CƠ SỞ 9 1 Tập hợp 9 2 Ánh xạ "1 3 Quan hệ hai ngôi 12 4 Số nguyên 15 Chương II NHÓM ~ ĐỒNG CẤU NHÓM
Đại số hai ngôi 27 29 3 Nhóm con 31 4 Nhóm con chuẩn tắc — nhóm thương
Hệ đại số là một khái niệm cơ bản trong đại số hiện đại, đại diện cho một tập hợp các phần tử cho phép thực hiện các phép toán như cộng và nhân Trong đó, một phép toán hai ngôi trên tập hợp được định nghĩa là một ánh xạ, tạo nên cấu trúc toán học cơ bản cho hệ đại số.
Phép toán hai ngôi là một quy tắc cho tương ứng hai phần tử z, € Š với một phần tử của Š là ảnh của (z, ) qua ¿ Tập hợp S cùng với phép toán hai ngôi o cho trên nó được gọi là một đại số hai ngôi, ký hiệu bởi (S, o) Đại số hai ngôi (S, o) được gọi là một nửa nhóm nếu phép toán trên S thoả mãn luật kết hợp, nghĩa là aob(c) = (aob)c với mọi a, b, c € S Nửa nhóm S được gọi là tý nhóm nếu trong S có phần tử e, gọi là phần tử đơn vị, sao cho eoa = a với mọi a € S Trong trường hợp phép toán được ký hiệu bởi phép cộng, phần tử đơn vị này thường được ký hiệu bởi 0.
Trong nửa nhóm, nếu tồn tại phần tử u sao cho ua = a với mọi a thuộc M (u được gọi là đơn vị trái) và phần tử 0 sao cho 0a = a với mọi a thuộc M (0 được gọi là đơn vị phải), thì u = 0 và là phần tử đơn vị của M Đặc biệt, phần tử đơn vị của nửa nhóm (nếu có) là duy nhất.
Vị nhóm Ä⁄ được gọi là zcle nêu nó chỉ gồm các luỹ thừa c* của phần tử e nào đó Khi đó ta nói rằng vị nhóm ă dược sinh bởi-c
Trong một nhóm M bất kỳ, nếu đối với mọi phần tử a thuộc M và với mọi số tự nhiên r, n, ta có a^r * a^n = a^(r+n), thì nửa nhóm A được gọi là giao hoán (hay abel) nếu ab = ba với mọi a, b thuộc M Điều này cũng có nghĩa là mọi vị nhóm xyclic đều giao hoán.
Tập con H của nửa nhóm (M,o) được gọi là đóng đối với phép toán trong W nếu với mọi a, b thuộc H thì ab thuộc H Nếu tập con này đúng thì là nửa nhóm với phép toán H x H → H, là phép toán thu hẹp của phép toán trong W Khi đó, ta nói rằng phép toán trong H là ổn định.
Đồng cấu nhóm là một ánh xạ ƒ: M — ẹN' từ nửa nhóm tới nửa nhóm N' thỏa mãn điều kiện ƒ(að) = ƒ(a)ƒ() với mọi a,b € W Đồng cấu này được phân loại thành đơn cấu, toàn cấu hoặc đẳng cấu tùy thuộc vào tính chất ánh xạ ƒ là đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh Trong trường hợp N' = N, ƒ được gọi là tự đồng cấu của N Đối với đồng cấu nửa nhóm ƒ: N — MN', nếu N có đơn vị e thì ƒ(e) sẽ là đơn vị của Imƒ Tuy nhiên, nếu ƒ : W — ẤN” là một đồng cấu của các nửa nhóm và W có đơn vị e, thì ƒ(e) không nhất thiết phải là đơn vị của N'.
Cấu trúc của một vị nhóm xyclie bất kỳ Œ sinh bởi phần tử e được mô tả như sau: Nếu tất cả các luỹ thừa của c đều khác nhau thì ánh xạ ƒ:N → C là một dẳng cấu, ngược lại sẽ tồn tại số nguyên dương bé nhất s sao cho c^s = c^m đối với một số m < s.
28 trong đó = s—m và k là số tự nhiên bé nhất thoả mãn ¿+ j— kn < s (đặc biệt nếu 7 + 7 < s thì k = 0) Trong trường hợp này ta nói Œ là vị nhóm kiểu (m, n)
Trong mỗi vị nhóm xyclic kiểu (m,n), m # 0, có đúng một phần tit a # 1 sao cho a? = a Ta gọi ứ là phần tử luỹ đẳng
Vị nhúm (GŒ, o) được gọi là nhớm nờu với mỗi phần tử ứ Œ đều tồn tại một phần tử ứ' € Œ sao cho ứog 'oqa=e
Nói cách khác, tập hợp Œ cùng với phép toán hai ngôi o được gọi là một zzhớrn nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
(¡) Phép toán kết hợp: œo(boc) =(aob)oe, với mọi ứ,b,c thuộc Œ,
(¡) Trong Œ có phần tử e (gọi là don vi) sao cho ecae=a, véi moi a € G
(iii) Déi với mỗi a € Œ tồn tại phần tử œ' € Œ sao cho aca oa =e,
Nhóm Œ dược gọi là giao hoán hay aben (lấy tên nhà toán học Niels Abel) nếu ab = ba với mọi a,b € G
Đối với mỗi phần tử a thuộc nhóm G, tồn tại một phần tử a' duy nhất có tính chất aa' = da = e, được gọi là nghịch đảo của a và ký hiệu bởi a^(-1) Đối với mọi phần tử a thuộc nhóm G, các tính chất sau luôn được thỏa mãn.
Trong nhóm G, luật giản ước luôn luôn thực hiện được, nghĩa là với mọi a, b thuộc G, nếu ax = ay thì x = y và nếu rb = yb thì x = y Điều này thể hiện một trong những đặc trưng cơ bản của khái niệm nhóm, giúp phân biệt nhóm với các cấu trúc đại số khác.
1 Một nửa nhóm Œ là nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
() Tồn tại phần tử e € GŒ sao cho ea = a tới mọi a € Œ (e được gọi là đơn tị trái của G),
(ii) Voi méi z € GŒ tồn tại z' € Œ sao cho a'r =e (x! goi là nghịch dảo trái của x)
2 Nửa nhóm Œ là nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình az = b va ya = Ù có nghiệm trong G với mọi a,b € G
Tập hợp S(X) gồm tất cả các song ánh từ tập hợp X tới chính nó tạo thành một nhóm với phép toán hai ngôi là phép hợp thành các ánh xạ Phần tử đơn vị của S(X) là ánh xạ đồng nhất và đối với song ánh ƒ thuộc S(X) thì phần tử nghịch đảo ƒ' chính là ánh xạ ngược của ƒ Mỗi phần tử ƒ thuộc S(X) được gọi là một phép thế của X và S(X) được gọi là nhóm tất cả các phép thế của X, hay nhóm đối xứng của X Khi tập hợp X có hữu hạn phần tử, nhóm đối xứng của tập X = {1,2, ,n} được ký hiệu là Sn và gọi là nhóm đối xứng của n phần tử.
Nếu ƒ và g là hai phép thế, thì tích g o ƒ là phép thế thu được bằng cách thực hiện liên tiếp phép thế ƒ rồi đến phép thế g Đối với một số tác giả, tích g o ƒ được thực hiện theo thứ tự ngược lại, tức là thực hiện phép thế g trước rồi đến phép thế ƒ Ví dụ, nếu a1, a2, , am là các phần tử phân biệt của tập hợp {1, 2, , n} với 1 ≤ m ≤ n, thì phép thế f được xác định bởi f(a1) = a2.
F(a2) = 93,.-.,f(@m-1) = Om, f(@m) = a, va f(z) = 2 néu x ¢ {a),42, ,am}, duge gọi là một vòng xích độ đài mm, hay một mm - xích Ta ký hiệu vòng xích này bởi (œ@sz đm)
Nhóm đối xứng của hình chữ nhật không phải là hình vuông được gọi là 4-nhóm hay Klein Để minh họa, ta có thể đánh dấu các đỉnh của hình chữ nhật bằng các số 1, 2, 3, 4 như hình vẽ.
Mỗi phép đối xứng của hình chữ nhật biến các đỉnh thành các đỉnh, tạo thành một hoán vị giữa các đỉnh Phép đối xứng qua trục hoành được ký hiệu là ứ, và khi áp dụng phép này, ta có các đỉnh biến đổi như sau: a(1) = 4, a(2) = 3, a(3) = 2, a(4) = 1.
Nhóm các phép đối xứng của hình chữ nhật bao gồm bốn phép đối xứng cơ bản Thứ nhất là phép đối xứng qua trục tung, thứ hai là phép đối xứng qua trục hoành, thứ ba là phép quay 180 độ quanh tâm của hình chữ nhật và cuối cùng là phép đồng nhất Tất cả các phép đối xứng này tạo thành một nhóm đối xứng của hình chữ nhật, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính đối xứng của hình dạng này.
Một tập con khác rỗng #ƒ của nửa nhóm nhân Œ được gọi là đóng (hay ổn định) nếu với mọi phần tử a, b thuộc H, tích ab cũng thuộc H, và H là nửa nhóm con của Œ với phép toán cảm sinh bởi phép toán trong Œ.
CẤU TRÚC NHÓM
Tích trực TIẾP ceHeHeerirrrerre 32 2 Nhóm đối xứng 3 3 Nhúng một nửa nhóm vào một nhóm
Nếu A và ÿ là hai nhóm thì tích Đề-các
AxB=((ab)|la< A,be B} lập thành một nhóm cùng với phép toán hai ngôi cho bởi
Nhúm 4 x ỉ được gọi là tớch trực tiếp cha A va B Định nghĩa tích trực tiếp được mở rộng một cách tự nhiên cho một, ho (G; | i € 7) các nhóm, với tập chỉ số I tuỳ ý Tích Đề-các Ile: gồm tất cả cỏc họ (a;), với ứ € GĂ,Ă € ù, là một nhúm với phộp toỏn nhõn theo từng thành phần, nghĩa là
Nhóm con của Lic được gọi là tích trực tiếp yếu của các nhóm Gi nếu nó bao gồm tất cả các phần tử a, sao cho chỉ có một số hữu hạn các phần tử a khác đơn vị Tích trực tiếp yếu của họ Ớ trùng với tích trực tiếp của chúng khi và chỉ khi tập chỉ số ƒ hữu hạn Trong trường hợp các nhóm G;¡ là aben, ta thường sử dụng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho tích trực tiếp yếu.
Giả sử A, B 1A hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm Œ Ta nói rằng
G phân tích được thành tích trực tiếp của A và B nêu G = AB và 52
Khi đề cập đến ANB = e, chúng ta cũng nói rằng các nhóm A và B là các hạng tử trực tiếp của nhóm G Điều này có nghĩa là G có thể phân tích được thành tích trực tiếp của hai nhóm con chuẩn tắc A và B, trong đó mỗi phần tử của A đều giao hoán được với mỗi phần tử của B, và mỗi phần tử của G có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng ab, với a thuộc A và b thuộc B.
Liên hệ giữa sự phân tích một nhóm thành tích trực tiếp với tích trực tiếp của hai nhóm được thể hiện qua việc nhóm G phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc A và B nếu và chỉ nếu ánh xạ từ G đến tích trực tiếp của A và B là toàn vẹn.
Khi Œ phân tích được thành tích trực tiếp của A và B, ta cũng nói rằng Œ là tích trực tiếp của A và B, ký hiệu là A × B mà không sợ có sự hiểu lầm nào Trong trường hợp G là một nhóm aben và phép toán trong nhóm Œ được ký hiệu bởi +, ta ký hiệu G = A ⊕ B thay cho A × B và gọi Œ là tổng trực tiếp của A và B Ngoài ra, nếu ƒ: A → X và g: B → Y là hai đồng cấu nhóm, thì ánh xạ này cũng được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các nhóm.
(a,b) > (f(a), 9(0)) cũng là một đồng cấu và được ký hiệu bởi ƒ x g
Nếu 4, 8 lần lượt là nhóm con chuẩn tắc của các nhóm X,Y thì tích trực tiếp A x là nhóm con chuẩn tắc của tích trực tiếp X x Y và (X xY)/(A x B) % (X/A) x (V/B),
Trước hết ta nhắc lại khỏi niệm oờng zớch Nếu ứ,as, , tự,
Nếu m < n, là các phần tử phân biệt của tập hợp {1,2, , n} thì phép thế f cho bởi f(x1) = a2, f(x2) = a3, , f(xm-1) = am, f(xm) = a1 và f(z) = z nếu z không thuộc {x1, x2, , xm}, được gọi là một vòng xích độ dài m, hay một m-xích Vòng xích này được ký hiệu bởi (x1 x2 xm).
Mỗi m-vòng xích trong nhóm %„ có cấp n Vòng xích có độ dài 2,
#= (7), được gọi là một chuyển trí Hai vòng xích được gọi là độc lập nếu chúng không có phần tử chung
Mỗi phép thế khác phép đồng nhất là tích của những vòng xích độc lập Điều này có nghĩa là mỗi phép thế đều có thể được biểu diễn như một tổ hợp của các phép biến đổi cơ bản Hơn nữa, mỗi phép thế đều có thể phân tích được thành tích của những phép chuyển trí, cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của phép thế.
Trong phân tích một phép thế thành tích các chuyển trí, tính chẵn lẻ của số các chuyển trí luôn được giữ nguyên Dựa trên tính chất này, một phép thế được phân loại là chẵn nếu nó được phân tích thành tích của một số chẵn các chuyển trí, ngược lại là lẻ Tập hợp tất cả các phép thế chẵn bậc n tạo thành một nhóm con của nhóm đối xứng, được gọi là nhóm thay phiên Nhóm thay phiên An là nhóm con chỉ số 2 trong Sn và do đó là nhóm con chuẩn tắc của Sn.
Dịnh lý Cayley: Mỗi nhóm Œ đều đẳng cấu uới một nhóm con của nhóm đối xứng S(GŒ) của nó
3 Nhúng một nửa nhóm vào nhóm Để có thể nhúng nửa nhóm 3 vào nhóm Œ thì 9 phải thoả mãn luật giản ước:
Tw ac = be cing như từ ca = cð suy ra ứ = ẩ Điều kiện cần này cũng là điều kiện đủ trong trường hợp nửa nhóm giao hoán
Giả sử A là nữa nhóm aben uà S là nửa nhóm cơn của A gdm các phần tử chính quụ theo nghĩa gax = bz ©S a=b, 0ới+z€ S;abe€ A
Khi đó có thể nhúng A uào uị nhóm aben Œ sao cho mợi phần tử của 9 đều có phần tử nghịch đảo trong G
Mỗi nứa nhóm aben A uới luật giản ước đều có thể nhúng ào ruột nhóm aben Œ Khi đó mỗi phần tủ của G viét duoc dudi dang ab™', tới a,b thuộc A
4 Tác động của nhóm trên một tập hợp
Cho Œ là một nhóm với đơn vị e và X là một tập hợp nào đó
Nhóm (G, -) được gọi là tác động lên tập X nếu có một ánh xạ
(g.z) + ge sao cho với mọi g,b € Œ và mọi z € X ta có
Khi đó X được gọi là một Œ—tập
Mỗi tác động của nhóm Œ lên tập X được xác định hoàn toàn khi và chỉ khi đã cho một đồng cấu nhóm ge: G(x), trong đó S(X) ký hiệu cho nhóm đối xứng của tập X.
Nhóm Œ được gọi là tác động trưng thành lên tập X nếu đồng cấu nhóm G — S(X) là một đơn cấu, có nghĩa là mọi phần tử của Œ đều có ảnh khác nhau trong S(X) Khi đó, phần tử của Œ giữ cố định mọi phần tử của X chỉ là đơn vị e của Œ Do tính đơn cấu, Œ đẳng cấu với ảnh của nó, Im, và vì vậy ta có thể đồng nhất Œ với Im và xem Œ như một nhóm con của S(X).
Nếu Ở tác động lên tập X và z € X thì tập
G.={9 €G| gz =x} là một nhóm con của Œ Nhóm con G„ được gọi là cái dn định của +
Nó là tập các phần tử của Œ, giữ nguyên z
Tập tất cả các ảnh của một phần tử z € X dưới tác động của nhóm Œ được gọi là gwỹ đạo của z theo Œ và được ký hiệu bởi Œz = {gz | € G}
Nhúm con g?†1ứ~`' được gọi là liờn hợp với H bởi g Mỗi quỹ đạo của
H gồm tất cả các nhóm con của Œ liên hợp với # Nhém con ổn định đối với là
Nhóm con này được gọi là cới chuẩn hoá của H, và H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm này
Nếu X là một G-tập thì X dược phân hoạch bởi các quỹ đạo Gz,z € X, và với mọi z € X có một song ánh p: G/G, > Gz Đặc biệt, nếu Œ là nhóm hữu hạn thì với mỗi phần tử z € X, ta có
Trơng các bài tập từ 1.1 đến 1.4, cặp nhóm nào là đẳng cấu? Vì sao? 1.1 24 và Z¿ x Za
1.5 Cho hai nhóm Œ và H Chứng minh rằng nếu Œ x # là nhóm xyclic thì G và H là cũng là những nhóm xyclic
1.6 Cho X và Y là những nhóm xyclic có cấp tương ứng là mm và n Chứng mình rằng X x Y là một nhóm xyclic khi và chỉ khi m và r: nguyên tố cùng nhau
1.7 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 4 hoặc đẳng cấn với Z4 hoặc đẳng cấu với Z¿ x Z¿
1.8 Có thể phân tích Z thành tổng trực tiếp của hai nhóm aben không?
1,9 Chứng minh rằng nếu ƒ : Œ —› iƒ là một toàn cầu nhóm và
Nếu 4 là một nhóm con chuẩn tắc của Œ sao cho cới thu hẹp k = ƒ | là một đồng cấu, thì Œ phân tích được thành tích trực tiếp của A và hạt nhân B = Kerf, nghĩa là Œ có thể được biểu diễn dưới dạng tích trực tiếp của hai nhóm con A và B.
Cho B,C là bai nhúm aben Chứng minh rằng nếu ỉ: ỉ8 —: Ơ và + : Ở —+ ệ là những đồng cấu thoả món điều kiện Goy = ide thi B = Ker@ @ Imy
Với các nhóm Œ và H bất kỳ, chứng minh rằng:
(Gx H)/G'= AH và (Gx H)/H' 5G, ở đó:
Cho X và Y là hai nhóm Chứng minh rằng: a) X x Y là một nhóm giao hoán khi và chỉ khi X và Y là những nhóm giao hoán b) Tam của nhóm X x Y là Z(X) x Z(Y), với Z(X), Z(Y) lần lượt là tâm của nhóm X và nhóm Y
Cho ba nhóm X,Y,Z hai ánh xạ ƒ : X —> Y, g: X > Z Ánh xạ h: X — Y x Z được xác định bởi: h(x) = (f(z), 9{2))
Chứng minh rằng hàm h là một đồng cấu khi và chỉ khi cả ƒ và g đều là những đồng cấu Ngoài ra, nếu ƒ hoặc g là một đơn cấu thì h cũng là một đơn cấu, tuy nhiên nếu h là một đơn cấu thì chưa chắc ƒ và g là đơn cấu Hơn nữa, nếu h là một toàn cấu thì cả ƒ và g đều là những toàn cấu, nhưng nếu ƒ và g là toàn cấu thì chưa chắc h là một toàn cấu.
Chứng minh rằng đối với mỗi nhóm và mỗi cặp đồng cấu nhúm gứ : Ù — Œ,g': L ơ Œ' đều tồn tại đồng cấu duy nhất h: b— G x Ợ sao cho biểu đồ sau giao hoán
G+ axg eg nghia la g = poh,g’ = p' oh, trong dé p,p’ I cde phép chiéu tự nhiên
1.15 Giá sử Œ là nhóm nhân các ma trận vuông cấp 2 không kỳ dị trên trường số hữu tỷ Chứng minh rằng a = ( ' 7 ) có cấp
-1 -1 lại, chứng tỏ rằng nhóm cộng Z¿ @ Z chứa phần tử các phần tử khỏc khụng a, b cú cấp vụ hạn nhưng ứ + b cú cấp hữu hạn
4và b= ( 01 ) có cấp 3 nhưng ab có cấp vô hạn Ngược
1.16 Cho một họ khác rỗng những nhóm (X;,);¿¡ mà các phếp toán ký hiệu bằng dấu nhân Chứng minh rằng tập hợp tích Đề-các
X = ]]X: với phép toán xác định như sau tet
(taser Yaier = (ivi )ier là một nhóm (gọi là tích trực tiếp của các nhóm X;)
1.17 Giả sử (X;)¡c; là một họ khác rỗng các nhóm và X = ]]X; là tích trực tiếp của họ (X;)¡e¡ Các ánh xạ p¡,¡ € J cho bởi iei pirX ơ Xi + Tụ a) Chứng minh rằng ?; là toàn cấu với mọi ¿ € I b) Cho nhóm Y và cho họ đồng cấu (ƒ, : Y — X¡,¿ € 1) Chứng mình rằng tồn tại duy nhất đồng cấu ƒ : Y — X sao cho với mọi Ă € ẽ ta cú ƒĂ = pị 9ƒ
2.1 Tìm cấp của mỗi phần tử của nhóm thay phiên 4
2.2 Nhóm con xyelic {(1),(123), (132)} có là chuẩn tắc trong 4a không?
2.3 Tìm nhóm con của nhóm 4¿ dẳng cấu với 4-nhém Klein 2.4 Hai nhóm D; và A¿ có đẳng cấu không? Hãy giải thích
2.5 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với nhóm
(Zs, +), hoặc đẳng cấu với nhóm %s.
VÀNH VÀ TRƯỜNG
Nếu A và ÿ là hai nhóm thì tích Đề-các
AxB=((ab)|la< A,be B} lập thành một nhóm cùng với phép toán hai ngôi cho bởi
Tích trực tiếp của hai nhóm A và B được định nghĩa là nhóm gồm tất cả các cặp (a, b) với a thuộc A và b thuộc B Định nghĩa này được mở rộng một cách tự nhiên cho một họ (G; | i ∈ I) các nhóm, với tập chỉ số I tùy ý Tích Đề-các (G; | i ∈ I) gồm tất cả các họ (a;), với a thuộc G và i thuộc I, là một nhóm với phép toán nhân theo từng thành phần.
Nhóm con của tích trực tiếp yếu của các nhóm (Gi) được gọi là tích trực tiếp yếu của họ, ký hiệu là ⊕Gi Tích trực tiếp yếu của họ các nhóm (Gi) bao gồm tất cả các phần tử (a) sao cho chỉ có một số hữu hạn các phần tử a khác đơn vị Tích trực tiếp yếu của họ các nhóm (Gi) trùng với tích trực tiếp của chúng khi và chỉ khi tập chỉ số là hữu hạn Trong trường hợp các nhóm Gi là abel, người ta thường sử dụng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho tích trực tiếp yếu.
Giả sử A, B 1A hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm Œ Ta nói rằng
G phân tích được thành tích trực tiếp của A và B nêu G = AB và 52
Khi đề cập đến các nhóm A, Đ là các hạng tử trực tiếp của nhóm Œ, ta có thể hiểu rằng Œ có thể phân tích thành tích trực tiếp của hai nhóm con chuẩn tắc A và B Điều này có nghĩa là mỗi phần tử của A đều giao hoán được với mỗi phần tử của B, và mỗi phần tử của Œ có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng ab, với a thuộc A và b thuộc B.
Sự phân tích một nhóm thành tích trực tiếp có mối liên hệ chặt chẽ với tích trực tiếp của hai nhóm Cụ thể, nhóm G có thể phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc A và B nếu và chỉ nếu ánh xạ từ A và B lên G là toàn phần và ánh xạ từ A lên G và từ B lên G là đồng cấu.
Khi Œ phân tích được thành tích trực tiếp của A và B, ta cũng nói rằng Œ là tích trực tiếp của A và B và ký hiệu là A x B Sự phân biệt hai khái niệm này sẽ được hiểu trong từng tình huống cụ thể Trong trường hợp nhóm aben G và phép toán trong nhóm Œ được ký hiệu bởi +, ta ký hiệu G = A ⊕ B thay cho A x B và gọi Œ là tổng trực tiếp của A và B.
(a,b) > (f(a), 9(0)) cũng là một đồng cấu và được ký hiệu bởi ƒ x g
Nếu 4, 8 lần lượt là nhóm con chuẩn tắc của các nhóm X,Y thì tích trực tiếp A x là nhóm con chuẩn tắc của tích trực tiếp X x Y và (X xY)/(A x B) % (X/A) x (V/B),
Trước hết ta nhắc lại khỏi niệm oờng zớch Nếu ứ,as, , tự,
Nếu m < ủ và là các phần tử phân biệt của tập hợp {1,2, , ứ} thì phép thế f cho bởi f(a1) = a2, f(a2) = a3, , f(am-1) = am, f(am) = a1 và f(z) = z nếu z ∉ {a1,a2, , am}, được gọi là một vòng xích độ dài m, hay một m-xích Ta ký hiệu vòng xích này bởi (a1 a2 am).
Mỗi m-vòng xích trong nhóm %„ có cấp n Vòng xích có độ dài 2,
#= (7), được gọi là một chuyển trí Hai vòng xích được gọi là độc lập nếu chúng không có phần tử chung
Mỗi phép thế khác phép đồng nhất là tích của những vòng xích độc lập, giúp tạo nên sự đa dạng trong các phép biến đổi Đồng thời, mỗi phép thế đều có thể phân tích được thành tích của những phép chuyển trí, cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của các phép biến đổi này.
Trong phân tích một phép thế thành tích các chuyển trí, tính chẵn lẻ của số các chuyển trí luôn được bảo toàn Một phép thế được phân loại thành chẵn nếu nó được phân tích thành tích của một số chẵn các chuyển trí, và ngược lại, nó được gọi là lẻ Tập hợp tất cả các phép thế chẵn bậc n tạo thành một nhóm con của nhóm đối xứng Sn, được gọi là nhóm thay phiên An Nhóm thay phiên An là nhóm con chỉ số 2 trong Sn và do đó là nhóm con chuẩn tắc của Sn.
Dịnh lý Cayley: Mỗi nhóm Œ đều đẳng cấu uới một nhóm con của nhóm đối xứng S(GŒ) của nó
3 Nhúng một nửa nhóm vào nhóm Để có thể nhúng nửa nhóm 3 vào nhóm Œ thì 9 phải thoả mãn luật giản ước:
Tw ac = be cing như từ ca = cð suy ra ứ = ẩ Điều kiện cần này cũng là điều kiện đủ trong trường hợp nửa nhóm giao hoán
Giả sử A là nữa nhóm aben uà S là nửa nhóm cơn của A gdm các phần tử chính quụ theo nghĩa gax = bz ©S a=b, 0ới+z€ S;abe€ A
Khi đó có thể nhúng A uào uị nhóm aben Œ sao cho mợi phần tử của 9 đều có phần tử nghịch đảo trong G
Mỗi nứa nhóm aben A uới luật giản ước đều có thể nhúng ào ruột nhóm aben Œ Khi đó mỗi phần tủ của G viét duoc dudi dang ab™', tới a,b thuộc A
4 Tác động của nhóm trên một tập hợp
Cho Œ là một nhóm với đơn vị e và X là một tập hợp nào đó
Nhóm (G, -) được gọi là tác động lên tập X nếu có một ánh xạ
(g.z) + ge sao cho với mọi g,b € Œ và mọi z € X ta có
Khi đó X được gọi là một Œ—tập
Mỗi tác động của nhóm Œ lên tập X hoàn toàn được xác định khi và chỉ khi đã cho một đồng cấu nhóm ge: G(x), trong đó S(X) ký hiệu cho nhóm đối xứng của tập X.
Nhóm Œ được gọi là tác động trưng thành lên tập X nếu đồng cấu nhóm G — S(X) là một đơn cấu, nghĩa là chỉ có phần tử đơn vị e của Œ giữ cố định mọi phần tử của X Điều này dẫn đến Œ đẳng cấu với ảnh Im của nó, và vì vậy ta có thể đồng nhất Œ với Im và xem Œ như một nhóm con của S(X).
Nếu Ở tác động lên tập X và z € X thì tập
G.={9 €G| gz =x} là một nhóm con của Œ Nhóm con G„ được gọi là cái dn định của +
Nó là tập các phần tử của Œ, giữ nguyên z
Tập tất cả các ảnh của một phần tử z € X dưới tác động của nhóm Œ được gọi là gwỹ đạo của z theo Œ và được ký hiệu bởi Œz = {gz | € G}
Nhúm con g?†1ứ~`' được gọi là liờn hợp với H bởi g Mỗi quỹ đạo của
H gồm tất cả các nhóm con của Œ liên hợp với # Nhém con ổn định đối với là
Nhóm con này được gọi là cới chuẩn hoá của H, và H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm này
Nếu X là một G-tập thì X được phân hoạch bởi các quỹ đạo Gz, với z thuộc X Mỗi phần tử z trong X tương ứng với một song ánh p: G/Gz → Gz Đặc biệt, nếu G là nhóm hữu hạn thì với mỗi phần tử z thuộc X, ta có thể xác định một quan hệ song ánh giữa các phần tử của nhóm và các quỹ đạo tương ứng.
Trơng các bài tập từ 1.1 đến 1.4, cặp nhóm nào là đẳng cấu? Vì sao? 1.1 24 và Z¿ x Za
1.5 Cho hai nhóm Œ và H Chứng minh rằng nếu Œ x # là nhóm xyclic thì G và H là cũng là những nhóm xyclic
1.6 Cho X và Y là những nhóm xyclic có cấp tương ứng là mm và n Chứng mình rằng X x Y là một nhóm xyclic khi và chỉ khi m và r: nguyên tố cùng nhau
1.7 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 4 hoặc đẳng cấn với Z4 hoặc đẳng cấu với Z¿ x Z¿
1.8 Có thể phân tích Z thành tổng trực tiếp của hai nhóm aben không?
1,9 Chứng minh rằng nếu ƒ : Œ —› iƒ là một toàn cầu nhóm và
Nếu 4 là một nhóm con chuẩn tắc của Œ sao cho cới thu hẹp k = ƒ | là một đồng cấu thì Œ phân tích được thành tích trực tiếp của A và hạt nhân B = Kerf, trong đó A và B là các nhóm con của Œ Điều này có nghĩa là Œ có thể được biểu diễn như là tích trực tiếp của hai nhóm con A và B, với B là hạt nhân của đồng cấu f.
Cho B,C là bai nhúm aben Chứng minh rằng nếu ỉ: ỉ8 —: Ơ và + : Ở —+ ệ là những đồng cấu thoả món điều kiện Goy = ide thi B = Ker@ @ Imy
Với các nhóm Œ và H bất kỳ, chứng minh rằng:
(Gx H)/G'= AH và (Gx H)/H' 5G, ở đó:
Để chứng minh rằng tích trực tiếp X x Y của hai nhóm X và Y là một nhóm giao hoán, cần phải kiểm tra xem X và Y có phải là nhóm giao hoán hay không Thực tế, X x Y là một nhóm giao hoán khi và chỉ khi cả X và Y đều là những nhóm giao hoán Hơn nữa, tâm của nhóm X x Y được xác định là Z(X) x Z(Y), trong đó Z(X) và Z(Y) lần lượt là tâm của nhóm X và nhóm Y.
Cho ba nhóm X,Y,Z hai ánh xạ ƒ : X —> Y, g: X > Z Ánh xạ h: X — Y x Z được xác định bởi: h(x) = (f(z), 9{2))
Để chứng minh tính chất của hàm h, ta cần xem xét các điều kiện sau Hàm h là một đồng cấu khi và chỉ khi cả ƒ và g đều là những đồng cấu Ngoài ra, nếu ƒ hoặc g là một đơn cấu thì h cũng sẽ là một đơn cấu Tuy nhiên, nếu h là một đơn cấu, thì không nhất thiết ƒ và g cũng phải là đơn cấu Về tính toàn cầu, nếu h là một toàn cấu thì cả ƒ và g đều phải là những toàn cấu, nhưng ngược lại, nếu ƒ và g là những toàn cấu thì chưa chắc h đã là một toàn cấu.
Chứng minh rằng đối với mỗi nhóm và mỗi cặp đồng cấu nhúm gứ : Ù — Œ,g': L ơ Œ' đều tồn tại đồng cấu duy nhất h: b— G x Ợ sao cho biểu đồ sau giao hoán
G+ axg eg nghia la g = poh,g’ = p' oh, trong dé p,p’ I cde phép chiéu tự nhiên
1.15 Giá sử Œ là nhóm nhân các ma trận vuông cấp 2 không kỳ dị trên trường số hữu tỷ Chứng minh rằng a = ( ' 7 ) có cấp
-1 -1 lại, chứng tỏ rằng nhóm cộng Z¿ @ Z chứa phần tử các phần tử khỏc khụng a, b cú cấp vụ hạn nhưng ứ + b cú cấp hữu hạn
4và b= ( 01 ) có cấp 3 nhưng ab có cấp vô hạn Ngược
1.16 Cho một họ khác rỗng những nhóm (X;,);¿¡ mà các phếp toán ký hiệu bằng dấu nhân Chứng minh rằng tập hợp tích Đề-các
X = ]]X: với phép toán xác định như sau tet
(taser Yaier = (ivi )ier là một nhóm (gọi là tích trực tiếp của các nhóm X;)
Giả sử (X;)¡c; là một họ khác rỗng các nhóm và X = ]]X; là tích trực tiếp của họ (X;)¡e¡ Các ánh xạ p¡,¡ € J cho bởi iei pirX ơ Xi Để chứng minh rằng ?; là toàn cấu với mọi ¿ € I, chúng ta cần xem xét cấu trúc của tích trực tiếp và tính chất của các ánh xạ p¡ Ngoài ra, cho nhóm Y và cho họ đồng cấu (ƒ, : Y — X¡,¿ € 1), chúng ta cần tìm đồng cấu ƒ : Y — X sao cho với mọi Ă € ẽ ta cú ƒĂ = pị 9ƒ, đảm bảo sự duy nhất của đồng cấu này.
2.1 Tìm cấp của mỗi phần tử của nhóm thay phiên 4
2.2 Nhóm con xyelic {(1),(123), (132)} có là chuẩn tắc trong 4a không?
2.3 Tìm nhóm con của nhóm 4¿ dẳng cấu với 4-nhém Klein 2.4 Hai nhóm D; và A¿ có đẳng cấu không? Hãy giải thích
2.5 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với nhóm
(Zs, +), hoặc đẳng cấu với nhóm %s.