Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Mộ số ví dụ về MDn-2(n)- đại số giải được hạng 1

Nói dung chính của khóa luận này là phan phát biểu lại không chứng minh định lý phân loại này với trường hợp các MD,_sn}-đại số giải được hạng 1, sau đó là một vài ví dụ tính toán về các

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

TP nO CHẾ Mi

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyến agành: Hình hoc

Sinh viên: Tạ Thiên Quang MSSV: 4501101088

Giảng viên hướng din: TS Nguyễn Lê Chí Quyết

Thành phố Hồ Chí Minh - Ngày 8 tháng 5 năm 2023

TRUONG DAI HOC SU PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

KHOA TOAN - TIN HOC

KHOA LUẬN TOT NGHIỆP

Chuyén ngành: Hình hoc

Sinh vién: Ta Thién Quang MSSV: 4501101088

Giảng viên hướng din: TS Nguyễn Lê Chí Quyết

Thành pho Hỗ Chí Minh - Ngày 8 tháng 5 năm 2023

Lời cam đoan

Téi xin cam doan khóa luận tốt nghiệp "Một số ví du về MD;ạ_;ín)-đại

số giải được hạng 1" được chính toi thực hiện Các kết quả trong khóa luận

là trung thực và không sao chép bất kì khóa luận nào khác

Các thong tin trích din trong khóa luận này đều được ghi rõ nguồn gốc vàđược phép công bố Töi xin chịu hoàn toàn trách nhiềm vẻ lời cam đoan của mình

Sinh viên thực hiện

Tạ Thiên Quang

Lời cảm ơn

Lời cảm ơn đầu tiên, chan thành và trần trọng nhất, tôi muốn dude trao gửi

đến TS Nguyễn Lê Chí Quyết - giảng viên hướng dẫn Khóa luận Tốt nghiệpcủa toi tại Trường Dai hoc Sư pham Thanh phố Hồ Chí Minh Thay không chi

là người đã hướng dẫn hết sức tan tam trong quá trình tôi hoàn thành Khóaluận, mà còn là người thay đầu tiên đã dẫn đường khi tdi tiếp xúc với chuyênngành hình học ở bae dai học.

Tiếp theo, lời cảm ơn sâu sắc này tôi xin được gửi đến các tác giả của các tài liệu tham khảo, đặc biệt là nhóm tác giả của bài báo [IO], đã giúp đỡ tôi rat nhiều trong quá trình thực hiện khoá luận.

Tôi muốn được cảm ơn tat cá các Thay, Cõ là Giảng viên Khoa Toán - Tin học, Trường Dai học Sư pham Thành phỗ Hỗ Chí Minh Những kiến thức mà

Thay, Cé đã trang bị sẽ là hành trang quý giá trên con đường nghiên cứu sắp

tới của tôi.

Cảm ơn bạn Tư Dé Nguyên, bạn Nguyễn Việt Thắng, và tat ca những người ban ở trường dai học đã lắng nghe, an ủi và động viên tdi những lúc tdi bế tac trong quá trình thực hiện Khóa luận Tốt nghiệp này.

Cuối cùng, cảm ơn Ba, Mẹ và Em gái vẫn luôn là chỗ dựa tinh than vữngchắc trong suốt quá trình tôi học tập tại Trường Dai học Sư phạm Thành phố

Hà Chí Minh.

TP Hỗ Chí Minh, ngày 8 tháng 5 năm 2023

Ta Thiên Quang

Mục lục

iil

Đặt van đề

Lý thuyết về nhóm Lie được nghiên cứu và phát triển bởi nhà toán hocMarius Sophus Lie vào thế kỉ 19, đánh dau một bước tiến mới trong ngành Toánhọc hiện dai Các nghiền cứu sau đó đã dẫn đến việc tách lý thuyết về dai sốLie thành một phãn nhánh riêng, tuy nhiên giữa hai khái niệm này vẫn tồn tại

mối liên kết chặt chẽ Nhóm Lie và dai số Lie là sự kết hợp giữa 3 chuyên ngành

Toán học: Dại số, Giải tích và Hình học Cho đến ngày nay, các nhà toán họcvẫn đang nghiên cứu về bài toán phân loại biểu điễn của nhóm Lie (cũng nhưđại số Lie), đặc biết là phân loại các MD-nhóm và MD-đại số Tính đến năm

2022, các nhà toán hoc đã liệt ké và phân loại được toàn bộ các MD,-dai số với

rn < 4 Trong năm 2022 nhóm tác giả Hà Văn Hiểu, Lê Anh Vũ Nguyễn Thị

Cẩm Tú và Dương Quang Hòa đã phát biểu và chứng mình thành công định lý

phân loại lớp các MD„_z(n)-đại số giải được trong [IQ] Nói dung chính của khóa

luận này là phan phát biểu lại (không chứng minh) định lý phân loại này với

trường hợp các MD,_s(n}-đại số giải được hạng 1, sau đó là một vài ví dụ tính

toán về các MD-đại số này.

Về cấu trúc, khóa luan này bao gồm 3 chương:

e Chương 1 trình bày các kiến thức nền tang về đa tạp vi phân, ánh xạ khả

vi va khong gian tiếp xúc.

e Chương 2 trình bày các khái niềm và tính chất của nhóm Lie và đại số Lie,

biểu dién phụ hợp và đối phụ hợp, phương pháp mô tả các K-quỹ dao bằng

hình học.

e Chương 3 trình bày các khái niệm vẻ MD-nhóm và MD-dai số, phát biểu

định lý phân loại lớp các MD,~2(n)-dai số giải được hạng 1 và một vài ví

du cụ thể

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày mốt số cơ sở lý thuyết nén tang cho nội dung nghiên

cứu ở các chương sau Cu thể là các định nghĩa về da tạp vi phan, ánh xạ khả

vi và không gian tiếp xúc.

1.1 Đa tạp tõpõ

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tépé M được gọi là một da tạp tôpö rn chiều

nếu:

(1) M là không gian Hausdorff, nghĩa là với mọi cặp điểm phân biệt p,q € Af,

tốn tại hai tập con mở rời nhau LV C M sao cho p€ U và ạ€ V;

(2) M là không gian đếm được thứ hai, nghĩa là Aƒ có cơ sở đếm được các tập

mỞ;

(3) M là không gian Euclide địa phương ø chiều, nghĩa là mọi điểm thuộc M

đều tôn tại một lan cận đồng phôi với một tập mở của E".

Số chiều của đa tạp topd là bất biến như số chiều của R" và chiều của đa tạptopo chính là số chiều của không gian Euclide dang cấu địa phương với nó

1.2 Đa tạp vi phan

Định nghĩa 1.2.1 Cho Af là một không gian Euclide địa phương Với Uv cM

là một tập mở liên thông xét ¿ là một đồng phôi di từ lên một tập con mở L7” của E", khi đó ta gọi là một lân cận tọa độ, và cặp (U,ø) được gọi là một

bản đồ tọa độ hay bản đồ địa phương hay ban đồ mở

Mộ

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Khi đó với mỗi x € U, ta có thể xác định các tọa độ địa phương của x bằng

p(x) € U”,với ¿ (r} = (z!.zẺ sa" ER":

Định nghĩa 1.2.2 Cho M là không gian Hausdorff được trang bị một họ các

bản đỗ {(Ua,yo),a € A} (A là tập chỉ số} sao cho:

(1) U, Ư„ = M, nghĩa là {U„ : a € A} là phủ mở của Àí.

(2) Các ánh xa

Yq 0 ys! : 8 (Uy nN Uz) > Yu (Ua ñ Uy)

khả vi với moi a, 3 € A.

Khi đó ta gọi họ các bản dé này là atlas khả vi.

Định nghĩa 1.2.3 Một cấu trúc khả vi S = {(4.¿a),œ € A} trên M là một

atlas khả vi tối đại, nghĩa là nếu có một bản đỗ (U,¿) bat kì mà yo yr! và

Øa sự” khả vi thì (U,ø) € {(Ua, 9a) : a € A}

Nhận xét 1.2.1 Một atlas bat kì luôn có thé mở rộng để trỏ thành atlas khả

vi tối đại (cấu trúc khả vi) bằng cách bổ sung liên tục thêm các atlas tương

thích với nó đến khi khõng còn bổ sung được nữa

3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.2.4 Một đa tạp vi phân n chiều là một cặp (Àf, 3), trong đó Mf

là đa tạp tôpõ có số chiều nr và 9 là một cấu trúc khả vi trên M

Định nghĩa 1.3.1 Cho À/, X là các đa tạp vi phan m chiều và n chiều Ánh

xạ ƒ : M — N được gọi là kha vi tại điểm p € M nếu ƒ là ánh xạ liên tục và với

moi bản đồ (Ư,} quanh p của M và (V,) quanh f{p) của X sao cho ƒ{U) Cc Vthì ánh xạ yo ƒe~ đi từ tập mở ¿ (UN ƒ~1(V)) của R” vào R" là khả vi tạiđiểm ¿(p) c RTM

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.4 Không gian tiếp xúc

Xét đa tạp vi phân M n chiều Kí hiệu F(A) là tap hợp các hàm khả vi võ

cùng trên Mí Lấy điểm p € M

Định nghĩa 1.4.1 Mot dạng tuyến tính X, : F(M) > R được gọi là vectd

tiếp xúc tại p nếu nó thỏa mãn:

Xpl fo) = Xp(ƒ) a{p) + f(p)Xp (3), với mọi ƒ,g € #(M)

Nhận xét 1.4.1 Như vậy, tập hợp các vectơ tiếp xúc tại p với các phép toán cộng và nhân với một số thực làm thành R-khéng gian vecto.

Định nghĩa 1.4.2 Không gian tiếp xúc 7,M của M tại p € M là tập hợp

tat cả các vectd tiếp xúc của M tại p TM = LJ T,.M dude gọi là phan thé

peM

tiếp xúc của M.

Mệnh đề 1.4.1 Xét (U,¿) là một bản đỗ trên Aƒ với ¿(zị.za z„), thỏa

mãn p € U và ¿(p) = 0 Khi đó, với mọi i = 1,ø, ta định nghĩa dang tuyến tính

0(/sø2), 9(/sø-9

Ø;()(p) = (¿(p)) = (0), với mọi ƒ € F(A).

Khi đó, Ø; là các vectơ tiếp xúc tại p Ngoài ra, (ôi: = Tn} chính là cơ sở của

không gian vectơ T,.M.

Chứng minh Xem [J] trang lỗ] oO

Dinh nghĩa 1.4.3 Xét F : M -› N là đồng cau giữa hai da tap vi phân Lay

pe M Khi đó với moi X, € T,Àí, ta luôn xác đình được một ánh xa:

T,(F)Xp: #(N) 4B

gr X, (go F)

là vectơ tiếp xúc của N tai F{p) Anh xa TAF): TpM > Trụ được gọi là ánh

xạ tiếp xúc của # tại p.

Chương 2

Nhóm Lie, đại số Lie và biểu diễn

phụ hợp, đối phụ hợp

Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của nhóm Lie, đại

số Lie, biếu điển phụ hợp và đối phụ hợp, và cuỗi cùng là phương pháp mô tả

các K-quy đạo bằng hình học Dây là phan kiến thức tuy không mới nhưng lại không nằm trong chương trình Dai hoc chuyên ngành Toán Các nội dung được trình bày dưới day là kết quả nghiên cứu từ các tài liệu 3], [6|.[7| [I2].

2.1 Khái niệm về nhóm Lie

Định nghĩa 2.1.1 Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các

(1) * cùng với phép toán nhân - là một nhóm Lie.

(2) Tap hợp GL,,(R) các ma tran khả nghịch œ x n cùng phép nhân ma trân là

một nhóm Lie.

2.2_ Biểu dién tuyến tính của nhóm Lie

Định nghĩa 2.2.1 Gọi V là một không gian vectơ trên trường và GL(V) là

tập hợp các đẳng cấu tuyến tinh từ V vào V Một biểu diễn tuyến tính của

nhóm Lie G trong V là một đồng cấu p đi từ G vào GL(V), nghĩa là với mỗi

phan tử s € G sẽ cho ra một phan tử ø(s} (hoặc được kí hiệu đơn giản là ps)

trong GL(V)} sao cho:

plst) = p{s).p{t) với s.£ € G.

Khi đó V được gọi là một không gian biểu dién của G (hay đơn giản là một biểu

điển của G).

Nhận xét 2.2.1 Khi đó ta có ø(1) = 1 p(s7!)} = ø(s)"}

Định nghĩa 2.2.2 Gọi X là một tập hợp hữu hạn các phan tử, G là nhóm Lie

trong X và p là đồng cau đi từ G vào GL(X) Ta định nghĩa quỹ đạo của một phan tử z € X là tập hợp {ø;(z)|ø G}.

Định nghĩa 2.2.3 Giả sử ø và ø là hai biểu diễn của nhóm trong các không

gian vectơ W và 1“ Hai biểu diễn này được goi là tương đẳng (đẳng cấu) nếu

tổn tại một dang cấu tuyến tinh +: V —› V* biến ø thành p’, thỏa man:

rop(s) = p'(s}or với moi s € G.

Định nghĩa 2.2.4 Cho G và H là các nhóm Lie Một ánh xạ 6: G — H được

gọi là đồng cấu nhóm Lie nếu đó là ánh xạ trơn và là một đồng cấu nhóm,

nghĩa là với mọi 91 øa € G, ta có:

ð(ø + 92) = o{g1) - 0(92).

Đồng cau nhóm Lie 6: G + H được gọi la dang cau nhóm Lie nếu nó là đẳng

cau nhóm và ó là vi phôi trên đa tap.

2.3 Đại số Lie của một nhóm Lie

2.3.1 Đại số Lie

Định nghĩa 2.3.1 Xét một không gian veectơ G trên một trường K Mot ánh

xạ |[—,—]: Gx G + G, biến (x,y) thành một phan tử trong Ø, kí hiệu là [x,y],

được gọi là móc Lie của z và y nếu thỏa mãn 3 ménh dé sau:

í

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

(1) Ánh xạ này là một ánh xạ song tuyến tính ([az + by, z] = &[z, z] + b{y, 2]);

(2) [x,2] = 0 với mọi z € G (tính phản đối xứng);

(3) [z íp =]] + fy [2.2] + lz [z wị] = 0 (x,y,z € đ) (đồng nhất thức Jacobi).

Không gian vectơ ở cùng với móc Lie

(—.—|:đx

được gọi là một đại số Lie

Nhận xét 2.3.1 Ap dụng (1) và (2) đối với [x + w,z + y], ta có:

+ +) = let wal + (e+ ou) = is] + ya] + ea + [vw] = eval + [uz] =0

hay [z,y] = -[y.2}

Vi du 2.3.1.

(1) Xét khéng gian vectơ ở trên trường K cing với móc Lie: [x,y] = 0, Yr y € G.

Ta gọi móc Lie này là móc Lie tam thường Không gian vectơ đ cùng với

móc Lie này được gọi là đại số Lie giao hoán.

(2) Xót (G,-) là một dai số kết hợp, nghĩa là a-(b - e} = (a - b)-e = abe, Va, b,c € G

Ta định nghĩa móc: [a, b} = ab — ba Ta chứng mình móc vừa định nghĩa là

móc Lie:

— [a + b,c] = (a + b)e = c{a + b) = ae + be = ca — cb = [a,c] + Íb c].

— [ba] = ba — ab = — (ab — ba) = — |a, b.

~ (a, [6c] + [b, [a, €l) + [e, fa, ð])

= abe — bea — ach + cha + bea — cab — bác + ach + cab — abe — cha + bac

= 0.

(3) Xét End{V) là không gian các tự đồng cau trên K-khéng gian vectơ V Khi

đó End(V) là đại số Lie với móc Lie [A,B] = Ao B = Bo A.

Định nghĩa 2.3.2 Cho hai dai số Lie đ và Œ' trên K Một ánh xạ tuyến tính

6:G+G' được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu nó bảo toàn móc Lie, nghĩa là

ö(Íz w]) = [ó(z).ó(w)) với mọi z, € G.

Định nghĩa 2.3.3 Mét đồng cau dai số Lie là don ánh, toàn ánh, song ánh thì

được gọi tương ứng là đơn cau, toàn cấu, dang cau đại số Lie

8

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

2.3.2 Dai số Lie giải được và dai số Lie luỹ linh

Định nghĩa 2.3.4 Một không gian con M của đại số Lie G được gọi là một

đại số con của G néu [x,y] € M với mọi z, € M

Định nghĩa 2.3.5 Một không gian con M của đại số Lie G được gọi là một

idéan của đ nếu [x,y] € M với mọi z € Ở và € M.

Ghi chú 2.3.1 Giả sử M và N là hai tập con của dai số Lie đ Ta kí hiệu [M, N'

là tap hợp gồm các phan tử dạng [m, n|véi mọi m € Àf,n € X

Mệnh đề dưới đây được trích từ Bo dé 6.2, HỊ

Mệnh đề 2.3.1 Giả sử fy, Jz là các idéan của đ Khi đó [h, 7;]} cũng là một

idéan của G.

Chứng minh Lay bat ki [x,y] € {h, lạ) và z € G

Mat khác, do í¡ là iđêan của G nên |z,2] € 4), dan đến [y, [z, z|Ì € [1,4].

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

của G.

Giả sử G* là iđêan của G Khi g**! = (đ?,đ@F} cũng là idéan của Gg.

Vậy đf{k € Ñ) là idéan của G

Chứng minh tương tự ta có đc{k € Ñ) cũng là idéan của G I8

Định nghĩa 2.3.7 Ta nói các dãy {đ„}, {đ"} ồn đỉnh nếu tồn tại n € N* sao

cho Gy —= Guvt = n2 = 41 = Yao va ớ" = grt = am = = a

Dinh nghĩa 2.3.8 Một đại số Lie gọi là giải được nếu tồn tại n € N* sao cho

G" = {0} Chỉ số œ nhỏ nhất để đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số

Lie giải được.

Định nghĩa 2.3.9 Một đại số Lie gọi là lũy lĩnh nếu tốn tại ø € N* sao cho

G, = {0} Chỉ số n nhỏ nhất để đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số

Lie lũy lình.

Nhận xét 2.3.2 Moi đại số lũy linh déu giải được (do Ø' C G; với mọi ¿).

Ví dụ 2.3.2.

(1) Moi đại số Lie giao hoán đều giải được vì G' = [G,G] = 0 Tương tự, mọi

đại số Lie giao hoán đều lũy linh.

(2) Dai số Tín, K} các ma trận tam giác trên có các phan tử trên đường chéo

chính bằng 0 là một đại số lũy linh.

2.3.3 Dại số Lie của một nhóm Lie

Định nghĩa 2.3.10 Cho G là một nhóm Lie với phan tử đơn vì e Ta gọi Tớ

là không gian tiếp xúc của G tại e, kí hiệu là G, cùng với móc Í—, —] được xác

định như sau:

(X,Y](f0 = XW())- Y(XŒ)):VX,Y c€0,Wƒ © F(G),

trong đó F(G) là tap hợp các ham kha vi võ hạn trên Œ nhận giá trị thực va

Xƒ).Y(/) € F(G).

Dinh lý 2.3.1 Móc được xác đính như trên là móc Lie, và G là một đại số Lie,

được goi là đại số Lie của nhóm Lie G

Chứng minh Tham khảo [5) trang 54] ñ

10

Mệnh dé 2.3.3 Méi nhóm Lie G xác định duy nhất một đại số Lie đ Ngược

lại, với mỗi đại số Lie G cho trước, luôn tồn tại một nhóm Lie liên thông, đơnliên G sao cho G là dai số Lie của G

Chứng minh Tham khảo chứng minh trong fA] trang 26, 34) L]

2.4 Biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp (K-biéu diễn), K-quy

đạo

2.4.1 Ánh xạ mũ

Định nghĩa 2.4.1 Cho G là nhóm Lie và đ là dai số Lie của nó Khi đó tén

tại duy nhất ánh xạ khả vi ¢: G + Œ thỏa mãn các tính chất:

chúng ta có y(t) = exp(f} = e', với te E

(2) Xét G = GL{V) (tap hợp các đẳng cầu tuyến tính từ W vào V) Khi đó đại

số Lie của nó chính là đại số Lie gi{’) các phép biến đối tuyến tính trên

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

(2) Ánh xa exp có tính tu nhiên, nghĩa là với mọi đồng cấu nhóm Lie ¿ : G > G",

ta có hình vuông giao hoán:

Định nghĩa 2.4.2 Với G là một nhóm Lie và ổ là đại số Lie của nhóm G Ta

định nghĩa tác động của G lên G bởi Ad: G -> Aut(đ) (nhóm các tự dang cau

của G) bién một phan tử ø € Œ thành một ánh xạ

(1) Ly: G + G,z > gz là phép tịnh tiến trái của G theo g;

(2) Rạ-i: G > G,x ag’ là phép tịnh tiến phải của G theo g@!;

(3) (L„s R,-1), là cảm sinh của ánh xa Lo Ry-1

Ta gọi tác động Ad là biểu dién phụ hợp của G trong G.

2.4.3 Biểu điễn đối phụ hợp, K-quy dao

Định nghĩa 2.4.3 Gọi G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G Ta địnhnghĩa tác đông của G lên G* bởi K : — Aut(G*) biến một phần tử ø € G thành

K (4) với

12

{K (g)(F) X) = {F Ad (g~) (X)), VF e đ*,VX € G,¥9 € G,

trong đó, với mỗi F € G*,X € G, ta hiểu (F,X) chi giá tri của dang tuyến tinh

Fe" tai trường vectơ (bất biến trái} X € đ Tác động K được gọi là biểu

diễn đối phụ hợp của G trong G” hay còn được goi là K-biểu diễn Mỗi quỹ

đạo ứng với K-biển diễn được gọi là quỹ dao đối phụ hợp, hay K-quỹ đạo của

Be(X,Y) := F([X.Y]); với X,Y € đ.

Dinh nghĩa 2.4.5 (F (|X; X;])),„„ „là ma trận của Bp đối với cơ sở {X\ Xạ Xn} của G Ma trận trên được gọi là ma tran Kirillov của F đối với cơ sở này Từ

giờ trong trường hợp cơ sở của G được cho trước, ta xem Bp là là ma trận

Kirillov của F.

Dinh lý 2.4.2 Cho F là một phần tử của đ* Khi đó dim Qp = rankBp

Chứng minh.Tham khảo li trang 236] 0

Nhận xét 2.4.1 Số chiéu của K-quỹ đạo Q¢ ludn là số chin với mọi F € Gg".

2.4.4 Phương pháp mô tả các K-quy đạo bằng hình học

Phương pháp mô tả hình học K-quỹ đạo này được dùng trong trường hợp ta

chưa biết quy luật của nhóm Œ, nhưng đã biết rõ cầu trúc đại số Lie G của G.

Ghi chú 2.4.2 Xét nhóm Lie G cùng với đại số Lie đ của Œ Ta có các kí hiệu

sau:

(1) ad: Vi phan của biểu điễn phụ hợp Ad, đi từ đ vào Endg{(đ), được xác định

bởi cong thức: adx(Y) = ÍX,Y|.VX,Y € ở.

(2) expe: Anh xa mũ của G, di từ đ vào G.

(3) exp: Ánh xa mũ của nhóm Lie Autg{G) các tu đẳng cấu lầ-tuyến tính của

G.

13

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

Nhận xét 2.4.2 Tit định lý (2.4.1), ta có đẳng thức Ad o expg = expoad, điều

này được thể hiện bởi sơ đồ giao hoán:

Ba mênh đề dưới day được trình bày dưa theo BỊ

Mệnh dé 2.4.1 Ta luõn có Qe (đ) C Np Ngoài ra, nếu có thêm điều kién expe

là toàn ánh thì Qe (đ) = 0g.

Mệnh dé 2.4.2 Giả sử Œ là một nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu han

chiều với đại số Lie G của nó thỏa: với mọi X € G, ady không có giá trị riêng (trong C) thuẫn ảo nào Khi đó ánh xạ mũ expe là toàn ánh.

Mệnh đề 2.4.3 Giả sử G liên thông Nếu họ các Qf (G), F e đ* lap thành một

phân hoạch của G* và mọi (đ), F” € Qe đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong Q¢ thì khi đó 9z (G) = ©z.

Nhận xét 2.4.3 Từ 3 mệnh đẻ (2.1.1), và (2.4.3), ta thấy rằng để mô

ta các K-quy đạo ta có thể xác đình Qe (G) với mỗi F € đ* Sau đó ta sẽ chứng

mình expg là toàn ánh hoặc tat cả các Qe: (GC), FY € Ap đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong Qe Lúc này ta kết luận được 9g (đ) = Np, ¥F E GC".

Ví dụ 2.4.2 Gọi G54 i¢4,,.,,4,) là một nhóm Lie có dai số Lie tương ứng là

5.4,1(A,Aa,A) (kí hiệu rút gọn là G) - với cơ sở {X\, X¿, X¿, X4, Xp} sao cho Ởi =

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

Ta sé di mô tả K-quy đạo của nhóm Lie G54 1¢4,.4,.4,) VỚI Ar, A2, As € RY {0, 1}.

Theo nhận xét 2.41, ta di xác định Q- (G) Dé xác định y.VX € G, ta cần

phải xác đỉnh exp (adx), tức là tính ma trận biểu dién của exp(adx) trong cd sở

cơ sở đối ngẫu {Xị*, X¿°, X¿*, Xạ*,X;*} Khi đó, ta sẽ xác định được F, có dang

(Fì Fa, Fà, Fy, Fs) € G* & RB, trong đó:

Goi X (a,b, c,d, f) € G Ta tiễn hành tinh ma trận biểu dién exp(ady) như sau:

(1) LX, Xi] =a (Xp, Xi) +6 [Xa, Xi 4c (Xs, Xi]) + 4[Xsh| + ý š,Al]

(3) (X, Xa] = a[X1, Xã) = ad2X3.

(4) [X, Xa| = a[X1, Xa] = ads Xq.

Chương 2 Nhóm Lie đại số Lie và biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp

Ta nhận thấy adx chỉ có các trị riêng thực là 0,aÀi,øAz,aAs.a Do đồ expg là

toàn ánh, nghĩa là Q¢ (đ) = Op, và ta tính được ma trận exp(adx) như sau:

Np = Np (G) = {(X, foeTM, le), fueTM, fse®) X.a€ Rk} ‹

với fo? + fz? + fa? + fo? # 0.

16