Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đồng cấu giữa các nhóm Abel không xoắn hạng 1

HO CHi MINH Nguyễn Hồng Xuan ĐỒNG CÂU GIỮA CÁC NHÓM ABEL KHÔNG XOĂN HANG 1 KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH - 2024... Lời nói đầuTrong đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên

ĐẠIHỌC 47 BSP

TP HO CHi MINH

Nguyễn Hồng Xuan

ĐỒNG CÂU GIỮA CÁC NHÓM ABEL

KHÔNG XOĂN HANG 1

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP

THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH - 2024

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

TS Phạm Thị Thu Thủy

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của chủ tịch hội đồng

PGS.TS My Vinh Quang

Nguyễn Hong Xuan

ĐỒNG CÂU GIỮA CÁC NHÓM ABEL

KHÔNG XOAN HANG 1

Chuyên ngành: Đại sé

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THỊ THU THỦY.

THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH - 2024

Lời nói đầu

Trong đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên cứu các cấu trúc đại số

được gọi là nhóm Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều đối tượng toán

học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm: các cấu trúc đại số quen thuộc khác

như vành, trường và không gian vectơ có thể được coi là nhóm được cung cap

thêm các phép toán và tiên đẻ Trong đó, Lý thuyết nhóm Abel là một phannhánh quan trọng của Lý thuyết nhóm và có nhiều ứng dung trong đại số hiệndai Nhóm Abel lam cơ sở cho nhiều cầu trúc đại số quan trọng như trường,vành, không gian vectơ, và dai số trên trường Lý thuyết các nhóm abel nhìn

chung khá độc lập với lý thuyết nhóm nói chung về các ý tưởng nhưng cũng

không kém phan thú vì Trong [4], L Fuchs viết “Có lí do để tin rằng, không

có bắt kỳ điều kiện nào khác đối với nhóm, mà có tính quyết định đến cấu trúc

nhóm, hơn là tính giao hoán”.

Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết nhóm Abel là mô tả nhómcác đồng cấu giữa chúng Thông thường, các mô tả này cần dựa vào một số

các bat biến của nhóm Abel ban đầu Trong trường hợp chung các kết quả

liên quan đến nhóm các đồng cau của một nhóm Abel còn khá rời rac Nhiều

kết quả quan trọng vẻ cấu trúc và tính chất của nhóm Abel xoắn đã đạt được

trong các công trình của Baer [3] và Fuchs [4], thì bài toán mô ta cau trúc vàtính chat của các lớp nhóm Abel không xoắn thường võ cùng phức tạp và chotới nay van là các van để rat được quan tâm Hiển nhiên, việc tìm hiểu về cácnhóm Abel không xoắn phải được bắt dau từ những nhóm cơ bản nhất - nhóm

Abel không xoắn hang 1 Day cũng là trường hợp hiếm hoi khi một lớp nhóm

Abel không xoắn có thé được m6 tả một cách toàn điện bằng một bat biến

quan trọng là dang của phan tử

Dé tài khóa luận “Đồng cấu giữa các nhóm Abel không xoắn hang 1” baogồm hai chương Trong đó:

- Chương 1 hệ thống lại các kiến thức cơ bản về nhóm và đồng cau nhóm

sẽ được sử dụng trong các phần sau

- Chương 2 trình bày vẻ cau trúc của nhóm không xoắn hạng 1 và các kết

quả vẻ đồng cầu giữa các nhóm không xoắn hạng 1

Để có thể hoàn thành được khóa luận này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành

và sâu sắc nhắt đến Tiến sĩ Pham Thi Thu Thủy đã tận tâm hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp của tôi Những phản hồi chân thành và những góp ý đáng giá

từ cé đã giúp téi nắm bắt được những điểm mạnh, cũng như những khía cạnh

cần cải thiện trong nghiên cứu của mình Và tôi xin chân thành cảm ơn tat cả

các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi được làm khóa luận tốt

nghiệp Day là một cột mốc quan trọng trong cuộc đời hoc tập của tôi, và tôi

biết rằng không thể hoàn thành nó mà khong có những kiến thức sâu sắc từ

phía quý thay cô truyền day Không chi vậy, tôi cũng muốn bày tỏ lòng biết ơnđến gia đình, bạn bè và những người thân yêu đã luôn động viên và ủng hộ tôi

trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này

Lời cudi cùng, tôi xin chân thành cắm ơn các tác giả cha tài liêu tham khảo

mà tôi đã sử dụng trong quá trình thực hiện khóa luận của mình Dù tôi đã cỗ

gắng dau tư rat nhiều vẻ cả nôi dung và hình thức của khóa luận, tuy nhiên sé

không thé tránh khỏi những sai sót Toi mong rằng được nhận được sự chia sẻ

và đóng góp ý kiến từ các thầy cô và các bạn sinh viên để tôi thấy được những

khía cạnh còn chưa hoàn thiện và có thêm những kinh nghiệm quý giá để cải

thiện nghiên cứu của mình.

Töi xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hà Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2024

Tác giả

Nguyễn Hong Xuân

1.1.2 Tong trực tiếp của các nhóm Abel 2

11.3 Hang của nhóm Abel 22.2 3

1.2 Đồng cấu nhóm và các định lí đẳng cấu 4

2 Nhóm Abel không xoắn hạng 1 và đồng cau giữa chúng 5

2.1 Cao độ và đặc trưng của phần tử 5

20.1 Cécdinltghia ,.; ‹s: : ca: : c ¿co ¿co c c ¿c2 5

2.1.2 Các phép toán của đặc trung 2 2.2 ee 9

22 Dang 2 ee ee ee ee eee 12

2.3 Nhóm không xoắn hạngl ẶẶẶẶ 162.4 Đồng cau giữa các nhóm Abel không xoắn hạng l 19

Kết luận 23

Tài liệu tham khảo

BANG KÝ HIỆU

N.Z.Q.® Tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực

N*, Z*, Q*, R* Tập hợp các số tự nhiên số nguyên, số hữu ti, số thực, số phức kha

Zn, Z(n) Nhóm cộng các số nguyên đồng du modulo n, nhóm cyclic cap n

X\Y Hiệu của hai tập hợp X và Y

IG| Cap của nhóm G, lực lượng của tập hợp ở

(S9) Nhóm con sinh bởi tập hợp Š

{g} Nhóm cyclic sinh bởi phan tử g

> H, Tong của họ các nhóm con { H;};¿;

ie

(đ;}¡cN Day các phan tử a; với chỉ số i € N

{ajhiey Ho các phan tử a; với chi số ? thuộc J

lợi, o(g) Cấp (bậc) của phần tử ø

h,(a) p~cao độ của phan tử ©

EndG Vanh các tự đồng cấu của nhóm G

Kerg Hạt nhân của đồng cấu y

Imy Anh của đồng cấu ý

IIG @® 6 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ các nhóm {G,},e¡

ie! ie!

Hom(G, H) Nhóm các đồng cau từ nhóm G vào nhóm H

H<G H là nhóm con của G

Ø Tap hợp rồng

G/H Nhóm thương của nhóm G theo nhóm con H

—+ Phan tử đối của #

0 Phần tử Không

aly x chia hết y, @ là ước cha y

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các kiến thức cơ bản về nhóm

1.1.1 Nhóm Abel, nhóm con

Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một tập hợp khác rỗng và + là một phép toán

hai ngéi trên Œ Khi đó, G được gọi là nhóm Abel với phép toán + nếu thỏa

mãn các điều kiện sau đây:

i) (Tính chất kết hợp) Với mọi 9), 92,93 thuộc G thì (g) + Øa) + 93 = 9 +

(92 + Ø):

ii) (Tính chat giao hoán} Với mọi ơi, g2 thuộc G thì g; + g2 = g2 + 91;

iii) Tôn tai phần tử 0 thuộc G sao cho g + 0 = g với mọi ø thuộc G Phan tử

0 được gọi là phan tử trung hòa (hay phần tử Không) của G;

iv) Với mỗi g thuộc G, tốn tại g’ thuộc sao cho g + 9’ = 0 Phan tử g’ được

gọi là phần tử đói của g

Nếu G có hữu hạn phan tử thì G được gọi là một nhóm hữu han, và số phan

tử của G được gọi là cap của G và ký hiệu là |G] Ngược lại, ta nói G có cấp

vô hạn Ta quy ước trong toàn bộ khóa luận, khi nhắc tới “nhóm” mà không

giải thích gì thêm thì ta hiểu đó là nhóm Abel với phép toán cộng.

Định nghĩa 1.1.2 Cho G là nhóm và ø là một phan tử thuộc G Ta đỉnh

nghĩa cấp của phần tử g, ký hiệu ø(g) hoặc |ø|, là số nguyên dương n nhỏ nhất

sao cho ng = 0 hoặc bằng œ nếu ng # 0 với moi số nguyên đương 0.

Định nghĩa 1.1.3 Cho G là một nhóm Khi đó G được gọi là nhóm không

xoắn nếu mọi phan tử khác 0 trong G đều có cấp vô hạn.

1.1.2 Tổng trực tiếp của các nhóm Abel

Định nghĩa 1.1.4 Cho {G.}¡c ¡ là một họ các nhóm Trong tích DescartesJ] G;, ta định nghĩa phép toán như sau:

ie]

(aj)icr + (bi)ier = (đi + B;)¡er.

Dé thay, [] G; với phép toán trên lập thành một nhóm Nhóm J] G; được

ies ie!

gọi là tích trực tiếp của ho các nhóm {G;};er.

Tập con @G; của [[G; bao gồm các phan tử chỉ có hữu han các thành

¿€l ie]

phần khác 0, lập thành một nhóm con của nhóm [] G; Nhóm @ G; được gọi

ies ef

là tổng trực tiếp (ngoài) cha họ các nhóm {G;}iey.

Định nghĩa 1.1.5 Nhóm G được gọi tổng true tiếp (trong) của hai nhóm con

H, K và được ký hiệu G = H @ K, nếu

IL.ỚŒC=H+K=ta+b|ace H,bec K};

2.NÑnK=0.

Khi đó H, K được gọi là hạng tử trực tiếp của G

Nhóm Œ được gọi tổng true tiếp (trong) của họ các nhóm con {H,};¿¡ và

được ký hiệu G = @ Aj, nếu

wel

1 G= SH; = {0 a; | a; € H; và a; = 0 hau hết, trừ một số hữu han};

ie] iel

i= 1,n Nếu Š không độc lập tuyến tính thì ta nói S phụ thuộc tuyén tinh.

Một tập hợp vô hạn trong G được gọi là độc lập tuyến tính néu mọi tập con

hữu han của nó đều độc lập tuyén tinh

Một hệ độc lập tuyến tính S trong G được gọi là tối đại nêu không tồn tai

hệ độc lập tuyến tính X nào đó của G sao cho S c X Nói cách khác, S là hệđộc lập tuyển tính tỗi đại néu SU {g} phụ thuộc tuyến tính với mọi ø thuộc

G.

Mọi nhóm không xoắn Œ đều là nhóm con của một Q— không gian vecta

V, một tập đốc lập cực đại của G là một cơ sở của V Nếu {z;,¿ € J} là một

tập độc lập cực đại trong G thì moi phan tử g thuộc G đều có thể biểu dién

duy nhất dưới dang

g = TỊ?I + + TEU, (7; € Q).

Dinh nghĩa 1.1.7 Hang của nhóm G là lực lượng của hệ độc lập tuyến tinhtối dai của nhóm G

1.2 Đồng cấu nhóm và các định lí dang cấu

Định nghĩa 1.2.1 Cho G và H là hai nhóm Một dong cau (nhóm) từ nhóm

(G, +) vào nhóm (j1, -) là một ánh xạ ø : G —+ H bảo toàn phép toán, nghĩa

là với mọi øi g¿ thuộc G ta có

#(Ø + Ø) = ¿(ø) - (4).

Hon nữa, nếu đồng cau ¿ là một song ánh (đơn ánh, toàn ánh) thi ¿ được goi

là một đăng cau (đơn cau, toàn cắn).

Anh của đồng cấu nhóm ý : G —+ H là Imự = ý(G) = {y(ø) | 9 € G}.

Hạt nhân của đồng cau nhóm ¿ : G —> H là Kery = {g € G | ¿(g) =

0} = 97 "(0).

Nếu tồn tại một dang cấu y : G —> H thì ta nói G và H đẳng cấu với

nhau, ký hiệu G % A.

Định nghĩa 1.2.2 (Nhóm đồng cấu) Cho Œ, là hai nhóm và a , 8 là các

dong cau từ G vào HH Khi đó tong a + 8 được định nghĩa là

(a + đ)ø = a(g) + 6(g).

với g thuộc G, cũng là đồng cầu từ G — H Các đồng cau từ G vào H với

phép cộng sẽ tạo thành một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm động cau của

G với H Ký hiệu: Hom(G, H)

Dinh nghĩa 1.2.3 Cho G là nhóm Một đồng cấu y : G —> G được gọi là

một tu đồng cau của Œ Tap hợp tat cả các tự đồng cau của G được ký hiệu là

EndG Như vậy, EndG = Hom(G, G)

Định nghĩa 2.1.1 Cho G là một nhóm không xoắn, g là một phan tử thuộc G

và p là một số nguyên tố Nếu có số nguyên không âm lón nhất r thỏa p„ # = g

có nghiệm x thuộc G, thì r được gọi là p-cao độ của g và kí hiệu là h„(ø) Nếu

px = 9 có nghiệm với mọi số nguyên r thì g có p-cao độ võ han và kí hiện là h,(g) = 00.

Vi du 2.1.2 Trong nhóm (2, +) ho(4) = 2 vì 4 = 3°.

Định nghĩa 2.1.3 Cho G là một nhóm ø là một phan tử thuộc G và day

PI.J2 Pn, là day các số nguyên tổ theo thứ tự tăng dan Day các p—cao

độ

XẮØ) = (hụ (9) họ,(9): +++ hạ, (0) - )

được gọi là đặc trưng của g Ta viết y4(g) khi muốn chỉ rõ đặc trưng của phan

tử ø được xét trong nhóm A nào đó.

Vi dụ 2.1.4 1 Trong nhóm cộng 7, xét phan tử 84

Ta có 84 = 27.3.7 Do đó dễ thay đặc trưng của 84 là:

x(84) = (2,1,0,1,0, ,0, );

2 Trong nhóm cộng Z¿, xét phan tử T.

Ta có 2z = T có nghiệm + = T Mặt khác phương trình 2*z = T tương

đương 0# = 1 võ nghiệm trong 5¿ với mọi k > 0 Do đó h;(1) = 0 Nếu

p# 2 thì phương trình đồng dư p*« = 1(mod 2) có nghiệm với mọi k € Ñ

nên h,(1) = % với mọi số nguyên tổ p # 2 Vay đặc trưng của T là:

X (1) = (0, 00,00, 00).0.00)5

1

3 Trong nhóm nhân Ợ*, xét phan tử 3

1 1

Ta có a?” = 5 có nghiệm « = 5 với mọi số nguyên tố p Mặt khác phương

trình a” = = vô nghiệm với moi số nguyên tố p, với moi k € N* nên

1 ‹ ¬

họ () = 0 với mọi số nguyên tế p Vay đặc trưng của = là:

2 2

(5) =06.0 0 )

Định nghĩa 2.1.5 Cho đặc trưng y = (ki, ko, ,kn, ) Đặc trưng x được

gọi là lay đăng nếu y? = X.

Định nghĩa 2.1.6 (So sánh hai đặc trưng) Cho hai đặc trưng

Định nghĩa 2.1.7 Cho G là nhóm không xoắn, g là phan tử thuộc G và m

là một số nguyên tùy ý Nếu tồn tại phần tử h thuộc G sao cho mh = ø thì ta

nói rằng m là ước của g và kí hiệu là zm | g.

Bồ đề 2.1.8 Cho G là nhóm không roan, g là một phan tử thuộc G va m,n

là hai số nguyên tùy ý Khi đó:

1 Néum|g va nÌm thì n|g:

2 Nếu rm|g thà m|ng;

3 Nếu (m,n) = 1 va n|mg thì nig;

4 Nếu (m,n) = 1 va mig, nig thì ran|g.

Chứng minh 1 Do m|g và n|m nên tồn tai a thuộc G và & thuộc Z sao cho

g = ma vam = nk Khi đó g = ma = (nÈ)a = na) suy ra nig.

2 Hién nhién.

3 Do n|mg nên ton tai a thuộc G sao cho mg = na va (m,n) = 1 nên tồn tại

s.r € sao cho sm+rn = 1 Khi đó g = (sm+rn)g = (sm)g + (rn)g = s(na) + n(rg} = n{(sa + rụ) Suy ra ng.

4 Do m|g nên tồn tại a thuộc G sao cho g = ma Lại có ng = ma và

(m,n) = 1 nên theo ý 3 ta được ma Khi đó tổn tại b thuộc G sao cho

a = nồ Khi đó g = ma = m(nb} = (mn)b Suy rà mn|g

O

Mệnh dé 2.1.9 Cho G là một nhóm không xoắn, g là một phan tử thuộc G

va XÍØ) = (k\,ka, ,a, ) là đặc trưng của g Khả đó x(=g) = X(9)

Chứng minh Dễ thấy với mọi số nguyên tố p, số tự nhiên k và phan tử g € G,

ta có pÈz = ø khi và chỉ khi p*(—ax) = —g Điều này nghĩa là p* | g khi và chỉ khi p* | —g Do đó hy (g) = hụ(—g) với mọi số nguyên tố p Vay x(g) = x(-g) =Ì

Ménh dé 2.1.10 Cho G ` một nhóm không xoắn va g là một phan tit thuộc

G va — = (Ris Ray } là đặc trưng của g Khi đó g chia hết cho

m= pt pe khi va chi " 1 < kj, vdi moii = Ì,r.

Chứng minh Cho g chia hết cho m = p} pÈ Do mig nên p| g Ma ky =

hy,(g) nên k; > Ì,

Ngược lại, cho 1; < Ri, tối mọi 1 <i <r Nghĩa là J; < h„(g) nên pi lg với

mọi Ì <¿ <r Ma (p° Pi; 2) = 1 với mọi i # j nên theo Bồ dé 2.1.8 ta được

Pips pe lg T1

Mệnh đề 2.1.11 Cho ĩ là một nhóm không xoắn va g là một phần tử thuộc

G tà x(g) = (hi, ka, , } là đặc trưng của g Ta guy ước + 1 =

Kha đó uới mọi n © Ñ* " cá

X(Png) = (hụ (9), hạ (0), - Rụ,(g) +

1 )-Chứng minh Ta chứng mình hạ (p„g) = hy,(g) = ki với mọi i # n Choi # n,

ta có p*Jø nên theo Bồ đề 2.1.8 ta được p°|p„ø Nếu ky = 00, theo Bồ đề

2.1.8 ta có hụ„(g) < hạ (p„g) nên hạ„(pag) = 00 = hy,(g) Nếu ki € N Khi

đó ta có p*\g nên theo Bề đề 2.1.8 ta được p*|p,g Giả sử tồn tại số tự nhiên

l; > k¿ sao cho pi |pug Do (p!, pn) = 1 nên theo Bồ dé 2.1.8 ta được pi |g suy

ra h„(g) >; > k; (Võ lý) Do đó

hy, (Png) = ki = hy,(g) với mọi ¡ # n.

Ta chứng minh hy, (pag) = hy,(g) + 1 = kn + 1, Nếu k„ = 00 thi theo Bổ

để 2.1.8 ta có Ry, (g) < hp, (Pag), nên hy, (Pang) = 06 = œ + 1 = hy, (g) + 1.

Nếu kạ thuộc Ñ, thi do pk |g nên p°*†!|p„ø Giả sử tồn tai số tự nhiên l„ >

ky, + 1 sao cho ph |png Khi đó tốn tại a = G sao cho Png = = pịa Do đó

Pn(g — plea) = 0 Do G không xoắn nên g — pÌ*a = 0 hay g = pia Suy ra ph'|g

nên h„ (g) > lạ > Bn = hp, (g) (Võ lý) Do đó

họ, (Pnsg) = kn +1 = hạ (g) + 1

x(Png) = (hụ,(0) hạụ;(9).- họ, (g) + 1, hụ,+: (9),

- )-O

Mệnh dé 2.1.12 Cho G, H là hai nhóm không roắn va g là một phan tử thuộc

G tà x(g) = (hi, kạ, kạ, ) là đặc trưng của g Nếu a: G — H là dong

cau thi

xe(g) = xH{ag).

Chứng mink Lay tùy ý g thuộc G, với mỗi số nguyên tổ p, đặt h,(g) = k Khi

đó p*|g, nghĩa là tổn Lại h thuộc G sao cho g = p*h Suy ra a(g) = af{p*h) =

p°a(h) do dé pÊ|[a(g) nên h,(ag) > k = h,(g), với mọi ø thuộc G Do đó

Xe(ø) < xuÍœ#), với mọi g thuộc GC 1

2.1.2 Các phép toán của đặc trưng

Định nghĩa 2.1.13 Cho xị = (ky, ke, , kạ, ) và Xa = (h,b, via, )

là hai đặc trưng Khi đó ta định nghĩa hai phép toán A và V như sau:

x1 A Xe = (min{ ky, [)}, mìn{k, l}, min{ ky, lạ} );

va

XIV X¿ = (max{k), b)}, max{ke, l;}, , max{Kạ, lạ}, )

Định lí 2.1.14 Cho G là nhóm không xoắn tà g,h là hai phan tử thuộc CG.

Khi đó x(g +h) > x(øg) A x(h)

Chứng mình Cho số nguyên tổ p, giả sử min{h„(g), h„(h)} = k Nếu k = oo.

Khi đó h„(q) = hy(h) = oo Với mọi n € Ñ*, tồn tai phần tử a,b € G sao cho

p”a = gvap"b = h Khi đó g+h = p"(a+b) với mọi € Ñ nên p” | g+h với mọi

n€ Ñ Suy ra h„(g+ h) = 00 Nếu k € Ñ, khi đó p*|g và pÊ|h nên tồn tại gy, hy

thuộc G sao cho g = p*q, và h = p*hy Khi đó g+h = p*g, +p*hy = p*(gi+h1).

Suy ra p*|(g +h) nên h,(g +h) > k = min{h,(g),h,(h)} với mọi số nguyên

tổ p Do đó x(g + h) > x(ø) A x(h) với mọi ø, h thuộc G Oo