ “Tương tự g” = ¡d nên g!”° = ¡d, Ví dụ 1.7 Tính định thức Vandermonde | 1 1 1 1 a ay Bigs a D, = 1 2 nà n n-l n-1 n-1 n-1 ay ay Any an Lời giải:
Lay dòng thứ n-1 nhân với (-a,) rồi cộng vào dòng thứ n, lấy dòng thứ n - 3 nhân với (-a,) rồi cộng vào dòng n-1, , lấy dòng thứ nhất nhân với (-a„) rồi cộng vào dòng thứ 3, ta được:
Trang 201 1 ee 1 1
ai -ân ag-a, He 8n~- Tân 0 Dạ= | Ai(Ai-An) - A;(As-än) - An-q(AnT—An) 0 | - -2 ~> a† “(ai-ân) a3 (ag-a,) An-i(AnT-fn, 0 | 20 Khai triển theo cột n, ta được: 1 1 1 | ~ ay ay ant
Dy = (1)? May ay) fay — ay) " |
ap? ag® an? |
Hay D, =(a, -a;).-.(a, —ay_1)-Dy_) » 5 d6
D,., 14 dinh thc Vandermonde cta cac sé aj, a,.)-
Nhận xét là D, = 1, từ đó ta có:
Dạ = T[@; a):
Vi du 1.8
Cho ma tran vuéng cép n A = (a,)) ở đó a, = min(i, j) Hay tinh detA Lời giải:
Cách 1: Ta có
ar) _
Trang 22Lời giải: Khai triển định thức theo cột cuối, ta có D, = 2cosa D,., - Dy.» Dé thay D, = cosa cosa 1 8 Dy = = 2cos“a - | = cos2a 1 2cosa Gia st D,=cosia vdi moi i=1, k Ta có
Dy = 2cosa Dy, - Dy; =
= 2.cosa coska - cos(k -1)a
= (cos(k+1)a + cos(k-1)a) - cos(k-1)a = cos(k+1)a
Nhu vay D, =cosna Vi du 1.10 Hay tinh e® +e? 1 0 0 1 e°+e'° 1 An= 1 ,„ 4p #0 1 0 1 e°+e°
ở đó các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau và bằng
e?°+e"”; các phần tử trên hai đường xiên gần nhất với đường
Trang 23Tời giải: Khai triển theo cột thứ nhất, ta có: Gia su A,
Tacé A, =(e® +e%)A, | - A n-2
Trang 25Với ¡ = 0, 1, , n; còn phản tử ở cột cuối bằng Cry (cen)! ¡ nghĩa là dòng thứ nhất có dạng: (n+1)! 0,0, , Darn" » TC (n+1)! ` Do đó P(x) P@&x+U) P@&x+n) ntl d>detD=ftm— gi oe ee Pr (n+D! | P?x) PM x41) P™x+n) PQ) P™K41) P™ x 4n) Ta kí hiệu định thức ở vế phải bởi C và ma trận tương ứng n bởi #⁄ Vì đa thức P(x) = T] (+ i) nén P(x) = (n+1) !, vi vay i=0
các số hạng ở dòng cuối đều bằng (n+1) ! Để đơn giản kí hiệu
và cách viết ta đặt x¿= x+ k,k=0,1, n, 6 dong thi hai tu dưới lên của ( #'), ta có:
Trang 26Dòng thứ ba từ dưới lên của ma trận (*) cé dang
(“ z Xo †8iXg+A 2 (n+1)! 5 +RiXn tay)
Cộng vào dòng này hai dòng cuối sau khi nhân với các số ay ` ay “ep! @eD! ta nhận được dòng (n+1)! 3s (n+l)! » (n+1)! » ( 5 a 5 Sộ sung 5 XÃ J-
Trang 276 do D, la định thức Vandermonde của các số Xụ, Xị, Xụ: Để thấy D¿=_ [[@¿=x¡)=[[=Ð = To-i!= Tk k>i>0 koi i=0 Vay n(n+1) d=detD=(-1) 2 [n+1)!Ƒ.(x+n)"?, Ví dụ 1.13
Gia su A e Mat(n, K), A = (a;) 6 dé a, = 0 với mọi ¡ = 1, 2 n con aij bang 1 hoặc 2001 với ¡ # j Ching té rang néu n chin, thi det A #0
Lời giải:
Nhận xét rằng nếu ta thêm vào một phần tử a¿ nào đó của ma trận vuông Á một số chẵn, thì định thức của ma trận nhận được sẽ sai khác với định thức của ma trận Á một số chẵn Vì thế nếu ta bớt đi 2000 đơn vị ở những phần tử bằng 2001 của A,
thì tính chẫn lẻ của định thức của A không thay đổi, nghĩa là:
Trang 28nhân dòng đầu với -1 rồi cộng vào các đòng còn lại ta được: 0 1 1 1 1-1 0 0 detB=]1 0 -1 0 1 0 0 -1 Cộng vào cột thứ nhất tất cả các cột còn lại ta có: detB = (-1)"! (n-1) Vậy khi n chan thi detB la sé lé, do vay detA # 0 Vi du 1.14 Tính định thức: 11 2 1 1 CC, Ch Chat D=det| CZ Cy Gà, Có cet cel cr cal n+l 0°" 2n-2 2n-1 Tời giải:
Vì CỊ +ơj" = ce nên hiệu của mỗi phần tử với phần tử
đứng bên trái nó thì bằng phần tử đứng ngay trên nó Để tính
D, ta lấy cột thứ n trừ đi cột n-1, rồi lấy cột n-1 trừ đi cột n- 9, lấy cột thứ 2 trừ đi cột thứ nhất, ta có:
Trang 291 0 0 0 0 G1 1 „1 1 D=det} CZ Ch, Cl Ch ƠI, n-1 n2 Cn-2 Ch Ce Cấn lại làm như trên, ta có: 1 0 OF axe 0 0 €ầ$ 1 0 0 0 D=det] CZ Ơ 1 1 1
ch oe? Get Ces, crs
sau n -1 bước như vậy, ta được: 1 0 O 0 ch ot 0 0 D=det] C? Ch 1 0] =1 -1 vn-2 a3 1 P2 Cổ ,UỐI 1 Vậy D=I Vi du 1.15 Cho A= [ “sing } Hay tinh A” sing cos@ lời giải:
8 cosp -sing ) ( cosp -sing cos2p -sin2p sing cosp sing cos@ ˆ sin2p cos2p
Trang 30coskg -sinko
Giả sử: at-| }sax=k n-1
sink cosk@
A"=A"'A= i [ cos(n-1)p -sin(n-1)@ cosp -sing
sin(n-1)p cos(n 1)@ sing cos
cos(n-1)pcosp-sin(n-1)gsing -cos(n-1)@ sing- sin(n - 1)p |
sin(n - 1)@ cos@ + cos(n - 1)@ sine _ cos(n - l)@ coso - sin(n -1)9 sing cosng -sinng sinng cosn@ cosng -sinng Vậy A”= với mọi neN sinng cosno Ví dụ 1.16 0 1 í Cho A= , hay tính nnn -1 0 Lời giải: » (-L 0 5 (0-1 , (10 Ta cé A“ = , Avs , A= # ly 0 -1 1 0 0 1 ~ ma 2000 chia hét cho 4 Vay 2000 = (447500 ~ I, (1, 1a ma trận đơn vị cấp hai) Vi du 1.17
Ma tran vuông A € Mat(n, K), A= (a,) duge goi 14 ma tran phan déi xting néu aj, + a; = 0 vdi moi i, j = 1,
Trang 31
Hãy chứng mình: Tích của hai ma trận phản đối xứng A và B là một ma trận phần đối xứng khi và chỉ khi AB = -BA Tời giải: Giả sử A=(ap), B= (bị) ở đó aj +a, =0, bị + bạ =0 với mọi ¡, j = l, , n n Đặt C=A.B=(cy)i cy = 4; jx 1 D=B.A= (dụ), ` jk * Ta c6: ej = Lab <The ¡=4 kí:
Như vậy AB phân đối xứng ©@eœ„ = -œ¡, Vì, k ©e¿= -dị với mọii,k @ AB = -BA
Vĩ dụ 1.18
Trang 32Khai triển theo n dòng đầu (theo định lý Laplace), ta có đetC = detA detB (1)
Mặt khac, bién déi ma tran C bdi phép bién déi sơ cấp sau: Nhân cột thứ nhất với b,;, cột thứ hai với b,,, ., cot thit n vdi b,,
rồi cộng vào cột thứ n + j = 1, 9, n), ta được ma trận D dạng sau mà định thức của D và của € bằng nhau:
a, Ay = Ay Ay, Ay - d In
Ag) Age Bạn đại dạy « đạn
D= Aan Ans Amn Ay dhe đạn -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 OG w OO n ở đó dị, = Dandy; , nghia 1a (dij) = A B kel
Khai triển theo n cột cuối (theo định lý Laplace) ta có:
detD = det(dij) = det(A B) (2)
Từ (1) và (2) và do detC = detD nên ta có:
đet(A¿ B) = detA detB
Ví dụ 1.19
Cho X là ma trận vuông cấp n Chứng minh rang X giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp © X có dạng ^Al,„„ ở dé I, là ma trận đơn vị cấp n
Trang 33Lời giải: Nếu X= 2l, thì rõ ràng X giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp = sude lai, gid su X = (Xj) giao hoan với mọi ma trận ấp n vuông
Với i, # jo, ta ching minh x; igiy 7 Muốn vậy chọn A = (a,) trong đó a,, Joo =1 còn các phần tử khác đều bằng không Phần tử đồng i¿ cột jạ của ma tran XA bằng x, còn phần tử ở dòng iụ Nolo
cột j„ của AX là 0 Từ điều kiện AX = XA suy ra x¡, =0 Như todo ay 0 X= He 0A, Cho ma train A = (a,) 6 d6.a, = 1 véi moi i, j Khi dé phan tt ở dòng ¡ cột j của ma trận XA là 2,, còn phần tử ở dòng ï cột j vay X co dang: của ma trận AX la 4; nén A, =A, Vi vay: X=AI, Vi du 1.20 Cho ma tran cap n: ab b ba b A= b b a
a) Chung minh detA = (a-b)""! (a + (n-1)b)
b) Trong trudng hgp detA # 0 Hãy tính ma trận nghịch đảo Ä'! của ma tran A
Trang 34Loi giải: a) Cong các dòng vào dòng thứ nhất rồi rút a +(n-1)b ở dòng đầu, ta được: 1 1 1 ba b detA = (a + (n-1)b) x b b a Lấy dòng đầu của định thức trên nhân với -b rồi cộng vào các đòng sau, ta có: 1 0 0 O a-b 0 detA = (a +(n-1)b) x 00 a-b detA = (a + (n-1)b) (a-b)""', b) A khả nghịch © detA #0 @ a#b vã a + (n-1)b # 0 Gọi B = (bụ) là ma trận nghịch đảo của A = (a,) \
Du: biết sẽ 1 xu: T 5
Trang 35a+(n-3)b
(a+(n=1)b).(a=b)ˆ
Với i#j thì A¿j= c1}? M,, ở đó MỤ, là định thức cấp n-1,
có được bằng cách xóa dòng thứ ¡ và cột thứ j của ma trận A Do
A đổi xứng nên A, = Aj Gia str rằng ¡ < j, khi đó cột thứ ¡ va
dòng thứ j-1 của My gồm toàn những phần tử b Nếu đổi chỗ đồng j - 1 lên trên dòng đầu (giữ nguyên các dòng khác), rồi lại
Trang 3612345678 a) 813675 4 2 123465 6 b) ề 651243
1.8 Tìm số tất cả các phép thé o e 8„ sao cho ơ() # ¡ với moi i = 1, 3, n Chứng tỏ rằng khi n chăn, số các phép thế đạng trên là một số lẻ
1.4 Kí hiệu (n, k) là số các hoán vị của 1, 2 n có đúng k nghịch thế Chứng mình công thức truy hồi sau:
(nt1, k) =(n, k) + (n, k~1) + + (n, k-n)
với quy ước (n, j) = 0 nếu j<0 hoặc j> Cả
1.5 Ta gọi độ giảm của phép thế f là hiệu của số các phần tử không bất động (nghĩa là số các phần tử ¡ mà f() # i) và số các vòng xích độ đài lớn hơn 1 trong phân tích của f thành tích các vòng xích độc lập
a) Chứng minh f có cùng tính chất chăn lẻ với độ giảm của nó b) Chứng minh rằng số tối thiểu các nhân tử trong phân tích của f thành tích các chuyển trí bằng độ giảm của f
1.6 Đối với hai số x và n nguyên, n # 0, ta kí hiệu ríx, n) là số dư khi chia x cho n: 0 < ríx, n) <n Chứng mình rằng nếu n> 2 và a là số nguyên, nguyên tố đối với n, thì tương ứng kh>r(ak, n) là một phần tử của S„„ k e ƒ1 n-]1
1.7 Chứng minh rằng mỗi phép thế cấp k > 1, đều phân
tích được thành tích những chuyển trí dạng (1, j) với ¡ = 1, 2
Trang 37
1.8 Xác định dấu của các phép thế sau: [; 2 n n+l n+2 2n Qn+l 3n a) + 3) 6 ản 2 5 bn-1 1 ¬ (1 2 n n+l n+3 2n bị : (23 4 2n 1 3 2n-1 1.9 Chứng minh rằng: a) Định thức cấp ba mà các phần tử bằng +1 hoặc -1 là một số chân, b) Định thức ấy lớn nhất là 4 e) Định thức cấp ba mà các phần tử là 1 hoặc 0 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 1.10 Tính định thức cấp 2n D= det(d,), với i=j a ở đó dụ= 4b với i+j=2n+l QO i#j va i+j #2n4+1 1< i,j <2n
1,11, Cho A = (a,) là ma trận cấp n, a, e R Chứng minh rằng detA không thay đổi, nếu các phần tử a¿ mà ¡ + j lẻ được thay bởi số đối của nó
1.12 Chứng tỏ các định thức sau đây bằng không:
1 cosa cos2a cosäœ j cosa cos2a cos3a cos4œ
a
cos2a cos3a cos4œ cosðœ cos3a cosda cosSa cos6a
Trang 3838
a,-b, ay-by a,-b,
Trang 391.16 Hãy tính định thức sau: 2 1+x” x 0 vụ 0 x 1+x? x ais 0 a) D,= 0 x 1+x? 3 “ es x 0 0 we X 1*x?
nghĩa là: Dn là định thức cấp n mà các phần tử trên đường chéo chinh bang 1 + x’, các phần tử thuộc hai đường chéo gần đường chéo chính bằng x, các phần tử còn lại bằng 0 9ø 10 0 |1 31.0 3 0 b9 12 - a oe 4 1 00012
1.17 Cho da thtte P(x) = (x - ay)(x - a2) (x - a,)
Trang 40Hay chung minh det J # 0 Hay tinh ma tran AJ tu dé suy