Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh TriLỜI NÓI ĐÀU Các định lý điểm bat động mặc dù xuất hiện tir rat lâu nhưng những ứng dụng của chúng đến ngày nay vẫn có y nghĩa khoa học và thực ti
Trang 1BO GIAO ĐỤC VA DAO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TPHCM
KHOA TOAN- TIN
SP
LUẬN VAN TOT NGHIỆP
CHUYEN NGANH GIẢI TỊCH
GVHD:PGS.TS LE HOAN HOA
SV IEE NGUYEN MINH ERI
VISSV: h 411.101 090)
PPCM Phang S nam 2009
Trang 2MỤC LỤC
LEH NOM DAU Go =saenncnerreenngronnteeeneriniritrittintdrtRDDRINR2NE5- 8p 1
CHUONG |: KIÊN THỨC C HUAN BBY -:coacczczcct202010255600101256535000501682850202.0898885858.555 4
1.1: ÄB8hifã?CiRREEruscarttttesgiRi0tiitinGEiiniStiiGãGBRGl0ìS0NSE0EUTRSiãi880ã0ug0xsöe 4 122: DinhilF (Nguyen lý ánR'XẠICO)?ccccceceeeroocioniorininioiiirtingiitd8n.g.8aãa58 4
Hệ quả 1.2.15 snenennnatnnnnenininninnnnnininninnnniiinnnininii 4
Hệ quả Ì L2 zttrnnstresrirtasnsroasign:810811050ãg0685155d:ga84388688/8.98858:58185855.9189181188288sa8 4
Hé qua 123 HT 01010100777 0700100070771 01/70 0/0707 70007 70/7/00 70/7 7011070011701 0 7 5
1.3: Không gian lỗi địa BBIOBBirninnaniasecctrittopgackca08846010000/20500195538i086) 5
1.4: Không gian Prechetsi.s:vescesavesesssyssvssscorssevsersvssvorverssescesneonvecssestacunevssersesieernsey 5
1.5: Tiêu chuan của Ascoli Arzela về tinh compact của M - ‹- 5 1.6: Định ly điểm bat động Schauder-Tychonoff: -52-55555ssccsec cổ
HỆ QUẬNhophopoaptiiinoiiotiiiniiastntggtG120510213362535115138398635553856853685958385558788812783885389838584 5
CHUONG 2: DINH LY DIEM BAT DONG KIEU KRASNOSEL'SKII TRONG
KHÔNG GIAN LOL ĐỊA PHƯƠNG,.¡escoccneoeeooeeocoooiaooaeoonooioo 6
NE CONC OAD ssvz6zz1254051655520926551581129595928595585589289ã883ã558158535ã58158ï888825695888ã9a4056542535531 6
Nhận Xét 2FÍsroiecititnoittiitgigit0015053970188508E5E850:00G131334038330343Et3Q638481,583gãgE 6
2.2: ĐỊNH LÝ DIEM BAT ĐỘNG KIEU KRASNOSEL'SKII: 7
Mệnh dé 2.2: (Nguyên lý hội tụ của Solomon L.eader): - - 7 ĐỊNH EY 222M Si sscsccssssssassasscssascsanscaacscsnsasarensacscaascsasveaiavsesiasetesescssaaasassersvesaeaes 7 Nhận xét cánh BÍkö8311515883ã5E515 5353 185532ã355555550583355555489555593186::252585058425043ã2sozpsessskr II
CHƯƠNG 4: TÍNH COMPACT LIÊN THÔNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA
Trang 3Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
LỜI NÓI ĐÀU
Các định lý điểm bat động mặc dù xuất hiện tir rat lâu nhưng những ứng
dụng của chúng đến ngày nay vẫn có y nghĩa khoa học và thực tiễn cao Các định lý
trên không ngừng được mở rộng, thu hút sức lực va tri tuệ của các nhà toán học
nhằm đáp ứng các yêu câu thực té của toán học
Các định lý điểm bắt động la các cau trả lời cho một bai toản tông quat sau
đây:
Cho C là một tập con của không gian X , 7 lả một ánh xạ từ C vào X Phải đặt
những điều kiện nào trên C,X và 7 dé có thé khẳng định sự ton tại của một điểm x„trong C sao cho Tx, = x,? Điểm x„ như vậy được gọi là điểm bất động của ánh
xạ 7.
Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được quy
về việc tìm điểm bat động của một ánh xạ thích hợp Ching hạn nêu X lả một
không gian tuyến tinh, / là một ánh xạ trong X y là một phần tử có định của X
thì nghiệm của phương trình f(x) = y chính là điểm bat động của anh xạ 7 xác
định bởi: T(x) = #(x)+x— y với mọi x € X Vi vậy các định lý điểm bat động
có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng va trong khoa học kĩ thuật noi chung
Những định lý điểm bat động nỗi tiếng đã xuất hiện tir đầu thể ki 20 các
định lý này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ vả không gian khác nhau, đã được
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung:
% thuyết điểm bat động Lý thuyết này gắn liền với tên tuôi nhiều nhà toán học lớn
như: Brouwer, Schauder, Kakutani Browder Krasnosel`ski Ky Fan Trong lý
thuyết này, ngoài các định ly tồn tại điểm bat động người ta còn quan tâm đến cầu
trúc của tập hợp các điểm bat động các phương pháp tìm điểm bat động và các ứng
cụng của chúng.
Luận văn này dé cập đến định lý điểm bat động Krasnosel`skii Định lý được
phát biểu như sau: Cho A' là không gian Banach va K 1a tập con lỗi đóng bị chặn
Trang 4Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
của Y Cho U là ảnh xạ co trên Á ( nghĩa la
lU(x)~ Ư(y)||< k[lx — yÏ'.0 <k <1) và € Tà toán tử hoán toàn liên tục trên K sao
cho /(x)+C(y)€ K với mọi x,y € K Khi do U + có điểm bat động trong K
Định lý này đã được mở rộng bởi Nashed va Wong, thay Ang va thay Hóa
đổi với trường hợp U là ¢-co và trường hợp U tuyển tính bị chặn sao cho U" là
ó-co với p nào đó, >1 Và bởi D.H.Tan đối với trường hợp U là (e = ổ)co.
Mục đích chính của luận văn nảy là nghiên cứu một vài định lý điểm bắt
động kiểu Krasnosel`skii trong không gian lôi địa phương với toán tử dang U + C
trên một tập con Idi đóng bị chặn của không gian lôi địa phương trong đó C là toán
tư hoàn toàn liên tục va LU thỏa mãn điều kiện (A) được xác định chính xác như
sau:
DIEU KIEN (A):
Cho X là không gian vectơ tôpô lỗi địa phương và P là một ho nửa chuẩn tách trên
X, D là một tập con của X và U: D> X Với bất ki a € X, ta định nghĩa:
U,: D— X boi U„(x)=U(x)+a.
Toán tử Ư :D—> X được gọi là thỏa điều kiện (A) trên tập con Q của X nếu:
(A.1) Với bắt ki aeQ,_ U,(D)cCD
(A.2) Với bat kì a Q, và pe P, tén tại k, € Z, với tính chất: Ve >0,3r EN va
é>0 sao cho Wx,ye D,ø”(x,y)<£+ ở z?(U/(x).U; (y))<£ trong đỏ
a?(x.y)= maxÍ p(U/(x)~U¿/(y))i 7 =0,1 &,} W ={l,2,3, } và
Z, =NU {0}
Vì trình bay ứng dụng của những định lý nay để khảo sat sự tôn tại nghiệm của các
phương trình tích phan.
Luận văn gềm bốn chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc nghiên cứu luận van
được ro ràng, dé hiéu
tw
Trang 5Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Chương 2: Trình bảy một số định lý điểm bat động kiểu Krasnosel’skii
trong không gian lỗi địa phương và được chứng minh khá rd rang, chỉ tiết
Chương 3: Ung dụng các định lý điểm bat động kiều Krasnosel`skii đã trình
bảy để khảo sát sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân trên không gian
Banach.
Chương 4: Trình bảy các định lý vẻ tỉnh compaet, liên thông của tập nghiệm
dé khảo sát tính compact, liên thông cho tập nghiệm của phương trình tích phan.
Cudi cùng em xin chân thành cảm on thay Lê Hoan Hóa, thay đã giới thiệu
đẻ tài, tận tinh hướng dẫn dé em hoản thành luận van Em xin cảm ơn các thay cô
Khoa Toan- Tin DHSP.TPHCM đã truyền đạt cho em vốn kiến thức trong quá trình
học đại học.
Trang 6Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
CHƯƠNG |: KIEN THỨC CHUAN BỊ
1.1: Ánh xạ compact:
Định nghĩa:
Cho £ là không gian Banach, D la tập mở, bị chặn trong £ Ảnh xạ tụ DoE
được gọi là anh xa compact (hay hoàn toan liên tục) nếu ƒ liên tục và ƒ (D) là tập
compact tương đối trong E
1.2 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co):
Cho (.Y,đ) là không gian mêtric đầy đủ và 7`: X —> X la ánh xạ k-co Khi đó T có
điểm bat động duy nhất, ghi là x, và lim7”(x)= x„ với mọi x € X Hơn nữa
nnd(x,,T” << Tx) với mọi xe X.
Hệ quả 1.2.1:
Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ và 7: X —> X là ánh xạ Lipschitz.Giả sử
tồn tại p EN sao cho k(T”) < 1 Khi đỏ 7 có điểm bat động duy nhất ghi là x, và
lim7”(x) =x, trong (X,đ) với mọi x e X
Hệ quả 1.2.2:
Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ và 7: X —> X là ánh xa Lipschitz Khi đó
nn
1
ton tại &„ (T) = lim[ A(T") = = nt [Hr } Me Nhà điều kiện &,(7)<l là
cần và đủ dé tôn tại mêtric p tương đương với d sao cho: T:(X,p)—>(X,p) là
ánh xạ k-co.
Khi đó 7 có điểm bat động duy nhất ghi là x, và lim7”(x)= x, trong (X.đ) với
oom
moi xe X.
Trang 7Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Hệ quả 1.2.3:
Cho (X,d) là không gian métric day đủ và 7: —> X sao cho 7” là ánh xạ k-co với r là số nguyên đương bat kì Khi đó 7 có duy nhất điểm bat động.
1.3: Không gian lồi địa phương:
Định nghĩa: Không gian lỗi địa phương là không gian vectơ tôpô mả mọi lân cận
của điểm gốc déu chứa một lân cân lôi cũng của điểm góc Mọi không gian định
chuẩn đều là không gian Idi địa phương Một không gian lỗi địa phương tách là
định chuân được khi và chỉ khi nó bị chặn địa phương.
1.4: Không gian Frechet:
Khái niệm không gian Frechet là một sự mở rộng có nhiều ứng dụng của khong
gian métric và mang những nét đặc trưng riêng Một không gian Frechet được hiểu
là một không gian lỗi địa phương vả tôpô t trên không gian này được sinh ra bởi
một mêtric d bat biến hoàn toàn (nghĩa là: d(x + z, y +z) = đ(x, y) với mọi
x,},z€ X.
1.5: Tiêu chuẩn của Ascoli Arzela về tính compact của M trong
c((9.2].R) như sau: M bị chặn déu, đăng liên tục Khi đó tôn tại day x„(/)trong
M hdi tụ đều về x(/) trong C{{0.ỏ].)
1.6: Định lý điểm bất động Schauder-Tychonoff:
Cho E là không gian Hausdoff, lồi địa phương, cho 7: K > E là ánh xạ liên tục.KCE là tập lôi và TK C ACK với A là tập compact Khi đó trong K tôn tại ítnhất một điểm bat động đối với ánh xạ 7 Tức là: x, e K : Tx, = x,
Hệ quả:
Cho £ là không gian Banach và K C E đóng bị chặn và lôi Nếu 7 :K > K la
ánh xa compact thì 7 có it nhất một điểm bat động trong K
Trang 8Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
CHƯƠNG 2: ĐỊNH LY DIEM BAT ĐỘNG KIỂU
KRASNOSEL’SKII TRONG KHÔNG GIAN LOI DIA
PHUONG
2.1: Giới thiệu:
Cho X là không gian Banach và K là tập con lôi đồng bị chan cua X Cho U là
ánh xạ co trên K ( nghĩa là |Ư(x)— U(y)||< k|[x - y|.0 < & <1) và C là toán tử
hoan toàn liên tục trên K sao cho Ư(x)+€(y)€K với mọi x, y € Xk.
Khi đó một định lý nỗi tiếng của KRASNOSEL’SKII phát biểu rằng ảnh xạ
U +€ có điểm bat động trong K
Ta thiết lập một vải định lý điểm bat động cho những toán tử dạng U + trên một tập con lôi đóng bị chặn của không gian lôi địa phương, trong đó C là toán tử hoàn toàn liên tục va / thỏa man điều kiện (A) được xác định chính xác như sau:
DIEU KIEN (A):
Cho X là không gian vecto tôpô lỗi địa phương va P là một ho nửa chuẩn tách trên
X, D làmội tập con của X và Ư :2—> X Với bat kì a € X ta định nghĩa:
U,:D—¬ X bởi U (x)=U(x)+a.
Toán tử U :/2—> X được gọi là thỏa điều kiện (A) trên tập con Q của X nều:
(A.1) Với bất ki aeQ, U (D)cD.
(A.2) Với bất kì ae Q, và pe P tồn tại k, EZ, với tính chất: Ve >0,3r N và
5>0 sao cho Vx,ye Dia? (x,y) <e +tở=a?(U¿(x),U¿(y))< £ trong đó
a? (x,y) =max {p(U; (x)-U¿(y))¡/= 0.1, ,) N = {1,2,3, } và
Trang 9Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Ve>0,3ô>0:£ < p(x-~ y)<£ + => p(Ux - Uy) < e) khi đó U thỏa man
điều kiện (A) trên X với k„ =0 và r=l.
Trong trường hợp X là không gian Banach, ta sẽ xét toán tử hau như bị chặn theo
nghĩa sau:
lim sup ll <0,
| Low Ix|
éu 7 là một toán tử hầu như bị chặn, ta đặt I7| = tim sup I Và goi I7| la
| x
giả chuẩn của 7 Chú ý nêu 7 tuyến tinh bị chan, khi đó 7 chính xác bang với
chuẩn của 7 như toán tử tuyến tinh
Ta nhắc lại: Toán tử C được gọi là tuyển tính tiệm cận nều cỏ một toán tử tuyển
tuyến tính bị chặn B thỏa mãn điều kiện trên cũng hoàn toàn liên tục
2.2: ĐỊNH LY DIEM BAT ĐỘNG KIEU KRASNOSEL’SKII:
Mệnh dé 2.2: ( Nguyên lý hội tu của Solomon Leader)
Cho q:Z? —>[I,œ) là một ham số sao cho
q(m,n) S q(m,k)+ q(k,k)+a(k,n) Vm,nkeZ, (1)
Khi đó g(m,n)—> 0 khi m,n —> © nếu và chỉ nếu:
Vec>0,3reN và ổ>0 sao cho với ?z,c€ Z,,g(m,n) < £ + ta có
Trang 10Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Giả sử thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Q của X Khi đỏ toan tử (/ -U)
được định nghĩa tốt và liên tục trên Q
Chứng minh:
Ta chứng minh qua hai bước như sau:
Bước 1: Với bat ki a EQ toán tử U, có duy nhất một điểm bat động trên D gọi
là ó(a) và dãy lặp {Uz(x)}, hội tụ vẻ 6(a), Vx e D Hơn nữa ánh xạ
at $(a) là đơn anh.
Chứng minh bước !: Từ (A.2) ta suy ra với bắt kì @EQ va pe P 3k EZ, với
tính chất: Ve >0,3e N và ổ >0 sao cho
Vi vậy, Vx, y € D các dãy {u; (x)} „{UzO)}, là day Cauchy Hơn nữa D day
đủ theo dãy và liên tục nên suy ra dãy {U z(x)} hỏi tụ vẻ điểm bat động duy
nhất của Ư„ gọi là Ø(đ) nghĩa la:
U(¢(a))+a=¢(a) hay (-U)(9(a))=a
Ta nhận thay, nêu ¢(a),¢(6) là hai diem bat động của UU, va đ(đ) = 9(5) thi
U(¢(a))+a=U(¢(6))+6 => a=6 chứng tỏ ¢ đơn ảnh Vi vậy ¢ là song ánh
từ Q vào (Q) C D ma theo trên (1 -U)(9(a)) =a, Vae do đó
(1-U)=¢' hay đ=(f—-U)'`.
Trang 11Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
Điều nay có nghĩa là (/ -U) ` được định nghĩa tốt trên ©.
Bước 2: (I U) ` là liên tục trên ©.
Chứng mình : Với bắt kì ae Q, pe P và Ve > 0 theo điều kiện (A) 3re N vả
ở >0(ở <£) sao cho a?(U; (x).Uƒ(y)}<e Yx.ye D với #?(x.y)}<£+ổ.
Vi U liên tục đều nén U ( Vỉ =0,1, ) cũng liên tục đều, suy ra 3ổ,,0 < ở, < ổ
sao cho: p(x— y)< ổ, = p(U/(x)~ Ư;(»)) <0 với mọi ?= 0,I & (3)
Tương tự , sử dụng tinh liên tục đều của L7, chúng ta có thẻ xây dựng một họ
{ổ,}.i = 0,1,2, r — 1, sao cho với mọi ¿ = l,2, ,r = Ì
Oe =2
2
b) P(U(x)~U(y))< sổ với p(x— y)< ổ,
Nếu b€Q sao cho ø(a=ở) < ổ,., thi, vì limU;"(¢(a)) = đ(b) ta có:
p(#(a)~#(ð)) = lim p(#(a)~ Us" (6(2))).
Bằng phương pháp qui nạp ta suy ra:
Trang 12Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
=z(ø(a),U¿ (#(a)))< ð<e+ ở.
Giả sử (4) đúng với n, nghĩa là: a(9(a),U;"(d(a))) < £ + ổ, thì ta có:
2(#(a).U2””(ø(a)))<ø{ø(a),0; (07 (ø(a))))+e{(z (0z (ø(a))).0z*(ø(a)))
Cũng do z(@(a),U¿"(đ(4)))< e +5 nên theo điều kiện (A) ta suy ra:
Trang 13Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
p|U;”(U7 (ø(a)))-U;(Uz”"*(ø(a)))}<ö vi=0.1.2 k
Hay: ø(Uz(UZ(ø(4))).U2”""(ø(a))}<ö (**)
Từ (*) và (**%) => ơ(#(a).Uz”"”(ø(a))) <c*+ổ
Điều này kết thúc qua trình qui nạp.
Từ (4) suy ra:
Pp(#6(a)- U£'(ø(a)))< œ(ø(a).Uz"(ø(a))]< + <2e.
Cho z¡ —> ©, ta suy ra:
p(#(a)~ #(b)) = lim p(#(a)~ UZ (ø(a))) < 2e
Chung tỏ rằng ổ = (/ ~U} ` liên tục trên @.
Nhân xét 2.2.1:
Nếc ổ trong điều kiện (A) được chọn độc lập với a e Q, khi đó bước 2 suy ra rằng
toán từ (7 —) ` liên tục đều trên Q Đặc biệt nếu U là (£ = ở} co thỏa man
(A.L) với mọi aœQ, thì khi đó (/ -U)" liên tục đều trên @.
Định lý 2.2.2:
Che X là một không gian lôi địa phương day đủ theo dãy với một họ nửa chuan
tác! P D là tập con lồi đóng bị chặn của X , C : D —> X hoàn toản liên tục vả
U:D — X liên tục đều, thỏa man điều kiện (A.2) trên C(D) Giả sử rằng:
U(x)+C(y)sD Yx,yeD (7)
Khiđó U +C có điểm bat động trong D
Chirng minh:
Vi D đóng và từ (7) suy ra U(D)+C(D)c D Vì vậy U thỏa man điều kiện
(A.]) trên C(D) và do đó thỏa mãn điều kiện (A) trên C(D) Khi đó theo định ly
Trang 14Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
2.2: 0; (/ -U)' liên tục trên C(D) Vi Choan toàn liên tục va D bị chặn, tập
C(D) compact, nên suy ra (/ - uy" C(D) compact trong D Vi vậy (/ - uy! C
là toán tử hoàn toàn liên tục trên Ø2 Vi D lỗi đóng nên theo định lý điểm bat độngSchauder-Tychonoff, (ƒ — y" C có điểm bat động trong 2 nghĩa là tồn tại
x, € D sao cho
(/ -U)'C(x,)=x, hay x, =U(x,)+C(x,)
Do đó U+C có điểm bat động trong D
Hệ quả 2.2:
Cho X là một không gian lỗi địa phương day đủ theo day va là tập con lôi đóng
bị chặn của X , C: 2 —> X hoàn toàn liên tục và U: D> X là (£ - ổ)co Giả sử
rằng:
U(x)+C(y)eD Vx,yeD (8)
Khi đó U +C có điểm bat động trong D
Chứng minh:
Vi U là (e — 65) co, khi đó từ (8) suy ra thỏa man điều kiện (A) trên C(D) với
r =] và k=0 Do đó theo định lý 2.2.2, U+C có điểm bat động trong D.
Định lý 2.2 3:
Cho X là một không gian lỗi địa phương đây đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn
tách P và giả sử và Cla toán tử trên X sao cho:
i) U thỏa man điều kiện (A) trên X
ii) Với bất kì pc P, 3k >0 ( phụ thuộc p) sao cho:
p(U(x)-U(y))<kp(x-y) YVx,veX.
iii) Ton tại x, X với tính chất: Vp P,3re N và A €[0,1)
(rvà A phụ thuộc p) sao cho:
12
Trang 15Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
iv) Choan toan liên tục p(C(A))< với p(4)<œ,.4c X
Vì U thỏa mãn điều kiện (A), nên (/ =/} là một phép đồng phỏi trên X do do chỉ
còn phải chi ra rằng tỏn tại một tập con lỗi đóng bị chặn D của X sao cho với bat
kì x thuộc Ø2, điểm bat động duy nhất của Ứ,„„ thuộc về Ø2 Giả sử z„ là điểm
bat động của U, ( điều này có được đo định lý 2.2.1, bước 1) Với bất kì xe X và
pc€ePtacó:
Us (¥)- UL (y)=U(UZ(y)}—U(Uz*(y))+(C()~ x,)
VyeXx
Từ ii) va iii) ta suy ra rằng:
P(Us(z,)~z„)< P(UuUan (2) - UU)” (2.)) +
Trang 16Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Và D=e„„„Ð,„ Khi đó z, € D va D là lồi đóng va bị chặn
Với mỗi x Ð và pe P, ta xét hai trường hợp :
Nếu p(x-z,)SR,,,, thi theo (9)
P(U/ta(z,)~z„]< 8P(x,)+ 8R,„ < Rụ,
Điều này chota (7 (z,)< D,
° Neu R,, S$ p(x—z,„)< Ẩ,„ thi theo (9)
14
Trang 17Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
Điều này chota /,(Z
Suy ra rằng: unhại z,)eD VxeD
Vì D đóng và day (Uz na) (2 )) hội tụ về điểm bat động duy nhất ¢(C(x)) của
Ứ„y, nên 6(C(x))<Ð_ VxeD như thể ta có (/-U) 'C(D)c D Dotinh
hoàn toàn liên tục của C, tập ( -U) ”C(ĐÐ) (1 ~U) ` C(Ð) là compact tương
đối Khi đó theo định lý điểm bất động của Schauder-Tychonoff, (T—U y" C có
một điểm bat động trong 2, chính xác đó là điểm bắt động của U +C trong D
Cho X là không gian Banach, một sự mở rộng nồi tiếng về định ly: điểm bat động
của Schauder bởi F.E Browder phát biểu rằng: nếu C` hoàn toàn liên tục trên
X sao cho với k nào đó C*(X) bị chăn thì khi đó C có điểm bắt động Ta xét
toán tử dạng U +C trong đó U thỏa mãn điều kiện (A) trên X và C là toán tử
hoàn toàn liên tục, tuyến tính tiệm cận sao cho với k nào đó C*(X) hẳu như bị chặn Ta có một vài kết quả sau:
Định ly 2.2.4:
Cho X là không gian Banach và 7': Ý — X là toán tử dạng T =U + C trong đó
U liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X va C hoàn toan liên tục Nếu cả
hai trường hợp sau đúng thì 7 có điểm bất động:
Trang 18Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
iii) |C*|<1 với & nào đó # >],
trong đó 8 #0 là toán tử tuyến tính bị chặn trên XÝ.
Chứng minh:
Vì U liên tục déu va thỏa mãn điều kiện (A) trên X thì theo định lý 2.2.1,
(7—U)} là một phép đông phôi trên X
Với mỗi & € V, ta định nghĩa p, : X > X như sau:
Ps (x)=
nếu ||x||> &
Khi đó /ø, liên tục va (/ =} ` Cp, là toán tử hoàn toản liên tục trên X với
(1-U)'Cp,(X) bị chặn ( vì Cp, (X) compact tương đối ) Do đó theo định lý của Browder nó có điểm bất động x,, nghĩa la (7 - U}” Cp, (x,)= x, hay
CØ,(x,)=x,T—x, ˆ (10)
Nếu ta chứng minh được răng Í|x,||<k với k nào đó thì 7 có điểm bat động Vì
khi ||x,||< & => ø,(x,)= x, > C2,(x,)= C(x,) Mà Cp, (x,) =x, - Ux, nên
U(x,)+ C(x,)= xu, điều này kết thúc chứng minh
Bây giờ ta giả sử rằng ||x, |> k,Vk e N
Vi |x,||> &, (10) trở thành
{Ei- C(A,x,) =x, -Ux,, (11)
Vai 2, at «| |A,x,]=& Wk e M Ta giả sử rang
Trang 19Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
Bồ dé 2.2: Cho C va B thỏa man điều kiện b), ii)-iii) Khi đó tồn tại &, e[0,1) va
r, >0 sao cho với mỗi r > r,
Thật vậy (12) dung với m=1 Gia sử no đúng với m, khi đỏ
Sử dụng tính tuyển tính của B, ta thay rằng (12) đúng với m+l Vi:
C”"' =(B+Y)”"'=(B+Y)(B+Y)” =(B+ V)ŠBY(B+ VỊ”"'+(B+Y)B"
mt ”
=D B'Y(B+Y)"" + YB" +B""' = 3`B'Y(B+Y)*"' + 8"!
wd
17
Trang 20L.uận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Tri
Vi vậy theo qui nạp nó đúng với mọi m.
xe X:||x|]>7,, điều sau đây đúng |c”(x)| < alxÏ,|Y (x)||< ax}.
Giả sử r, >z, sao cho ¥(B"(0,7,)) c B'(O,ar,) và C(B'(0.7,)) c B'(O.ar, )( ở
đây B'(0,z) có nghĩa là hình câu đóng tâm 0, ban kinh r ) Với mỗi r >r, vả
Trang 21Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Nếu (8+ Y (x)] 2; thi khi đó:
[r(+r}(x)|<ø|(8+YJ (x)|<ø((8|+ ø +1} z
Dođó - |(ø+Y}”'(x)|<(|ẽ|+ø +1} r(ø +|B|)
<(|B|+ ø +1}.
Điều này kết thúc qua trình qui nạp và (13) được chứng minh
Tương tự ta có |r(z +Y} (x) <a(|Bl+a+l)r vx:|x|<r
Vx :||x||< r Bê đề 2.2 được chứng minh
Nhận xét 2.2.2: Nêu B và C thỏa mãn điều kiện b) ii) và điều kiện lc r| <1 được
thay thé bởi |87|< 1 với p nào đó p21, khi đó tương tự ta chứng minh được rằng tồn tại k, €[0,1) và r; > 0 sao cho với mỗi r >z; Ic’ (x) <kr, Vx:|xÏ[<r.
điều này chỉ ra rằng |C”| <k, với k, €[0,1).
Ta trở lại chứng minh trường hợp khác:
Trang 22Luan văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
tính hoàn toản liên tục của C, B là toán tử hoàn toản liên tục trên X va vi tap
A=54 of 2 } k &€ N > compact tương đổi , limz, = 0 nên ao đi] keN
Ix = bs]
cũng compact tương đôi va ta giả sử rằng day | hội tụ đến x, |[x]] =1 Fil
Cho k => œ, tir(14) suy ra AB(x)=x,2 €(0,1] hay 8(x)= 4 'x.
Tương tự do tinh tuyến tính của B, ta nhận được 8”(x)= Ä ”x với 0< ASI và
|x| =1 Điều nảy suy ra rằng với y = rx,|y||=r > r;.||B” (| =A "r với
0< Â <I, mau thuẫn với bỏ dé 2.2
20
Trang 23Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
CHƯƠNG 3: UNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
PHAN
3.1: Phương trình I:
Cho E là một không gian Banach với chuẩn | | và cho X là không gian các ham liên
tục trên [0.=) vào topo E, { p, } là họ nửa chuẩn định bởi: với mỗi x e X
Trong đó ¢ là hàm liên tục từ (0,20) vao E và f,g thỏa mãn những điều kiện sau:
(1) ƒ:{0,®)x E —> E là ánh xạ liên tục sao cho tồn tại hằng số & > 0 thỏa
mãn:
|ƒ(s,x)- /(s.y)|<k|x-y|, Vx,yeE.
(L2) g: {0=} x E — E hoàn toàn liên tục sao cho gít ): |x A liên tục đều
theo t trên khoảng bị chặn bắt kì, với tập bị chặn bắt ki
1 c[0,œ) và tập bị chặn ACE
(L3) lim sana =0 déu theo (t.s) trên tập con bị chặn của [0.<)
re |x
Ta có định lý tồn tại nghiệm sau đây:
Định lý 3.1: Giả sử rằng f,g thỏa mãn (1.1) - (1.3) Khi đó phương trình (1) có
nghiệm trên [0,0).
Chứng minh:
Trang 24Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
Cho U và C là những toan tử trên X được xác định :
U(x\(t)= [ƒ(s.x(s))ds
(15)
C(x) = Íaứ.s.xts))4s +Ø(),f > 0.
0
Rõ ràng la U(x) và C(x) liên tục trên [0.z ).De chứng minh định ly 3.1 chủng
ta cần các kết quả hỗ trợ của các bỏ đẻ sau:
Giả sử (16) đúng với n Khi đó ta có:
UT (xX) - U0] S [/(s.U?x(s))~ f(s.U7y(s)
a
22
Trang 25Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí
< ca Tàu ~y), VreQ([0,a],
Như vậy (16) được chứng minh.
trong đó p:[0,a]—> R là một hàm liên tục sao cho 0< p(t)Sa.W1 €[0,a] Khi
đó C là một toán tử hoàn toàn liên tục trên không gian Banach X, = C(|0,a],E)
với chuẩn ||x||_ = sup{x()|:f e[0,a]}.
Chứng minh:
Rõ ràng là C: X, => X„ Trước hết ta chứng minh rằng C liên tục
Cho {x,}_ là một dãy trong X, sao cho limx„ = x, Dat
Lit dối
B= {x,(s) :$€ [0.2].* eZ, } Ta thấy B là tập compact trong £ That vậy xét
{x, ()}” =1s 8 Ta có thé giả sử rang limr, = 1, và limx, = xụ Ta có: