Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số lớp nhóm quan trọng

LỜI MỞ ĐÀULý thuyết nhóm xuất hiện lan đầu trong công trình của nha toán học Pháp Evariste Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu vẻ điều kiện để các phương trình đại số giải được bằng c

TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HO CHÍ MINH

KHOA TOAN - TIN

VO THI VAN ANH

Đề tài

LUẬN VAN CỬ NHÂN SU PHAM TOÁN

Chuyên ngành: ĐẠI SÔ

Giáo viên hướng dẫn: PGS TS MY VINH QUANG

TP HÔ CHỈ MINH - 2009

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong tổ Đại số, quý thay cô

trong khoa Toán — Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã cung cấp cho

tôi nhiều kiến thức làm nén tảng cho quá trình làm khóa luận này, Tôi xin chânthành bảy tỏ long biết ơn đặc biệt đối với thay PGS TS My Vịnh Quang đã tận tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này.

Võ Thị Vân Anh

LỜI MỞ ĐÀU

Lý thuyết nhóm xuất hiện lan đầu trong công trình của nha toán học Pháp Evariste

Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu vẻ điều kiện để các phương trình đại số

giải được bằng cin thức Khi đó các nhóm thường được nghiên cứu là nhóm cáchoán vị Nghiên cứu về điều kiện để các phương trình đại số bậc n giải được bằng

căn thức liên quan đến một lớp nhóm đặc biệt, đó là lớp nhóm giải được

Trong khuôn khổ của khóa luận này, tôi trình bảy về định nghĩa, tính chất của lớpnhóm giải được và một số lớp nhóm con của nó, đó là một số lớp nhóm đặc biệt:

nhóm lũy linh, nhóm polycyclic, nhóm siêu giải được và mối quan hệ giữa chúng

Đây là những lớp nhóm có thể được xem là được xây dựng tir những nhỏm abel bằng cách lặp đi lặp lại việc mở rộng nhóm.

Nội dung của khóa luận này bao gồm:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi đưa ra những kiến thức cơ bản (các định nghĩa, tính chất,

mệnh để) để chuẩn bị cho chương tiếp theo

Chương 2: Một số lớp nhóm quan trọng

Chương này gdm 5 mục lớn Từ mục | đến mục 4, ở mỗi mục, các lớp nhỏm déu

được nghiên cứu ở các mặt: định nghĩa va một số tính chất cơ bản của lớp nhóm,

mối quan hệ của lớp nhóm này với những lớp nhóm đã được nghiên cửu ở nhữngmục trước, diéu kiện cần và đủ để một nhóm là nhóm ta đang nghiên cứu (nhóm

giải được, nhóm lũy linh, nhóm polycyclic, nhóm siêu giải được) Riêng mục 5, tử

những kết quả ở các mục trước, tôi đưa ra sơ đồ mối quan hệ giữa các lớp nhóm

Trong các quan hệ 46 có những quan hệ chỉ lả một chiéu, chẳng hạn: nhóm lũy linhthi giải được, nhưng không phải mọi nhóm giải được đều lũy linh Ở mục này, tôiđưa ra những ví dụ để cho thấy các mối quan hệ một chiều đó

MỤC LỤC

| | 1“ .s.= - - e.e e 1

EG MỜ ĐẦU aii scsi RR RRR aaa 2

MUREEUOE u16 c2 42305400200220610i36GGAL124GG351602858010G3GG0Z(GG340u0x38 3

BAN 8 HD ácoeaseo dai 6 2ii0e6atateuoeoiiadnesoias 4CHƯƠNG 1: KIEN THUC CHUAN BỊ - 2S S322 22 2x2 czxrrsee 5

CHƯƠNG 2: MỘT SO LỚP NHOM QUAN TRỌNG 5555553322 16

Gs UMMM ME reper issih ceca aaa cls na bana tae 16

1.1 Định nghĩa và các tính chất CO BGM o 0 00.scccseecsssssseersvesneseseonsnneen l6

CE N NtưïÏŸÏïjÏ 1ï #_{j{Ä~ ă, 19

1: Nhãn lâY Mia sso ee

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bảm 2-22 ©22©csccccszczvee 2

2.2 Chuỗi tâm trên và chuỗi tâm dướï - 6-22 ©2s+csecssstcsz2 25

-.ễaảẳ 32

& NHÀ polgeyele ack ices eee ee Seika 37

% MỆÊVãÌVTÏỦN: (<2 esi 2404GGÀ60 SC&GiaikSd(Gestit 40

STALL CCG) 1) 1, a onc ce ce 47

tâm của G

số hạng của chuỗi tâm dudi

số hạng của chuỗi tâm trên

số hạng của chuỗi đạo ham của G

tập các tự đẳng cấu của Gtập các tự đồng cấu của G

CHƯƠNG 1: KIÊN THỨC CHUAN BỊ

[~.z|[x.»Ƒ = (x12 xz) 2" (xy tay) 2 = 2 (yz) x02) = [2,92]

Gil) [Jaa] =x"(y!) on") (ety) =

=[xz"] = Í~»}' Ì

[x!z]x2Ƒ” =e) yey) (eyo) =

(iti) Nếu K =(Y) thì [X,K]=[X,Y

Trong đỏ X,"* được định nghĩa là X," = (x, = x,"x,x,|x, €X,,x, €X,) (XX,

là tập con của một nhóm).

Chứng minh

(i) Ta có: z[x,k]= x(x”'k''xk}=&k xk =x',Vxe X,k eK

Nhóm con X* được sinh bởi tắt cả x‘, với xe X,k e K

Nhóm con (X,[X,]) được sinh bởi tit cả x[x,k] (xe X,k e K)

Do đó X* ={X,[X,X]).

(ii) Ta có:

[X.K]Í là nhóm con được sinh bởi tất cá [x,*,]” (x e X,k, e K,k, e K)

[X,K] là nhóm con được sinh bởi tất cả [x,k](x X,„k e K)

[X.Y|Í là nhóm con được sinh bởi tất cả những phẩn từ [x,y]' với

xeX,yeYkek

* Chứng minh [Y, |< [x.y]

Xét [x,k]e[X,K] với xe X kek

Vì K =(Y) nên ta có thé viết k = yƒ y§' vÉ*, với y, e Ÿ„£, = +l

Nếu m=1 thì [x,k]=[ x,y# |e[X.Y]

Với n>1, đặt k,., = yƒ! y$ ví») Ta có:

[x.#]=[~„.w# ]=[~.x# [eal

Ta chứng minh [x,È„ | e[X,Y ]Ÿ

+Néu „=2 có ngay [x,k„ ]=[ x,yệ' |e[X.Y

+Nếu m > 2 thi lặp lại quá trình trên và do [x,k]e[X,Y]“ khi & = y“ nên ta

vụ 'xg € H(x):g 'xe = 8 '(øayei')e =(&š'8)` »(gi's)e H(y)

Vụ 'ygc H(x):gˆ'yg = 8 '(8s xø,)ø = (a8) ” y(ssg) € H(z)

Vậy H(y)= H(x).

(ii) Từ nhận xét (i) ta có, nếu có hai lớp liên hợp H(x),H(y) thì chỉ có thể xảy

ra một trong hai khả năng H(x)H(y)=Ø hoặc H(x)= H(y) Vậy G được

chia thành các lớp liên hợp.

(iii) Nếu x€¢G (tám của G) thì H(x) = {x}

Thật vậy:

=y 'xy=z”`xz z(y"xy)y" =z(z'z)y"

=> (zy"')x = x(zy")= zy" © Cy (x) = yC¿ (x) = zC¿ (x)

Vậy œ đơn ánh.

* œ toàn ánh

Vự 'xg = ye H(x)— 3§C, (x):e(øC, (x))= 9°38 = y

Vậy ø toàn anh.

Do đó ø là một song ánh tử tập những lớp ghép trái của C, (x) vào H(x) Từ đó

suy ra |G: C, (x)|=|H(x)].

Ménh dé 0.4

Một p-nhóm hữu han không tâm thường có tâm không tâm thưởng

Chứng minh

Giả sử G là một p-nhóm hữu hạn không tim thường, có cấp là p”(m 21) và có k

lớp liên hợp phân biệt Giả sử số phan từ của các lớp lần lượt là »,,m, nụ

Theo mệnh để 0.3 ta có ø, =|G:C,(x,) (i = l,2 k), với x, là phần tử nào đó

thuộc lớp liên hợp thir i,

Vì G là nhóm hữu hạn nên theo định ly Lagrange ta có n, là ước của |G|= p", hay

n, = p'(i, e0,m).

Do G có k lớp liên hợp phân biệt nên có: pTM =|Gl=n, +n, + + m

Ta giả sử G có tâm tầm thưởng, tức là CG =1 Theo nhận xét (iii) trong định nghĩa 0.4, ta có //(1) = {1} là lớp liên hợp duy nhất của G có một phần tử Tức là tổn tại

duy nhất 1, = lÚ =0)

Suy ra

p" =n, +n, + +n, = Ìmod p

=> m= 0(vô ly)

Vậy €G #1

Định nghĩa 0.5

Một nhóm G được gọi là thỏa điểu kiện max nêu mọi họ khác rỗng những nhóm con

của G, xếp thứ tự theo quan hệ bao ham, đều có phần tử tối đại.

N, <N, < <N là một chuỗi các nhóm con của N

H,N/N <H,N/N < <G/N là một chuỗi các nhóm con của G/N

Vì N.G/N thỏa mãn diéu kiện max nên tổn tại r > 0 sao cho

Nhóm G thỏa điều kiện max khi và chỉ khi mọi nhóm con của nó đều hữu han sinh

e G là nhỏm thỏa điều kiện max, ta chứng minh mọi nhóm con của G đều hữu

hạn sinh

12

Dùng phản chứng.

Giả sử H là một nhóm con không hữu hạn sinh của G.

Lay he H, thì H,=(h)¢H và tồn tại h, €H\H, Vì vậy H, < H, =(h,,h,) và

H, #H Chọn h, e H\H, thì H, < H; < Hà = (h,,h,.hị) Cứ như thé ta xây dựng

được một chuỗi vô hạn các nhóm con của H, hay đó là một chuỗi v6 hạn các nhóm

con của G Điều này không thé xảy ra

Vậy H phải hữu hạn sinh

se G là nhóm có tinh chat: mọi nhóm con của nó đều hữu hạn sinh Ta chứng

minh G thỏa điều kiện max

Giả sử có một chuỗi vô hạn các nhóm con của G: H, < H, <

Đặt =(} „, H,

Khi đó H cũng là một nhóm con của G nên hữu hạn sinh Giả sử H được sinh bởitập hữu hạn {x,„x;, x,Ì, tức là H = (x,,x; x,) Với một số n đủ lớn thi mọi x,

đều thuộc vào H, Vì vậy H =H,

Vậy G thỏa điều kiện max

Đặc biệt: G thỏa điều kiện max thì G hữu hạn sinh.

G là nhóm cyclic thì G thỏa điều kiện max

Mệnh đề 0.7 '

Cho H là nhóm con và N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó NOH 4H

và (NrxH)xt> Nx là một đẳng cấu từ H(NrvH vào NHỊN

Chứng mình

a@:x+ Nx là một toàn cấu từ H lên NH/N

Kera ={x€ H |a(*)= lu,y} ={x e H| Nx =1u,„}

={xeH|xeN}=NAH

Do đó NOH 4H và H/NOH = NH/N (định lý đẳng cấu Noether).

13

Cho #<Œ H được gọi là nhóm con đặc trưng trong G nếu và chỉ nếu

a(H)< H,Ya e AuG.

Nhân xét Néu H la đặc trưng trong G và œeAwG thì a(H)=H (vi

ø(H)< H,#'(H)< H)

14

Định nghĩa 0.7

Cho H<SG H được gọi là nhóm con bắt biến day đủ của G nếu va chỉ nếu

a(H)s H,Ya e EndG.

Mệnh đề 0.9

Nếu H là đặc trưng trong K và K 4G thì H aG

Chứng minh: Với mỗi g eŒ ánh xạ:

Nếu G là một nhóm cyclic hữu han, H là nhỏm con cấp nguyên tổ p của G thi H là

nhóm con đặc trưng trong G

Chứng mình

VxeH x?=l

Vae AwG, ta có 1= ø(I)= œ(x?)= (ø(x))”, mà p la số nguyên tố nên a(x) có

cấp là 1 hoặc p Vì vậy a(x) H (H là nhóm con cấp nguyên tố p duy nhất,của G)

Vậy H là nhóm con đặc trưng trong G.

l§

sao cho G, 4G,,, và mỗi nhóm thương G,,,/G, (i= 0,n-1) là nhóm abel.

Chuỗi trên còn được gọi là chudi abel.

Vị dụ:

i, Nhóm abei lá nhóm giải được.

ii, Nhóm đổi xứng S, là nhóm giải được (không abel), với chuỗi chuẩn tắc

e=G, SG, SG, =S,, trong đó G, = ((123)).

Định nghĩa 1.2

Cho G là một nhóm giải được Chiểu dai chuỗi abel ngắn nhất của G được gọi là

chiều dài đạo hàm

() Nếu G là nhóm giải được thì H là nhỏm giải được

(ii) Néu G là nhóm giải được thi G/N là nhóm giải được

(iii) Nếu N,G/N là nhóm giải được thì G là nhóm giải được

16

Vậy H có chuỗi abel | = H, < H, < < H, = H, hay H là nhóm giải được.

(ii) G là nhóm giải được nên có chuỗi abel | = G, < G, < <G, = G

Do N là nhóm con chuẩn tắc của G nên ta có G 4G „M(¡=0,n~1) và

Vậy G/N là nhóm giải được.

(iii) N là nhóm giải được nên có chuỗi abel 1= M, < N, < < N„ =

G/N là nhóm giải được nên có chuỗi abel

NỊN =G,/N $G,[N< $G,/N =G/N

Từ dé ta có l= N, < N, S <N,=N=G,SG,S <G, =G, trong đó

N,,,/N,(i=0,n—1) là nhóm abel

17

G, /G, z(G ,/N)/(G,/N) là nhóm abel

Vậy G là nhóm giải được.

Hệ quả 1.1

Cho G, H là nhóm E là mở rộng của nhóm G nhờ nhóm H Khi đỏ nếu H, G giải

được thì E giải được.

Chứng mình

E là mở rộng của nhỏm G nhờ nhóm H nên có NE sao cho Ne2H và

E/N šG Do H, G giải được nên N,E/N giải được.

Theo mệnh dé 1.1(0¡) ta có E lả nhóm giải được

Mệnh đề 1.2

Tích của hai nhóm con chuẩn tắc, giải được là một nhóm giải được.

Chứng minh

Cho M aG,N 4G vả M, N là nhỏm giải được Ta cần chứng minh MN giải được

Theo mệnh dé 0.7, ta có MAN <M và MN/N=M/MAN

Vì M giải được, MAN <M nên theo mệnh để 1.1(ii) ta có AZ/AZZ+N là nhóm giải được Kết hợp với MN/N=M/MCN tacó MN/N là nhóm giải được Mà

N là nhóm giải được, do đó theo mệnh dé 1.1(iii) có MN là nhóm giải được

(Thật vậy, gọi A là tập hợp các nhóm con chuẩn tắc giải được của G Vì le A nên

A Ø, và do G là nhóm hữu hạn nên A là tập hữu hạn, tức là A ={ X,„X; X,Ì,

với X, 4Œ và X, là nhóm giải được

Theo nhận xét (i) ở trên ta có, nếu đặt S =X X, X, thì S là nhóm con giải được

Vậy S là nhóm con chuẩn tắc giải được lớn nhất của G)

(iii) Từ nhận xét (ii) ta có G(S là nhỏm nửa đơn, tức là G/S không có nhóm con

abel chuẩn tắc không tầm thường Do dé, mọi nhóm hữu hạn đều là mở rộng của

một nhóm giải được nhờ một nhóm nửa đơn.

(G/S là nhóm nửa đơn, vì:

Nếu N/S aG/S,X/$ là nhóm abel, N#G,N z 8 thi

N/S là nhóm abel=> N/S giải được, mà S giải được, do đó theo mệnh để I.1(ii) ta

có N giải được

VxeŒ,ne N,x"'nxS =(x$) '(nS)(xS)e M/S (vì M/$4G/S)

=x'neN WNsŒ

Vậy N là nhóm con chuẩn tắc giải được của G và chứa S thực sự (mâu thuẫn với

Do đó G/S là nhóm nửa đơn Vì vậy, mọi nhóm hữu hạn G là mở rộng của nhóm S

giải được nhờ nhóm nửa đơn G/S).

1.2 Chuỗi đạo hàm

Cho G là một nhóm.

Đặt Gi") = (o”) = [6,6], với n>0

Khi đó G=G” 2G!" 2G"! 2 được gọi là chuỗi đạo ham của G

19

THƯ VIỆN

Trưỡng Đại-Học Sư-Pham

TP HỐ.CHÍMNH |

Nhận xét: G')/G'TM" 1a nhóm abel.

Thật vậy:

vxơ“°!, yal) e Gigi"

xGt"") yGf*) = Gi" =(wơ""Ì( ».x|@“°")

(i) Néu G/N là nhỏm abel thì [G,G]< N.

(ii) Ngược lại, nếu [G,G]< N thi G/N là nhóm abel.

(ii) WxN,yN eG/N

xN.yN = xyN = xyN.[y.x]N = xy(y'x"'yx)N = ya = yN.xN

=> G/N là nhóm abel.

20

ot =[ G"!,Gt Ì <[G,,.G_.] (giả thiết quy nạp)

Vì G, „/G, „„„y là nhóm abel (do G là nhóm giải được) nên theo bổ để 1.1(i) ta có

Chiểu dài của chuỗi tâm ngắn nhất của G được gọi là /ép lity linh của G.

Nhân xét: de thấy nhóm lity linh là nhóm giải được (G,,,/G, là nhóm abel do nằm

trong tâm của GÍG, ) và mọi nhém abel là nhỏm liặy linh.

Sau đây lả một mệnh dé cho ta vi dụ vẻ nhóm lũy linh:

Mệnh đề 2.1

Một p-nhom hitu han là lũy linh.

hung minh

Cho G là p-nhóm hữu hạn có cấp p”

(i) Néu m=0 thi G =1, hiển nhiên G là nhóm lũy linh

(ii) Nếu m>0 thi G là p-nhóm không tắm thường

Theo mệnh dé 0.4, G có tâm không tắm thường G, = ¢G Suy ra G/G, lả p-nhóm

hữu hạn, số phần tử của G/G, nhỏ hơn số phần tử của G (nhỏ hơn thực sự)

+ Nếu G =G, thi ta có 1=G, <G, = G là chuỗi tâm (vì ¢(G,/G,) =G,/G, ).

Do đó G là nhóm lũy linh

+ Nếu G#G, thì G/G, là p-nhóm hữu hạn không tầm thường.

Theo mệnh đề 0.4, G/G, có tâm không tằm thường G,/G,(G, >G,) Suy ra

(G/G,)/(G;/G,) = Gj/G, là p-nhóm hữu hạn, và |G/G,|=|(G/G,)/(G;/G,)|<|G/G|

Nếu G = G, thì 1=G, <G, <G, = Œ là chuỗi tim, Do đó G là nhóm lũy linh

Nếu G # G,: ta làm tương tự như trên (lặp lại)

2

Vi số phần tử của G/G, luôn nhỏ hơn số phần tử của G/G,,, và G là nhóm hữu hạn

nên sau nhiều nhất m lan làm như trên ta cỏ 1=G, $G, < <G, =G (0<k<m) là

chuỗi tâm.

Vậy G là nhóm lũy linh.

Nhân xét: Vi mọi nhóm lity linh là nhóm giải được nên từ mệnh dé 2.1 ta có

p-nhóm hữu hạn là p-nhóm giải được

Mệnh đề 2.2

Cho G là một nhỏm lũy linh, N 4Œ, H <Ơ Khi đó:

(i) H là nhóm ly linh.

(ii) G/N là nhám lũy linh

(iii) Nếu A,A,, A, là nhỏm lity linh thì A, x A, x x A, lity linh

Chứng minh

(i) G là nhóm lũy linh nên có chuỗi tâm l=Œ,<G,< <GŒ,=Œ sao cho

G,,,/G, nằm trong tâm của G/G,(¡ = 0,1, „— 1

Đặt 7 =G ¬H

Ta có I= #f, s H, < < H, = H là chuỗi gồm các nhóm con chuẩn tắc của H.

Ta chứng minh H,,,/H, nằm trong tim của H/H,(i=0,1, 2-1)

Vậy H,,,/H, nằm trong tâm của H/H, (¡ = 0,1, „—1)

Do đó H là nhóm lũy linh.

(ii) Gla nhóm lũy linh nên có chuỗi tâm 1 = G, <G, < <G, =G

N là nhóm chuẩn tắc nên có N/N=NG,/N<NG|NS <NG,/N=G/N là

chuỗi gồm các nhóm con chuẩn tắc của G/N

Ta chứng minh (NG,,,/N)/(NG,/N) chứa trong tâm của (G/M)/(NG,/N), hay

NG,,,/NG, chứa trong tâm của G/ NG, (i =0,1, 2—1)

Lấy cố định bắt kỳ mxNG, e NG,,,/NG (ne N,xeG,,,),yNG, eG/NG,

=> NG,,,/NG, chữa trong tâm của G/ NG, (i = 0,1, n-1)

Vay G/N là nhóm lũy linh.

(iii) Ta chứng minh cho trường hợp 1 = 2

Giả sử G, K là những nhóm lũy linh Khi đó

K,4K GxK,4GxK Mặt khác

là chuỗi tâm của nhóm Gx K

Vậy Gx K là nhóm lũy linh.

2.2.Chuỗi tâm trên và chuỗi tâm dưới

Định nghĩa 2.2

Cho G là một nhóm

Chuỗi Œ =y,G >y;G > trong đó y„„,G =[y„G,G](» >1), được gọi là chuỗi tam

dưới của G.

Chuỗi 1=¿¿G<£/G< , trong đó ( G/£,G là tâm của G/£„G, được gọi là

chuỗi tâm trên của G.

Bồ dé 2.1

Cho G là một nhóm, N 4 H < G,N 4G Khi đó [H,G]< N œ HN <£(G/N)

25

(li) ¥,G là nhóm con bắt biển đẩy đủ của G.

Ta chứng minh nhận xét trên bằng phương pháp quy nạp:

+ y/G = G hiển nhiên là nhóm con bắt biến đầy đủ của chính nó.

+ Giả sử y,G là nhóm con bất biến đầy đủ của G (n> 2) Ta chứng minh

y„„GŒ là nhóm con bat biển day đủ của G.

Ta có:

Va e EndG,V[x,g]ez„.\G (x ey,G,g €G)

a([~.ø])=a(x'e”xg)=a(x")a(ø")a(x)a(ø)

=(a(x)}ˆ(a(ø))”.a(x)z(ø)=[a(x).a(ø)]ez G

Mà y„„,G được sinh bởi tất cả các phần tử [x,g | trong đó x e y„GŒ, g €G.

Do đó @(y,,,G)<7,,,G, hay ,,,G là nhóm con bit biến đầy đủ của G.

26

Vậy y„G là nhóm con bất biến day đủ của G (n 21).

(ii) @G=¿G.

(iv) ¢,G là nhám con đặc trưng của G.

Ta chứng minh nhận xét (iv) bảng phương pháp quy nạp

+ ¢,G = {1} hiển nhiên là nhóm con đặc trưng của G

+ Giả sử đ,G là nhóm con đặc trưng của G Ta chứng minh é, G là nhóm

con đặc trưng của G,

Do đó ¢,,,G là nhóm con đặc trưng của G.

Vậy ¢,G là nhóm con đặc trưng của G (n >0).

Mệnh đề 2 3

Cho 1 =G, < G, < <G, = G là chuỗi tâm của nhóm lũy linh G Khi đó:

(i) rG4G,,„,⁄„G=l(ii) G<fG.6,G=G

(iii) Lép lũy linh của G = chiều dài của chuỗi tâm trên = chiều dài của chuỗi tâm dưới.