NGUYÊN TIẾN QUANG
ĐẠI $Ố ĐẠI CUONG
Trang 3Ban quyên thuộc HEVOBCO - Nhà xuất bản Giáo dục
Trang 4
Lời nĩi đâu
Mon học Đại số đại cương hay Đại số hiện đại được giảng dạy cho
sinh viên tốn vào những học kỳ dầu của khố học Với mơn học này
sinh viên được làm quen với những cấu trúc trừu tượng vượt ra ngồi
khuơn khổ quen thuộc của các hệ thơng số và phương trình trong Đại số cổ điển Và cũng từ đĩ hình thành tư duy trừu tượng ở mức độ
sâu sắc với phạm vị rộng rãi hơn Chính sự trừu tượng ở nội dung và phương pháp tư duy này đã là một trở ngại khơng nhỏ cho một số người học và đồng thời cũng chính điều này lại lõi cuốn, hấp dẫn cho số đồng những người bước đầu tìm hiểu Tốn học hiện đại
Đã cĩ khá nhiều giáo trình trong và ngồi nước viết về Đại số đại
'cương Nội dung và phương pháp trình bày khác nhau tuỳ thuộc vào
quan niệm của từng tác giá về tính hệ thống, sự cần thiết của những kiến thức được coi là cơ bản, về khả năng tiếp thu của người đọc và tuỳ thuộc vào thẩm mỹ riêng của từng tác giả Hơn thế nữa, sự phong phú cúa các giáo trình khơng phải ở chỗ khác biệt về nội dung kiến
thức mà cĩ lẽ ở nghệ thuật trình bày, nghệ thuật truyền thụ
Chúng ta cũng phải nĩi thêm rằng sự phát triển của khoa học và
đời sống da dẫn tới những thay đổi cơ bản về sự nhận thức của người
học cũng như những thay dổi về quan niệm các kiến thức thiết yếu
Vi dụ, sự phát triển và ứng dụng rộng rãi của cơng nghệ thơng tìn đồi
hỏi chúng ta phải cĩ nhiều cách nhìn mới, trong đĩ cĩ việc dưa các kỹ
thuật gần hơn với các vấn đề ứng dụng
Cuốn sách này được biên soạn dựa trên những điều mà chúng tơi
vừa trình bày Nội dung của nĩ bao gồm 6 chương
Chương I, ngồi một số yếu tố cơ bản của đại số hiện đại như tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai ngơi chúng tơi trình bày về số nguyên, tuy khơng dồi hỏi sự chặt chẽ nhưng cĩ đủ những kết quả cần thiết để sử dụng trong các chương,sau như dịnh lý về phép chia với dư ước chườg,
lớn nhất Điều này là rất cần thiết để cĩ thể chứng minh những tính chất cơ bản về cấp trong )ý thuyết nhĩm
Chương II trình bày những kiến thức cơ sở về nhĩm Ở đây chúng tơi thấy cần thiết phải đưa ra một số ví dụ cho thấy tính ứng dụng của khái niệm nhĩrn, cầu trúc đại số trừu tượng đầu tiên mà, sinh viên
Trang 5trong chương III Mot vai mục của chương này cĩ thể xem như phần
đọc thêm, tuỳ theo đối tượng
Lý thuyết về vành và trường dược viết theo ba chương Chương IV trình bày những vấn đẻ chung Chương V nĩi về một lớp vành quen
thuộc cĩ vai trị quan trọng trong đại số là vành đa thức, và những lớp vành khái quát của lớp vành này và vành các số nguyên, trong đĩ cĩ
tính nhân tử hố và thuật tốn chia clit Chương VI được xem như một ứng dụng của lý thuyết vành vào các đa thức trên các trường số Dễ giảm bớt tính khĩ khăn cho người đọc, chúng tơi cố gắng trình bày cụ thể một số ví dụ Điều này cịn giúp cho người đọc hiểu sâu
hơn những vẫn đề của lý thuyết Hệ thống bài tập được cho theo từng tiết Việc giải một số lớn những bài tập này là cần thiết và hét sức bổ
ích đối với người đọc
Cuốn sách được hình thành dựa trên những quan sát chúng tơi cĩ được từ thực tế giảng dạy cho sinh viên khoa Tốn- Tin trường Dại học _
Sư phạm Hà Nội cũng như cho sinh viên tại chức ở nhiều địa phương trong cả nước Chúng tơi hy vọng đây là một tài liệu cĩ ích về đại số cho sinh viên khơng chỉ ở hệ Đại học mà cả ở hệ Cao đẳng Sư phạm Những thảo luận cùng các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy
Trang 6Mục lục Lời nĩt đầu Bảng ký hiệu Q QC HQ NA va gà ga sa 7 a Chuong I Co sở 1 Taphop 2 20.00 2 0000 eee 9 2 Anhxal., ng 2 ng 2v xxx ân 15 3 Quan hé haingdi 0.0.20 ,0 0.000002 22 4 Sé6nguyén 0.0.00 00 ee va 29
Chương TI Nhĩrn-Đồng câu nhĩm 44
Trang 72 Thuật tốn chia trong mién nguyén 2
3 Vanhechinh 2 ee ee
4 Vanh Oclit (Euclide) 2.0 0 va
Chương VI Phân tích đa thức trên các trường sơ 1 Phân tích da thức thực và phức 2 Phân tích đa thức nguyên và hữu tý
3 Phân tích da thức trên trường hữu hạn -
Hung thuật ngữ oe
Trang 8ACB (ACB) BOA (BDA) A-B,A\B AUB ANB 6 C,B A x B: (ai)re1 (Ai )ier (a) A2 HA, ie! AI Ƒƒ:ÄX ¬Y xty 1x, idx ‘Hom( X,Y) S(X) <A> <#z> Sy P(x) C(G) (a) Bang ky hiéu Y nghia Tập các số tự nhiên Tập hợp các số nguyên Tập hợp các số hữu tỷ Tập hợp các số thực Tập hợp các số phức a là ước của b A là tập con của tập hợp B Hiệu của hai tập hợp A và Ø Hợp của hai tập hợp A va B Giao của hai tập hợp A và Ð Tập hợp rõng Phan bu cua tap hop B trong A Tích Đề-các của hai tập hợp A và B Họ phần tứ chỉ số hĩa bới tập 7 Họ tập hợp chỉ số hĩa bởi tập 7 Cặp phần tử a và b Bình phương Đề-các của tập hợp 4 Tích Dề-các của họ tập hợp 4;, Tích trực tiếp của nhĩm 4; Lũy thừa Đề-các bậc / của tập hợp A Ánh xạ ƒ từ X đến X Ánh xạ đồng nhất của tập X Tập hợp các ánh xạ từ X đến Y Tập hợp các song ánh từ X đến Y Nhĩm sinh bởi.tập hợp A Nhĩm xyclic sinh bởi phẫn tử z Nhĩm các phép thế bậc m Tập hợp các bộ phận của tập hợp X ' -Tâm của nhĩimn
Trang 9Hai nhĩm (vành, trường) A vA Ð đẳng cấu với nhau Vành đa thức của ẩn z trên vành Ả
Truong phan thức của ấn z trên miền nguyễn 4 Lớp các phần tử tương đương với phần tử a Ảnh của đồng cấu f
Hạt nhân của đồng cấu ƒ
Nhĩm thương của nhĩm Ở trên nhĩm con chuẩn tắc # Vành thương của vành # trên iđêan J
Vành các thương
Trường các thương cúa miền nguyên R
Nhĩm các phép quay của một đa giác đều ø đỉnh
Trang 10Chương Ï CƠ SỞ 1 Tập hợp 2 Anh xa 3 Quan hé hai ngd1 4 Số nguyên 1 Tập hợp
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của các
phép tốn cơ bản trên tập hợp
Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ ban nhất của | tốn học Một tập hợp được quan niệm một cách trực quan như là
một tụ tập, một nhĩm những đối tượng nào đĩ Dây khơng phải là một định nghĩa mà chỉ là sự mơ tả bằng những từ đồng nghĩa Cĩ,
thể nêu ra một vài ví dụ về tập hợp như: tập hợp các học sinh trong
một lớp; tập hợp các số nguyên; tập hợp các nghiệm của phương trình 2x2 — 34 +1 = 0
Các dối tượng của một tập hợp đã cho nào đĩ được gọi là các phan tứ của tập hợp đĩ Đề ký hiệu phần tử a thuộc tập hợp A ta viết
a € 4; cịn niễu phần tử ø khơng thuộc tập hợp A ta viết ø ¢ A Một tập hợp thường được cho bởi một tính chất nào đĩ, xác định các phần tử của tập hợp đĩ Chẳng hạn, nếu ø(z) là tính chất đặc trưng cho các phần tử z € A thì ta viết
A= {x | p(z)}
và hiểu A là tập hợp bao gồm tất cá các phần tử z cĩ tính chất p(z)
Trong lý thuyết tập hợp tiên đề kháng định rằng, mỗi tính chất
Trang 11thường được gọi là tiến đề tách Tiên đề này nằm trong số những tiên dé ca ban cua légic
Ta cũng thường cho một tập hợp bằng phương pháp liệt kê các phần tử thuộc tập hợp đĩ Chẳng hạn, tập A4 gồmi hữu hạn phần tử
œị.d2, gạ sẽ dược ký hiệu bởi
A = {ai.dạ đn}
Tập hợp khơng chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, và ký hiệu
bới Ú.⁄í dụ tập hợp các nghiệm thực của phương trình z? + 1 = 0 là
tập hợp rỗng
Tập hop B được gọi là đập con của tập hợp 4 nếu mọi phần tử thuộc Ø đều thuộc 4, và ký hiệu bởi Ð C 4A hay A D B Như vậy
(BCA) Se (rE Bax eA)
Khi đĩ, ta cũng nĩi ring B chita trong A hay A chứa B hay B bao ham trong A
Rõ ràng quan hệ bao hàm cĩ những tính chất sau:
— ÚC A,AC A với mọi tập A ú) AC Ð và 8C C kéo theo A C C Hai tap hop A, B được gọi là bằng nhau nêu và chỉ nếu chúng cĩ cùng các phần tử Rõ ràng A=BHe AC BvàBC A Nếu AC Ư và A z# Ừ thì A4 được gọi là tập con thuc sự của B Các phép tốn trên tập hợp 1 Phép giao Ciao cha hai tap hop A va B, ky hiệu bởi 4 1B, là tập hợp gồm tất cá các phần tử thuộc cả A lẫn B, AnB=t{r|zce Avàzc ð}
Khi An = Ú ta nĩi rằng A và Ð khơng giao nhau, hay rời nhau
Ta thường biểu diễn hai tập hợp A bởi hai hình trịn và giao
Trang 12của chúng bới phần chung (phần gạch chéo) của hạ hình trịn đĩ như
hình vẽ dưới dây (gọi là biểu đỗ Wen) 4l» ANB Vi du Với hai số nguyên ø,b đã cho, giao của hai tập hợp A=tuk|kc2)};B= {bk | ke 2} là tập hợp tất cả các bội của bội chung nhỏ nhất của a@ va b: ANB = {|a,b]k | k € Z} 2 Phép hợp Hop cia hai tap hgp A va B, ky hiéu AU B la tap hợp gồm tất cá các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp A, Ð, AUB=({r|+€ Ahoặcz€ B}
Nếu ta biểu diễn hai tập hợp A, Ø bởi hai hình trịn thì hợp của chúng là tồn bộ phần hình gạch chéo như trong hình vẽ sau:
AUB 3 Phép lay hiéu
Hiệu của hai tap hop A va B, ky hiéu A \ B 1a tap hop gdm tất cả các phần tử thuộc A ma khong thudc B,
A\ B={x|ceAvar ¢ B}
Trang 13Hiệu của hai tập hợp được biểu diễn bởi phần gạch chéo trong hình
v6 sau:
4 Phần bù
Trong trường hợp 4 là tập con của một tập hợp M thi hiéu M\ A
dược gọi là phan bờ của A trong M và ký hiệu bởi CA, hay A nếu
như ta biết rõ A là tập con của tập hợp nào
Mệnh đề 1.1 Giá sử A,B là những tập hợp cơn tuỳ lý của tập hợp M Khi do cdc diéu sau là tương đương:
a) ACB d) BC Ã
bh ANB=A e) ANB=0
c) AUB=B f)M=AUB
Chitng minh Ta chimg minh cắc phép kéo theo e) > f) va f) > a),
các phép kéo theo cịn lại dành cho bạn đọc Ta cũng sẽ thấy rằng các
phép chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của các phép
tốn tập hợp đã nẽu
eì > ƒ) Giả sử z € M Nếu r € A thì do giả thiết ta cĩ z ¢ B,
nghĩa là z € B Nếu z ¢ A thi z € A Nhu vay z € ÂU Ư Tir do,
M c (AUB)
Hiển nhiên ta cĩ bao hàm thức ngược lại nên Ä = AUB
f) => a) Giả sử r 6 A, thế thì r £ A Bởi vì z € ÂU B nên z € Ư
Điều này chứng tỏ A C 8Ư L
Mệnh đề 1.2 Giá sứ A,B,C,M là những tập hợp tuỳ ý Khi đĩ:
1) AU8=BUA,.AnB=BđAA (buật giao hốn) 2) AN(BNC)=(ANB)NC;
AU(BUC)=(AUB)UC (luat két hop)
Trang 143) AN(BUC) =(ANB)U(ANC):
AU(BNC) =(AUB)N(AUC) (luét phan phơi)
4) Cơng thúc Đờ Moocgăng
M \ (AUB) = (M\ A)N(M\ B); |
M\ (ANB) = (M \ A)U(M \ B) Chitng minh Ta sé chimg
minh hệ thức đầu tiên của 3), các hệ thức cịn lại dành cho ban doc như một bài tập Ta cĩ AN(BUC) = {r|z€ Á vàz€c BUC} ={z|z€ Ä và (+ € PB hoặc + € C)} ={z|(€ A và z € ) hoặc (+ € A và z € C)} ={rlz€ An B hoặc z€ AC} =(AN B)U(ANC) 0 Số phần tử của một tập hợp
Cho X là một tập hợp bất kỳ Tập hợp tất cả các tập con của X
dược ký hiệu bởi P(X) P(X) ={A| AC X}
Mệnh đề 1.3 Nếu X là tập cĩ n phần tử thì P(X) cĩ 2" phần tủ
Chitng minh Giả sử X = {1,2, n} và A là một tập con của X Thể thì A ứng với dãy các trạng thái a,a2 a, (*), trong dé a; chi trang
Trang 15Bài tập 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 14 Chứng tỏ rằng từ một trong các hệ thức SCT,SnT=S,SUT=7T
của các tập hợp S va T cé thể suy ra được các hệ thức cịn lại
Ký hiệu P(X) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X Hãy biếu diễn các tập hợp:
P(P({1})) va P(P(P({1})))
Cho E là một tập hợp, ø là một số nguyên dương, và
Áo, Á¡ A¿ là những tập con khác nhau của È sao cho
Ũ = ÁdaC AiC C A„= E
Ta ky hiéu By = A, \ Ao, Ba = An \ 4a—¡ Chứng mình rằng:
n
a)E = UB:
rt
b) 8,8, =0 với ¡ # j
Xét tập hợp {Ai 4a , A„} mà các phần tử 4y, 4¿, A„ là những tập hợp Chứng minh rằng cĩ ít nhất một tap hop A,
khơng chứa một tập nào trong các tập cịn lại,
Chimg minh ring A \ (A \ B) = B khi va chi khi BC A Giá sử (4;);e; là một hợ những tập con của tập hợp X, B là một tập hợp tuỳ ý Chứng mình:
a) UA, > A, voi moi 7 € J; b) na: C Ả; với mọi j € J;
©) #n(U42) = U(#n Ai);
d) BU(Q\A) = A(BUA,): e) Cy ne - ret (A,):
0 sống = ỦŒx(Ai) iel 1ef
Trang 161.8 Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và được định nghĩa bởi AA B=(AUB)\(ANB) Hãy chứng minh rằng: I) AAB=(A\B)U(B\A), 2) AAB=BAA 3) AN(BAC) =(ANB)A(ANC), 2 Anh xa
Dinh nghĩa Cho X và Y là những tập hợp Một đnh xạ (hay một ham) ƒ từ X tới Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử z€ X với một phần tử duy nhất xác định € Y, ký hiệu bởi = ƒ(z) Một
ánh xạ thường dược viết
ƒ:X¬Y
xr+t= ƒ(z)
Tập X dược gọi là tập nguồn hay ruiền rác định, tập Y được gọi là tập dich hay mién giá trị của ánh xạ ƒ Phần tử = ƒ(z) gọi là
anh cua x, con «x goi la tạo ảnh của y
Trang 172 Xét tập hợp các số tự nhiên Đ và tập hợp m tất cả các số tự
nhiên nhỏ hơn số nguyên dương đã cho mm Với mỗi n € Đ gọi ƒ(n) là số dư trong phép chia n cho m Thé thì ta được một ánh xạ: f:N-m n+ f(n) 3 Cho hai tap hdp X.Y va y la một phần tử cỗ định thuéc Y Khi đĩ tương ứng Ƒ:X¬Y ree f(z)=y là một ánh xạ, được gọi là ánh xạ hằng
Ảnh và tạo ảnh tồn phần của một tập Định nghĩa Cho ánh xạ ƒ: X — Y Khi đĩ:
1) Với mọi tập con 4 của X tập hợp ƒ(A) = {/(a)|ac 4}
được gọi là anh cua A qua ƒ Đặc biệt, ảnh ƒ(X) của X qua ƒ được
gọi là đnh của ƒ và ký biệu bởi Imƒ, ƒ(X) =lImƒ
2) Với mọi tập con của Y tập hợp
f-"\(B) = {2X | f(z) € B}
dược gọi là tạo énh todn phan cha B qua ƒ
Định nghĩa 1) Ánh xạ ƒ: X —›Y được gọi là một đơn ánh nếu bfx’ => ƒ(z) # ƒ(z)
với mọi z,2' € X Ta cịn nĩi ƒ là ánh xạ 1-1 từ X sào Y
2) Ánh xạ ƒ: X ¬ Y được gọi là một ýoờn ánh nếu với mỗi y
thuộc Y đều tồn tại z thuộc X sao cho ƒ(z) = g Ta cũng nĩi rằng ƒ
là một ánh xạ từ X lén Y
Trang 183) Ánh xạ ƒ: X —Y được gọi là một song ứnh nếu nĩ đồng thời
là đơn ánh và tồn ánh Khi đĩ ta cịn nĩi ƒ là một ánh xạ 1-L iên,
Hiển nhiên ƒ là song ánh khi và chỉ khi với mỗi € Y tổn tại duy nhất z € X sao cho ƒ(z) = 9 Ví dụ 1, Ánh xạ cho dưới đây là một đơn ánh nhưng khơng là tồn ánh Ƒÿ:2 >2 # > 27 2 Trong ví dụ trên nếu ta thay đổi miễn giá trị Z bởi 2Z thì ta lại được một song ánh Ƒÿ:2Z—¬27Z # t> 21
(trong đĩ 2Z2 ký hiệu cho tập các số nguyên chẫn)
Chú Hai ví dụ trên cho thấy theo định nghĩa, một ánh xạ khơng
chỉ phụ thuộc vào quy tắc lấy ảnh mà cịn phụ thuộc vào tập nguồn
và tập dích của nĩ
Hợp thành cúa các ánh xạ
Trang 19Nhận xét Với mọi ánh xạ ƒ : X — Y ta cĩ foidy =idyof =f,
trong dé id, là ánh xạ đồng nhất của tập A lên chính nĩ
Ánh xạ ngược
Định nghĩa Cho các ánh xạ ƒ: X Y và g:Y —› X Khi đĩ nếu
g© ƒ = idx thì g được gọi là ánh xạ ngược trái của ƒ, cịn ƒ là ánh
xạ mrgược phải của g Ngồi ra, nếu cịn cĩ ƒ og = idy thì ta nĩi ø là mrgược đối với ƒ, và một cách đỗi xứng, ƒ là ngược đối với g
Mệnh đề 2.2 (1) Một ánh xa cĩ ngược trái khi uà chỉ khi nĩ la don
anh
(H) Một ánh za cĩ ngược phải khi va chỉ khi nĩ là tồn ánh Chitng minh (i) Trudéc hét ta chứng mình mọi ánh xạ cĩ ngược trai đều là đơn ánh Giả sử ƒ : X —¬ Y cĩ ánh xạ ngược trái là g: Y — X, thé thi go f = idy Ti dé vdi moi z € X, ta cĩ
(go f)(x) =o
Gia su f(x) = f(a’) Khi dé
x’ = (go f)(z’) = gl f(2’)] = off (2) =
Điều này chứng tỏ ƒ là đơn ánh l
Ngược lại, giả sử ƒ là đơn ánh Ta chứng tĩ ƒ cố ánh xạ ngược trai
Để làm điều này chọn một phần tử tuỳ ý zo € X và xác định ánh xa
g:Y —¬ X như sau:
gly) = z nếu = f(x) ro néu € Imƒ
khi đĩ
(go ƒ)(z) = 3()) = z ® go ƒ = tdự,
(1) Phần thứ hai của mệnh đề được chứng minh tương tự Giá sử
ƒ cĩ ánh xạ ngược phải Thế thì với mọi + € Y, do f og = idy ta cé
y = (f og)(y) = f(gly))
Trang 20Đặt x = g{y) tacé y = f(z), nghia 14 ƒ tồn ánh
Ngược lại, nếu ƒ : X —> Y tồn ánh thì với mỗi € Y cĩ ít nhất
một phần tử z € X sao cho y = ƒ(z) Bởi vậy với mỗi € Y ta cĩ
thể chọn cố định một tạo ảnh z và đặt z = ø(w) Khi đĩ ta nhận
được ánh xạ øg: Y —+ X sao cho ƒ(ø(0)) = g với mọi € Y Nghĩa là
f 20= tủy L]
Từ Mệnh đề 2.2 ta cĩ ngay kết quả sau
Hệ quả 2.3 Một ánh ra là song únh khi à chỉ khi nĩ cĩ đồng thời
một énh xd nguoc trdi va mét ánh xạ ngược phải Kết luận này được làm sâu sắc hơn bởi định lý sau
Định lý 2.4 Nếu ánh rạ ƒ : X — Y cĩ ánh zợ ngược trái g vd anh
zạ ngược phải h thì g = h Ánh xạ ngược duu nhất này của ƒ, ký hiệu
bởi f-', la song anh va
(fy t= f
Chitng minh Tit gia thiét ta cd
g=goidy =go(foh)=(gof)oh=idy oh =h
Điều này nĩi lên rằng tắt cả các ánh xạ ngược trái và ánh xạ ngược phải của ƒ đều trùng nhau Do h = ø nên
gof =idy, fog =idx
Điều này chứng tỏ ƒ là ngược của øg = ƒ”} Bởi vậy ƒ~! là song
ánh và
ƒ=ø'=(Œ) ` LI
Bài tập
2.1 Xét các anh xa f(n) = 3n; g(n) = ầm + 1 và hín) = ần + 2 từ Z, vào Z Hãy tìm ánh xạ là ngược trái đồng thời của f,g va h
2.2 Cho các ánh xạ g: X ¬Y, ƒ:Y ¬ Z
a) Chứng minh rằng nếu ƒ ø g được xác định và cả hai hàm ƒ, g đều cĩ ngược trái thì ƒ o g cũng cĩ ngược trái
Trang 212.3 a) Cĩ bao nhiêu tồn ánh từ một tập cĩ 3 phần tử lên một tập cĩ 2 phần tử b) Cĩ bao nhiên đơn ánh từ một tập cĩ 4 phần tử đến một tập cĩ 3 phần tử 2.4 Xét ánh xạ z zˆ của mỗi tập hợp sau lên chính nĩ: N, Z, Q, C Xác dịnh ảnh của mỗi ánh xạ này và chỉ rõ những ánh xạ nào trong đĩ là đơn ánh 2.5 Giả sử X là một tập hợp hữu hạn Chứng tố rằng ánh xạ ý: X — X là dơn ánh khi và chỉ khi nĩ là tồn ánh
2.6 Cho anh xa f : X + Y, A và B là hai tập con tuỳ ý của X Chứng mình rằng: 1) F(A)\ F(B) Cc ƒ(A1\8) Hơn nữa, cho ví dụ chứng tỏ ƒ(4) \ f(B) # f(A \ B) 2) Nếu ƒ là đơn ánh thì ƒ(4)\/0) = ƒ(A15) 2.7 Chứng ninh rằng ánh xạ f:R-R rts 2(1 - 3x)
là một song ánh và hãy tìm Ánh xạ ngược của nĩ
2.8 Giả sử ƒ: X — Y là một ánh xạ, A và Ư là hai bộ phận của X,C và Ð là hai " phận của Y Chứng minh: a) ƒ(4AU B) = ƒ(4)U0ƒ(B); b) fan Bì c OF Bì: c) f (CUD) ne 1(G)U £-!(D d) f OnDy a - yy e) f(X\ A) > ji )\ F(A) 0 /'W\CŒ)=XYZƑ 1(G)(= ƒ#*@)\#4))
2 9 Cho ba ánh xạ ƒ : X => Y; g.g : V —¬ X Chứng minh hai
điều sau là tương đương:
a) ƒ là đơn ánh
b) Với mọt ø, ø và với mọi V tt fg = fg’ suy rag=q’
Trang 222.10 Cho ba ánh xạ ƒ : X —© Y: h,: Y — Z Chứng mình hai điều
sau là tương đương:
a) ƒ là một tồn ánh
b) Với mọi A, h’ va với mọi Z ti hf =h'f suy rah =h’
Trang 233 Quan hệ hai ngơi
Tích Đề-các (Descartes)
Tích Dề-các của hai tập hợp A, B đã cho ký hiệu bởi A x Ư, là
tap hợp tất cả các cặp (a,b) với øa€ A,b€ B AxB={(a,b)|ac€ A,bc ĐỊ
Định nghĩa Một quan hệ hai ngõi ĐẦ giữa các tập hợp X va Y la
một tập hợp tuỳ ý các cặp sắp thứ tự (z,) với z € X,1€ Y
Nếu (z,) € 9Ÿ ta nĩi rằng z nằm trong quan hệ ØÄ uới ụ và viết +9 Nếu (z,ø) khơng thuộc tập hợp đĩ ta nĩi rằng z khơng cĩ quan
hệ với và viết z9g
Nĩi cách khác, một quan hệ hai ngơi giữa các tập X,Y là một tập
con của tích Đề-các X x Y Nếu 9 là một quan hệ giữa X và Y thì
với z € X,€ Y ta luơn cĩ hoặc rØt hoặc Ry
Trong trường hợp X = Y ta nối quan hệ hai ngơi giữa X và Y là quan hệ trên X Trong nhiều trường hợp quan hệ hai ngơi #† được cho bởi một tính chất nào đĩ Ví dụ 1 Trên tập hợp các số nguyên Z ta xác định một quan hệ hai ngơi # như sau amb = a:b Thé thi (6,2) € R va (6,5) ¢ MR
2 Giả sử X = Y = R là tập hợp các số thực Quan hệ hai ngoi R
trên l được cho bởi:
Ry & 2? +y* = 25
Nhu vậy (+ ) € ؆ khi chỉ khi trong mặt phẳng toạ độ điểm (z, 9)
năm trên đường trịn tâm , bán kính r = õ Ta nĩi rằng đường trịn _này là đồ £h¿ của quan hệ Ø1,
Nhậm xét Khái niệm quan hệ hai ngơi giữa các tập hợp X và Y là sự mở rộng của khái niệm ánh xạ ƒ : X —› Y Thật vậy, mỗi ánh xạ
ƒ:X — Y xác định một quan hệ hai ngơi ® cho bởi
rRy = y= f(r)
Trang 24Ngược lại, giả sứ đã cho quan hệ hại ngơi 9Ÿ giữa các tập X và Y
Với mỗi z € X xết tập hợp tất cả các phần tử € Y cĩ tính chất
J8 Tương ứng này xác định một ánh xạ khi và chỉ khi cĩ đúng một
phần tử € Y sao cho zØÄ với mỗi z € X,
Như vậy, khái niệm ánh xạ là một trường hợp riêng của khái niệm quan hệ hai ngơi
Bây giờ chúng ta đề cập tới hai kiểu quan hệ hai ngơi thường gặp, đĩng vai trị cơ bản trong Đại số hiện đại
Quan hệ tương đương
Định nghĩa Quan hệ hai ngõi ؆ trên tập 5 được gọi là một quan hé
tương đương niễu nĩ thoả mãn các tính chất sau: (i) aa (tinh phan xa)
(ii) Néu ab thi Ra (tinh déi xứng)
(iii) Néu aRd và be thì aØtc (tính bắc cau)
déi véi a,b,c € S
_ Néu E la mét quan hé tuong duong trén tập hợp S vaa € S thi tập hợp tất cả các phần tử của ,Š cĩ quan hệ tương đương với phần
tử ø được gọi là lớp tương đương của a, ky hiệu bởi ø hoặc C„, =Í{x~e€ X | a®z}
Rõ ràng, do quan hệ ؆ cĩ tính chất phan xạ nên a € 5
Bồ đề 1 ()) Với hai phần tử bất kỳ a,b € S ta cĩ hoặc & = b hoặc
anb
ose
(ii) St la hop rai rạc của tắt cả các lớp tương đương phân biệt Chitng minh (i) Giả sử ä 1b # Ũ, ta sẽ chứng mình ä = b GIÁ sử z
là một phần tử thuộc giao, thế thì điều đĩ cĩ nghĩa là
g%z và b9Wz
Trang 25Bây giờ nếu x € b thì bØz và theo tính bắc cầu ta cĩ a9tz, nghĩa là z € øa Như vậy ta dã chứng minh được bca Thay đổi vai trị của,
a va b, bing lập luận tưng tự ta cĩ ä C b Do đĩ 8 = b
(ii) Phan (¡) chỉ ra rằng bai lớp tương đương trùng nhau hoặc phân biệt Tính phản xạ của Ø3 chỉ ra rằng mỗi phần tử ¿ € Š thuộc lớp a Do đĩ Š là hợp rời rạc của tất cả các lớp tương đương phân biệt, LÌ] Định nghĩa Một phân hoạch của tập hợp 6S là một tập hợp các tập con 9, k€ / của Š cĩ hai tính chất sau:
(i) %¡đ8; = Ơ với ¡ # 7,
(ii) (5% =§,
Như vậy trong một phân hoạch của tập hợp 6$ mỗi phần tử z € S thuộc vào một và chỉ một tập con Sy
Bồ đề 3.2 Mỗi quan hệ tương đương 9 trên tập S xác dịnh một phân
hoạch trên tập Š uà ngược lại
Ching minh Néu ® |a mot quan hé tuong đương trên Š thì tập các lớp tương đương ä, a € S cho mét phan hoach trén S do bo dé trén
Neugc lai, néu trén S di cho mét phan hoach {S;|2 € J} ta xác
định trên Š một quan hệ hai ngơi #† như sau: zØẦy nếu z và cùng
thuộc một tập con 5, nào đĩ của phân hoạch
Rõ ràng dây là một quan hệ tương đương trên tập hợp S L] Định nghĩa Một phân hoạch trên tập Š cịn được goi la mbt su chia
lớp của S Tập hợp các tập con 5Š, trong sự chịa lớp của Š được gọi là tập thương của S theo quan hệ tương dương 9 và ký hiệu bởi 9/Ø1
Ánh xạ
: p:S— S/R
ara
bién mỗi phần tử của Š thành lớp tương đương chứa nĩ được gọi là
phép chiếu tự nhiên của S lên tập thương S/9
Ví dụ Cho n là một số nguyên dương; ø và ư là hai số nguyên bất
kỳ Ta nĩi a đồng dư với b theo mơđun ?ø nếu n chia hết a — b và ký
hiệu là:
a = 0 (mod n)
Trang 26Ta sẽ chứng minh quan hệ đồng dư mơđun ø là quan hệ tương
dương trên Z Tập các lớp tương dương được gọi là tập các số nguyên
mơdưn ø và ký hiệu là Z„ Để chỉ ø chia hết zn, ta viết n \ mm, điều đĩ
cĩ nghĩa là tồn tại một sé k sao cho m = nk Do dé a = 6 (mod n) nếu và chỉ nếu 7 \ (a — 6)
() Với mọi a € Z, n\ (a — a) vi vay a = a (mod n) nén quan hệ
nay la phan xa
(ii) Néu a = b (mod n) thi n \ (a — 6) Ti dé n \ (b— a), vi vay b = a(modn)
(iii) Néu a = b (mod n) va b = c (mod n) thin\(a—8) van\(b—c)
Vì vay 7 là ước của (œ — b) + (b— c) = à~— c, nghĩa là a =c (mod 7) Do đĩ, đồng dư mod ø là một quan hệ tương đương trên Z
Với quan hệ đồng du médun 3, ta cĩ các lớp tương đương sau: = { -3,0,3,6,9, } { —2,1,4,7,10, } = { ,-1,2,5.8,11, } nN} =! oO Một lớp tương đương bất kỳ phải là một trong các lớp 0,1,2, vì vay Z3 = {0, 1, 2} Tổng quát, tập thương của Z theo quan hệ đồng dư rmmơdun ø cĩ tất cả n phần tử, Z, = {0,1, 7}, vì một số nguyén bat ky déu déng du médun n với số dư cúa nĩ khi chia cho n, Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 1) Quan hệ hai ngõi # trên tập hợp được gọi là thi tự
bộ phân hay gọi ngắn gọn là thứ tự của tập hợp này nếu nĩ thoả mãn
_ các điều kiện sau đối với mọi a,b,c©€ S;
(i) aRa (phan xa)
(ii) ab va DRa kéo theo a = b (phan xting) (iii) ab va bc kéo theo aRe (bac cAu)
Trang 272) Một tập hợp được sắp thứ tự là một cặp (S, <), trong đĩ < là một thứ tự trên S Ví dụ 1 Trên tập P = 2,3,5,7,14,15,21 quan hệ > a<b# 4 chia hết b cĩ thể được biểu diễn bởi một trong các biểu đồ sau: 14 15 2) /A/\/ 2 3 5 7 2 7 3 5 2 Quan hệ < thơng thường trên tập hợp tất ca các số nguyên dương là quan hệ thứ tự bộ phận
3 Quan hé m | n (m chia hết ) l& mét quan hé thi tu bd phan
khác trên tập hợp tất cả các số nguyên dương
4 Dối với tập hợp bất kỳ X, quan hệ bao hàm A4 C_ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp P(X) tất cả các tập con của X Định nghĩa I) Một tập hợp cùng với một quan hệ thứ tự bộ phận
cho trên nĩ được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính, hay sắp thú tự tồn phần, hay thường được gọi là một dây chuyền nêu đối với hai phần tử bất kỳ a,b € Š hoặc a < b hoặc b < a Khi đĩ ta cũng nĩi rằng hai
phần tử bất kỳ của S la so sánh được
2) Tập sắp thứ tự được gọi là tập sắp thứ tự tốt nêu mọi tập con
khác rỗng của nĩ đều cĩ phần tử bé nhất, nghĩa là tồn tại phần tử
a € S sao cho a < +? Với mọi + € S,
Bồ đề 3.3 Trong một tập hợp sắp thú tự bộ phận tuỳ ý (S, <) tồn tại
khơng quá một phần tử bé nhất
Chứng minh That vay, néu a,a’ 1a hai phan tit bé nhất của (6, <) thì a<a (doala phan tử bé nhất) và ø < ø (do z là phần tử bé nhất)
Từ đĩ suy ra a = ø LI
Tồn tại những tập hợp sắp thứ tự bộ phan khơng cĩ phần tử bé
nhất, chang hạn tập hợp R các số thực với quan hệ thứ tự < thơng thường Tuy nhiên (R, <) là một dây chuyển
Trang 28Định nghĩa Phần tử w của tập sắp thứ tự bộ phận (5 <) được gọi là ¿ối tểu nêu khơng tồn tại phần tử r € Š sao cho z < u Phần tử
ị được gọi là £á; đại nên khơng tồn tại phần tử z € S sao cho « > v (Ta nĩi rằng +z < u cĩ nghĩa là z < u nhưng z # u và tương tự cho r>v)
Dinh nghĩa Giá sử 5 là tập con của tập hợp sắp thứ tự bộ phận PP
Ta goi
1l)a€ P hà cận dưới (tương ứng, can trén) cha tap hgp S néu a <x (tuong ting, néu x < a) véi moi z E S
2)bc P là cận dưới đứng (tương tmg, can trên đúng) của tập hợp Š nếu:
(i) b la can dưới (tương.ứng, cận trên) của S,
(ii) a < b (tương ứng b < a ) với mọi cận dưới (tương ứng, cận trên) a của 3S
Cận dưới đúng và cận trên đúng của Š được ký hiệu lần lượt bởi infS, supS
Bồ đề 3.4 Một tập con bất ky của tập hợp sắp thứ tụ bộ phận cĩ khơng quá một cận trên dung va mot can dưới đúng
Chứng minh Trực tiếp suy ra từ các định nghĩa H Chúng ta kết thúc mục này bằng một tính chất, sau này thường sử dụng trong các chứng minh cĩ liên quan tới tập hợp sắp thứ tự,
gọi là Bồ đề Zorn Nĩ được cơng nhận như một tiên đề của lý thuyết tập hợp B6é dé 3.5 (B6 dé Zorn) Cho § là một tập hợp sắp thú tự bộ phận Nếu mỗi dâu chuyên của Š cĩ cận trên trong S thà S cĩ phần tủ tối đại ` Bài tập
3.1 Cho #⁄ là một quan hệ tương đương trên tập X và cho ƒ : X — $ là một ánh xạ được xác định bởi ƒ(z) = ƒ(w) œ +E„ Chứng
Trang 293.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 28
Cho quan hệ tương đương FE trén S Chứng minh rằng tập con A cua 6 là một lớp tương dương của E nếu và chỉ nếu với UJ€A,z€A=gEaz
Hãy xác định các tính chất phản xạ, đối xứng, phản đối xứng,
bắc cầu của những quan hệ 9 sau trên tập Đ* Với rm.n € Đ* thì mmØẦn khi và chỉ khi: a) m+n chan; b) m+n < 100; c) m/n la luy thtta của 2; d) m/n chăn; e) mn lé
Trong những quan bệ trên Z sau đây quan hệ nào là đối xứng:
a) mpn khi va chi khi m + 7 chia hét cho 3; b) mén khi va chi khi m — n chia hét cho 3? Quan hệ nào trong chúng là bắc cầu?
Giả sử ƒ: S —¬ Đ là một đơn ánh từ tập hợp Š đến tập các số
tự nhiên Đ Quan hệ hai ngơi ® trong Š xác định bởi
zØ#+ khi và chỉ khi ƒ{z) < ƒ(Œz)
Chứng minh Ø4 là một quan hệ thứ tự tồn phan
Trên tập tích Đề-các Z x Đ” của tập hợp các số nguyên Z và
tập hợp Đ* các số tự nhiên khác 0 cho quan hệ tương đương 3
xác định bởi
(a,b)ØÄ(e,d) khi và chỉ khi ad = be
a) Chứng mình rằng 9 là một quan hệ tương đương;
b) Chỉ ra một song ánh từ tập thương Z x Đ*/Ø đến tập các số
hữu tỷ Q
Giả sử Š là một tập hợp, 7` là một quan hệ hai ngơi cĩ tính
chất phần xạ, đối xứng trong Š Ta xác định quan hệ hai ngơi 3® trong Š như sau: zØẦ khi và chỉ khi cĩ 7 = #,s, ,#„ =
sao cho _„
TqÏzr¿vTaTzra, ,Tu_- Ta Chứng minh:
a) FR là một quan hệ tương đương va T C3;
Trang 303.8
3.9
3.10
3.11
Giả sử 9 là một quan hệ tương đương trên tập hợp S Chứng
minh rằng nếu Ø\ # {(z,z)|z € S} thì # khơng phải là một
quan hệ thứ tự trong 6
Đối với hai tập con A C B cha tập hợp Š, ta gọi ánh xạ g: B—>Y là kéo dài của ánh xạ ƒ : A > Y néu g(x) = f(z)
với mọi „ € A, Gọi ®(6,Y ) là tập hợp các ánh xạ từ các tập con của S dén Y Xét quan hệ Ø trong ®(5, Y ) được xác định như sau:
f ® g khi và chỉ khi ø là kéo dài của ƒ a) Chứng minh 9 là một quan hệ thứ tự
b) Tìm các phần tử tối tiểu, tối đại, bé nhất, lớn nhất của
®(,Y) đối với 9t
Chứng mình rằng nếu ø là phần tử bé nhất (lớn nhất) của một
tập hợp Š đối với một quan hệ thứ tự thì z là phần tử tối tiểu
(tối đại) duy nhất ctia S
Chứng minh rằng nếu tập Š sắp thứ tự tốt thì Š sắp thứ tự tồn phần
4 Số nguyên
Đại số hiện đại nghiên cứu việc xây đựng các hệ thống số cũng như
các hệ thống đại số trừu tượng Dé lam cd sở cho việc trình bày chúng
ta sẽ bắt đần từ việc nghiên cứu một số tính chất cơ bản thường dùng của tập hợp tất cả các số nguyên
Z = {0, +1, +2, 43, }
Tập hợp các số nguyén Z cùng với phép tốn cộng, phép tốn nhân và quan hệ thứ tự là những dỗi tượng tốn học hết sức quen thuộc Tuy nhiên những định nghĩa chính xác về những khái niệm này cịn
chưa được trình bày Điều này sẽ được thực hiện trong một giáo trình
Trang 31Bây giờ chúng ta thừa nhận một số tính chất khá hiển nhiên làm -
tiên đề rồi từ đĩ suy ra nhiều tính chất khác như những hệ qua logic Trong tập các số nguyên Z ta gọi tập hợp
N = {0,1,2, ,7)- }
là tập hợp các sĩ tự nhiên, cịn tập hợp N* = {1,2, ,n, }
được gọi là tập hợp các số nguyên dương Tập hợp các số nguyên Z thoả mãn một số tính chất cơ bản của phép cộng, phép nhân, và quan
hệ thứ tự mà ta sẽ nêu dưới đây Đối với mọi a, b,e € Z ta cĩ:
a+(b+c)=(ø+b)+c a(be) = (ab)c;
œa+b=b+a, ab= ba; a+0=a, al=a,; a(b + c) = ab + dc; với mỗi ø € Z tồn tại —a € Z sao cho a + (—a) = 0; ab=00 a= 0 hodc b = 0; a<b«&3ccNĐ.a+c=>b,
a<b>øa+c< b+c với mọi c € Z;: a<b= ac < bc với mọi e € N’
Đặc biệt, đối với tập hợp các số tự nhiên Đ, hai tính chất sau được
phát biểu dưới dạng tiên đề
Trang 32Hai tiên đề nêu trên là tương đương với nhau, nghĩa là ta cĩ thể chứng minh một trong hai tiên đề trên từ tiên để cồn lại
Tính chia hết
Định nghĩa Số nguyên a được gọi là chø hết cho số nguyên b nếu a = bq với một số nguyên ¿ nào đĩ Khi đĩ ta nĩi a là bội của b và ký
hiệu a : Ị
Ta cũng nĩi b chia hết a hay b là ước của a va ký hiệu b | a ~ Quan hệ chia hết cĩ một số tính chất đơn giản sau Đối với mọi số
nguyên ø, ồ,c ta luơn cĩ: 1)ø|0;
2) a | a (tinh phan xa); 3) Nếu 0| ø thì ø = 0;
4) a| 6 va b| c kéo theo ø | e (tính bắc cầu);
Trang 33Chứng tính Mệnh đề khẳng định rằng
ab=1=>a=b=1 hoặc a = b = —]
_ Thật vậy, từ giả thiết øb = 1 suy ra |ab| = |a|.|b| = 1 Do a # 0 nên
|z| > 1 Cũng như vậy |b| > 1 Từ đĩ |a| = |b| = 1, bởi vậy a = b= 1
hoặc ø = b = —] L]
Hệ quả 4.2 Nếu hai số nguyên a 0à b chỉa hết lẫn nhau thì a = +b Ching minh Do alb va bla nên tồn tại các số nguyén u,v sao cho a= bu.b=av Ti dé a = afuv) Do a # 0 nên
0 = Ì > tu = +1 >> = +È L]
Phép chia với dư
Dinh lý 4.3 Cho hai số nguyên a oị b,b # 0Ú Khi dĩ tồn tại duy nhất cặp số nguyên q.r sao cho
a = bqạ+r 0<r< |b
Chitng minh a) Su ton tai Goi M là tập hợp tất cả các bội của b
khơng vượt qua a,
M = {bz | bz < a.+€ Z}
Tập M £ 0 vì
—|b||a| < —lø| < a > —|B||a| © M
Trang 34b) Tính duy nhất Già sử cĩ a =bq+r =bp+s, 0<r,s< lb| Từ đĩ ta cĩ: Đ(qT— Đ) =s~T Nâu g— p Z 0 thì lb(4 ~— ø)| = |Èlla — pl 2 (4 (1) Mat khac, |s — r[ < (2) Mâu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ ạ = p- Khi đĩ r = s L] Ước chung lớn nhất
Định nghĩa 1) Số nguyên đ được gọi là ước chung của các số nguyên
dịvdạ, a„ nếu nĩ là ước của mỗi số đĩ
2) Ước chung đ của các số nguyên a), 42 ,a, dude gọi là ước
chưng lớn nhất (viết tất là ƯCLN) nếu đ là bội của moi ước chung
Của, Øị đà, đu
-Nhận xết 1) Theo đình nghĩa, hai ước chung lớn nhất của các số
dd2 ,ứ„ phải chia bết lẫn nhau do đĩ chúng chỉ khác nhàn bởi
dấu Trong hai số +đ cùng là ước chung của các 86 a1, G2, ,Un SỐ
đương thường được ký hiệu là
ƯCLN (ơi dạ, đ„) hoặc (di a9 ., dn)
2) Tập hợp các ước chung của ø.ø¿ a„ trùng với tập hợp các ước của UCLN cia n s6 đĩ
Dinh ly 4.4 (Về sự tồn tại của ước chung lớn nhấy) Ước chung
lớn nhất d của n số nguyên (n>1) khơng cùng bằng 0 luơn ton tai
Trang 35Chitng minh Giả sử ai, a¿, a„ là những số nguyên khơng cùng bằng
0 Xét tập hợp
I= {z,a, + Z¿dạ + + „0, | +, € Z}
Do cac a; khong cùng bằng 0 nên J # {0}, Hơn nữa ta nhận thấy nếu
e€ Ï thì —c € /, do đĩ trong Ï luơn cĩ số nguyên dương, Gọi ở là số nguyên đương bé nhất trong ï Ta sẽ chứng minh d = (a), đa đa)
Trước hết ta chứng tỏ đlø, (¡ = 1.2, ,n) Theo phép chía với dư
a, = dq; +r,, 0< res d
Do a; vad cing 1A nhiing td hop tuyén tinh nguyén cla ay, a9, dy nén r; = a, — dq, cũng là một tổ hợp tuyến tính nguyên như vậy, nghĩa là r; € 1 Do tính bé nhất của ở ta suy ra r = 0, tức là a; = dg
Bay gid néu cla; (i = 1,2 ,2) thì e là ước của mọi phần tử dạng
#0 -È Tạ0¿ + + Tad„, ®¡ € 2
Nĩi riêng c là uéc cha d Vay d = (a) a, , an) 0 Hệ quả 4.5 Nếu đ là một UŒLN của các số ngưyên da 0ạ, , dụ thà tồn tụi các số ThguyÊn +, #s, đ„ sao cho
đ = Tịøa + Zaaạ + + Tnđ„
Dịnh nghĩa Các số ứy, a¿, , g„ được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
ước chung lớn nhất của chúng bằng 1
Mệnh đề 4.6 Các số nguyên œị,dạ, ay nguyên tố cùng nhau khi
va chí khi tồn tại các 86 nguyén +\, 1s, ,T„ sao cho | = tiữi + 720; + *t nga,
Chitng minh Didu kiện cần là hệ quả trực tiếp của hệ quả vừa nêu
trên,
Bay giờ ta chứng mỉnh điều kiện đủ Hiển nhiên 1 là một ước chung cúa các sơ nguyên aq,4a, ,ưa Hơn nữa do
1 = uốn + z0a + + Tn0ạ,
nên mọi ước chung của các số nguyên đi, đạ, , đ„ cũng là ước của 1
Boi vay 1 = (ai, đạ, đụ) 0
Trang 36Từ định ngh1a ước chung lớn nhất dé dàng chứng minh được tính chat sau
Mệnh đề 4.7 Nếu k là một số nguyên dương thà
(0È, aÈk , nk) = (a1, gạ, an)
b
Hệ quả 4.8 (a.b) =d« (5 3) =1
Chitng minh That vay theo Ménh dé 4.7 ta cé
(a.6) = đe (5,3)4=d4e (32) =1 O
Bay pid ta nêu một trong những tính chất thường gặp cĩ liên quan
tới cặp số nguyên tố cùng nhau,
Mệnh đề 4.9 Nếu a ồ b là hai số nguyên tơ cùng nhau ồ b là ước
cúa ác thà b là ước cua c
Chứng rminh Do (a,b) = 1, tồn tại u,ø € Z sao cho 1 = au + bv Tir do ` c = acu t+ bev Nấu ở là ước của ac thì b là ước của biểu thức ở về phải, do đĩ b là ước của e L] Mệnh đề 4.10 Nếu hai số ø uà b nguyên tơ cùng nhau thà (ac b) = (e, b) vai moic € Z
Chứng tranh, Nếu d là một ước chung của ae và b thì nĩ cũng là ước chung của ac va bc, do đĩ là ước của
(œc, be) = (a, b)c = e
Điều này cĩ nghĩa là nếu đ là ước chung của ở và c thì ở cũng là ước chung của b và ac Như vậy tập các ước chung của øc và b trùng với
Trang 37Thuật tốn Ơclit để tìm ƯCLN
Dé tim UCLN cua hai sé tự nhiên ầ và b ta thường sử dụng tính chất sau:
a =bq+c = (a,b) = (b,c) (bưu ý rằng ở đây khơng địi hỏi 0-< ¢ < 8)
Bây giờ ta trình bày thuật tốn Oclit để tìm ƯCLN của hài số tự
nhiên Thuật tốn dĩ được tiến hành như sau:
- Nếu a = bg thi (a.b) = b,
- Néu a khơng chia hết cho 6 thuc hién lién tiép cdc phép chia với
dư ta dược
a= bag +r O<r, <b b= rig, tra, O<r<rt
Tn-2 = Fa-14n-1 + Tay O< rm <7a-y Pray = Tr@ns
Day phép chia nay phải là hữu hạn, với phép chia cuối cùng là một
phép chia hết Theo nhận xét ban dầu ta dược (a, b) = (6, r1) Se (Tn 1ì ln) = Tn nghia la UCLN cua a,b bang s6 du cuối cùng 7„ trong thuật tốn nĩi trên Bay gid viéc thn UCLN cua ø số (n > 2) sé dược tính theo cơng thức truy hồi:
(đi, đạ đ„) = ((đ1, đa, đa ~ 1+ đn)
Việc chứng minh cơng thức này khơng khĩ khăn gì và được dành
cho bạn dọc như một bài tập
Trang 38Số dư khác 0 cuối cùng là 23 Do đĩ ƯCLN(713 253) = 23 Chúng ta cĩ thể tìm được các số nguyên + và f bằng cách sử dụng các đăng thức (¡)-(iv) 23 = 207 — 4.46 từ đăng thức (i1) 207 — 4{253 — 207) tir dang thức (1i) 5.207 — 4.253 5.(713 — 2.253) — 4.253 tit dang thitc (i) = 5.713 — 14.253 l Do đĩ, s = 5 và ‡ —= —14, Bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa 1) Số nguyên rz dược gọi là bơi chưng của các số nguyên khác khơng aạ, a¿ đ„(n > 2) nếu nĩ chia hết cho mỗi số nguyên đĩ 2) Bội chung n của các số nguyên a, đạ, , a„ được gọi là bội chung
nhỏ nhất của các số này (viết tắt là BƠNN) nếu nĩ là ước của mọi
bội chung của đy, đ¿ , đạn
Chú ý Nếu m và m' là những BƠNN của các số a,as, ø„ thì
m = +m Trong trường hợp ?n > 0 ta ký hiệu
tụ = BỮNN(ái,a¿, dụ), hodc m = [ay.dg dn|
và quy ước gọi nĩ là BƠNN cúa ø,4s ư„ TIYong cuốn sách này
chúng ta sẽ dùng ký hiệu sau cho đơn giản :
Định lý 4.11 (Về sự tồn tại của bội chung nhỏ nhất) Tồn tại
bội chưng nhĩ nhất của n số nguyên khác khơng ay.dạ d„ (n > 1) Chitng minh Goi M \a tập hợp tất cả các số đương chia hết cho mọi
a, (2= 1,2, ,0) Khi đĩ dễ thấy ă khắc rỗng vì
|dida d„| C M
Do đĩ trong Àƒ tồn tại phần tứ bé nhất rm Đĩ chính là BCNN của
Trang 39Oy ‘Q= = 1,2, aT), ta chứng tỏ k là một bội của rn Khơng mất tính tổng quát cĩ thể coi k > 0 Chia & cho rn ta được
k=mq+r.,0<r<m
Do & và m đều chía hết cho d;¿ nên r = & - mg cing chia hết cho
d, VỚI ¿ = 1.2, ,n Diều này chứng bĩ r € ÄM/ nêu r # 0 Nhưng điều
đĩ mãu thuẫn với tính nhỏ nhất của zn Bởi vậy z = 0 và k chia hết
cho m 0
Mệnh đề sau cho mối liên hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung
nhỏ nhất của hai số nguyên ø, b, đồng thời cho một cách tìm bội chung nhỏ nhất của hai số đĩ, Mệnh đề 4.12 Với hơi số nguyên đương a,b ta cĩ ab [a,b] = (ab) , - ab _ Ching minh Dat m = -——~ R6 rang (a,b) _ b =b a
m=a (a,b) = (a,b)
nén m là một bội chung của ø và b
Bay giờ nếu & là một bội chung nào đĩ của ø và b thi k = ak, = bky, vối kị, k¿ € Z Suy ra a b (a5)! 1m) 2 a b De yy ° (a,b) ”* (a,b) ab dé Orn = (a b) b a va 6, nghia la a BỀN (a, 8] L] nguyên tố cùng nhau nên b là ước của kị Từ (a, 6) là ước của ak; = k Điều này chứng tỏ rn là BƠNN của
Bội chung nhỏ nhất của n sé (n > 2) được tính theo cơng thức
[đi đạ đu} = [[Œi, đa, - đán 1] 0n]
Trang 40Trong nhiều trường hợp BƠNN của nhiều số cịn dược xác định nhờ tính chất sảu mom m m= lay, q2, 12) On| oS Ty ety = 1 @, ay an Số nguyên tố
Định nghĩa Số tự nhiên lớn hơn 1 khơng cĩ ước dương nào khác
ngồi I và chính nĩ được gọi là số nguyên tố
Chúng ta chỉ ra một số tính chất cơ bản thường gặp của các số
nguyên tố
Tính chất 4.13 Cho p là số nguyên tố Khi đĩ uới mọi số nguyên a thà hoặc a chia hết cho p hoặc a nguyên tố cùng nhau uới p
Chứng minh Do (a,p) là một ước của p nên xảy ra hai trường hợp: hoặc (a,p) = 1 hoặc (a,p) = p Trong trường hợp thứ hai ø chia hết
cho ø L1
Tính chất 4.14 Nếu số nguyên tố p chia hết tích ab của hai số tự nhiên thà hoặc p chia hét a hodc p chia hét b
Chứng mạnh Thật vậy, ngược lại nếu p khơng chia hết cả a lẫn b thì
nĩ nguyên tố với mỗi số đĩ Khi đĩ tồn tại các số nguyên ứ, 0.7, s sao
cho
1 = gu + ưu, Ì = pr + B4
Từ đĩ, nhãn từng về của hai đắng thức ta dược 1 = (pu + ơu)(pr + bs) = pz + (ab)y,
nghĩa là p nguyên tố với ab Điều này là trái với giả thiết 1
Từ tính chất 4.14 vừa nêu, bằng phép quy nạp theo ø ta cĩ thể
chứng minh hệ quả sau