Nhóm abel compact đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Thắng NHĨM ABEL COMPACT ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Thắng NHĨM ABEL COMPACT ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan, hướng dẫn bảo tận tình TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài “Nhóm Abel compact đại số” thành nghiên cứu cá nhân tơi Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả tham khảo số kết từ nguồn sách báo liệt kê mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu trách nhiệm với luận văn thân Trần Quốc Thắng Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Phạm Thị Thu Thủy, người giảng viên vô tận tâm nhiệt tình cơng tác giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ kiến thức phương pháp để tơi hồn thành luận văn “Nhóm Abel compact đại số” Tiếp đến, muốn gửi lời cảm ơn đến tất q thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt khóa học trường Ngồi ra, tơi xin cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu quý thầy phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ động viên suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng, khơng tránh khỏi thiếu sót Do đó, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Trần Quốc Thắng Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Abel khái niệm liên quan 1.2 Nhóm nội xạ túy dãy khớp túy 1.3 Topo 11 Nhóm Abel compact đại số 14 2.1 Nhóm topo 14 2.2 Tính compact đại số 20 2.3 Nhóm Abel đầy đủ 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời nói đầu Lý thuyết nhóm Abel nhánh đại số đại nghiên cứu tính chất nhóm giao hốn Trong nghiên cứu nhóm Abel, nhóm gọi nhóm compact đại số hạng tử trực tiếp nhóm chứa nhóm túy Từ góc nhìn đại số này, lớp nhóm compact đại số lớp nhóm nội xạ túy nhóm Abel nhúng vào nhóm compact đại số nhóm túy Mặt khác, từ góc nhìn topo, lớp nhóm Abel đầy đủ topo Z-adic lớp nhóm compact đại số rút gọn Việc nghiên cứu nhóm compact đại số cho có nhìn sâu mối liên hệ tính chất đại số tính chất topo nhóm Abel Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị trình bày kiến thức để triển khai chương Chương 2: Nhóm Abel compact đại số gồm phần Phần nêu kiến thức chung nhóm topo Phần trình bày chi tiết định lý cấu trúc nhóm compact đại số (Định lý 2.2.5) Phần trình bày chi tiết định lý tương đương nhóm đầy đủ topo Z-adic nhóm compact đại số rút gọn (Định lý 2.3.5) Danh sách ký hiệu N Tập hợp số tự nhiên N∗ Tập hợp số tự nhiên khác Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỷ Z(p∞ ) Nhóm nhân bậc pn (n ∈ N∗ ) T Nhóm nhân số phức có mơđun A≤B A nhóm B A/B Nhóm thương A theo B Im α Ảnh đồng cấu α Ker α Hạt nhân đồng cấu α hai Nhóm cyclic sinh phần tử a hSi Nhóm sinh tập S n|a n chia hết a Gk Nhóm Ulm thứ k nhóm G A∼ =B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B 1A Ánh xạ đồng A Ux Họ lân cận x Vx Cơ sở lân cận x A Bao đóng A ∪, ∩ Hợp, giao Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Abel khái niệm liên quan Định nghĩa 1.1.1 Nhóm Abel nhóm có phép tốn giao hốn Trừ có ghi thêm, phép tốn sử dụng ln phép +, phần tử trung hòa 0, phần tử đối x −x Xuyên suốt luận văn này, từ "nhóm" mang nghĩa nhóm Abel Cho G nhóm Một tập A 6= ∅ G gọi nhóm G với a, b ∈ A, ta có a − b ∈ A Do nhóm G giao hốn nên với nhóm A, tập thương G/A = {x + A | x ∈ G} ln nhóm Cho n số ngun dương Ta định nghĩa nG = {nx | x ∈ G} G[n] = {x | nx = 0} Khi nG G[n] nhóm G Cho S tập G Nhóm G sinh tập S, hay nhóm nhỏ G chứa S (theo quan hệ bao hàm) ký hiệu hSi Nhóm cyclic, nhóm tựa cyclic nhóm đối cyclic Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm x ∈ G Tập A = hxi = {nx | n ∈ Z} nhóm G gọi nhóm cyclic sinh x Lực lượng tập hợp G gọi cấp nhóm G Cấp phần tử x cấp nhóm cyclic sinh x Định nghĩa 1.1.3 Cho p số nguyên tố Nhóm G gọi nhóm tựa cyclic G = ha1 , a2 , , an , i, pa1 = 0, pan+1 = an , với n ∈ N∗ Mọi nhóm tựa cyclic đẳng cấu với nhóm nhân bậc pn (n ∈ N∗ ) 1, ký hiệu Z(p∞ ) Định nghĩa 1.1.4 Nhóm G gọi nhóm đối cyclic tồn phần tử x ∈ G cho với đồng cấu φ : G → H, x ∈ / Ker φ φ đơn cấu Khi đó, x gọi phần tử đối sinh G Mệnh đề 1.1.5 Cho G nhóm Khi G nhóm đối cyclic G ∼ = Z(pk ) với k ∈ N∗ ∪ {∞} Tổng trực tiếp tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6 Nhóm G gọi tổng trực tiếp họ nhóm L {Ai }i∈I ký hiệu G = Ai , i∈I 1) G = P  Ai = ai1 + + ain | n ∈ N, aik ∈ Aik , k ∈ 1, n ; i∈I 2) Ai ∩ P Aj = j6=i * Ghi 1.1.7 1) Điều kiện G = P i∈I Ai tương đương với G = + S i∈I Ai P 2) Để đơn giản, phần tử Ai thay ghi ai1 + + ain (aik ∈ Aik , k ∈ 1, n) i∈I P ghi gọn (ai ∈ Ai ) với quy ước có hữu hạn số i ∈ I i∈I cho 6= Định nghĩa 1.1.8 Cho G nhóm A nhóm G A gọi hạng tử trực tiếp G tồn nhóm B G cho G = A ⊕ B Định nghĩa 1.1.9 Cho họ nhóm {Ai }i∈I Ta xác định tập tích Descartes Q G= Ai phép tốn cộng sau: i∈I (xi )i∈I + (x0i )i∈I = (xi + x0i )i∈I G với phép toán cộng nhóm, gọi tích trực tiếp nhóm Ai Nhóm Ulm Định nghĩa 1.1.10 Nhóm Ulm thứ k (k ∈ N∗ ) nhóm G, ký hiệu Gk , định Gk = \ nGk−1 , n∈N∗ ta quy ước G0 = G Nhóm hồn tồn bất biến Định nghĩa 1.1.11 Cho G nhóm A nhóm G A gọi nhóm hồn tồn bất biến G f (A) ⊂ A với tự đồng cấu f G Nhóm xoắn, nhóm khơng xoắn p-thành phần Định nghĩa 1.1.12 Cho G nhóm Ta nói 23 cj = gj + hj với gj ∈ G, hj ∈ H Khi đó,  = X nij cj =   X j∈J suy − P nij gj = j∈J P  nij gj  +  j∈J  X nij hj  , j∈J nij hj ∈ G∩H = 0, nên j∈J P nij gj = , dẫn đến xj = gj (j ∈ J) j∈J nghiệm hệ (2.1) G Cuối cùng, ta chứng minh 5) suy 1) Cho → B → C → C/B → dãy khớp túy đồng cấu η : B → G Gọi {cj }j∈J hệ sinh C Ta đánh số phần tử B tập số I Với bi ∈ B (i ∈ I), ta có bi ∈ C, nên tồn nij ∈ Z cho X nij cj = bi (2.2) nij xj = η(bi ) (η(bi ) ∈ G, i ∈ I) (2.3) j∈J Ta xét hệ phương trình X j∈J Xét hệ hữu hạn hệ (2.3) gồm dòng i1 , , ik ẩn xj1 , , xjl Do B nhóm túy C nên theo Mệnh đề 1.2.5, B hạng tử trực tiếp B = hB, cj1 , , cjl i, hay B = B ⊕ C Khi đó, với t ∈ {1; ; l}, ta có cjt = gjt + hjt , với gjt ∈ B hjt ∈ C Với s ∈ {1; ; k}, từ (2.2) ta có bi s = l X 
nis jt gjt + hjt =  t=1 l X t=1    l X nis jt gjt  +  nis jt hjt  , t=1 suy  bi s −  l X t=1  nis jt gjt  = l X t=1 nis jt hjt ∈ B ∩ C = 24 Do đó, l X nis jt gjt = bis , t=1 dẫn đến l X nis jt η(gjt ) = η(bis ), t=1
suy η(gj1 ), , η(gjl ) nghiệm hệ hữu hạn xét Như vậy, hệ hữu hạn hệ (2.3) có nghiệm G, nên theo Mệnh đề hệ (2.3) có nghiệm P xj = aj (j ∈ J) G Khi đó, với c ∈ C, tồn nj ∈ Z cho c = nj cj , ta đặt j∈J P γ(c) = nj aj γ : C → G đồng cấu Vậy G nhóm nội xạ túy j∈J Mệnh đề 2.2.6 Hạng tử trực tiếp nhóm compact đại số nhóm compact đại số Chứng minh Cho G nhóm G hạng tử trực tiếp nhóm compact đại số H Theo Định lý 2.2.5, H hạng tử trực tiếp nhóm K mà trang bị topo compact Từ suy G hạng tử trực tiếp K, dẫn đến G nhóm compact đại số Mệnh đề 2.2.7 Nhóm tự (khác 0) khơng nhóm compact đại số Chứng minh Trước hết ta chứng minh Z khơng nhóm compact đại số Xét hệ phương trình xk − pxk+1 = 1, k ∈ N∗ (1) Cho n ≥ 2, xét hệ xk − pxk+1 = 1, ≤ k ≤ n hay xk = + pxk+1 , ≤ k ≤ n (2) Bằng cách gán xn+1 = a ∈ Z tính ngược từ lên ta có xk = n−k X pi + pn+1−k a, ≤ k ≤ n (3) i=0 Do hệ (2) có nghiệm với n ≥ Vì hệ hữu hạn (1) hệ hệ dạng (2) đó, nên hệ hữu hạn (1) có nghiệm 25 Mặt khác từ (3) ta có với n ≥ x1 = n−1 X pi + pn a = i=0 a.pn+1 + (1 − a)pn − pn − + pn a = p−1 p−1 Với a ∈ Z, cho n → ∞, ta có pn+1 1−a |x1 | = a+ − n+1 → ∞ p−1 p p Do khơng tồn nghiệm chung tất hệ phương trình dạng (2) Vậy hệ (1) vô nghiệm Từ Định lý 2.2.5, Z khơng nhóm compact đại số Ta có Z hạng tử trực tiếp nhóm tự Z khơng nhóm compact đại số Từ Mệnh đề 2.2.6, ta suy nhóm tự khơng nhóm compact đại số Bổ đề 2.2.8 Nếu A = B ⊕ C G nhóm hồn tồn bất biến A G = (G ∩ B) ⊕ (G ∩ C) Chứng minh Cho A = B ⊕ C G nhóm hồn tồn bất biến A Khi tồn phép chiếu π : A → B θ : A → C, ta xem phép chiếu tự đồng cấu A Vì G nhóm hồn tồn bất biến A nên π(G) θ(G) nhóm G, suy π(G) + θ(G) ≤ G Với g ∈ G, π : A → B θ : A → C phép chiếu nên g = π(g) + θ(g), suy G = π(G) + θ(G) Mặt khác, π(G) ≤ B, θ(G) ≤ C B ∩ C = (do A = B ⊕ C) nên π(G) ∩ θ(G) = Từ ta suy G = π(G) ⊕ θ(G) (1) Ngoài ra, π(G) ≤ G π(G) ≤ B nên π(G) ≤ G ∩ B Lấy g ∈ G ∩ B, ta có g ∈ G g ∈ B Do g ∈ G = π(G) ⊕ θ(G) nên g = b + c (với b ∈ π(G) c ∈ θ(G)), hay g − b = c Lại có g ∈ B nên g − b ∈ B ∩ C = 0, dẫn đến g = b ∈ π(G) Do đó, 26 π(G) = G ∩ B Lập luận tương tự, ta suy θ(G) = G ∩ C Kết hợp với (1), ta G = (G ∩ B) ⊕ (G ∩ C) Bổ đề 2.2.9 Cho A nhóm chia G Khi đó, A chia tối đại G/A nhóm rút gọn Chứng minh Cho G nhóm A nhóm chia tối đại G Xét toàn cấu tự nhiên f : G → G/A Do A nhóm chia nên f (A) nhóm chia Ta chứng minh f (A) nhóm chia tối đại G/A Giả sử H/A nhóm chia G/A H/A chứa f (A) Ta chứng minh H nhóm chia G Với số nguyên n 6= 0, lấy x ∈ H, H/A nhóm chia nên tồn yn ∈ H cho x + A = n(yn + A) = nyn + A, suy x − nyn ∈ A Lại có A nhóm chia nên tồn zn ∈ A ≤ H cho x − nyn = nzn , hay x = n(yn + zn ) ∈ nH Từ suy H nhóm chia G H chứa A Mà A tối đại nên A = H, suy H/A = = f (A) Do đó, nhóm chia tối đại G/A, nên G/A nhóm rút gọn Ngược lại, cho G/A nhóm rút gọn Giả sử có B ≥ A B chia Khi đó, G/A chứa nhóm B/A chia Mà G/A nhóm rút gọn nên B/A = 0, hay B ≤ A, suy A = B Vậy A nhóm chia tối đại G Hệ 2.2.10 Nhóm compact đại số rút gọn hạng tử trực tiếp tích trực tiếp p-nhóm cyclic, với p số nguyên tố Chứng minh Cho G nhóm compact đại số rút gọn Theo Định lý 2.2.5, G hạng tử trực tiếp tích trực tiếp nhóm đối cyclic đó, nghĩa tồn nhóm H cho C = G ⊕ H = C1 ⊕ C2 (1) với C1 tích trực tiếp p-nhóm cyclic hữu hạn C2 tích trực tiếp nhóm tựa cyclic Ta chứng minh C2 nhóm chia tối đại C Theo Ví dụ 1.1.18, nhóm tựa cyclic nhóm chia nên C2 nhóm chia C (do Mệnh đề 27 1.1.20) Hơn nữa, từ (1) ta có C/C2 ∼ = C1 nhóm rút gọn (theo Ví dụ 1.1.18) Do đó, từ Bổ đề 2.2.9, ta suy C2 nhóm chia tối đại C Ta chứng minh C2 nhóm hồn tồn bất biến C Với tự đồng cấu f G, C2 nhóm chia nên f (C2 ) nhóm chia G Mà C2 tối đại nên f (C2 ) ≤ C2 Do đó, C2 nhóm hồn tồn bất biến C Theo Bổ đề 2.2.8, ta có C2 = (G ∩ C2 ) ⊕ (H ∩ C2 ), từ suy G ∩ C2 nhóm chia (Mệnh đề 1.1.20) Mà G ∩ C2 chứa nhóm rút gọn G, nên G ∩ C2 = 0, dẫn đến C2 = H ∩ C2 nên C2 ≤ H Từ ta có G ⊕ (H/C2 ) ∼ = (G ⊕ H)/C2 thông qua đẳng cấu ϕ : (G ⊕ H)/C2 −→ G ⊕ (H/C2 ) (a + b) + C2 7−→ a + (b + C2 ) Mà từ (1) ta có (G ⊕ H)/C2 ∼ = C1 nên G hạng tử trực tiếp tích trực tiếp p-nhóm cyclic Hệ 2.2.11 Tích trực tiếp nhóm nhóm compact đại số nhóm nhóm compact đại số Chứng minh Cho {Gi }i∈I họ nhóm Giả sử G = Q Gi nhóm compact đại số i∈I Theo Định lý 2.2.5, G hạng tử trực tiếp tích trực tiếp nhóm đối cyclic Q đó, nghĩa G hạng tử trực tiếp Hi (Hi nhóm đối cyclic với i ∈ I) i∈I Từ đó, với i ∈ I, ta suy Gi hạng tử trực tiếp Hi Theo Hệ 2.2.3, Hi nhóm compact đại số Do đó, theo Mệnh đề 2.2.6, Gi nhóm compact đại số với i ∈ I Ngược lại, cho Gi nhóm compact đại số với i ∈ I Theo Định lý 2.2.5, Gi hạng tử trực tiếp nhóm Ki mà trang bị topo compact Q Q τi Khi đó, G = Gi hạng tử trực tiếp K = Ki , với topo τ K i∈I i∈I topo tích topo τi Do topo τi compact nên theo Định lý 1.3.9, topo τ compact Do đó, theo Định lý 2.2.5, G nhóm compact đại số 28 Hệ 2.2.12 Mọi nhóm nhúng vào nhóm compact đại số nhóm túy Chứng minh Cho G nhóm Theo Mệnh đề 1.2.11, tồn nhóm nội xạ túy H chứa G cho G túy H Từ Định lý 2.2.5, ta có H nhóm compact đại số Vậy G nhúng vào nhóm compact đại số nhóm túy Mệnh đề 2.2.13 ([6]) Mọi nhóm G nhúng vào nhóm compact đại số H cho G túy H H/G nhóm chia Chứng minh Cho G nhóm Theo Hệ 2.2.12, tồn nhóm compact đại số K chứa G cho G túy K Giả sử K/G có nhóm chia tối đại H/G Do G túy K nên theo Mệnh đề 1.2.4, G túy H Ta chứng minh H nhóm compact đại số Do H/G nhóm chia K/G nên theo Định lý 1.1.21, H/G hạng tử trực tiếp K/G, hay tồn nhóm D/G K/G cho K/G = H/G ⊕ D/G Lấy x + G ∈ H/G ∩ n(K/G), ta có x + G ∈ H/G x + G ∈ n(K/G), nên tồn y ∈ K cho x + G = n(y + G) Mà K/G = H/G ⊕ D/G nên y + G = (y1 + G) + (y2 + G) với y1 + G ∈ H/G y2 + G ∈ D/G Khi đó, x + G = n(y + G) = n[(y1 + G) + (y2 + G)] = (ny1 + G) + (ny2 + G), hay (x − ny1 ) + G = ny2 + G ∈ (H/G) ∩ (D/G) = 0, nên x + G = n(y1 + G) ∈ n(H/G) Do đó, H/G ∩ n(K/G) ≤ n(H/G), mà hiển nhiên n(H/G) ≤ H/G ∩ n(K/G) nên n(H/G) = H/G ∩ n(K/G), suy H/G túy K/G Lại có G túy K nên theo ý 4) Mệnh đề 1.2.4, H túy K Theo Mệnh đề 1.2.7, tồn nhóm C chứa K cho C/H nhóm chia H túy C Do K nhóm compact đại số nên theo Định lý 2.2.5, K nhóm nội xạ túy Vì vậy, xét biểu đồ sau với dòng khớp túy i : H → C, j : H → K phép 29 nhúng >H i >C > C/H >0 j ∨ K Do K nội xạ túy nên tồn đồng cấu f : C → K cho j = f i Mặt khác, H/G nhóm chia tối đại K/G K/H ∼ = (K/G)/(H/G) nên theo Bổ đề 2.2.9, K/H nhóm rút gọn Ta chứng minh f (C)/H nhóm chia Với số nguyên n 6= 0, lấy y ∈ f (C), tồn x ∈ C cho y = f (x), hay y + H = f (x) + H Do C/H nhóm chia nên tồn x0 ∈ C cho x + H = nx0 + H, hay x − nx0 ∈ H Khi đó, f (x − nx0 ) = f i(x − nx0 ) = j(x − nx0 ) = x − nx0 ∈ H,
suy f (x) − nf (x0 ) ∈ H, hay y + H = f (x) + H = nf (x0 ) + H ∈ n f (C)/H Do đó, f (C)/H nhóm chia Mà f (C) ≤ K K/H nhóm rút gọn nên f (C)/H = 0, hay f (C) ≤ H Với x ∈ H, ta có f i(x) = j(x) = x = 1H (x), suy f i = 1H , nên theo Mệnh đề 1.2.2, H hạng tử trực tiếp C, dẫn đến H hạng tử trực tiếp K Mà K nhóm compact đại số nên theo Mệnh đề 2.2.6, H nhóm compact đại số Mệnh đề 2.2.14 Nếu G nhóm compact đại số A nhóm G cho G/A nhóm rút gọn A nhóm compact đại số Chứng minh Cho G nhóm compact đại số A nhóm G cho G/A nhóm rút gọn Ta chứng minh A nhóm compact đại số Theo Mệnh đề 2.2.13, tồn nhóm compact đại số H chứa A cho A túy H H/A nhóm chia Xét biểu đồ sau với dòng khớp túy >A j ∨ G i >H > H/A >0