Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số kết quả chính quy nghiệm cho bài toán Obstacle

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những kết quả trong nhiều bài báo đã được công bố của các nhà khoa học với su trân trọng và biết ơn.. Giả thiết thứ hai là thế vi Schr

BỒ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

Trần Ba Sao

CHO BÀI TOÁN OBSTACLE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH - 04/2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ DAO TẠO

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

Trần Ba Sao

MOT SO KET QUA CHÍNH QUY NGHIỆM

CHO BAI TOAN OBSTACLE

Chuyén nganh: Toan giai tich

Ma số sinh viên: 44.01.101.121

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS NGUYÊN THÀNH NHÂN

LOI CAM DOAN

Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Một số kết qua chính

quy nghiệm cho bài toán obstacle" do chính tdi thực hiện Các kết quả

trong khóa luân là trung thực và không sao chép bat kỳ luận van nào khác

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những kết quả trong

nhiều bài báo đã được công bố của các nhà khoa học với su trân trọng và biết

ơn Téi xin cam đoan rằng moi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận đã được

cám ơn và các thong tin trích dẫn trong khóa luận đã dược ghi rõ nguồn gốc vàđược phép công bố

Thành Phố Hỗ Chi Minh, tháng 04 năm 2022

Tran Ba Sao

LOI CAM ON

Trong suốt quá trình học tap, nghiên cứu va hoàn thành khóa luận tôi đã

nhãn được rat nhiều sự giúp đỡ, các ý kiến đóng góp quý báu và động viên từ

quý Thay Cé, gia đình và bạn bè.

“Trước tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS

Nguyễn Thành Nhãn đã tận tình giảng dạy hướng dẫn và tạo mọi điển kiện tốt

nhất để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận Bên canh đó Tôi xin tran trọng

cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Thư viện trường Dai học Sư phạm

thành phố Hỗ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện tốt khóa luận Xin chan thành cảm ơn quý Thay, Cô Khoa Toán - Tin học trường Dai học Su pham thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua và quý Thay, Cé trong Hội

đồng cham khóa luận đã góp ý giúp cho khóa luân được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng, tõi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp

SPToanA-K44 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình

học tập cũng nhit trong quá trình thie hiền khóa luận này.

“Trân Ba Sao

CHƯƠNG 1 KIEN THỨC CHUAN BI 4

1.1 Miền thỏa điều kiện Refenberg 4

1.2 Bắt dang thức Holder và bat đẳng thức Young 5

13 Không gian Lorentz eee ee ee eee OT

14 Khong gian Sobolev và công thức Green 7

1.5 Toán tử cực đai cấp phân số 10

CHUGNG 2 CÁC ĐÁNH GIA SO SÁNH VỚI NGHIỆM PHƯƠNG

TRÌNH THUẦN NHẤT 14

21 Các đánh giá sosánh Q Q Q Q2 14

2.2 Bất dang thức reverse Hölder 28

CHƯƠNG 3 ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN

LORENTZ QUA TOÁN TỬ CỰC ĐẠI VÀ TOÁN

TỬ CỰC ĐẠI CAP PHAN SO 31

3.1 Dánh giá gradient trong không gian Lorentz qua toán tử cực đại 31

311 Bổ đề phủ Vitali 31

3.1.2 Bat dang thức trên các tập mức 32

3.1.3 Đánh giá gradient trong không gian Lorentz qua toán tử

3.2 Dánh giá gradient trong không gian Lorentz qua toán tử cue dai

CAp PANS , : :¿c(c (co @

3.2.1 Toan tử cực dai dang cut.of 42

3.2.2 Bat dang thức trên các tap mtte 44

3.2.3 Dánh giá gradient trong không gian Lorentz qua toán tử

cực đại cắp phân số 53

KET LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

DANH MỤC CAC KY HIỆU

I Tập hợp số thực

2 Miễn mở bị chan trong R”

đo Biên của miễn 2

diam(Q} — Đường kính của miễn Ø

B(x) Qua cau mở tam x, bán kính r > 0 trong R"

A Toán tử elliptic tựa tuyến tinh

[A]ro Dao động trung bình BMO của toán tử A ứng với rp > 0

Vu Gradient của hàm u: R° = E

div( F)} Divergence của ham vectơ F : R" = R"

|E| Độ do Lebesgue của tap do được 8 c R”

l ƒ(z)d+ Tích phan trung bình của hàm khả tích ƒ trên tap đo được E C E"

LPN) Khong gian Lebesgue các hàm do được, có lũy thừa p kha tích trên 2

£P1(Q) Không gian Lorentz trên 2

Wl#(@) — Không gian Sobolev trên 2

Œ1(©) Không gian các hàm khả vi liên tục cấp 1 và có support compact trên 2

wWi?(Q) — Bao đóng của C(O) trong !?(Q)

M Toán tử cue đại Hardy-Littlewood

M, Toán tử cực dai cap phan số với a € [0, nr]

q Kết thúc chứng mình.

trong đó, 2 là miễn mở bị chặn trong R”, p € {1,00} và F € £°(0;R") Ham

ty, € MI?{0) thỏa ty < v2 h.k.n trong Ø và ủy < 0< wy trên AN.

© day, tham số q thỏa 1 < ạ < p* (trong đó p* = = )va AB: Qx §" E là

n=-p

hàm Carathédory có giá tri vectơ thỏa mãn điều kiện: tổn tại p € (1,nj, ø € [0,1]

và hằng số A A;¡, A¿ > 0 sao cho

|.A(z.g)| + |Є⁄A(z.)| < A(ø? + |p|?) (2)

|B(z.F.ø)| < Ai|FIP~' + Alg|, (3)

Ũ « 6 y—2 ‘

(Ala, ta) — Alea, Ha), ta — ta) = AT} øỀ + pa? + |ga|#)”Z lụa — pel?, (4)

với mọi /,/, 2 trong JR"\{0} và z e 9 h.k.n.

Chúng tôi chứng mình đánh giá gradient cho nghiệm của bài toán (1) với hai

giả thiết chính Giả thiết đầu tiên là toán tử A thỏa mãn điều kiện nửa chuẩn

BATO nhỏ còn gọi là điều kiện (6,r) = BMO, nghĩa là có số ổ > 0 sao cho

[4l = sup † ( sup “ Tu: ae <4,

8;(w)

u€eB*,0<øg<r (€e#"\{0} |

trong đó Ag ¢y(C) ký hiệu trung bình tích phân của A(-.¢) trên quả cau Ø;(ø).

Giả thiết thứ hai là thế vi Schrodinger khả tích địa phương trên E" thuộc lớp

Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong ba chương.

se Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niém về

không gian Lebesgue, không gian Lorentz, không gian Sobolev cùng với toán tử

cực đại cắp phan số và các tính chắt quan trong của nó Ngoài ra, một số bắtding thức như bất dang thức Hölder và bất đẳng thức Young cùng với công

thức Green trong không gian Sobolev là những kiến thức quan trọng được sử

dụng nhiều cho các chứng minh cũng được nhắc đến trong chương này Tài liệu

tham khảo chính của chương này là các quyển sách của Grafakos [4] và Bruce

K Driver 6|.

e Chương 2: Các đánh giá so sánh với nghiệm phương trình thuan

nhất Chương này chúng tôi trình bày một số đánh giá so sánh địa phương giữa

nghiêm của bat phương trình ban dau và phương trình thuần nhất tương ứng

Chúng tôi cũng trình bày lai bat đẳng thức reverse Hölder đã được các tác giả

Lee & Ok chứng minh trong [3] Tài liệu tham khảo chính của chương này là bài báo [1] của các tác giả Tran & Nguyen.

e Chương 3: Danh gia gradient trong không gian Lorentz qua toán tử

cực đại và toán tử cực đại cấp phân số Trong chương nay, chúng tôi sử

dụng kết quả chứng minh của các bat đẳng thức so sánh cùng với bat dang thứcreverse Holder trong chương 2 và bố để phủ Vitali để xây dựng bat đẳng thức

trên tap mức của các tap đo được, từ đó đánh giá gradient trong không gian

Lorentz qua toán tử cực đại, Hơn nữa, chúng t6i sử dụng toán tử cực đại dang

cut-off để thu được đánh giá gradient trong không gian Lorentz qua toán tử cực

đại cấp phân số thông qua bat đẳng thức trén các tap mức Tài liệu tham khảo

của chương này bao gồm các bài báo [1j, [5], [7] và [H1] của các tác giả Tran &

Nguyen.

CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Ö chương này, chúng tôi nhắc lại kiến thức cơ bản về điều kiện biên của miễn

© với biên không trơn, trình bày các định nghĩa về không gian Lebesgue, không

gian Lorentz và không gian Sobolev, cùng với định nghĩa và tính bị chăn của

các toán tử cực đại Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các bài báo

'5|, [16Ì cùng với các quyến sách của Grafakos [4] và Bruce |6Ì

1.1 Miền thỏa điều kiện Reifenberg

Dé thu được kết quả chính quy nghiệm sau cùng, ta cần giả thiết trên biên

của miễn @ Giả thiết được sử dung trong khóa luận này là giả thiết vẻ điều

kiện Reifenberg của miễn Q, day là giả thiết về miễn có biên không trơn

Định nghĩa 1.1.1 ((13|) Ta định nghĩa dy là lớp khoảng cách cổ điển Hausdorff

giữa hai tap X va Y như sau

dy (X,Y) := max | sup #(z, Y}, sup d(y, x}

rxcX yey

Dinh nghĩa 1.1.2 ([13]) Miền 2 được gọi là thỏa man điều kiện ReUenberg

nếu ton tại hai số thực 0 <5 <1 tà rạ > 0 sao cho hai điều kiện được thỏa man

trà

B~ := Be(xz)n {z e Q°: dist(x, S(+, rạ)) > 3ãra} CN".

“Trong trường hợp miễn @ thỏa điểu kiên Reifenberg, toán tử tua tuyến tính

A được giả sử có dao động trung bình BMO rất nhỏ, nghĩa là tồn tai hằng số

ổ > 0 và rp > 0 sao cho

To A + = A „ :

B;(ȓ g

ER*,0<@“ra <“\{0} gen?

trong đó Ag (v)(C) ký hiệu trung bình tích phân của A(-,¢) trên quả cau Boy).

1.2 Bat dang thức Hölder và bat dang thức Young

Dinh nghĩa 1.2.1 ([4]) Cho 2 là tập mở trong R" va 0 < p < oo Không

gian Lebesgue £P(Q) là không gian các hàm ƒ do được Lebesque trên Q sao cho

I Fllerisy = (> [ Mifare 0: [Fla > 12) f (11)

trong đó ky liệu |A| là độ do Lebesque của tập A trong R".

Chứng minh Bằng ký hiệu xa là hàm đặc trưng trên A, ta có biểu diễn

iz 9:|/()| > AH = [ `.

Dinh lí 1.2.2 dude chứng minh oO

Dinh lý 1.2.3 [6|| (Bat đẳng thức Hölder) Cho 1 < p,g < % sao cho

; + ; =1 Giả sử ƒ € €P(Q) va g € LIN), khi đó fg c L'(Q) va

lƒøllz¿ay < WF llcxcnyllall copy: (1.2)

Trong khóa luận này, bat đẳng thức Hélder được sử dung dưới dang tương đương

1 1

[ lf (ajg(x}\da < (Í Iru)#4z) ( ota) ) (1:3)

2 2 9

Ta gọi g là liên hợp Holder của p và được ký hiệu là p’.

Dinh lý 1.2.4 [|6ì] (Bat đẳng thức Young) Cho 1 < p,q < % sao cho

` + : =1 Giả sử a,b là hai số thực tù ý Khi đó

cùng với giả thiết 1 < p.q < œ, ta suy ra

|ab| < z|a|P + <> |B|t (1.6)

Kết quả trên được sử dung ở một số chứng minh quan trọng trong khóa luận này

1.3 Không gian Lorentz

Định nghĩa 1.3.1 ([4]) Cho Q là tap mở trong R” va hai tham số 0 < q < <,

< s < œ Không gian Lorentz £?®°(0) là không gian các ham f do được Lebesque

trên 2 sao cho ||ƒ|[rs-‡ay < 2%, trong đó

Dé dang nhận ra rằng, khi s = q = p thi không gian Lorentz £?*(9) chính là

không gian Lebesgue £°(2} Do đó không gian Lorentz là mở rộng của khong gian Lebesgue.

1.4 Không gian Sobolev và công thức Green

Định nghĩa 1.4.1 ({15]) Cho 2 là tập mã trong R” va u € LE(Q) vd L < p< oo.

Ta nói w có đạo hàm yéu trong £P(Q) nếu ton tain hàm w; € £P(Q),¡ = TTR sao

Oy [

u—dz = — | wiypdr, (1.9)

[ Ox; q

cho

tới moi @ € CX(Q) Khi đó w = (ay,we ,Wn) được gọi là đạo hàm yéu của u

trong £P(©).

Khi w là đạo hàm yếu của u, thi œ;¿ được gọi là dao hàm riêng yếu thứ i của wu

Ký hiệu w = Vu và w; = ou

Ox;

Ký hiệu C® là không gian các ham khả vi võ han lan và có support compact

Viết ¿ Œ°(Q), nghĩa là ¿ khả vi võ han trên 2, đồng thời supp{y) là tap

compact, trong đó

supp(z) = (© € 2: pla) #0)

Khi ¿ € C*(Q), ta có thể suy ra tốn tại một tập Q compact con 2 sao cho

¿{z)=0._ wxze9\Q.

Định nghĩa 1.4.2 (/15]) Cho © là tập mở trong BR" tà 1 < p < Không

gian Sobolev W'?(Q) là tập hợp các hàm u € £P{Q) sao cho đạo hàm yéu của nó

Vu € (Z/r(0))", tức là

WÌ(q) = i" € £P(2): dao hàm tiểu on € £f(0),Wi = ral (1.10)

Chuan trong không gian Sobolev W!(Q) được đình nghĩa bởi

Pie Pp x

Du P

, = p CW s,

He= ( | Go + Dla )“) : (111)

hoặc một chuẩn khác tương đương là

lltrlyy› sa; = lÍwllercey + lÍVllertey- (1.12)

Định nghĩa 1.4.3 ((15)) Cho 2 là tap md trong R" val < p< oo Không gian

Sobolev wi? (Q) được định nghĩa là bao đóng của CÌ(Q) trong W)9(Q).

Ö day, C'(Q) là không gian các hàm khả vi liên tục cắp 1 và có support compact

trên 2.

Dinh lý 1.4.4 [[L5]) (Công thức Green) Cho Q là tập mở trong R” và các

hàm u,v € WVÌ(Q) vdi 1 < p< Khi đó

nh = Sears [ uunjds, (1.13)

Q Ox; q Ox; om

trong đó, nfx) la uectơ pháp tuyén hướng ra ngoài tại x € AQ.

Để ý rằng, công thức Green trên chính là cong thức tích phân từng phần củacác hàm vectơ trong không gian Sobolev Wlf(@).

Tit công thức trén, ta có thể suy ra được các hệ quả sau

Hệ quả 1.4.5 ([15]) Cho Q là tập mở trong R” va các hàm ue WÌ?(0, E)

fu nhận giá trị thực) v € W!?(Q,R") (v nhận giá trị uecở) vdi Ì < p< oo.

Kha đó

[ wainteyae = — f evute+ f u(v-njds (1.14)

o 2 an

Hệ quả 1.4.6 ([15]) Cho 9 là tập md trong R" va các ham u € W??(Q),

ve WÌ?(Q} vdi l < p< oo Khi đó

| etioeouyae =— | Vu - Vude +f oF ds (1.15)

2 2 an On

„đu „ - 5 Ptrong đó on là dao hàm của w theo hướng m

Cúc công thức Green trên déu đúng khi chọn v € W}?(9) hay v € CŒ(@), khi

đó các tích phân trên ØO đều triệt tiêu.

Dinh lý 1.4.7 ||6|| Cho 2 là tập md, bị chan tà có biên tran trong BR" Giả

sử p € Í1,n), ta ký hiệu p* = non Khi đá, uới mọi q € [1p], ton tại hằng số

tep

C = Cin, pg, iam(Q)) > 0 sao cho

WRellexeny < CNV ullcerry, Yue M¿”(0), (1.16)

trong đó ky liệu diam{Q) = sup{|# — yl]: zy € Q} là đường kính của 2.

Chứng minh Gọi U là tap mở bi chặn trong RB” sao cho Ø C U và A: L?(Q) —

wr(R") Lay w tùy ý trong VVÌ”(9), nghĩa là « € C}(9) A W3?(@) Khi đó, ta

1.5 Toán tử cực đại cấp phan số

Định nghĩa 1.5.1 (4|) Với mối a € [0n], ta định nghĩa toán từ cực dai cấp

phân số M, là toán tử được zác định bởi

tức là tồn tại hằng số C = C(n,p) > 0 sao cho

lIM/lz(gs) < C||fllez@s, Y/ƒ € £?(R}) (1.20)

Trong trường hợp p = 1, bat dang thức (1.20) không đúng Khi đó, ton tại hằng

số Œ = C(n) > 0 sao cho

A£"({z ER": M/() >A) < C||fl[pgy - V/€ LR") (1.21)

Các kết quả trên đã được chứng minh trong cuén sách của tác giả L.Grafakos

(4| Ngoài tính bị chặn trên không gian £°(R")} như trên, tác giả cũng chứng

minh được các kết quả trong không gian Lorentz.

Bố dé 1.5.3 (4|) Toán tử M là bị chặn từ không gian £°(R”) ào không gian

£*%(R"] uới mors > 1, tức là ton tai hằng số C > 0 sao cho

£"( ER": Mƒ(z) > A}) < al lf (x)|*de, Wf € LCR") (1.22)

8»

Bố dé 1.5.4 ((4]) Toán tử M bị chăn từ không gian Lorentz £®*(R°) vdi mới

q>1 uà0< s< %, tức là tần tại hang số C > 0 sao cho

IMF ll corey < C||/ |rc.-(œ): Vf e£#“(R") (1.23)

Về tính bị chặn của toán tử cực đại cấp phan số Mu, các kết quả chứng minh

được tham khảo trong [5], [16] thể hiện ở các bổ để đưới đây Dé đơn giản, ta

kí hiệu {Mf > A} thay cho {z € R” : My f(x) > A}.

Bồ dé 1.5.5 (|5|, [16|) Với 0 < a <n, ton tai hằng s6 C > 0 sao cho

hằng số Œ > 0 sao cho

x no

Ap dung Bổ dé 1.5.3 với s = 1 và A= Ulli ta suy ra được

c{Maf > 1) —Sa— J If@)Mz = Cf leisy

I levies)

Không mắt tính tổng quát, với mọi À > 0, ta xét hàm x ƒ thay cho ham ƒ, ta

suy ra được

i

£"({Ma(xg,tf) > À}) < e(5 Ặ ia) ` VÀ>0

Theo đó, bổ để được chứng minh D

Bồ dé 1.5.6 (|5 [16]) Giả sử s > 1 uà a € 0 *) Khi đó, tồn tại hằng số

ŒC =Cí{n, œ) > 0 sao cho uới mọi ƒ € £*(R"), ta có

tae

£"((M,/6) > a3) < e( 5: renitav) / WA>0 (125)

Chứng minh Với mọi x € R", từ định nghĩa toán tử cực đại cấp phân số M, va

bat dang thức Hélder ta có

IM, f(x)]* = (swe ef ivy)

CHƯƠNG 2 CAC DANH GIA SO SANH VỚI

NGHIEM PHUGNG TRINH THUAN

NHAT

“Trong chương này, chúng tôi chứng minh một số đánh giá so sánh địa phương

giữa nghiệm của bắt phương trình ban đầu và phương trình thuần nhất tương

ứng Chúng tôi cũng trình bày lại bắt dang thức reverse Hélder đã được các tácgia Lee & Ok chứng minh trong [3] Tài liêu tham khảo chính của chương này

là bài báo [1] của các tác giả Tran & Nguyen.

2.1 Các đánh giá so sánh

Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu về nghiêm yếu của bài toán double

obstacle (1), tức là nghiệm yếu của bat đẳng thức biến phan Khái niệm về

nghiêm yếu của bài toán (1) được đưa ra sau đây.

Định nghĩa 2.1.1 € 8 la nghiệm yếu của (1) nếu thỏa bat đẳng thức biến

Gọi H, HH, : W!?{Q) > [0,ac} là các hàm xác định bởi

H(v) = |Vv|? + Vu; Hạ(u) = 0” + |Vv|P + VỊu{t, (2.1)

và hàm ® : R" x R” — [0.) thỏa

®{(z,z) := (ø2 + |Vz|? + [Vz|2) 2 |Vz — V2]? + W{|z|? + |z|?)2”|z—z|È (2-3)

Thay (2.2) vào (4) ta thu được

{ A(x, 21) — A(x, ta) tạ — nạ) > A~Ì*®(, z),

với mọi /,/¡, fea € E"\ {0}.

Bồ đề 2.1.2 Cho B là tập mở bị chăn trong R® va hai hàm 0ì, uy € W!(B)

tới p> 1 Khi đó với mọt e € (0,1), tồn tại Cíp, g.e) > 0 sao cho

| H(w, — wa)de < 1 H(„n)d+r + c | P(wy.wajdr (2.3)

B B B

Chứng minh Trước hết, ta sẽ chứng minh

ii |Vưn — Vua|fd+ < ef |Vun|d+ + cf (|W, |? + [Vur|?)2 [Vey — Vus|da.

B B B

That vậy, với p > 2, tốn tại số thực C sao cho

[Voy — VuạlP < C(|Vwy|? + |Vaal2)”2” [Wavy — Vua],

IVu — Vuy|P = [( wil? + |eal2)” Van — Vư|È]? - (Veil? + |Vea|2)"”:

<£IT (|Va|? + |Vue|”)”2 [Vay — Yoel? + zi(|Vwn|? + |Vua|®)Ê,trong đó

(JVwa |? + Vua|?)Ÿ < 2C[ Vay |? + Cl Vay — Var’.

dẫn đến

[Vu — Vua|P <2? (JVen|2 + |Vua|2)°5”[Vua — Vua|Ê

+eỊ [2CIVual? +CIVun — Vu¿|”}.

Với mọi e € (0, 1), chon e¡ = cũng: thay vào (2.5) ta được

(Vu — Vuy|P < C()(|Ven|Ê + |Va|2) "5 [Van — Vua|Ê + e|Van|P,

của bài toán double obstacle (P) với một số phương trình thuẫn nhất thông

qua các bố đề quan trọng sau day

Bồ dé 2.1.3 Cho trị, uy € W!?(Q) oới p > 1 théa (wy —we)* € Ww}? (Q), wy) < we

trên 0Q va thỏa bat đẳng thúc biến phân

[ (Ae Sa), Ve)ar + [ (vnc wy, gate

< [ (A(x, Vu), Vide + | (W|ua|f “ưa, pda,

fo N

tới mol 2 € wu”(@) không âm Khi đá m < we h.Ệ.n trong 2.

Chứng minh Chọn ¿ = (wy — uy}? € Wi?(Q) trong (2.9), ta có

i {A(a, Few) — A(x, Vuy}, V(f{wp — tua)*))dz

, (2.10)

+ / (WV|u|9 Aw = Veal? “ưa, ((a = wy) *} dx <0.

Dat 2 = ON {w, > wy}, từ (4) ta thu được kết quả sau

| (A(e, Vwi} — A(x, Vaz), Vey — Vez dde

= (2.11)

> | (0? + |Vw|Ÿ + [Vw2|2) °F |Vun — Vur|*de.

a

Ti mỗi quan hệ tương đương

|lual?” *e; _ Jua|f®wa| ~ (|| + |ta|?) “2` |am — 12[.

là một trường hợp đặc biệt của Bồ dé 2.1 trong [2] Ta suy ra được

cộng về theo vé của (2.11) và (2.12) ta được

c | lw), ude < (A(r, Vu.) — Ata, Vuy), Vay — Viua)d+

cùng với Bo đề 2.1.2, với mọi z > 0 ta suy ra

[ Mu: — wo} dx = | (wy — ứạ)d+z ce | (u)dz,

2 œ YY

cho z tiến về 0, ta kết luận rằng + < we h.k.n trong 2 từ giả thiết tị < we

h.k.n trên 2Ó 0

Bồ dé 2.1.4 Cho we S là nghiệm yêu của (P) va B là quả cầu mở trong Q.

Giả sử tị Gut wy" (B) va sị > tị Aken trong B, là nghiệm duy nhất của bat đẳng thức biến phân sau

{A(x, Với), Vor — Vự)đz + i (Ver? e1, tị — ede

< | (A(z, Vui2), Ven — Vự)dr + | (W|ta|*~ ®úa, tạ — g)dx,

B B

vdi moi @ € + wir (B) va ¿ > tú h.k.n trong B Khi đó tốn tại C > 0 sao cho

i (vp jda < ¢ f u) + Ho(v2)}dx (2.15)

RB B

Hon nữa, vy < tủa h.k.n trong B.

Chứng minh Chon hàm thử ¢ = u thì g € «+ W)"(B) và y > v1 h.k.n trong B

do u € &, thay vào (2.14), ta được

i (A(z, Vu) — A(z, Vu), Với — Vu)d+

B

+f CU uy [I-72 — W|u|f~?w,ị — w)d+

< / (A(z, Vu), Vụ — Vey de + I CU lulI Fu, w — vy da

+ I (A(z, Vez), Vir — Vu)da + [ (V|ua|**®ua vụ — u)dz,

từ (2), (4) và (2.13) kết hợp với (2.16) ta được

lÌ ®(u,oi)dz < cị / (o? + |Vu|?)°F'|Vu — Vui|dz

+ I W|u|f~!Ju — ey |dx + / (a? + |Vual2)°#`[Vuị — Vu|dr (2.17)

+ f visite - ulde].

B

Ap dung bat đẳng thức Hélder và Young cho từng số hang vế phải của bất

phương trình trên, ta thu được kết quả sau

[eso se <C fees f (vs ~ Vui|P + Vu — ey] de

rey? f (aor + |Vulf+IoalPldz + ef f Olt + Vidal ae],

Cu thé hơn, ta đánh giá về phải của (2.17) như sau

[ (0?4|Vul?)F|Vu — Vun|dz

“= ( [ ee i ((e*+Ivu)5t)”” a

= ( 1 _ VeilPdz)” The + |Vul* DÌM '

—

< af [Vu = Vu [Pda + e PF [to + |Vul* )idx

Sey | |Vu-— Vei|Pdr + 2? 1s Pf (or + |Vu|P)dr;

B

pot

„,

Dat m = min{p, a}; e3 = max{z1, c2}, ta dé dang suy ra

[ew Uị)đr < 2c | (Va — Vuị|P + Ÿ|u — ?¡|®)dz

kết hợp với (2.18) ta thu được

i Hu — tụ)dz <¢ | (Hl(u)đz + 2e30.C(c) | El(u — ey )dx

đặt & = max{p,q} Khi đó, ta có

[ta =o) + Hear > 2 f veut + VinlJdz =2 f tater,

Cho z tiến về 0 trong (2.20), ta kết luận e¡ < tv h.k.n trong B Im)

Bồ dé 2.1.5 Cho u € S là nghiệm yếu của (P) va Bla quả cầu mở trong Q.

Giả sity € + wir(B) là nghiệm của phương trình

(2.21)

—dit(2A(r,Vò)) + W|u|f Tu =0 trong B,

v =u trén OB.

Khai đó tới mọi e € (0,1), tồn tai C = C(p,g.£) > 0 sao cho

Hí(u — t)dr < cử H(wjdr+C | (lg + [EP + Hove) + Mu(6a))dz, (2.22)

B B B

trong đó p là hiên hợp Holder của p.

Chứng mink Gọi x € u + VWI”(B) là nghiệm của của bài toán obstacle (2.14).

Từ Bồ dé 2.1.4 ta có thể mở rộng 1, đến Q\Ø bởi u sao cho x € § và x —u =0

trong 2\B Bằng cách thay ¿ = w trong (2.16) và ¿ = tị trong (P) ta có

[ (Ae.va).va - Vu)dr * [ (alrSa,a - w)d+

< [ (A(x, VUa), Ver — Vu)dz + [ (W|ua|f*®ủa,øạ — u)dx,

và

[ (A(x, Vu) Vu = v1) dart [ (W|u|1~®u,w = vy bdr

< [ (Bix, F, 9), V{u — 1) dz.

Cộng hai bat đẳng thức trên tương ứng ta được

[ {A(x, Vu) — A(x, Vòi), Vu — Voy de

+f (etal 2a lost ex), 0 dae

trong đó g là liên hợp Holder của p.

Thay các kết quả trên vào (2.24), ta được

| Pury jde < ey / IH(w — vy de

chon £; = [2C{e)|~! ta thu được

[ Hie —ayjdr < cƑ H{(u)dz + ce Ít + |FIP + H„(¿¿})dsz (2.26)

B B B

Goi v2 là nghiệm yến duy nhất của phương trình sau

—div{ A(z, v2)) + W|es|f2?uy = —div( A(x, v1)) + V|¿i|tÐ2U trong B,

Đạ =v trén OB.

(2.27)

Nhân hai về của phương trình (2.27) với hàm thử y € W)"(B) sau đó lấy tích

phân hai về ta được

[ -aiwcAte, va) + Vialf-®a)p(z)4z

= I (—div( A(x, a1) + Vien |? Aen e(a)de,

ap dụng công thức Green, ta suV ra

[ Aeeve),ve)te+ | (bale e)ae

2 P (2.28)

= Ƒ Ae V0,S2)4z+ f Vitter 2)de

Vì w =v, > ủy h.k.n trên 88 nên từ Bố dé 2.1.3 suy ra vy > h.k.n trong B

Do đồ ta có thể thay y = ve trong (2.14) và chọn y = 1 — v2 trong công thức

bién phân (2.28), sau đó cộng về theo về tương ứng ta thu được kết quả sau

[Ae Vv) — A(x, Vey), Ver — Vba)dr

Ap dung bat đẳng thức Hölder và Young, lap luận tương tự (2.25) ta thu được

tt <£I [ive — Vualf + ¥iuy — e¿|#)d+& B

+ cla) fo + |a|P +o? + |ủa|P + W|ua|? + W|i|#)d+

Goi v là nghiệm yếu duy nhất của phương trình sau

—div(A(z,v))+ Velo "e = 0 trong B,

Nhân hai vế của phương trình trên với hàm thử ¿ € Wi'"(B) sau đó lấy tích

phân hai về và áp dụng công thức Green, ta được