Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán tiệm cận hai pha

Lời cam đoanToi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Bat dang thức hàm phân phối cho bài toán tiệm cận hai pha" được chính tôi thực hiện.. Giới thiệu tổng quan Nhiều phương trình đạo hàm r

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOAN-TIN

oo

Bất dang thức hàm phân phối cho bài toán

tiệm cận hai pha

Giảng viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Thành Nhân

Họ và tên sinh viên: “Trần Ngọc Hiển

MSSV: 46.01.101.035

Thành phố Hỗ Chí Minh, 5/2024

Lời cam đoan

Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Bat dang thức hàm phân phối cho

bài toán tiệm cận hai pha" được chính tôi thực hiện Các kết quả trong khóaluận là trung thực và không sao chép bất kỳ khóa luận nào khác Các thông tintrích dan trong khóa luận này déu được ghi rõ nguồn gốc và được phép công bố

Töi xin chịn hoàn toàn trách nhiệm vẻ lời cam đoan của mình.

Sinh viên thực hiện

Trần Ngọc Hiển

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, toi xin chan thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS

Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thiệu cho toi dé tài này, trực tiếp hướngdẫn tận tình và tao mọi diéu kiện tốt nhất dé toi có thể hoàn thành khóa luận

Bén cạnh đó, tối xin chân thành cảm ơn quý Thay, Cõ khoa Toán - Tin học

trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh đã truyền dat cho tôi những

kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong suốt những năm học vừa qua và quý

Thấy Cé trong Hội đồng chấm khóa luận đã góp ý giúp cho khóa luận được hoàn thiện hơn Cuỗi cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè đã hết

lòng ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá

trình thực hiện khóa luận này.

Sình viên thực hiện

Tran Ngọc Hiển

il

Một số kí hiệu viết tắt

R Tap hợp số thực

2 Tap md, bị chan trong R”

go Biên của 9

diam{Q) — Đường kính của 2

B, (xq) Quả cau mở tâm zp, bán kính r > 0 trong R"

B, Qua cau mở B, (xg) giao với 2

Vu Gradient của hàm u: R" + ER

div(F) Divergence của ham vectơ `: RR" -› [R*"

|A| Do do Lebesgue của tap do được 4 C R"

XE Hàm đặc trưng của 9c R°

fa f(xìdz Tích phan trung bình của hàm kha tích ƒ trên tap do được 4C R®

M Toán tử cực dai Hardy-Littlewood

Ma Toán tử cực đại cấp phản số với a € [0,n)

L* (9) Không gian Lebesgue các hàm ƒ : 2 + R đo được và | fl] pega) < %

lflÏổ~vy inf {Ns |/ (£)| < X h.k.n trong 2}

Lf (0) Không gian Musielak - Orlicz định nghĩa bởi hàm H

WwW! (9) Khéng gian Musielak - Orlicz - Sobolev đính nghĩa bởi hàm H

Œ (9) Không gian các hàm khả vi võ han lan, có support compact

L*(9) Không gian Lorentz

IR Kết thúc chứng minh

iii

Mục lục

(Lời cam đoanÌ i

(Lời cảm onl iiMột số kí hiệu viết tat iii

1.2 Không gian Musielak - Orlicz - Sobolev 5

1.3 Toán tử cực đại cap phan số 6

Tai liệu tham khảo 24

Giới thiệu

Tóm tắt khóa luận

Cho 2 là một tap mở trong R” với n > 2, các hàm Ø,G:0 x RB? > E" là các

ham Carathéodory có giá trị vectơ và thỏa các điều kiện của tăng trưởng hai

pha p— g Trong khóa luận nay, ta xét bài toán sau

divA (+, Vu) = divG (z,#} trong 2, và ¿=0 trên AQ,

trong đó hàm Carathéodory 4l: x R°® -; #" tiêm cận tuyến tính với Ö tức là tôn tai một hàm không âm, bi chặn đều z : |0,} —+ [0,00) sao cho

lim =(r) <4 và [A{z,y) - B(x y)| < z (yl) K(z.y)

r¬>~

Nội dung chính của khóa luận này là xây dung bat đẳng thức hàm phân phối

cho lớp phương trình hai pha tiệm cận tuyển tính Chúng tôi sẽ trình bày bắt

đẳng thức ham phân phối cho bài toán trên, cụ thể ta sẽ chứng minh rằng với

a € [Ũ,n) và a > 1= #, ton tại 6 > 0 sao cho với e > 0 đủ nhỏ và À > 1, ta có

dày, Ha) (£ ®A) < Ceday ne euy (A) + đu, mí.) (s°A).

Giới thiệu tổng quan

Nhiều phương trình đạo hàm riêng dang được nghiền cứu trong Toán học có

ngudn gốc từ các bài toán Vat lý hoặc từ nhiều ngành khoa học khác Với sự phát

triển liên tục của lý thuyết giải tích, hiện nay có khá nhiễu công cu và phương

pháp được sử dung để khảo sát các tính chat nghiệm của phương trình đạo hàm

riêng Trong số đó, bằng ý tưởng sử đụng định nghĩa hàm phân phối trong giải

tích diéu hòa, bên cạnh các công cu quen thuộc như bat dang thức Hélder, bắt

đẳng thức Young, kỹ thuật sử dụng bé dé phủ Vitali, đã có nhiều nghiên cứu

vẻ tính chính quy nghiệm được công bố trên các tạp chí toán học uy tín Liênquan đến chủ dé này, có thể kể đến nhiều công trình lớn và tiêu biếu như S

1

Liang [6], Byun [I], Q.H Nguyen [7], M.P Tran [10], Gasinski [3], Grafakos [5],

Gan đây, một phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm thong qua đánh giá gradient toàn cục, đưới tác động của toán tử cực đại cấp phân số được nhiều tác giả áp dung cho bài toán phương trình elliptic tựa tuyến tính Phương phápnày có nguồn gốc từ kỹ thuật sử dung bat đẳng thức dang good-A của N.C Phuc

[S| f1 Q.H Nguyen [7], M.P Tran [IQ], Nhãn thấy phương pháp này có thểkhảo sát khá hiệu quả các tính chất về tính chính quy nghiệm của phương trình

elliptic, chúng tôi đề xuất đề tài với tên gọi “Bat đẳng thức hàm phan phối cho

bài toán tiệm cận hai pha”,

Dinh hướng của chúng tối là tiếp tục vận dụng và cải tiến kỹ thuật trên

dé chứng minh bắt dang thức ham phân phối cho một lớp bài toán elliptic tựa

tuyển tính, gan với toán tử p — q-Laplace Bài toán chúng tôi quan tâm được đưa ra trong nghiên cứu của § Liang [6].

Phương pháp chính chúng tôi sử dung trong dé tài này là kỹ thuật good-ÀA

và bat đăng thức liên quan đến ham phân phối Việc xây dung bat đăng thức

good-A dua trên một bố dé Gehring [A], còn được gọi là phân tích

Calderón-Zvdmund Chứng mình của chúng tôi dựa trên việc xây dựng hai kết quả quantrong Một là bat đẳng thức Hölder ngược cho nghiệm của phương trình thuần

nhất tương ứng Hai là bat dang thức so sánh sự sai khác giữa nghiệm phươngtrình thuần nhất và nghiêm của bài toán ban đầu

Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận được trình bay theo ba chương.

e Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương nay, chúng tôi sẽ

nhac lại một vài kiến thức cơ bản như không gian Musielak Orlicz

-Sobolev, không gian Lorentz, toán tử cực đại cap phan số và hàm phan

phối.

se Chương 2: Các kết quả về đánh giá so sánh Trong chương này, chúng

tôi sẽ đưa ra đánh giá về so sánh giữa nghiệm của bài toán và bàitoán thuẫn nhất, bat đẳng thức Reverse Hölder cho nghiệm của phương

trình thuẫn nhất và đánh giá toàn cục giữa nghiệm và dữ liệu.

2

e Chương 3: Bat dang thức ham phân phối Trong chương này, chúng tôi

sẽ trình bày kết qua chính của khóa luận là chứng minh bat đẳng thức hàmphân phối cho bài toán thông qua bổ dé phủ Vitali Bên cạnh đó

chúng tôi cũng trình bày một hệ quả của bat đẳng thức này, đó là đánh

giá gradient trong không gian Lorentz.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Giới thiệu bài toán

Cho 2 là một tập mở trong R" với xn > 2 Cho hai hằng số 1 < p < q và

a € C'(Q; Rt), ta ký hiệu các hàm H, K : Q x R" = R† và ®: Qx R" x BR" R†

xác định bởi

H(z, y) := |v? + a(z)|u|", - K(z.w) = lyPo! + afz)lyl?! + 1,

(x, yr 92) := [(lyal + lwa|)"”? + a(z) (lơ| + lva|}f"?] lựa — gel?

VỚI z EN và v\,ya € RE" Ta giả sử rằng các hàm B,G : 2 x lầ" — R" là các ham Carathéodory có giá trị vectơ Hơn nữa ta giả sử thém rằng toán tử B thỏa mãn tăng trưởng p — q, tức là tổn tai hằng số & > 1 và hằng số C > 0 phụ

thuộc vào øœ,p và qg, thỏa man

(B(+.0i) — B(z,z).ì — y2) = CP(x, yn, 92): (1.1.1)

(B(+.w:).uu) = CH (x,y), {1.1.2)

[B(zw)l < & (lnÍP”” + a(z) lụ{}), (1.1.3)

và tốn tại hằng số / € [1,00) sao cho

|Œ(z.)| <2 (ly?! + a(x) lvl") (1.1.4)

Một m6 hình cho toán tử là Bla, y} = lu|? + a(z})|w|9.

Trong khóa luận này, ta xét bài toán sau

divA (+, Vu) = divG(z,P) trong 2, and ¿=0 trên AQ, (1.1.5)

trong đó hàm Carathéodory A: x K°® — R® tiêm cận tuyến tính với B, tức là

ton tại một hàm không âm, bị chặn đều z : {0,00} — [0,00) sao cho

lim zƒ} <6 and |A(+,y)T— B(z,w)| < z(|w|) Kí(z.w) (1.1.6)

TOO

Diéu kiện trên có thể được hiểu rằng với J > 0 đủ nhỏ tổn tại hằng số Ko =

1.2 Không gian Musielak - Orlicz - Sobolev

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian Musielak - Orlicz) Cho f : => B" la mét

hàm do được Lebesque, ta nói ƒ thuộc vé lớp Musielak - Orhez K® (Q) néu nó

théa

[ H (x, f {x)) dx < +00.

9

Không gian Musielak - Orliez LÍ (Q) là không gian 0eetơ nhỏ nhất chứa KT (Q)

vac được trang bi chuẩn: Luezembtơg

I/llrz,ay = ìnf i‘ > 0: | H (« r2) dae i}.

9

Định nghĩa 1.2.2 (Không gian Musielak — Orlicz — Sobolev) Khéng gian

Musvelak - Orlicz - Sobolev W1 (Q) là tập hợp các hàm f € L# (Q) thỏa đạohàm yéu |Vƒ| LH (Q), uới chuẩn được xác định bởi

WF lla ery = WF lle geay + IV Slew ey:

Hon nữa, không gian Sobolev wie (Q) được dink nghĩa là bao đóng của CF (Q)

trong Wht (Q).

Dinh nghĩa 1.2.3 (Nghiệm yếu) Mot him u € wil (Q) được gọi là nghiêm

yeu của bài toán nêu

la (x, Vu}, Vợ} de = | (G (x, F), Vụ) dư,

Jo 2

vdi moi ham thử p € Cz (Q).

B6 dé 1.2.4 Choue wie (Q) là một nghiệm tiêu của bài toán {L.15) Khi đá

[ {A (x, Vu}, Vợ) dz = | (G (x, F), Vip) dx,

a 2

vit mot ham thử ¿ € wet (Q).

Tham khảo chứng minh trong |.

Lưu ý rằng nghiệm của bài toán được hiểu là nghiệm yếu và dướicác điều kiện đã cho thì nghiệm yếu sẽ thuộc không gian Musielak - Orlicz -

Sobolev.

or

1.3 Toán tử cực đại cấp phân số

Với mỗi a € Í0,n|, ƒ € Le (R"), z € IR”, toán tử cực đại cap phân số M, được

M được gọi là toán tử cực đại Hardy-Littlewood Khi không có gì nhằm lẫn, ta

kí hiệu {M.f > A} thay cho {7 € BR": Mf (x) > A} Sau day là tính chất quan

trọng của toán tử trồn.

Bồ dé 1.3.1 Với mois > 1, uới moia € (0:%), ton tai hằng số C > 0 sao cho

tới mow ƒ € LẺ UR"), tới moi A> 0, ta có

Định nghĩa 1.4.1 Cho Q là tap tỏ, bị chan trong R" va hàm f do được trên

2 Ham phân phối d r: 0®) —> |U.%) của ƒ được dink nghĩa dưới dạng

đz(A) = |{+ € ®: |[ƒ(z) > A)J.À >z 0.

va hàm phân phối địa phương dr(K, -} của ƒ trên tập K được định nghĩa bởi

d/(K,À) = |{ € KNQ: |ƒ(z)| > A}, A > 9.

Trong trường hợp 9 C K, rõ ràng đ/(À) = ds{Q, A).

1.5 Không gian Lorentz

Định nghĩa 1.5.1 Cho hai tham số 0 < s < 00,0<f< 00 Không gian LorentzL**(Q) là tập hợp tat ca các hàm ƒ do được Lebesgue trên Q sao cho lƒÍ[u»«¿e; <

6

Trong trường hợp ý = oo, không gian nay còn được gọi là không gian

Marcin-kiewiez L** (@), hoặc không gian Lebesgue yếu

Dé thay không gian Lorentz chính là mở rộng của không gian Lebesgue, vì khi

s=t=p thì không gian Lorentz sẽ trở thành không gian Lebesgue L? (©).

Lưu ý rằng ánh xa Í|||.‹,q; chỉ là tựa chuẩn, không thỏa mãn bat đẳng thức

tam giác trong trường hợp tống quát

Chương 2

Các kêt quả về đánh giá so sánh

Chương này sé tập trung trình bày kết quả đánh giá so sánh nghiệm của bài

toán với nghiệm của phương trình thuần nhất Cu thé, tôi sẽ trình bay

các bé dé, chứng minh đánh giá so sánh với nghiệm phương trình thuẫn nhất,đánh giá toàn cue và nêu lại bắt đẳng thức Reverse Holder

2.1 Một số bất dang thức cơ ban

Bồ dé 2.1.1 Cho p,q € (1,00) thỏa min +41 = 1 Giả sử ƒ € LQ) vag €

LQ) Khi đó fg e (2) tà

| ƒØÌÌ,› ¿ay s fll ceca)!

9Ì|ua(a)-Bat đăng thức nàu được viét dưới dang tích phân như sau

[ IF (z)ø(z)|4z < ( | i (Par) ( | ieee)

n H2 a

Bat dang thức trên được gọi là bat đăng thức Holder.

Bồ đề 2.1.2 Cho P, 7 € (1,%} thốn mãn } + ; = 1 Khi đó tới moia, b tà 8 > 0,

p

ta có

|ab| < Ø|a|P +07 |b|!.

Bất đẳng thức trên thường được biết đến với tên gọi bắt đẳng thức Young và

có thể được sử dụng cho moi a, b là số thực hàm số hay tích phan.

Bồ dé 2.1.3 Với mọi a,b € RM (0,00) var > 0, ta có

min {1,2" 1 (a’ +) < (a+ b}” max {1, 2° i (a’ +b")

2.2 Đánh giá so sánh

Bồ dé 2.2.1 Mới zọ EQ vir >0, ký hiệu Bor = Bsr (20) OR Gọi v là nghiệm

yéu của bài toán sau

divB (+, Ve) = divG (x, F) trong Bs, vav =u trên OBsy, (2.2.1)

Với mọi hang số K, > 1 théa man

Bry

ton tại hằng số C > 0 sao cho tới moi £ € (0,1), ta có

‡ H(z, Vu — Vu} dư < ef H (x, Vu) dư + C; (ƒ H (2, F)i:) ,

Bs, Bre Bs

Chứng minh Do u là nghiệm yếu của bài toán {1.1.5} và e là nghiệm yếu của

bài toán nên theo định nghĩa của nghiệm yếu, với mọi ¿ € wt (Bsr), ta

có

‡ (A(x, Vu), Velde = f (G (x, F) Vẹ) dr, (2.2.3)

f (B(x, Vu), Vợ) de = ha! {G (x, F), Vự) de (2.2.4)

Chon ¿ = t — tr € wot {Bs} và thay vào (2.2.4), ta thu được

f (B (2, Vv), Ve = Vu) dr = f {G (2, FP), Vu = Vu) de.

Chon <1, <2 > 0 đủ nhỏ sao cho Ở (2; + <2) < 4, ta suy ra

f H (x, Ve) de < cf H (x, Vu) d> + cf H (a, P) dz (2.2.5)

Bor Boy Bsr

Goi 7 là một mở rộng của v trong Q, tức là Ø = v trong Ø va T = u trong Ø\Ø;,.

Dat ¿ =u — 8€ wilt (Bs-) khi đó từ ta suy ra

Kết hợp với giả thiết (1.1.1), ta thu được

cf ®(z, Vu, Ve) de < (B(x, Vu) — A(x, Vu), Vu = Ve} de (2.2.6)

Bs Bor

Với mọi ¢3 € (0,1), ta xét hai trường hợp p > 2 và 1 < p < 2 Trường hợp 1, nếu

p> 2, ta có

|Vu — Vol” = |Vu — Vu|”|Vu — Vol?

< C,,|Vu — Ve|®([Vu| + |Ve|)P”Ề.

Trường hợp 2 nếu 1 < p < 2, sử dụng Bo dé và bắt đẳng thức Young, ta

có

|Wu — Vol? = (|Vu| + |Vò = [ve — Vw|?(JV+| + |Ve|)?~ mi

< Œ(IVu|? + |Vs|) * [|Vu — Vu[2(|V| + ad

< Œz; (|Vu|P + [Vu — Vol?) + Ce, [[Vu — Ve|(|Vu| + |Ve|)P"”].

“Từ cả hai trường hợp, ta thu được bắt đẳng thức sau

|Vw — Vul? < Œz¿ (|Vu|" + [Vu — Vol’) + Œ,, [|Vu — Vz|([Vw| + |V+|)P” “Ì

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được

|Vw — Vol? < Cry (|Vu|f + |Ve|?) + C¿, [|W — Vel? (jul + |Vel)*”].

Do đó, ta suy ra

H (x, Vụ — Vv) < Csa [H (x, Vu) + H (+, Vu — Vo)] + C.,8 (2, Vu, Vv) (2.2.7)

10

Với mọi x € Bs, N {2 € 9||Vu(z)| < Ko}, không mat tính tổng quát, ta có

2 ({Vul) K (x, Vu) < |Iz|Ìy~¿ay (Vee? + a (x) (Yul?! + 1)

Từ 2.2.8 (2.2.3), 229 va , ta thu được đánh giá sau

† H (z,Vu — Vò} d+ < Œ eee +t+ K} 7) † (H (+, Vu) + H (a2, Vu = Vu)| da

Bs, Bsr

+Ó, ( ƒ H (x, F) ir)

Bị,

Với ¢ € (0, 1), chọn ¢3.6 > 0 đủ nhỏ và Kị > 1 đủ lớn sao cho

Cc (es + 5+ Ky?) < min {=e} ,

Xét bài toán thuẫn nhất của bài toán (2.2.1), cụ thể là

divB(z, Vu) =0 trong Bs, vaw=v trên OBs, (2.2.11)

Goi w là nghiệm yếu của bài toán trên Ta nhac lại kết quả so sánh sau

Bồ dé 2.2.2 Tôn tại hằng số C > 0 tà m > ( sao cho vdi moi e € (0:1), ta có

† A (x, Ve — Vw) da < ef H (x, Vv) dx + si H (x, F) dr.

Bị, Bs, Bsr

Chứng minh Do + là nghiệm yếu của bài toán Í và œ là nghiệm yếu của

bài toán {2.2.11} nên theo định nghĩa nghiệm yếu, với mọi ¿ € Wy ‘LH (B ), ta có

Gọi ? là một mở rộng của w trong Q, tức là w= w trong Ô và W = v trong

Q\Bụy Chọn y = v = ww € Wi” (By), thay vào (2.2.12) va (2.2.13), sau đó trừ

hai đẳng thức theo về ta thu được

(B(x, Vụ) — B(+, Vu), Vo — Vw} de = (G (a, FP), Ve — Vw) da.

Bs, Bs,

Ap dụng giả thiết {1.1.1} và (7-13), ta suy ra

† @(z, Vu, Vw) da < cf (FPO +a{x) \F\*-') |Vò — Vw| de.

Với moi ¢) € (0.1), đánh giá tương tự như trong Bồ đẻ [2.2.1] ta được

† H (x, Vu — Vw) de = Cey ƒ H (x, VU} dư + Ce, f H (x, Vu — Vw) dx

B6 đề 2.2.3 Voi giả thiết tương tự như Bồ đè|3.2 1| ta có

† H(z, Vu — Vu) da < ef H (x, Vu) de + Ce~TM (f H (x, F) ir)

Chứng minh Ap dung Bỏ dé b.2.3] với Bsr (v9) > 2, khi đó Bs, = 2 và nghiệm

của phương trình thuần nhất w= 0 Từ đó ta thu được Bo dé [2.2.4] "

2.3 Bất dang thức Reverse Hölder

Bồ dé 2.3.1 Gọi w là nghiệm yéu của bài toán 2.2.11) Khả đó vdi mọi 0 > 1,

ton tại hằng số C > 0 sao cho

Bồ đề 3.1.1 Cho © théa điều kiện p-capacity hoặc điều kiện (8 — rp)-Reifenberg

tới hằng số cạ,rạ.ô > 0 Xét hai tập con do được V tà W thỏa V CW C2 Giả

sử e € (0:1) va Ry € (0:ro] thỏa:

1 |V| < e|B„; (0)|.

2 Với mọi xg € 9 var € (0; Ri] nếu |V MB, (xp) > £ |B; (ra)| EREQNB, (xo) CW

Khi đó ton tại C > 0 sao cho |V| < Ce |W.

Việc chứng minh bat dang thức hàm phan phối dược thực hiện qua nhiều bước,

được chia thành các bồ đề nhỏ, lan lượt chứng minh các bước của định lý

3.2 Một số ước lượng trên hàm phân phối

Bồ dé 3.2.1 Choa € [0,n), a >1— # va R >0 Khi đó ton tại b > 0 sao cho

tới c >0 đủ nhỏ 0à À >1, nếu {MaH(.,F) < cA} # Ø thì