Giai bai tap dai so dai cuong nguyen tien thịnh

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 2 a Kiểm tra theo định nghĩa 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu 3 Cho X là không gian ba chiều thông thường và O là một điểm cố định của X... Giảng Viên

Trang 1

Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 1

Chương 1

1 Xét tập hợp các số nguyên  và tập  các số tự nhiên khác 0 Gọi S là quan hệ trong *

*



  xác định bởi (a, b) S (c, d) khi và chỉ khi ad = bc Chứng minh:

a) S là một quan hệ tương đương

b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử: (0; 1), (-1; 1); (1; 2)

a) S là một quan hệ tương đương

b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử: -1; 1; 2

Trang 2

a) Kiểm tra theo định nghĩa ( 3 tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

3 Cho X là không gian ba chiều thông thường và O là một điểm cố định của X Trong

X-{O} ta xác định quan hệ S như sau: PSP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng (cùng

Trang 3

4 Giả sử ƒ là đơn ánh từ một tập hợp X đến tập hợp các số tự nhiên N và S là một quan

hệ trong X xác định nhƣ sau : xSx’ khi và chỉ khi ƒ(x)  ƒ(x’)

a) Chứng minh S là một quan hệ thứ tụ toàn phần

b) S có phải là một quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao?

b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu nó là một quan hệ thứ tự và tồn tại

phần tử tối đại hoặc tối tiểu)

Trang 4

5 Cho ánh xạ : E  F xét quan hệ R trên tập E xác định như sau:

xSx’  (x) = (x’) a) Chứng minh S là một quan hệ tương đương

b) Xét trường hợp E = F =  (  là tập hợp các số nguyên), (x) = x2 x   Xác định các lớp tương đương của S trên 

1

6 Với N là tập hợp các số tự nhiên Trên N  N, định nghĩa quan hệ  như sau:

(a,b) S (c, d)  a + d = b+c

a) Chứng minh S là một quan hệ tương đương

b) Xác định các lớp tương đương của (0, 3), (5,8), (8,3)

Trang 5

 S là một quan hệ tương đương

Trang 6

8 Giả sử ƒ : X → Y là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận của Y Chứng minh:

Trang 7

Trang 8

Vậy X (A B ) ( X A) ( X B )

11 Giả sử S là một quan hệ tương đương trong X và a ∈ X

C(x) là lớp tương đương của x đối với quan hệ trong tương đương S

Chứng minh:

a) C(x)  

b) Nếu xSy thì C(x) = C(y)

c) Với hai phần tử bất kỳ x và y, ta đều có hoặc C(x)∩C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y)

hoặc x có quan hệ S với y, nghĩa là xSy C x( )C y( )

hoặc x không có quan hệ S với y C x( )C y( ) 

Thật vậy, giả sử C x( )C y( )    z C x( )C y( )

( )( )

b) Quan hệ này có là một quan hệ thứ tự toàn phần không? Tại sao?

Trang 9

13 Trên  , định nghĩa quan hệ đồng dƣ mod 5: Hai số nguyên m, n gọi là đồng dƣ mod 5

( kí hiệu m n (mod5)) nếu m - n chia hết cho 5

Trang 10

Vậy các lớp tương đương là C i( )5k i k , , i0,4

14 Giả sử ƒ : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ và h = g.ƒ là ánh xạ tích của ƒ và g

Chứng minh:

a) Nếu h là đơn ánh thì ƒ là đơn ánh

b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh

b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh

Trang 11

0 0

Trang 12

Từ bảng phép toán, ta thấy: A thỏa mãn tính ổn định, giao hoán, có phần tử

nghịch đảo tuộc A Suy ra A có tính chất giao hoán Do đó A là một nhóm con

giao hoán của S4

Trang 13

          (thỏa mãn tính chất giao hoán)

Vậy: ( ; )  là một vị nhóm giao hoán

 Đặc biệt nếu a=0 thì : x  y = x + y là phép cộng thông thường, trong

Trang 14

  không thỏa mãn (do nó bị hút về x hoặc y)

+ a1;b 1 x y x y*     có phần tử đơn vị là 0, nghịch đảo của x là ( ,*)

-x Thỏa mãn Vậy a = b = 1

1

6 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X Chứng minh rằng các điều kiên

sau là tương đương:

a) A là một nhóm con của X

b) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x -1 ∈ A

c) Với mọi x, y ∈ A, xy -1 ∈ A

Ta chứng minh theo sơ đồ: a   b c a

+ "ab": Giả thiết A là một nhóm con của X

:,

Trang 15

Ta chứng minh theo sơ đồ: a   b c a

+ "ab": Giả thiết G là một nhóm Abel

8 Hãy tìm các nhóm thương của:

a) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15 b) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24

a) (3 , )  là nhóm cộng các số nguyên bội của 3

(15 , )  là nhóm con các số nguyên bội của 15 (3 , )  là một nhóm giao hoán 1

Trang 16

nên (15 , )  là nhóm con chuẩn tắc của (3 , ) 

b) (4 , )  là nhóm cộng các số nguyên bội của 4

(24 , )  là nhóm con các số nguyên bội của 24 (4 , )  là một nhóm giao hoán

nên (24 , )  là nhóm con chuẩn tắc của (4 , ) 

10 Cho (X, ., e) là một nhóm, A là một nhóm con chuẩn tắc của X Chứng minh rằng:

a) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A X/A đến X/A

b) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm

Trang 17

Suy ra x A1 là phần tử nghịch đảo của xA

Vậy X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm

1

11 Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến một nhóm Y, A là một nhóm

con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y Chứng minh:

a) f(A) là một nhóm con của Y

b) f -1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

a) Ta có

+ ey = f(ex)  f(A) nên f(A)  

+ y, y1  f(A) Vì y, y1  f(A), nên có x, x1 A sao cho y = f(x) và y1 = f(x1)

Ta có y.y1-1 = f(x)f(x1)-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1).Vì A là nhóm con nên xx1-1  A,

1

Trang 18

f(x-1.ax) = f(x-1).f(a).f(x) B vì f(a) B và B là chuẩn tắc Do đó x-1ax f-1(B)

với mọi a f-1(B) và mọi x X

13 Giả sử X là một nhóm, ta gọi là tâm của X bộ phận:

C(X) = { a X | ax = xa với mọi x  X }

Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X)

là một nhóm con chuẩn tắc của X

Đáp án

Hiển nhiên là C(X) là nhóm con giao hoán của X

Trang 19

Ta cần chứng minh: mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X

Theo định nghĩa nhóm con chuẩn tắc:

) ( , a C X X

x.a.x 1x.x 1.aaC(X)

Vậy C(X) là nhóm con chuẩn tắc của X

14 Cho X là một nhóm và A là một bộ phận khác rỗng của X Chứng minh A là nhóm con

của X khi và chỉ khi AA-1 = A

Vậy A là nhóm con của X

15 Cho A, B là hai bộ phận của một nhóm X Chứng minh các đẳng thức sau:

Trang 20

16 Cho X là một nhóm Ánh xạ : :X X, aa 1 là một tự đẳng cấu của nhóm X

khi và chỉ khi X là một nhóm Abel

+ a b X,  : ( ) a ( )b a1b1  suy ra a b  là một đơn cấu

+  b X a b,  1: ( ) a a1(b 1) 1  suy ra b  là một toàn cấu

17 Giả sử X, Y là những nhóm f: X Y là một đồng cấu nhóm Chứng minh rằng:

a) Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X

b) Đồng cấu nhóm f: X Y là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = ex

Đáp án

a) + (f e X)e Y e XK fer K fer  

Trang 21

Vậy Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của X

b) + Nếu f là đơn cấu,  x K fer : ( )f x e Y  f e( X) x e X K fer  e X

Do K fer  e X nên ta có: ab1 e X   Vậy f là đơn cấu a b

18 Giả sử A, B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X Chứng minh:

a) AB là nhóm con chuẩn tắc của X

b) AB là một nhóm con chuẩn tắc của X và cũng là một nhóm con chuẩn tắc của A

Vậy AB là nhóm con của X

,,

Trang 22

Vậy A B là nhóm con của X

+  x X,    a A B a A a B, 

Do A, B là chuẩn tắc

1

1 1

Vậy A B là nhóm con chuẩn tắc của X

19 Giả sử G1, G2 là những nhóm với đơn vị là e1, e2 ; G = G1xG2 Trên G trang bị phép toán : ( , ).( , ) (a b1 1 a b2 2  a a b b1 2 1 2, )

a) Chứng minh G cùng phép toán trên là một nhóm

b) Giả sử X là một nhóm và f X: G1, g X: G2là những ánh xạ Xét ánh xạ : :

Trang 23

Trang 24

Do q2 là đơn cấu nên G2 Imq2  B

22 Cho X là một nhóm Với mỗi phần tử a X , ta xét ánh xạ:

b) Chứng minh rằng tập hợp các tự đẳng cấu trong của X lập thành một nhóm con của

nhóm của nhóm các tự đẳng cấu của X

Đáp án

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Vậy B là vành con của vành các số thực 

3 Cho tập hợp X =   cùng với hai phép toán: 

(a1, b1 ) + (a 2, b2 ) = (a1+ a2, b1 + b2) (a1, b1 ) (a 2, b2 ) = (a1a2, b1b2)

a) Chứng minh X là một vành giao hoán, có đơn vị

b) Hãy tìm tất cả các ƣớc của không của vành này

Trang 28

Tương tự ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng

Phép có tính chất giao hoán và có phần tử đơn vị là (1, 1)

Vậy (  , ,.) là một vành giao hoán có đơn vị

Do X không có ước của không nên y xy , tương tự ta có: y yx

Vậy x là phần tử đơn vị của X

Do đó X gồm có hai phần tử {0, đơn vị e} nên X là một miền nguyên

5 Giả sử X là một miền nguyên, mX mx x X:   là một idean của X ( m ) và n là

cấp của phần tử đơn vị e trong nhóm cộng X Chứng minh:

a) n là số nguyên tố

b) Mọi phần tử khác không x  X có cấp n

Trang 29

c) X mX  X nếu m là bội của n

X mX {0} nếu m không phải là bội của n

Do X là miền nguyên nên n1e = 0 hoặc n2e = 0 Mâu thuẫn với định nghĩa n

là cấp của e Suy ra n là số nguyên tố

b) x X  , ta có: xexnx n e x ( ) ( ) ne x0x 0

Suy ra cấp của x là ƣớc của n, n lại là số nguyên tố nên cấp của x là n

c) + Nếu m chia hết cho n thì mX mx0 :x X    0

6 Giả sử X là một vành tuỳ ý, Z là vành các số nguyên Xét tập hợp tích X x Z Trong

X x Z ta định nghĩa các phép toán nhƣ sau:

(x1 , n1) + (x2 , n2) = (x1+ x2, n1 + n2) (x1, n1)(x2 , n2) = (x1x2 + n1x2 + n2x1, n1n2) a) Chứng minh rằng X x Z là một vành có đơn vị

Trang 30

+ Tương tự ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng, phép cộng phân

phối đối với phép nhân

7 Chứng tỏ rằng tập các số nguyên Z với 2 phép toán:

a  b = a + b – 1

a  b = a + b – ab

là một vành giao hoán có đơn vị

Đáp án

Trang 31

) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

Vậy ( , , )  là một vành giao hoán có đơn vị

8 Cho A, B là hai vành tuỳ ý Xét tập hợp tích đề các X = A x B trong X ta định nghĩa phép toán

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, bd)

Chứng minh rằng X là một vành

Đáp án

a) Kiểm tra các tiên đề quan trọng của vành

+ ( , ),( , ),( , )a b1 1 a b2 2 a b3 3   , ta có: A B

Trang 32

Chứng minh rằng :

a) Các bộ phận A = {(a,0} | a  A} và B = {(0, b) |b  B} là hai idean của X

đẳng cấu theo thứ tự với A và B

b) Giả sử A, B là hai vành có đơn vị là eA, eB Tìm các đơn vị của X, A và B

Trang 33

Trang 34

b) Giả sử A, B là hai vành có đơn vị là eA, eB

Aa bi a b : ,  (các phép toán là cộng và nhân thông thường) 

Trang 35

(các phép toán là cộng và nhân thông thường)

Trang 36

+ X là một trường và A là vành con nên A không có ước của 0

Vậy A là một miền nguyên

Trang 37

Trang 38

Trang 39

Trang 40

16 Cho X là một vành tùy ý, a X Chứng minh rằng :

a) Bộ phận aX a x x X:   là một idean phải của X

b) Bộ phận Xaxa x X:   là một idean trái của X

- Sinh viên khi làm bài tập cần phải xem lại các định nghĩa, định lý,

tính chất… liên quan đến câu hỏi

- Phải kiểm tra ( trả lời) được tiến trình làm trên ( vì sao, theo cái gì

mà ta có thể làm được điều đó)

- Lên tìm thêm nhiều hướng giải mới Vì chúng tôi chỉ đề cập đến

các hướng giải theo cách thức thông thường cần ít nhất các kiến

thức đã có

Chúc các bạn thành công Thân ái!

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,45 MB