Gần đây, một số kết quảvề chủ đề này cho các phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục đượcnghiên cứu trên các miền có biên Lipschitz [4] hoặc thỏa điều kiện Reifenberg [1
Phương trình parabolic với hệ số không liên tục
Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali
Định nghĩa 1.1 Ta nói u ∈ V 2 (Ω T ) là một nghiệm yếu của phương trình (1.1) nếu với mọi ϕ ∈ C 0 ∞ (Ω T ),
Nếu điều kiện (1.2) được thỏa mãn và hàm f thuộc không gian L²(Ω T, R n), thì phương trình (1.1) có một nghiệm yếu duy nhất Đối với 1 < p < ∞, một hàm u được gọi là thuộc W∗₁,p(Ω T) nếu nó thuộc W₀₁,p(Ω T) và tồn tại hàm F trong Lp(Ω T, R n) cùng với hàm g trong Lp(Ω T) sao cho u t = divF − g trong Ω T theo nghĩa phân phối.
Hơn nữa, ta xác định chuẩn sau kuk W 1,p
Không gian H 1, 1 2 (Ω ∞ ) với Ω ∞ = Ω × (−∞, ∞), bao gồm tất cả các phần tử u của
H 0 1 (Ω ∞ ) sao cho tích phân sau hữu hạn
1 2 Định lý 1.4 ([4]) Nghiệm yếu u của phương trình (1.1) thuộc không gian W ∗ 1,2 (Ω T ) với đánh giá kuk W 1,2
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích phương trình u t − div(A∇u) = divf (1.3) trên miền Q R với R > 0 và đánh giá tính chính quy của nghiệm Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại bổ đề phủ Vitali tổng quát và chứng minh một dạng bổ đề phủ Vitali cho trường hợp parabolic.
Bổ đề 1.5 (Bổ đề phủ Vitali - [2]) Cho 0 < < 1 và C ⊂ D ⊂ B 1 là hai tập đo được, thỏa mãn hai điều kiện sau: i) |C| < |B 1 |; ii) ∀x ∈ B 1 nếu |C ∩ B r (x)| ≥ |B r | thì B r (x) ∩ B 1 ⊂ D.
Khi đó, ta có bất đẳng thức sau
Bổ đề 1.6 ([4]) Cho 0 < < 1 và A ⊂ B ⊂ Q 1 là hai tập đo được sao cho
|A| < |Q 1 | (1.4) và thỏa mãn điều kiện sau: với mọi (x, t) ∈ Q 1 nếu |A ∩ C r (x, t)| ≥ |C r | thì C r (x, t) ∩ Q 1 ⊂ B (1.5)
Khi đó, ta có đánh giá
Từ giả thiết (1.4), thì với (x, t) ∈ A hầu khắp nơi, tồn tại một r (x,t) > 0 đủ nhỏ, sao cho:
C r (x,t) (x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A o là một phủ của A, nên theo bổ đề phủ Vitali, tồn tại một dãy rời nhau {C r i (x i , t i ) ∩ C : (x i , t i ) ∈ A} ∞ i=1 sao cho
Khi đó từ (1.7) ta có
Do đó, với mọi r > 0 ta có inf
|C r (x, t) ∩ Q 1 | = |C r (e 1 , 0) ∩ Q 1 | Mặt khác, dễ dàng kiểm tra được rằng
⊂ C r (e 1 , 0) ∩ Q 1 , nên ta suy ra được
Bất đẳng thức này kéo theo
Như vậy dẫn tới (1.10) được thỏa mãn Ngoài ra, theo (1.8) ta có
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Các đánh giá địa phương
Bổ đề 1.7 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q 1 Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn
Nhân hai vế của phương trình (1.3) cho η 2 u và lấy tích phân trên B 1 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được
Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng
Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau
Từ đó ta suy ra
Do I 1 + I 2 = I 3 + I 4 nên ta suy ra được d dt
B 1 η 2 |∇u| 2 dx. Đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được d dt
Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (1.11) ta có
|u| 2 + |f| 2 dxdt. Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong
Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh rằng tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về nghiệm yếu u Các hàm trơn này tuân thủ bất đẳng thức đã đề ra, từ đó dẫn đến kết luận rằng nghiệm yếu u cũng thỏa mãn điều kiện này Bổ đề đã được chứng minh hoàn tất.
Bổ đề 1.8 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong Q 1 Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho kuk 2 W 1,2
Chứng minh Theo Định nghĩa 1.3 và Bổ đề 1.7 ta có đánh giá sau kuk 2
.Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.9 khẳng định rằng nếu u là một nghiệm yếu của phương trình parabolic (1.3) trong miền Q1, thì tồn tại một hằng số C > 0, chỉ phụ thuộc vào số chiều, sao cho chuẩn L2 của u trong Q1 được giới hạn bởi tổng của chuẩn L2 của đạo hàm bậc nhất của u và chuẩn L2 của f trong cùng miền Cụ thể, ta có bất đẳng thức ku − u Q1 k2 L2 (Q1) ≤ C (k∇uk2 L2 (Q1) + kf k2 L2 (Q1)).
Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại các dãy {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 , {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
(u k ) t − div(A k ∇u k ) = divf k trong Q 1 và tồn tại số nguyên k để u k − u k Q 1
Ta có thể chuẩn hóa sao cho u k − u k Q 1
6 C và k∇u k k 2 L 2 (Q 1 ) + kf k k 2 L 2 (Q 1 ) ≤ 1 k −→ 0 khi k −→ +∞ (1.13) Lấy u ◦ là giới hạn yếu của {u k − u k Q 1 } Khi đó ta có
Bây giờ ta cần chứng minh u ◦ là nghiệm yếu của phương trình
(u ◦ ) t = 0 trong Q 1 (1.15) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C 0 ∞ (Q 1 ) Khi đó theo (1.12) ta được
Q 1 u ◦ ϕ t dxdt = 0, điều này cho thấy biểu thức (1.15) là thỏa mãn Theo (1.14) ta suy ra u ◦ = 0, điều này mâu thuẫn Vậy, bổ đề được chứng minh.
Các đánh giá so sánh
Giả sử v là nghiệm trơn của phương trình v t − div A Q 4 ∇v
Bổ đề 1.10 Với mọi > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với mọi nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q 5 thỏa hai điều kiện
2 dxdt 6 δ 2 , (1.18) ta có đánh giá
Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại ◦ > 0, {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 và {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
(u k ) t − div(A k ∇u k ) = divf k trong Q 5 thỏa mãn hai điều kiện
Q 4 ku k − v k k 2 dxdt > 2 ◦ , (1.21) trong đó v k là nghiệm trơn của phương trình
Từ (1.17), áp dụng Bổ đề 1.8 và Bổ đề 1.9, ta có {u k −u k Q 4 } ∞ k=1 bị chặn trong W ∗ 1,2 (Q 4 ).
Do đó, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {u k − u k Q 4 }, sao cho u k − u k Q 4 −→ u ◦ trong L 2 (Q 4 ) và u k − u k Q 4 * u ◦ trong W ∗ 1,2 (Q 4 ) (1.23)
Do {A k Q 4 } bị chặn, tồn tại dãy con mà ta vẫn kí hiệu là {A k Q 4 } ∞ k=1 , sao cho
Nhưng khi đó, từ (1.18), ta có
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u ◦ là nghiệm yếu của
(u ◦ ) t − div(A ◦ ∇u ◦ ) = 0 trong Q 4 (1.26) Để làm được điều này, chọn hàm thử ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q 4 ) Từ (1.20), ta có
Cho k −→ ∞, sử dụng (1.23), (1.24) và (1.20) ta thu được:
A ◦ ∇u ◦ ã ∇ϕ dxdt = 0, Điều này chỉ ra rằng u ◦ là nghiệm yếu của phương trình (1.26) Chú ý rằng trong Q 4
= −div[(A k Q 4 − A ◦ )∇u ◦ ], trong đó ta đã sử dụng (1.26) Bây giờ ta lấy h k là nghiệm của
(1.27) và ta khẳng định rằng u ◦ − h k là nghiệm của
= 0 trong Q 4 (1.28) Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ ∈ C 0 ∞ (Q 4 ) Trong (1.26) và (1.27),
= 0, suy ra (1.28) Hơn nữa từ (1.27) ta có kh k k L 2 (Q 4 ) 6 kh k k H 1,2 (Q 4 )
Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (1.23), (1.24), ta khẳng định k(u k − u k Q 4 ) − (u k − h k )k L 2 (Q 4 ) −→ 0 khi k −→ ∞. Điều này mâu thuẫn với (1.21) bởi (1.28) Vậy, bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 1.11 Với mọi > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u của phương trình parabolic (1.3) trong Q 5 thỏa
2 dxdt 6 δ 2 (1.29) ta có đánh giá ku − vk 2 W 1,2
Chứng minh Trong biểu thức (1.29) và Bổ đề 1.9, tồn tại nghiệm v của phương trình v t − div A Q 4 ∇v
Trước hết, ta chỉ ra rằng w = u − v là một nghiệm yếu của phương trình w t − div(A∇w) = div f − (A − A Q 4 )∇v
Thật vậy, chọn ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q 4 ) Khi đó ta có Z
Q 4 f + (A − A Q 4 )∇v ã ∇ϕ dxdt, từ đó suy ra được (1.33) Mặt khác, theo Bổ đề 1.8 ta khẳng định rằng ku − vk 2 W 1,2
Ta thu được đánh giá (1.30) từ (1.32), (1.29) và Bổ đề 1.10
Bất đẳng thức dạng “level sets”
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chứng minh lại một bất đẳng thức dạng "level sets" để khẳng định tính chính quy của nghiệm phương trình parabolic Bất đẳng thức này được xây dựng dựa trên toán tử cực đại Hardy-Littlewood, sẽ được trình bày ngay sau đây Định nghĩa 1.12 nêu rõ rằng, đối với hàm khả tích địa phương f(x, t), có những điều kiện nhất định cần được xem xét.
Hàm cực đại Hardy-Littlewood parabolic của hàm f, ký hiệu là |f(y, s)|dyds, có hai kết quả quan trọng về tính bị chặn Thứ nhất, nếu f(x, t) thuộc Lp(Rn × R) với p > 1, thì Mf cũng thuộc Lp(Rn × R) và có thể khẳng định rằng kMf k Lp ≤ Ckf k Lp Thứ hai, nếu f(x, t) thuộc L1(Rn × R), thì
Bổ đề 1.13 khẳng định rằng tồn tại một hằng số N1, để với mọi ε > 0, có một δ = δ(ε) > 0, sao cho đối với mọi nghiệm yếu u của phương trình u_t − div(A∇u) = divf trong miền Ω_T = Ω × (a, a + T] ⊃ Q_9(0, 2), hai giả thiết cần thiết phải được thỏa mãn.
L2(Q 9(0 ,2)) 6 δ 2 , (1.36) thì ta có đánh giá
Từ điều kiện (1.35), ta thấy rằng tồn tại điểm (x ◦ , t ◦ ) ∈ Q 1 sao cho
Do Q 5 (0, 2) ⊂ C 7 ∩ Ω T ⊂ C 8 (x ◦ , t ◦ ) ∩ Ω T , nên từ (1.38) ta có
Tương tự, ta thấy rằng
Khi đó, theo Hệ qủa 1.11 với các giả thiết (1.39), (1.40) và (1.36), tồn tại nghiệm trơn v của phương trình v t − div A Q 4 ∇v
= 0 trong Q 4 (0, 2) (1.41) sao cho ku−vk 2 W 1.2
Khi đó theo (1.41), ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và
|v| 2 dxdt 6 C để thấy rằng tồn tại một hằng số N ◦ sao cho sup
Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 , 2 n+2 } và sẽ chứng minh rằng {(x, t) ∈ Q 1 : M(|∇u| 2 ) > N 1 2 } ⊂ {(x, t) ∈ Q 1 : M(|∇(u − v)| 2 ) > N 0 2 } (1.44)
Ta chứng minh bất đẳng thức này, ta giả sử
Với r 6 2, C r (x 1 ; t 1 ) ⊂ Q 3 (0, 2) và từ (1.43), (1.45), ta có
= 4N ◦ 2 Với r > 2, C r (x 1 ; t 1 ) ⊂ C 2r (x ◦ , t ◦ ) và từ (1.38), ta có
6 2 n+2 Điều này chứng tỏ rằng
Khi đó, khẳng định (1.44) được suy ra từ (1.45) và (1.46) Từ (1.44) và đánh giá yếu
1 − 1 dạng parabolic ta thu được
Cuối cùng từ đánh giá này và theo (1.42) ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.14 Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong miền Ω T và C là một hình lập phương parabolic thỏa 9C ⊂ Ω T Khi đó, nếu
Hệ quả 1.15 Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong Ω T ⊃ Q 9 (0, 2) Giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn
Với k là một số nguyên dương và đặt 1 = 10 n+2 Khi đó ta có
Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợp k = 1 theo Bổ đề 1.14 và Bổ đề 1.6 với
Giả sử mệnh đề đúng với k nguyên dương Ta định nghĩa u e = u
N 1 tương ứng Khi đó e u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) trong Q 9 (0, 2) và thỏa mãn
Theo giả thiết quy nạp, ta có
(x, t) ∈ Q 1 : M|∇u| 2 > 1 , suy ra mệnh đề đúng với k + 1.
Vậy theo phép chứng minh quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dương k.
Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz
Bổ đề phủ Vitali
Định lý 2.1 ([10]) Cho 0 < < 1 và A ⊂ B ⊂ Q + 1 là hai tập đo được sao cho
|A| < |Q + 1 | (2.2) và thỏa mãn điều kiện sau: với mọi (x, t) ∈ Q + 1 nếu |A ∩ C r (x, t)| ≥ |C r |, C r (x, t) ∩ Q + 1 ⊂ B (2.3) Khi đó, ta có đánh giá
Từ giả thiết (2.2), thì với (x, t) ∈ A hầu khắp nơi, tồn tại một r (x,t) > 0 đủ nhỏ sao cho
C r (x,t) (x, t) ∩ A: (x, t) ∈ A o là phủ của A, ta áp dụng bổ đề phủ Vitali’s, tồn tại một dãy rời nhau {C r i (x i , t i ) ∩ C : (x i , t i ) ∈ A} ∞ i=1 cho sao
Khi đó, từ (2.5) ta thấy rằng
Do đó với mọi r > 0 ta có, inf (x,t)∈Q +
Mặt khác dễ dàng kiểm tra được rằng
| = 2 −(n+3) |C r (x, t)|, bất đẳng thức này kéo theo
Từ đó dẫn đến (2.8) được thỏa mãn Sau cùng, từ (2.6), (2.7), (2.8) và (2.4), ta có kAk =
≤ 2(10) n+2 |B|,Vậy, định lý được chứng minh.
Các đánh giá địa phương
Định nghĩa 2.2 [[10]] Ta nói rằng u ∈ W ∗ 1,2 (Q + R ) là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) nếu
Bổ đề sau cho thấy rằng nghiệm yếu u của chúng ta mang tính địa phương trong W 1,∞
Bổ đề 2.3 Giả sử u là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó ta có
Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn
(2.10)Bây giờ ta nhân phương trình (2.46) cho η 2 u Sau đó lấy tích phân từng phần trên B 1 +
Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng
Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau
Do I 1 + I 2 = I 3 + I 4 nên ta suy ra được d dt
B + 1 η 2 |∇u| 2 dx đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được d dt
Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (2.10) ta có
|u| 2 + |f| 2 dxdt. Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (2.1) trong
Có một dãy hàm trơn hội tụ về nghiệm yếu u, và các hàm này thỏa mãn bất đẳng thức đã nêu Do đó, nghiệm yếu u cũng thỏa mãn bất đẳng thức này Bổ đề đã được chứng minh hoàn tất.
Bổ đề 2.4 Cho u ∈ W ∗ 1,2 Q + 1 là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó tồn tại hằng số C sao cho kuk 2
Theo Định nghĩa 2.2 và Bổ đề 2.3, ta có kuk 2
.Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.5 Cho u ∈ W ∗ 1,2 Q + 1 là một nghiệm yếu của phương trình (2.46) Khi đó tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào số chiều sao cho kuk 2 L 2 (Q + 1 ) 6 C k∇uk 2 L 2 (Q +
Chứng minh Chúng ta chứng minh mệnh đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại các dãy {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 , {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
(2.11) và tồn tại số nguyên k để ku k k 2 L 2 (Q + 1 ) > k k∇u k k 2 L 2 (Q + 1 ) + kf k k 2 L 2 (Q + 1 )
Ta có thể chuẩn hóa sao cho ku k k L 2 (Q + 1 ) = 1, ta có ku k k 2 W 1,2
6 C và k∇u k k 2 L 2 (Q + 1 ) + kf k k 2 L 2 (Q + 1 ) ≤ 1 k −→ 0 khi k −→ +∞ (2.12) Lấy u ◦ là giới hạn yếu của {u k } Khi đó ta có
Bây giờ ta chứng minh rằng u ◦ là nghiệm yếu của phương trình
(2.14) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C 0 ∞ (Q + 1 ) Khi đó theo (2.11) ta được
Q + 1 u ◦ ϕ t dxdt = 0, điều này cho thấy biểu thức (2.14) là thỏa mãn Theo điều kiện (2.13) và (2.14) suy ra u ◦ = 0, điều này mâu thuẫn.
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Các đánh giá so sánh
Giả sử v là một nghiệm trơn của
Bổ đề 2.6 Cho > 0 bất kỳ, có một số δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u ∈ W ∗ 1,2 (Q + 5 ) nào của phương trình (2.46) thỏa
Chứng minh Chúng ta chứng minh bổ đề này bằng phản chứng.
Giả sử rằng, tồn tại ◦ > 0, {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 và {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
Nhưng, với nghiệm tùy ý v k của phương trình
Từ các Bổ đề 2.4, Bổ đề 2.5, {u k } ∞ k=1 là biên trong W ∗ 1,2 (Q + 4 ).
Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {u k }, sao cho u k −→ u ◦ trong L 2 (Q + 4 ) và u k * u ◦ trong W ∗ 1,2 (Q + 4 ) (2.22)
4 } là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {A k Q +
Nhưng khi đó, từ (2.20), ta có
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u ◦ là nghiệm của
(2.25) Để làm được điều này, chọn ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q + 4 ) Từ (2.19), ta có
Cho k −→ ∞ và từ (2.20), (2.23) và (2.24) ta có
A ◦ ∇u ◦ ã ∇ϕ dxdt = 0, Điều này chứng tỏ (2.25) thỏa mãn Chú ý rằng trong Q + 4
4 − A ◦ )∇u ◦ ], trong đó ta đã sử dụng (2.25) Bây giờ ta lấy h k là nghiệm của
(2.26) và ta khẳng định rằng u ◦ − h k là nghiệm của
(2.27) Để chứng minh khẳng định trên, chọn bất kỳ ϕ ∈ C 0 ∞ (Q + 4 ) Trong (2.25) và (2.26),
= 0, từ đó suy ra (2.27) Hơn nữa từ (2.27) ta có kh k k L 2 (Q + 4 ) 6 kh k k H 1,2 (Q + 4 )
Từ đánh giá này và cùng với các kết quả gới hạn trong (2.23), (2.24), ta khẳng định k(u k ) − (u k − h k )k L 2 (Q + 4 ) −→ 0 khi k −→ ∞. Điều này mâu thuẫn với (2.22) do (2.27)Vậy, bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.7 Cho > 0 bất kỳ, có một số δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu u của phương trình
u t − div(A∇u) = 0 trong Q + 5 u = 0 trên T 5 ∗ thỏa mãn điều kiện
Khi đó tồn tại một nghiệm trơn v của
4 ∇v) = 0 trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho kuk 2
W ∗ 1,2 (Q + 2 ) ≤ 2 (2.29) Chứng minh Trong biểu thức (2.28) và Bổ đề 2.6, tồn tại nghiệm trơn v của phương trình
(2.30) Trước hết, ta chứng tỏ rằng w = u − v là một nghiệm yếu của phương trình
Thật vậy, chọn ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q + 4 ) Khi đó ta có Z
4 )∇v i ã ∇ϕ dxdt, từ đó suy ra được (2.31) Mặt khác, theo Bổ đề 2.4 suy ra ku − vk 2 W 1,2
.Cuối cùng, từ (2.30) và (2.28) ta có kết luận (2.29))
Bất đẳng thức dạng “level sets”
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh lại bất đẳng thức “level sets” để khẳng định tính chính quy của nghiệm phương trình parabolic Bất đẳng thức này được xây dựng dựa trên toán tử cực đại Hardy-Littlewood, đã được đề cập trong chương 1 (Định nghĩa 1.12).
Bổ đề 2.8 khẳng định rằng tồn tại một hằng số N1, với bất kỳ ε > 0, sẽ có δ = δ(ε) > 0 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình u_t - div(A∇u) = divf trong miền Ω_T = Ω × (a, a + T] với Ω_T bao gồm Q + 9 (0, 2), thì điều kiện giả thiết được nêu cần phải được thỏa mãn.
(2.33) khi đó, ta có đánh giá
Chứng minh Từ điều kiện (2.33), ta thấy rằng tồn tại điểm (x ◦ , t ◦ ) ∈ Q + 1 sao cho
Trong khi Q + 5 (0, 2) ⊂ C 7 + ∩ Ω T ⊂ C 8 + (x ◦ , t ◦ ) ∩ Ω T , từ (2.35) ta có
Tương tự, ta thấy rằng
Khi đó, theo Hệ qủa 2.7, các điều kiện (2.36), (2.37) và (2.33),tồn tại nghiệm trơn v của phương trình
= 0 trong Q + 4 (0, 2) v = 0 trên T 4 ∗ (0, 2) sao cho ku − vk 2 W 1.2
Bây giờ ta có thể sử dụng đánh giá địa phương và
|v| 2 dxdt 6 C để thấy rằng tồn tại một hằng số N ◦ sao cho sup
Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 , 2 n+2 } và yêu cầu {(x, t) ∈ Q + 1 : M(|∇u| 2 ) > N 1 2 } ⊂ {(x, t) ∈ Q + 1 : M(|∇(u − v)| 2 ) > N 0 2 } (2.40) Để kiểm tra điều kiện này, ta giả sử
Cho r 6 2, C r + (x 1 ; t 1 ) ⊂ Q + 3 (0, 2) và từ (2.39), (2.41), ta có
Cho r > 2, C r + (x 1 ; t 1 ) ⊂ C 2r + (x ◦ , t ◦ ) và từ (2.35), ta có
(x 1 , t 1 ) ∈ {(x, t) ∈ Q + 1 : M(|∇u| 2 ) 6 N 1 2 } (2.42) Khi đó, khẳng định (2.40) được suy ra từ (2.39) và (2.42) Từ (2.40) và đánh giá 1 - 1 dẫn đến
Cuối cùng từ đánh giá này và theo (2.38) ta có điều phải chứng minh.
Từ bây giờ ta giả sử Q + 9r (0, 2r 2 ) ⊂ Ω T để Ω T ∩ Q 9r (0, 2r 2 ) = Q + 9r (0, 2r 2 ) và u = 0 trên T 9r + (0, 2r 2 ).
Hệ quả 2.9 Giả sử u ∈ H 1 (Q + 9r (0, 2r 2 )) là một nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Q + 9r (0, 2r 2 ) u = 0 trˆ en T 9r ∗ (0, 2r 2 ) với
6 δ 2 Khi đó ta luôn có tính chất sau:
Bổ đề 2.10 Nếu u là một nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Q + 9 (0, 2) u = 0 trên T 9 ∗ (0, 2) và giả thiết rằng điều kiện sau đây luôn thỏa mãn: mỗi (x, t) ∈ {(x, t) ∈ Q + 1 : M(|∇u| 2 )(x, t) > N 1 2 } với
|{(x, t) ∈ Q + 1 : M(|∇u| 2 )(x, t) > N 1 2 } ∩ C r (x, t)| ≥ |C r | (2.43) thì ta có khẳng định sau
Chứng minh Ta chứng minh bổ đề trên bằng phản chứng Nếu C r (x, t) thỏa mãn (2.43) và kết luận (2.44) sai, tồn tại một (x ◦ , t ◦ ) ∈ C r (x, t) ∩ Q + 1 sao cho
Nếu C 9r (x, t) ∩ {x n = 0} = ∅, đây là một đánh giá bên trong (xem chương 9) Giả sử rằng (x 0 , 0, t) ∈ C 9r (x, t)∩∂Q + 1 Bây giờ quan sát C 9r + (x, t) ⊂ C 11r + (x ◦ , t ◦ ) ⊂ C 22r (x 0 , 0, t) để thấy rằng
Q + 9 (0, 2) ⊃ C 198r + (x 0 , 0, t) ⊃ C 22r + (x 0 , 0, t) ⊃ C r (x, t) ∩ Q + 1 Áp dụng Hệ quả 2.9 cho tâm parabolic C 22r + (x 0 , 0, t) với thay bằng 22 n+2 , ta có
= |C r |, điều này mâu thuẫn với (2.43) Vậy, bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.11 Giả sử u là một nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Q + 9 (0, 2) u = 0 trˆ en T 9 ∗ (0, 2).
(2.45) và giả thiết rằng điều kiện sau đây thỏa mãn
Lấy k là một số nguyên dương và 1 = 10 n+2 Khi đó ta có
Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợp k = 1 theo Hệ quả 2.9 và Định lý 2.1 với
Giả sử kết luận đúng với k nguyên dương.Ta định nghĩa u e = u
Khi đó e u là nghiệm yếu của phương trình (2.45) trong Q 9 (0, 2) và thỏa mãn
Theo giả thiết quy nạp, ta có
(x, t) ∈ Q + 1 : M|∇u| 2 > 1 , suy ra kết luận đúng với k + 1Vậy theo phép quy nạp thì kết luận đúng với mọi giá trị nguyên dương k.
Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg
Bổ đề phủ Vitali
Định lý 3.1 ([10]) Cho 0 < < 1 và A ⊂ B ⊂ Ω T là hai tập đo được Giả thiết rằng
Giả thiết rằng tính chất sau đây thỏa mãn: mọi (x, t) ∈ Ω T , ∀r ∈ (0, 1] với |A ∩ C r (x, t)| > |C r (x, t)|, C r (x, t) ∩ Ω T ⊂ B (3.3)
Khi đó ta có đánh giá sau
Từ giả thiết (3.2), với mọi (x, t) ∈ A hầu khắc nơi, tồn tại một số dương nhỏ r (x,t) đủ nhỏ, sao cho
C r (x,t) (x, t) ∩ A : (x, t) ∈ A o là một phủ mở của A, theo bổ đề phủ Vitali’s, tồn tại một dãy rời nhau {C r i (x i , t i ) ∩ A : (x i , t i ) ∈ A} ∞ i=1 sao cho
Khi đó, từ (3.5), ta thấy rằng
|A ∩ C 5r i (x i , t i )| < |C 5r i (x i , t i )| = 5 n+2 |C r i (x i , t i )| = 5 n+2 |A ∩ C r i (x i , t i )| (3.7) Quan sát rằng δ 1 và ta sẽ yêu cầu rằng sup
Để thực hiện điều này, chúng ta chọn r ∈ (0, 1] và (x, t) ∈ Ω T, với điều kiện dist[(x, t), ∂Ω T ] > r từ cơ sở là C r (c, t) ⊂ Ω T Giả sử rằng dist[(x, t), ∂Ω T ] > r, thì tồn tại (y, τ) ∈ ∂ p Ω T sao cho dist[(x, t), ∂ Ω T ] = dist[(x, t), (y, τ)] < r Khi ∂Ω là (δ, 1)- miền phẳng Reifenberg, chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát.
C r (x, t) ∩ {x n > δ} ⊂ C r (x, t) ∩ Ω ⊂ C r (x, t) ∩ {x n > −δ} trong một số hệ tọa độ phù hợp mà y = 0 Khi đó từ cơ sở hình học và một phép tính toán đơn giản, ta thấy rằng
, từ điều này dẫn đến biểu thức (3.8) Cuối cùng, từ (3.6), (3.7),(3.8) và (3.3) , ta có
|B|,Vậy, định lý được chứng minh.
Các đánh giá địa phương
Định nghĩa 3.2 ([10]) Ta nói rằng ∂Ω là (δ, R)- Reifenberg (miền phẳng) nếu với mỗi x ∈ ∂Ω và mỗi r ∈ (0, R], tồn tại một mặt (n − 1) chiều L(x, r) sao cho
D(∂Ω ∩ B r (x), L(x, r)) 6 rδ, trong đó, D là khoảng cách Hausdorff ; Tức là
D(A, B) = sup{dist(a, B) : a ∈ A} + sup{dist(b, A) : b ∈ B}. Định nghĩa 3.3 ([11]) Ta nói rằng u ∈ W ∗ 1,2 (Ω T ) là một nghiệm yếu của phương trình (3.1) nếu
Sau đây là sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm yếu này.
Bổ đề 3.4 ([11]) Tồn tại duy nhất một nghiệm yếu của (3.1) Ta sẽ tập trung nghiên cứu trên miềm Ω ∗ R và đối với một nghiệm yếu của
(3.9) Định nghĩa 3.5 ([10]) Ta nói u ∈ W ∗ 1,2 (Ω ∗ R ) là một nghiệm yếu của (3.9) nếu
Bổ đề sau cho thấy gradient của nghiệm u là biên địa phương trong không gian L 2
Bổ đề 3.6 Giả thiết rằng u ∈ W ∗ 1,2 (Ω ∗ 2 ) là một nghiệm yếu của (3.9) Khi đó ta có
Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên cho trường hợp u là một hàm trơn Xét hàm chặt cụt (cut-off function) η = η(x, t) thỏa mãn
Ta nhân hai vế phương trình (3.9) cho η 2 u Sau đó lấy tích phân trên Ω 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được
Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng
Ta lần lượt đánh giá các số hạng I 2 , I 3 và I 4 như sau:
Do I 1 + I 2 = I 3 + I 4 nêu dẫn đến d dt
Ω 2 η 2 |∇u| 2 dx đến đây ta chọn τ đủ nhỏ để có được d dt
Lấy tích phân theo biến thời gian từ −1 đến 0 và chú ý (3.10) ta có
|u| 2 + |f | 2 dxdt. Đến đây, trở lại trường hợp tổng quát khi u là nghiệm yếu của phương trình (3.1) trong
Ω ∗ 2 , tồn tại một dãy hàm trơn hội tụ về u Các hàm trơn này thỏa mãn bất đẳng thức trên nên ta suy ra được nghiệm yếu u cũng thỏa mãn.
Vậy, bổ đề được chứng minh xong.
Bổ đề 3.7 Cho u là nghiệm yếu của phương trình parabolic PDE
Khi đó ta có kuk 2
Chứng minh Theo Định nghĩa (1.3) và bổ đề trước, ta có đánh giá sau kuk 2
≤ kuk 2 L 2 ( Ω ∗ 1 ) + k∇uk 2 L 2 ( Ω ∗ 1 ) + 2 kAk 2 L ∞ ( Ω ∗ 1 ) k∇uk 2 L 2 ( Ω ∗ 1 ) + 2 kfk 2 L 2 ( Ω ∗ 1 )
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.8 Cho u là nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 1 u = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 1 Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào chiều không gian sao cho kuk 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) 6 C kuk 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) + kf k 2 L 2 (Ω ∗ 1 )
Chứng minh Chúng ta chứng minh bổ đề trên bằng phản chứng Giả sử rằng, tồn tại các dãy {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 , {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
Ta có thể chuẩn hóa sao cho ku k k L 2 (Ω ∗ 1 ) = 1, và ta có ku k k 2 W 1,2
6 C và k∇u k k 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) + kf k k 2 L 2 (Ω ∗ 1 ) ≤ 1 k −→ 0 khi k −→ +∞ (3.12) Lấy u ◦ là giới hạn yếu của dãy {u k } Khi đó ta có
Bây giờ ta cần chứng minh rằng u ◦ là nghiệm yếu của phương trình
(3.14) Để làm điều này, ta chọn bất kỳ hàm ϕ ∈ C 0 ∞ (Ω ∗ 1 ) Khi đó theo (3.11) ta được
Ω ∗ 1 u ◦ ϕ t dxdt = 0, điều này cho thấy biểu thức (3.14) là thỏa mãn.
Khi đó theo điều kiện (3.14) và (3.13) ta suy ra u ◦ = 0, điều này mâu thuẫn.
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Các đánh giá so sánh
Bổ đề 3.9 Với > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 5 u = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 5 thỏa mãn các điều kiện
(3.16) khi đó, tồn tại ma trận hằng số A e với |A Ω ∗ 5 − A| e 6 và nghiệm trơn v tương ứng của
v t − div( A∇v) = 0 e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho, ta có đánh giá sau
Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử rằng, tồn tại ◦ > 0, {A k } ∞ k=1 , {u k } ∞ k=1 và {f k } ∞ k=1 sao cho u k là một nghiệm yếu của phương trình
(3.18) và thỏa mãn điều kiện
|u k − v| 2 dxdt > 2 ◦ (3.20) cho bất kỳ ma trận hằng số A nào thỏa
5 − A e và nghiệm v tương ứng của phương trình
Từ các Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, {u k } ∞ k=1 là biên trong W ∗ 1,2 (Q + 4 ).
Do đó, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {u k }, sao cho u k * u ◦ trong L 2 (W ∗ 1,2 (Q + 4 )) và u k −→ u ◦ trong L 2 (Q + 4 ) (3.22)
4 } ∞ k=1 là biên, tồn tại dãy con mà ta cũng kí hiệu là {A k Q +
Nhưng khi đó, từ (3.23) và (3.19), ta có
A k → A ◦ trong L 2 (Q + 4 ) (3.24) Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng u ◦ là nghiệm yếu của
(u ◦ ) t − div(A ◦ ∇u ◦ ) = 0 trong Q + 4 với u ◦ = 0 trên T 4 ∗ (3.25) Để làm được điều này, ta cố định bất kỳ ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q + 4 ) và mở rộng ϕ = 0 bên ngoài
Vậy, tóm lại ta có
Chú ý rằng ϕ ∈ C ◦ ∞ (Q + 4 ) với Q + 4 ⊂ Ω ∗ 4 và cho k −→ ∞, khi đó từ (3.26) ta thu được
Bây giờ, cố định bất kỳ một số dương nhỏ θ và τ ∈ (−16, 0], lấy x 0 ∈ T 4 = B 4 ∩{x n = 0}, Đặt s ◦ = min{α: ∂Ω 4 ∩ {x 0 , θ − s} 6= ∅}.
Khi đó 0 < s ◦ < θ + k 1 Chú ý rằng u k (ã, τ ) ∈ {ω ∈ C ∞ (B 5 ) : ω = 0 trờn Ω k 5 } trong H 1 (B 5 ).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng u k (ã, τ ) ∈ C 1 (B 5 )vu k (x 0 , θ − s ◦ , τ ) = 0.
Lấy tích phân trên T 4 ∗ = T 4 (−16, 0] ta được
|u k (x 0 , 0, τ )| 2 dx 0 dτ = 0, điều này kéo theo u ◦ = 0 trên T 4 ∗ (3.28)
Từ (3.27) và (3.28) suy ra (3.25) Cuối cùng ta có một mâu thuẫn với (3.20) bởi
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 3.10 Với > 0 bất kỳ, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Ω ∗ 5 u = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 5 thỏa mãn các điều kiện
(3.29) khi đó, tồn tại ma trận hằng số A e thỏa |A Ω ∗ 5 − A| e 6 và nghiệm trơn v tương ứng của
v t − div( A∇v) = 0 e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho ta có đánh giá sau ku − V k 2 W 1,2
∗ (Ω ∗ 2 ) 6 2 , (3.30) trong đó V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q + 4 tới Ω ∗ 4
Từ Bổ đề 3.9 và giả thiết (3.29), tồn tại một ma trận hằng số A e với
6 và một nghiệm trơn tương ứng v của phương trình
v t − div( A∇v) = 0 e trong Q + 4 v = 0 trên T 4 ∗ sao cho
Trước hết, ta quan sát rằng V là nghiệm yếu của phương trình
4 (x, t) trong Ω ∗ 4 , trong đó { a f ij } ∞ i,j=1 = A Giờ ta đặt e ω = u − V để thực hiện phép tính sau ω t − div(A∇ω) = (u − V ) t − div(A∇(u − V ))
Như vậy, ω là một nghiệm yếu của phương trình ω t − div(A∇ω) = div f +
4 (x, t) trong Ω ∗ 4 với ω = 0 trên ∂ ω Ω ∗ 4 Khi đó, theo Bổ đề 3.7, ta có kωk 2
|u − v| 2 dxdt, trong đó ta đã sử dụng bất đẳng thức H¨ older’s, bất đẳng thức Sobolev và (B 5 ∩ {x n >
−δ}) ⊃ Ω 5 ⊃ B 5 + Khi đó, từ đánh giá này và (2.31) suy ra ku − vk 2 W 1,2
Cuối cùng,kết hợp (3.33),(3.31), (3.29) ta suy ra kết luận (3.30).
Vậy, hệ quả được chứng minh.
Bất đẳng thức dạng “level sets”
Bổ đề 3.11 Tồn tại hằng số N 1 sao cho với > 0 bất kỳ, δ = δ() > 0 và nếu u là nghiệm yếu của u t − div(A∇u) = divf trong Ω T với hai giả thiết sau thỏa mãn
(3.35) thì ta có đánh giá
Từ điều kiện (3.35), ta thấy rằng tồn tại một điểm (x ◦ , t ◦ ) ∈ Ω ∗ 1 sao cho
Tương tự, ta thấy rằng
Từ Hệ quả 3.10 với các giả thiết (3.35), (3.38) và (3.39) , tồn tại ma trận hằng số A e với
6 và một nghiệm trơn v tương ứng của phương trình
v t − div( A∇v) = 0 e trong Q + 4 (0, 2) v = 0 trên T 4 ∗ (0, 2) sao cho ku − V k 2 W 1,2
|f | 2 + |A − A| 2 dxdt + D(∂ ω Ω, T 5 ) 1, tại V là phần mở rộng bằng không của v được xác định trong Q + 4 (0, 2) tới Ω ∗ 4 (0, 2) Khi đó, ta có thể sử dụng dánh giá địa phương và
|V | 2 6 C, để thấy rằng tồn tại một hằng số N ◦ sao cho sup
Bây giờ ta chọn N 1 2 = max{4N ◦ 2 , 2 n+2 } và sẽ chứng minh rằng{(x, t) ∈ Ω ∗ 1 : M|∇u| 2 > N 1 2 } ⊂ {(x, t) ∈ Ω ∗ 1 : M|∇(u − V )| 2 > N ◦ 2 } (3.42)
Ta chứng minh bất đẳng thức này, giả sử rằng
Với r 6 2, C r (x 1 , t 1 ) ∩ Ω T ⊂ Ω ∗ 3 (0, 2) và bởi (3.43) và (3.41), ta có
Với r > 2, C r (x 1 , t 1 ) ⊂ C 2r (x ◦ , t ◦ ) và bởi (3.37), ta được
6 2 n+2 Điều này chứng tỏ rằng
Khi đó, khẳng định (3.42) được suy ra từ (3.43) và (3.44) Từ (3.42) và đánh giá yếu
1 − 1 dạng parabolic ta thu được
∗ (Ω ∗ 2 (0,2)) Cuối cùng, từ đánh giá này và theo (3.40) ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.12 ([11]) Tồn tại hằng số N 1 > 0 sao cho với , r > 0 bất kỳ, δ = δ() > 0 và nếu u là nghiệm yếu của u t − div(A∇u) = divf trong Ω T thỏa mãn hai điều kiện sau
C r ∩ {(x, t) ∈ Ω T : M|∇u| 2 6 1} ∩ {(x, t) ∈ Ω T : M|f| 2 6 δ 2 } 6= ∅, thì ta có đánh giá sau
Hệ quả 3.13 Tồn tại hằng số N 1 > 0 sao cho với 1 > , r > 0, δ = δ() > 0 và nếu u là nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T khi [A] BM O 6 δ, ∂Ω là (δ, 63)−Reifenberg và nếu tính chất sau thỏa mãn:
Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Nếu C r (x, t) thỏa mãn (3.45) và kết luận (3.46) là sai, tồn tại (x ◦ , t ◦ ) ∈ Ω T ∩ C r (x, t) sao cho
Nếu C 7r (x, t) ∩ ∂ p Ω T = ∅, thì đây là một đánh giá trong (xem chương 1).
Giả sử rằng C 7r (x, t) ∩ ∂ p Ω T 6= ∅ Xét B 7r (x) ⊂ B 9r (x ◦ ), và chọn y = (y 0 , y n ) ∈
B 7r (x) ∩ ∂Ω Khi ∂Ω là (δ, 63r)− miền phẳng Reifenberg, ta có
Ω ⊃ Ω 63r (0) ⊃ B 9r + (x 0 , 0) ⊃ B r + (x) trong một vài hệ tọa độ phù hợp Bây giờ, chúng ta áp dụng Bổ đề 3.12 vào khối lập phương C 9r (x 0 , 0) thay bởi 9 n+2 , thu được
= |C r |,điều này mâu thuẫn với (3.45).
Hệ quả 3.14 Giả sử u là nghiệm yếu của
u t − div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T khi [A] BM O 6 δ, ∂Ω là (δ, 63)− Reifenberg Giả thiết rằng
|{(x, t) ∈ Ω T : M(|∇u| 2 ) > N 1 2 }| < |C 1 | (3.47) Cho k nguyên dương và tập hợp 1 =
Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp.
Rõ ràng mệnh đề này đúng trong trường hợp k = 1 Thật vậy, với
Do ∂Ω là (δ, 63)− Reifenberg Khi đó từ (3.47), Bổ đề 3.11 và Định lý 3.1, ta có
Giả sử mệnh đề đúng với k nguyên dương Ta định nghĩa u e = N u
1 Khi đó, u e là nghiệm yếu với u e = 0 trên ∂Ω của
( e u) t − div(A∇ e u) = dive f trong Ω T ⊃ Ω ∗ 63r (r > 0), và thỏa mãn
Khi đó,theo giả thuyết quy nạp, ta có
Ta viết bất đẳng thức này thành I 1 6 I 2 , trong đó
Ta thực hiện tính toán và đánh giá các biểu thức I 1 , I 2 như sau:
+ k+1 1 |{M|∇u| 2 > 1}|, suy ra mệnh đề đúng với k + 1.
Vậy, theo phép chứng minh quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương k.
Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg
berg Định lý 3.15 Cho số thực p : 2 < p < ∞ Có δ = δ(p) > 0 sao cho nếu u ∈ W ∗ 1,2 (Ω T ) là nghiệm yếu của parabolic PDE
(3.48) với [A] BM O 6 δ, toán tử P là parabolic đều và f ∈ L p (Ω T ; R n ), thì ∇u ∈ L p (Ω T ; R n ) và ta có bất đẳng thức sau k∇uk L p (Ω T ) 6 C kuk L p (Ω T ) + kfk L p (Ω T )
, trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f
Chứng minh Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng
|(x, t) ∈ Ω T : M(|∇u| 2 ) > N 1 2 | < |C 1 | bằng cách nhân PDE (3.48) với một hằng số nhỏ nếu cân thiết Vì f ∈ L p (Ω T ), nên M|f | 2 ∈ P ( p 2 ) (Ω T ) Do đó, ta có
L p 2 (Ω T ) 6 C, (3.49) với C > 0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào δ, N 1 2 , p.
Mặt khác, ta có đánh giá
< ∞, đến đây ta sử dụng (3.49) và chọn sao cho N 1 p 1 < 1 Khi đó, từ đánh giá này suy ra M|∇u| 2 ∈ L p 2 (Ω T ), hay ∇u ∈ L p (Ω T ).
Cuối cùng, ta chứng minh định lý chính của chương này. Định lý 3.16 Cho số thực p : 1 < p < ∞ Có δ = δ(p) > 0 sao cho nếu u là nghiệm yếu của parabolic PDE
u t − div(A∇u) = divf trong Ω T u = 0 trên ∂ p Ω T với [A] BM O 6 δ, toán tử P là parabolic đều, miền Ω thỏa ∂Ω(δ, R)−Reifenberg và mọi hàm f ∈ L p (Ω T ; R n ), thì u ∈ W ∗ 1,p (Ω T ) và ta có đánh giá sau đây kuk W 1,p
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét biểu thức (Ω T ) 6 Ckfk L p (Ω T ), trong đó C là một hằng số không phụ thuộc vào u và f Chúng ta cần chứng minh kết quả này, đặc biệt chú ý rằng trường hợp p = 2 đã được chứng minh là cổ điển Đối với trường hợp 1 < p < 2, có thể suy ra từ tính đối ngẫu, vì vậy chúng ta chỉ cần tập trung vào việc chứng minh cho trường hợp p > 2.
Theo định lý 3.15 và u t = div(A∇u + f ) trong Ω T , ta có đánh giá sau kuk W 1,p
,Vậy, định lý được chứng minh.