Thông tin tài liệu
MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Chương 1 Xét tập hợp số nguyên tập * số tự nhiên khác Gọi S quan hệ * xác định (a, b) S (c, d) ad = bc Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng phần tử: (0; 1), (-1; 1); (1; 2) Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + (a; b) * ta có: ab = ba (a; b)S (a; b) (tính phản xạ) + (a; b),(c; d ) * thỏa mãn: (a; b)S (c; d ) ad bc cb da (c; d )S (a; b) (tính đối xứng) * + (a; b),(c; d );(e; f ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f ) ad bc a c e af be (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu) b d f cf de S quan hệ tƣơng đƣơng b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện) (0; b) : b C (1;1) (a; b) : (a; b) S (1;1) (a; b) : a b (b; b) : b C (1;2) (a; b) : (a; b) S (1;2) (a; b) : a.2 b (a;2a) : a C (0;1) (a; b) * : (a; b) S (0;1) (a; b) * : a * * * * * * * Giả sử C quan hệ hai xác định tập hợp số nguyên Z cặp (x, y) với x, y nguyên x + y chẵn Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng phần tử: -1; 1; Đáp án Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + x , có: x x x chẵn xCx (tính phản xạ) + x, y mà xCy x y chẵn y x chẵn yCx (tính đối xứng) + x, y, z mà xCy, yCz x y, y z chẵn x y z chẵn Mà 2y chẵn x z chẵn xCz (tính bắc cầu) C quan hệ tƣơng đƣơng b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện) C (1) x : x 1 2 { x lẻ} C (1) x : x 1 2 { x lẻ} C (2) x : x 2 2 { x chẵn} Cho X không gian ba chiều thông thƣờng O điểm cố định X Trong X-{O} ta xác định quan hệ S nhƣ sau: PSP’ O, P, P’ thẳng hàng (cùng thuộc đƣờng thẳng) Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng X-{O} b) Xác định lớp tƣơng đƣơng Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + P X {O} ta có O, P, P thẳng hàng PSP (tính phản xạ) + P, P ' X {O} mà PSP’ O, P, P’ thẳng hàng O, P’, P thẳng hàng nên P’SP (tính đối xứng) + P, P ', P '' X {O} mà PSP’ P’SP’’ O, P, P’ thẳng hàng O, P’, P’’ thẳng hàng O, P, P’’ thẳng hàng PSP’’ (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ tƣơng đƣơng b) P X {O} , ta có: C ( P) P ' X {O}: P ' SP {P ' X {O} cho O, P, P’ thẳng hàng} = đƣờng thẳng OP - {O} Vậy lớp tƣơng đƣơng đƣờng thẳng qua O (loại điểm O) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Giả sử ƒ đơn ánh từ tập hợp X đến tập hợp số tự nhiên N S quan hệ X xác định nhƣ sau : xSx’ ƒ(x) ƒ(x’) a) Chứng minh S quan hệ thứ tụ toàn phần b) S có phải quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao? Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu) + x X , taluôncó : f ( x) f ( x) xSx (tính phản xạ) f ( x) f ( y ) + x, y X , mà xSy, y Sx f ( x) f ( y ) f ( y ) f ( x) Do f đơn ánh nên x = y (tính phản đối xứng) f ( x) f ( y ) + x, y, z X , mà xSy, y Sz f ( x) f ( z ) xSz f ( y) f ( z) (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ thứ tự f ( x) f ( y ) xSy + x, y X f ( x), f ( y ) f ( y ) f ( x) ySx Vậy S quan hệ thứ tự toàn phần b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu quan hệ thứ tự tồn phần tử tối đại tối tiểu) A X f ( A) Do quan hệ thứ tự tốt nên tồn n0 f ( A) x0 A : f ( x0 ) n0 f ( x0 ) f ( x) x A x0Sx x A x0 phần tử tối tiểu A Vậy S quan hệ thứ tự tốt Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Cho ánh xạ : E F xét quan hệ R tập E xác định nhƣ sau: xSx’ (x) = (x’) a) Chứng minh S quan hệ tƣơng đƣơng b) Xét trƣờng hợp E = F = ( tập hợp số nguyên), (x) = x2 x Xác định lớp tƣơng đƣơng S Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + x E : ( x) ( x) xSx (tính phản xạ) + x, y E mà xSy ( x) ( y) ( y) ( x) ySx (tính đối xứng) ( x) ( y ) + x, y, z E mà xSy, ySz ( x) ( z ) xSz ( y ) ( z ) (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ tƣơng đƣơng E b) Với : , x x C ( x) y : ySx y : ( x) ( y ) y : x y y : x y x, x Vậy lớp tƣơng đƣơng : {0},{1, 1},{2, 2} Với N tập hợp số tự nhiên Trên N N, định nghĩa quan hệ nhƣ sau: (a,b) S (c, d) a + d = b+c a) Chứng minh S quan hệ tƣơng đƣơng b) Xác định lớp tƣơng đƣơng (0, 3), (5,8), (8,3) Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + (a; b) ta có: a + b = b+ a (a; b)S (a; b) (tính phản xạ) + (a; b),(c; d ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d ) a d b c c b d a (c; d )S (a; b) (tính đối xứng) + (a; b),(c; d );(e; f ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f ) a d b c a+f b e (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu) c f d e Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 S quan hệ tƣơng đƣơng b) C (0;3) (a; b) : (a; b) S (0;3) ( a; b) : a b (a; a 3) : a C (5;8) (a; b) : (a; b) S (5;8) ( a; b) : a b 5 (a; a 3) : a C (8;3) (a; b) : (a; b) S (8;3) ( a; b) : a b 8 (a; b) : a b 5 (b 5; b) : b Giả sử ƒ : X → Y ánh xạ, A B hai phận X, C D hai phận Y Chứng minh: a) ƒ(A∪ B ) = ƒ(A) ∪ ƒ(B) b) ƒ - 1(C ∪ D ) = ƒ - 1(C) ∪ ƒ - 1(D) Đáp án a) y f ( A B) x A B : y f ( x) x A : y f ( x) y f ( A) y f ( A) f ( B) x B : y f ( x) y f ( B) f ( A B) f ( A) f ( B) Chứng minh tƣơng tự ta có: f ( A) f ( B) f ( A B) Vậy f ( A) f ( B) f ( A B) b) x f 1 (C D) f ( x) C D x f 1 (C ) f ( x) C x f 1 (C ) f 1 ( D) f ( x) D x f ( D) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 ( D) Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Vậy f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Giả sử ƒ : X → Y ánh xạ, A B hai phận X, C D hai phận Y Chứng minh: a) ƒ(A∩ B ) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B) b) ƒ - 1(C ∩D ) = ƒ - 1(C) ∩ ƒ - 1(D) Đáp án a) y f ( A B) x A B : y f ( x) x A : y f ( x) y f ( A) y f ( A) f ( B) x B : y f ( x) y f ( B) f ( A B) f ( A) f ( B) b) x f 1 (C D) f ( x) C D 1 f ( x) C x f (C ) x f 1 (C ) f 1 ( D) 1 f ( x) D x f ( D) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1( D) Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Vậy f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y g, g’ : U → X Chứng minh: a) Nếu ƒ đơn ánh ƒg = fg’ g = g’ b) Nếu với g, g’, với U mà ƒg = g’ kéo theo g = g’ ƒ đơn ánh Đáp án a) x U , ta có: fg ( x) fg '( x) f ( g ( x)) f ( g '( x)) Do f đơn ánh nên g ( x) g '( x) x U g g ' b) Giả sử f không đơn ánh x1 x2 X : f ( x1 ) f ( x2 ) Xét U = {1; 2} ánh xạ: g :U X x1 g ' :U X x1 x2 x1 Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Ta có: fg (1) f ( x1 ) fg '(1) f ( x1 ) fg (2) f ( x2 ) fg '(2) f ( x1) f ( x2 ) fg fg ' theo giả thiết g = g’ Nhƣng theo ta có g g ' (Mâu thuẫn) Vậy f đơn ánh 10 Cho A, B hai phận tập hợp X Chứng minh công thức Đờ moóc - găng: a) X - (A ∪ B) = (X - A) ∩ (X - B), b) X - (A ∩ B) = (X - A) ∪ (X - B) Đáp án a) x X ( A B) x X x X x X A x A x ( X A) ( X B) x A B x B x X B X ( A B) ( X A) ( X B) x ( X A) ( X B) x X x X A x X x A x X ( A B) x X B x B x A B ( X A) ( X B) X ( A B) Vậy X ( A B) ( X A) ( X B) b) x X ( A B) x X x X x X x X A x A x A x ( X A) ( X B) x X x A B x X B x B x B X ( A B) ( X A) ( X B) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 x ( X A) ( X B) x X x X x X A x A x X x A x X ( A B) x A B x X B x X xB x B ( X A) ( X B) X ( A B) Vậy X ( A B) ( X A) ( X B) 11 Giả sử S quan hệ tƣơng đƣơng X a ∈ X C(x) lớp tƣơng đƣơng x quan hệ tƣơng đƣơng S Chứng minh: a) C(x) b) Nếu xSy C(x) = C(y) c) Với hai phần tử x y, ta có C(x)∩C(y) = ∅ C(x) = C(y) Đáp án a) Vì S quan hệ tƣơng đƣơng nên xSx x C ( x) C ( x) 0.5 b) z C ( x) zSx zSy z C ( y ) mà xSy C ( x) C ( y ) + Chứng minh tƣơng tự, ta có: C ( y) C ( x) Vậy C ( x) C ( y) c) x, y X , ta có trƣờng hợp sau: x có quan hệ S với y, nghĩa xSy C ( x) C ( y) x quan hệ S với y C ( x) C ( y) Thật vậy, giả sử C ( x) C ( y) z C ( x) C ( y) z C ( x) zSx xSz xSy Mâu thuẫn với x quan hệ S z C ( y ) zSy với y Trên , định nghĩa quan hệ “ ” nhƣ sau: + 12 0.5 x x ' ( x; y ) ( x '; y ') y y' a) Chứng minh “ ” quan hệ thứ tự b) Quan hệ có quan hệ thứ tự toàn phần không? Tại sao? Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Đáp án a) + ( x, y) , ta có: x x ( x; y ) ( x; y ) (tính phản xạ) y y + ( x, y),( x ', y ') mà ( x; y) ( x '; y ') ( x '; y ') ( x; y) thì: x x ' x ' x x x ' ( x, y ) ( x ', y ') (tính phản đối xứng) y y ' y y ' y ' y 1.5 + ( x, y),( x ', y '),( x '', y '') mà ( x; y) ( x '; y ') ( x '; y ') ( x ''; y '') x x ' x '' x x '' ( x, y) ( x '', y '') (tính bắc cầu) y y ' y '' y y '' Vậy quan hệ thứ tự b) Quan hệ quan hệ thứ tự toàn phần (1;2),(2;1) không so sánh đƣợc với 13 0.5 Trên , định nghĩa quan hệ đồng dƣ mod 5: Hai số nguyên m, n gọi đồng dƣ mod ( kí hiệu m n(mod5) ) m - n chia hết cho Kí hiệu: m n(mod5) m n5 a) Chứng minh quan hệ quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng Đáp án a) + m : m m 05 m m(mod5) (tính phản xạ) + m, n : m n(mod5) m n5 n m5 n m(mod5) (tính đối xứng) + m, n, p : m n(mod5) n p(mod5) m n m p5 m p(mod5) (tính bắc cầu) n p5 Vậy quan hệ quan hệ tƣơng đƣơng b) m m 5k i, i 0,4 m i 5k m i5 m i(mod5), i 0,4 Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh 1.5 0.5 Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 14 Vậy lớp tƣơng đƣơng C (i) 5k i, k , i 0, Giả sử ƒ : X → Y g : Y → Z hai ánh xạ h = g.ƒ ánh xạ tích ƒ g Chứng minh: a) Nếu h đơn ánh ƒ đơn ánh b) Nếu h đơn ánh f toàn ánh g đơn ánh b) Nếu h toàn ánh g toàn ánh Đáp án a) x1, x2 X : f ( x1) f ( x2 ) g ( f ( x1)) g ( f ( x2 )) h( x1) h( x2 ) Do h đơn ánh nên x1 x2 0.5 Vậy f đơn ánh b) y1, y2 Y : g ( y1 ) g ( y2 ) Do f toàn ánh nên: x1, x2 X : y1 f ( x1 ), y2 f ( x2 ) g ( f ( x1)) g ( f ( x2 )) h( x1) h( x2 ) Do h đơn ánh nên x1 x2 y1 y2 0.5 Vậy g đơn ánh c) z Z , h g f : X Z toàn ánh x X : z h( x) ( g f )( x) g ( f ( x)) Đặt y f ( x) Y : g ( y) z Vậy g toàn ánh 15 Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y h, h’ : Y → Z Chứng minh rằng: a) Nếu ƒ toàn ánh hƒ = h’ƒ h = h’ b) Ngƣợc lại với h, h’, với Z mà hƒ = h’ƒ kéo theo h = h’ ƒ toàn ánh Đáp án a) y Y , f toàn ánh nên x X : y f ( x) Đồng thời từ hf h ' f hf ( x) h ' f ( x) h( y) h '( y) y Y Vậy h = h’ b) Giả sử f không toàn ánh y0 Y : f 1 ( y0 ) Xét Z = {1; 2} ánh xạ: Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 10 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 a b b) + Giả sử A ƣớc A Khi đó: b a c d a b c B A, B , B : A B b a d d c ac bd ac bd ad bc (*) ad bc ac bd ad bc d c a 0, b Nếu ( Det ( A) 0) , từ (*) c 0, d ( A ƣớc 0) a 0, b Nếu a 0, b : bc ac b 0 ac bd a (*) a b Det ( A) (đpcm) bc d a d bc a Cho hai tập hợp: A a b : a, b , B a bi : a, b với phép cộng phép nhân thông thƣờng Chứng minh rằng: a) (A, +, ) vành vành số thực b) (B, +, ) vành vành số phức Đáp án a) ) Kiểm tra tiên đề quan trọng vành 00 2 A A x a1 b1 + x, y A (a1, b1, a2 , b2 ) x a b 2 xy (a1a2 2b1b2 ) (a1b2 a2b1 ) A x y (a1 a2 ) (b1 b2 ) A Vậy A vành vành số thực b) 0i B B x a1 b1i + x, y B (a1, b1, a2 , b2 ) x a2 b2i Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 26 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 xy (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1 )i B x y (a1 a2 ) (b1 b2 )i B Vậy B vành vành số thực Cho tập hợp X = với hai phép toán: (a1, b1 ) + (a 2, b2 ) = (a1+ a2, b1 + b2) (a1, b1 ) (a 2, b2 ) = (a1a2, b1b2) a) Chứng minh X vành giao hoán, có đơn vị b) Hãy tìm tất ƣớc không vành Đáp án a) ) Kiểm tra tiên đề quan trọng vành + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: (a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a3, b3 ) (a1 a2 , b1 b2 ) (a3, b3 ) (a1 a2 a3 , b1 b2 b3 ) ( a1, b1) (a2 a3 , b2 b3 ) (a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a3, b3 ) + (a, b) , ta có: (a, b) (0,0) (a 0, b 0) (a, b);(0,0) (a, b) (0 a,0 b) (a, b) Suy (0, 0) phần tử trung hòa phép + + (a, b) , ta có: (a, b) (a, b) (a a, b b) (0,0) (a, b) (a, b) (a a, b b) (0,0) (-a, -b) phần tử đối (a, b) + (a, b),(c, d ) : (a, b) (c, d ) (a c, b d ) (c a, d b) (c, d ) (a, b) Phép + có tính chất giao hoán Vậy ( , ) nhóm Abel + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: (a1, b1).(a2 , b2 ).(a3, b3 ) (a1a2 , b1b2 ).(a3, b3 ) (a1a2a3 , b1b2b3 ) ( a1, b1).(a2a3 , b2b3 ) (a1, b1 ). (a2 , b2 ).(a3, b3 ) Vậy ( ,.) nửa nhóm + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 27 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 (a1, b1) (a2 , b2 ).(a3, b3 ) (a1 a2 , b1 b2 ).(a3, b3 ) (( a1 a2 )a3 ,(b1 b2 )b3 ) ( a1a3 a2a3, b1b3 b2b3 ) (a1, b1 ).(a2 , b2 ) (a1, b1 ).(a3, b3 ) Tƣơng tự ta có phép nhân phân phối phép cộng Phép có tính chất giao hoán có phần tử đơn vị (1, 1) Vậy ( , ,.) vành giao hoán có đơn vị b) Ƣớc không là: (a,0),(0, b) (a, b 0) Giả sử X vành có tính chất sau đây: x2 = x với x X Chứng minh rằng: a) x = - x với x X b) X vành giao hoán c) Nếu X vành ƣớc 0, có nhiều phần tử , X miền nguyên Đáp án a) x X , ta có: ( x)2 ( x)( x) x x Mặt khác theo giả thiết ( x)2 x x x b) x, y X , ta có: ( x y)2 x y X vành nên: ( x y )2 ( x y )( x y ) ( x y ) x ( x y ) y x yx xy y x yx xy y Do x yx xy y x y y x xy xy y x yx Vậy X vành giao hoán c) Giả sử x, y X , x , ta có: xy x y x( xy) Do X ƣớc không nên y xy , tƣơng tự ta có: y yx Vậy x phần tử đơn vị X Do X gồm có hai phần tử {0, đơn vị e} nên X miền nguyên Giả sử X miền nguyên, mX mx : x X idean X ( m ) n cấp phần tử đơn vị e nhóm cộng X Chứng minh: a) n số nguyên tố b) Mọi phần tử khác không x X có cấp n Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 28 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 c) X mX X m bội n X mX {0} m bội n Đáp án a) n cấp phần tử đơn vị e nhóm cộng X nên n số nguyên dƣơng nhỏ cho ne = Giả sử n số nguyên tố, n = n1.n2 (1 < n1, n2 [...]... b).( x, y) (0, by) B B là một idean của vành X + Xét f :BB b (0, b) f là một đồng cấu vì f (ab) (0, ab) (0, a).(0, b) f (a) f (b) a, b B hơn nữa f là một song ánh nên f là một đẳng cấu B B Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 33 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 b) Giả sử A, B là hai vành có đơn vị là eA, eB Khi đó vành X có đơn vị là (eA, eB) Vành A có... b a d Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh d f (a bi ) f (c di ) c Page 34 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 f ((a bi ).(c di )) f ((ac bd ) (bc ad ) 2)) bc ad a b c d ac bd b a d c f (a bi ) f (c di ) ( bc ad ) ac bd Vậy f là một đồng cấu Hơn nữa f là một song ánh do đó: A A 11 a b ... phép cộng thông thƣờng, trong trƣờng hợp này ta có một nhóm Abel 5 Tìm điều kiện đối với các số thực a, b để R với phép toán sau lâ ̣p thành mô ̣t nhóm : x*y = ax+by Đáp án Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh 2 Page 13 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 x, y, z : ( x * y) * z (ax by) * z a 2 x aby bz x *( y * z ) x *(ay bz) ax bay b2 z (; *) là một... A 1 y A : y 1 A 1 Khi đó: xy A 1 x, y A + "c a " : Giả thiết x, y A : xy 1 A Vì A a A e a a 1 A 1 x A, e A x1 ex1 A Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 14 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 y A : y 1 A 1 1 x( y ) A hay xy A x A Vậy A là một nhóm con của X Chứng minh rằng các điều kiện sau... 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24 Đáp án 2 a) (3, ) là nhóm cộng các số nguyên bội của 3 (15, ) là nhóm con các số nguyên bội của 15 (3, ) là một nhóm giao hoán Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh 1 Page 15 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 nên (15, ) là nhóm con chuẩn tắc của (3, ) 3 15 x 15 : x 3 x 3 x 3k , k ; x 3k k dƣ 0, 1,... tắc của X Chứng minh rằng: a) Quy tắc cho tƣơng ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A X/A đến X/A b) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA) = (xy)A là 1 nhóm Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 16 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 2 Đáp án 1 xA x1 A x x1 A a) ( xA; yA) ( x1 A; y1 A) 1 yA y1 A y y1 A y 1 ( x 1x1 ) y A... nên f(A) 1 + y, y1 f(A) Vì y, y1 f(A), nên có x, x1 A sao cho y = f(x) và y1 = f(x1) Ta có y.y1-1 = f(x)f(x1)-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1).Vì A là nhóm con nên xx1-1 A, Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 17 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 do đó y.y1-1 = f(xx1-1) f(A) Suy ra f(A) là một nhóm con của Y b) Ta có + f(ex) = ey B nên ex f1-1(B), f-1(B) + f(xx1-1)... mọi x X } Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X Đáp án Hiển nhiên là C(X) là nhóm con giao hoán của X Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 18 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Ta cần chứng minh: mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X Theo định nghĩa nhóm con chuẩn tắc: x X , a C... 1 )1 (A1 )1 hay a ( A1 )1 A ( A1 )1 a A a ( A1 )1 b A 1 : a b 1 a (c 1 ) 1 c A b A 1 c A: b = c 1 + ( A1 )1 A Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 19 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Vậy A ( A1 )1 b) y ( AB)1 a A, b B : y (ab)1 b1a 1 B 1A1 ( AB)1 B 1A1 y B1 A1 a A,... Chứng minh rằng: a) Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X b) Đồng cấu nhóm f: X Y là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = e x Đáp án a) + f (eX ) eY eX Kerf Kerf Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 20 MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 + a, b Kerf f (ab1) f (a)[f (b)]1 eY ab1 Kerf Vậy Ker f là một nhóm con của X x X , a Kerf f ( x 1ax) ... đƣờng thẳng OP - {O} Vậy lớp tƣơng đƣơng đƣờng thẳng qua O (loại điểm O) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Giả sử ƒ đơn ánh từ tập... x) x A x0Sx x A x0 phần tử tối tiểu A Vậy S quan hệ thứ tự tốt Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Cho ánh xạ : E F xét... b c a+f b e (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu) c f d e Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page MATHEDUCARE.COM GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 S quan hệ tƣơng đƣơng
Ngày đăng: 13/12/2016, 23:04
Xem thêm: Giai bai tap dai so dai cuong nguyen tien thịnh
