Bùi Xuân Diệu Bài Giảng Đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (lưu hành nội bộ) TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC, MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH , K HƠNG GIAN VÉCTƠ, ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH , D ẠNG TỒN PHƯƠNG - K HƠNG GIAN EUCLIDE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC Mục lục LỤC Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức Logic 1.1 Các phép toán logic 1.2 Các tính chất 1.3 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Tập hợp 2.1 Các phép toán tập hợp 2.2 Các tính chất Ánh xạ 3.1 Định nghĩa 3.2 Tập ảnh, tập nghịch ảnh 3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cấu trúc đại số 4.1 Cấu trúc nhóm 4.2 Cấu trúc vành 4.3 Cấu trúc trường Số phức 5.1 Dạng tắc số phức 5.2 Dạng lượng giác số phức 5.3 Số phức liên hợp Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình Ma trận 1.1 Các phép toán ma trận 1.2 Các tính chất Định thức 2.1 Định nghĩa 5 10 10 10 12 12 12 12 15 15 15 16 19 19 19 20 25 25 25 25 28 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC 2.2 Các tính chất định thức 28 2.3 Các phương pháp tính định thức 29 2.4 Ma trận nghịch đảo 29 Hạng ma trận 37 3.1 Định nghĩa 37 3.2 Phương pháp tính hạng ma trận biến đổi sơ cấp hàng 37 Hệ phương trình tuyến tính 38 4.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính 38 4.2 Hệ Cramer 38 4.3 Định lý Kronecker-Capelli 38 4.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt 39 Chương Không gian véctơ 45 Khái niệm 45 1.1 Định nghĩa 45 1.2 Một số tính chất ban đầu không gian véctơ 46 1.3 Bài tập 46 Không gian véctơ 47 2.1 Định nghĩa 47 2.2 Điều kiện cần đủ để W ⊂ V không gian véctơ 47 2.3 Không gian sinh họ véctơ 47 2.4 Hệ sinh không gian véctơ 47 2.5 Bài tập 47 Cơ sở toạ độ 50 3.1 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 50 3.2 Cơ sở số chiều không gian véctơ 50 3.3 Bài tập 51 Số chiều sở không gian sinh họ véctơ - Hạng họ véctơ 53 4.1 Mở đầu 53 4.2 Hạng họ véctơ 53 4.3 Cách tính hạng họ véctơ biến đổi sơ cấp 53 4.4 Số chiều sở không gian sinh họ véctơ 53 4.5 Bài tập 54 Bài toán đổi sở 57 5.1 Đặt vấn đề 57 5.2 Ma trận chuyển 57 5.3 Bài tập 57 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC Chương Ánh xạ tuyến tính 59 Ánh xạ tuyến tính 1.1 Khái niệm 1.2 Bài tập Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 2.1 Các tính chất hạt nhân ảnh 2.2 Hạng ánh xạ tuyến tính - Định lý số chiều 2.3 Bài tập Ma trận ánh xạ tuyến tính 3.1 Khái niệm 3.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính thơng qua phép đổi sở 3.3 Bài tập Trị riêng véctơ riêng 4.1 Trị riêng véctơ riêng ma trận 4.2 Trị riêng véctơ riêng tốn tử tuyến tính 4.3 Chéo hoá ma trận 4.4 Bài tập Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide 59 59 59 61 61 61 61 64 64 65 65 67 67 67 68 68 71 Khái niệm 71 1.1 Định nghĩa 71 1.2 Phân loại dạng toàn phương 71 1.3 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian hữu hạn chiều 72 1.4 Bài tập 72 Rút gọn dạng toàn phương 74 2.1 Phương pháp Lagrange 74 2.2 Phương pháp Jacobi 74 2.3 Phương pháp chéo hoá trực giao 75 2.4 Bài tập 75 2.5 Kết luận 77 Không gian Euclide 78 3.1 Tích vơ hướng khơng gian có tích vơ hướng 78 3.2 Phép trực giao hoá Schmidt 79 3.3 Hình chiếu vectơ lên không gian vectơ 80 3.4 Bài tập 80 Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hoá trực giao 87 4.1 Chéo hoá trực giao ma trận 87 4.2 Phương pháp chéo hoá trực giao để rút gọn dạng toàn phương 87 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC 4.3 4.4 4.5 4.6 Nhận dạng đường cong phẳng 88 Nhận dạng mặt bậc hai 88 Ứng dụng phép biến đổi trực giao vào tốn tìm cực trị có điều kiện 89 Bài tập 89 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ §1 L OGIC 1.1 Các phép toán logic Phép phủ định A A A = 1−A Phép hội A 1 0 B 1 A∧B 0 ( A ∧ B) = min{ A, B} Phép tuyển CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PHỨC Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức A 1 0 B 1 A∨B 1 ( A ∨ B) = max{ A, B} Phép kéo theo A 1 0 B 1 A→B 1 ( A → B) = max{1 − A, B} Phép tương đương A 1 0 B 1 A↔B 0 Chú ý: Để đơn giản mặt kí hiệu, viết A hiểu mệnh đề A giá trị chân lý mệnh đề A tuỳ theo hoàn cảnh phù hợp Ví dụ viết A = − A ta hiểu giá trị chân lý mệnh đề A trừ giá trị chân lý A 1.2 Các tính chất Tính giao hốn: A ∧ B ⇔ B ∧ A, A ∨ B ⇔ B ∨ A Tính kết hợp ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ), ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) Tính phân phối A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ), A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Logic Tính chất phép kéo theo A → B ⇔ A∨B Tính chất phép tương đương A ↔ B ⇔ ( A → B) ∧ ( B → A) Chú ý: Để chứng minh mệnh đề logic, ta sử dụng khái niệm tương đương logic, thay cho “khái niệm nhau” mệnh đề Bài tập chủ yếu chứng minh hai mệnh đề tương đương logic chứng minh mệnh đề logic ln Có ba phương pháp chủ yếu để làm bài: Lập bảng giá trị chân lý Biến đổi tương đương mệnh đề Chứng minh phản chứng 1.3 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Ta thường cần phải phát biểu mệnh đề có dạng "Mọi phần tử x tập hợp X có tính chất P( x )" Người ta quy ước kí hiệu mệnh đề sau: ∀ x ∈ X, P( x ) Kí hiệu ∀ gọi lượng từ phổ biến, cách viết ngược lại chữ từ "All" tiếng Anh Tương tự ta hay gặp mệnh đề có dạng " Tồn phần tử x X có tính chất P( x )" Mệnh đề quy ước kí hiệu sau: ∃ x ∈ X, P( x ) Kí hiệu ∃ gọi lượng từ tồn tại, cách viết ngược lại chữ từ "Exists"trong tiếng Anh Mệnh đề " Tồn phần tử x X có tính chất P( x )" viết sau: ∃!x ∈ X, P( x ) Lượng từ phổ biến tồn có mối quan hệ quan trọng sau đây: ∀ x ∈ X, P( x ) ≡ ∃ x ∈ X, P( x ) ∃ x ∈ X, P( x ) ≡ ∀ x ∈ X, P( x ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức Bài tập 1.1 Chứng minh mệnh đề sau :   a) A ∧ ( A ∨ C ) → C b) [( A → B) ∧ ( B → C )] → ( A → C ) c) [ A ∧ ( A → B)] → B d) [( A ∨ B) ∧ ( A → C) ∧ ( B → C )] → C Lời giải a) Cách 1: Lập bảng giá trị chân lý A 1 0 C 1 A 0 1 A∨C 1 A ∧ ( A ∨ C) 0 [ A ∧ ( A ∨ C)] → C 1 1 Cách 2: Biến đổi tương đương mệnh đề [ A ∧ ( A ∨ C)] → C ⇔[( A ∧ A) ∨ ( A ∧ C)] → C ⇔[0 ∨ ( A ∧ C)] → C ⇔[( A ∧ C)] → C ⇔A ∧ C ∨ C ⇔A ∨ C ∨ C ⇔1 Cách 3: Chứng minh phản chứng Giả sử mệnh đề cho sai Vì mệnh đề kéo theo sai giả thiết kết luận sai nên: A ∧ ( A ∨ C) = C = Nhưng C = nên A ∧ ( A ∨ C) = A ∧ ( A ∨ 0) = A ∧ A = 0, mâu thuẫn, chứng tỏ mệnh đề cho Các câu b), c), d) chứng minh tương tự Bài tập 1.2 Chứng minh rằng:
a) A ↔ B ( A ∧ B ) ∨ A ∧ B tương đương logic b) ( A → B) → C A → ( B → C ) không tương đương logic c) A ↔ B A ↔ B tương đương logic CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Logic Lời giải Cũng giống tốn chứng minh mệnh đề ln đúng, tốn chứng minh hai mệnh đề tương đương logic có phương pháp chứng minh Riêng với toán chứng minh hai mệnh đề khơng tương đương logic ta cần giá trị chân lý mệnh đề mà hai mệnh đề cho có hai giá chị chân lý khác Bài tập 1.3 Cho A tập hợp tập số thực, cận x0 A kí hiệu Inf( A) = x0 xác định mệnh đề sau: “ Với x A có x0 ≤ x với x1 có tính chất x1 ≤ x với x A suy x1 ≤ x0 ” Hãy dùng kí hiệu để diễn tả mệnh đề mệnh đề phủ định Từ đưa cách chứng minh số Inf( A) Lời giải x0 = Inf( A) ⇔ [∀ x ∈ A, ( x0 ≤ x )] ∧ [∀ x1 , ( x1 ≤ x, ∀ x ∈ A) → ( x1 ≤ x0 )] x0 = Inf( A) ⇔ [∀ x ∈ A, ( x0 ≤ x )] ∧ [∀ x1 , ( x1 ≤ x, ∀ x ∈ A) → ( x1 ≤ x0 )] ⇔ [∀ x ∈ A : ( x0 ≤ x )] ∨ [∃ x1 , ( x1 ≤ x, ∀ x ∈ A) → ( x1 ≤ x0 )] ⇔ [∃ x ∈ A, x0 > x ] ∨ [∃ x1 , ( x1 ≤ x, ∀ x ∈ A) ∨ ( x1 ≤ x0 )] ⇔ [∃ x ∈ A, x0 > x ] ∨ [∃ x1 , ( x1 ≤ x, ∀ x ∈ A) ∧ ( x1 > x0 )] Bài tập 1.4 [Đề thi ĐS K49] Xét xem mệnh đề sau có tương đương logic khơng a) ( A ∨ B) → C ( A → C) ∧ ( B → C) b) A → ( B ∧ C) ( A → B) ∧ ( A → C) Bài tập 1.5 [Đề thi ĐS K49] Xét xem mệnh đề sau hay sai a) "Nếu số thực x y thoả mãn x > y y > x suy x = y b) "Nếu số tự nhiên n lẻ n2 chẵn suy n số nguyên tố Bài tập 1.6 [Đề thi ĐS K51] Cho ( A ∧ B) → ( A ∧ C) ( A → B) ⊂ ( A ∨ C) mệnh đề Chứng minh B → C mệnh đề CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ε (
ε3 = 2π 2π , ε = cos + i sin Do ε bậc đơn vị nên + ε + ε2 = ε ε2 = + ε4 + ε2 − ε3 − − ε3 = −