Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Điều tra chất lượng lĩnh hội khái niệm giới hạn và một số biện pháp tích cực hóa hoạt động dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông

Qua tìm hiểu chất lượng lĩnh hội khái niệm, luận văn để xuất một số biện pháp sư phạm và qui trình đạy học khái niệm Toán học nói chung và khái niệm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA: TOÁN - TIN HỌC

TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG THPT

HO-CHI-MINH

CBHD: Thac si Nguyén Van Vinh SVTH: Nguyén Hoang Yén

Thành phố Hồ Chí Minh-THÁNG 5-2009

tài cảm on

LOG CAM ON

Soi đâu litn led xin chin thanh bay Ue ling bel on siu sắc ái thae dể Nguyén Van

Vinh, người dit hel ling giip de, huting din (ý hein thanh luin căm tél nghiép.

Din git let cám on chin hanh (ti các (đẩy có tung thea Fodn-Tin hee tuting Pai hoe Fit pham TpHOM dé cưng cap che lei nhitng bitin (tức b6 ich, cẩu hie, butte hél (à dé’

ting dung trong hhéa (uậm nay, sau dé la gái led wting lin hong sự nghitp gidng day sau

nay.

Thi cũng xin git lei cám on Ban Gidm Hitu mà cúc lhity cé gác lé Todn ede (hường

THIT Vi Thi Tia, FHPT vn Lye, THIT Hoang Hoa Thuim da gop ý chin lhinh mà đạc

mot dibu điện lin le che let hong quá binh late nghiém st pham.

Âu? cùng, Mid xin bay Ud ling bibl on lei nẤ ng ngitti thin va ban be đã ting hé, giip da

léé (ong Ui gian tưều qua.

TPHEM 05-2009.

TLHDGD: Tài liệu hướng dẫn giảng day

Đpcm: Điều phải chứng minh

trCN: Trước công nguyên

GD&DT: Giáo duc và đào tạo

KHGD: Khoa học giáo dục

ĐHSE: Đại học Sư phạm

TP.HCM: Thành phố Hỗ Chí Minh

[I]: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

[2]: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích L1 ban cơ bản

[3]: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao.

MỤC LỤC

MOS NA .Ă i

\ LÍDO CHỌN DE TAI sseccsssssssssvvssssnsosussssssssssssuussseseassessessssonsesssssusseunvasesessenuasssssiniesesssene 2 MỤC DICH NGHIÊN CUU VA NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU sec li 3; (GIÁ THUYẾT KHÔA/HOCGG0222100(00000 0925000 U20000)6126269660246600 (04 ii PML ey EU 1: | | || ccs ill Chương 1: THUC TRANG DAY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC ó0 1 1.1 YÊU CẦU CUA VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG PHO THONG 1 1:1:1 Văi tò cla khán ŸÝŸỸ ¡an 1 1.1.2 Mục đích của việc dạy học khái niệm Toán học - 5-5555 S116 1 1.1.3 Yêu cầu của việc dạy học khái niệm Toán học 5-5 52252 555v vecrsgv 1 1.2 THUC TRẠNG DAY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG THPT 2

1.2.1 Nhân xét về nội dung chương trình và sách giáo khoa toán THIPT ‹: 2

1.2.2 Nhân xét về thực trạng day học khái niệm môn Toán ở trường THPT: - 3

12:3: Cách học của học sinh hiện BNY:<c các 60a 0s nine 6 Chương 2: KHÁI NEM GION HẠNG (ác 0000 7 2.1 SƠ LƯỢC LICH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHAT TRIEN KHÁI NIỆM GIỚI HAN 7

2.1.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVIIH 56-5555 6162 8 2.1.2 Giai đoạn 2: Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII 55 se: 10 2.1.3 Giai đoạn 3; Từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX - 2-5 11 cá lộ TES a aaa ca eT: 13 22 CAC QUAN ĐIỂM DAY HỌC GIẢI TÍCH —_ 14

2.3 KHÁI NIỆM GIỚI HAN TRONG SGK VIỆT NAM 5555555222521 E2 15 2.3.1 Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 I]: 55-22255<22222< 222122 c1 15 2.3.2 Chương trình SGK năm 2006, ban cơ bản (2}: - s - 5555555552 Seo 23 2.3.3 Chương trình SGK năm 2006_ sách nâng cao {3]: Si33 2.4 PHAN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG §GK 22-©t2rvrszrerrtrrk 42 2.5 NHỮNG KHÓ KHAN VÀ SAI LẮM CUA HỌC SINH <=<cZ r zZZ2.2rr 47 2.5.1 Khó khăn trong việc hiểu khái niệm: 2 kh + 2 3E crzcvkcxeereeri 47 2,5.2 Khó khăn trong việc vận dụng khái niệm để giải toán 25s.47 Chương 3: THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH 555 222225<S2S2SeSvxerrrrttii 48 ALT LS 1 TL TT TTT TT 48 3,1,1 Lớp ILA] trường THPT Hoàng Hoa Thám_ chương trình ban cơ bản 50

3.1.2 Lớp L1A17 trường THPT An Lạc_chương trình sách nâng cáo 52

3.1.3 Lớp 11A16 trường THPT Võ Thị Sáu_ chương trình sách nâng cao 54

3.1.4 Lớp 1ITA2 trường THPT V6 Thị Sáu_ chương trình sách nâng cao 56

3.1.5 Lớp 11A2 trường THPT Võ Thị Sáu_chương trình sách nắng cao 58

32 CIOL TRAIN HẦM BO 02200 020660/261600002500000400SG2056914 60 3.2.1 Lớp LIAL trường THPT Hoàng Hoa Thám _chương trình ban cơ bản 65

3.2.2 Lớp 11A17 trường THPT An Lạc_ chương trình sách nâng cao - 69

3.2.3 Lớp LIA16 trường THPT Võ Thị Sáu_chướng trình sách nâng cao 72

Mục lục

3.2.4 Lớp IITA2 trường THPT Võ Thị Sáu_chương trình sách nâng cao 74 3.2.4 Lớp 11A2 trường THPT Võ Thị Sáu_chương trình sách nâng cao - 76

Ä:8)/NHÂN YXET CHUNG 0661404240 G000G642661y00.(022Uasayt 78

Chương 4: QUI TRÌNH DAY HOC KHÁI NIEM GIỚI HAN THEO HƯỚNG PHÁT HUY TINH

4.1 DẠY HỌC TÍCH CUC HOA HOAT ĐỘNG NHAN THUC CUA HỌC SINH: 80

4.1.1 Tính tích cực nhận thức của học sinÌ: ccccc225c5csocnssecsossesessssseasadase 80

4.1.2 Day học tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh: 5ó 82

4.2 PHÁT HUY TÍNH TÍCH CUC NHAN THỨC CUA HỌC SINH NHẰM NÂNG CAO

HIRU QUÁ DẠY HOE KHANH Ga keeeeeeediooisieeceeboooenaeeeeesseeoo) 83

4.1.1: KIEN Su -ccsaiuadaeiqwxs«qxyvaxaaieasvdw 83

4.2.2 Quá trình lĩnh hội khái niệm: 2 2+1 cCEYZeCYztgcExteCvveevvvzecvcczzrcvvrzsrrrs 84

4.3, CƠ CHẾ HOẠT DONG CUA KHÁI NIỆM TOÁN HỌC: 22222252121906 86

4.4 QUI TRÌNH LĨNH HỘI KHÁI NIỆM TOÁN HỌC 2225: 522252<SSSScvvvrrrrkke 87

4.5 CÁC TIẾN TRÌNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM: «.5c5555%55155555551002066500) 87

4.6 PHAT HUY TÍNH TICH CỰC NHẬN THỨC CUA HỌC SINH NHẰM NÂNG CAO

HIỆU QUA DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC -ccccoocveeeeccccccrorrrrrcrrrre 87

46.1 Qua trình day học khái niệm Toán học là một quá trình tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện các qui trình lĩnh hội khái niệm Toán học mà kết quả là từng bước học sinh nắm

vững khái niệm Toán học, và có thể vận dụng khái niệm Toán học vào việc giải quyết các(PB BƯẾNG || | a 87

4.6.2 Qui trình dạy học khái niệm Toán học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức

của học whale NEES 87

4.6.3 Các phương hướng cơ bản để phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức khi thực hiện

day học khái niệm Toán học theo qui trình: 5s Hee 88

4.6.4 Một số phương pháp đặc trưng để tổ chức day học chương mở đầu giải tích và chương

giới hạn theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thỨC 5-5555 5555 S<Szseeeeiei 88

4.64.1 Phương pháp cô đọng (phương pháp compDqC) -sscseserererxrkrrerrekskr 89

4.6.4.2 Phưng pháp AlgOrits 0:4010.s.c0rscssecsocccssaseesess4sssssssscnesocasanssevesessssitusppsssssecessscecsaneessssesise 90

4.6.4.3 Phương pháp day học đặt và giải quyết vấn để s-5s«55s<ssvesseee 92

4.6.4.5 Phương pháp dạy học theo nhóm: -ĂĂSĂ<Siheiireeereerersrxrerrirerire 93

4.6.5 Các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao chất lượng dạy học khái niệm giới hạn: 94 4.6.6 Một số tiến trình day học khái niệm giới hạn: s5 scecrteseerxerrrsrvserrksrae 94

4.6.6.1 Một tiến trình day học khái niệm giới hạn dãy số: - 55c 2<55<s<5sevsseerirtve 94 4.6.6.2 Một tiến trình dạy học khái niệm giới hạn NAM số: s«<< << 98

4.6.7 Giới thiệu một phương dn dạy học khái niệm giới hạn ò-. - 7: 104

E2 2164600224 ciizeo n0 %66s2s@i0ố08636886G sở 104

4.6.7.2 Tinh khả thi của phương án trÊH -««sesexesrrirerrtresrrrrrrrersssrersrrrssrrsrke 137

KẾT AIAN sii acs a 138

TEATS TES (FRIIS REAL) eeeeesessndeesoessessesnssseeineoeassaansssnenn: 140

Mở đầu

MỞ ĐẦU

1 LÍ ĐO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1, Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những nhiệm vu mau

chốt của đạy học toán ở trường phổ thông:

« Hệ thống khái niệm toán học được học sẽ là nền tảng cho việc nghiên cứu các nội

dung sẽ đưa ra sau đó Học sinh có nắm vững được những khái niệm ban đầu thì mới cóhứng thú và khả nang tiếp nhận các khái niệm sau Bên cạnh đó hệ thống khái niệm cũng

là tiển để quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng các kiến thức toán học

đã được học vào thực tế đời sống Hơn thế nữa, hệ thống khái niệm toán học được dạy ở

trường phổ thông là cơ sơ của toàn bộ kiến thức toán học mà học sinh sẽ tích lũy được sau

này dù là trong học tập, nghề nghiệp hay đời sống.

© Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, tư duytrừu tượng đồng thời cũng góp phẩn giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhậnthức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học)

Qua đó ta nhận thấy được việc hình thành khái niệm là sợi chỉ đỏ xuyên suốt quá trình

đạy học Toán ở trường phổ thông và được cụ thể hóa thành hai trong các mục đích chủ

yếu của day học toán ở trường THPT là

+ Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những kiến thức và kỹ năng toán học.+ Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ Chủ yếu là rèn luyện các

thao tác và phẩm chất tư duy, khả năng quan sát và tưởng tượng, rèn luyện tư duy logic

và ngôn ngữ chính xác

1.2 Nếu đặt giáo dục trong bối cảnh toàn cầu hóa hiện nay thì không thể không thấyđược sự tụt hậu ngày cùng xa của giáo dục Việt Nam so với các nước ở xung quanh và so

với yêu cầu phát triển của xã hội Diéu này đặt ra nhu cu đổi mới phương pháp giáo duc

để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu câu đào tạo con người mới và thực trạng lạc hậu nói

chung của phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay Thật vậy để phát triển xã hội và đổi

mới đất nước ngang tầm với các cường quốc trên thế giới đòi hỏi cấp bách phải nâng cao

chất lượng giáo dục và đào tạo Trước công cuộc đổi mới của đất nước, hệ thống giáo dục

cũng được đặt ra những yêu cầu mới, cùng với những thay đổi về nội dụng, cẩn có những

đổi mới căn bản vé phương pháp day học Luật Giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ

nghĩa Việt Nam năm 2005 đã qui định “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy

tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của hoc sinh; ; bổi dưỡng phương pháp

tự học, khả ning làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực

tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niém vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Nói một

cách ngấn gọn là phương pháp day học phải nhằm đến việc tích cực hóa hoạt động học

tập của người học, chống lại thói quen thụ động, chuyển từ cách đạy học lấy giáo viên

Trang ¡

Mở đầu —_———————

làm trung tâm sang cách dạy học lấy học sinh làm trung tâm Cốt lồi của vấn dé đổi mới

phương pháp dạy học ở trường phổ thông nim ở chỗ: dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình day hoc, và để đạt được điều đó thì phải tao diéu kiện cho học sinh học

tập nhận thức một cách tích cực, chủ động Định hướng này được gọi là tích cực hóa hoạt

đông nhận thức của người học và đang dẫn đóng vai trò chủ yếu trong xu hướng day học

học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu được bản chất của khái niệm này Dù đã đỗi

mới chương trình nhưng giới hạn vẫn là một khái niệm kiểu mới đối với học sinh bởi vì

đây là lần đấu tiên học sinh tiếp xúc với các tiến trình vô hạn Nếu học sinh không nắm

vững được khái niệm giới hạn thì sẽ gặp khó khăn trong việc nghiên cứu các nội dung sẽ

đưa vào sau đó như đạo hàm, khảo sát hàm số và tích phân

1.4, Khái niệm giới hạn là một khái niệm trừu tượng, học sinh khó tiếp thu nhưng qua

thăm dò thực tế dạy học ở trường phổ thông cho thấy một số giáo viên không đặt nặng

việc giảng dạy cho học sinh nấm được bản chất của khái niệm này

Xuất phát từ đó, chúng tôi lựa chọn để tài: “Diéu tra chất lượng lĩnh hội khái niệm giới

hạn và một số biện pháp tích cực hóa hoạt động dạy học khái niệm giới hạn Ở trường

¢ Hiéu bản chất của khái niệm giới hạn dãy số và giới han hàm số.

e Khả năng vận dụng khái niệm để giải toán vé giới han diy số và giới hạn hàm số.

Qua tìm hiểu chất lượng lĩnh hội khái niệm, luận văn để xuất một số biện pháp sư

phạm và qui trình đạy học khái niệm Toán học nói chung và khái niệm giới hạn dãy số

và giới hạn hàm số nói riêng theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học khái niệm ở trường phổ thông.

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt dược mục đích nghiên cứu, chúng tôi sẽ thực hiện những nhiệm vụ sau:

e© Tim hiểu tinh hình day học khái niệm ở trường THPT.

«© Lam rõ cơ sở lí luận dạy học, vấn để tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

nhằm nâng cao hiệu qui day học khái niệm Toán học nói chung và khái niệm giới hạndãy số và giới hạn hàm số ở trường THPT nói riêng

Trang ti

Mé đầu

e© Phân tích cấu trúc chương trình và sách giáo khoa chính lý hợp nhất năm 2000, sách

cơ bản và sách nâng cao năm 2006.

e Tìm hiểu lịch sử hình thành khái niệm giới hạn và những kết luận sư phạm rút ra từ

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở những kết luận sư phạm rút ra từ nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệmgiới hạn, phân tích cấu trúc chương trình và sách giáo khoa hiện hành, nếu xây dựng

được một hệ thống các biện pháp sư phạm thích hợp cùng một qui trình dạy học khái

niệm giới hạn hợp lí (theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh) thì sẽ

phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo cho học sinh; bổi dưỡng

năng lực tự học trong quá trình lĩnh hội các khái niệm Toán học nói chung và khái niệm giới hạn nói riêng.

Triết học đuy vật biện chứng là cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học, trong đó có

phương pháp đạy học môn Toán Xuất phát từ luận điểm triết học “thực tiễn là nguồn gốc

của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí”, có thể trực tiếp rút ra một yêu cầu có tính

nguyên tắc trong dạy học môn Toán là “lí luận liên hệ với thực tiễn”.

Lịch sử phát triển của toán học đã chỉ ra rằng các tri thức toán luôn nảy sinh trong quá

trình giải quyết những vấn để nào đó và với mục đích giải quyết vấn để, nghĩa là luôn gắn liên với hoạt động của con người trong những tình huống khác nhau Thừa nhận quan điểm đó dẫn đến chỗ thừa nhận rằng việc học tập môn toán nói chung và học khái niệm nói riêng cẩn được diễn ra trong hoạt động và bằng hoạt động Các phương pháp dạy học

toán cũng vì thế mà phải tính đến đặc trưng của hoạt động toán học: giải quyết những

vấn để nảy sinh từ thực tiễn hoặc từ chính bản thân toán học

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu lí luận:

¢ Lich sử hình thành khái niệm giới hạn.

se Các tài liệu Lý luận dạy học có liên quan như: Phương pháp day học tuân thủ định

hướng tích cực hóa quá trình học tập của người học, còn được gọi là phương pháp tích

cực; các tiến trình dạy học khái niệm,

¢ Phân tích chương trình, sách giáo khoa về nội dung giới hạn.

e Nghiên cứu các phan mém có thể ứng dụng trong dạy học giới hạn.

4.2 Quan sát - Diéu tra thực tế chất lượng lĩnh hội khái niệm của học sinh và phương

pháp dạy học khái niệm ở trường phổ thông hiện nay.

Mở đầu

4.3 Tổng kết.

4.4 Để xuất phương án dạy học và xin ý kiến của giáo viên phổ thông.

§ CẤU TRÚC LUẬN VAN

Luận văn gồm phẩn mở đâu, kết luận và bốn chương với các hình vẽ, sơ đổ, bằng, phụ

lục và danh sách các tài liệu tham khảo.

Chương |: THUC TRANG DAY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HOC

Chương 1: THỰC TRANG DAY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HOC

1.1 YÊU CẦU CUA VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG PHO

THÔNG

1.1.1 Vai trò của khái niệm

Khái niệm vừa là sản phẩm, vừa là phương tiện của quá trình tư duy

¢ Trong quá trình nhận thức thế giới con người có thể đạt tới các mức độ khác nhau, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Hai mức độ nhận thức của con

người là nhận thức cảm tính (cảm giác va tri giác) và nhận thức lí tính (tư duy).

Tư duy là mức độ nhận thức quan trọng, cơ bản nhất của con người, và kết quả

của hành động tư duy là đi đến những sản phẩm trí tuệ: khái niệm, phán đoán,

suy luận.

s Ngược lại, các khái niệm, các phán đoán đã được khẳng định, các hình thức suy

luận lại tạo cơ sở cho tư duy Khái niệm và tư duy có mối quan hệ biện chứng,

=, ln

tác động hg 44 * nhau

e Như vậy, khái niệm là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động tư duy của con

người.

Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của toán

¢ Khoa học toán học được xây dựng từ những khái niệm cơ bản và những tiên dé, nhờ vào việc áp dụng những quy tắc và phương pháp suy luận logic.

e Sự nảy sinh một khái niệm toán học mới thường đánh dấu một giai đoạn phát

triển của toán học và là nền ting cho bước phát triển tiếp theo, chẳng hạn nhưcác khái niệm số phức, giới hạn, đạo hàm,

1.1.2 Mục đích của việc dạy học khái niệm Toán học

Xây dựng cho học sinh một nền tảng vững chic về kiến thức cũng như các kĩ năng

trong toàn bộ hệ thống tri thức Toán học Đồng thời tạo nên khả năng vận dụng hiệu quả

các kiến thức đã hoc và góp phan phát triển trí tuệ, thế giới quan duy vật biện chứng cho

học sinh.

Có thể xem dạy học các khái niệm Toán học có vị trí quan trọng bậc nhất trong việc

dạy học Toán ở trường phổ thông.

1.1.3 Yêu cầu của việc dạy học khái niệm Toán học

Việc day học các khái niệm toán học ở trường phổ thông phải làm cho học sinh dan din đạt được các yêu cầu sau:

s Nấm vững các đặc điểm đặc trưng cho khái niệm.

Chuamg I:THỰC TRANG DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HOC

e Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có

thuộc phạm vi khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc pham vi khái niệm cho trước.

e Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của khái niệm cùng với những kí

hiệu đã được qui định.

e Biết phân loại khái niệm và nấm được mối quan hệ của một khái niệm với những

khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.

e Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thé, trong giải toán và ứng

dụng vào thực tiễn

Các yêu cẩu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do sư phạm, các yêu

cấu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái

niệm.

Chẳng hạn, đối với những khái niệm “cấp số cộng", “cấp số nhân"”, học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong

khi giải bài tập, còn khái niệm “chiéu” của vectơ không được định nghĩa rõ rang mà chỉ

mô tả cho học sinh hiểu khái niệm thông qua hình vẽ.

1.2 THỰC TRẠNG ĐẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG THPT

1.2.1 Nhận xét về nội dung chương trình và sách giáo khoa toán THPT

Chương trình được bố cục theo tinh thần hoàn toàn mới, theo hệ thống hợp lí trong mốitương quan với chương trình các môa học khác, nhằm giáo dục toàn diện cho học sinh.

Chẳng hạn như một phần của Lượng giác được học ở Đại số 10 nhằm phục vu cho việc

học vật lí, sinh học và bước déu giới thiệu một số ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

Chương trình đã hạn chế phẩn nào những kết quả mang tính lí thuyết thuần túy, bỏ bớt những kiến thức sâu, nhất là những phẩn thiên về kĩ thuật hoặc những phương pháp giải

quá đặc biệt và các phép chứng minh dài dòng không thích hợp với đa số học sinh Cố

gắng giúp học sinh hiểu được ý nghĩa, ứng dụng của những kiến thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác; đồng thời dam bảo lượng kiến thức tối thiểu

để làm nền tảng vững chắc cho các lớp tiếp theo Còn những kiến thức giảm tải không đưa vào chính khóa mà được để ra ở mục Đài đọc thêm để các em học sinh khá, giỏi có

cơ hội tự học tập, đào sâu nghiên cứu tìm hiểu Không những thế, ở mục Bài đọc thêm

còn giới thiệu thêm những ứng dụng, mở rộng của các kiến thức được học trong chính

ngành toán học cũng như trong cuộc sống.

Bên cạnh đó, chương trình còn phát huy thêm mảng giới thiệu văn hóa toán học với

những mẩu chuyện lịch sử toán học ở mục Đạn có biết? với mong muốn các em có thể

thấy được những câu hỏi ban đầu mà trí thức được phát minh là câu trả lời, đồng thời các

em có thể nhận ra nghĩa của tri thức, đặc biệt là tình huống làm nảy sinh trí thức Một số

Trang 2

Chương 1: THUC TRANG DẠY HỌC KHÁI NIEM TOÁN HỌC

ví dụ, các bài toán cũng rất gan với thực tế, giúp các em cảm giác được học cũng như

chơi và chơi cũng như học.

Về mặt phương pháp dạy học: với cố gắng đến mức tối đa, SGK đã được biên soạn

dựa trên những tiêu chí sau:

® Tăng cường các hoạt động của chính bản thân hoc sinh

se Chú trọng tiến trình xây dựng kiến thức theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh

e Giảm nhẹ lí thuyết kinh viện, tăng cường thực hành Coi trọng vai trò của ghí nhận trực

giác Coi trọng rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán.

¢ Có tính đến quan điểm liên môn, coi trong tính thực tiễn.

® Tạo thuận lợi cho việc sử dụng các thiết bị day học và ứng dụng công nghệ thông tin.

Nội dung chương trình sách giáo khoa đã có những đổi mới, tạo nên điểu kiện, gợinên những ý tưởng về mặt phương pháp Chương trình môn Toán ở trường phổ thông cónhiều khái niệm trừu tượng đối với học sinh và những khái niệm này được sắp xếp cho

phù hợp nhằm đáp ứng cho các môn học khác như Vật lí, Sinh học, Chương trình được

xây dựng theo hai ban có nội dung về cơ bản là như nhau nhưng khác ở mức độ yêu cầu

như: vận dụng kiến thức để giải những bài toán đơn giản, bài toán trong thực tế cuộc

sống, suy luận hợp lí, diễn đạt vấn để một cách chính xác Sách nâng cao đòi hỏi kĩnăng suy luận cao hơn nên có thêm một số kiến thức về lí thuyết hd trợ cho việc suy luận(như khái niệm định thức cấp hai để biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có

chứa tham số, định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán so sánh một số với

các nghiệm của tam thức bậc hai ) Nhìn chung đối với những khái niệm trừu tượng, cả

hai sách đều trên tinh thần chung là không trình bày theo kiểu áp đặt, quá chật chẽ vẻ lí

thuyết ngay từ đầu, chủ yếu các khái niệm được hình thành nhờ khái quất hóa từ các ví

dụ cụ thể hoặc qua các ghỉ nhận trực giác.

Nhiệm vụ của giáo viên là xây dựng qui trình dạy học thực sự phát huy tính tích cực, chủ

động của học sinh Tuy nhiên vẫn chưa có sự thống nhất theo chiểu ngang giữa các nhà

soạn thảo chương trình cụ thé là nhà soạn thảo chương trình sách giáo khoa ban cơ bin và

sách nâng cao gây khó khăn cho giáo viên trong việc giảng dạy.

Bên cạnh đó, hệ thống bài tập trong sách giáo khoa cũng đã có nhiều thay đổi theo

hướng tích cực: có nhiều dạng bài tập gấn liên với thực tế cũng như những bài tập liên quan đến các môn học khác, có thêm dang bài trắc nghiệm và có phắn hướng dẫn đối với

những bài tập khó cũng như lời giải để tăng cường khả năng tự học cho học sinh.

1.2.2 Nhận xét về thực trạng dạy học khái niệm môn Toán ở trường THPT:

Việc thực hiện đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông có một số

chuyển biến tích cực bước đầu như sau:

¢ Trên tính thắn của sách giáo khoa mới, các giáo viên đã quan tâm đến việc xâydựng các hoạt động, đặt vấn để, dùng hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh thông qua

Trang 3

Chương 1: THỰC TRANG DAY HỌC KHÁI NIEM TOÁN HỌC

đàm thoại, củng cố kiến thức qua việc giải bài tập kết hợp với việc hình thành tri thức phương pháp cho học sinh, chú trọng đặt câu hỏi và hướng dẫn học sinh tự học

ở nhà, dựa trên những ý tưởng vé mặt phương pháp của sách giáo khoa Những

giáo viên có tâm huyết với nghề cũng đã nỗ lực, tìm tòi, sáng tạo trong công tác

giảng day để qui trình day học có thể thực sự phát huy tính tích cực, chủ động và

sáng tạo của học sinh.

e Về mặt hình thức tổ chức dạy học đã sinh động hơn Bên cạnh các hình thức học

tập truyén thống, học sinh đã được trao đổi thảo luận theo nhóm để học hỏi lằn

nhau, Không ít giáo viên có tân huyết với nghề, có tay nghề vững, có nhiều giờ dạytốt theo hướng tổ chức cho học sinh tự chiếm lĩnh wi thức mới với phương pháp dạyhọc đặt và giải quyết vấn để Một số giáo viên còn tìm cách khai thác công nghệthông tin trong day học; diéu này không chỉ có tác dụng kích thích hứng thú học tập

của học sinh mà còn giúp các em hình thành các kỹ năng quan sát, phỏng đoán,

Thế nhưng trong thực tế thì sự chuyển biến về phương pháp day học ở bậc THPT chưa

- Phương pháp đọc tài liệu 2%

- _ Phối hợp các phương pháp khác nhau 48%

Như vậy, 48% giáo viên sử dụng kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp khác

nhau trong một bài giảng đối với kiểu bài truyén thụ kiến thức mới và các giáo viên này chủ yếu tập trung ở các giáo viên có nhiều kinh nghiệm, có thâm niêm

trong nghề.

Trong các giờ dạy học khái niệm, hoạt động của giáo viên là chủ yếu, bài giảng nặng

về thuyết trình

Xét vé bản chất, các giờ học vẫn được giáo viên tổ chức theo kiểu “thay truyền đạt,

trò tiếp nhận” Dù một số giáo viên đã sử dụng phương pháp đặt vấn để thông qua những

câu hỏi gợi mở (chủ yếu là do kinh nghiệm bản thân chứ chưa được chuẩn bị trước),

nhưng học sinh vẫn chưa là người nhận dạng, trình bày cũng như giải quyết vấn để, chưa

được tự giác, tự do, chưa có nhu cầu khám phá kiến thức cũng như chưa thể tự khám phá kiến thức, Da số các giáo viên déu cho rằng không có nhiều thời gian để đặt câu hỏi cũng

như thời gian cho học sinh suy nghĩ tìm câu trả lời Hơn nữa, mục đích của mỗi bài học là

làm sao để học sinh có thể giải được bài tập, đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, bài thi Trong mỗi tiết học, người giáo viên vẫn giữ vị trí trung tâm, kiến thức chỉ được truyền đạt

theo một chiéu từ thdy đến trò Các em cũng chỉ tập trung học thuộc các định lý, công

thức để vận dụng vào bài tập mà coi nhẹ các định nghĩa và cách chứng minh định lý,

Trang 4

Chương 1: THUC TRANG DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HOC

cách thành lập công thức Các em bắt chước rập khuôn theo các ví dụ mẫu của giáo viên

mà làm bài tập, và đôi khi chỉ thay đổi dạng một chút là các em không biết làm Bên

cạnh đó, các ví dụ minh hoa của giáo viên đôi khi không tổng quát, chưa đa dang, thiếu

các phản ví du (điểu này đã din được khắc phục theo tinh thần đổi mới phương pháp),

thiếu định vị khái niệm mới so với những khái niệm đã học trước đó để học sinh nhận ra

bản chất của khái niệm Cách tổ chức giờ học toán như vậy chưa phản ánh được những

nét đặc thù của đạy học toán, chưa phản ánh được các hoạt động toán học trong quá trình

hình thành khái niệm, dạy học định lý, hoạt động giải toán và vận dụng kiến thức trong

đời sống thực tiễn cũng vì vậy mà chưa được hình thành

Còn có một số giáo viên dạy theo kiểu áp đặt, kiểu luyện thi Học sinh quen nói và

làm theo sự áp đặt đó Kết quả là tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo của các em chẳng những không được nuôi dưỡng mà còn bị chết din chết mòn Các em thường hiểu kiến

thức một cách máy móc, hình thức để rồi nhanh chóng lãng quên sau khi không còn sử

Phin lớn giáo viên có quan điểm rằng “Định nghĩa giới hạn trong sách giáo khoa

không phải là định nghĩa chính xác vé mặt toán học, chỉ mang tính chất mô tả Do đó,giáo viên không cần thiết phải dành nhiều thời gian cho các định nghĩa về giới hạn” Họcho rằng học sinh không đủ khả năng tư duy để tìm hiểu sâu về bản chất của giới hạn

(giới hạn day số và giới han hàm số); do đó, không nên quá chú trọng các định nghĩa về

giới hạn Một số giáo viên bỏ qua những mảng kiến thức mà họ chic rằng không có trong

nội dung thi hoặc kiểm tra như công thức tính tổng của cấp số nhân mà chỉ chủ yếu tập

trung vào các định lí, qui tắc phục vụ cho việc giải bài tập Một số giáo viên không chútrọng đến việc chỉ ra những đối tượng không thuộc phạm vi khái niệm để học sinh nhận

ra những thuộc tính bản chất của khái niệm cũng như thực hiện những hoạt động nhậndạng khái niệm Rất ít giáo viên ứng dụng được công nghệ thông tính trong việc hình

thành biểu tương giới hạn cho học sinh Thậm chí vẫn còn tình trạng giáo viên chỉ day lí

thuyết lê? lạ yếu là tập trung vào việc cho học sinh giải bài tập.

Kết quả là học sinh không lĩnh hội được khái niệm dù rằng các em vẫn làm được bàitập do học thuộc lòng các định lí công thức hoặc bài giải mẫu của giáo viên Nhưng như

đã nói SGK mới có bổ sung thêm những dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải thực hiện

nhiều hoạt động hơn như các hoạt động phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tư duy trừu

tượng hóa, và để thực hiện được những hoạt động này đòi hỏi học sinh phải nắm đước

bản chất khái niệm giới hạn Và vì học sinh phn lớn không nấm vững khái niệm giới hạnnên những dạng bài tập này không được để cập đến trong hệ thống bài tập của học sinh

Trang 5

Chương I: THỰC TRANG DAY HỌC KHÁI NIEM TOÁN HOC

Một số giáo viên còn nặng về những kĩ thuật biến đổi đại số khi đưa ra những bài toántìm giới hạn đòi hỏi những biến đổi phức tạp rắc rối

Từ đó chúng ta có thể nhận thấy rằng việc dạy-học “giới han” ở trường phổ thông còn

nhiều khó khăn, đòi hỏi cần tim ra biện pháp sư phạm thích hợp để tích cực hóa hoạt

động nhận thức của học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm Toán học ở trường

phổ thông mà cụ thể là dạy học khái niệm giới hạn.

1.2.3 Cách học của học sinh hiện nay:

Trong quá trình quan sát và thực tập giảng dạy cũng như trao đổi ý kiến với các giáoviên đã có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, chúng tôi nhận thấy tình trạng học của các

em hiện nay là:

1 Chưa tập trung vào những giờ học lý thuyết: Thường học sinh không chú ý nghe

giáo viên giảng về nguyên nhân hình thành những khái niệm, một số em chưa có hứng

thú trong việc tự hình thành trị thức mà chỉ đợi giáo viên đưa ra trí thức mới cụ thể lànhững khái niệm và công thức để áp dụng vào việc giải bài tập

2 Các em có thể chưa hiểu bài hoặc hiểu chưa sâu nhưng vẫn làm bài được do học

thuộc lòng cách giải một cách máy móc của một số dang mà thầy cô đã phân loại Vì

vậy, khi gặp những dạng bài lạ các em sẽ hoang mang và có thể bỏ qua bài đó mà không cẩn suy nghĩ hướng giải quyết Đôi khi các em không thể nhớ hết các dạng, học

dang mới thì quên mất dang cũ, hoặc bài thuộc dang này nhưng do các em không nhớ

kỹ nên áp dụng cách giải của dạng khác dé lam,

3 Có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đường giải toán nhưng lời giải chưa được trình bày ngấn gọn, đẩy đủ, chính xác và sáng sủa

4 Các em chưa hình thành khả năng tự học, chưa tự hệ thống được nội dung đã được

học ở trường hoặc tự tìm ra phương pháp ghi nhớ khoa học để có thể nhớ lâu và chính

xắc.

5 Các em học chủ yếu để đối phó với các đợt kiểm tra nên thường sắp kiểm tra mới học và vì vậy, kiến thức bị nhồi nhét trong một thời gian ngắn để rồi sau đó các em lại quên hết để chuẩn bị cho nội dung mới hoặc để học môn học khác Kết quả là khi đến

năm lớp 12, các em cảm thấy mơ hô, không nắm vững được kiến thức lớp dưới, có thể

nhớ được mình đã học qua nhưng cụ thể kiến thức như thế nào thì không hình dung

được hoặc là thậm chí không nhớ mình đã học hay chưa.

6 Cuối cùng với áp lực điểm số, các em không còn thấy thích thú, say mê trong học tập, các em chỉ học những gì cẩn thiết để kiểm tra hoặc thi mà bỏ qua một số kiến

thức khác Do đó, các em không còn hứng thú sáng tạo, tự giác học tập, lòng ham

muốn làm chủ tri thức và tự hình thành tri thức mới cho bản thân

Trang 6

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

2.1 SƠ LƯỢC LICH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHAT TRIỂN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

Vì sao phải nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức?

¢ Mỗi trí thức khoa học được hình thành là kết quả của một quá trình hoạt độngkhoa học không mệt mỏi của các nhà nghiên cứu Bat đấu từ việc cẩn giải quyết

một vấn để trong thực tiễn, trong nội tại các môn khoa học hoặc trong các môn khoa

học khác và trong quá trình đi tìm chìa khóa giải quyết vấn để, các nhà nghiên cứu

đã phát hiện ra những phương pháp, những kiến thức mới có thể chưa hoặc cho phép

giải quyết vấn để Nhà nghiên cứu nhận thấy một số trong những kiến thức đó mới

và hay, muốn thông báo cho cộng đồng khoa học nói riêng và mọi người nói chung

cùng biết Và để mọi người có thể tiếp nhận kiến thức dé dàng nhất, nhà nghiên cứu

hệ thống lại kiến thức một cách khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy luận logic đang phổ biến trong cộng đồng khoa học hoặc dựa trên nền tảng những kiến thức phổ thông của người dân Tuy quá trình này có ý nghĩa tích cực là làm cho tri

thức trở thành tri thức chung, có thể dược sử dung và kiểm tra bởi bất cứ ai hoặc nếukhông cũng ít nhất là bởi các thành viên của cộng đồng khoa học nhưng bên cạnh

đó, nó vin có ý nghĩa tiêu cực là làm biến mất đi một phẩn hoặc hoàn toàn bối cảnh

của phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà wi thức này là câu trả lời, làm cho phát minh trở nên bí ẩn và bị tước mất nghĩa.

e Theo lịch sử phát triển của loài người, kho tàng tri thức toán học được tích lũy

ngày càng nhiều nhưng không phải tri thức nào cũng được chon làm đối tượng dạy

học, diéu này tùy thuộc vào mỗi quốc gia nhưng trên tinh thân chung là chỉ chọn những kiến thức cơ bin của từng phân môn, những kiến thức cẩn thiết cho thực tiễn

cuộc sống và những kiến thức cẩn cho các môn học khác Sau khi các đối tượng dạy

học đã được chỉ ra, các nhà viết sách giáo khoa phải tổ chức chúng lại theo một trình

tự nối khớp hợp logic, đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phin Và kết qua chic chin là cách tổ chức mới này không thể trùng với trình tự hình thành các wi thức

trong lịch sử toán học Không những thế, để đảm bảo tính vừa sức cho học sinh, đôi

khi họ phải viết lại định nghĩa, tính chất cũng như các phép chứng minh để tạo ra

một sự nối khớp trong cả các cấp học, và dẫn đến chỗ sáng tạo ra những đối tượng

mới Như thế tri thức dạy học và wi thức khoa học vô hình chung đã có một khoảngcách rất lớn gây cho người học khó khăn trong việc nhận nghĩa của trí thức cũng nhưviệc tìm hiểu tình huống làm nảy sinh tri thức

e Lập luận trên giúp ta hiểu được tẩm quan trọng của việc tìm hiểu, phân tích lịch

sử hình thành và phát triển một tri thức đã được chọn làm đối tượng day học Có như

vậy, ta mới nấm được tiến triển theo lịch sử của quá trình xây dựng tri thức, sự phụ

thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định nghĩa của tri

Trang 7

Chương 2; KHÁI NIỆM GIỚI HAN

thức, tình huống mang lại nghĩa đó, những vấn để gắn liển với nó, vị trí tương đối

của nó trong một tri thức tổng quát hon điều mà nghiên cứu đơn thuần chương trình

và sách giáo khoa không thể mang lại Không những thế, phân tích lịch sử còn giúp

ta dự đoán được những khó khăn, chướng ngại mà học sinh có thể gặp phải trong

quá trình chiếm lĩnh tri thức cũng như giải thích sai lầm của học sinh theo một cách

thức thỏa đáng.

Tóm lại, cùng với việc phân tích trí thức trong chương trình và sách giáo khoa,

nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành, phát triển của tri thức sẽ giúp ta vạch

rõ nghĩa của tri thức, xác định một số chướng ngại hay quan niệm cho phép giải

thích sai lầm của học sinh, cũng như tạo ra những tình huống cho phép học sinh hiểu

rõ nghĩa của tri thức, thấy được ích lợi mà kiến thức mang lại; từ đó, hình thành cho

các em nhu cầu, hứng thú giải quyết vấn để Không những thế, chúng ta có thể tạo

ra những tình huống để người học bộc lộ những quan niệm sai lắm và từ đó giúp họ

vượt qua những chướng ngại, loại bỏ những quan niệm sai lầm đó.

Bây giờ ta hãy xem xét quá trình hình thành lý thuyết giới hạn trong lịch sử toán học,

một quá trình kéo dài hơn hai mươi thế kỷ, từ thời Hy Lạp cổ đại đến thế kỷ XIX Trong

phạm vi của luận van, chúng tôi chỉ nêu sơ lược lịch sử hình thành lý thuyết giới hạn, với

mục đích tạo động cơ mở đầu, dự đoán những chướng ngại mà học sinh sẽ gặp phải khi

học chương “Giới han” ở lớp 11.

Có nhiều công trình nghiên cứu vé lịch sử hình thành lý thuyết giới hạn, nhưng

chúng tôi sẽ dựa vào công trình nghiên cứu của Cornu (1983) Do khả năng có hạn, chúng

tôi chưa thể đi sâu tìm hiểu công trình nghiên cứu của Cornu nên chúng tôi xin phép được

trích những ghi nhận của tác giả Nguyễn Thành Long trong luận văn thạc sĩ: “Nghiên cứuDidactic về khái niệm giới hạn trong day học môn toán ở trường THPT” và luận văn thạc

sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung "Nghiên cứu về khái niệm giới hạn ham số trong

dạy-học toán: Đổ án Didactic trong môi trường máy tính bỏ túi” và giáo trình “Phương pháp dạy-học hình hoc” của tác giả Lê Thị Hoài Châu vé công trình này.

Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn bắt đầu từ sự xuất hiện của khái niệm vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) cho đến chương trình số học hóa giải tích của

Weierstrass (thế kỷ XIX) Quá trình này có thể chia thành ba giai đoạn chủ yếu mà

chúng tôi sẽ để cập dưới đây

Khi nghiên cứu các quá trình vô hạn, các nhà khoa học gặp khó khăn và nhận ra rằng

các phép toán và quy tắc đại số không đủ cho việc nghiên cứu Như vậy nhu cẩu tất yếu

là khám phá phép toán mới cho phép giải quyết vấn dé.

Ngay từ thế kỷ VI trCN, thời trường phái Pythagore, sự kiện khám phá ra số vô tỉ đã phá vỡ sự tương ứng giữa số hữu tỉ và độ dài, đồng thời dẫn đến phát hiện ra sự tổn tại

Trang 8

Chưamg 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

của các đoạn thẳng vô ước Đó là lan đấu tiên toán học gặp phải khái niệm vô hạn Ở

đây lập tức xuất hiện những khó khăn và gây ra một cuộc khủng hoảng sâu sắc đầu tiền

làm lung lay nền tang của toán học Cu thể là để xác định tỷ số hai đoạn thẳng, từ lâungười ta đã dùng thuật toán mà ngày nay gọi là thuật toán Euclide để tìm ước chung ƒ củahai đoạn thẳng a và » cho trước Nếu a= mƒ và benf thì a:b=m:n Nhưng trườnghợp a, b là các đoạn thẳng vô ước với nhau thì thuật toán trên sẽ trở nên vô hạn và người

ta không thể biết được tỷ số hai đoạn thẳng đó Để giải quyết vấn để này, những người

thuộc trường phái Pythagore đã giả thiết rằng các đoạn thẳng vô ước có một ước chung

vô cùng bé, đó là những phan tử đơn giản nhất, xem là những điểm va theo họ đoạn

thẳng gồm những phần tử đơn giản nhất không còn chia nhỏ được như vậy Đây là một

thể hiện của quan niệm nguyên tử cho rằng một số, không gian, thời gian và vật chất có

những yếu tố ban đầu không thể chia nhỏ được Tuy nhiên, ngược lại cũng có quan niệm

liên tục cho rằng các đối tượng này có thể chia nhỏ vô hạn

Zénon (495 — 430 trCN) là người đã bóc trần những khó khăn thực sự có liên quan tới

khái niệm vô hạn và liên tục Ông bác bd một số quan niệm trực giác trước kia vể vô

cùng bé, vô cùng lớn, cũng như quan điểm trên của trường phái Pythagore và đã đưa ra bốn nghịch lý: “Chia đôi", “Asin đuổi rùa”, “Mũi tên”, “Sân vận động” vạch ra những

mâu thuẫn trong các quan niệm trên Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giảiquyết những mâu thuẫn đó, nhưng dẫn đến hậu quả là các nhà toán học thời đó đã loại bỏ

tính vô hạn và các nguyên tử (vô cùng bé) khỏi các chứng minh trong hình học.

Do vậy, để giải quyết các vấn để tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn: vào khoảng năm 430 trCN, Antiphon cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của

một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn thì hiệu số giữa diện tích hình tròn với diệntích đa giác cuối cùng sẽ không còn nữa Cùng thời gian đó, với ý tưởng tương tự,

Hippocrate de Chios đã ngầm ẩn “cho qua giới hạn” để chứng minh rằng tỉ số diện tích

S/S; của hai đường tròn bằng bình phương tỉ số hai đường kính d,/d; của chúng Nhưng

người đầu tiên xây dựng phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn là Eudoxus (năm

410-356 trCN Phương pháp “vét kiệt” của Eudoxus dựa vào một bổ để, để chứng minh

bổ để này ông phải sử dụng một tiên để mà sau này ta gọi là tiên để Archimedes: "với

hai số a,b, a>b, ta có thể gấp b lên N lin sao cho Nb>a" Có thể nói Eudoxus đã đặt

nền móng cho giái tích vô cùng bé Cách chứng minh theo phương pháp vét kiệt, bao hàm

ý tưởng của lý thuyết giới hạn vé sau này Nó còn chứa đựng yếu tố rất quan trọng của khái niệm giới hạn là: có thể tìm được giá trị gần đáng của một đại lượng với độ chính xác

bao nhiêu căng được.

Nhưng trong phương pháp vét kiệt chỉ để cập đến đại lượng hình học chứ không nêu bật được ý tưởng về đại lượng biến thiên bất kì, cũng không có ý tưởng cho qua giới hạn (do

lẫn tránh sự vô hạn)

Quả thực, phương phấp vét kiệt cho phép họ tránh sử dung vô hạn trong chứng minh

Trang 9

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

(bằng lập luận phản chứng) Ngay cả đến cuối thế kỷ XVIII, mà Lagrange vẫn còn cho

ring khái niệm giới hạn không có tính thuyết phục, những phép toán trên số không bắt buộc phải sử dụng giới hạn.

Sau Archimède, lịch sử xảy ra dồn dập những biến cố tường chừng như đã vùi lấp các tưtưởng của các nhà toán học cổ Hi Lạp Mãi đến thế kỷ XVI các tư tưởng đó mới được nhà

toán học châu Âu biết đến, kế thừa và phát triển Từ đây bắt dau thời kỳ mà để cập đến

khái niệm vô hạn không còn bị coi là cấm ky như trước đây Chẳng hạn như Kepler đổng

nhất đường tròn với một đa giác déu có số cạnh vô hạn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn các điện tích tam giác, Bônaventura Kavalêri sáng tạo ra “phương

pháp về những yếu tố không phân chia được”, trong cách đặt vấn để tính tích phân địnhhạn một cách tổng quát, ông có sự tiến bộ so với Kepler vì đã áp dụng nhanh chóngnhững kết quả của mình vào việc tính những điện tích và thể tích khác nhau

Tóm lại, trong giai đoạn này, giới hạn chủ yếu vẫn liên quan đến các đại lượng hình học

khi tính điện tích, thể tích, Nhận thức vé vô hạn đi từ thái độ phủ định sang khẳng

định: việc tính tổng của chuỗi được phát triển, khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác

động là đại số nhưng chỉ ở mức độ kĩ thuật Gregory bắt dau khai triển hàm số thành

chuỗi và ngắm ẩn đưa vào khái niệm giới hạn qua các thuật ngữ “hội tụ” Mam mống

của tư tưởng vô cùng bé (“cdi không thể chia nhỏ được ") cũng đã xuất hiện Nhưng cácnhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính tổng của các chuỗi hơn là suy nghĩ về sự hội

tụ hay phân kỳ của chuỗi Nhiều đối tượng dù không được định nghĩa nhưng vẫn có sứcthuyết phục do dựa vào hiệu quả của chúng Nói cách khác, khái niệm giới hạn chỉ mới

là công cụ (ngầm ẩn) để giải toán, chưa phải là đối tượng để nghiên cứu.

Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé

Thế kỷ XVII với thắng lợi của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật đã tao ra xu hướngchú trọng nghiên cứu cơ học lý thuyết Cũng vì lý đó, trong toán học người ta bat đầu

quan tâm đến chuyển động và các đại lượng biến thiên Chỉ có toán học về các lượng

biến thiên mới có thể đáp ứng được yêu cẩu của ngành Toán tự nhiên đã được phát sinh.

Kết quả là một số phương pháp mới liên quan đến việc khảo sát các lượng “vô cùng bé ”(hay phương pháp “chia nhỏ vô han”) xuất hiện Giải tích Toán học hình thành một lĩnhvực khoa học độc lập được gọi là “giải tích các lượng vô cùng bé " Lúc đầu, mỗi sự kiện

cá biệt đòi hỏi người nghiên cứu phải có những cách giải quyết đặc biệt nhưng sau đóxuất hiện những phương pháp chung để giải quyết các bài toán cùng loại đã thiết lậpđược mối liên quan giữa các bài toán thuộc loại khác nhau

Fermat (1601-1665) xây dựng một phương thức tổng quát để tính diện tích các

parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân Phương thức của ông cho phép phát huy khía cạnh

thuật toán của Giải tích các vô cùng bé.

Trang 10

Chương 3: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

Newton (1642-1727) coi một đường không phải do những điểm kể nhau mà do một

điểm chuyển động liên tục mà thành Nếu tại mỗi thời điểm của chuyển động, ta có khái

niệm vận tốc tức thời thì tương ứng tại mỗi điểm của đường ta có khái niệm mà sau này

gọi là đạo hàm.

Trong công trình lớn nhất của mình là “Cơ sở toán học của triết học tự nhiên”

(1686-1687), Newton công bố quan điểm về vô cùng bé mà về nguyên tắc gắn với quan điểm

hiện đại: các vô cùng bé “tiém năng” (các giới hạn của các tổng và các tỉ số của chúng)

được đưa vào khảo sát thay cho các vô cùng bé “thực tại” (Vô cùng bé “thực tại” là đại

lượng tĩnh, không thay đổi, không bằng 0, có giá trị tuyệt đối bé hơn lượng hữu hạn bất kỳ; vô cùng bé “tiém năng” là đại lượng biến thiên và trong quá trình biến thiên mới trở

nên bé hơn lượng hữu hạn) Ông dành cho lý thuyết giới hạn độc đáo dưới để mục

“Phuong pháp các ti số dau và tỉ số cuối" trong tác phẩm “Cơ sở toán học của triết học tự

nhiên” Những tỉ số này của hai đại lượng là tỉ số giới hạn (tỉ số biến thiên) của chúng.

“Ti số dau” biểu thị giới hạn tỉ số của hai dai lượng “phat sinh” (các vô cùng bé) nghĩa là

dạng vô định ng * “Ti số cuối" biểu thị tỉ số của các đại lượng “biến mất" có thể là vô

cùng bé, đại lượng hữu hạn hay vô cùng lớn) nghĩa là kết quả của việc khử dạng vô định

HỆ Newton cũng nói tới "tổng đầu của các đại lượng phát sinh” hay “tổng cuối của các

đại lượng biến mất” Các khái niệm này đều không được định nghĩa và nội dung của

chúng chỉ được làm sáng tỏ do phương pháp ấp dụng chúng.

Leibniz (1646-1716) đã hoàn thiện những thành quả của các nhà toán học tiền bối

thành phép tính lấy tổng (tích phân: tổng vô hạn các vi phân) và phép tính vi phân (vi phân: hiệu vô cùng bé) Nhờ đó mà giới hạn bất đầu chuyển từ hình học, cơ học sang lĩnh

vực số

Lý thuyết về giới hạn của Newton đã mở rộng phạm vi của giới hạn Nó liên quan đến cả vô cùng lớn và tỉ số hai vô cùng bé mà đột phá là khái niệm “dao hàm" Bài toán

tính đạo hàm là khởi đầu cho sự phát triển của khái niệm giới hạn.

Chính trong phép tính vi phân, sự xuất hiện của khái niệm giới han là không thể thiếu

được Không thể nghiên cứu khái niệm giới hạn của một “tỉ số giới hạn” mà lại không

tìm cách định nghĩa một cách chính xác giới hạn của một đại lượng biến thiên (Theo

CORNU B (1982), trang 640).

Trong giai đoạn nay, giới han đã được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton Các nhà

giải tích đã có ý tưởng trực giác vé khái niệm giới hạn và họ đã sử dụng điểu đó một cách ngắm ẩn rất chính xác Tuy nhiên vẫn chưa có một định nghĩa giới hạn nào chấp

nhận được từ quan điểm của các nhà toán học đương thời.

2.1.3 Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỷ XVHI đến thế kỷ XIX

Đây là giai đoạn mà lý thuyết giới hạn được xây dựng hoàn chỉnh

Trang 11

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

Hầu như không có nhà toán học lớn nào của thế kỷ XVIII nghĩ đến việc lập phép tínhmới dựa trên khái niệm giới hạn Chính Ole cũng vậy, trong lời nói đầu của tập chuyênkhảo “Phép tính vi phân" (1755) đã nói rất rõ khái niệm giới hạn nhưng trong sutốt tậpsách lại không có chỗ nào dùng đến khái niệm đó

Cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã được chuyển hẳn sanglĩnh vực số Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vô cùng bé

Trong khi Euler hết sức phát triển phép tính vô cùng bé thi Lagrange lại “tẩy chay " khái

niệm giới han trong các công trình của mình Tuy nhiên, D'Alembcrt là người nhìn thấy

được bản chất vấn dé cơ sở của giải tích khi kêu gọi phải xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh

về giới hạn.

D' Alembert (1717-1783) tỏ ra rất quan tâm tới cơ sở của Giải tích và năm 1754 ông đã có

một gợi ý quan trọng rằng lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ

sở vững chắc cho Giải tích Ông tin tưởng rằng “Lý thuyết giới hạn là siêu hình học chân

chính của phép tính vi phân”, nhưng những người cùng thời với ông lại ít chú ý tới gợi ý

đó của ông.

Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của D'Alembert bằng cách phát triển một lý

thuyết giới hạn, diễn dat qua "ngôn ngữ c,ô” mà ngày nay vẫn thường được dùng Tác

phẩm "Giải tích đại số” (1821) và các tác phẩm công bố tiếp theo của Cauchy

(1789-1857) đã tạo nên một bước ngoặt, trong đó lần đầu tiên lý thuyết giới hạn trong tayCauchy, đã được phát triển thành một công cụ sắc bén để xây dựng chặt chẽ hoàn toàn

giải tích toán học.

Trước tiên, ông định nghĩa khái niệm hàm số Sau đó ông định nghĩa sự hội tụ, vô

cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về giới hạn.

Nhưng lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn giản về hệ

thống số thực Muốn trình bày thật chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì phải có một sự hiểu

biết sâu sắc về lý thuyết số thực Nhưng không vì vậy mà mọi người phủ nhận vai trò của

Cauchy trong việc phá tan màn sương mù bí ẩn trước đó đã bao trùm cả thời kỳ đầu của

giải tích.

Tuy nhiên ngoài Cauchy còn phải kể đến công lao của các nhà khoa học khác:

Weierstrass (1815-1897) đã vận động thực hiện một chương trình “số học hóa giải tích",

trong đó trước hết bản thân hệ thống số thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới rút

ra tất cả các khái niệm cơ bản của giải tích Ông đã định nghĩa giới hạn hàm số bằng khái

niệm lân cận (năm 1880).

Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích Các khái niệm

cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực, đã được định nghĩa tường minh Lý

thuyết giới hạn chính thức trở thành nền tảng cho giải tích.

Và không thể không nhắc đến Bônxanô, người trong nhiều trường hợp đã có công trình nghiên cứu đi trước Cauchty và các nhà toán học về sau nhưng những công trình đó

Trang 12

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

không được phổ biến và mười mấy năm sau người ta mới biết đến.

2.1.4 Một vài kết luận sư phạm:

Mục tiêu nghiên cứu của Cornu là nhằm hiểu rõ thực chất của những khó khăn trongviệc lĩnh hội khái niệm giới hạn và nhầm cải thiện việc dạy và học khái niệm này Cornunghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và phát triển trong suốt lịch sử của

khái niệm giới hạn:

- “Sy chuyển đổi sang phạm vi số" xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hìnhhoc và ngữ cảnh chuyển động học, “các đại lượng” được quy về phạm vi số mà ở đó

khái niệm giới hạn được hợp nhất.

- Khia cạnh “siéu hình” của khái niệm giới hạn: một kiểu mới của những suy luận

toán học đòi hỏi phải áp dụng Ở đây không chỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà

là suy luận trên các tiến trình vô hạn.

- Khái niệm “vô cùng bé ” hay “vô cùng lớn”: có tổn tại hay không các đại lượng chưabằng không, nhưng chúng không thể “gán được" nữa? có tổn tại hay không các đạilượng “tan din” mà chỉ cẩn qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải

một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng không?

- Một giới hạn có thể đạt tới hay không ?

- Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu, một tổng vô hạn có thể là

một số hữu hạn, hai đại lượng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến vé một

lượng hữa hạn”.

Từ những phân tích và kết luận của Cornu, chúng tôi ghi nhận được một số diéu sau đây:

- Để có thể đưa ra định nghĩa khái niệm giới hạn, tưởng chừng như một công việc đơn

giản nhưng đó là công lao của không phải một người cũng như không phải trong một

sớm một chiểu Và những khó khăn mà các nhà nghiên cứu đã gặp phải trong quá

trình xây dựng khái niệm giới hạn cũng không phải là ít, vấn để đặt ra là: Liệu những

chướng ngại lịch sử này có thể là những chướng ngại mà học sinh sẽ gặp phải trong

khi học khái niệm giới hạn hay không? Và liệu học sinh có thể lĩnh hội được định

nghĩa khái niệm giới hạn mà phải mất hơn hai mươi thế kỷ mới được đưa ra một cách

chính xác hay không?

- Khái niệm giới hạn ban dau có nguồn gốc hình học, sau đó “chuyển sang phạm vi

số”, Diéu này có thé gây khó khăn cho học sinh trong việc tiếp cận khái niệm giới

hạn chỉ “trong phạm vi số” Vậy có thể sử dụng mô hình hình học để giúp học sinh

tạo động cơ hoặc nhìn thấy hình ảnh trực quan của định nghĩa giới hạn được hay

không?

- Học sinh dé hiểu sai + là một số rất lớn và —œ là một số rất bé Can làm cho các

em phần nào hiểu rõ hơa khái niệm vô cực bằng các ví dụ.

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

~ Học sinh thường suy nghĩ thuật ngữ “giới hạn” theo nghĩa thường dùng trong cuộc

sống, đó là một “hạn mức ”, là một số hữu hạn Như vậy học sinh có thể cảm thấy mơ

hỗ khi học khái niệm giới han vô cực Không những vay, do tính trừu tượng của kháiniệm “v6 cực” học sinh có thể dé dàng đồng nhất hai trường hợp không tổn tại giới

hạn với có giới hạn vô cực.

2.2 CÁC QUAN ĐIỂM DẠY HỌC GIẢI TÍCH.

Trên đây là một số khó khăn mà chúng tôi dự đoán học sinh sẽ gặp phải khi tiếp cậnkhái niệm giới hạn Tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm hiểu các quan điểm dạy học giải tích:

- Quan điểm “Giải tích đại số hóa tăng cường”

Theo quan điểm này, người ta cố gắng thu ngắn sự ngắt quãng giữa Đại số và Giải

tích Do ý thức được học sinh sẽ gặp khó khăn khi tiếp cận với kiểu tư duy liên tục,

vô hạn và khi sử dụng các phương pháp, kỹ thuật xấp xỉ, cũng như những chướng

ngại khoa học luận dự kiến ở trên, họ cố gắng xây dựng cái mới trong sự liên tục,

chặt chẽ với cái cũ và hi vọng học sinh sẽ tiếp nhận kiến thức mới một cách tựnhiên Không những thế họ còn tìm cách thay các phương pháp và kỹ thuật xấp xỉbằng các phép toán và qui trình kiểu đại số

Trong quan điểm này, những vấn để lớn như xấp xỉ các số, hàm số đã không được

dé cập

- Quan điểm “Giải tích xấp xi”

Ngược lại với quan điểm trên, quan điểm này nhấn mạnh sự khác biệt vé ban chấtgiữa đại số và giải tích; có một sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu tư duy, phương

pháp và kỹ thuật chặn trên, chặn dưới, đóng khung, so sánh, xấp xi Không vượt

qua những chướng ngại này là chưa hiểu được nghĩa đúng của Giải tích.

Quan điểm này có 2 xu hướng chủ yếu cũng như quan điểm “Giải tích đại số hóa

tăng cường”:

s Xu hướng đưa vào các khái niệm cơ bản được định nghĩa một cách chặt chẽ với

lý thuyết, sử dung, thao tấc với ngôn ngữ: "z,M*,"e,ö" với phương pháp và kỹthuật xấp xi các số, dãy số và hàm số Nghĩa là đồng thời xử lý cả hai mặt: quanniệm và kỹ thuật xấp xỉ”

e Xu hướng tránh những định nghĩa hình thức nhưng nhấn mạnh vai trò củaphương pháp và kỹ thuật xấp xỉ Thay vì làm việc với (z,N),(e,ð)người ta lại

làm việc với các hàm số, dãy số sơ cấp cơ bản nhờ vào phương pháp và ky thuật

này.

- Quan điểm “Giải tích hỗn hợp”

¢ Quan điểm này nhấn mạnh Giải tích là một phạm vi trong đó tn tại các hoạt

đông xen kẽ nhiều hình thức tư duy và kỹ thuật bản chất rất khác nhau, mà chủ

yếu là tư duy và kỹ thuật mang đặc trưng Đại số và đặc trưng Xấp xỉ

Trang 14

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

se Quan điểm này cũng nhấn mạnh mối quan hệ biện chứng giũa hai thành phẩn:

Đại số hóa và xấp xi Quan điểm này vừa ý thức về han chế của Giải tích đại sốhóa, đồng thời cũng nhấn mạnh kiểu tư duy hữu hạn, rời rạc, các phương pháp

và kỹ thuật của Đại số vẫn có vài trò quan trọng trong giải tích.

s Thấy rd sự cẩn thiết của việc thao tác, sử dụng các kỹ thuật và phương pháp xấp

xỉ nhưng quan niệm “Giải tích hỗn hợp” cũng ý thức về những hạn chế của quan

điểm “Giải tích xấp xỉ” Do đó, bên cạnh việc đưa vào sử dụng hiệu quả các

định ly Đại số (vé giới hạn, tính liên tục, đạo hàm ) người ta cũng coi trọng việchọc tập các kỹ thuật và phương pháp xấp xi

2.3 KHÁI NIỆM GIỚI HAN TRONG SGK VIỆT NAM.

Sau đây, chúng tôi sẽ tim hiểu hướng giải quyết cud các nhà biên soạn sách giáo khoa, và quan điểm dạy học giải tích mà họ đã lựa chọn.

Sách giáo khoa chính là một yếu tố đóng vai trò quan trọng trong việc tổ chức cáchoạt động day học của giáo viên Có thể những bộ sách giáo khoa trước đây không thấyđược vai trò nay nhưng sau nhiều lần cải cách giáo dục mà cụ thể là lần cải cách mớinhất, SGK đã chú trọng đến việc xây dựng những hoạt động để học sinh chiếm lĩnh, vận

dụng tri thức và hiển nhiên không thể thếu sự sáng tạo của giáo viên trong việc tổ chức

các hoạt động sao cho phù hợp với tình hình lớp học cụ thể.

Từ đâu năm 1990, ở nước ta đã xuất bản 3 bộ SGK Toán theo chương trình CCGD

(1989):

- Một bộ sách (ĐHSP Hà Nội) do giáo sư Ngô Thúc Lanh và giáo sư Văn Như

Cương chủ biên cùng một số tác giả biên soạn

- Một bộ sách (Viện KHGD) do Phan Đức Chính chủ biên.

- Một bộ sách (Hội Toán học TPHCM) đo giáo sư Trần Văn Hạo chủ biên.

Năm 1999, Bộ GD&ĐT có chủ trương hợp nhất 3 bộ SGK thành một bộ SGK Toándùng chung cho mọi trường THPT trong cả nước đó là bộ SGK chính lí hợp nhất năm

2000.

Đến năm 2006, Bộ GD&ĐT áp dụng chương trình phân bài đại trà và xuất bản bộsách giáo khoa dành cho 2 ban cơ bản và nâng cao Và đến năm 2008, bộ SGK cơ bản và

nâng cao đành cho lớp 12 đã được xuất bản và đã được sử dụng trên toàn quốc.

Chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân tích nội dung lý thuyết giới hạn trình bày trong sách

giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đến nay:

2.3.1 Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2006{ 1|:

Theo Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, trang 3, quan điểm cơ bản của Bộ Giáo

duc và Dao tạo về xây dựng chương trình hợp nhất là:

- Không thay đổi chương trình năm 1991.

- Giảm tải, nghĩa là giảm nhẹ mức độ yêu clu, đồng thời giản lược những nội dung

Trang 15

Chương 2; KHÁI NIÊM GIỚI HAN

quá phức tạp xét thấy không cần thiết.

Trong chương trình năm 2000 này, “Giới hạn day số” được khẳng định là công cụ để

định nghĩa “giới han hàm số”; đặc biệt, chương trình năm 2000 nêu rõ hơn những yêu cầu

về tri thức cần giảng dạy so với chương trình năm 1991 :

- Không dùng ngôn ngữ e, 6 khi định nghĩa giới han dãy số, giới han ham số

- Định nghĩa giới hạn hàm số thông qua giới hạn diy số

- Thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn

Cấu tạo của chương Giới hạn gồm ba bài phân phối cụ thể như sau:

Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Bài 2: Giới hạn của hàm số.

Bài 3: Hàm số liên tục

2.3.1.1 Giới hạn của day số

Để đưa vào định nghĩa giới hạn của dãy số, sách [1] xuất phát từ một ví dụ cụ thể với

day số đơn điệu ¬¬ với biểu din day số trên trục số:

HỘ tơ u, u, 1,

1 61 7 44,

15 12 9 6 3

SGK đưa ra nhận xét : '`khi n càng lớn thì khoảng cách từ điểm u, tới | (tức là lu, - I|)

càng nhỏ, nó có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.""

Với mục đích giải thích cho cụm từ ''có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đàlớn "", tác giả đi vào giới thiệu kĩ thuật xấp xỉ cho học sinh

lệc lấy n > 400 >———; muốn cho khoảng cách :

việc lây n> 3 muốn © gC 10° 3n “10

7

lấyn > 4.10° >— :

Một cách tổng quát, với e là một số đương cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), muốn cho

khoảng cách ju, ~I|< £ thì chỉ việc lấy > N với N là số tự nhiên và N 2.

Như vậy với việc mô tả một trường hợp cụ thể, khái niệm e được đưa vào và xuất hiện

với tư cách là số đương nhỏ tùy ý Từ đây, học sinh sẽ biết kỹ thuật xấp xỉ của Giải tích:

“Cho £ >0 tùy ý”, “Với nọi n> W ”.

Sau khí nghiên cứu một trường hợp đơn lẻ, định nghĩa được phác thảo như vậy các tác giả

đã xây dựng khái niệm giới han day số theo tiến trình: “Đối tượng => Công cụ”: Con

đường qui nạp (chúng tôi sẽ nói rõ về các tiến trình day học khái niệm trong chương

Sau).

Trang 16

Chương 2; KHÁI NIỆM GIỚI HAN

Tiếp theo, định nghĩa theo ngôn ngữ e-N sau đây được trình bày :

“Ta nói rằng day số (u,) có giới hạn là a nếu với mọi số đương & cho trước

(nhỏ bao nhiêu tity ý), tổn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n >N thì \u, — l|< e.

Ta viết limu, =a hay thường viết tắt limu, =a"

Cách viết tất như trên giúp học sinh trình bày đơn giản giới hạn của đãy số Nhưngkhi chuyển sang giới hạn hàm số, các em quen với giới hạn dãy số nên thường quen chỉ

viết lim f(x).

Các tác giả đã kết hợp minh hoa hình học, thao tác dai số trên khoảng cách, thao

tac

với ngôn ngữ “e,N” nhằm giảm bớt khó khăn cho học sinh trong việc lĩnh hội khái niệm,

nhưng định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ "e,N”* trong đó quan niệm xấp xỉ xuất hiện

ngắm ẩn vẫn còn thật sự trừu tượng đối với học sinh.

Để giúp học sinh củng cố định nghĩa, SGK đưa ra một số hoạt động để thể hiện kháiniệm và sau đó giải mẫu cho học sinh để các em nắm được cách trình bày:

“Ta hãy vận dung định nghĩa trên để chứng minh rằng

nhận rằng chỉ có những dãy đơn điệu mới có giới hạn

Qua những vi dụ như vậy đã phần nào giúp học sinh làm quen với định nghĩa giới han

của day số và việc chứng minh một day số có giới han bằng định nghĩa

Tuy nhiên, SGK chỉ muốn giới thiệu với học sinh một số yếu tố của kĩ thuật xấp xỉ và

ý thức được những khó khăn của việc thao tác các kĩ thuật xấp xỉ nên những ví dụ đưa rahết sức đơn giản

SGK còn trình bày thêm các ứng dụng của giới hạn trong bản thân môn Toán giúp học

sinh thấy được mối tương quan giữa khái niệm giới hạn với các đối tượng khác trong

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

® Định nghĩa số e: in(1++) =e, e là một số vô ti và SGK cũng cho biết e = 2,71828

n

Ta nhân thấy, giá trị gần đúng này của số e có thể tìm được bằng cách xấp xỉ , chẳng hạn

khi cho n = 800000 thì số hạng tương ứng của đãy số [+2] sẽ xấp xi với 2,71828013

n

(kết qua này theo máy tính bỏ túi)

Để định nghĩa dãy số dẫn tới vô cực SGK bắt đầu từ day số không đơn điệu u, =

(-1) 2n mà dang khai triển của nó cho thấy | |có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.

Và để giải thích cho cụm từ ''có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn"', một trường

hợp cụ thể đã được xét đến.

Sau đó, SGK hình thành khái niệm dãy số dẫn tới vô cực theo tiến trình “Cong cụ >Đối tượng”: Con đường qui nạp, thông qua một trường hợp cụ thể định nghĩa được phác

thảo, sau đó được trình bày chính thức bằng ngôn ngữ “M,N”:

*Ta nói rằng dãy số (u„) dẫn tới vô cực nếu với mọi số dương M (lớn bao nhiêu tùy ý),

tôn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thi l»,| >M.".

Tuy nhiên, SGK lại không minh họa cho học sinh bằng cách biểu diễn hình học của

dãy số lên trục số như đã làm đối với giới hạn hữu hạn.Đến đây, khái niệm vô cùng lớn

đã xuất hiện một cách ngầm ẩn

SGK cũng lưu ý rằng dãy số (u_) dẫn tới vô cực không có giới hạn do không bị chặn, song để cho tiện người ta vẫn dùng ký hiệu lim, = ©

Ký hiệu œ đ đây được hiểu là + © hay -œ.

Sau đó SGK đưa ra 1 ví dụ để thể hiện khái niệm: “Chứng minh rằng

tim| (-1)" n’ |== Ví dụ này giúp củng cố thêm kiến thức cho học sinh về n là số tự

nhên khi giải nŸ > M, nhưng nhìn chung thì đây là ví dụ tương đối dễ.

SGK chỉ thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới han:

Định lí I : (điểu kiện cần để dãy số có giới han)

“Néu một dãy số có giới hạn thì nó bị chan”

Định lý này tương đương logic với diéu kiện đủ để dãy số không có giới han

"Nếu day số không bị chặn thì không có giới han”

Định lí 2 : (tinh duy nhất của giới hạn)

“Né&u một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất”

Định lí 3 : (điều kiện đủ để dãy số có giới hạn - ĐỊNH LÍ Weirstrass)

“Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

Một dãy số gidm và bị chặn dưới thì có giới han”.

Định lí 4; (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới càng một giới han);

Trang 18

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

"Cho ba day số (w„}, (vq) và (w„) Nếu Wn EN” ta có v, Su, <w_ và lim v„ =lim w„= A thì

lim túy = AC”

Định lí 5; (Các phép toán trên các giới han của dãy số) Nếu hai dãy số (w ) và

Nếu dãy số (u_) có giới han thì: lim Ju, = vlimu, (u >0.VneN')

Định lí 6 : Nếu |a|< 1 thì lìm qˆ =0 (ngẩm ẩn là một dạng vô cùng

Định lí 7: Néu lima, = O(u, #0,Wn € N") thi lim =œ,

H

Ngược lại , nếu limu, =œ thi iim 6

“

2.3.1.2 Giới hạn của hàm sé

Có thể định nghĩa khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm độc lập với

khái niệm giới hạn của day số thông qua ngôn ngữ "¢,d" như sau"e,ổ":

"lim f(x)=b © We > 0,3ổ >0: Vx # x, thỏa mãn |x—z¿|< ở thi |/#œ)-ø|<e"

“`

Do đâu mà định nghĩa của Cauchy (dùng ngôn ngữ “¢,d") đã không được chọn để

định nghĩa giới hạn hàm số? Trong TLHDGD , trang 62, có giải thích rõ :

*Kinh nghiệm lich sử của Toán học gân 200 năm nay chững tỏ rằng định nghĩa đó đáp

ứng ddy đã các yêu cầu của Giải tích Song về mặt sự phạm, thì học sinh lớp 11 rất bd ngỡ

và cảm thấy khó hiểu, khó nắm được nội dung quá phức tạp của định nghĩa trên.”

Vì lý do đó, bản để cương chỉnh lý hợp nhất Đại số và Giải tích 11 qui định :

“Dinh nghĩa giới hạn của hàm số thông qua giới han của dãy số, không dùng ngôn ngữ

e-5 Cách trình bày lý thuyết giới hạn theo ngôn ngữ “dãy số” dễ hiểu hơn và do đó dễ

tiếp thu hon Chắc chắn đây là biện pháp gidm tải quan trọng nhất, có hiệu quả nhất”

Nhận định này không phải đến lúc này mới có Trước đây, trong sách “Phương phápdạy học môn Toán, phẩn hai” (1994), trang 160, tác giả Dinh Nho Chương đã từngviết: "Hiện nay trên phạm vi quốc tế cũng đã có những ý kiến cho rằng không được dùng

ngôn ngữ e, 6 đối với học sinh phổ thông" Vé mặt trừu tượng, định nghĩa thông qua giới

hạn day số cũng “không kém” trừu tượng hơn so với định nghĩa ding ngôn ngữ ”£,ổ”, “

Tuy nhiên vì nó dựa trên khái niệm giới hạn của dãy số đã trình bày trước đó, nên học

sinh dễ chấp nhận hơn mà thôi”

Như vậy, điểm tựa sư phạm là tránh quan điểm xấp xi và nhấn mạnh trên quan điểm

Trang 19 | TH :

Trưởng Dai-Hoc Su-Pham

TP HÕ-CHI-MINH

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

đại số hóa Về mặt lý thuyết, giới hạn hàm số trở nên gần như là hệ quả của giới hạn dãy

số và mất đi sự độc lập vốn có của nó như trong trong lịch sử

Như vậy, SGK đã xây dựng khái niệm giới hạn của hàm số theo tiến trình “Đối tượng

-> Công cụ”: Con đường qui nạp, giới han của hàm số f(x) khí x dẫn tới a được định

nghĩa, thông qua giới hạn của các dãy số (( I(x.) va (x, )):

Để định nghĩa giới han của hàm số, SGK đưa ra một ví dụ: hàm số f(x) = , cho

là 1 thì ƒ(x,) > 2 Ta nói rằng khix dan tới 1, thì hàm số dan tới 2

"Cho ham số fix) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm a EK Ta nói rằng ham

sốfix) có giới hạn là L (hay dẫn tới L) khi x dẫn tới a, nếu với mọi dãy số (x„) (x„€K, x,# a ,Vn € N°) sao cho khi lim x, =a thi lùn flx,) = L*

Như vậy, học sinh dễ dang sử dụng những kĩ thuật thuật tìm giới hạn dãy số để giải

bài toán tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa, tránh được việc sử dụng kĩ thuật xấp xỉ

thay vào đó là sử dụng kĩ thuật đại số Tuy nhiên với cách trình bày này, học sinh không

thấy được ý nghĩa hình học của giới hạn hàm số, mà để nắm được khái niệm giới hạn thì

ít nhất phải nấm được tất cả các khái niệm giới hạn có thể có.

Trong định nghĩa trên, SGK giả thiết rằng “hàm số xác định trên khoảng K” với mục

đích nhấn mạnh cho học sinh không có nghĩa K là tập xác định mà K có thể là một tập

con của tập xác định Tương tự, SGK chỉ cẩn giả thiết “Cho hàm số f(x) xác định trên

một khoảng K trừ ở điểm a EK” là đủ học sinh phải hiểu rằng hàm só có thể xác định tại a

hoặc không xác định tại a, nhưng vì lí do sư phạm và tránh cho học sinh hiểu nhằm rằng

hàm số y=/fx) không xác định tai a, SGK đã nêu thêm “hàm số f(x) xác định trên một

khoảng K”.

Cách giả thiết hàm số xác định trên khoảng K thay cho khoảng (a;b), giúp tạo thuận

lợi cho việc mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số Về sau, SGK không viết lại mà

ngắm hiểu là “hàm sốf(x) xác định trên một khoảng K, trừ ở điểm a EK” cho các trường

hợp hàm số dan tới vô cực, giới hạn tại vô cực và giới hạn một bên

Điều này có thể gây mơ hé cho học sinh, nên chú thích rõ khoảng K có thể có các

dang nào Thực ra, SGK có thể xem (a;b) như là một khoảng tùy ý, nghĩa là xem a và b

như các số thực hay +0

Như vậy, người ta đã né tránh hoàn toàn quan điểm xấp xỉ và coi trong quan điểm đại số

hóa, trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số Việc tìm giới hạn của hàm số

giờ đây qui về tìm giới hạn của dãy số nhờ vào các phép toán mang bản chất đại số.

Tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số, SGK mở rộng khái niệm giới hạn của hàm

số din tới vô cực

Trang 20

Chương 2: KHÁI NIEM GIỚI HAN

SGK đưa ra một ví dụ cụ thể: im — =o, sau đó phân tích các thuộc tính bản chất“^^! Kr—Í]

của khái niệm rồi trình bày định nghĩa hàm số dẫn tới vô cực chính thức thông qua định

nghĩa giới hạn dãy số.

SGK lại chú ý một lần nữa “x không phải là một số nên thật ra hàm số f(x) không có

giới hạn".

Sau đó SGK chia ra 2 trường hợp và giải thích rõ khi nào hàm số dẫn tới dương vô cực

và khi nào hàm số dan tới âm vô cực, nhưng không có hoạt động để củng cố định nghĩa

SGK xây dựng khái niệm giới han tại vô cực theo tiến trình “Đối tượng-»Công cụ”:

Con đường qui nạp Trước hết SGK đưa ra ví dụ lim =! <1 rồi tổng quát lên thành định

me ox

nghĩa , SGK định nghĩa giới hạn tai vô cực thông qua giới han dãy số và lưu ý rằng “cdcđịnh lý về giới hạn của hàm số khi x—»a vẫn còn đáng khi x—xe”

Với khái niệm giới hạn một bên, SGK trình bày theo tiến trình *Đối tượng->Công

cụ”: Con đường suy diễn SGK định nghĩa giới hạn một bên thông qua giới hạn day và có

2 ví dụ để củng cố khái niệm:

"Ví dụ 1: Tìm lim Vx-1

cow

| 2 2

Vidu 2: Tim lim c" và lim * tÌ ^

Qua cách mở rộng các khái niệm gới hạn của hàm số, SGK dùng chung “Cho hàm số

SX) xác định trên một khoảng K, trừ ở điểm a €K" khi định nghĩa các khái niệm trên dưới

dạng ngẫm ẩn chứ không nêu lại một cách tường minh, diéu này có thể gây khó khăn cho

các em trong việc lĩnh hội khái niệm giới hạn.

Đặc biệt, SGK đưa vào một “Chứ ý : + — (—) = +00” ngắm ẩn rằng không phải

một phép toán vé œ nhất thiết là dang vô định Diéu này cũng phần nào giúp các em hiểu

thêm về giới hạn Nhưng chúng tôi tự hỏi : Thế còn đối với các giới hạn khác nữa có

liên quan đến œ thì sao? Chẳng hạn như -œ+(—-œ) Rõ rang là một “chú ý” như trên

chưa tổng quát.

Quan điểm đại số hóa tăng cường được thể hiện rõ khi SGK đưa ra hàng loạt các định

lí như là những công cụ để học sinh tìm giới hạn một cách đơn giản hơn và không yêu chu

phải chứng minh các định lí này:

Định lí tính duy nhất của giới hạn

“'Nếu hàm số fix) có giới hạn khi x dẫn tới a thì giới hạn đó là duy nhất' '.

Định lí các phép toán về giới hạn hữu hạn:

*Nếu các hàm số fix) và g(x) đều có giới hạn khi x —> a thì:

lim[ f(x) g(x) Ì= lim f(x)+ lim g(x)

soo mm

Chương 3: KHÁI NIEM GIỚI HAN

lim[ ƒ(x).e() |= lim ƒ(x).lim g(x)

“Cho ba hàm số fix) , g(x) và h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thế

trừ ở điểm a € K) Nếu với mọi điểm x của khoảng đóg(x)< ƒ(x)<h(x) và nếu

lim g(x) = lim h(x) =L thì lim f(x) =L

"Nếu khi x —» a, hàm số fix) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gân a mà fix) > 0

(hoặc fix) < 0) thì L3 0 (hoặc L < 0)”

“Néu lim f(x) =O(va f(x) #0 với mọi x đủ gin a) mi lim at ~“ —~ x

Ngược lại, nếu lim f(x) =@ thì tin =0"a) tore f(x)

“Diéu kiện dt có và da để lim ƒ(x)=L thi lim f(x), lim f(x) đều tổn tại và bằng L ”

SGK cũng giới thiệu với học sinh các dạng vô định 2 0x và o-oo để trang bị

a

cho các em những tri thức phương pháp dạng tường minh, dù rằng trong các phan trước,

thông qua các ví dụ cũng như các bài tập, SGK đã ngầm ẩn đưa ra các dang vô định này

của giới hạn hàm số và có hướng dẫn giải:

(Trong giới han day số cũng ngắm ẩn có các dang vô định này)

Trên tinh thần giảm lược những nội dung quá phức tạp xét thấy không cần thiết, SGK vẫn giữ lại các định lý tính duy nhất của giới han dãy số và hàm số, diéu kiện cẩn để nêu lên

những thuộc tính bản chất của khái niệm giới hạn mà học sinh chưa thể nhận ra hoặc không được nêu dưới dang tường minh trong định nghĩa Điểu này có ưu điểm là giúp học

Trang 22

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về khái niệm giới hạn, phan nào hiểu được nghĩa của Giải

tích; nhưng SGK lại không có hoạt động nào để củng cố các định lý trong cả phần lýthuyết lẫn hệ thống bài tập

2.3.2 Chương trình SGK năm 2006_ ban cơ bản [2]:

Ngay từ đầu chương Giải tích, nghịch lí Zénon đã được đưa ngay vào với hai mục đíchchính sau: (Theo sách giáo viên Đại số và Giải tích 1] ban cơ ban)

- Lam cho học sinh bước dau ý thức được sư hạn chế của các phép toán và qui tắc đại

số khi nghiên cứu các qui trình vô hạn.

- Tạo động cơ ban đầu cho học sinh trước khi đi vào nghiên cứu chương Giới hạn Giớithiệu cho các em nghịch lý mà đã từng làm bối rối các nhà khoa học toán học Từ đó

các em tự nhận thức được tam quan trọng của khái niệm giới hạn và có nhu cầu, hứng

thú nghiên cứu nó.

SGK còn có hình ảnh minh họa cho nghịch lí “Asin đuổi rùa” của Zénon: A-sin(Achille) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng

"Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A, cách A-sin một khoảng bằng a khác 0, thì mặc dù

chạy nhanh hơn, A-sin cũng không đuổi kịp rùa.

Thật vậy, để đuổi kip rùa, trước hết A-sin cẩn đi đến điểm xuất phát A, của rùa Nhưng trong khoảng thời gian đó, rùa đã đi đến một điểm A, khác Để đuổi tiếp A-sin lại

phải đến được điểm A; này Khi A-sin đi đến điểm A; thì rùa lại tiến lên điểm Ay Cứnhư thế, A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa.”

2.3.2.1 Giới hạn của dãy số:

Theo sách giáo viên, về khái niệm giới hạn của dãy số, chương trình yêu cầu:

- Không dùng ngôn ngữ £,X để định nghĩa giới hạn của day số (như sách { 1]).

- Thông qua các ví dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ đó dẫn tới khái

niệm giới hạn khác 0.

Nhìn chung, phẩn lớn những bộ sách trước đây đều giới thiệu khái niệm giới hạn cho

học sinh theo quan điểm “Giải tích đại số hóa tăng cường”, các tác gid đều dùng ngôn

ngữ Toán học chính xác để giới thiệu khái niệm mới Nhưng ở bộ sách năm 2006 lại có

điểm khác biệt rõ nét so với các bộ sách trước đây, các tác giả đã xây dựng khái niệm giới hạn của đãy số chủ yếu bằng ngôn ngữ mô tả Nếu xét theo mức độ "Đại số hóa Giải tích" một cách hình thức thi ta có thể nói cách định nghĩa giới hạn bằng mô tả thuộc vé

cấp độ cao nhất.

Trước hết, để định nghĩa giới hạn của dãy số, các tác giả phân ra hai giai đoạn: giai

đoạn dau là giới thiệu khái niệm “giới hạn 0", kế tiếp là giai đoạn “giới hạn L” Việc

này giúp học sinh tiếp cận từng bước khái niệm giới hạn theo mức độ khó khăn tăng dẫn

từ thấp (giới hạn 0) đến cao (giới hạn L) một cách tự nhiên và không cảm thấy hoangmang như khi tiếp xúc với các khái niém"e,N” hay khái niệm "lân cận” cũng như khi

Trang 23

Chương 3: KHÁI NIEM GIỚI HAN

làm việc với các đối tượng £ ; “cho £ tùy ý”, “tổn tại M, sao cho với mọi n> N, ”

Các khái niệm giới hạn 0 và giới hạn +œ của dãy số đều được SGK đưa vào theo tiến

trình “Đối tượng-»Công cy”: con đường qui nạp Cụ thể là qua các hoạt động, khái niệm

được m6 tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình hoc Sau đó trình bày định

nghĩa tổng quát đưới dang mô tả Còn khái niệm giới hạn khác 0 và giới hạn — được

định nghĩa qua các khái niệm giới hạn 0 và giới hạn +œ.

Để định nghĩa khái niệm giới hạn 0, SGK đưa vào định nghĩa đãy số có giới hạn 0

dưới dạng mô tả sau đây: “Ta nói dãy số (u,) có giới hạn là 0 khi n dẫn tới dương vô cực,

nếu |u,| có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở di.”

Định nghĩa này được hình thành theo con đường qui nạp qua hoạt động I:

"Cho dãy số (u,) với u, sẻ có dang khai triển : I, ‘as x

a) Nhận xét xem khoảng cách từ u_ tới 0 thay đổi như thế nào khi n trénén rất lon.

b) Bắt đấu từ số hạng u, nào của dãy số thì khoảng cách từ u„ đến 0 nhỏ hơn 0.01?

0,001?"

Dé thấy với định nghĩa giới han bing mô tả như trên, khái niệm giới hạn trở nên nhẹ

nhàng hơn và đơn gidn hơn nhiều Để trả lời cho câu hỏi day {u,} có giới hạn hay không

ta chỉ cần nhận xét khi n càng lớn thì khoảng cách từ ø„ tới 0 thay đổi thế nào? Việc học

sinh nhận ra một khoảng cách phụ thuộc vào số tự nhiên n càng nhỏ khi n càng lớn thì dễ

hơn việc cho một số £ tùy ý, chỉ ra N, sao cho với mọi n>N,, u,|<e.

Cụ thể là việc nhận ra h càng nhỏ khi n càng lớn không phải là một việc khó khăn,

nhưng nếu phải chỉ ra với £ > O tùy ý, tổn tại NV, sao cho với mọi n> X, ta có <xa

lại là một chuyện không đơn giản.

Bên cạnh những wu điểm của định nghĩa bằng mô tả là dé hiểu, dé tiếp thu và dựa

trên những yếu tố quen thuộc với học sinh như số 0, “càng nhỏ", SGK vẫn chú trọng vấn

để định lượng n lớn đến mức nào thì u,| đủ nhỏ, nghĩa là giữa u„ và n có mối liên hệ

định lượng thế nào? “Bất ddu từ số hạng wu, nào của day số thì khoảng cách từ wu, đến 0

nhỏ hơn 0.01? 0,001?" Điều này đã giúp khắc phục nhược điểm của cách định nghĩa giới

hạn bằng mô tả

Chương 2: KHÁI NIEM GIỚI HAN

Với mục đích hình thành cho học sinh biểu tượng ban dau vẻ khái niệm dãy số có

giới hạn 0, SGK đã cố gắng hình thành thành cho các em trực giác số, trực giác hình học

và cả suy luận logic Kĩ thuật xấp xỉ chỉ được thể hiện ngầm ẩn qua việc trả lời "tử số

hạng u_ nào của day số thì khoảng cách từ u„ đến 0 nhỏ hơn 0.01? 0,001?", để từ đó đi

đến thừa nhận “Ta cũng chứng minh được rằng |u,| = | có thể nhỏ hơn một số dương bé

n

tùy ý, kể từ một số hang nào đó trở đi.” Điều này là đúng với tinh thần giảm tải chương

trình, trường hợp tổng quát với số dương e bất kì không yêu câu chứng minh

Do đây là Mn đầu tiên học sinh tiếp cận với khái niệm của Giải tích, để đắm bảo tính

vừa sức, SGK đã chọn dãy số khá đơn giản trong hoạt động 1 Tuy nhiên, với dãy số này,

học sinh có thể có suy nghĩ sai lệch rằng: dãy số có giới hạn là 0 thì là day đơn điệu và

tiến din vé 0 từ một phía, hoặc thậm chí là các dãy số của số hạng phải đương (day số

giảm dan về 0)

Nhưng ví dụ | được đưa ra đã khắc phục được điều này, đồng thời giúp học sinh thể

hiện lại khái niệm dãy số có giới hạn 0 và minh họa cụ thể cho việc định lượng n lớn đến

SGK đã chọn diy số không đơn điệu, giúp học sinh không ngộ nhận rằng chỉ có diy

số đơn điệu mới có giới hạn , đồng thới giúp học sinh giúp học sinh thấy được hình ảnh

sinh động các số hạng của dãy tiến về 0 từ 2 phía, dựa trên cơ sở đó mà hình thành trực

giác số và trực giác hình học

Chúng ta cẩn lưu ý rằng ví dụ 1, SGK không yêu cầu dùng định nghĩa để tìm giới hạn

hay chứng minh day số có giới hạn là 0, vấn để ở đây là SGK minh họa và giải thích cho

định nghĩa, vì vậy mà ngay từ đầu SGK đã viết “Người ta chứng minh được rằng

limu, = 0" Với cách trình bày này, SGK đã tránh được ngôn ngữ “e,N” nhưng vẫn giới

thiệu được cho học sinh hình ảnh của kĩ thuật xấp xi thông qua việc trình bày kĩ thuật tìm

n để |« | nhỏ hơn số dương cho trước.

Nhờ cách trình bày hỗn hợp "trực giác-suy luận” mà tính chất cơ bản của dãy số có

giới hạn 0 được khẳng định mà vẫn đảm bảo được tính sư phạm và tính chặt chẽ.

Dễ thấy với định nghĩa giới hạn bằng con đường qui nạp như trên, khái niệm giới hạn

Trang 25

Chưumy 2; KHÁI NIỆM GIỚI HAN

trở nên nhẹ nhàng hơn và đơn giản hơn nhiều SGK không chú trọng vào việc đãy số đó

có giới hạn là 0 hay không”, mà tập trung vào việc giúp học sinh hiểu được tại sao mộtdiy số đó có giới hạn là 0, việc giải thích được dựa vào khái niệm giới hạn day số Vấn

để ở đây là dù SGK không trình bày định nghĩa hoàn toàn chính xác của dãy số có giớihan 0, nhưng bằng cách kết hợp với hoạt động | và ví dụ 1, mối liên hệ định lượng giữa n

và lu, | vẫn được thể hiện mà học sinh vẫn có thể tiếp nhận một cách dé dàng.

Một điều cần lưu ý là qua hoạt động | và ví dụ 1, SGK đã minh hoa cho trường hợp

day số (w ) không đơn điệu và dẫn vé 0 từ bên phải hoặc từ cả 2 phía nhưng chưa nêu lên một cách tường minh để học sinh có thể hiểu rõ thêm bản chất của giới hạn.

Theo con đường suy diễn, khái niệm giới hạn a được trình bày thông qua khái niệm

giới hạn 0, giúp học sinh chuyển qua khái niệm giới hạn a một cách tự nhiên hơn.

Theo sách giáo viên: “Có thể định nghĩa khái niệm giới han a như sau: “Ta nói dãy số

(v,) có giới hạn la số a khi n dẫn tới dương vô cực, nếu với mọi ne N° Vv =atu,, trong

đó lim u, =0”

.—_._

Ưu thế của định nghĩa này là học sinh có định hướng vé phương pháp tìm giới hạn hữu

hạn mà không phải phụ thuộc vào dang bài toán “chứng minh lim v, =a",

Tuy nhiên SGK chon định nghĩa đưa vào như sau: ” Ta nói day số (v,) có giới han là

số a (hay v„ ddn tới a) khin =» % nếu lim (v, ~aÌ= 0.” Ngay từ đầu, SGK đã không tập

trung vào việc tìm giới hạn bằng định nghĩa Cách định nghĩa giới hạn là số a này gây

khó khăn cho học sinh trong việc hình dung: khi n càng lớn thì „_ càng gần a Bên cạnh

đó, khi sử dụng thuật ngữ “v, ddn tới a”, SGK đã ngắm giúp cho việc định nghĩa một số

khái niệm về giới hạn hàm số được dé dàng hơn.

Sau khi định nghĩa giới hạn là số a, SGK đưa ra một ví dụ để học sinh thể hiện khái

2n+l

n

Tiếp theo, SGK giới thiệu một số giới han đặc biệt mà kết quả đã được thừa nhận, để học

sinh có thể vận dụng trong việc giải bài tập tìm giới hạn của dãy số:

“a) lim 4 =0; lim a = 0 với k nguyên dương;2-00 n "- n

b) lim qg* =0 nếu |4| <1;

an

c) Nếu u, =¢ (c là hằng số) thi lim w, = lim e =.”

ne

niệm: "Ví du 2: Cho day số (v„ với v, = Chứng minh rằng: lim v„ = 2.”

SGK còn chú ý thêm: “thay cho limu,=a, ta viết tất là lùmu =a." Cách viết

lim u, =a dù thể hiện đẩy đủ mối quan hệ giữa các đối tượng có mặt trong định nghĩa

nhưng lại phức tạp trong cách trình bày; trong khi đó, đối với giới hạn dãy số, chỉ có duy

Trang 26

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

nhất một trường hợp n—» +0, Để đơn giản cách viết, SGK cho phép viết tắt nhưng đến

giới hạn hàm số, học sinh có thể vẫn giữ cách viết tất đó gây ra một số khó khăn trong

việc tìm giới hạn hoặc thiếu sót trong việc trình bày lời giải.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là một trong những ứng dụng của giới hạn được SGK

để cập tới để các em có thể sử dụng công thức trong quá trình giải toán về giới hạn

Để trình bày công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, SGK đưa ra 2 ví dụ cụ thể “Day

số -Ự UV out Tan với công bội g = 2

~l

: it 11 1 : 4

Sau khi trình bày cách thành lập công thức, SGK đưa ra công thức tổng quất

S= Talla 1)" rồi đưa ra ví dụ để học sinh vận dụng công thức tìm tổng của cấp số

nhân lùi vô hạn.

Với khái niệm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, SGK không trình bày như một “Định

nghĩa” mà chỉ dừng lại ở mức độ mô tả khái niệm.

Tương tự như đối với khái niệm giới hạn 0, khái niệm “Giới hạn +0” được đưa vào theo

tiến trình “Đối tượng->Công cụ”: Con đường qui nạp Nhưng SGK không đưa ra một day

số có giới hạn + mà lổng vào hoàn cảnh cụ thể là xếp chồng liên tiếp xấp giấy này lênxấp giấy kia một cách vô hạn với số tờ của mỗi xấp giấy tăng dẫn, bể dày của mỗi tờ là

0.1mm; rồi từ đó xây dựng dãy số vô hạn (u,) với u, = rm là bể day của chéng giấy gdm

n tờ Cách xây dựng hoạt động 2 như vậy gắn gũi quen thuộc trong thức tế nên dé gây

hứng thú tò mò cho học sinh Ở câu hỏi a, SGK yêu cầu học sinh “nhận xét vé giá trị của

u, khi n tăng lên vô hạn giúp học sinh có hình ảnh trực quan của dãy số dẫn tới dương vô

cực khi n tiến tới dương vô cực Sang câu b, SGK đã giúp học sinh có ấn tượng rằng ø_có

thể lớa một cách tùy ý miễn là n đủ lớn, vì đối với các em thì khoảng cách từ Trái đất tới

Mat Trăng rất lớn nhưng vẫn có những giá trị n để u_ lớn hơn khoảng cách đó.

Sau đó SGK công nhận có thể chứng minh: “= Th thé lớn hơn một số dương bất kỳ,

kể từ một số hạng nào đó trở đi, như vậy SGK cũng chỉ giải thích minh họa chứ không

chứng minh day số (u, ) có giới han +œ.

*Ta nói rằng đây số («,) có giới han +œ khi n> +0, nếu w có thể lớn hơn một số

dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở di.”

Khái niệm “Giới hạn —<o” có thể được đưa vào tương tự như khái niệm “Giới hạn +0”, Tuy nhiên SGK đã định nghĩa giới hạn =œ thông qua giới hạn +0 để học sinh tiếp nhận

một cách tự nhiên hơn, đơn giản hơn và thấy rd mối quan hệ giữa hai khái niệm này

Trung 27

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

“Dây số (u,) được gợi là có giới hạn =œ khí n =› +, nếu lim(~u, )= +œ " Định nghĩa

này chỉ mang tính hình thức và gây khó khăn cho học sinh trong việc hình thành biểu tượng dây số có giới hạn —œ,

Sau khi trình bày định nghĩa, SGK đưa ra một ví dụ để củng cố khái niệm “Giới hạn

+“ đồng thời hướng dẫn cụ thể cách xác định n để ø, lớn hơn số dương bất kì, nhưnglại không có ví dụ minh họa cho khái niệm “Giới hạn -<o” để giúp học sinh nhận ra mối quan hệ giữa giới hạn +œ và -œ Tương tự như ở phần khái niệm giới hạn 0, 3 ví dụ 6: “

Cho day số (u, )với u„ = n°* SGK cũng biểu diễn các số hạng của dãy trênt trục số và

giải thích cho thuộc tính “lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hang nào đó trở đi”

là chính chứ không phải tìm giới hạn bằng định nghĩa Vì thế mà SGK cũng thừa nhậnngay từ dau là “Người ta chứng minh được rằng limu, = +œ *

Nếu như trong các SGK trước đây, ký hiệu có thể được hiểu như +0,-0 hay hỗn

hợp cả hai ứng với từng trường hợp cụ thể, sách [2] không còn dùng khái niệm “Day sốdẫn tới vô cực” và viết limu, =œ như trước đây, mà đưa vào hai khái niệm: giổi hạn +œ

và giới hạn =œ Như vậy SGK không dùng ký hiệu œ chung chung nữa mà phân biệt rõ

ràng trường hợp nào là +œ và trường hợp nào là —œ, đồng thời xem +œ như là giới hạn của dãy số Ngược lại với SGK trước đây, œ được xem là một ký hiệu chứ không phải là

số thực nên không coi © là giới hạn của dãy số nhưng lại sử dụng kí hiệu limu, =o

Thay đổi của SGK mới đã giải quyết được thấc mắc trước đây của học sinh lẫn giáo viên:

Vì sao (w_) không có giới hạn mà lại viết limu, =œ?, Không những thế, vi 8 là một tập

hợp sắp thứ tự nên việc trình bày như thế là hợp lý, đơn giản hơn và dé hiểu hơn Tuy

nhiên khi học sinh tìm được giới hạn của một dãy số là vô cực thì phải xác định chính xác

là +œ hay —=œ chứ không đớn giản như trước đây Điều này sẽ gây thêm khó khăn cho

học sinh khi tìm giới hạn vô cực.

Như vậy, sẽ có một số giới hạn mà trước đây ta gọi là dãy số dẫn tới vô cực nhưlim(—1)'n =% nhưng theo SGK mới thì dãy số đó không tổn tại giới hạn

Và vì không đặt trọng tâm vào việc tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa nên SGK tiếp

tục cung cấp một số dãy số đã được thừa nhận là có giới hạn +œ để học sinh sử dụng

trong khi tìm giới hạn đãy số.

“a)limn‘ = +00 với k nguyên dương;

b)limg* = +œ nếu g > l."

Sau khi giới thiệu phẩn giới hạn dãy số, SGK có một bài đọc thêm trình bày cụ thể

nghịch lý Zénon đã được để cập ở đầu chương với mục đích giúp học sinh thấy được công

Trang 28

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

cụ giới han da giải quyết được các vấn để mà các nhà toán học đã gặp phải trong lịch sửnhư thế nào

So với sách [1], sách [2] chỉ trình bày định lí các phép toán giới hạn hữu han của dãy

số và trình bày thêm định lý về giới hạn vô cực SGK trước đây không cho phép 4p dụngđịnh lí gidi hạn hữu hạn để tìm giới han vô cực nhưng lại không cung cấp những công cụ

cho học sinh khi làm việc với giới hạn vô cực, SGK cũng chỉ thừa nhận không chứng

c)NEulimu, = và limv, =a >0thìlim(w ,v )= +00"

SGK đặt vấn để vào bài học bằng hình vẽ đã thể hiện được mục tiêu nghiên cứu - mối

liên hệ giữa sự biến thiên của đối số và biến thiên của các giá trị tương ứng của ham số

mà SGK sé để cập đến trong hoạt động 1.

SGK xây dựng khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm theo tiến trình

Đối tượng-»Công cu”: Con đường qui nạp Trườc hết, SGK xây dựng hoạt động | bằng

2x? -2x

cách đưa ra một hàm số cụ thé f(x) = tồi yêu cầu học sinh nghiên cứu xem nếu

biến số x lấy những giá trị lập thành dãy số (x,) voix, =2“ va day số này dẫn tới 1 thì

n

dãy số (/(x,)) tương ứng của hàm số y=/fx) thay đổi ra sao? Sau đó SGK yêu cẩu học

sinh xem xét trong trường hợp biến số x lấy những giá trị lập thành dãy số bất kì

(x,), x, #1 vax, 1.

Hoạt động này giúp học sinh hình thành khái niệm giới hạn ham số dựa trên những

kiến thức đã học vé giới hạn dãy số nhưng do không có hình ảnh minh họa nên học sinh

khó có thể hình thành biểu tượng giới hạn của hàm số cũng như khó hình ding được hình

ảnh dãy số f(x) 72 như thé nào?

Sau đó SGK trình bày định nghĩa khái niệm giới hạn hữu hạn tại một điểm thông qua giới

han dãy số như sách [1] mà không sử dụng ngôn ngữ "£,ô"

“Cho khoảng K chứa điểm x, và hàm số y= fix) xác định trên K hoặc trên K \{x,} Ta

nói hàm số y= fix) có giới han là số L khi x dẫn tới x,, nếu với day số (x,) bất ki,

x„€K\{x,}và x, xụ, ta có ƒ(x,)—>L *

Định nghĩa trên tương tự như sách [1] chỉ thay đổi về hình thức về cơ bản nội dung là

giống nhau nên ta không đi sâu phân tích cách xây dựng định nghĩa Nhưng ở sách {2] có

Trang 29

Chương 2: KHÁI NIỆM GIỚI HAN

bổ sung thêm “thay cho các khoảng (a;b),(-œ;b),(a;+) hoặc (=z;+œ) ta viết chung là

khoảng K" vì khi giới thiệu khoảng K có thể gây mơ hổ cho các em Cách giả thiết hàm

xố xác định trên khoảng Ấ thay cho khoảng (a;b) ngay từ định nghĩa giới han hữu han tại

một điểm giúp cho việc chuyển sang định nghĩa giới hạn một bên, giới hạn tại vô cực

cũng như giới hạn vô cực một cách tự nhiên hơn, khí mà tương ứng với mỗi khái niệm

SGK lại đưa ra một khoảng tương ứng mà hàm số y=/†x) xác định trên đó.

Sau khi định nghĩa giới hạn hữu han tại một điểm, SGK đưa ra 1 ví dụ để củng cố định

nghĩa và đồng thời giúp học sinh hiểu được thêm về bản chất của giới hạn hàm số

x-4

x+2

Thông qua ví dy 1, học sinh có thé nhận củng cố lại kiến thức ở hoạt động |; hàm số

có thể không xác định tại x, nhưng lại có thể có giới hạn tại điểm này; từ đó, học sinh dé

dàng hiểu vì sao trong định nghĩa lại cho giả thiết “hàm số y= fix) xác định trên K hoặc

trên K\ {x,}

Tiếp theo, SGK trình bày khái niệm giới han một bên Trước khi đi vào khái niệm,

SGK có giải thích tại sao lại có khái niệm giới hạn một bên “Trong định nghĩa | về giới

hạn hữu hạn của hàm số khi x, -> x,, ta xét dãy số (x„) bất kì, x, K\{x,} vax, x,.

Giá trị x„ có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x, Nếu ta chỉ xét đãy(+x„) max, luôn lớn hơn x,

(hay luôn nhỏ hơn x, ), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên” Diéu này giúp học sinh

hiểu được phần nào tại sao lại phải chia ra giới hạn bên phải và giới hạn bên trái.

“Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (x,:Ð) Số L được gọi là giới hạn bên phải

của hàm số y= f(x) khi x— x, nếu với dãy số (x,) bất kì, x, < x, < bvà x, x„, ta có

f(x,)> L"

“Cho ham số y= fix) xác định trên khoảng (a;x,) Số L được gọi là giới hạn bên trái của

hàm số y= fix) khi x -» x„ nếu với dãy số (x,) bất kì, a < x, < xạVvÀ x, -> x,, ta có

f(x,)>L"

Đối với giới hạn hữu han của hàm số tai vô cực, do cách định nghĩa khái niệm giớihạn hữu hạn của hàm số tại + tương tự với các định nghĩa giới hạn của ham số đã biếttrước đó (định nghĩa thông qua giới han của day số) nên SGK chi đưa vào một hoạt động

dưới dang quan sát đồ thị đơn giản

“Cho hàm số ƒ(x) -—50 đỗ thị như hình vẽ

x-“Vi dụ 1: Cho hàm số f(x) = Chứng minh rằng lim ƒ(x)= -4"

Sau khi đưa ra hoạt động, SGK trình bày ngay định nghĩa

“a) Cho hàm số y= fx) xác định trên khoảng (a;+e Ta nói hàm số y= fix) có giới

hạn là số L khi x -» + nếu với dãy số (x„) bất kì, x > a và x, -» +œ, ta có f(x,)> L

b) Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (—œ;a) Ta nói hàm số y= fix) có giới han

là số L khi x =» =œ nếu với dãy số (x„) bất kì, x, < avà x, -» +, ta có f(x,)>L x

Sau khi trình bày định nghĩa, SGK đưa ra ví dụ có hướng dẫn giải cụ thể giúp học sinh

nắm vững cách tìm giới hạn bằng định nghĩa:

2x+3

x-l

Với khái niệm giới hạn vô cực của hàm số, SGK đã khẳng định ngay từ đầu các định

nghĩa về giới hạn vô cực của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa giới hạn tại một điểm, giới hạn một bên và giới hạn tại vô cực và SGK chỉ trình bày một trong số

những định nghĩa đó.

“Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;+œ) Ta nói hàm số y= fix) có giới han lao khi x -> + nếu với đãy số (x,) bất kì, x, > a và x, + +0, ta có f(x,)—>~s g

Nếu muốn trình bay đẩy đủ, ta phải nêu mười định nghĩa

lim f(x) = +0, lim f(x) =i0, lim ƒ(x)=+‡œ, jim ƒ(x)=+œ và lim f(x) = 400

Sách [2] không trình bày định lí tính duy nhất của giới hạn như sách [1] nhưng vẫn giữ

lại định lí các phép toán giới hạn hữu hạn của hàm số, có thể nói đây là định lí cơ bản, không thể thiếu trong quan điểm “Dai số hóa tăng cường" đối với việc day học Giới hạn.

Trang 31