NGUYEN TIẾN QUANG (Chủ biên)
PHẠM THỊ CÚC ~ ĐẶNG BINH HANH
HƯỚNG DAN GIAI BAI TAP
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
(Tái bản lần thứ nhất)
Trang 3Cơng ty Cổ phần sách Đại học - Dạy nghề — Nhà xuất bán Giáo dục giữ quyển cơng bố tác phẩm,
Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dướ mọi hình thức phải được sự đồng ý của chủ sở hữu quyền tác giả,
Trang 4
LỜI NĨI ĐẦU
Đại số đại cương là một trong những mơn học đầu tiên về tốn học trừu tượng trong chương trình đào tạo của các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Sư phạm — Cao đẳng Sư phạm Nĩ làm cơ sở cho việc học tập tiếp những mơn học khác của chương trình "Cử nhân cũng như chương trình Cao học Ở đây người đọc lần đầu chuyển từ tư duy "tốn sơ cấp" sang tư duy "trừu tượng" về đại số Điều đĩ gây khơng ít khĩ khăn cho người đọc Thực tế cho thấy, để hình thành kiểu tư duy mới này, chúng ta cần cĩ sự hỗ trợ rất lớn của một hệ thống bài tập Ngồi một số bài tốn cĩ tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào các đối tượng cụ thể, cịn cĩ những bài tốn là sự tìm hiểu sâu nội dung mơn học, đời hỏi chúng ta khơng chỉ cĩ kỹ năng mà cịn phải cĩ phương pháp, thĩi quen tư duy mới, cĩ sáng tao
Các giáo trình về Đại số đại cương cĩ khá nhiều, mỗi cuốn thường cĩ một hệ thống bài tập kèm theo, phù hợp với các vấn đề về lý thuyết đã trình bày Nhiễn bài tập trong cuốn sách này được tuyển chọn từ một số giáo trình như: "Đại số" của G Birkhoff và S Macl ane, "Đại số" của Š Lang, "Đại số" của T W Hungerford, “Đại số với ứng dụng hiện dai" cla W J Gilbert va W K Nichonson, "Bài giảng về đại số đại cương" của A G Curos, "Đại số đại cương" của Hồng Xuân Sính, "Bài tập đại số" của Trần Văn Hạo và Hồng Kỳ, "Bài tập đại số" của Bùi Huy Hiển Các bài tốn này được sắp xếp và cĩ lời giải phù hợp với cuốn giáo trình "Đại số đại cương" của Nguyễn Tiến Quang Chúng tơi xin chân thành cảm ơn các tác giả đã dẫn trong sách
Cuốn sách được chia làm hai phan: Phần thứ nhất trình bày tĩm tat lý thuyết và hệ thống bài tốn theo sáu chương Các bài tốn được đánh số theo từng mục trong mỗi chương Phần thứ hai trình bày lời giải cho một số bài khĩ, hoặc hướng dẫn, hoặc trả lời cho một số bài đơn giản hơn
Trang 5Bạn đọc phải tự mình hồn thiện cấc kỹ năng cũng như phát triển tư duy qua việc giải các bài tập này và cĩ thể đối chiếu lời giải của mình với lời giải hoặc đáp số ở phần hai của cuốn sách
Một số lời giải được trình bày cơ đọng, bạn đọc nên làm rõ hơn, chỉ tiết hơn cho những lời giải này, cũng như nên tự mình thực hành một cách sáng tạo bằng cách đưa ra những cách lập luận mới
Những bài tốn của cuốn sách đã được tuyển chọn qua thực tế giảng dạy của tác giả cũng như của nhiều bạn đồng nghiệp Nhiều lời giải thú vị đã được đẻ xuất từ các bạn sinh viên của chúng tơi Chúng tơi hy vọng đây là một tài liệu cĩ ích về đại số cho sinh viên khơng chỉ ở hệ Đại học mà cả ở hệ Cao đẳng Sư phạm
Cuốn sách khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt Chúng tơi mong nhận được sự gĩp ý của bạn đọc
Thư gĩp ý xin gửi về Cơng ty Cổ phần Sách Đại học — Day nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội
Trang 6MUC LUC LOL NOI DAU Lees cssectssssscssceesestcetneenseactasenstte 3 Lý thuyết Phân thứ nhất, TOM TAT LY THUYẾT VÀ CÁC BÀI TỐN 7 Chương I CƠ SỞ 9 1 Tập hợp 9 2 Ánh xạ "1 3 Quan hệ hai ngơi 12 4 Số nguyên 15
Chương II NHĨM ~ ĐỒNG CẤU NHĨM 27
Trang 7Chương V VÀNH ĐA THỨC VÀ VÀNH OCLIT 1 Vành đa thức 2 Thuật tốn chia trong miền nguyên 3 Vành chính 4 Vành Ơclit Chương VI PHÂN TÍCH ĐA THỨC TRÊN CÁC TRƯỜNG SỐ 1 Phân tích đa thức thực và phức 2 Phân tích đa thức nguyên và hữu t 3 Phân tích đa thức trên trường hữu hạn
Phần thứ hai LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN
Trang 8Phần thứ nhất
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Trang 9Chương Ï
CƠ SỞ
1 Tập hợp
Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản nhất của tốn học Các đối tượng của một tập hợp đã cho nào đĩ được gọi là các phần tử của tập hợp đĩ Để ký hiệu phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a € A; cịn nếu phần tử a khơng thuộc tập hợp A ta viết a ¢ A
Một tập hợp thường được cho bởi một tính chất nào đĩ, xác định các phần tử của tập hợp đĩ Chẳng hạn, nếu ø(z) là tính chất đặc trưng cho cdc phan tit x € A thì ta viết
A= {x | p(x)}
và hiểu A là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử z cĩ tính chất p(z) Tap hợp khơng chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, và ký hiệu bởi Ø Ví dụ, tập hợp các nghiệm thực của phương trình z2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng
Tập hợp B được gọi là tập cơn của tập hợp A nếu mọi phần tử thuộc Ø đều thuộc 4, và ký hiệu bởi BC A hay A > B Nhu vậy
(BCA) Se (rE BsaxeA)
Khi dé, ta ciing ni rang B chia trong A hay A chita B hay B bao ham trong A Hai tap hop A, B được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng cĩ cùng các phần tử Rõ ràng
A=B©ACBvàBcCA
Trang 10'Trên các tập hợp ta thường xét một số phép tốn sau:
Giao của hai tập hợp A và Ư, ký hiệu bởi AB, là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc cả A lẫn Ø,
AnB=f{z|ze Avàz c PB}
Khi An B = ta nĩi rằng A va Ð khơng giao nhau, hay rời nhau Hợp của hai tập hợp A và B, ky hiéu AU B, là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp A, B,
AUB={z|ze Ahoặc rz€ Ð}
Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu A \ B, la tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc 4 mà khơng thuộc Ư,
A\X8=t{zl|ze Avàz # B}
“Trong trường hợp A là tập con của một tập hợp M thì hiệu M⁄ \ A được gọi là phần bù của A trong #4 và ký hiệu bởi Cy A, hay Á nếu như ta biết rõ A là tập con của tập hợp nào
Các phép tốn tập hợp liên hệ với nhau bởi một số hệ thức cơ bản: - 1 Giả sử A, Ð là những tập hợp con tuỳ ý của tập hợp AM Khi đĩ
các điều sau là tương đương:
ø)ACB 43BCA
b)AnB=A e) ANB=06
c) AUB=B f) M=AUB
2 Giả sử A, B,C, M 1a nhimg tap hop tuỳ ý Khi đĩ: a) AUB=BUA; ANB=BNA (háật giao hốn) b) An{8nŒ)=(AnB)nC;
AU(BUC) =(AUB)UC (huật kết hợp) c) AN(BUC) = (AN B)L(ANC);
AU{BNC)=(AUB)N(AUC) (luat phan phéi) d) Cơng thúc Đờ Moocpăng
M\ (AUB) = (M\ A)N(M\ B);
Trang 112 Ánh xạ
Cho X và Y là những tập hợp Một ánh zø (hay một hàm) ƒ từ X tới Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử z € X với một phần tử duy nhất xác định y € ¥, ký hiệu bởi = ƒ(z) Một ánh xạ thường được viết
ƒ:X¬Y
rroy= f(z)
Tap X được gọi là tập nguồn hay miền tác định, tập Y được gọi là tập dich hay mién giá trị của ánh xạ ƒ Phần tử y = ƒ(z) gọi là ảnh của z, cịn z gọi là fạo ảnh của y
Hai ánh xạ ƒ,g: X —+ Y được gọi là bằng nhau nếu ƒ(z) = g() với mọi z € X Cho ánh xạ ƒ : X — Y Khi đĩ với mọi tập ‹ con A của X, với mọi tập con Ư của Y, các tập hợp ƒ(4) ={f(4)|ae€ A} “'(B) = {x EX | f(x) € 8}
theo thứ tự được gọi la dnh cha A qua ƒ, tạo ảnh tồn phần của B qua ƒ Dặc biệt, ảnh ƒ(X) của X qua ƒ được gọi là ảnh của f va ky hiệu bởi Imƒ, ƒ(X).= Imf
Ánh xạ ƒ: X Y đượẻ gọi là một đơn ánh nếu
2 fa! = f(a) # f(a!)
với mọi z,z' € X Ta cịn nĩi ƒ là ánh xạ 1-1 từ X bão Y Ánh xạ ƒ:X —› Y dược gọi là một tồn ánh nếu với mỗi y thuộc Y đều tồn tại z thuộc X sao cho ƒ(z} = ụ Ta cũng nĩi rằng ƒ là một ánh xạ từ X lén Y Anh xa ƒ:X —Y được gọi là một sơng ánh nếu nĩ đồng thời là đơn ánh và tồn ánh Khi đĩ ta cịn nĩi ƒ là một ánh xạ 1-1 lên, Hiển nhiên ƒ là song ánh khi và chỉ khi với mdi y € Y tồn tại duy nhat © € X sao cho f(x) = y
Hợp thành (hay tich) cia céc anh xa f: X SY vag: Y 3 Z le ánh xạ h: X — Z biến z thanh 9(f(zx)), ky hiéu béi ø o ƒ, hoặc đơn giản là gƒ Như vậy
(gs /)(œ) = gif(z)], Ve eX
Trang 12Phép hợp thành cĩ tính kết hợp, nghĩa là đối với các ánh xạ ƒ:X +Y,g:Y + Zvàh:Z — W thì he(ge ƒ) =(hog)eƒf Một tính chất đơn giản, đáng chú ý của ánh xạ là: với mọi ánh xạ {i XY thi
foidy =idyof =f,
trong dé id, là ánh xạ đồng nhất của tập A lên chính nĩ
Cho các ánh xạ ƒ: X + Y và g:Y — X Khi đĩ nếu go ƒ = iđx thì g được gọi là ánh xạ ngược trái của ƒ, cịn ƒ là ánh xạ ngược phải của g Ngồi ra, nếu cịn cĩ ƒ e g = idy thì ta nĩi ø là ngược dối với ƒ, và một cách đối xứng, ƒ là ngược đối với g
Một ánh xạ cĩ ngược trái khi và chỉ khi nĩ là đơn ánh, và một ánh xạ cĩ ngược phải khi và chỉ khi nĩ là tồn ánh Một ánh xạ là song
ánh khi và chỉ khi nĩ cĩ ánh xạ ngược
3 Quan hệ hai ngơi
Tích Dé-céc (Descartes) cha hai tap hop A, B8 đã cho, ký hiệu bởi Ax 8Õ, là tập hợp tất cả các cặp (a,b) với „€ A,b€ B:
AxB=({(a,b)|a€ A,be B}
Một quan hệ hai ngơi 9À giữa các tập hợp X và Y là một tập hợp tuỳ ý các cặp sắp thứ tự (z, w), với z € X,w € Y
Néu (x,y) € 9 ta nĩi rằng z nằm trong quan hệ RK ới ụ và viết #98 Nêu (z, y) khơng thuộc tập hợp đĩ ta nĩi rằng z khơng cĩ quan hệ với và viết xØầy
Nĩi cách khác, một quan hệ hai ngơi giữa các tập X, Y là một tập con của tích Đề-các X x Y Nếu Ø là một quan hệ giữa X và Y thì
với z € X,€ Y ta luơn cĩ hoặc zÐt hoặc amy
Trong trường hợp X = Y ta nĩi quan hệ hai ngơi giữa X và Y là
quan hệ trên X
Quan hệ hai ngơi Ø1 trên tập Š được gọi là một quan hệ tương đương nếu nĩ thoả mãn các tính chất sau:
(i) aRa (tinh phan xa);
Trang 13(1i) Nếu a91b và bØtc thì aØÄc (tính bắc cầu)
vdi mgi a,b,c € S
Nếu 9 là một quan hệ tương đương trên tập hợp S vaa € S thi tập hợp tất cả các phần tử của 9 cĩ quan hệ với phẫn tử ø được gọi là lớp tương dương của a, kỹ hiệu bởi 8 hoặc Cú,
sa=t{eece X |aØz}
Khi đĩ 9 là hợp rời rạc của tất cả các lớp tương dương phân biệt Một phân hoạch của tập hợp 5 là một tập hợp c&c tap con Sy, k € I của Š cĩ hai tính chất sau:
(6) %8; = 0 với ¡ # j, (ii) IS: =8
Như vậy, mỗi quan hệ tương dương 9Ÿ trên tập Ø xác dịnh một phân hoạch trên tập 9 và ngược lại Một phân hoạch trên tập 5 cịn được gọi là một sự chía lớp của S Tap hdp cdc tap con S, trong sit chia lớp của Š được gọi là tập thương của S theo quan hệ tương dusng R và ký hiệu bởi 9/91
Quan hệ hai ngơi 9 trên tập hợp 9 dược gọi là the tự bộ phận hay
gọi ngắn gọn là thứ tự của tập hợp này nếu nĩ thố mãn các điền kiện sau đối với mọi ø,b,e€ S:
(i) afta (phản xạ),
(1) aØRb và bØa kéo theo ø = b (phản xứng), (ii) aØRb và b9c kéo theo a#c (bắc cầu)
Quan hệ thứ tự bộ phận như thế thường được ký hiệu bởi < Một tập hợp được sắp thứ tự là một cặp (5, S), trong đĩ < là một thứ tự trên Š
Một tập hợp Š cùng với một quan hệ thứ tự bộ phận cho trên nĩ
được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính, hay sắp thứ tự tồn phần, hay thường dược gọi là một dây chuyến, nêu dỗi với hai phần tử bất kỳ œ.b€ Š hoặc a < b hoặc b < ø Khi đĩ ta cũng nĩi rằng hai phần tử
bất kỳ của Š là so sánh được
Tập sắp thứ tự Š được gọi là tập sếp £hứ tự tốt nếu mọi tập con A khác rỗng của nĩ đều cĩ phần tử bé nhdt, nghĩa là tồn tại phần tử
a€ Á sao cho a < # với z€ A
Trang 14tối đại nêu khơng tồn tại phần tử z € Š sao cho z > v (Ta nĩi rằng # < tt cĩ nghĩa là z < ư nhưng z # và tương tự cho # > 0)
Bé dé Zorn: Cho S là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận Nếu mỗi dâu chuyền của 9 cĩ cận trên trong S thà $ cĩ phần tử tối dai
Giả sử 5 là tập con của tập hợp sắp thứ tự bộ phận P Ta gọi 1)œ€ ?P là cận dưới (tương ứng, cận trên) của tập hợp Š nếu a Š z (tương ứng, nếu z < a) với mọi z € 6,
2)b€ P là cân dưới đúng (tương ứng, cận trên đứng) của tập hợp
5 nếu: `
Đ) b là cận dưới (tương ứng, cận trên) cha S,
(ii) a < b (tương ứng b < @ ) với mọi cận dưới (tương ứng, cận
trên) ø của Š
Cận dưới đúng và cận trên dũng của Š được ký hiệu lần lượt bởi ¿nƒ%,
supS Mot tập con bất kỳ của tập hợp sắp thứ tự bộ phận cĩ khơng
quá một cận trên đúng và một cận dưới đúng
4 Số nguyên
Trước hết, tập hợp các số tự nhiên Đ thoả mãn hai tiên đề sau: Tiên dé vé tinh sắp thứ tự tốt: Mỗi tập con khác rỗng $ của Đ đều cĩ phần tử nhỏ nhất, nghĩa là tồn tại mm € S sao cho m < e tới mợi ces Tiên đề quụ nạp: Nếu tập cơn khác rỗng A của Đ thoả mãn hai điều kiện: )0€A, ŒÙ m€ A tới mợi 0 < tr < n => n € A, thi A=N,
Hai tiên để nêu trên là tương đương với nhau, nghĩa là ta cĩ thể chứng mính một trong hai tiên đề trên từ tiên đề cịn lại
Số nguyên œ được gọi là chia hét cho số nguyên b nếu ø — bq với một số nguyên q nào đĩ Khi đĩ ta nĩi a là bội của b và ký hiệu ø : b Ta cũng nĩi 6 chia hét a hay b là ước cha a va ký hiệu b | a
Trang 15Định lý về phép chia với dư: Cho hai số nguyên a tà b,b #0 Khi đĩ tồn tại duy nhất cặp số nguyên q,r sao cho
œ=bq+r, 0 <r < |È|
Số nguyên d dược gọi là ước chung của các sỐ nguyên ứ, đ2, , đ„ nếu nĩ là ước của mỗi số đĩ Ước chung d của các số "guyên đi, đạ, , đụ được gọi là ước chung lớn nhất (viet ( tắt là ƯCLN) nếu đ là bội của
mọi ước chung của ứy, đa, , đựy,
Hai ước chung lớn nhất của các số at,dạ, ,a„ phải chia hết lẫn nhau, do đĩ chúng chỉ khác nhau bởi dấu Trong hai số +ở cùng là
ước chung của các số ứy, da, , a„ số dương thường được ký hiệu là UCLN (ai, d¿, , dạ) hoặc (ai, aa, , đụ)
Dinh lý về sự tồn tại của ước chứng lớn nhất: Ước chưng lớn nhất d của n số nguyên (n > 1) khơng cừng bằng 0 luơn tồn tại Hơn trữa, đ là một tổ hợp tuyên tính nguyên của các số nguyên này
Các số a+, dạ, a„ được gọi là nguyên td cùng nhau nêu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1 Các số nguyên đ, a, , đ„ nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên #¡,Zạ, „ sao cho
1 = địa + #a8a + + Zuda,
Một số tính chất thường gặp của ước chung lớn nhất: 1 Nếu k là một số nguyên dương thì
(a1, aak, a„k) —= (ai, đa, ., đu)k, 2 (a,b) =d (5.2) =1 3 Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và b là ước của øe thì b là ước của e 4 Nếu hai số a và b nguyên tố cùng nhau thì (ae, b) = (c,b), với mọi e € Z
Để tìm ƯCLN của hai số tự nhiên ø và b ta cĩ thuật tốn Ơclit, thuật tốn đĩ được tiến hành như sau:
Trang 16- Nếu a = bq thì (a,ð) = b - Nếu ø khơng chia hết cho b thực hiện liên tiếp các phép chia với dư ta dược & = bqp +r\, O<r<b b=rngtta O<m<r Tp-2 = Tn-19n-1 + Try O< Ta < Trt Tr-1 = TnGns Dãy phép chia này phải là hữu hạn, với phép chia cuối cùng là một phép chia hết Từ đĩ ta được (a,b) = (11) = = ƠnTa, Tn) =Tn, nghĩa là ƯCLN của a, b bằng số dư cuối cùng r„ trong thuật tốn nĩi trên Việc tìm ƯƠLN của ø số (n > 3) sẽ được tính theo cơng thức truy hồi:
(Ø1, đa, đa) = ((01, 21+.) Ont), An)
Số nguyên rn được gọi là bối chưng của các số nguyên khác khơng đị, đ;, a„(n > 2) nếu nĩ chia hết cho mỗi số nguyên đĩ Bội chung m của các số nguyên a, øơạ, ,a„ được gọi là bội chưng nhỏ nhất của các số này (viết tắt là BƠNN) nếu nĩ là ước của mọi bội chung của dị, dy a„ Nếu m và rm/ là những BƠNN của các số an, đạ, , đa thì
m = +m/ Trong trường hợp ?m > 0 ta ký hiệu
m = BCNN(ay, Qo, .,@n), hoc m = [a1, đạ, đn] và quy wdc goi né la BONN ctia aj, aa, ., On-
Định lý về sự tồn tại của bội chung nhỏ nhất: Tồn tại bội chưng nhỏ nhất của n số nguyên khác khơng đ, dạ an (n > 1)
Giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên a,b cĩ mối quan hệ sau:
|a|
fa, 6] = (ab)
Bội chung nhỏ nhất của n số (n > 2) được tính theo cơng thức
[&i, a2, va] = |[Œ, 8à, say đao g], 8n]
Trang 17Trong nhiều trường hợp, BƠNN của nhiều số cịn được xác định nhờ tính chất
mm m
m = đi, 0a, ., đa] @ (—,—, ,— } = 1 đị đạ Qn,
Số tự nhiên lớn hơn 1 khơng cĩ ước dương nào khác ngồi 1 và chính nĩ được gọi là số nguyên tơ
Chúng ta chỉ ra một số tính chất cơ bản thường gặp của các số nguyên tố -
1 Cho p là số nguyên tố Khi đĩ với mọi số nguyên ø thì hoặc ø chia hết cho p hoặc a nguyên tổ cùng nhau với p
2 Nếu số nguyên tố ø chia hết tích ab của hai số tự nhiên thì hoặc p chìa hết a hoặc p chia hết b
đ Nếu số nguyên tố p chia hết tích œ số thì nĩ phải chia hết ít nhất một trong các thừa số đĩ
Định lý cơ bản của số học: Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích dược thành tích những thừa số nguyên tố tà sự phân tích đĩ là duy nhất, khơng kể đến thứ tự của các thừa số
Sự phân tích
a = py py? Pees
trong dé p), po, , px là những số nguyên tố khác nhau và a7, a2, ., œ
Trang 181.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 18
Ký hiệu P(X) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X Hãy biểu diễn các tập hợp:
P({1})) va P(P(P({1}))-
Giả sử A, Ð là những tập hợp con tuy ¥ cla tap hop M Khi dé các điều sau là tương đương; aACB adBcA ĐAnB=A e) ANB=6 c)AUB=B ƒ)M =ÃUB Gia stt A, B,C, M là những tập hợp tuỳ ý Chứng mình rằng: a) AUB=BUA; AnB=BnA (luật giao hốn) b) AN(BNC) =(ANB)NC; AU(BUC)=(AUB)UC (luật kết hợp) c) AN(BUC) = (ANB)U(ANC); AU(BNC)=(AUB)N(AUC) (ludt phan phdd) d) Cơng thức Dờ Moocgăng M\ (AUB) =(M\ A) (M \ B); M\(AN B)=(M\ A)U(M \ B)
Chứng mình rằng nếu A C B thi AUC C BUC va ANC C BNC Chứng minh rằng nếu X C Y thì P(X) C P(Y)
Trang 191.9 1.10 1.11 2.1 2.2 2.3 32.4
Cho E là một tập hợp, ø là một số nguyên dương, và 4o, 4¡, , 4a là những tập con khác nhau của # sao cho
đ= AoC AiC cC Ay=E
Ta ky higu By = A; \ Ag, ,Bp = An \ An—1- Chimg minh r&ng: a) E= UB; i=l b) BB; =0, voile x ji Xét tap hop {Aj, Ao, , An} mA cée phan tit Aj, Ao, , Ap là những tập hợp Chứng minh rằng cĩ ít nhất một tập hợp A, khơng chứa một tập nào trong các tập cịn lại
Hiệu đổi xứng của hai tập hợp A và Ø được định nghĩa bởi AAB=(AUB)\(AnB) Hãy chứng minh rằng: a) AA B=(A-— B)U (B ~ A) b) AAB=BAA, s) An(BÀ) =(AnB) A (An) Ánh xạ Xết các ánh xạ ƒ(n) = ẩn; gín) = 3n + 1 và hín) = ?n + 2 từ Z vào Z Hãy tìm ánh xạ là ngược trái đồng thời của ƒ, g và h Cho các ánh xạ g: X — Y, ƒ : Y ~+ Z Chứng minh rằng: a) Nếu ƒ o ø được xác định và cả hai hàm ƒ,g đều cĩ ngược trái thì ƒ o ø cũng cĩ ngược trái
b) Chứng tỏ bằng ví dụ mệnh đề đảo nĩi chung khơng đúng tức là, ƒo ø cĩ ngược trái cả khi ƒ khơng cĩ ngược trái
Trang 20Xác định ảnh của mỗi ánh xạ này và chỉ rõ những ánh xạ nào là đơn ánh 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 20 Chứng minh rằng ánh xạ: f:R-R zr 21-32)
là một song ánh và hãy tìm ánh xạ ngược của nĩ
Giả sử n là một số tự nhiên cho trước, ƒ : Đ — Đ là một ánh
xạ được xác định bởi:
n—kKnéuk<n
k)=
F(R) Đàn
ƒ cĩ phải là một đơn ánh, tồn ánh, song ánh khơng?
Trang 212.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15
HAY AVC) =X\ FMC) =IOY)\ FC)
Giả sử ƒ: X — Y là một ánh xạ, A và là hai bộ phận của X, C va Ð là hai bộ phận của Y., Chứng minh:
a) Ac f(f(A))
b) C3 (FMC)
c) Néu AC B thi f(A) c f(B) d) Nau Cc Dthi fC) c f(D)
Chứng minh rằng ánh xạ ƒ : X — Y là đơn ánh khi và chỉ khi ƒ thoả mãn một trong các điều kiện dưới đây:
a) A= f-'(f(A)) vai moi AC X
b) /(An B8) = f(A) N f(B) với mọi A, BC X Giả sử ƒ: X — Y và g: Y — Z là hai ánh xạ và h = øƒ là ánh xe tích của chúng Chứng minh: a) Nếu h là đơn ánh thì ƒ là đơn ánh, nếu thêm giả thiết ƒ là tồn ánh thì ø là đơn ánh b) Nếu Ð là tồn ánh thì ø là tồn ánh, nếu thêm giả thiết g là đơn ánh thì ƒ là tồn ánh,
Giả sử ƒ: X — Y và g: Y —+ X là hai ánh xạ sao cho ƒøƒ là một song ánh Chứng minh rằng ƒ và ø đều là song ánh Cho X = {a,b,c}, P(X) là tập hợp các tập con của X; V = {0,1} và Hom(X,Y) là tập hợp các ánh xa từ X đến Y Hãy thiết lập một song ánh giữa P(X) và Hom(X, Y) Cho ba nh xa f : X 3 Y; g,ø' : V X Chứng minh hai điều kiện sau là tương đương:
a) ƒ là đơn ánh
b) Với mọi ø, ø' và với mọi W, từ ƒø = ƒg' suy ra g = 9’
Trang 223.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 22 ©$ ƒ14Uð; an (AB d) f-¢ fe =nứ"
Quan hệ hai ngơi
Hãy xác định các tính chất phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu của những quan hệ sau trên tập Đ* Với m,m € Đ* thì mn khi và chỉ khi: a) m+n chin; b) m+n < 100; c) m/n là luỹ thừa của 2; d) m/n chan; e) mm lễ
Trong những quan hệ trên Z sau đây, quan hệ nào là đối xứng: a) mợn cĩ nghĩa m + n chia hết cho 3;
b) mỗn cĩ nghĩa mm — nđ chia hết cho 3 Quan hệ nào trong chúng là bắc cầu?
Trên tập R2, xét quan hệ Š như sau: (z,)S9(z,f) «@ z =z a) Chứng tơ rằng # là một quan hệ tương đương Mơ tả các lớp tương đương theo quan hệ S
b) Lập một song ánh từ R2/# vào lR
Trên tập tích Dề-các Z x Đ* của tập hợp các số nguyên Z và tập hợp Đ* các số tự nhiên khác 0, cho quan hệ ؇ xác định bởi:
(a,b)9R(c, đ) khi và chỉ khi ad = be Chứng minh:
a) #t là một quan hệ tương đương;
b) Cĩ một song ánh từ tập thương Z x Đ*/Ø1† đến tập các số hữu tỷ Q
Cho quan hệ tương đương # trên „3 Chứng mình rằng tập con A của Š là một lớp tương đương của Š theo quan hệ tương đương E nếu và chỉ nếu với € A,z € A = z
Trang 233.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12,
minh rằng khi đĩ tồn tại duy nhất ánh xạ g : X/E — S sao cho ƒ =gò, trong đĩ p: X X/E là phép chiếu tự nhiên Hơn nữa, nếu ƒ là tồn ánh thì g là song ánh
Giả sử Š là một tập hợp, 7 là một quan hệ hai ngơi cĩ tính chất phần xạ, đối xứng trong Ø Ta xác định quan hệ hai ngơi trong Š như sau: ey khi và chỉ khi cĩ ø = #,#a, n = Y
sao cho -
@T £9, £21 T3, , Lp_1T Ey Chứng minh:
a) Øì là một quan hệ tương đương và 7C 9;
b) Với mọi quan hệ tương đương Ở sao cho 7C H thì %C H Chứng tỏ rằng trên tập hợp X khác rỗng bắt kỳ tồn tại duy nhất một quan hệ vừa là quan hệ tương đương vừa là quan hệ thứ tự
Giả sử Øt là một quan hệ tương đương trên tập hợp Ø Chứng minh ring néu ® # {(x,x) | x € 6} thì ؆ khơng phải là một quan hệ thứ tự trong 8
Giả sử ƒ : 6 — Đ là một đơn ánh từ tập hợp Š đến tập các số tự nhiên Đ Quan hệ hai ngơi Ø3 trong 9 xác định bởi
+zØtz khi và chỉ khi f(z) < f(x’)
Chứng minh Ø* là một quan hệ thứ tự tồn phần
Đối với hai tập con A CƠ của tập hợp 6, ta gọi ánh xag: B—Y là kéo dài cha anh xa f: A> Y néu g(x) = f(x) với mọi z € A Gọi ®(S,Y') là tập hợp các ánh xạ từ các tap con của § đến Y; Xét quản hệ ؆ trong ®(8,Y) được xác định như sau:
ƒ 9g khi và chỉ khi ø là kéo dài của ƒ a) Chứng minh #† là một quan hệ thứ tự
b) Tìm các phần tử tối tiểu, tối đại, bé nhất, lớn nhất của
%(9,Y) đối với Ø
Chứng minh rằng nếu a là phần tử bé nhất (lớn nhất) của một tập hợp Ø đối với một quan hệ thứ tự thì a IA phần tử tối tiểu (tối đại) duy nhất của S
Trang 243.13 Chứng minh rằng nếu tập Š sắp thứ tự tốt thì Š sắp thứ tự tồn phần 4 Số nguyên 4.1 Chứng minh rằng nếu mm — ø chia hết rnp + nạ thì m — œ chia hết ma + np (ở đồ m,n,p, q € Z2)
4.2 Cho (a,b) = 1 và n là ước chung của ø — b và ac — bd Chứng minh rằng n là ước của e — d
4.3 Chứng minh rằng nếu (a3-+-b3+c3) : 9 thì một trong ba số a, be chia hết cho 3 4.4 Chứng mình rằng khơng cĩ cặp số nguyên z, nào thoả mãn đẳng thức: a)z?® +1 =3 b)z?+ 2= 5y, 4.5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1, tích (n+ 1)(n+2) (n +n) chia hết cho 2*, 4.6 Chứng minh rằng tồn tại võ số số nguyên dương r sao cho 2" +1 chia hết cho m
4.7 Cho da thức P{z) với các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương a sao cho khơng cĩ số nào trong các số P(),P(2), P(a) chia hết cho ø Chứng mình rằng với mọi số nguyên z ta cĩ P(z) # 0
4.8 Chứng mình rằng nếu ø và e là hai số nguyên tố cùng nhau thì œ | m và e | rn kéo theo ae | rn
4.9 Cho ø > 0 Chứng mình rằng (ab, ac) = a(b, c)
4.10 Chứng minh rằng với hai số nguyên dương a và b tập hợp tất cả các số dạng am + bn (me nguyên dương) chứa tất cả các bội
của (a, b) lớn hơn ab ‘
4.11 Chitng minh ring v6i moi s6 nguyén a va b ta cĩ:
24
Trang 254.12 4.13 4.14, 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 Tim (a + b,ø — b) biết (a,b) = d Chứng mình rằng (ø, b} = 1 vdi: a) a= 21m + 4, b= 14m + 3; b) = m?+ 2m, b= mí“ + 3m2 + 1, c) a = mềẦn + 2m, b = mn + 1, trong đĩ rn € 2n € Z
Chứng minh rằng các số 2P — 1 và 2# — 1 là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi hai số p và g nguyên tố óng nhau
Cho a,m,n là những số nguyên dương, trong đĩ a > 1 và (m,n) = 1 Chứng minh ring:
(œ — 1){a™" — 1)? (a” — 1)(a* — 1) Cho a, b là hai số nguyên đương sao cho (a,b) = 1 Tim
(6°®+ 7%, 5° + 7È), a) Tìm [2" — 1,2” + 1] với n € Đ;
b) Tìm [a,ø + 2] với a € Đ
Trang 264.22 Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số
4.23 Tìm số nguyên tố p sao cho hai số p + 4 và ø + 8 cũng là những số nguyên tố
4.24 Chứng minh rằng tồn tại vơ số số nguyên dương ở sao cho n*+a là hợp số với mọi số nguyên dương n
4.25 Chứng minh rằng tích của những số dạng 4m + L lại là một số cĩ dạng ấy Từ kết quả này suy ra rằng cĩ vơ số số nguyên tố dạng 4m + 3
Giải bài tốn tương tự cho số nguyên tố cĩ dạng 6m + 5 4.26 Chứng minh rằng với m > 2, giữa m và mì cĩ ít nhất một số
nguyên tố Từ đĩ suy ra rằng cĩ vơ số số nguyên tố
4.27 Chứng minh rằng nếu tổng của ba số chính phương là một số chính phương thì cĩ ít nhất hai số trong ba số này là chẵn
Trang 27Chương II
NHĨM - ĐỒNG CẤU NHĨM
1 Đại số hai ngõi
Hệ đại số là một khái niệm cơ bản của đại số hiện đại Một hệ như vậy là một tập hợp các phần tử mà trên đĩ cĩ thể thực hiện các phép tốn tựa như phép cộng hay phép nhân các số Một phép tốn hai ngơi trên tập hợp Š là một ánh xạ
@:5xS— S$ (a,b) => (a,b)
Như vậy, phép tốn hai ngơi là một quy tắc cho tương ứng hai phần tử z, € Š với một phần tứ của Š là ảnh của (z, ) qua ¿ Tập hợp S$ cùng với phép tốn hai ngơi o cho trên nĩ được gọi là một đại số hai ngơi, ký hiệu bởi (S, o)
Đại số hai ngơi (5,o) được gọi là một mửa nhĩm nêu phép tốn trên 9 thoả mãn luật kết hợp, nghĩa là
œo(boc)=(aob}oc
với mọi a,b,c € S Nửa nhĩm 9 được gọi là tý nhĩm nếu trong 9 cĩ phan tử e, gọi là phần tử đơn uị, sao cho
eca=ace=a
với mọi ø € S Phan tit don vi cdn duge goi 1a phdn ti trung hod Trong trường hợp phép tốn được ký hiệu bởi phép cộng thì phần tử này ký hiệu bởi 0
Trang 28Trong nửa nhĩm Ä# nếu tồn tại phần tử u sao cho ua = a véi moi a€ M (ta nĩi w là đơn tị trái) và phần tử 0 sao cho œu = œ với mọi a€ Àƒ (ta nĩi 0 là đơn tị phải) thì u = o và là phần tử đơn vị của M Nĩi riêng, phần tử đơn vị của nửa nhĩm (nếu cĩ) là duy nhất
Vị nhĩm Ä⁄ được gọi là zcle nêu nĩ chỉ gồm các luỹ thừa c* của phần tử e nào đĩ Khi đĩ ta nĩi rằng vị nhĩm ă dược sinh bởi-c
Trong vi nhém bat ky M thi a™a™ = ø'"+" đối với a € Mf và với mọi
số tự nhiên rn,n Nửa nhĩm A⁄# được gọi là giao hốn (hay aben) nếu ab — bœ với mọi a,b € Mí Hiển nhiên mọi vị nhĩm xyclic đều giao hốn
“Tập con H của nửa nhĩm (M,o) được gọi là đĩng (hay ổn định) đối với phép tốn trong W nếu với moi ø,b € H ta đều cĩ ab € H Nếu tập con Ư# đĩng thì là nửa nhĩm với phép tốn H x H —¬ H, thu hẹp của phép tốn trong W Khi đĩ ta nĩi rằng phép tốn trong H là cẩm sinh bởi phép tốn trong W và H là nửa nhớm con của N
Ánh xạ ƒ: M — ĐN' từ nửa nhĩm tới nửa nhĩm ẤN” được gọi là đồng cấu nrủa nhĩm nêu
ƒ(að) = ƒ(a)ƒ()
với mọi a,b € W Đồng cấu ƒ được gọi là đơn cấu (tương ứng tồn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ ƒ là đơn ánh (tương ứng tồn ánh, song ánh) Trường hợp N' = N thì ƒ được gọi là một tự đồng cấu của N
Nếu ƒ: N — MN' là đồng cấu nửa nhĩm và N cĩ đơn vị e thì ƒ(e) là đơn vị của Imƒ Chú ý rằng nếu ƒ : W — ẤN” là một đồng cấu của các nửa nhĩm và W cĩ đơn vị e thì cĩ thể ƒ(e) khơng phải là đơn vị của Đ',
Cấu trúc của một vị nhĩm xyclie bất kỳ Œ sinh bởi phần tử e được mơ tả như sau: Nếu tất cả các luỹ thừa của c đều khác nhau thì ta cĩ
ánh xạ
ƒ:N ¬C n wc
là một dẳng cấu Trong trường hợp ngược lại sẽ tồn tại số nguyên dương bé nhất s sao cho c* = c“ đối với m nao dé, m < s Khi đĩ € = {(l,c, ,c°} và
cid = chhẩ~h,
Trang 29trong đĩ = s—m và k là số tự nhiên bé nhất thoả mãn ¿+ j— kn < s (đặc biệt nếu 7 + 7 < s thì k = 0) Trong trường hợp này ta nĩi Œ là vị nhĩm kiểu (m, n)
Trong mỗi vị nhĩm xyclic kiểu (m,n), m # 0, cĩ đúng một phần tit a # 1 sao cho a? = a Ta gọi ø là phần tử luỹ đẳng
2 Nhĩm
Vị nhĩm (GŒ, o) được gọi là nhớm nêu với mỗi phần tử ø Œ đều tồn tại một phần tử ø' € Œ sao cho
øog '=detoqa=e
Nĩi cách khác, tập hợp Œ cùng với phép tốn hai ngơi o được gọi
là một zzhớrn nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
(¡) Phép tốn kết hợp:
œo(boc) =(aob)oe, với mọi ø,b,c thuộc Œ,
(¡) Trong Œ cĩ phần tử e (gọi là don vi) sao cho eca=ace=a,
véi moi a € G
(iii) Déi với mỗi a € Œ tồn tại phần tử œ' € Œ sao cho aca =adoa =e,
Nhĩm Œ dược gọi là giao hốn hay aben (lấy tên nhà tốn học Niels Abel) nếu ab = ba với mọi a,b € G
Phần tử a' cĩ tính chất aa' = da = e là duy nhất đối với mỗi œ€G, được gọi là nghịch đảo của a và ký hiệu bởi ø~! Đối với mọi
phần tử a, ị của nhĩm Ở các tính chất sau luơn được thoả mãn:
(i) (at)! =a; (ii) (ab)~t = ba!
Trong nhém G luật giản ước luơn luơn thực hiện được, nghĩa là
ax = ay kéo theo x = và rb = yb kéo theo x = y, vdi moi a,b € G Khái niệm nhĩm thường được đặc trưng bởi những điều kiện sau:
1 Một nửa nhĩm Œ là nhĩm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Trang 30() Tồn tại phần tử e € GŒ sao cho ea = a tới mọi a € Œ (e được gọi là đơn tị trái của G),
(ii) Voi méi z € GŒ tồn tại z' € Œ sao cho a'r =e (x! goi là nghịch dảo trái của x)
2 Nửa nhĩm Œ là nhĩm nếu và chỉ nếu các phương trình az = b va ya = Ù cĩ nghiệm trong G với mọi a,b € G
Tập hợp S(X) tất cả các song ánh từ tập hợp X tới chính nĩ lập thành một nhĩm với phép tốn hai ngưi là phép hợp thành các ánh xạ Phần tử đơn vị của S(X) là ánh xạ đồng nhất ¿đx và đối với song ánh ƒ € Š(X) thì phần tử nghịch đảo ƒ' ở đây chính là ánh xạ ngược của ƒ Mỗi phần tử ƒ € S(X) được gọi là một phép thế của X và S(X) được gọi là nhĩm tắt cả các phép thế của X, hay nhĩm đối ứng của X Khi tập hợp X cĩ hữu hạn phần tử ta ký hiệu nhĩm đối xứng của tập X = {1,2,.,.,n} là Sạ, và gọi là nhĩm đối zứng của n phần tử Mỗi song ánh từ X lên chính nĩ được gọi là một phép thế bậc n
và được ký hiệu bởi
f=( yy r8) sim )
trong đĩ mỗi phần tử ở đồng dưới là ảnh của phần tử tương ứng ở địng trên Một cách tổng quát, mỗi phép thế ƒ cĩ thể viết dưới dạng
r=( ay ig ne ty )
f(a) ƒ02) ƒGa)
trong đĩ í,ia, , #„ là một hốn vị của tập X
Nếu ƒ,g là hai phép thế thì tích g o ƒ là phép thế thu được bởi việc thực hiện liên tiếp phép thế ƒ rồi tới phép thế g (Cũng cĩ tác giả quy ước tích g o ƒ được thực hiện bởi ợ trước rồi đến ƒ) Nếu a),a2, ,@m,1 < m < m, là các phần tử phân biệt của tập hợp {1,2, ,2} thi phép thế f cho béi f(a1) = az,
F(a2) = 93,.-.,f(@m-1) = Om, f(@m) = a, va f(z) = 2 néu
x ¢ {a),42, ,am}, duge gọi là một vịng xích độ đài mm, hay một mm - xích Ta ký hiệu vịng xích này bởi (œ@sz đm)
4-nhĩm, Klein hay nhĩm đỗi xứng của hình chữ nhật khơng là hình vuơng: Ta đánh dấu các đỉnh của hình chữ nhật bởi các số 1, 2, 3, 4 như ở hình vẽ sau:
Trang 31
4 3
Mỗi phép đối xứng của hình chữ nhật biến các đỉnh thành các đỉnh, và như vậy là một hốn vị giữa các đỉnh Ta ký hiệu ø là phép đối xứng qua trục hồnh, thế thì
a(1) = 4,a(2) = 3,a(3) = 2,a(4) = 1
Tương tự 6 1A phép déi xting qua truc tung Phép đối xứng thứ ba c là phép quay 180” quanh tâm của hình chữ nhật Phép đối xứng cuối cùng là phép đồng nhất e Nhĩm các phép đối xứng của hình chữ nhật được cho bởi bắảng sau:
3 Nhĩm con
Ta nhắc lại rằng tập con khác rỗng #ƒ của nửa nhĩm nhân Œ được gọi là đĩng (hay ổn định) nếu a,b € H kéo theo ab € H, va khi do H là nửa nhĩm con của Œ với phép tốn cảm sinh bởi phép tốn trong G Tập con đĩng H của nhĩm nhân Œ được gọi là nhĩm con của Œ nếu nĩ là một nhĩm đối với phép tốn cảm sinh bởi phép nhãn trong Œ Nhĩm con dược đặc trưng bởi các điều kiện sau:
1 Tập con #fƒ của nhĩm Œ là nhĩm con khi và chỉ khi các điều kiện sau được thoả mãn:
Trang 32(1) nếu a,b€ H thì dù c H, Gi) e € H,
(iii) nédua € H thie”! € H
Nĩi riéng, néu H 1A mdt tap con hitu hạn khác rỗng của nhĩm Œ và ab © H véi moi a,b € H, thì H là nhĩm con của Œ
2 Giả sử là tập con khác rỗng của nhĩm Œ Khi đĩ các điều kiện sau là tương đương:
(i) H la nhém con cia G
Gi) Néwa,be H thie"! © H vaabe H (1) Nếu a,b€ H thà ab"' € H,
Nĩi riêng, trong nhĩm Œ tập hợp tất cả các luy thừa ø" (n € Z2) của
œ € G lập thành một nhĩm con, được gọi là nhĩm xyclic sinh bởi a
Phan tit a cha nhĩm Œ gọi là cĩ cấp ơ hạn nếu khơng tồn tại
số nguyên dương 2 nao sao cho a” = e, và dược gọi là cĩ cấp hữu han m néu m là số nguyên dương bé nhất sao cho ø” = e Lực lượng của nhĩm Ớ, ký hiệu bởi ||, được gọi là cấp của nhĩm Œ được gọi là nhĩm hữu hạn hoặc vơ hạn nếu |Ớ| tương ứng là hữu hạn hoặc
vơ hạn
Nhĩm các phép quay của một đa giác đều ? đỉnh trong mặt phẳng là nhĩm xyclic cấp mœ, sinh bởi phép quay gĩc 2m/= radian Nhĩm này ký hiệu bởi Ca
Nếu e là phần tử đơn vị của nhĩm G va a € G la phan tit cĩ cấp n thi a* = e khi và chỉ khi k chia hết cho n
Cho Ù là một tập hợp con của nhĩm Œ Khi đĩ, nhĩm con bé nhất
H chứa U được gọi là nhĩm cơn sinh bởi tập U, cịn U được gọi là tập sinh hay tập các phần tử sinh của H Trường hợp H = G ta nĩi rằng G sinh bởi U
Rư ràng nhĩm con #† là xyclic khi nĩ được sinh bởi tập gồm một phần tử Nhĩm con của một nhĩm xyclic là xyclic, va moi nhém con của nhĩm (Z, +) dều cĩ dạng A = mZ véi m € Z
Trang 33lật, thế thì b là một phần tử cấp 2 và nhĩm „ sinh bởi hai phần tử gh:
Dn = {e,9.97, ,9" 7, hg, hg?, ,hg™}
Chú ý ring néu n > 3 thi gh # hg nén D, khong IA nhom giao hốn và do đĩ khơng là xyclic
4 Nhĩm con chuẩn tắc - nhĩm thương
Cho là một nhĩm con của nhĩm Œ Khi đĩ các tập hợp gH = {ga | a € H}, Hg = {ag | a € H} với g e Œ lần lượt được gọi là lớp ghép trái, lớp ghép phải của nhĩm G theo nhém con H Với a,b € G, khi do:
aH =bH = abe H,
Ha=Hb & abled
Quan hệ hai ngơi ~:
a~bmod Hea be H
là một quan hệ tương đương trên G; do đĩ nĩ cho mmội phân hoạch nhĩm Œ theo các lớp khơng giao nhau uà mỗi lớp như uậy là một lớp ghép trái theo H Tưởng tự, quan hệ hai ngơi a ~ b «> ab—! € H là một quan hệ tương đương trên G mà mỗi lớp tương đương là một lớp ghép phải theo H, Tập
G/H = {gH | 9 € G},
các lớp ghép trái của H trong nhom G được gọi là tập thương của nhĩm Œ theo ï! Lực lượng của tập các lớp ghép trái của Œ theo nhĩm con #Ÿ được gọi là chỉ số của H trong Œ, và ký hiệu bởi [G : Hf}
Định lý Lagrange: Nếu Œ là một nhĩm hữu hạn uà H là nhĩm con
của Œ thì cấp của H chia hết cấp của G Dặc biệt suy ra rằng mọi nhĩm cấp nguyên tố p là xyclie
Định lý Lagrange cĩ thể mở rộng cho trường hợp các nhĩm xyclic hữu hạn Nếu Œ là mét nhom ayelic cấp n, ồ k chia hết n thà Œ cĩ
Trang 34đúng một nhĩớm cơn H cấp k Hơn nữa, nếu g sinh ra G, thà H được sinh bởi g1/%,
Nhĩm con H của nhĩm Œ được gọi là nhớm con chuẩn tắc nêu
gH = Hụ với mọi g e Œ Khi đĩ ta cũng nĩi rằng #ƒ là nhĩm con chuẩn tắc trong Œ Dối với nhĩm con của nhĩm G các điều sau là tương đương:
(i) H la chuẩn tắc trong GŒ,
(ii) gg"! = H Vụ GCG, trong đĩ gHạ~! = {ghg 1h e H} (ii) gag"!€ HH sới Vụ € G,Va € H
Phần tử gag”! được gọi là liên hợp của œ bởi ø Nếu H là nhĩm con chuẩn tắc trong nhĩm G thì tương ứng
(G/H) x(G/H) + G/H
(aH,bH) + (ab)H
là một ánh xạ Và bởi vay, tap thugng G/H là một nhĩm với phếp todn (4H)(bH) = (ab)H Nhom nay duge gọi là nhĩm thương của Œ theo #ƒ Nhờ khái niệm nhĩm thương ta chứng mỉnh được rằng: Nếu G là nhĩm aben hữu hạn va p là số nguyên tố chìa hết cấp của nhĩm G thi G chứa phần từ cấp p uà do đĩ chúa nhĩm con cấp p-
5 Đồng câu nhĩm
Một trong những kết quả cơ bản của lý thuyết nhĩm là định lý đồng cấu nhĩm Nĩ mơ tả mối quan hệ sãu sắc giữa những đồng cầu với các nhĩm con chuẩn tắc và các nhĩm thương Những kết quả tương tự cũng được phát biểu cho các vành, các khơng gian vectơ, cũng như cho phần lớn các hệ đại số khác
Ánh xạ ƒ: G — H từ nhĩm G đến nhĩm # được gọi là đồng cấu nhĩm (hay một cách ngắn gọn là đồng cấu) nếu:
flab) = f(a) f(b) với mọi a,b € G
Đồng cấu ƒ được gọi là một đơn cấu (tương ứng tồn cốu, đẳng cấu) nếu ƒ là một đơn ánh (bương ứng tồn ánh, song ánh)
Khái niệm đồng cấu cĩ một số tính chất cơ bản sau:
Trang 351 Nếu ƒ : Œ — ¡7ƒ là một đồng cấu nhĩm thì:
(i) flec) = en, véi eg, ey lần lượt là các phần tử đơn vị của G,H (ii) f(a7") = [ƒ(a)]”', với mọi a eG
2 Hợp thành của hai đồng cầu œ: A — B,đ: 8 — Clà một đồng cấu -
3 Dồng cấu ƒ : Ơ — H là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {e}
4 Nhĩm con N cia G 1a chuẩn tắc khi và chỉ khi N 1a hat nhan
của một đồng cầu f : G — H nao do
5 Định lý đồng cầu: Giả sử N là nhĩm cơn chuẩn tắc của G Khi đĩ tới mỗi đồng cấu y : G + H sao cho N C Ker y déu ton tai duy nhật một đồng cầu wy: G/N — H sao cho biéu dé sau giao hốn
ˆ G/N
N⁄
nghĩa là @ = Qop, trong đĩ ?Ð là phép chiếu tự nhiên Hơn nia, ~ don cấu khi uà chỉ khí N = Kere Nĩi riêng, ta luơn cĩ
G
G/Kerg & Imy
Khái niệm đẳng cầu cho phép phân loại các nhĩm xyclic: mỗi nhĩm zụclic cấp v6 hạn đẳng cấu tới nhĩm cộng các số nguyên Z„ ồ mỗi nhĩm sụclc cấp n dẳng cấu uới nhĩm cộng Z„ các lớp đồng dư theo médun n Trong cuốn sách này chúng ta thường nĩi tới hai nhĩm xyclic (2a, +) và (Cn, o) với số nguyên dương nào đĩ, chúng là đẳng cấu
Định lý đồng cấu cĩ hai hệ quả quan trọng:
1 Giả sử A,B là bai nhớm con chuẩn tắc của nhớm GŒ va ACB
Khí dĩ cĩ đẳng cấu chính tắc
(G/A)(B/A) ¥ G/B
2 Nếu A la nhom con chudn tée cia nhém G va B 1a mét nhém
cơn của Œ thà tập AB = {ablac A,be B} la một nhớm cơn của G ầ ta cĩ đẳng cấu
AB/B % B/(An B)
Trang 36Bài tập
1 Đại số hai ngơi
Đối uới các bài tập sau hấu sét các tính chất kết hợp, giao hốn, cĩ đơn ơị của phép tốn trên đại số hai ngơi đã cho 1.1 (Aa(R), +) 1.2 ({1,2,3,6, 12}, UCLN) 1.3 ({a + bV2| a,b € Q},+) 14 (§ cQla,beZb=2E+ 1Ì +) 1.5.({z€C|l|z| =1}.+) 1.6.({z€C||z{ =1}, x) (9971) 1.8 Cho tập hợp A = {ø,b} Cĩ bao nhiên phép tốn hai ngơi trên 5)(75)*3) A, hãy chỉ rõ tất cả các phép tốn đĩ
1.9 Giả thiết rằng phép tốn hai ngơi x trên tập X cĩ đơn vị và
thoả mãn đẳng thức sau với mọi #, , Z thuộc X:
zx*{wxz) = (œ xz) *U
Chứng mình rằng phép tốn x là kết hợp và giao hốn 1.10 Những phép tốn nào trong số các phép tốn hai ngơi (m,n)
m*n trén tập các số nguyén Z sau đây là kết hợp? giao hốn?” ) TH # * = TH — THỊ
b) màn = HỆ tn’; ` e) m.+x?› = 2(m + n)
1.11 Cho tập hợp A = {a,b,e} Hãy xây dựng phép tốn hai ngơi trên A sao cho:
a) Acé dting mot don vj trai b) A cĩ đúng hai đơn vị trái
e) 4 cĩ đúng ba đơn vị trái
1.12 Trên tập hợp X xét phép tốn hai ngơi sau: ab = b véi moi abe x,
Trang 37a) Chứng tổ rằng X cùng với phép tốn trên là nửa nhĩm b) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của X đều là đơn vị trái
e) Khi nào thì X cĩ đơn vị? Khi nào thì phép tốn hai ngơi đã cho là giao hốn?
1.13 Trên tập hợp Ä⁄/ tất cả các ma trận thực vuơng cấp hai cho phép tốn hai ngơi xác định bởi: øo b = ab + ba Chứng tổ rằng phép tốn đĩ cĩ tính chất giao hốn nhưng khơng cĩ tính chất kết hợp 1.14 Cho ƒ : X — Y là một đồng cấu của các nửa nhĩm Chứng minh rang: a) Nếu A là một nửa nhĩm con của X thì ảnh ƒ(4) là nửa nhĩm con của Y
b) Nếu Ø là nửa nhĩm con của Y thì tạo ảnh tồn phần ƒ~1() là nửa nhĩm con của X
1.15 Cho các dồng cấu nửa nhĩm œ : A — Ư;Ø : B — Œ Chứng minh rang:
a) Nếu Øo œ là tồn cấu thì Ø là tồn cấu b) Nếu Ø o œ là đơn cấu thì œ là đơn cấu
1.16 Cho 4,7 là những vị nhĩm và ƒ : A —¬ B là đồng cấu nửa nhĩm Chứng minh rằng các điều sau tương đương:
a) f(ea) = eg, trong dé e4,eg lan lugt là các phần tử đơn vị cla A, B
b) Anh ƒ(4) là vị nhĩm con cia B
©) Tạo ảnh ƒ~!{(eg) là vị nhĩm con của 4
Ngồi ra, nếu ƒ”!{eg) = {ea} thì ƒ cĩ là đơn cấu hay khơng? 1.17 Giả sử a và b là hai phần tử của một nửa nhĩm X sao cho
ab = ba Chứng minh ring (ab)” = a”#* với mọi số tự nhiên œ > 1 Nêu ø và 6 là hai phần tử sao cho (øư)? = a?È? thì cĩ suy
Ta ab = ba hay khơng?
2 Nhĩm
Đát uới các bài từ 9.1, đến 2.4 hay cho biết dau là nhĩm, đâu là nhĩm aben Hãy giải thách cho kết luận dua ra
2.1 (Ma(R) \ {0}, -), trong đĩ 0 là ma trận khơng cỡ n x n
Trang 382.2 ({e,a}, *), trong đĩ e x e = €, VÀ €* da =đ*€ = ax*@ = 0 2.3 (R*,e), trong đĩ R* = R\ {0} và z oz là zự nếu øz > 0, là z/g nếu z < 0 2.4 (Z,*), trong đĩ rn *n là m + n nếu m chẫn, và là m — n nếu m lẽ 2.5 Chứng minh rằng Z‡ = Z \ {Õ} khơng là nhĩm đối với phép nhân 7.s =75 2.6 Hãy trang bị phép tốn hai ngơi cho tập hợp 4 để A trở thành nhĩm trong trường hợp 4 cĩ 2, 3, 4 phần tử
2.7 Cho A = {0,1,2, ,m — 1}, với œ € Z Trên A4 cho phép tốn hai ngơi: a x b là dư của phép chia ab cho ø Chứng minh ring
a) A là một vị nhĩm
b) A là nhĩm khi và chỉ khi œ là số nguyên tố
2.8 Cho G la tập tắt cả các các cặp số thực (a, b), trong đĩ a # 0 "Trên Œ xác định phép tốn hai ngơi cho bởi cơng thức (a,b) * (c,d) = (ac, be + d) Chứng tỏ rằng khi đĩ G là một nhĩm 2.0 Chứng minh rằng trong nhĩm G: (8iaa au) Lm an t a2 1a 1, 2.10 Chứng minh rằng trong nhĩm Œ, (a~!ba)* = a~1!b*a đối với mỗi số nguyên È
2.11 Cho G la mét nhém va a,b € G sao cho bab"! = a", với r €Đ Ching minh ring b'ab-? = a" “Vi EN
Trang 392.15 Cho X là một tập hợp khác rỗng Chứng minh rằng ba mệnh đề sau là tương đương:
a) X là một nhĩm
b) Tồn tại một phép tốn hai ngơi (ø.b) + ab trén X và một phép tốn một ngơi a › a~! trên X sao cho:
i) a(be) = (ab)c véi moi a,b,c € X
ii) a” (ab) = b = (ba)a~} với mọi a,b € X,
c} Tén tại một phép tốn hai ngơi (a,b) + a/b trên X sao cho: 1) a/a = b/b
ii) a/(b/b) =a
iii) (a/a)/ (b/c) = c/b
1v) (a/e)/(b/e) = a/b
với moi a,b,c € X
2.16 Chứng minh rằng Œ là một nhém aben khi va chi khi G thod mãn các điều kiện sau:
(i) (ab)e = a(cb),
(ii) Tén tai e € G sao cho ea = a véi moi a € G,
(ii) Với mỗi a e G tồn tại a' € G dể a'a = e
2.17, Chứng minh rằng các tính chất sau trong nhĩm Œ là tương đương :
() G là aben
(ii) (ab)? = a2? đối với mọi a,b € G (Hi) (að)”” = a*'#~' đối với mọi a,b € G (v) (ab)” = a"b" đối với mọi a,b € Œ và n € Z
(v) (ab)" = a"b" đối với mọi a,b € G và ba số nguyên m liên tiếp
Chứng minh rằng (v)=(1) là khơng đúng nếu thay giả thiết "bạ"
bởi "hai"
2.18 Chứng minh rằng nửa nhĩm hữu hạn X là nhĩm nếu và chỉ nếu luật giản ước thực hiện được đối với mọi phần tử của nĩ 3 Nhĩm con
3.1 Chứng mình rằng trong một nhĩm thì:
Trang 403.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 `3.8 3.9 40 a) Cấp của phần tử g~` chính là cấp của g b) Cấp của phần tử ab chính là cấp của ba
Trong nhĩm nhận các ma trận vuơng cấp n trên lR với định thức khác khơng, hãy tìm cấp của ma tran sau theo a:
ø 0 - 0 0 a -.- 0
Aa= | : :
00 .- a
Tìm cấp của tất cả các phần tử của nhĩm A = {e,a,b,e} với phép tốn hai ngơi được cho như sau:
Vẽ sơ đồ các nhĩm con của nhĩm Œ§ Vẽ sơ đồ các nhĩm con của nhĩm $3
"Trong nhĩm các phép thế Š; chứng minh rằng các phép thế sau:
e,a = (12)(34), b = (13)(24) va e = (14)(23)
lap thành một nhĩm con của Š¿ Nhĩm con đĩ cĩ giao hốn hay khơng?