Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tập hợp U n các căn bậc n của đơn vị cùng với phép nhân số phức là một nhóm và đẳng cấu với nhóm cộng Z n các lớp đồng dư modulo n.. Chứng minh rằng U là nhóm con của nhó[r]
(1)Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc
Đề thi vào lớp CLC môn Đại số đại cương Thời gian làm bài: 120 phút
Năm học 2011 - 2012
Câu I (2 điểm) Với số nguyên dương n cho trước, ta gọi bậc n đơn vị số phức z cho zn= 1.
1 Chứng minh tập hợp Un bậcn đơn vị với phép nhân số phức nhóm đẳng cấu với nhóm cộngZn lớp đồng dư modulo n Kí hiệuU =∪∞
n=1Un Chứng minh rằngU nhóm nhóm nhân số
phức đường tròn đơn vị Hãy nhóm hữu hạn U cyclic thân U không cyclic
Câu II (2 điểm) Giả sử I, J hai ideal vành R giao hốn có đơn vị 1 Chứng minh tập IJ gồm tổng hữu hạn Pni=1aibi với ∈ I, bi ∈
J, n∈N∗ là ideal sinh tập{ab :a∈ I, b ∈J} Ta gọi ideal IJ là tích của hai ideal I J
2 Chứng minh IJ ⊂I∩J Hơn I+J =R IJ =I∩J
Câu III (5 điểm) Giả sử K trường trường F, α ∈F, p(x)∈
K[x] đa thức bậc dương nhậnα làm nghiệm Chứng minh điều kiện sau tương đương:
1 Nếu f(x)∈K[x], f(α) = f(x) chia hết chop(x)trong K[x] p(x)là đa thức K[x] có bậc nhỏ nhận α làm nghiệm p(x)là đa thức bất khả quy K[x] nhận α làm nghiệm Ideal (p(x))là nguyên tố vành K[x]
5 Ideal (p(x))là cực đại vành K[x]
Câu IV (1 điểm) Giả sử f :K →A đồng cấu vành khác đồng cấu không từ trường K vào vành A Chứng minh A chứa trường đẳng cấu với K lúc A có cấu trúc K-khơng gian vectơ Hơn A miền nguyên K-khơng gian vectơ hữu hạn chiều A trường