Bài tập đại số đại cương Nguyễn Tiến Quang

NGUYÊN TIẾN QUANG (Chủ biên) PHẠM THỊ CÚC - ĐẶNG ĐÌNH HANH NGUYEN TIẾN QUANG (Chủ biên) PHẠM THỊ CÚC ~ ĐẶNG BINH HANH HƯỚNG DAN GIAI BAI TAP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG (Tái lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Công ty Cổ phần sách Đại học - Dạy nghề — Nhà xuất bán Giáo dục giữ công bố tác phẩm, Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dướ hình thức phải đồng ý chủ sở hữu quyền tác giả, 04 — 2009/CXB/257 - 2117/GD Mã số : 7B720y9 - DAI LỜI NÓI ĐẦU Đại số đại cương mơn học tốn học trừu tượng chương trình đào tạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Sư phạm — Cao đẳng Sư phạm Nó làm sở cho việc học tập tiếp môn học khác chương trình "Cử nhân chương trình Cao học Ở người đọc lần đầu chuyển từ tư "toán sơ cấp" sang tư "trừu tượng" đại số Điều gây khơng khó khăn cho người đọc Thực tế cho thấy, để hình thành kiểu tư này, cần có hỗ trợ lớn hệ thống tập Ngoài số tốn có tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào đối tượng cụ thể, cịn có tốn tìm hiểu sâu nội dung mơn học, đời hỏi khơng có kỹ mà cịn phải có phương pháp, thói quen tư mới, có sáng tao Các giáo trình Đại số đại cương có nhiều, thường có hệ thống tập kèm theo, phù hợp với vấn đề lý thuyết trình bày Nhiễn tập sách tuyển chọn từ số giáo trình như: "Đại số" G Birkhoff S Macl ane, "Đại số" Š Lang, "Đại số" T W Hungerford, “Đại số với ứng dụng dai" cla W J Gilbert va W K Nichonson, "Bài giảng đại số đại cương" A G Curos, "Đại số đại cương" Hồng Xn Sính, "Bài tập đại số" Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, "Bài tập đại số" Bùi Huy Hiển Các tốn xếp có lời giải phù hợp với giáo trình "Đại số đại cương" Nguyễn Tiến Quang Chúng xin chân thành cảm ơn tác giả dẫn sách Cuốn sách chia làm hai phan: Phần thứ trình bày tóm tat lý thuyết hệ thống toán theo sáu chương Các toán đánh số theo mục chương Phần thứ hai trình bày lời giải cho số khó, hướng dẫn, trả lời cho số đơn giản Mức độ khó tốn khác nhau, phù hợp với nhiều loại đối tượng Tuy nhiên, đa dạng tốn có ích cho người đọc Chúng ta nắm vững lý thuyết hiểu sâu nội dung môn học sau độc lập làm việc với số lượng lớn tập Bạn đọc phải tự hồn thiện cấc kỹ phát triển tư qua việc giải tập đối chiếu lời giải giả đáp số phần hai sách với lời Một số lời giải trình bày đọng, bạn đọc nên làm rõ hơn, tiết cho lời giải này, nên tự thực hành cách sáng tạo cách đưa cách lập luận Những toán sách tuyển chọn qua thực tế giảng dạy tác nhiều bạn đồng nghiệp Nhiều lời giải thú vị đẻ xuất từ bạn sinh viên Chúng hy vọng tài liệu có ích đại số cho sinh viên khơng hệ Đại học mà hệ Cao đẳng Sư phạm Cuốn sách tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn đọc Thư góp ý xin gửi Cơng ty Cổ phần Sách Đại học — Day nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội CÁC TÁC GIÁ MUC LUC LOL NOI DAU Lees cssectssssscssceesestcetneenseactasenstte Lý thuyết Phân thứ nhất, TOM TAT LY THUYẾT VÀ CÁC BÀI TOÁN Chương I CƠ SỞ Tập hợp 9 Bài tập Loi giải lil "1 Ánh xạ "1 Quan hệ hai 12 Số nguyên 15 112 "17 120 27 129 27 129 132 137 144 152 Chương II NHÓM ~ ĐỒNG CẤU NHÓM Đại số hai ngơi 29 Nhóm 31 Nhóm chuẩn tắc — nhóm thương 33 Đồng cấu nhóm . - 34 Chương III CẤU TRÚC NHÓM 32 Tích trực TIẾP ceHeHeerirrrerre 32 Nhóm đối xứng 3 Nhúng nửa nhóm vào nhóm Tác động nhóm tập 34 55 Chương IV VÀNH VÀ TRƯỜNG 63 Định nghĩa ví dụ 63 Iđêan, vành thương 65 Đồng cấu vành 67 Trường thương, Vành trường thứ tự 69 70 167 167 WI 177 178 183 183 188 194 207 209 Chương V VÀNH ĐA THỨC VÀ VÀNH OCLIT Vành đa thức 84 84 86 88 89 211 90 94 95 99 211 218 220 235 TRÊN CÁC TRƯỜNG SỐ 105 243 Phân tích đa thức thực phức Phân tích đa thức nguyên hữu t Phân tích đa thức trường hữu hạn 105 106 107 Thuật toán chia miền nguyên Vành Vành Ơclit Chương VI PHÂN TÍCH ĐA THỨC Phần thứ hai LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN TÀI LIỆU THAM KHẢO 243 244 249 Phần thứ TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC BÀI TỐN Chương Ï CƠ SỞ Tập hợp Khái niệm tập hợp khái niệm toán học Các đối tượng tập hợp cho gọi phần tử tập hợp Để ký hiệu phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a € A; phần tử a không thuộc tập hợp A ta viết a ¢ A Một tập hợp thường cho tính chất đó, xác định phần tử tập hợp Chẳng hạn, ø(z) tính chất đặc trưng cho cdc phan tit x € A ta viết A= {x | p(x)} hiểu A tập hợp bao gồm tất phần tử z có tính chất p(z) Tap hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu Ø Ví dụ, tập hợp nghiệm thực phương trình z2 + = tập hợp rỗng Tập hợp B gọi tập tập hợp A phần tử thuộc Ø thuộc 4, ký hiệu BC A hay A > B Nhu (BCA) Se (rE BsaxeA) Khi dé, ta ciing ni rang B chia A hay A chita B hay B bao ham A Hai tap hop A, B gọi chúng có phần tử Rõ ràng A=B©ACBvàBcCA Néu AC B va A # Ư A gọi tập thuc sv cha B 'Trên tập hợp ta thường xét số phép tốn sau: Giao hai tập hợp A Ư, ký hiệu AB, tất phần tử thuộc A lẫn Ø, tập hợp gồm AnB=f{z|ze Avàz c PB} Khi An B = ta nói A va Ð không giao nhau, hay rời Hợp hai tập hợp A B, ky hiéu AU B, tập hợp gồm tất phần tử thuộc tập hợp A, B, AUB={z|ze Ahoặc rz€ Ð} Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu A \ B, la tập hợp gồm tất phần tử thuộc mà không thuộc Ö, A\X8=t{zl|ze Avàz # B} “Trong trường hợp A tập tập hợp M hiệu M⁄ \ A gọi phần bù A #4 ký hiệu Cy A, hay Á ta biết rõ A tập tập hợp - Các phép toán tập hợp liên hệ với số hệ thức bản: Giả sử A, Ð tập hợp tuỳ ý tập hợp AM Khi điều sau tương đương: ø)ACB 43BCA b)AnB=A e) ANB=06 c) AUB=B f) M=AUB Giả sử A, B,C, M 1a nhimg tap hop tuỳ ý Khi đó: a) AUB=BUA; ANB=BNA (háật giao hoán) b) An{8nŒ)=(AnB)nC; AU(BUC) =(AUB)UC c) AN(BUC) = (AN B)L(ANC); AU{BNC)=(AUB)N(AUC) d) Công thúc Đờ Moocpăng M\ (AUB) = (M\ A)N(M\ B); M\ (ANB) =(M\ A)U(M \ B) 10 (huật kết hợp) (luat phan phéi)