Đang tải... (xem toàn văn)
1 Trong các bài tập dưới đây, người ta cho một tập các phần tử gọi là vector, hai phép toán cộng vector và nhân một số với vectora. Hãy xác định tập nào là không gian vector và nếu có tậ[r]
(1)Bài tập chương 1
1 Thực phép nhân ma trận a
3 1 2
1 −1
2 −1
1
b "
2 −2
5 −1
#
4
5 −3
1 " a b c d # c x y z h
x y zi d.hx y zi
x y z e " x x #n
2 Chứng minh nếuAB=B Athì
a.(A+B)2=A2+2AB+B2 b A2−B2=(A+B)(A−B)
3 Tìm f(A)với
f(x)=x2−5x+3, A=
"
2 −1
−3
#
4 Tìm tất ma trận cấp hai có bình phương ma trận đơn vị
5 Cho ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a b c d a0 b0 c0 d0 a00 b00 c00 d00 a000 b000 c000 d000
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=∆ Tính định thức sau
a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b c d a b0 c0 d0 a0 b00 c00 d00 a00 b000 c000 d000 a000
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
d c b a d0 c0 b0 a0 d00 c00 b00 a00 d000 c000 b000 a000
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
6 Biết số204, 527, 255chia hết cho17 Hãy chứng minh định thức
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2 5
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ chia hết cho17
7 Sử dụng tính chất định thức, chứng minh a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a1+b1x a1−b1x c1
a2+b2x a2−b2x c2
a3+b3x a3−b3x c3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=2x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 x y z
x z y y z x z y x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 1
1 z2 y2
1 z2 x2
1 y2 x2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
8 Tính định thức sau a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
logab
1 logba
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a c+d i c−d i b
(2)c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 i 1+i
−1
1−i
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
cos(a−b) cos(b−c) cos(c−a) cos(a+b) cos(b+c) cos(c+a) sin(a+b) sin(b+c) sin(c+a)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Tính định thức sau
a.D1=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5
2 −1
−5 −7 −3 −2 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b.D2=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
x 1
1 x 1
1 x
1 1 x
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
c.D3=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 x1 x12 x31 x2 x22 x32 x3 x32 x33 x4 x42 x34
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
10 Tính định thức sau cách khai triển theo dịng cột thích hợp a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 −1 −1
0 −1 −1
a b c d
−1 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2 1 x
1 y
1 z
1 1 t
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 11 Giải phương trình
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 x x2 x3
1
1 27
1 16 64
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =0
12 ChoAlà ma trận vuông cấpn
a Chodet(A)=3, tínhdet(A2), det(A3)
b Cho biếtAkhả nghịch vàdet(A)=4, tínhdet(A−1)
c Chodet(A)=5vàB2=A, tínhdet(B)
d Chodet(A)=10, tínhdet(ATA)
13 Tìm hạng ma trận sau a.A=
2 −1 −24
4 −2
2 −1
b.A=
1 −1
2 −1 −3
5 −1
7
14 Xác định hạng ma trận sau theoλ∈R a.A=
3 λ
1
1 10 17
4 3
b.A=
−1 −1
λ −1 −1 −1
1 λ 1
1 2 −1
c.B=
1 λ −1
2 −1 λ
1 10 −6
(3)15 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau a.A=
1 −3
0
0
b.B=
1 −1
−1 2 −3
c.C=
2 0
3 0
1
2 −1
16 Giải phương trìnhAX =B ẩn ma trậnX, với A=
1 −1
−1
−2
, B=
1 1 −1
1 2
1 −2
17 Tìm ma trậnX thỏa mãn phương trình X
1 −1
2
1 −1
=
1 −1
4
1 −2
18 Tìm ma trậnX đểAX =B vàY đểY AT =B với
a A=
"
1
−1
#
, B=
"
1
−1
#
b A=
1 −3
3 −4
2 −1
, B=
1 −3
10
10
19 Chứng minh nếuAlà ma trận vng thỏa A2−3A+I=0thìA−1=3I−A
(4)Bài tập chương 2
1 Trong tập đây, người ta cho tập phần tử gọi vector, hai phép toán cộng vector nhân số với vector Hãy xác định tập khơng gian vector có tập khơng khơng gian vector tiên đề mà tập khơng thỏa
a Tập tất ba(x,y,z)∈R3với phép toán
(x,y,z)+(x0,y0,z0)=(x+x0,y+y0,z+z0)
k(x,y,z)=(k x,y,z)
b Tập ba(x,y,z)∈R3với phép toán
(x,y,z)+(x0,y0,z0)=(x+x0,y+y0,z+z0)
k(x,y,z)=(0, 0, 0)
c Tập cặp số thực(x,y)với phép toán (x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0)
k(x,y)=(2k x, 2k y)
d Tập số thựcxvới phép tốn cộng nhân thơng thường
e Tập cặp số thực có dạng(x,y)trong đóx≥0với phép tốn thơng thường
R2
f Tập cặp số thực(x,y)với phép toán (x,y)+(x0,y0)=(x+x0+1,y+y0+1)
k(x,y)=(k x,k y)
2 Mỗi tập có khơng gian không gian vectorR3hay không a Tập tất vector có dạng(a, 0, 0)?
b Tập tất vector có dạng(a, 1, 1)?
c Tập tất vector có dạng(a,b,c)vớib=a+c?
d Tập tất vector có dạng(a,b,c)vớib=a+c+1?
3 Mỗi họ vector có sinh raR3hay khơng? a v1=(1, 1, 1), v2=(2, 2, 0), v3=(3, 0, 0)
b v1=(2,−1, 3), v2=(4, 1, 2), v3=(8,−1, 8)
c v1=(3, 1, 4), v2=(2,−3, 5), v3=(5,−2, 9), v4=(1, 4,−1)
(5)4 Hãy biểu diễn vectorxthành tổ hợp tuyến tính củau,v,w
a x=(7,−2, 15); u=(2, 3, 5); v=(3, 7, 8); w=(1,−6, 1)
b x=(0, 0, 0); u=(2, 3, 5); v=(3, 7, 8); w=(1,−6, 1)
c x=(1, 4,−7, 7); u=(4, 1, 3,−2); v=(1, 2,−3, 2); w=(16, 9, 1,−3)
d x=(0, 0, 0, 0); u=(4, 1, 3,−2); v=(1, 2,−3, 2); w=(16, 9, 1,−3)
5 Xác địnhλsao choxlà tổ hợp tuyến tính củau,v,w
a u=(2, 3, 5),v=(3, 7, 8),w=(1,−6, 1),x=(7,−2,λ)
b u=(4, 4, 3),v=(7, 2, 1),w=(4, 1, 6);x=(5, 9,λ)
c u=(3, 4, 2),v=(6, 7, 8),x=(9, 12,λ)
d u=(3, 2, 5),v=(2, 4, 7),w=(5, 6,λ),x=(1, 3, 5)
6 Các tập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a.(1, 2, 3), (3, 6, 7)trongR3 b.(4,−2, 6), (6,−3, 9)trongR3 c.(2,−3, 1), (3,−1, 5), (1,−4, 3)trongR3 d.(5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3)trongR3 Họ vector sở củaR3
a.(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) b.(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)
c.(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1) d.(1, 6, 4), (2, 4,−1), (−1, 2, 5)
8 Chứng minh họ vector{v1=(1, 2,−1, 2),v2=(2, 3, 0,−1),v3=(1, 2, 1, 3),v4=(1, 3,−1, 0)}là sở
củaR4 Tìm tọa độ củaX =(7, 14,−1, 2)đối với sở
9 Xác định số chiều không gian củaR4 a Các vector dạng(a,b,c, 0)
b Các vector dạng(a,b,c,d)trong đód=a+bvàc=a−b
c Các vector có dạng(a,b,c,d)trong đóa=b=c=d
10 Trong khơng gian vectorR4cho không gian sau
W1={(a,b,c,d) :b−2c+d=0}, W2={(a,b,c,d) :a=b,b=2c}
Tìm sở, số chiều củaW1,W2,W1∩W2
11 Chứng minh tập hợp sau không gian khơng gian vector tương ứng tìm sở, số chiều chúng
a D1={(x1,x2,x3) :x2=
x1+x3
2 , xi∈R,i=1, 3}
b D2={(x1,x2, ,xn−1, 0) :xi∈R,i =1,n−1}
(6)12 Tìm sở số chiều khơng gian vector sinh họ vector
{v1=(1, 2, 0, 1),v2=(2, 1, 3, 1),v3=(−1, 1,−3, 0)}
13 Cho họ vector v1=(2, 3, 1, 2),v2=(1, 2, 3,−1),v3=(7, 12, 11, 1),v4=(4,m,−3,n) Tìmm,n để
r({v1,v2,v3})=r({v1,v2,v3,v4})
14 Trong không gian vectorR3, cho hai họ vector
A={v1=(1, 1, 1),v2=(1, 1, 2),v3=(1, 2, 3)}, B={u1=(2, 1,−1),u2=(3, 2, 5),u3=(1,−1,m)}
a Chứng minh rằngAlà sở khơng gian vectorR3 b Tìm điều kiện củamđểB sở không gian vectorR3
c Trong trường hợpB sở R3, tìm ma trận chuyển sở từ A sangB tìm
tọa độ vectoruđối với hai sở
15 Trong khơng gian vectorR3, cho hai họ sở
A={v1=(1, 1, 0),v2=(0, 1, 1).v3=(1, 0, 1)}, B={u1=(0, 1, 1),u2=(1,−1, 0),u3=(1, 1, 1)}
a Tìm ma trận chuyển sở từAsangB từB sangA
(7)Bài tập chương 3
1 Tìm điều kiện củamđể phương trình sau có nghiệm
a
x + 2y + m2z =
x + 2y + 4z =
x + 3y + 9z =
b
x + 2y + 3t =
x + 2y + z + 5t = 16
x + 3y + z + 8t = 23 5x + 12y + 2z + 13t = m
6x + 14y + 2z + 16t = 46
2 Giải hệ phương trình sau hai cách: sử dụng Định lý Cramer ma trận nghịch đảo a
2x − 2y − z =
y + z =
−x + y + z = −1
b
x − y + z =
2x + y + z =
3x + y + 2z =
c
2x1 − x2 − x3 = 3x1 + 4x2 − 2x3 = 11 3x1 − 2x2 + 4x3 = 11
d
3x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 2x1 + x2 + 3x3 = 11
3 Dùng phương pháp Gauss giải hệ phương trình sau a
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 =
b
3x1 + 4x2 + 5x3 + 7x4 = 2x1 + 6x2 − 3x3 + 4x4 = 4x1 + 2x2 + 13x3 + 10x4 =
5x1 + 21x2 + 13x3 =
4 Giải biện luận hệ phương trình sau a
λx + y + z =
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
b
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2x1 − x2 + x3 + x4 =
x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = a
c
mx + y + z =
x + m y + z =
x + y + mz =
5 Cho hệ phương trình
x + y + mz =
x + m y + z = a x + (m+1)y + (m+1)z = b
a Với giá trị củamthì hệ phương trình có nghiệm
b Vớia,b để hệ phương trình có nghiệm với giá trị củam
(8)a
x1 + x2 − x3 + 2x4 − x5 = 2x1 − x2 + 3x3 + x4 + 5x5 =
−x1 + 2x2 + x3 + x4 − 2x5 =
−5x1 − x2 + 5x3 + 10x4 + 9x5 = 3x1 + 7x3 + 9x4 + 8x5 =
b
7x1 − 2x2 + 7x3 − 7x4 − 5x5 =
x1 + x2 + 3x3 − 10x4 + 3x5 = 5x1 − 4x2 + 5x3 + x4 − x5 =
−x1 + 2x2 − x3 − 3x4 + x5 =
7 Trong hệ sau, hệ có nghiệm khơng tầm thường, hệ khơng có a
x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 4x1 − 7x2 − 3x3 − x4 = 3x1 + 2x2 + 7x3 + 8x4 =
b
x1 + 2x2 + 3x3 =
x2 + 4x3 = 5x3 =
8 Xác địnha để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường
a
ax − 3y + z =
2x + y + z =
3x + 2y − 2z =
b (
(1−a)x + 2y = 2x + (4−a)y =
c
ax1+ x2+ +xn=0
x1+ ax2+ +xn=0
x1+ x2+ +axn=0
9 Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau a
(
x + 4y + 2z =
2x + y + 5z = b
x + 2y − 2z + 2s − t =
x + 2y − z + 3s − 2t =
(9)Bài tập chương 4
1 Ánh xạ f :R3→R2sau có ánh xạ tuyến tínhhay khơng a f(x,y,z)=(x,x+y+z) b f(x,y,z)=(0, 0)
c.f(x,y,z)=(1, 1) d.f(x,y,z)=(2x+y, 3y−4z)
2 Ánh xạ f :M2(R)→Rdưới có ánh xạ tuyến tínhkhơng
a f
Ã"
a b c d
#!
=a+d b f
Ã"
a b c d
#! =det
"
a b c d
#
c.f
Ã"
a b c d
#!
=2a+3b+c−d d.f
Ã"
a b c d
#!
=a2+b2
3 Cho ánh xạ tuyến tínhf :R2→R2xác định bởif(3, 1)=(2,−4), f(1, 1)=(0, 2) Xác địnhf(x,y)
4 Cho ánh xạ tuyến tínhf :R4→R3xác định bởif(x,y,z,t)=(x−y+z, 2x+z, 2y+x−t) Tìm
cơ sở củakerf sở củaI m f Xác định tính đơn cấu, tồn cấu f
5 Cho
f :R3→R3
(x1,x2,x3)7→(x1+x2+x3,x1−x2, 2x1+x3)
a Chứng tỏf ánh xạ tuyến tính
b Xác địnhdimI m f, dimkerf
6 ChoT :R3→R2là ánh xạ ma trận giả sử
T
1 0
=
"
1
#
, T
0
=
"
3
#
, T
0
=
"
4
−7
#
a Tìm ma trận củaT
b TìmT
1
c TìmT
x y z
7 Chứng minh ánh xạ f sau ánh xạ tuyến tính Tìm ma trận theo sở
tắc
a f :R3→Rxác định f(x,y,z)=x+2y+3z
(10)8 ChoT :R2→R2là ánh xạ (nhân với ma trận) "
2 −1
−8
#
a Vector thuộc tậpI m(T)? • (1,-4)
• (5,0) • (-3,12)
b Vector thuộc tậpkerT?
• (5,10) • (3,2) • (1,1)
9 ChoV không gian vector, choT :V →V xác định bởiT(v)=3v
a Tìmker(T)
b TìmI m(T)
10 Tìm số chiều củaker(T)vàI m(T)với
a T cho Bài tập
b T cho Bài tập
11 Tìm ánh xạ tuyến tínhT :P2→P2xác định bởiT(1)=1+x, T(x)=3−x2, T(x2)=4+2x−3x2
TínhT(2−2x+3x2)
12 Tínhdim(ker(T))trong
a T:R5→R7có hạng b T :P4→P3có hạng
c I mcủaT:R6→R3làR3
d T:M2(R)→M2(R)có hạng
13 ChoT :R2→R3xác định
T(x1,x2)=(x1+2x2,−x1, 0)
a Tìm ma trận T sở B ={u1,u2} R3 B0 ={v1,v2,v3} R3:
u1=(1, 3),u2=(−2, 4),v1=(1, 1, 1),v2=(2, 2, 0),v3=(3, 0, 0)
(11)14 Cho v1=(1, 3),v2=(−1, 4)và A=
"
1
−2
#
là ma trận ánh xạT :R2→R2 sở
B={v1,v2}
a Tìm[T(v1)]B và[T(v2)]B b TìmT(v1)vàT(v2)
c TìmT(1, 1)
15 Cho A=
1 −1
2
6 −2
ma trận ánh xạT :P2→P2đối với sở B ={}v1,v2,v3, với
v1=3x+3x2, v2= −1+3x+2x2, v3=3+7x+2x2
a Tìm[T(v1)]B, [T(v2)]B, [T(v3)]B b TìmT(v1),T(v2),T(v3)
c TìmT(1+x2)
16 Cho ánh xạf :R4→R3xác định
x=(x1,x2,x3,x4)7→ f(x)=(x1−x2+x3, 2x1+x4, 2x2+x3−x4)
a Chứng minh f ánh xạ tuyến tính
b Tìm ma trận f cặp sở AvàB sau
A={w1=(1, 1, 1, 1),w2=(0, 1, 1, 1),w3=(0, 0, 1, 1),w4=(0, 0, 0, 1)}
B ={u1=(1, 1, 1),u2=(1, 1, 0),u3=(1, 0, 0)}
17 Tốn tử tuyến tính khơng gian vectorR3có ma trận sở tắcB
0={e1,e2,e3}
là
0 −2
3
2 −1
Tìm ma trận f sởB ={u1,u2,u3},
(12)Bài tập chương 5
1 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau a
"
3
8 −1
#
b "
0
#
c "
−2 −7
1
#
d "
0 0
#
e "
1 0
#
2 Chứng minh rằngλ=0là trị riêng ma trận Akhi Asuy biến
3 Tìm ma trậnP chéo hóaAvà xác địnhP−1AP
a A=
"
−14 12
−20 17
#
b.A=
"
1
6 −1
#
c.A=
1 0 1 1
d.A=
2 −2
0
0
4 ChoT :R2→R2là tốn tử tuyến tính
T(x1,x2)=(3x1+4x2, 2x1+x2)
Hãy tìm sở củaR2sao cho ma trận củaT sở ma trận đường chéo
5 ChoT :R3→R3là tốn tử tuyến tính
T(x1,x2,x3)=(2x1−x2−x3,x1−x3,−x1+x2+2x3)
Hãy tìm sở củaR2sao cho ma trận củaT sở ma trận đường chéo
6 Tìm giá trị riêng, vector riêng, sở không gian riêng ma trận a A=
1 −2 2 −2 0 −1
b.B=
1 −3 4 −7 −7
7 Chéo hóa ma trận sau a A=
2 −1
0 −1
−1 −2
b.B =
2 −1
0 −1
0
8 TínhAnbiết
a A=
3 −2
−2
0
b.A=
1
−1
3 −1
1
(13)Bài tập chương 6
1 Cho f :R3×R3→R3xác định
f(x,y)=x1y1+x2y2+x3y3, ∀x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)∈R3
a Chứng minh f dạng song tuyến tính
b Tìm ma trận dạng song tuyến tính f sở tắc khơng gian vectorR3
và sở{u1=(0, 1, 1),u2=(1, 0, 1),u3=(1, 1, 0)}
2 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc a Q=x12+2x22−7x23−4x1x2+8x1x3
b Q=x1x2+x2x3+x3x4
3 Tìm trị riêng vector riêng ánh xạ tuyến tính f :R3→R3trong trường hợp sau a f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3, 2x2+3x3)
b f(x1,x2,x3)=(x1+x2,x2+x3,−2x2−2x3)
c f(x1,x2,x3)=(x1−x2, 2x1+3x2+2x3,x1+x2+2x3)
4 Chéo hóa ma trận a.A=
1 1 1 1 1
b.A=
2 −1 −3
−1
c.A=
−1 −1
−3 −1
−3
d.A=
−1 −3 −3
3
−1 −1
5 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc a Q=7x21+7x22+7x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3
b Q=x21−2x1x2−2x1x3−2x1x3
c Q=4x21+x22+5x23−6x1x2−2x1x3+2x2x3
(14)Bài tập chương 7
1 Tìm ma trậnP làm chéo hóa trực giao ma trậnAvà xác địnhP−1AP
a A=
"
3 1
#
b.A=
"
5 3p3
3p3
#
c.A=
"
−7 24
24
#
d.A=
−2 −36
0 −3
−36 −23
2 Tìm ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận sau
A=
"
a b b a
#
, b6=0
3 Nhận dạng vẽ đường bậc hai sau a 2x2−4x y−y2+8=0
b x2+2x y+y2+8x+y=0
c 5x2+4x y+5y2=9