Tran HuyệnLời nói đầu Khi nghiên cứu về Lý thuyết Nhóm, ta luôn mong mdi lả có thé tìm được hết tắt cả các dang cấu trúc nhóm khác nhau cỏ thể có hoặc cũng như tim hiểu xem liệu có một d
Trang 1Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hỗ Chí Minh
Khoa Toán — Tin Học
Giáo viên hướng dẫn : TS Trần Huyên
Sinh viên thực hiện - Ngô Thị Mỹ Phượng
Năm 2009
Trang 2Luan văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyện
Lời nói đầu
Khi nghiên cứu về Lý thuyết Nhóm, ta luôn mong mdi lả có thé tìm được hết
tắt cả các dang cấu trúc nhóm khác nhau cỏ thể có hoặc cũng như tim hiểu xem liệu
có một dạng cầu trúc nhóm nào lại có thể chứa hết các dạng nhóm còn lại hay
không? Và như ta đã biết, nhóm đối xứng chính là nhóm mà bat kỳ nhỏm hữu hạn
hoặc vô hạn nào cũng đều có thể nhúng được vào trong nó Vậy ngoài nhóm đối
xứng ra thì liệu rằng có còn nhóm nào khác có chức năng như vậy???
Với mục đích di tim câu trả lời cho câu hỏi thú vị nhưng lại rất khó kia, tôi đã
tìm hiểu về nhóm nhân ma trận vuông cấp hai không suy biến (M;(R), +) Tuy
không có câu trả lời rd rang và cụ thể nhưng tôi cũng đã phát hiện ra một số điều
khá thú vị và được trình bay trong luận văn nay.
Luận văn gồm hai chương:
- Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Ngoài những kiến thức cơ bản về nhóm, tôi có giải một số bài toán, và có thể xem
là những mệnh đẻ giúp cho việc tìm hiểu về chương hai dé dang hơn Bên cạnh đó,
tôi có nói vài nét sơ qua về nhóm nhị điện và nhóm Quaternion cũng như mô tả cấu
trúc của các nhóm hữu hạn có cấp nhỏ hơn hoặc bằng 8
- Chương Il: Một số nhóm con hữu hạn với các phần tử sinh cấp hai của nhóm
(M3(R) , +)
Thông qua việc mô tả các dạng nhóm con hữu hạn của nhóm (M;(R), +) với hệ
sinh là các phan tử cấp hai, ta thấy được nhóm S, - nhóm phép thế cấp 3 và nhóm
giao hoán Z,xZ, chứa được trong nhóm (M ;(R), *) Và tổng quát hơn thì nhỏm
con hữu hạn sinh bởi hai phần tử cấp hai của nhóm (M;(IR) , +) đẳng cấu với nhỏm
nhị điện Tuy nhiên, nhóm các phép thé S, (n > 4) thì lại không nhúng được vào
trong nhỏm( M;(R) : *).
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 2
Trang 3Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyờn
Mục lục
Trang
Lời núi đầu eT eee a ee
Chương I Kiến thức chuẩn bị
1: Những midi Abel ses ies Na es cae 5
B)'Đỡnh on gin BoD access aa ie asc 5
2 Nhúm con, nhúm con sinh bởi một tập, nhúm cyclic 5
lẹ: Nhðm/BDDđọi6002002851160G0101661A100861/(006AX-680Nui6i 5
B Nhúm con sinh bởi mội tap 0 cseecessesecsessneeseesseseennseaseeees 6
3 Lớp ghộp theo nhúm con, cấp của MhOM - ¿5552-5522 T
A;:UfP ghờp feo phền? BƠI sec cinS re SSnsỶ.iee=—=e.eS==—.=s 7
"'N '0t': .ườy nguy so snearaaraaaeeeeesl 9
4 Nhúm con chuẩn tắc, nhúm thương 2 2+ +zzzetxzZre H
A Nhúm con chuẩn tẮc - 5 Bề 1 E2 13187162251 21212222 11
B Nhúm thurong cccssssssecsssseesssseesssvsessesensnecssnesneuessnsessnecesusscsnneneeanseence 12
S, Đồng chu nhOwr cccccssssesveessvessvveersvsersessveesevsserseverevssveenverssevsesveesenysvenss 12
Á Boba sn phan 66) iscsi as ses aces iawn came lis 12
Be Chon besser er ee rey eee tis: 13
6 Tớch trực tiếp của hai MhOM :.ccssesssecssseeessessseecssessssecesssesssvereesnecnsveees 13
A Định ng Đổ è-<¿c:4 C65262 02ttGGA8tựu&Guiatti2Gi0iGGSuiiASE 13
TE: iS nh di: ss tcc rit icc cea cis tia ices 14
Fa NEửm cỏc pếp UI i isis aac desea hae 14
Fea NI (NET: Gel tee rene nr rarer ety peer Ree 14
B Định lý phõn tớch phộp thộ thành tớch cỏc vũng xớch độc lập 15
8 Một số bài toỏn xỏc định tinh chất và mụ tả cấu trỳc của nhúm 16
SVTH: Ngụ Thị Mỹ Phượng 3
Trang 4Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén
Ác NO đụ GN cscs css sce coca ae 16
BB VI BD assesses spare ce psec ss pepe sieeeematas 16
K VÀ HN ica lease 01vá ii: 0650400/00 44.02105600) 108460)(0-x444000sgannid 17
DS VI d6 Add ty2200G011GSGGGit2vcctiqstxÄi(013440616- 1d: 18 E2 VIIGB SG aatirtstpg4GzzGL NGIGIGGiGii111%5400)10866:38044346ã2122:5e2 18
9 Nhóm nhị diện, nhóm Quatemion - sec 19
Ñ: Nhân! nhị GE «cua: 20104.0662165e1022122066gg.056sg4044vas2 19
10 Cau trúc của các nhóm hữu hạn có cấp $8 o ccccsssssssssssssensssseessnsesssesene 22
Chương II Một số nhóm con hữu hạn với các phần tử sinh
cấp hai của nhóm (A⁄;(I) , +)
1 Các phần tử cấp hai của nhóm (M;(Ñ) , +} c 26
SN (10 ve neoaeexeeaenesreesaedraneaciaeeiiesseoseye 27
ETL E nung ne a: 29
2 Một số dang nhóm con hữu hạn với các phan tử sinh cap hai
của nhón:|Âể, (IR) =) sciatic cscs aac 29
Lời kết cc<<cccềkýỷ~Ÿy- Ïỷ ý .c.c.cc“<“*c<^ 7cg“cn<, Ïgag.cc e8n 40
Tài Hậu đam khôn —»ệ ÝƑỷẹ}ƑừễýẰ_——S—EESESSneeesesesseseos MI
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 4
Trang 5Luận vin tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên
Chương I: KIÊN THUC CHUAN BỊ
Vi dụ: (M; , -) với M7 là tập các ma trân vuông cắp n không suy biển là một
nhóm không giao hoán
2 Nhóm con, Nhóm con sinh bởi 1 tập, Nhóm Cyclic:
A, Nhám con
a Định nghĩa 2.1:
Cho X là nhóm va A # @, A c X Ta nói A là bộ phận ổn định của X nếu:
V x,y GA: xy eA.
Khi A là bộ phận én định của X thi phép toán của X giới hạn lại chỉ trên của các
phần tử của A là phép toán cảm sinh từ X về A Nếu A cùng với phép toán cảm sinh
lập thành | nhóm thi A được gọi la nhóm con của X Kí hiệu: A @ X
b Dinh ly 2.2: (định tý đặc trưng của nhóm con)
Giả sử A là tập con khác rỗng của nhóm X Khi đó, các khẳng định sau là tương
đương:
i A là nhóm con của X
ii, Với mọi a, be A, ta có abe A và ae A.
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 5
Trang 6Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén
iii, Với mọi a, b € A, tacdab'e A,
Chứng minh:
i= i.
Với mọi a, BEA, => ab eA (vì AœX})
Trước tiên, ta thấy của phần tứ đơn vị e` của nhóm con A cũng là phan tử đơn vị
e của nhóm X Thật vậy:
VaeA:cla-a-=ca
=> e` =e (vì X là nhóm nên có luật giản ước)
Gọi a` là phân tử nghịch đảo của a trong nhóm con A
Vì A¥@ nên tôn tại a € A Khidé:e=aa'e A
Vae A,a’! =ea'eA
Va,be A= abÌe A
Do d6:ab=a(b"y'e A
Nhu vậy, A là tập hợp con én định chứa đơn vị và mọi phần tử của A đều có nghịch
đảo trong A nên A là nhóm con của X
B Nhóm con sinh bởi 1 tập:
Trang 7Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên
Giả sử U là một bộ phận của nhóm X Nhóm con A bé nhất của X chứa LI gọi lả
nhóm con sinh ra bởi U trong X (chính là giao của họ các nhóm con của X chứa U).
Kí hiệu: A= (U)
Trong trường hợp A = X, ta nó rằng U là một hệ sinh của X và X được sinh bởi U
C Nhém Cyclic:
a, Dinh nghia 2.5:
- _ Nhóm con của X sinh ra bởi tap gồm 1 phan tử {a} gọi là nhóm con cyclic
sinh bởi phan tử a và kí hiệu đơn giản là (a)
- _ Một nhóm X gọi là nhóm cylic nếu X được sinh ra bởi phần tử nào đó của X
Khi đó, a là phần tử sinh của nhóm X và ta có X = (4) = {a” : n e Z}
3 Lớp ghép theo nhóm con, cấp của nhóm:
A Lứp ghép theo nhóm con:
a Lớp ghép trái, lớp ghép phải:
Cho nhóm X và ÁC X, V xeX, ta định nghĩa
~ Lớp ghép trái theo phần tử x theo nhóm con A được kí hiệu là xA
Trang 8Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trân Huyên
b Phân lớp theo nhóm con:
Mệnh dé 3.1:
Trong nhóm X, nếu y e x4 thi yA = xA
Lấy z € yA thi z= ya, (ae A)
Vi y€ xÁ = yTM xâ;(với ae A)
=> Z = xa;a¡= X(8;â¡) = xa E XA ( với a = a¡a;€ A)
rac của một số lớp ghép nào đó
Mỗi lớp ghép trong hợp rời đó là phan tử của | tập mới mà ta kí hiệu là X/A
X/A={xA /xeX}
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 8
Trang 9Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS, Tran Huyén
b Dinh [ý 3.4 (Dinh lý Lagrange):
Cho nhóm X hữu han va A œ X
Khi đó: Cap A là ước số của cấp X
Ngược lại, nếu a, # a, => x,4, # xa,
Do đó x4, ,x,4; „ , x,4„ là m phân tử đôi | khác nhau
Nên | x;A | = | A}
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 9
Trang 10Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trân Huyên
Vậy cap X =| X| =k | A | = k cấp A
Do đỏ cấp của A lã ước số của cấp của X
c Các hệ quả của định lý Lagrange:
Hệ qué 1: Cap của mọi phần tử hữu han x đều là 1 ước sô hữu hạn của cấp X
Ching minh: Vì mỗi phần từ x e X sinh ra 1 nhóm Cyclic (x) có cấp = cắp của x.
ma (x) cũng là 1 nhóm con của X nên cấp (x) = cấp x là ude số của X
Hệ quả 2: Nếu cấp của X là số nguyên tô thì X là nhóm Cylic
Chứng minh: Giả sử X cô cap là p (p là số nguyên tổ)
Vi p là số nguyên tổ nên >2 = 3a # e trong X.
Khi đó, nhóm cyclic (a) sinh bởi a có cấp là n > | và là ước của p.
Ta có cấp của phan tử a hữu han nên cấp của (a) hữu hạn
Khi đó, 3a”, a’ sao cho a’ =a’
<a‘ =e (với k-1>0)
Do đó, tổn tại m nguyên đương thoả a” =e
Gọi n là số nguyên đương nhỏ nhất thoả a" =e
Ta sẽ chứng minh: (a) = {e, a', a’, a’, a‘, ,a""} trong đó e, a', a’, a’, a, ,a!
khác nhau đôi một
Thật vậy:
Với Osis jsn-1l =0 j-i<n
Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất thoả a" =e nên suy ra:
a’ #e ma’ za’ Y0<¡<j<n-l (1)
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 10
Trang 11Luan văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyén
Vx€(a),tacó x=a” ,meZ
Chia m cho n ta được : m = q.n * r (0 ár sn-l)
Suy ra: x=a" =a" =(a* Ï -a" =e"-a" =a" (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
4 Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương:
Trang 12Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyén
a Lớp xịx;A chỉ phụ thuộc vào các lớp x,A va xạA ma không phụ thuộc vào sự
lựa chon của các phan tử đại điện x, , x, của các lớp đó
b Tập X/A cùng với phép toản 2 ngôi (x,;A, xạA) + x¡X;A là một nhóm, gọi
la nhóm thương của X trên A
XỊ`X;` = Xiâ¡X;8ạ = XIX:(X; A¡X:)4;
=> Xi `X;` = XiX¿8)8 (với a = x; aix;c€ A, vì A 4X)
=> XI `X;) =X¡X¿ã © X)X2A (với a“ a;a; 6A)
=> X¡`X:`À Z XIX:Á
b _ Tính kết hợp của phép toán 2 ngôi trong tập X/A suy ra từ tính kết hợp của
phép toán trong X
_ Phan tử đơn vị của X /A chính là eA (trong đó e là đơn vị của X)
_ Phan tử nghịch đảo của xA chính là x "A
Nhận xét:
_ Nếu X là nhóm giao hoán thì nhóm thương cũng 1a nhóm giao hoán
_ Nếu X là nhóm cyclic thì nhóm thương cũng là nhỏm cyclic
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 12
Trang 13Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyện
5 Đồng cấu nhóm
A Định nghĩa 5.1: Cho các nhóm X, Y
Ánh xạ ƒ: X ——>Ÿ được gọi là đồng cấu nếu:
VX), Xp 6 X: F(X), X2) = f(XxI) f Xà)
- Nếu f là đồng cấu nhóm, đồng thời là đơn anh thì f được gọi là một đơn cấu nhóm
(hay gọi là phép nhúng của nhóm)
- Nếu f là đồng cấu nhóm đồng thời là toàn ánh thì f được gọi là toàn cấu nhóm
- Nếu f là đồng cấu nhóm đồng thời là song anh thì f được gọi là một đẳng cấu
nhóm Khi đó X đẳng cấu với Y và ki hiệu là X = Y
Im ƒ= /(X)cCY
‘Kerf = f"'(e,)={xeX: f(x) =e,} aX
B Các định lý:
a Định lí §.2
Cho ƒ: X——>Y là một ding cấu
Khi đó: f đơn ánh <> Kerf =e,
b Định lí 5.3
Cho ƒ: X——>Y là đẳng cấu
Khi đó, ƒ”: Y——+X cũng là một là đẳng cấu
c Định lí 5.4: (định lí Note,
Cho f: X———>Y là toàn cấu
Khi đó: Tồn tại duy nhất đăng cầu 7: XÍKcự ———>Ÿ sao cho:
ƒf= ƒ-p Trong đó,p: X——>X[Kerf là đẳng cấu chiếu
6 Tích trực tiếp của 2 nhóm:
A Định nghĩa 6.1:
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 13
Trang 14Luận văn tết nghiệp GVHD: TS Tran Huyền
Gia sử A và B là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lỗi nhân) Trên tập hợp
tích X = AxB= {(a,b): ae A, be B} ta định nghĩa một luật hợp thành như sau:
(a) , bị)(a;, bạ) = (ay4;, by bz)
Dễ dàng kiểm tra rằng X cùng với phép toán trên lập thành một nhóm; có phần
tử đơn vị là ¢ = (eq, eg) và phan từ nghịch đảo của (a,b) là (a,b}” = (a”,b”)
Khi đó, nhóm X được xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của 2 nhóm A, B
B Các tính chất:
(a) Ax B= Bx A nhờ đẳng cấu (a, b) + (b, a)
(b) (Ax 8)x€ = Ax(BxC) nhờ ding cấu ((a b), c) + (a, (b, c))
(c) Có thé đồng nhất A (tương ứng B)với nhóm con Ax {e,}(tuong ứng {e,}x 8)
của Ax # nhờ đơn cấu sau:
A—— AxB B— AxB
a> (a,e,) b (e,,Đ)
(d) Với phép đồng nhất trên thi mỗi phan tử của A giao hoán với mọi phan tử của B
trong Ax B
(e) ANB ={e} trong AxB
(f) Nhóm Ax B được sinh bởi tập AUB
(g) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của Ax 8 That vậy:
(a,b,X4,eạ)(a,„b,) ` = (a,aa,` ,ey) A
Trang 15Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyền
7 Nhóm các phép thế S,
A, Định nghĩa7.!:
Một phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên chính nó Khi X là
tập có n phan tử thì một phép thé trên X gọi là một phép thé bậc n
Để tiện loi mà không mat tinh tổng quát, ta thường lay tập n phan tử là
X = {1.2 n} Khi đó mỗi phép thé f bậc n thương được viết dưới dang
| 2 3 @œc
." kề f2) ƒ@) al
Vi f là song ánh nên các phan tir f(1), f(2) f{n) đều khác nhau Do đó chúng là
một hoán vị của n phan tử 1 2, n.
Như vậy, mỗi hoán vị xác định một phép thế bậc n nên số phép thế bậc n bằng các
hoán vị của tập có n phan tử va băng n!
Tập hợp tất cả các phép thé bậc n kí hiệu là Š„ Khi đó, S, cùng với tích các
phép thế lập thành một nhóm hữu hạn không giao hoán với n > 3
- Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí
- Hai vòng xích độ dài f = (aya¿ a„) và (bạb; bị) gọi là độc lập nếu
{ân, @2, - Am} (1 by, bạ, b)} = Ø
Dễ thấy rằng phép nhân các vòng xích độc lập có tinh chat giao hoán.
SVTH: Ngõ Thị Mỹ Phượng 15
Trang 16Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyền
6 Dinh lí 7.2:
Moi phép thẻ bậc n khác phép thé đồng nhất đều phân tich được duy nhất
(không kẻ thir tự) thanh tích các vòng xích độc lập độ dải lớn hơn hoặc bằng 2.
Hệ quả: Mọi phép thé đều phân tích được thành tích các chuyển trí.
8 Một số bài toán xác định tính chất và mô tả cấu trúc của một
a’ =e, b? =e, (ab) =e
Suy ra: a’.b’ = e.e = e = (ab)
a> Chứng minh: cắp của ab bằng cắp ba
b> Giả sử ab = ba và cấp của a là r, cap của b las
Nếu (r, s) = | thì cắp của ab là rs
a> Trước hết tacó nhận xét sau:
Voix y e X thì xy=e <> x=yÌ <> yx=e
Từ đây ta có Va,b € X
(ab)"= e © [(ab)”’.a].b=e
<> b.[(ab)”'.a] =e
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 16
Trang 17Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyền
<> (ba)" =e
Vay cap ab bang cap ba
b> Ta có (ab)” = a”,b” (vi ab = ba)
=e.e=e
Mat khác, nếu (ab)* = e thi
e = (ab) =a", bề! =a" c* = a
nên ks : rma(r,s)=l = kir
Trước tiên ta có nhận xét sau: Các phần tử đại diện b của lớp ghép 4 trong nhóm
thương có cấp là bội của cấp của ð
Thật vậy: Gọi cấp b =n Khi đó ð* =e =>(b) =b" =e
Vậy n là bội của cấp của ð
, Để chứng minh X là nhóm cyclic Ta cần chỉ ra trong X có chứa 1 phan tử cấp 6
Vì X có cấp 6 nên tổn tại phần tha e X và ase.
Theo hệ quả | của định lí Lagrange thì cắp a chỉ có thể là 2; 3; 6
- Nếu cấp a = 6 thì ta có điều phải chứng minh
- Nếu cắp a= 2 thì nhóm thương X/(a) có cấp 3
Khi đó, nếu ð © X/(a) mà b # (4) thì cấp ð =3
Do đó theo nhận xét trên thì phần tử đại diện b e ð phải có cấp 6 hoặc cấp 3
Trường hợp cấp b = 3 thi tích ab phải có cấp 6 (ví dụ 8.2b vi ab = ba)
- Nếu cấp a= 3 thì nhóm thương X/{a) có cấp = 2
Khi đó, nếu 6 e X/{a) mà ð # (a) thì cấp 6 =2
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 17
Trang 18Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Trần Huyên
Do đó phan tử đại diện b € ø phải có cấp 6 hoặc cấp 2 Trường hợp cấp b = 2 thi
tích ab phải có cấp 6
Vậy trong mọi trường hợp có thể xảy ra cho cap của a, ta đều chỉ ra được trong X
luôn có chứa 1 phần tứ có cắp 6 Vậy X là nhóm cyclic
Nếu X chứa | phan tử cap 4 thì X là nhóm cyclic cap 4 Do đó X = Z,
, Nếu X không chứa phan tử cắp 4 nào thì mọi phần tử (khác e của X phải đều có
cắp 2) (hệ quả 1 của định lí Lagrange) và nhóm X là nhóm Abel (vi dụ 1) Tức là
X= la, b, ab, e} Với a, = bạ = e, ab = ba
Bây giờ, tương img 9 :X ——> Z,xZ,
Nếu X có chứa | phần tử cap 6 thì X là nhóm cyclic cấp 6 Do đó X = Z,
, Nếu X không chứa các phần tử cắp 6 nào (tức X không là nhóm cyclic), vậy thì X
không là nhóm Abel (Vi dụ 2)
SVTH: Ngô Thị Mỹ Phượng 18
Trang 19Luận vin tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyện
=> Jae X: cắp a = 3(Ví dụ ! và hệ qua | định lí Lagrange)
Khi đó nhóm thương X/(a) có cấp là 2 Chọn b ¢ (a) thì be X/(a) và b # e nên
cấp b = 2 Suy ra, cấp b = 2 (vì nếu cấp b = 6 sẽ mâu thuẫn với giả thiết ban đầu).
Vậy nêu tổn tại nhóm X cắp 6 không abel thì X =({a , }) với cấp a = 3 va cấp
b= 2 Tức là:
X = {e, a, a’, b, ab, a’b} thỏa hệ thức a’b = ba
That vậy ba = ab vì:
ba không thé là e vì ba = e =bŸ => a= b(!)
ba không thể là avìba=a => b=e(!)
ba không thé laa’ viba=a’ => b=a(!)
ba không thẻ là b vì ba = b => a=e(!)
ba không thé là ab vi X không là nhóm Abel.
Do đó, ba chỉ có thé là a*b
Khi đó: ba.ba = a*b.ba = a =e
Hay a có cấp là 3 còn các phân tử còn lại của X (khác e) đều có cấp là 2
Bây giờ, xét nhóm S; của các phép thế bậc 3,xem như được sinh ra bởi 2 phần tử là:
Trang 20Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Tran Huyền
9, Nhóm nhị điện và nhóm Quatenion
A, Nhám nhị điện:
a Định nghĩa
Xét đa giác đều n canh P, (với n> 1) Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh
tâm của P„ một góc (có hướng) bằng ae , còn b là phép đối xứng qua một đường
n
thẳng di qua tâm của P, và | đỉnh của nó Khi đó, tắt cả các phép đối xứng của P„
(tức là các phép biển đôi đẳng cự của mặt phing biến P„ thành chính nó) được liệt
kê như sau: e, a, a’, , a”', b, ab, ab
Chúng lập thành một nhóm, kí hiệu là Dạ và được gọi là nhị diện cấp 2n Như
thể D„ có thể biểu diễn như sau:
D,=(a ,ba'=e,b =e ,(ab)’ =e )
Với n 23 thì ab # ba Do đó D, là | nhóm không giao hoán vi thé D, cũng
không phải là nhóm cyclic.
Ngoài ra, D„ còn cé thé biểu thị theo | cách khác như sau:
Nhóm D; các phép đối xứng của tam giác đều P; có thể đồng nhất với nhóm
đôi xứng S; trên 3 đính của P› Tức là ta có đăng cau nhóm Dy = S›, đẳng cầu nay