Khóa Luận Tốt Nghiệp Đại Học Một Số Cơ Sở Toán Học Thường Dùng Trong Vật Lý Lượng Tử.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI 2018 ĐẠI[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG Đ ẠI TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ C Ọ H Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết SƯ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ẠM PH HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG Đ ẠI TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ C Ọ H Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết SƯ ẠM PH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tƣ ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê tốt ứu, cung cấp nhữ o ọ sƣ ƣ o q ả H N ệ s ê ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ƣ ng ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ú đỡ s đ ầ đầ ê ỏi s thiế s ến c a thầ o ế ƣờ ọ ậ è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ đƣợc nhữ ậ đƣợ o ệ è ận đ Ọ ảm ! C â H T ả ƣờ ậ oá ẠI Đ ý xin chắn o ệ ậ Cuố ù L ệ q ý ố SƯ PH Hà Nội, ngày tháng năm 2018 ẠM Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ƣ ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ƣợng tử” đƣợ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ƣờ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ƣ ững kết đƣợ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ ẠI Đ Ọ H Hà Nội, ngày tháng năm 2018 C Sinh Viên SƯ PH Phạm Thị Hường o ẠM MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ứu ối ƣợ ê Nhiệm vụ P ƣơ ứu ứu ê ú Cấ ê ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ Đ H e ẠI 11 K ế H 111K H e 1.1.3 S o C Ọ 11 K SƯ 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê ợp tuyế PH é oá ê oá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý ê ế oá ị ê ế oá ể 1 Lý ết ế Hermite) 10 10 oá ề Lý ẠM 1 Toá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To ữ o ệ ê ứ ụ đạ ƣ Vậ ý ƣ: đị ê ứ ƣ ng thời vậ ý o s ể áđ để Ọ ẠI Đ sắc c ƣời t ệ đạ - ò đƣợ ậ ý ứ o ọ đề đề ề ọ ố o ê oá He e ả ọ ố mở ể ế o o ọ ậ ế ê ƣợng tử i hạn ề ƣờng giải ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ê ê đ ng thời mở ƣ oá ệ ứ ƣợng tử ện m i vậ ý ế ứ e ê ọ ê sâ ƣờ N ầ ẠM V e o đƣợ ố ọc, ứu m i t o oá ật ý ại m ậ ý ƣợ PH ế ế ản c ê Vậ ý o ƣợ ƣờ đ sâ ậ ý Cá ƣ H ọ ƣ: vậ ý s ải ế ậ c a vậ ý nhữ ấp dẫ ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ữ ậ ệ đạ SƯ đị t số hiệ o C ê ệ đạ ấ ề đế ú đẩy s tiến b c H ọ ê đị ê từ cấ đ c để ả ậ ể ệ đại nhằm giả ọ ậ ế đời c a vậ ý o q ậ ý ầ định luậ vậy, s Vậ ý ứ đ ể đe ƣợng t đƣợ ể luậ q đƣợc nhiều hiệ ê o đế s ố q ứ ọ ậ ý ƣợ ế ƣ: ữ ứ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ ậ M t số ê q Nhiệm vụ nghiên cứu ê ứ số sở oá ọ ƣờ ù o ẠI Đ N Phư ng ph p nghiên cứu ệ ọ Phần 1: Mở đầu oá ọ ẠM PH Cấu trúc khóa luận ả SƯ ƣơ o ậ ý C Sử ụ oá đọ Ọ Sử ụ ƣơ H Sử ụ Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ậ ý ƣợ o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e H ọ ậ ý e xuất m ƣờ ê F C ý ết ế đ i Fourier H e o é q á số tr c giao oá ữ ụ ừng phầ ọc ọc c a ể đƣợ ấp m t khung ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ việ é biế đ i Fourier a giả o a kỷ 20 sở oá ạn chiều C ú để hệ thố â ết ergodic tr t số â ẠM Cá ƣơ ý nhiệ đ ng l c học c đ ê ê PH é ƣờ es R esz C ú SƯ o ê t ứu thập kỷ đầ Ọ H ể thiế o o ạn chiều Cá David Hilbert, Erhard Schmidt dụ á gian Hilbert s m nhấ đƣợ họ ƣợng tử ạn chiều M đo đƣợc ẠI oá ƣơ ƣ ng, hay đƣợc hiể Đ K mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ƣợng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ƣờng c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C ế m t é ệ T ầ ỏ ấ ậ X đƣợc gọi m ệ X số a ( a  T , T X ax ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần c ã é x+y ể â ập số th c ho c phức, ê đề s : o oá : v ất kỳ x, y  X ta ầ x  y  y  x T ( x  y)  z  x  ( y  z ) ất kết hợp: v i x, y, z  X T ọ x  X cho x    x  x ầ e ẠI phần tử C  a  b  x  ax  bx đố ( x)  X x  X cho ầ PH ầ x X a, b T SƯ x, y  X a T Ọ a  x  y   ax  ay T x X a, b T H a(bx)   ab  x ị 1.x  x.1  x v i x  X Đ T Ở ê ố q số ệ ữ ầ đị ế ẠM x    x   1   1  x  0.x  số a, b T Nế a ế c Nếu a aX số phứ ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn  xn   X , e ơ: y  a1 x1  a2 x2   an xn  y  X , T  ƣợc gọ hợp tuyế Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  a1 , a2 , , an ƣợc lại ai  e x1 , x2 , , xn ất m t n tạ ệ  xn  đƣợc gọ ụ thu c tuyế ệ e ê đƣợc gọ o đ c lập tuyế ệ số T ƣờng hợp T ƣờng hợp: T ƣờng hợp 1: n   k    x   khoảng  x  d , tứ s ấ đề hạt mọ đ ểm giếng bằ oá o ạt giếng S â ẫn v i ƣờng hợp n  ỏa ã T ƣờng hợp 2: n  , s  n x   ù  d    x    A sin  ê Vậ  n x    d    x   A sin  ả m t trạ ị ê ầ a hạt : n  n x  , n  1,2,3  , En  2md  d  ẠI Đ  n  x   A sin  2 H C Ọ Bài 2: Trong Sˆ x - biểu diễn, đ t Sˆx  ˆ x , Sˆ y  ˆ y , Sˆz  ˆ z T 2 tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz  ị ê a ma trận  x  1 ƣơ c a Sˆx Muốn vậy,  x phả 1 ẠM trị ê PH Lời giải Trong Sˆ x - biểu diễ a  z ứng v i trị ê chuẩ SƯ ê ạng: 0 x     1 T ệ thứ o oá a Sˆx , Sˆ y , Sˆz :  Sˆx Sˆ y  Sˆ y Sˆx  i   Sˆ y Sˆz  Sˆz Sˆ y  i ˆ ˆ ˆ ˆ  S z S x  S x S z  i Từ hệ thứ o oá ận thấy: 25 Sˆz Sˆ x Sˆ y oá -1 ứng v ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  2iˆ z  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  2iˆ x ˆ ˆ  ˆ ˆ  2iˆ x z y  z x V oá á ị ê  i  1 ả ạng:  i2 o ê ị ê a  i2  V 1 0 1 0 1 0 2   ,   ,  y 0 1 z 0 1   0 1    x2   Xé hợp 2i ˆ xˆ y  ˆ yˆ x    2iˆ x ˆ y  ˆ y  2iˆ x  ẠI Đ  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y ˆ y  ˆ y ˆ yˆ z  ˆ zˆ y   ˆ yˆ zˆ y  ˆ zˆ y2  ˆ y2ˆ z  ˆ yˆ zˆ y  : Ọ H Suy ˆ xˆ y  ˆ yˆ x Tƣơ C ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  ˆ zˆ x  ˆ xˆ z SƯ a PH t b a  b  D o ệ thức ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  a11 a  21 : a12       a11 a12     1  a a  a22   1    21 22  a   11  a21 Suy a11  a22  t ẠM  y   11 12  ,  z   11 12   b21 b22   a21 a22  a12   a11    a a22   21 :  y   a21 26 a12   a12  a22  ế He Sử dụ a  y   y : e  a12   a  *  21   a12 * a12  a21 Ta phả :  a12   y  *  a12 t a12  e v i  i Tƣơ    y    i e số th c bấ ei   0 , suy ra: ei   v i  l số th c bấ 0 ẠI Đ  ˆ z    i e Ọ H i    C e  đ : ẠM    i    PH Chọn    e SƯ  đƣợc:     o oá : ˆ yˆ z  iˆ x , Sử dụng hệ thức phản Ta *  a21    i   0 1 ˆ y    , ˆ z   i    Vậy dạng c a oá Sˆx , Sˆ y , Sˆz Sx - biểu diễ : 1  ˆ 0 1 ˆ  i  Sˆx   , Sy   , Sz       1 1 0 2 i  Nếu gọi e ê ƣơ ị ê a Sˆ z Sx - biểu diễ a Sˆ z Sx - biểu diễ 27 : a X   b  i  a  a         i  b  2b  ib  a        ia  2b i a  ib  X  b    1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ƣ ậ đƣợc b  s c a Sˆ z cầ ê X i   , ứng v i trị ê  1  z  1 ẠI Đ 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q đị é oá *: ậ C a) Hỏ Q * Ọ H a * b  a  b  ab, a, b Q ? Tại sao? SƯ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ ần tử ị c a  Q,* Giả sử  Q,* lậ Xé ần tử nghị đảo b K ẠM ấ a) Dễ PH Lời giải ần tử 1  Q,* đ   1 * b  (1)  b  (1)b  1 ý Vậy  Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Gọi a, b, c  Q \ 1 , ần tử : (a * b) * c   a  b  ab  * c  a  b  ab  c  ac  bc  abc a *(b * c)  a *  b  c  bc   a  b  c  bc  ab  ac  abc 28 Suy  a * b  * c  a *  b * c  Vậ V i a  Q \ 1 é ọi phần tử nghị oá ết hợp đảo c b a 1 a  a   a   a  a *b  a * a   a  1 a  1 a  1 a  a 1  a   a a2   1 a 1 a 2 aa aa  1 a  , b  a  Tƣơ ng bả : ẠM 1.i  i.1  i PH 1.1  1, 1, i, i SƯ T G g m bốn phần tử C N Ọ Lời giải G  1, i v â H Bài 2: Xâ ẠI Đ N ƣ ậy,  Q \ 1,* lậ  1. 1   1. i    i . 1  i i. i    i .i  i  1. 1   1.1  1 1. i    i .1  i  1.i  i. 1  i i.i  i  1  i . i   i  1 29 é â ƣờng T đƣợc bả â a G: -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X a X i phần tử a2  e ị e Chứng minh A e X Lời giải ọi a, b  X ,  ab   ea  eb2  e Do đ  a 2b C Ọ t b phậ o V A1  A ê A A1  A ọi a  A ẠM PH A1  a 1 | a  A Khi A M X Chứng minh A A A1  A aX Lời giải T ng c SƯ Bài 4: Giả sử A o  a 2b2  e ab = ba A e Vậy X H  ab   ab  ẠI M Đ T aX A1  A a  a.e1  A A1 ê A  A A1 Vậy A A1  A ọi a, b  A, Do đ a.b1  A A1  A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả ể  Tính kín 30 ấ s : a X định thứ o oá Lời giải T eo đị o ?  a1 b1    a b   Giả sử: M    , N      c d    c1 d1   V i M , N  A, :  a b   a1 b1  M N      c d  c1 d1   aa  bc1 ab1  bd1    A  a1c  c1d b1c  dd1  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã  Tính chất kết hợp ẠI Đ  a1 b1    a2  a b   Gọi M   , N  , P           c d    c1 d1    c2 V i M , N , P  A b   a1  d   c1 b1    a2  d1    c2 b2  d  C Ọ SƯ  c : H  a  M N .P    b2    d   ẠM PH  a (aa +c b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d   1   a2 (a1c +c1d )+c2 (b1c +d1d ) b2 (a1c +c1d )+(b1c +dd1 )d   a b    a1 b1   a2       c d    c1 d1   c2  M  N P  Do đ ậ ợ ậ A b2    d   é â ậ ỏ ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A :    a b    a b  M     c d     c d   M        Nê 31 ã ấ ế 1 0 ị: e    0 1 A t n phần tử  Tồn phần tử đối V i M  A : a b  ad  bc  c d det  M   ọi ma trận M  A đề C o ê ận nghị  d b    A ad  bc  c a  M 1  N ƣ ậy tập hợp A v â ậ : ẠI Đ V i M , N  A é đảo b1   aa1  bc1 ab1  bd1   d1   a1c  c1d b1c  dd1  b d  C Ọ H  a b   a1 M N     c d  c1  a b  a   1   c1 d1   c  N M SƯ â ậ ẠM o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é PH Ta kết luậ A    x ận A     â ả o oá Lời giải T eo đị ể ất sau:  Tính kín 32 0 0   0   , x, y  R  0    y 1 ?  0 0     0   x1 ; x, y  R  , N   0      0 y 1    x Gọi M     V i M , N  A Do đ ậ ợ 0 y1  0   0  ; x , y  R 0 1    1 : 0   0   x1   y  1 x M N   0  0 0 ậ A 0 0 y1 é 0    x  x1  0    1  â ậ ỏ 0 0 y  y1 0  A 0  1 ã ẠI Đ  Tính chất kết hợp  0 0     0   x ; x, y  R  , N   1 0      0 y 1 C Ọ H SƯ    x Gọi: M     1  x  M N .P      0  0   0  ; x1 , y1  R  , 0    1  0  0   ; x2 , y2  R  0    y2  ẠM V i M , N , P  A 0 0 y1 PH    x P     0 0 : 0 0   0   x1 0   y 1  33 0 0 y1 0      x2 0       0 0 0 y2 0  0  1  x x  x     0 0 y  y1  y2 0    0    x1     y     M  N P  1 x  0  0 Do đ ậ ợ ậ A é 0 0 y1 â 0  0  1 0    x2 0   1  ậ ỏ 0 0 y2 ã 0    0    ấ ế ợ Đ  Tồn phần tử đơn vị 0  1 0   0   y  C Ọ SƯ n phần tử 0 0 0  0  0 1 ẠM 1 0 ị: e   0  0 0 0 1 0   x  0    0 1 0 PH Nê A 0 0  1 0   x  0    0 1 0 H 1 0 M  0  0 : ẠI V i M  A  Tồn phần tử đối V i M  A : det  M   C o ê 0 x 0 0 0 y ọi ma trận M  A đề   ận nghị 34 đảo 0 0 0  M 0  y 1 N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N  A 0   A 0  y 1 é ậ â 0 0 1   x 0   1 0 ẠI Đ y1 0 0 y1 SƯ â 0 y  y1 0  0  1 : ẠM oá S3 PH Lời giải ị phần tử Bả â ƣs : 12 (12) 123  213  123 Do đ : 1212  e ƣơ o oá b (123)(23)(12)11 Tiế 0 0 0   N M 0  y 1 a (12)(23)(321)4 đị 0    x  x1  0    1  C Ọ H ng bảng S3 0 : Ta kết luậ A Bài 7: Xâ 0 0   0   x1 0   y 1  1 x M N   0  0 1 x  0  0   x 1 M     ta thu đƣợc bảng : 35 đƣợ e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12 23 321 T (123) (321) 12 23321  123321321 321  e 123 2312 11 Đ b T 11 ẠI (123)  2312   12 .e.12   e H ận D((12)) biểu diễ S3 C Lời giải S3 ả â : SƯ N q Ọ Bài 8: T (12) (23) (12) e (123) PH (23) (321) e (31) (123) (321) (123) (31) (321) (23) Trong biểu diễ q (31) (123) (321) (321) (23) (13) (123) (31) (12) e (12) (23) (12) (23) (321) e (31) (12) e (123) i phần tử ƣơ ẠM e o e ơ sở tr c chuẩn ứng v i m t e e  e , 12   g2 , 13  g3 ,  31  g4 , 123  g5 , 132   g6 T : 36 D  g1  g  g1 g  D  g   ij  ei D  g  e j Từ đ đƣợc: 0 1  0 D  12     0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 1  0 0 0 0  0 0 ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH 37 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ đƣợc mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đƣợ C ú ê q ậ đƣợ o c hiệ ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá ế s ất đƣợc m t số dạng ý ê q V ận đƣợ đến vậ ý đƣợc b s o đƣợc ý, ch dẫn c a thầ ê ứ ỏi thiế s Ọ H ắc chắ C ạn để ẠM PH 38 ậy, SƯ H e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết ẠI ý ọ Đ phứ oá oá m t số đƣ ng hợ oá o ệ ƣ ý ết ê ê mong nhận ậ đƣợ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, ẠI Đ NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for H Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific Ọ C [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World SƯ Scientific ẠM PH 39