Hiện nay, sự phát triển không ngừng của linh vực giải tích điền hòa đã mang đến nhiều cõng cu hữu ích che cho bài toán này, đặc biết là các kết quả về tinh bị chancủa toán tử cực dai và
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH
Khoa Toán - Tin học
ĐẠI HỌC
SP
TP HÔ CHÍ MINH
TRAN CAT SỬ
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
THANH PHO HO CHi MINH - 2022
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH
Khoa Toán - Tin học
TRAN CAT SỬ
CHUYEN NGANH: GIẢI TÍCH TOÁN HOC
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYÊN THÀNH NHÂN
THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2022
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan kết quả dat được trong khóa luận là sản phẩm của riêng cá nhân,
được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Nhãn và không sao chéplai của người khác Trong toàn bộ nội dung của khóa luận, những điền được trình bàyhoặc là của cá nhãn hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu Tat cả các tài liệntham khảo déu có xuắt xứ rõ ràng và được trích din hợp phap.Téi xin hoàn toàn chin
trách nhiệm và chiu mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho lời cam đoan của mình.
Trang 4Lời cảm ơn
Sau hơn 3 năm theo học tại khoa Toán - Tin, Trường đại học Sư phạm Thành phố
Hả Chi Minh, tôi đã được TS Nguyễn Thành Nhân giới thiêu dé tài “Xây dung bat
đẳng thức ham phan phối cho các bài toán dit liệu dd do” để chọn làm nối dung báocáo khóa luận tốt nghiệp
Lời dau tiên, tôi xin phép được gửi đến TS Nguyễn Thành Nhãn lời cam on chân
thành, sâu sắc nhất Trong suốt quá trình theo hoe chuyên ngành giải tích, Thay làngười trực tiếp giảng dạy chỉ bảo tôi với tat cả tam huyết Mặc di ở năm học cuỗi này,
điều kiên học tập và đến trường không được thuận lợi nhưng Thay vẫn đành thời gian
để tổ chức các buổi seminar online để truyền đạt kiến thức Sự tain tam và những lời chia sé động viên của Thay là nguồn động lực lớn lao giúp tôi có thể hoàn thành tronvẹn luận văn Töi cảm thấy thật may mắn khi được Thầy đồng ý hướng dẫn khóa luận
tốt nghiệp ở năm cuối dai học
Toi cũng xin được phép cảm on tat cá các quý thay cô khoa Toán - Tin trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt
thời gian tôi theo học tại day Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học thì
day không chỉ là nên tảng cho quá trình thực hiện khóa luân mà nó cồn là hành trang
bố ích để tôi áp dung sau khi tốt nghiệp một cách vững chắc và tự tin
Hon nữa, tdi xin phép được cảm on quý Thay - Cõ trong hồi đồng chấm khóa luận tốt
nghiệp đã đành ra thời gian tìm hiệu nội dung và góp ý để giúp để tài của tôi được
chin chu hon.
Cuối cùng, xin cảm dn những người thân, toàn bộ các ban sinh viên khóa 44 Sư
pham “Toán học đã luôn ở bên, động viên giúp dé tôi trong quá trình tôi học tập cũng
như khoảng thời gian tôi thực hiển dé tài khóa luân tắt nghiệp
Tuy nhiên vì kiến thức chuyên môn còn hạn chế và bản thân vẫn chưa có nhiều kinh
nghiệm nghiên cứu nên nội dung của báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót, tôi
rit mong nhận sư góp ý, chỉ bảo thêm của quý thấy cô và các ban để luận văn này
được hoàn thiên hơn.
Một lần nữa töi xin gửi đến thầy cd, ban bè lời cảm ơn chan thành và những lời
chúc tết đẹp nhất!
Trang 51.1 Một số không gian hàm cơ bản 2.0 ee ee 5
1.2 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood ee ee 7
1.3 Ham phân phối trên các tập mite 2 eee ee ee 10
14 Ba đề phi Vital cnc c acta caaaeaaeeaaeaczeaaaae 10
2 Bất dang thức ham phan phối cho bài toán dữ liệu dang Divergence 12
21 Giá thiết cho bài toán chính quy nghiêm ¬—— A.- 43
2.2 Các kết quả chính - ee ee ee ee 13
2.3 Bat đẳng thức ham phan phéi cho bài toán dữ liệu dang Divergence 18
2.4 Danh giá chuẩn Lorentz cho bài toán dữ liêu Divergence 19
3 Bất đẳng thức phân phỗi cho bài toán dữ liêu độ đo 21
3.1 Giá thiết cho bài toán chính quy nghiêm 21
3.2 Một số bổ dé quan trọng ee ee 22 3.3 Bat đẳng thức hàm phan phối cho bài toán dữ liệu độ đo 27
3.4 Dánh giá chuẩn trên không gian Lorentz cho bài toán dit liệu đô đo 29
Trang 64 Ứng dung cho bài toán chính quy nghiêm
4.1 Ứng dung cho bài toán dif liêu dang Divergence .
4.2 Ung dung cho bài toán dit liệu dang dé đo
Trang 7Danh sach ky hiéu
R Tap hợp số thực
Q Tap mở, bị chan trong 3"
Q.(z) Phan giao của quả cầu tâm x bán kính ? với tap 2
ne Phan bù của Ø trong [š"
an Biên của tap 2
A Toán tit elliptic tựa tuyển tính
Vu gradient của hàm + : R" — f2
div(f) Ham divergence của một ham vecto f : R" + KR
LP{Q) Khong gian Lebesgue (tap hợp các hàm do được khả tích cấp p trên 2)
LI*(Q) Khong gian Lorentz
ƒ du Tích phân trung bình của ham kha tích £ trên tap do được X C Ø
£"(X) Độ do Lebesgue của tap X
diam(Q) Ding kính tap 2
B(x) Quả cầu tam x ban kính ?
C(?\,¿, ,#„) C là hằng số phu thuộc vào 21, #2, , 2,
M Toán tu cực đại Hardy-Littlewood
M, Toán tử cực đại cắp phân số với a € |0;?|
Val fA) Tap hợp những phan tit r trong R" sao cho M, ffx) > A
Ve(f.^A) Phần bù của tap V,(f, A) trong R"
d¥(Q, 4) Độ do của tap VAC f.AyNQ
Trang 8Giới thiệu
Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực thu hút nhiều nhất sự quan
tâm của các nhà toán học Một trong những vẫn để cơ bản nhat mà những ngườinghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng hướng tới đó chính là bài toán chính quy
nghiệm Hiện nay, sự phát triển không ngừng của linh vực giải tích điền hòa đã mang
đến nhiều cõng cu hữu ích che cho bài toán này, đặc biết là các kết quả về tinh bị chancủa toán tử cực dai và một số bat đẳng thức so sánh giữa hàm số và toán tử cực đại
của chính nó trên không gian Lebesgue và những không gian tống quát hơn nữa Kĩ thuật được nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu đánh giá gradient nghiệm của phương
trình dao hàm riêng được biểu diễn dưới tác động của các toán tử eye dai đó chính
là sử dụng bắt dang thức hàm phãn phối trén các tap mức để thu được so sánh trong
không gian Lorentz giữa hai hàm tổng quát, từ đố ng dụng vào bài toán chính quy
nghiệm của phương trình đạo hàn riêng.
Dau tiên téi xin giới thiêu một lớp phương trình elliptic tua tuyến tính mà gan dayđược nghiên cứu sõi nồi, là tiên dé cho nhiều kết qua trong dé tài của tôi, có dang nh
sau:
div( A(z, Vu)) = div(|F/?*F), trong 9 (1)
Kết quả chính quy nghiêm cho phương trình dang này có thể hiển là sự chuyến dich
thành công tính chính quy của ham dữ liệu F sang toán tứ Vu, trong đó một ham
được gọi là chính quy nếu thuốc vào một không gian Lebesgue tổng quát nào đó Mét
trong những cách tự nhiên mà người nghiên cứu hướng đến đó là so sánh chuẩn, tức
là:
trong đó £¡, Ly là một khong gian định chuẩn nào đó Ở một số khong gian Lebesgue
tổng quát, ta có thé tan dung tính kiểm soát địa phương (hàm số} của toán tử cực đai
Hardy-Littlewood M và lúc đó đánh giá (2) được xem là hồ quả trực tiếp của
lIM(V+)|ls, < [MŒ)|Is; (3)
Các bài báo nghiên cứu gan day trong lĩnh vực phương trình đạo him riêng như
là (18Ì/19//20|, các tác giả đã sử dung kĩ thuật Good-A, được để xuất đẫu tiên bởi
Trang 9G.Mingione trong [3] để chứng minh (3) Dưa trên ý tưởng của kỹ thuật Good-A, các
tac giả đã đưa ra một trong góc nhìn mdi cho kỹ thuật này nhờ vào một định nghĩa
mới là hàm phan phối trên các tập mức được trình bay trong [5] Nhờ định nghĩa mớinày, các tác giả [13] đã đưa ra một phương phap mới liên quan đến các bat đẳng thức
ham phan phối tác đông lên tập mức các số hang chứ nghiêm và dữ liên Cu thể, các
tac giả đưa ra hai điều kiện đủ cho hai hàm do được Ƒ,Ở (đặc trưng cho nghiệm và
dữ liêu của phương trình dao hàm riêng) dé chứng minh được bắt đẳng thức so sánh
trong không gian Lorentz Hơn nữa, phương pháp này sau đó được áp dụng hiệu quả
cho nhiều bài toán khác bao gồm bài toán obstacle (22), bài toán pha kép (21), bài toán
chứa số hạng Schödinger [23]
Bên cạnh đó, một trong những bài toán cũng dude khá nhiều nhà toán hoe quan
tam đó chính là bài toán phương trình đạo hàm riêng với dit liệu độ đo, có dang như
sau:
div{A(x, Vu}) = pz, trong 2 (4)
Dé thực biên việc kiểm tra tính chính quy nghiêm của {4} một số tác giả /6|,[14].[17j
di thực hiện đánh giá chuẩn thông qua bat đẳng thức
£" (((M((Val?))$ > HA, (Mi()): < FF} Ng)
< Œe£" ({(M(|¥ul?)}* > A}n Ô) (5)
Khởi nguồn từ ý tưởng của [13] chính là đi xây dựng những đánh giá cho các hàmtổng quát dưới góc nhìn bat đẳng thức hàm phân phối, nội dung khóa luân của tôi tập
trung tìm hiểu xây dựng các đánh giá để phục vụ che việc kiếm tra tính chính quy của
(1) và bắt đăng thức mà tôi muốn hướng tới đó chính là:
tị; (f,(c-°*A)?) < Cady, (4, A”) + d7 (2, (ray) (6)
Ta có thể thấy rằng (6) là một kết quá tổng quát của (5) Một trong những sự khác
biết lớn nhất giữa hai đánh giá này đó là tôi đã thực hiến ý tưởng tự như [13] nhằm
đưa ra đánh giá cho hai hàm tổng quát U, ¥ (đặc trưng cho nghiệm và nghiêm yeu của
phương trình) Hơn nữa tôi không chỉ đánh giá dua trên tính kiểm soát địa phươngcủa hai toán tử M, M; mà sử dung hai toán tứ cực dai cấp phan số M,, My bat kì
và đưa ra được mối quan hé giữa œ và đ trong quá trình xây dựng các bắt dang thức.
Dựa vào 2 điểu trên, tôi có thể khẳng đình rằng tôi đã gắn như đưa ra được một
“thuật toán tổng quát” cho viée chứng minh tính chính quy nghiệm đối với các bài
toán dit liệu độ đo Ngoài ra, tôi ứng dung các kết quả tổng quát này để thu được đánh
giá chính quy nghiệm cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riéng cu thể Các ứng dụng
này chỉ ra rằng những đánh gia tổng quát mà tôi xây dựng là khả thi.
Trang 10Nội dung khóa luận được tõi trình bày trong 4 chương.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi xin nhắc lai một số kiến thức cơ bản như định nghĩa không gian
Lebesgue và định nghĩa chuẩn của một hàm trên khong gian đó Đồng thời tõi cũng
đưa ra một cách định nghĩa khác cho đình nghĩa chuẩn trên không gian Lebesgue từ
đó đưa ra định nghĩa cho không gian Lorentz Bên canh đó, tõi cũng sẽ điểm qua một
số định nghĩa quan trong khác mà tôi sẽ sử dụng xuyên suốt khóa luận đó là địnhnghĩa về hàm phan phối và toán tử cực dai Hardy-Littlewood, toán tử cực cắp phân
số cũng như tính kiểm soát địa phương của chúng trên không gian Lebesgue O phần
cuối, toi trình bày lại về bổ dé phủ Vitali một công cụ quan trọng để kết nỗi giữa bat
đẳng thức ham phân phối {6} và đánh giá chuẩn trên không gian Lorentz.
Chương 2 Bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu dạng
Di-vergence
Trong chương nay, tối sẽ đặt ra một số diéu kiên đủ cho các hàm tổng quát bao gỗm
các giả thiết
e U (đặc trưng cho nghiệm) bi chan một cách toàn cục bởi ham W (đặc trưng cho
dit liệu) theo nghĩa tích phân.
e Có hàm ¥ (đặc trưng cho nghiêm yến) sao cho ¥ thỏa mãn được giả thiết “reverse
Holder” và sự sai khác giữa và ? được kiếm soát một cách địa phương bởi Vy
và U.
Từ những điều kiên đủ này tôi sẽ đi xây đựng mốt số bổ dé để phục vu cho việc chứng
minh bat dang thức ham phan phối từ đó rút ra đánh giá so sánh chuẩn cho bài toán
dữ liêu dang Divergence.
Chương 3 Bắt đẳng thức hàm phân phối cho bài toán dữ liệu độ đo
Trong chương này, tôi sẽ đặt ra một số điều kiên đủ cho các hàm tổng quất bao gồmcác giả thiết
e Ham bị chặn một cách toàn cuc bởi độ đo £ theo nghia tích phân (tương ty
như tính chất của nghiệm renormalized)
e Có ham ¥ (đặc trưng cho nghiệm yến) sao cho ¥ théa man được giả thiết reverse
Holder và sư sai khác giữa U và ¥ được kiếm soát một cách địa phương bởi p và
U.
Từ những điều kiện đủ mà téi đã đặt ra, tôi cũng sẽ thực hiện những công việc tương
tu nhu ở chương 2, di xây dung các đánh giá và bat đăng thức ham phân phối cho bài
Trang 11toán dif liệu dé đo.
Chương 4 Ứng dụng cho bài toán chính quy nghiệm
“Trong chương này tôi sẽ lẫy các kết quả mà tôi đã thu được ở chương 2 và chương 3 vàứng dung vào những phương trình dao hàm riêng cù thể Từ đó rút ra kết luận rằngcác kết quả đã được nghiên cứu và chứng minh bởi nhiều nhà toán học bay giờ đã trở
thành hệ qua trực tiếp cho các kết quả cúa tôi
Trong toàn bộ khóa luận thì chương 3 mang nội dung trọng tâm đó chính là tập
trung xây dựng các bổ đề nhằm đạt được (6) từ đó suy ra đánh giá chuẩn trong khônggian Lorentz và thu được kết quả chính quy nghiệm mong muốn
Trang 12Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niềm co bản liên quan đến các
không gian ham, ham phan phỗi trên các tập mức, toán tử cực đại và tính bị chặn của
nó, cũng nluư nhắc lại vẻ bá để phủ Vitali
1.1 Một số không gian hàm cơ bản
Một trong những không gian ham ed bản nhất mà ta cần xét đến là không gian Lebesgue
LP với chuẩn tương ứng được mỡ rộng tự chuẩn trên khong gian Euclide
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian Lebesgue, [5]) Xét 2 là tap do mở trong RB” và
p€ E, < p < o Không gian Lebesgue LP(Q) là khong gian các hàm ƒ do được
Lebesgue trên Q sao cho || f|[u#taị < %, trong đó
|Lƒ|Í.~=vay = inf{C : |/(+)| < C h.k.n trên 9}.
Dinh lý 1.1.2 Chol < p,q < co saa chà Ln = 1, xét hai hàm ƒ € LQ) g € LQ).
P 4
Khi dé fg € L'(Q) và
[iscigenran < ( / I/()fd) ( / lean)"
Nhận xét 1.1.3 Với moi 0 < p< gq ta có L9(Q) C LP(O), với QD là tap bị chặn.
Trang 13Chương 1 Kién thức chuẩn bij 6
Nhận xét 1.1.4 Với0 < g < 00, ta có một cách khác để định nghĩa chuẩn trên khong
Trang 14Chương 1 Kiến thức chuẩn bj 7
niềm không gian Lorentz được hình thành.
Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Lorentz.[5]) Xét tập 2 do dược, không gian Lorentz L1(Q) với Ð < g < 00,0 < t < &œ là tập hợp các ham khả tích Lebesgue trên
€ sao cho |[ƒ||use@ay nhận giá tri hữu hạn Trong đó, ||-||a+(ay là tựa chuẩn được định
nghĩa như sau :
Hon nữa, khi t = q ta dé dang thấy L°4(Q) = L9(Q)
1.2 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood
Tiếp theo, tôi tiếp tục trình bày về khái niêm Toán tử cực đại, đây là một công cu có
tắt nhiều đóng góp cho các công trình trong lĩnh vực giải tích điều hòa
Dinh nghĩa 1.2.1 (Tích phân trung bình, [5]) Xét tap 2 do được và hàm ƒ khả
tích trên Q, khi đó ta kí hiện f ƒdụ là tích phan trung bình của hàm ƒ trên 2 và được
tụ
1
f aw = Li [ sau
Dinh nghĩa 1.2.2 (Toán tử cực đại Hardy-Littlewood, (5]) Xét hàm f là một
ham khả tích địa phương trên R° khi đó toán tử M của ham ƒ được định nghĩa như
Mục tiêu chính của bài báo cáo này hướng đến việc tạo ra một thuật toán dé đánh
giá tính chính quy nghiệm cho các bài toán dữ liệu độ do, do đó thay vi chỉ đánh giá
cho các bài toán chỉ chứa toán tử cực đại Hardy-Littlewood thì ta sẽ mở rộng khái
niệm thành toán cực đại cap phân số như sau
Trang 15Chương 1 Kién thức chuẩn bij Ñ
Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử cực đại cắp phân số [5]) Xét 0 < a < n và hàm
f là một hàm khả tích địa phương trên 3" khi dó toán tử M, của hàm ƒ được dink
nghĩa như sau:
M,(ƒ(z)) := sup ø" † „„ /0)ldy,Ve € Re
ood
trong trường hợp f là độ do hữu han thì ta có một dang khác cho toán tử M, là:
Mu(0)(z) := sup HIBel=))
e>d
Yr eR",
trong đó giá tri a có thể bang n.
Ung dung của toán tử cuc dai cắp phân số trong lĩnh vực phương trình dao hàm
riêng được thé hiện một cách rõ ràng nhất thong qua tính bị chặn của nó Sit dụng,những kết quả có được tính bị chặn của toán tử cực dai Hardy-Littlewood mà ta có
thé đi đánh giá được cho gradient nghiêm của phương trình đạo hàm riéng
Dinh lý 1.2.4 (Tính bị chặn của toán tử cực đại, (5]) Cho s > 1 và œ € Í0 ¬
khi đó tắn tai hang số C = CÍn, a, s) sao cho
a(R", A) < C(A" “if lass)
với mọi À > 0 và f € I*(R").
Chứng minh Với mọi x € BR" theo định nghĩa của toán tử M, của hàm f ta có:
Mu)! = (super f )Iw) |
Trang 16Chương 1 Kién thức chuẩn bj 9
Kết hợp hai đánh giá trên ta có:
Ma f(a)}" < supe" f ,1f0)Iw = Mao FV).
Kết hợp nhận xét trên cùng với định nghĩa ham phan phối của ham f ta có:
a(R", A) = £" (tz €R” : Maf(z) > 1) =£" (t €R": [Maf(z)]’ > 3)
Định nghĩa 1.2.5 (Toán tit cực đại chặt cụt) Cho0 <a <n và hàm f khả tích
địa phương trên R” khi đó hai toán tử cực dai chặt cụt của ham f có liền quan đến
Trang 17Chương 1 Kiến thức chuẩn bj 10
M,(f) được định nghĩa như sau:
Ð<@<r o>r
Mi (f(z) := sup of tala T(fG)) = sup 0° f sto)
kh Bor Mh Bota)
1.3 Ham phân phối trên các tập mức
© trong một số nghiên cứu về đánh giá tính chính quy nghiễm, các tác giả thường đi
xây dựng các bé dé, đánh giá dưới góc nhìn bat dang thức dang good-\ Tuy nhiêntrong khuôn khổ bài báo cáo nay, chúng tôi sẽ đưa ra một cách đánh giá tương đồngnhing dưới một gác nhìn mới đó là thông qua định nghĩa về ham phân phối của một
ham trên các tấp mức.
Dinh nghĩa 1.3.1 (Hàm phan phối, [5].[13)) Xét f là một hàm đo được Lebesgue
trên 2, hàm phân phải của hàm f là hàm dy được xác định trên (0,+00) như sau:
dy(2, A} = c(t c9:fr)> a)
Từ định nghĩa trén, ta sé di dua ra khái niệm ham phan phối cho một toán tử cực
đại cắp phân số như sau:
Dinh nghĩa 1.3.2 Cho 0 < a <n và hàm f khả tích địa phương trên IR" khi đó hàm
phan phổi của toán tử cực đại cấp œ của hàm ƒ, kí hiệu là d} là hàm phân phỗi của
M,(f) Nghia là, với moi A > 0 ta cố:
Muc kiến thức chuẩn bị cuỗi cùng sẽ nói bổ dé phủ Vitali, day là bổ dé để làm cau nỗi
giữa bắt dang thức ham phân phối và đánh giá chuẩn trên không gian Lorentz
Bo dé 1.4.1 Xét hai tap đo được P C Q trong Cố định rp > 0, giả sử rằng tồn tại
hai hằng số £ € (0,1) và r € (0,ro] sao cho:
Trang 18Chương 1 Kién thức chuẩn bj 11
i) £"(P) < e£"(B,(0)):
ii) VEEN và ø € (0,r], nếu £"(Pñ B,(£)) > e£"(B,(£)) thì Q,(@) c 9
Khi đó tồn tại hang số C = C{n) > 0 sao cho L°(P) < Cz£"(©)
Trang 19Chương 2
Bất đẳng thức hàm phân phối cho
bài toán dữ liệu dạng Divergence
2.1 Giả thiết cho bài toán chính quy nghiệm
Ô chương 2 này, mục tiêu của chúng tôi là di xây dựng một số bố đề để phục vụ cho
việc xây dung ra một phương pháp chứng minh chung phục vu để khao sát tính chínhquy nghiêm cho các bài toán có dữ liệu dang divergence qua dé thay được tính ứngdụng của bat dang thức phan ph6i trong việc đi kiểm tra tính chứng quy nghiệm đặt tién dé cho việc áp dung bắt dang thức hàm phan phối cho một bài toán tương tư những với dit liện độ đo Dau tiên, chúng tõi sẽ trình bày một số điền kiện mà các hàm
dai điện cho nghiệm và dữ liên théa man.
Giả thiết 2.1.1 (Diéu kiện đủ Al) Cho y > 1 và ham ¥ là ham khả tích địa
phương trên ©+„/(} với € RE" Hàm 7⁄ được gọi là thỏa man Giả thiết 2.1.1 nêu tôn
tại C = CÍn,+) > 0 sao cho:
(f wearer) <C'- 1⁄(z)dz (2.1)
TC) Qe, fe)
Gia thiết 2.1.2 (Diéu kiện đủ A2) Với rọ > cỗ định, hai hàm U,¥W được gọi là
thỏa man Giả thiết 2.1.2 với số + € (0, +00] cho trước, nếu với mọi v € Q,r € (0 21,
ta có thé tim được ham TỶ thỏa man Giả thiết 2.1.1 sao cho đánh giá sau luôn đúng
với moi e € (0:1)
f JU - Y|(z)dz < ef U({z)dz + C, 1 T(z)dz (22)
SOD, (ae) t¿,(} Rae (tr)
Trang 20Chương 2 Bắt ding thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — 13
Giả thiết 2.1.3 (Điều kiện đủ A3) Hai hàm U,W được goi là thỏa mãn Giả thiết
2.1.3 néu tén tại hàng sé C đương sao cho:
VE(W, ec 1A) n9 z Ú (24)
Khi đó, tôn tai hang số C = C{n,a)} sao cho
độ (f:z- eet) TN, (2.5)
trong đó Ty := diam(Q).
Chứng minh Ap dụng tính bì chan của toán tử cực đại cấp phân số với s = 1, ta
cô:
dộ (2; ess") <e(( (© ` 1) f vera)” " (2.6)
Kết hợp với Giả thiết 2.1 3 ta dude:
độ (Qe a ) <c ((° sĩ sea) ff Wajda) (2.7)
Nhỡ vào điều kiên (2.4), ta tim được phan tử 2 € 2 sao cho Mu#(z¿) < ee,!A Hơnnữa, theo định nghĩa toán tử cực đại cắp phan số Mu ta lại có:
J W(x)dz < Œ„Tạ" ƒ W(r)dz < Œ,Ty"^M,„W(zo) < Ca To? 22e.d (28)
Trang 21Chương 2 Bắt ding thức ham phan phổi cho bài tốn dữ liệu dạng Divergence 14
Bé dé 2.2.2 Cho a € [0,n) và U € LÌ(Q;#*) cùng với A, ø > 0,£ € 9 sao cho:
VE(U,A) A NolE) # 6 (2.9)
Lai
Khi đĩ với mại z € {Ú,zp) trong đĩ zạ đủ nhắ sao choc, “> 3” ta cá
độ (n,@;e ®A) SS, gu (t,(©:= "7" A) (2.10)
Chứng minh Với moi ¢ € B,(£) ta biểu điễn tốn tử cue dai cắp phan số M,U bằng
2 tốn tứ cực đại chật cut ở mức ø > 0 như sau:
Mu(U)(C) = max (M?(U)(Q), TẠ(U)(€)} - (211)
Khi d6, ta dé dang suy ra:
độ (QO: A) < ={ {c < 8,(6) : M£(U)(Q) > ea} )
+ứn ( { € 2,(€) :T2(U)(Q > era} ) (2.12)
Nhờ vào giả thiết (2.9) ta tìm được một phan tử z¡ sao cho M, U(x) < A
e Với ? > ø, ta đánh giá Tƒ(|8J|?)(C) như sau:
Dẫu tiên, ta cĩ nhận xét sau:
B.(¢) Cc B,.,(C Cc Beal 2a C By(z\).
Từ đĩ, ta cĩ thể đánh giá T? bằng cách làm trơi tích phân của U trên B,(¢} bởi
tích phan của chính nĩ trên tập Ừ„(z¡) bằng cách:
TỆ(U)(C) = supz“ U(r}dr = sup THỜ ƒ U(r)dz
r>e IB, fs) r>e BAS) Tae
Trang 22Chương 2 Bắt ding thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — l5
e Với? € (0,ø} ta đánh giá M&(U7)}(¢) như sau:
MỆ(U)(€) = sup r® f Xøz„(@U(z)dz < Ma(xø,„(U)(€)- (3.14)
Từ day, kết hợp với đánh giá (2.12) ta được
tị (ele) 2A) < đc gu (MEE A),
như vậy ta đã có được điều phải chứng mình n
Bồ đề 2.2.3 Xét yw € (1, +%],+ € (1,^øÌ,œ € Ũ =) va hai ham U,% thỏa man
Giả thiết 2.1.2 với số yy € (1, +00] Khi đó với mọi ¢ vở cho ey > 3", thôa man
VE{U, A} NACE) # 0 và VIC, cco 1A) NDE) # Ú, (2.15)
với € EN vag, A> 0 thì ta sẽ có bat đẳng thức sau đây:
độ (0,(e;zA) < Ceo", (2.16)
trong đó Œ = C{n,a,*}.
Chứng minh Nếu B„„(€) C 2 thì ta chon R = 22 và v = ¢ Ngược lại, nếu Öạ„(€)n
QC # Ú thì ta chon R = do và v € AN sao cho |€ — | = dist(£€, Ø9) < 2ø Theo cách
chon # và v như trên ta luôn có Øz„(£) C Brlv) Nhờ vay, ta có thể đánh giá về trái
của (2.16) bằng cách áp dung Bồ dé 2.2.2 với z ~®” > 3" như sau:
độ (9 s(6);£— "r mA) < < đề, 2ø (9 ;(;< A).
Trang 23Chương 2 Bắt đẳng thức hàm phân phổi cho bài toán dữ liệu dạng Divergence — 16
Mặt khác, áp dung bat dang thức tam giác ta luôn có Ư < C(|U = 1| + ¥), vì vay:
di (Q6): PA) < eB v (MelE iE >A)
+ Be 2s ạ|0—VỊ (n,©:c 58A) : (2.17)
Đề tiếp tục đánh giá hai biểu thức ở về phải của (2.17) ta tiếp tục sừ dụng tính bị
chan của toán tử cực đại cắp phan số lan lượt với s = 1 và s = 7 > 1 Dau tiên, ta viết
lai đánh giá (2.17) duéi dang chứa tích phan trung bình như sau: