Bài tập Đại số tuyến tính - Đại học Sư phạm Hà Nội

Đại số tuyến tính Chương Bài tập 0.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ BÀI TẬP 1) Cho A, B, C ba tập hợp tùy ý Chứng minh rằng: a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c) A \ (A \ B) = A ∩ B d) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C e) A ∪ (B \ A) = A ∪ B f) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) g) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 2) Cho E, F hai tập hợp Biết A ⊂ E, B ⊂ F, chứng minh A × B ⊂ E × F 3) Chứng minh rằng: a) A ∩ B ̸= ∅ ⇔ (A × B) ∩ (B × A) ̸= ∅ CHƯƠNG BÀI TậP b) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) 4) Cho A, B, C tập tập hợp E Chứng minh B = C A ∩ B = A ∩ C A ∪ B = A ∪ C 5) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ X Chứng minh a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) Hãy ví dụ không xảy dấu "=" 6) Cho ánh xạ f : X → Y, A ⊂ Y, B ⊂ Y Chứng minh a) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) b) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) c) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B) 7) Cho f : X → Y g : Y → Z ánh xạ tập hợp Gọi A tập X C tập Z Chứng minh rằng: a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A) b) (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)) 8) Cho ánh xạ f : R \ {0} → R công thức f (x) = x3 + Hãy tìm f −1 (3), Imf f −1 ([0, 1]) 1 +x+ x x 9) Cho ánh xạ f : R\{0} → R, g : R → R công thức f (x) = x+ x x g(x) = Hãy tìm Imf, Img Im(g ◦ f ) + x2 10) Cho A tập tập ( hợp E Ta định nghĩa hàm đặc trưng x ̸∈ A f tập A sau: f (x) = Chứng minh x ∈ A hàm sau hàm đạc trưng tập hợp đó: a) − f, 0.1 TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ b) f g f + g − f g với g hàm đặc trưng tập B E f g 11) Cho X −→ Y −→ X ánh xạ tập hợp thỏa mãn g ◦ f = Id Chứng minh f đơn ánh g toàn ánh 12) Cho ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z Gọi h = g ◦ f hàm hợp Chứng minh a) Nếu h tồn ánh g tồn ánh b) Nếu h đơn ánh f đơn ánh c) Hãy ví dụ chứng tỏ kết luận ngược lại a) b) không 13) Cho ánh xạ f1 , f2 : X → Y, g : Y → Z Chứng minh rằng: a) Nếu g đơn ánh g ◦ f1 = g ◦ f2 f1 = f2 b) Nếu với f1 , f2 mà từ g ◦ f1 = g ◦ f2 ta suy f1 = f2 , g đơn ánh c) Hãy ví dụ chứng tỏ kết luận ngược lại a) b) không 14) Cho tập hợp A gồm n phần tử tập hợp B gồm m phần tử a) Có ánh xạ f : A → B b) Có đơn ánh g : A → B c) Có tồn ánh h : A → B 15) a) Tồn hay không song ánh f : N → Z? b) Cho < n ∈ N cố định Tồn hay không song ánh g : N → N × {1, 2, , n}? c) Tồn hay không song ánh h : N → N × N? d) Tồn hay không song ánh p : N → Q? 16) Cho a < b hai số thực Khi chứng minh tập sau có CHƯƠNG BÀI TậP lực lượng: (a, b), [a, b], (a, b], R+ , R 17) Chứng minh tập hợp Q \ {0} với phép nhân hai số hữu tỷ lập thành nhóm Nhóm có giao hốn khơng? 18) Cho X tập hợp Chứng minh tập hợp Bij(X) gồm song ánh từ X vào với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm Hãy nhóm khơng giao hốn X có nhiều phần tử 19) Cho G nhóm H tập G Chứng minh H nhóm G H thỏa mãn điều kiện sau: a) H ̸= ∅ b) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H 20) Cho G nhóm với nhóm H1 , H2 ⊂ G Chứng minh H1 ∪ H2 nhóm G kho H1 ⊂ H2 H2 ⊂ H1 21) Cho G nhóm abel hữu hạn có n phần tử Chứng minh với g ∈ G, ta có g n = 22) Chứng minh tập số nguyên với phép toán cộng nhân hai số nguyên vành 23) Chứng minh tập đa thức với phép toán cộng nhân hai đa thức vành √ √ 24) Chứng √ √ minh Q( 2) := {a + b : a, b ∈ Q} trường ̸∈ Q( 2) 25) Cho K trường hữu hạn Với n ∈ N a ∈ K, ta kí hiệu: na = a + a + + a tổng n lần a 0.1 TậP HợP - QUAN Hệ - ÁNH Xạ a) Chứng minh tồn số nguyên dương n cho na = với a ∈ K b) Chọn số n nguyên dương nhỏ tỏa mãn (a), chứng minh n số nguyên tố Số n gọi đặc số trường K CHƯƠNG BÀI TậP Chương Không gian vectơ 1.1 Không gian vectơ BÀI TẬP 1) Chứng minh R, C Q− không gian vectơ 2) Cho a < b hai số thực Xét xem tập hợp sau tập hợp không gian vectơ R với phép cộng phép nhân (với số thực) thông thường a) Tập ánh xạ từ [a, b] vào R b) Tập L[a, b] hàm thực khả tích [a, b] c) Tập C ∞ (a, b) hàm thực khả vi vô hạn lần d) Tập hàm thực bị chặn [a, b] e) Tập hàm thực không bị chặn [a, b] f) Tập hàm thực f thoả mãn f (a) = g) Tập hàm thực f thoả mãn f (a) = c với c số thực cho trước h) Tập hàm thực đơn điệu tăng [a, b] 10 CHƯƠNG KHƠNG GIAN VECTơ 3) Kí hiệu R+ tập số thực dương Chứng tỏ tập hợp lập thành không gian véctơ thực với hai phép toán định nghĩa sau: Với x, y ∈ R+ k ∈ R a) Phép cộng x + y := xy (phép nhân thông thường) b) Phép nhân k · x := xk 4) Trong R2 cho hai tập E = {(x, y) | 2x + 3y = 0} F = {(x, y) | 5x − 4y + = 0} Hãy tập E với phép cộng phép nhân với số thực thông thường không gian vectơ F khơng 5) Cho E khơng gian vectơ thực Xét tập E × E = {(x, y) | x, y ∈ E} Hãy tập E × E khơng gian vectơ phức với phép toán sau: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (a + ib)(x, y) = (ax − by, ay + bx) với a, b ∈ R 6) Cho V = K × K với phép toán xác định sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k · (a, b) = (ka, 0) Chứng tỏ V không khơng gian véctơ Từ suy tiên đề bỏ 7) Hãy tiên đề thay tiên đề sau: Phương trình λ · x = λ = x = 1.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính BÀI TẬP 2.4 KHÔNG GIAN VÉCTơ ĐốI NGẫU 27 13) Ta gọi phép chiếu không gian véctơ V tự đồng cấu P V thoả mãn P = P Trong không gian véctơ V xét m phép chiếu Pi (i = 1, · · · , m) cho ImPi = W (i = 1, · · · , m) với W không gian véctơ cố định V Gọi λi (i = 1, · · · , m) phần tử thuộc K Chứng minh rằng: P P a) Nếu i λi ̸= Im i λi Pi = W P P b) i λi Pi phép chiếu khác V i λi = 2.4 Không gian véctơ đối ngẫu BÀI TẬP 1) Cho S = {⃗x1 , ⃗x2 , · · · , ⃗xn } sở V T = {⃗y1 , ⃗y2 , · · · , ⃗ym } sở W Gọi e(ij ánh xạ tuyến tính từ V vào W xác định ⃗yi k = j công thức eij (⃗xk ) = Chứng minh hệ véctơ k ̸= j {eij } (1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) lập thành sở Hom(V, W ) 2) Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều f1 , f2 , · · · , fn sở V ∗ Chứng minh chọn sở ⃗e1 , ⃗e2 , · · · , ⃗en V để fi = ⃗e∗i với i = 1, · · · , n 3) Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai khơng gian véctơ hữu hạn chiều Chứng minh rằng: a) f đơn cấu f ∗ toàn cấu b) f toàn cấu f ∗ đơn cấu c) f đẳng cấu f ∗ đẳng cấu 4) Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai không gian véctơ hữu hạn chiều Chứng minh rằng: hạng(f ) = hạng(f ∗ ) 28 CHƯƠNG MA TRậN VÀ ÁNH Xạ TUYếN TÍNH 5) Cho V W hai không gian véctơ φ ∈ Hom(V, W ) Chứng minh ánh xạ φ∗ : W ∗ → V ∗ cho φ∗ (f ) = f ◦ φ ánh xạ tuyến tính Hơn φ đơn ánh (tương ứng toàn ánh) φ∗ đơn ánh (tương ứng toàn ánh) 6) Cho V, W hai không gian véctơ hữu hạn chiều f ∈Hom(V, W ) Chứng minh hạng(f ) = hạng(f ∗ ) 7) Cho V không gian véctơ chiều n f1 , f2 , · · · , fm dạng độc lập tuyến tính V ∗ Chứng minh dim(Kerf1 ∩ · · · ∩ Kerfm ) = n − m BÀI TẬP 1) Giải hệ phương trình sau:    x1 + 3x2 + 4x3 =  x1 − x2 + 5x3 = x1 − 2x2 + x3 = b) x1 + x2 − 3x3 = a)   x1 + x2 + 2x3 = 2x1 − 3x2 + x3 =     3x1 − 2x2 + 3x3 =  3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 =  2x1 + 2x3 − x4 = x1 + x2 − x3 − 3x4 = c) d) x2 + x3 + x4 =    2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = −1  x1 − x3 + 2x4 = −3  2x1 − x2 − x3 + 3x4 = −1    −2x1 − 2x2 + x3 + 12x4 = 10 e) 4x1 − x2 − 2x3 + x4 =    −6x1 + x2 + 3x3 + x4 = 2) Giải biện luận hệ phương trình sau:    x1 + ax2 + x3 =  ax1 + ax2 + ax3 = a x1 + x2 + ax3 = x1 + ax2 + ax3 = b) a)   x1 + x2 + ax3 = ax1 + x2 + x3 = a 2.4 KHÔNG GIAN VÉCTơ ĐốI NGẫU 29   ax1 + x2 =    x1 + x2 + x3 =  x1 + ax2 + x3 = ax1 + bx2 + cx3 = c) d) x2 + ax3 + x4 =    a x + b2 x + c x =  x3 + ax4 = 3) Giải hệ phương trình :   x1 + x2 + x3 + x4 =   x1 + 2x2 + 3x3 =     x2 + x3 + x4 + x5 =     2x   + 3x3 + 4x4 =   x3 + x4 + x5 + x6 =       3x3 + 4x4 + 5x5 = 12 ····················· ····················· b) a) x998 + x999 + x1000 + x1001 =     98x98 + 99x99 + 100x100 = 297     x999 + x1000 + x1001 + x1 =     99x99 + 100x100 + x1 = 200     x1000 + x1001 + x1 + x2 =    100x100 + x1 + 2x2 = 103  x1001 + x1 + x2 + x3 = 4) Tìm số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình sau:   3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 =    x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5 =  x1 − x2 + 2x3 − x4 = x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = b) a) −3x2 + x3 + x4 + 2x5 =    2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5 =  x1 − x3 + 4x4 − 3x5 = 5) Tìm hệ nghiệm nghiệm riêng sau:      x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5 =  x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = b) a)    2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5 =  hệ phương trình 3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 = x1 − x2 + 2x3 − x4 = −3x2 + x3 + x4 + 2x5 = −2 x1 − x3 + 4x4 − 3x5 = 6) Cho hệ phương trình tuyến tính   a11 x1 · · · + a1n xn = b1 ············  an1 x1 · · · + ann xn = bn aij , bk ∈ Z Tìm điều kiện aij để hệ phương trình có nghiệm ngun với bk ∈ Z 30 CHƯƠNG MA TRậN VÀ ÁNH Xạ TUYếN TÍNH  ax1 + bx2 + bx3 + · · · + bxn =      cx1 + ax2 + bx3 + · · · + bxn = cx1 + cx2 + ax3 + · · · + bxn = 7) Cho hệ phương trình sau   ······························    cx1 + cx2 + cx3 + · · · + axn = Tìm điều kiện a, b, c để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường 8) Cho hệ phương trình Ax = b, A ∈Mat(n; Q) b ∈ Qn Chứng minh hệ cho có nghiệm ln có nghiệm hữu tỉ 9) Cho hệ phương trình tuyến tính   a11 x1 · · · + a1n xn = b1 ············ (aij , bi ∈ R)  am1 x1 · · · + amn xn = bm Tìm điều kiện hạng ma trận A = (aij ) cho hệ phương trình có nghiệm với bi ∈ R  λ   λ     10) Cho ma trận A =   với λ ̸= Sử dụng hệ phương    λ 1 λ −1 trình để tìm A  Chương Cấu trúc tự đồng cấu 3.1 Không gian riêng tự đồng cấu tuyến tính BÀI TẬP 1) Tìm giá trị riêng véctơ riêng ánh xạ tuyến tính ma trận sau:      −3 −3 a) A = 6 −6 −4 b) B = 2 8 c) C = 2 −1 −5 −3 có  1 2) Tìm giá trị riêng véctơ riêng tự đồng cấu tuyến tính f R3 cho biểu thức sau: a) f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − 2x3 ; 5x1 + 3x2 − 3x3 ; −x1 + 2x2 ) b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ; x1 + x2 + x3 ; −2x1 + x2 + x3 ) Với trường hợp trên, không gian bất biến chiều f 3) Chứng minh véctơ khác ⃗0 véctơ riêng tự đồng cấu φ φ = k · id (k ∈ K) 31 32 CHƯƠNG CấU TRÚC CủA MộT Tự ĐồNG CấU 4) Cho tự đẳng cấu ψ K-không gian véctơ V Chứng minh λ giá trị riêng ψ λ−1 giá trị riêng ψ −1 5) Chứng tỏ giao tổng không gian bất biến không gian bất biến 6) Cho φ, ψ hai tự đồng cấu không gian véctơ V giao hoán với Chứng minh W khơng gian bất biến φ ψ(W ) không gian bất biến φ Hãy cụ thể trường hợp W Kerψ Imψ 7) Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f, g không gian véctơ Chứng minh f ◦ g g ◦ f có tập giá trị riêng  8) Cho ma trận A = −2 100 ma trận A −2  0 Tìm giá trị riêng véctơ riêng 9) Giả sử f tự đồng cấu tuyến tính khơng gian véctơ V Giả sử U = U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Um tổng trực tiếp không gian véctơ bất biến φ Chứng minh φ(U ) = φ(U1 ) ⊕ φ(U2 ) ⊕ · · · ⊕ φ(Um ) 10) Cho f tự đồng cấu Kn có n giá trị riêng phân biệt Tìm số khơng gian bất biến f 3.2 Tự đồng cấu chéo hoá BÀI TẬP 1) Tìm giá trị riêng véctơ riêng tự đồng cấu sau không gian R3 tự đồng cấu có chéo hóa không? a) f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x2 − x3 , 2x2 + 4x3 ) 3.3 Tự ĐồNG CấU LUỹ LINH 33 b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 − 2x3 , x1 − 2x2 + x3 , 2x1 − x2 − x3 )  ′  x1 = 2x1 + x2 + x3 x′ = x1 + 2x2 + x3 c) f có biểu thức tọa độ :  ′2 x3 = x1 + x2 + 2x3 2) Trong ma trận sau ma trận chéo hóa được?       −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1     a) −1 −1 b) −1 c)  −1 −1 −1 −1 −1 6 −2 −1 −1 −1 3) Cho ma trận   −3 −4 2 A= 2 −1 Chứng minh A ma trận chéo hóa Tìm ma trận khả nghịch C cho C −1 · A · C ma trận chéo 4) Cho k ma trận thực vuông A1 , · · · Ak giao hoán với ma trận chéo hóa Chứng minh tồn ma trận khả nghịch C cho C −1 · Ai · C ma trận chéo với i 3.3 Tự đồng cấu luỹ linh BÀI TẬP 1) Cho ma trận   −1 A =  −1 −3 Chứng minh A ma trận lũy linh đưa A dạng tắc 2) Chứng minh ma trận lũy linh khác khơng chéo hóa 34 CHƯƠNG CấU TRÚC CủA MộT Tự ĐồNG CấU 3) Cho A ma trận vuông phức Chứng minh A ma trận lũy linh giá trị riêng A 4) Cho f tự đồng cấu lũy linh K−không gian véctơ n chiều Chứng minh rằng: a) Mọi giá trị riêng f b) Bậc lũy linh f không lớn n 5) Cho A ma trân vuông lũy linh Chứng minh I − A I + A ma trận khả nghịch 3.4 Ma trận chuẩn Jordan tự đồng cấu BÀI TẬP 1) Tìm dạng chuẩn tắc Jordan    −15    b) −2 a) 1 −5 −6 −1 2) Tìm dạng chuẩn  −2 a)  2 −2 ma trận sau:    −3 −3 −6 13 (c) 4 −7 8 −4 −7 tắc Jordan ma trận sau:    0 a 0  0 b) 0 a 0 , a ̸= 0 1 a a −1 −1 −1 3) Tỡm dng chun Jordan că ua ma trn A tha mãn A2 = A 3.5 Định lý Cayley-Hamilton, đa thức cực tiểu BÀI TẬP 3.5 ĐịNH LÝ CAYLEY-HAMILTON, ĐA THứC CựC TIểU 35 1) Trong Mat(n × n, C) ta xét hai ma trận A B khơng có giá trị riêng chung a) Cho PA đa thức đặc trưng A Chứng minh PA (B) ma trận khả nghịch b) Cho M ∈ Mat(n × n, C) thỏa mãn AM = M B i) Chứng minh với k số nguyên dương, ta có Ak M = MB k ii) Từ suy M PA (B) = iii) Chứng minh M ma trận không c) Xét tự đẳng cấu f Mat(n × n, C) định nghĩa f (M ) = AM − M B Chứng minh f tự đẳng cấu Mat(n × n, C) 2) Cho A ma trận vuông cấp n với hệ số K (K R C), PA đa thức đặc trưng A P đa thức K[X] a) Chứng minh PA P khơng ngun tố P (A) không khả nghịch b) Chứng minh đa thức PA P nguyên tố nhau, P (A) khả nghịch c) Xét ma trận A sau   0 A = 0 −1 1 −1 Các ma trận A, A2 + A A2 − A có khả nghịch không? 3) Cho E K−không gian véc tơ chiều n (∞ > n ≥ 1, K R C), f tự đồng cấu E Pf (X) đa thức đặc trưng f Ký hiệu P (X) ước bất khả quy Pf (X) r số nguyên lớn cho P r chia hết P R đa thức thỏa mãn Pf = P r R a) Cho Pmin,f đa thức tối tiểu f Chứng minh tồn số nguyên s với ≤ s ≤ r đa thức S chia hết R thỏa mãn Pmin,f = P s S b) Chứng minh bao hàm sau Ker(P s (f )) ⊂ Ker(P r (f )), Ker(S(f )) ⊂ Ker(R(f )) 36 CHƯƠNG CấU TRÚC CủA MộT Tự ĐồNG CấU c) Chứng minh đẳng thức sau Ker(P s (f )) = Ker(P r (f )), Ker(S(f )) = Ker(R(f )) d) Chứng minh s số nguyên k nhỏ thỏa mãn Ker(P k (f )) = Ker(P r (f )) 3.6 Thuật tốn tìm sở để ma trận có dạng chuẩn Chương Khơng gian véctơ Euclid 4.1 Tích vơ hướng khơng gian véctơ Euclid BÀI TẬP 1) Xét không gian véctơ R3 với sở {⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 } Trong dạng song tuyến tính xác định sau dạng song tuyến tính tích vơ hướng? a) φ(x1⃗e1 + x2⃗e2 + x3⃗e3 , y1⃗e1 + y2⃗e2 + y3⃗e3 ) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 b) ψ(x1⃗e1 + x2⃗e2 + x3⃗e3 , y1⃗e1 + y2⃗e2 + y3⃗e3 ) = x1 y1 − 2x1 y2 + 5x3 y3 c) µ(x1⃗e1 + x2⃗e2 + x3⃗e3 , y1⃗e1 + y2⃗e2 + y3⃗e3 ) = 5x1 y1 − 2x1 y2 − 4x2 y3 + 3x2 y2 + x3 y3 d) φ(x1⃗e1 + x2⃗e2 + x3⃗e3 , y1⃗e1 + y2⃗e2 + y3⃗e3 ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 + x1 y3 + x2 y1 + x3 y2 ) 2) Chứng tỏ không gian véctơ R2 với dạng song tuyến tính φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x2 y2 không gian Euclid Hãy tìm sở trực chuẩn 37 38 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉCTơ EUCLID 3) Chứng tỏ không gian véctơ R3 với dạng song tuyến tính φ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 +x2 y2 +x3 y3 + (x1 y2 +x2 y3 +x3 y1 + x1 y3 + x2 y1 + x3 y2 ) khơng gian Euclid Hãy tìm sở trực chuẩn 4) Cho a, b, c, d ∈ R Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d để không gian véctơ R2 với dạng song tuyến tính φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 không gian Euclid 5) Chứng tỏ không gian C[a, b] hàm số thực liên tục đoạn [a, b] lập thành khơng gian Euclid vơ hạn chiều với tích vơ hướng Rb ⟨f, g⟩ = a f (t)g(t)dt 6) Cho V1 , V2 hai không gian véctơ không gian Euclid hữu hạn chiều thỏa mãn dim V1 < dim V2 Chứng minh V2 ta tìm véctơ khác ⃗0 trực giao với V1 7) Cho E không gian Euclid hữu hạn chiều ⃗e1 , ⃗e2 , · · · , ⃗em hệ véctơ trực chuẩn P a) Chứng minh với ⃗v ∈ E ta có m v , ⃗ei ⟩2 ≤ ⟨⃗v , ⃗v ⟩2 i=1 ⟨⃗ b) ChứngPtỏ ⃗e1 , ⃗e2 , · · · , ⃗em sở E với ⃗v ∈ E ta có m v , ⃗ei ⟩2 = ⟨⃗v , ⃗v ⟩2 i=1 ⟨⃗ 8) Cho E1 , E2 hai không gian không gian Euclid hữu hạn chiều Chứng minh (E1 + E2 )⊥ = E1⊥ ∩ E2⊥ (E1 ∩ E2 )⊥ = E1⊥ + E2⊥ 9) Hãy xác định Kerf ⊥ Imf ⊥ tự đồng cấu không gian Euclid R3 có ma trận sau: 4.2 ÁNH Xạ TUYếN TÍNH TRựC GIAO  a) A = 6 −3 −6 −5   −3 −4 b) B = 2 −3 39   8 c) C = 2 −1  1 10) Tìm Kerf ⊥ Imf ⊥ ánh xạ tuyến tính khơng gian véctơ Euclid f : R3 → R4 có biểu thức sau: a) f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +x2 −2x3 ; 5x1 +3x2 −3x3 ; 7x1 +4x2 −5x3 ; −3x1 − 2x2 + x3 ) b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ; x1 + x2 + x3 ; −2x1 + x2 + x3 ; 0) 11) Trong không gian Euclid R3 , trực chuẩn hóa Gram - Schmidt sở sau a) {⃗e1 = (1; 1; 0); ⃗e2 = (0; 1; 1); ⃗e3 = (1; 0; 1)} b) {⃗e1 = (−1; 1; 2); ⃗e2 = (3; −1; 1); ⃗e3 = (1; 0; −1)} c) {⃗e1 = (1; 2; 0); ⃗e2 = (−2; 0; 1); ⃗e3 = (1; −1; 1)} 4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao BÀI TẬP 1) Cho E1 không gian không gian Euclid E Chứng tỏ hạn chế ánh xạ đẳng cự từ E vào F E1 ánh xạ đẳng cự 2) Cho E F hai không gian Euclid hữu hạn chiều Tìm điều kiện cần đủ để có ánh xạ đẳng cự từ E vào F 3) Cho E1 không gian không gian Euclid E Chứng tỏ ánh xạ đẳng cự từ E1 vào E mở rộng thành ánh xạ đẳng cự từ E vào E 4) Hãy tìm ví dụ chứng tỏ có ánh xạ từ khơng gian Euclid E vào bảo tồn độ dài véctơ không ánh xạ đẳng cự 40 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉCTơ EUCLID 5) Cho f ánh xạ đẳng cự từ không gian Euclid E chiều n vào Chứng minh tồn αij ∈ R; i, j = 1, · · · n cho ma trận f sở trực chuẩn có dạng  cos α11 cos α12  cosα21 cos α22 A=  cosαn1 cos αn2 4.3  cos α1n cos α2n    cos αnn Vài nét không gian unita BÀI TẬP 1) Chứng tỏ không gian véctơ C2 với φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + 2x1 y2 + 3x2 y2 khơng gian unita Hãy tìm sở trực chuẩn 2) Tìm sở trực chuẩn không gian không gian unita C3 sinh u1 = (1; i; i) u2 = (i, 1, 0) 3) Chứng minh khơng gian unita U ta có   ⟨x, y⟩ = | x + y |2 − | x − y |2 +i | x + iy |2 −i | x − iy |2 4) Chứng minh khơng gian Euclid (hay unita) ta có | ⟨x, y⟩ |=| x | | y | x, y phụ thuộc tuyến tính 5) Chứng minh F không gian hữu hạn chiều khơng gian Euclid (unita) V (F ⊥ )⊥ = V V = F ⊥ ⊕ F 4.4 DạNG TỒN PHươNG 4.4 41 Dạng tồn phương BÀI TẬP 1) Tìm k để dạng tồn phương sau xác định dương a) x21 + x22 + kx23 + 2x1 x2 − 4x1 x3 − 2x2 x3 b) 2x21 + x22 + x23 + 2kx1 x2 + 2x1 x3 c) x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1 x2 − 4kx1 x3 − 6x2 x3 2) Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc a) x21 + x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 b) x1 x2 + x1 x3 + x3 x1 c) x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 3) Cho dạng toàn phương 2 H = f12 + f22 + + fp2 − fp+1 − − fp+q , fi dạng tuyến tính thực biến x1 , x2 , , xn Chứng minh số quán tính dương H không vượt p số qn tính âm khơng vượt q q 4) Tìm tất tham số λ dạng toàn phương sau xác định dương a) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 b) x21 + 4x22 + x23 + 2λx1 x2 + 10x1 x3 + 6x2 x3 5) Chứng minh đưa dạng tồn phương H K dạng phép biến đổi tuyến tính (khơng thiết khả nghịch) dạng tương đương