Đại số đại cương Nguyễn Tiến Quang

NGUYEN TIEN QUANG NGUYÊN TIẾN QUANG ĐẠI $Ố ĐẠI CUONG NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Ban quyên thuộc HEVOBCO - Nhà xuất Giáo dục 113—2008/CXB/60-175/GD Mã số: 7B708YB-DAI Lời nói đâu Mon học Đại số đại cương hay Đại số đại giảng dạy cho sinh viên toán vào học kỳ dầu khố học Với mơn học sinh viên làm quen với cấu trúc trừu tượng vượt ngồi khn khổ quen thuộc hệ thơng số phương trình Đại số cổ điển Và từ hình thành tư trừu tượng mức độ sâu sắc với phạm vị rộng rãi Chính phương pháp tư trở người học đồng thời điều số đồng người bước đầu tìm hiểu trừu tượng nội dung ngại không nhỏ cho số lại lõi cuốn, hấp dẫn cho Tốn học đại Đã có nhiều giáo trình nước viết Đại số đại 'cương Nội dung phương pháp trình bày khác tuỳ thuộc vào quan niệm tác giá tính hệ thống, cần thiết kiến thức coi bản, khả tiếp thu người đọc tuỳ thuộc vào thẩm mỹ riêng tác giả Hơn nữa, phong phú cúa giáo trình khơng phải chỗ khác biệt nội dung kiến thức mà có lẽ nghệ thuật trình bày, nghệ thuật truyền thụ Chúng ta phải nói thêm phát triển khoa học đời sống da dẫn tới thay đổi nhận thức người học thay dổi quan niệm kiến thức thiết yếu Vi dụ, phát triển ứng dụng rộng rãi cơng nghệ thơng tìn đồi hỏi phải có nhiều cách nhìn mới, có việc dưa kỹ thuật gần với vấn đề ứng dụng Cuốn sách biên soạn dựa điều mà chúng tơi vừa trình bày Nội dung bao gồm chương Chương I, ngồi số yếu tố đại số đại tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai trình bày số ngun, khơng dồi hỏi chặt chẽ có đủ kết cần thiết để sử dụng chương,sau dịnh lý phép chia với dư ước chườg, lớn Điều cần thiết để chứng minh tính chất cấp )ý thuyết nhóm Chương II trình bày kiến thức sở nhóm Ở chúng tơi thấy cần thiết phải đưa số ví dụ cho thấy tính ứng dụng khái niệm nhórn, cầu trúc đại số trừu tượng mà, sinh viên làm quen Một số kiến thức sâu nhóm trình bày chương III Mot vai mục chương xem phần đọc thêm, tuỳ theo đối tượng Lý thuyết vành trường dược viết theo ba chương Chương IV trình bày vấn đẻ chung Chương V nói lớp vành quen thuộc có vai trò quan trọng đại số vành đa thức, lớp vành khái quát lớp vành vành số ngun, có tính nhân tử hoá thuật toán chia clit Chương VI xem ứng dụng lý thuyết vành vào đa thức trường số Dễ giảm bớt tính khó khăn cho người đọc, chúng tơi cố gắng trình bày cụ thể số ví dụ Điều giúp cho người đọc hiểu sâu đề lý thuyết Hệ thống tập cho theo tiết Việc giải số lớn tập cần thiết hét sức bổ ích người đọc Cuốn sách hình thành dựa quan sát chúng tơi có từ thực tế giảng dạy cho sinh viên khoa Toán- Tin trường Dại học _ Sư phạm Hà Nội cho sinh viên chức nhiều địa phương nước Chúng hy vọng tài liệu có ích đại số cho sinh viên khơng hệ Đại học mà hệ Cao đẳng Sư phạm Những thảo luận đồng nghiệp q trình giảng dạy giúp cho chúng tơi nhiều ý kiến quý báu biên soạn cuỗn sách Cuốn sách khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn đọc Thư góp ý xin gửi về: Cơng ty cổ phần sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội Tac gia Mục lục Lời nót đầu a Bảng ký hiệu Chuong I Q QC HQ NA va gà ga sa Co sở Taphop Anhxal., Quan haingdi Sé6nguyén 20.00 0000 eee ng ng 2v xxx ân 15 0.0.20 ,0 0.000002 22 0.0.00 00 ee va Chương TI Nhórn-Đồng câu nhóm 29 44 Đại số hai ngơi Nhom Nhomcon Nhóm chuẩn tắc - nhóm thương G7 Déngcéunhdbm .2.0.20.0 2.0004 76 cu 2 v2 HA Chương III Cấu trúc nhóm 44 54 61 - 87 Tích trực tiếp Q Q cQ Q Q Q SV Nhóm dối xỨng Nhúng nửa nhóm vào nhóm 101 Tác động nhóm tập - 104 TQ vu So Chương IV Vành uà trường Dinh Idéan, vanh thuong DéngcAuvanh Trugéng cécthuong 4, Vành, trường thỨtự 110 nghiavavidu , 00.2.2.2.04 97 ee 110 eee 120 0.20004 132 .2- 004 144 V Vành đa thức 0à uành Oclit 149 _ 155 Vành đa thức Gr Chương ‘ B7 Thuật toán chia mién nguyén Vanhechinh Vanh Oclit (Euclide) Chương VI Phân ee ee 2.0 va tích đa thức trường sơ Phân tích da thức thực phức Phân tích đa thức nguyên hữu tý Phân tích da thức trường hữu hạn Hung thuật ngữ Tài liệu thưa khao - oe Bang ky hiéu Y nghia Tập số tự nhiên Tập hợp số nguyên ACB BOA (ACB) (BDA) A-B,A\B AUB ANB C,B A x B: (ai)re1 (Ai )ier (a) A2 HA, ie! AI Ƒƒ:ÄX ¬Y xty 1x, idx Tập Tập Tập a A hợp hợp hợp ước tập các số hữu tỷ số thực số phức b tập hợp B Hiệu hai tập hợp A Ø Hợp hai tập hợp A va B Giao hai tập hợp A Ð Tập hợp rõng Phan bu cua tap hop B A Tích Đề-các hai tập hợp A B Họ phần tứ số hóa bới tập Họ tập hợp số hóa tập Cặp phần tử a b Bình phương Đề-các tập hợp Tích Dề-các họ tập hợp 4;, Tích trực tiếp nhóm 4; Lũy thừa Đề-các bậc / tập hợp A Ánh xạ ƒ từ X đến X Ánh xạ đồng tập X Tập hợp ánh xạ từ X đến Y Tập hợp song ánh từ X đến Y Nhóm sinh bởi.tập hợp A Nhóm xyclic sinh phẫn tử z P(x) C(G) Tập hợp phận tập hợp X -Tâm nhóimn ‘Hom( X,Y) S(X) Sy (a) Nhóm phép bậc m Idéan sinh bdi phan tit a ' Hai nhóm (vành, trường) A vA Ð đẳng cấu với Vành đa thức ẩn z vành Ả Truong phan thức ấn z miền nguyễn Lớp phần tử tương đương với phần tử a Ảnh đồng cấu f Hạt nhân đồng cấu ƒ Nhóm thương nhóm Ở nhóm chuẩn tắc # Vành thương vành # iđêan J Vành thương Trường thương cúa miền nguyên R Nhóm phép quay đa giác ø đỉnh mặt phẳng Chương Ï CƠ SỞ Tập hợp Anh xa Quan hai ngd1 Số nguyên Tập hợp Trong phần trình bày số tính chất phép tốn tập hợp Khái niệm tập hợp khái niệm ban | toán học Một tập hợp quan niệm cách trực quan tụ tập, nhóm đối tượng Dây khơng phải định nghĩa mà mô tả từ đồng nghĩa Có, thể nêu vài ví dụ tập hợp như: tập hợp học sinh lớp; tập hợp số nguyên; tập hợp nghiệm phương trình 2x2 — 34 +1 = Các dối tượng tập hợp cho gọi phan tứ tập hợp Đề ký hiệu phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a € 4; niễu phần tử ø khơng thuộc tập hợp A ta viết ø ¢ A Một tập hợp thường cho tính chất đó, xác định phần tử tập hợp Chẳng hạn, ø(z) tính chất đặc trưng cho phần tử z € A ta viết A= {x | p(z)} hiểu A tập hợp bao gồm tất cá phần tử z có tính chất p(z) Trong lý thuyết tập hợp tiên đề kháng định rằng, tính chất p(+) xác định tập hợp S dó phan tit c6 tinh chat nay,