Hầm tử ext và nhóm abel đối xoắn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHỊNG SAU ĐẠI HỌC KHOA TỐN - TIN HỌC ƯNG TÂN TRẠNG HÀM TỬ EXT VÀ NHÓM ABEL ĐỐI XOẮN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số TP Hồ Chí Minh - 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHỊNG SAU ĐẠI HỌC KHOA TỐN - TIN HỌC ƯNG TÂN TRẠNG HÀM TỬ EXT VÀ NHÓM ABEL ĐỐI XOẮN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS PHẠM THỊ THU THỦY TP Hồ Chí Minh - 2021 Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng trực tiếp 1.2 Đồng cấu dãy khớp 1.3 Nhóm chia 10 1.4 Nhóm tự 11 1.5 Nhóm đồng cấu nhóm tự đồng cấu 12 Hàm tử Ext nhóm đối xoắn 13 2.1 Nhóm mở rộng 13 2.2 Tính chất hàm tử Ext 26 2.3 Nhóm đối xoắn 32 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Lời cảm ơn Tôi xin cảm ơn cô hướng dẫn TS PHẠM THỊ THU THỦY cho đề tài hấp dẫn nhiệt tình giải đáp thắc mắc tơi q trình đọc tài liệu Tơi cám ơn phòng sau đại học tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, viết không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa từ bạn đọc Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất Học viên, Ưng Tân Trạng Danh mục ký hiệu R Tập số thực Q Tập số hữu tỉ Z Tập số nguyên N Tập số tự nhiên A∼ =B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B B≤A Nhóm B nhóm nhóm A A/ B Tập thương nhóm A nhóm B n|a a chia cho số nguyên n o(a) Cấp phần tử a A⊕C Tổng trực tiếp nhóm A nhóm C P i∈I Q i∈I Ai , ⊕i∈I Ai Tổng tổng trực tiếp nhóm Ai , i ∈ I Ai Tích trực tiếp nhóm Ai , i ∈ I Im f Ảnh đồng cấu f Ker f Hạt nhân đồng cấu f Hom(A, C) Nhóm đồng cấu từ nhóm A tới nhóm C End A Nhóm tự đồng cấu nhóm A Ext(C, A) Nhóm mở rộng nhóm A nhóm C Tor(A, B) Tích xoắn nhóm A,B G [m] Tập hợp phần tử g ∈ G cho mg = 1A Tự đồng cấu đồng nhóm A MỞ ĐẦU Bài tốn mở rộng nhóm Abel tốn quan trọng lý thuyết nhóm Abel, cần xây dựng nhóm Abel từ nhóm nhóm thương tương ứng Nhóm B gọi mở rộng nhóm A nhóm C B chứa nhóm A0 đẳng cấu với A B/A0 đẳng cấu với C, nói cách khác, ta có α β dãy khớp −→ A −→ B −→ C −→ Khái niệm nhóm mở rộng Ext(C, A) đưa Baer trở thành công cụ quan trọng không việc nghiên cứu tốn mở rộng nhóm Abel mà nhiều hướng nghiên cứu khác, đặc biệt đại số giao hốn Nội dung luận văn nghiên cứu trình bày có hệ thống kết quan trọng nhóm mở rộng Ext(C, A) Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm Abel đối xoắn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này, nhóm hiểu nhóm Abel phép tốn sử dụng phép tốn cộng Tất nhóm xét nhóm Abel, để đơn giản thay ghi "nhóm Abel" ta ghi "nhóm" Một tập hợp A khác rỗng phép tốn cộng gọi nhóm nếu: a + (b + c) = (a + b) + c với a, b, c ∈ A a + b = b + a với a, b ∈ A Tồn phần tử ∈ A cho a + = a với a ∈ A Với phần tử a ∈ A tồn phần tử −a ∈ A thỏa mãn a + (−a) = Khi −a gọi phần tử đối a Cho A nhóm B tập khác rỗng A Khi đó, a − b ∈ B, với a, b ∈ B B gọi nhóm A ta viết B ≤ A Cho A nhóm B nhóm A Với a ∈ A, ta gọi tập hợp a + B = {a + b|b ∈ B} gọi lớp ghép trái theo nhóm B Tập hợp A | B tất lớp ghép trái theo nhóm B với phép toán 0 (a + B) + (a + B) = (a + a ) + B tạo thành nhóm gọi nhóm thương nhóm A theo nhóm B Nhóm A gọi nhóm xoắn phần tử A có cấp hữu hạn Nhóm A gọi nhóm không xoắn phần tử khác A có 1.1 Tổng trực tiếp cấp vơ hạn Nếu phần tử A lũy thừa số nguyên tố p cho trước ta gọi A p−nhóm 1.1 Tổng trực tiếp Cho B C nhóm nhóm A, i) A = B + C = {b + c | b ∈ B, c ∈ C} ii) B ∩ C = A gọi tổng trực tiếp nhóm B C, kí hiệu A = B ⊕C Khi ta nói B C hạng tử trực tiếp A Cho {Ai }i∈I họ nhóm nhóm A Nếu ( 1) A = P i∈I P với i∈I Ai = ) P i∈I | ∈ Ai , i ∈ I tổng phần tử , hầu hết, trừ số lượng hữu hạn 2) Với i ∈ I, A ∩ X Aj = i6=j A gọi tổng trực tiếp họ nhóm Ai , kí hiệu A = ⊕ Ai i∈I Mệnh đề 1.1.1 Cho Ai (i ∈ I) họ nhóm nhóm A A = X Ai i∈I Khi hai khẳng định sau tương đương 1) A = P i∈I 2) Nếu X Ai = = với i ∈ I i∈I Mệnh đề 1.1.2 Cho A nhóm, B nhóm A A/B = ⊕ (Ai /B) i∈I Bi hạng tử trực tiếp Ai , cụ thể Ai = B ⊕ Ci Khi B hạng i∈I tử trực tiếp A, cụ thể A = B ⊕ ( ⊕ Ci ) i∈I 1.2 Đồng cấu dãy khớp 1.2 Đồng cấu dãy khớp Cho A, B nhóm f : A −→ B ánh xạ từ A vào B Nếu với a1 , a2 ∈ A thỏa f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) f gọi đồng cấu Hơn nữa, đồng cấu f song ánh (tương ứng: đơn ánh, toàn ánh) f gọi đẳng cấu (tương ứng: đơn cấu, toàn cấu) Ảnh f Im f = {f (a) | a ∈ A} hạt nhân f Ker f = {a ∈ A | f (a) = 0} Mệnh đề 1.2.1 Cho đồng cấu f : A −→ B Khi đó: Im f ∼ = B /Ker f Dãy đồng cấu f g · · · −→ A −→ B −→ C −→ · · · gọi dãy khớp nhóm B Im f = Ker g Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng β α −→ A −→ B −→ C −→ Ta có ví dụ điển hình dãy khớp ngắn sau: Cho nhóm A G nhóm nhóm A Khi dãy gồm đơn cấu nhúng i : G −→ A với i(g) = g toàn cấu tắc p : A −→ A /G với p(a) = a + G tạo thành dãy khớp ngắn p i −→ G −→ A −→ A /G −→ Dãy khớp ngắn α β −→ A −→ B −→ C −→ gọi chẻ nhóm B, Im f hạng tử trực tiếp B, tức tồn nhóm B1 cho B = Im f ⊕ B1 Các dãy khớp ngắn sau đây, sinh tổng trực tiếp A ⊕ B xem ví dụ điển hình dãy khớp chẻ: j p j p −→ A −→ A ⊕ B −→ B −→ −→ B −→ A ⊕ B −→ A −→ Mệnh đề 1.2.2 Đối với dãy khớp ngắn 1.2 Đồng cấu dãy khớp β α −→ A −→ B −→ C −→ ba phát biểu sau tương đương: Dãy chẻ Đồng cấu α có nghịch đảo trái, nghĩa tồn đồng cấu ϕ : B −→ A cho ϕα = 1A Đồng cấu β có nghịch đảo phải, nghĩa tồn đồng cấu ψ thỏa βψ = 1C Ta có số kết sau liên quan đến dãy khớp Mệnh đề 1.2.3 Một biểu đồ G ϕ A η α β B C với dịng khớp nâng thành biểu đồ với tam giác giao hoán (nghĩa tồn đồng cấu ϕ : G −→ A cho η = αϕ) βη = Hơn nữa, ϕ : G −→ A Một biểu đồ A β α B η C φ G với dịng khớp nâng lên thành biểu đồ có tam giác giao hốn ηα = Mệnh đề 1.2.4 Giả sử sơ đồ sau giao hoán với tất cột khớp 2.1 Nhóm mở rộng 22 γ∗ : Ext(C, A) −→ Ext(C, G) 7−→ e eγ 2) Các đồng cấu nối sinh từ e ∈ Ext(C, A) e∗ : Hom(A, G) −→ Ext(C, G) 7−→ α αe e∗ : Hom(G, C) −→ Ext(G, A) 7−→ γ eγ Hơn nữa, đồng cấu tự nhiên, nghĩa ta có sơ đồ giao hốn e∗ Hom(A, G) Ext(C, G) Hom(G, C) ϕ∗ ϕ0 e∗ Hom(A, H) e∗ ψ0 Ext(C, G) Ext(G, A) ψ∗ Hom(H, C) e∗ Ext(H, A) với ϕ0 : α 7→ ϕα ψ0 : γ 7→ γψ0 Định lý 2.1.8 Nếu e: −→ A −→ B −→ C −→ mở rộng A C với α ∈ End A, γ ∈ End C ánh xạ α∗ : e −→ αe γ ∗ : e −→ γe đồng cấu Ext(C, A) Ta gọi α∗ γ ∗ đồng cấu cảm sinh α γ Ext(C, A) 0 Chứng minh Cho e e thuộc Ext(C, A), f f hệ nhân tử e 0 e Khi e + e có hệ nhân tử f + f 0 0 Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f (γ(c1 ), γ(c2 )) f (γ(c1 ), γ(c2 )) hệ nhân tử 0 0 0 eγ e γ Do (f + f )(γ(c1 ), γ(c2 )) hệ nhân tử eγ + e γ (e + e )γ Do 0 eγ + e γ ≡ (e + e )γ 0 Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có α(f +f ) hệ nhân tử α(e+e ), α(f )+αf ) 0 hệ nhân tử αe + αe Mà α đồng cấu nên α(f + f ) = αf + αf nên α(e + e ) ≡ αe + αe 2.1 Nhóm mở rộng 23 β α Định lý 2.1.9 Cho e : −→ A −→ B −→ C −→ mở rộng A C Khi dãy sau dãy khớp với nhóm G µ0 ν0 e∗ ν∗ 1) −→ Hom(C, G) −→ Hom(B, G) −→ Hom(A, G) −→ Ext(C, G) −→ µ∗ Ext(B, G) −→ Ext(A, G) −→ µ ν e µ ∗ ∗ Ext(G, A) −→ Hom(G, C) −→ 2) −→ Hom(G, A) −→ Hom(G, B) −→ ν ∗ Ext(G, B) −→ Ext(G, C) −→ Chứng minh 1) Ta chứng minh dãy (1) khớp i) Để chứng minh dãy (1) khớp Hom(C, G) ta cần chứng minh ν đơn cấu Thật vậy, với γ ∈ Ker ν ν (γ) = γβ = Suy γ = 0( β toàn cấu) Vậy Ker ν = hay ν đơn cấu ii) Tiếp theo, với đồng cấu β ∈ Hom(B, G), áp dụng Mệnh đề 1.2.3 ta có βµ = tồn χ ∈ Hom(C, G) cho β = χν Do Ker µ0 ≤ Im ν hay dãy (1) khớp Hom(B, G) iii) Ta chứng minh dãy (1) khớp Hom(A, G) Lấy α ∈ Hom(A, G), Theo bổ đề 2.1.5 αe mở rộng chẻ tồn ánh xạ ξ : B −→ G để sơ đồ giao hốn µ e:0 A ξ α µ αe : G ν B C C β B ν nghĩa α = ξµ Điều tương đương với việc Im µ∗ = Ker e∗ hay dãy (1) khớp Hom(A, G) 4i) Ta chứng minh dãy (1) khớp Ext(C, G) Cho e3 = αe ∈ Im e∗ với α ∈ Hom(A, G), ta có dãy khớp 2.1 Nhóm mở rộng 24 µ e:0 A ν B α C β ϕ e3 = αe : C G ψ H Từ ta có dãy khớp B β ϕ e:0 G ν ψ H C Theo Bổ đề 2.1.6 e3 ν chẻ Do Im e∗ ⊆ Ker ν ∗ Ngược lại lấy e3 ∈ Ext(C, G) cho e3 ν chẻ Theo Bổ đề 2.1.6 tồn đồng cấu ξ cho sơ đồ sau giao hoán B β ϕ e:0 G ν ψ H C Từ ta có sơ đồ sau giao hốn µ e:0 A ν B C C β ϕ e3 : G ψ H Ta có ψ(ξµ) = (ψξ)µ = νµ = nên theo Bổ đề 2.1.5 tồn đồng cấu α : A −→ G cho sơ đồ sau giao hốn µ e:0 A α e3 : ν B C C β ϕ G ψ H 2.1 Nhóm mở rộng 25 Khi e3 = αe ∈ Im e∗ hay Ker ν ∗ ⊆ Im e∗ Vậy (1) khớp Ext(C, G) 5i) Ta chứng minh dãy khớp Ext(B, G), với e3 ∈ Ext(C, G), ta có µ∗ ν ∗ e3 = µ∗ (e3 ν) = e3 νµ = (do νµ = 0) Suy Im ν ∗ ⊂ Ker µ∗ Ngược lại, lấy ϕ ψ e2 : −→ G −→ H −→ B −→ e2 ∈ Ker µ∗ e2 µ chẻ Theo Bổ đề 2.1.5 tồn ξ : A −→ H thỏa ψξ = µ A β ϕ e2 : ν ψ G H B Vì ψ tồn cấu µ đơn cấu nên ξ đơn cấu Do ta có sơ đồ sau giao hốn với dịng khớp ξ ρ A H | ξA H γ ψ µ A ν B 0 C Khi ta có sơ đồ giao hốn 0 0 A A µ ξ ϕ e2 : ψ G H 0 B ρ ρϕ G H/ξA 0 ν γ C 0 với ba cột hai dòng đầu khớp Theo Mệnh đề 1.2.4 dòng cuối khớp Do e2 = e3 ν ∈ Im ν ∗ hay Ker µ∗ ⊆ Im ν ∗ Vậy Ker µ∗ = Im ν ∗ hay dãy (1) khớp Ext(B, G) 6i) Cuối ta chứng minh dãy (1) khớp Ext(A, G) hay µ∗ tồn cấu Cho e1 ∈ Ext(A, G) ta có ϕ ψ e1 : −→ G −→ H −→ A −→ 2.2 Tính chất hàm tử Ext 26 2) Chứng minh tương tự, ta có dãy (2) khớp 2.2 Tính chất hàm tử Ext Từ Định lí 2.1.8 ta suy hai Mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.1 Cho α∗ γ∗ đồng cấu Ext(C, A) cảm sinh α ∈ End A, γ ∈ End C Khi ta có α∗ γ ∗ = γ ∗ α∗ Mệnh đề 2.2.2 1) Cho α1 , α2 , , αn ∈ End A Khi (α1 + α2 + + αn )∗ = (α1 )∗ + (α2 )∗ + + (αn )∗ 2) Cho γ1 , γ2 , , γn ∈ End C Khi (γ1 + γ2 + + γn )∗ = γ1∗ + γ2∗ + + γn∗ Hệ 2.2.3 Phép nhân số nguyên n vào nhóm A nhóm C cảm sinh phép nhân n vào nhóm Ext(C, A) Chứng minh Nếu α1 , α2 , , αn tự đồng cấu A từ Mệnh đề 2.2.2 ta có (α1 + α2 + + αn )∗ = (α1 )∗ + (α2 )∗ + + (αn )∗ Chọn α1 = α2 = = αn = 1A Vì 1A cảm sinh 1Ext(C,A) nên ta có điều phải chứng minh Chứng minh tương tự nhóm C Mệnh đề 2.2.4 Một nhóm C thỏa Ext(C, A) = với nhóm A C nhóm tự Chứng minh Giả sử C nhóm tự do, B ∈ Ext(C, A) ta chứng minh dãy khớp µ ν −→ A −→ B −→ C −→ (12) dãy khớp chẻ Vì C nhóm tự nên theo Mệnh đề 1.4.2 C nhóm xạ ảnh Xét đồng cấu đồng 1C : C −→ C Khi tồn đồng cấu ϕ : C −→ B cho νϕ = 1C , tức tam giác sau giao hoán C ϕ B ~ / 1C C / 2.2 Tính chất hàm tử Ext 27 Khi đó, ta có νϕ = 1C tức tồn cấu ν có nghịch đảo phải Do đó, theo Định lý 1.2.2 dãy khớp (12) dãy khớp chẻ Vậy C nhóm tự mở rộng A theo C mở rộng chẻ Do Ext(C, A) = Ngược lại, giả sử với e ∈ Ext(C, A) µ ν e : −→ A −→ B −→ C −→ (13) với µ đơn cấu nhúng, ν toàn cấu dãy khớp dãy khớp chẻ, ta chứng minh C nhóm xạ ảnh Vì dãy khớp (13) dãy khớp chẻ nên B = Im µ ⊕ B1 = A ⊕ B1 với B1 nhóm nhóm B Khi đó, ν tồn cấu nên với c ∈ C tồn a + b1 ∈ B = A ⊕ B1 cho µ(a + b1 ) = c Ta xét đồng cấu ϕ : C −→ B = A ⊕ B1 , ϕ(c) = a + b1 Ta có sơ đồ sau C ϕ 1C y / B = A ⊕ B1 C / Khi đó, ta có νϕ = 1C tức tồn cấu ν có nghịch đảo phải Do đó, theo Định lý 1.2.2 dãy khớp dãy khớp chẻ Vậy C nhóm tự mở rộng A theo C mở rộng chẻ Do Ext(C, A) = Mệnh đề 2.2.5 Một nhóm A thỏa Ext(C, A) = với nhóm C A chia Chứng minh Giả sử A nhóm chia được,với B ∈ Ext(C, A) ta chứng minh dãy khớp µ ν −→ A −→ B −→ C −→ với µ đơn cấu nhúng, ν toàn cấu tự nhiên, dãy khớp chẻ Vì A nhóm chia nên A nhóm nội xạ, với đơn cấu nhúng µ : A −→ B đồng cấu đồng 1A : A −→ A, tồn đồng cấu ϕ : B −→ A cho ϕµ = 1A , tức tam giác sau giao hốn A µ B  ϕ / 1A A 2.2 Tính chất hàm tử Ext 28 Khi đó, ta có ϕµ = 1A tức đồng cấu µ có nghịch đảo trái, tức dãy dãy khớp chẻ Vậy A nhóm chia mở rộng A theo C mở rộng chẻ với nhóm C Ngược lại, với B ∈ Ext(C, A) ta có dãy khớp µ ν −→ A −→ B −→ C −→ với µ đơn cấu nhúng, ν toàn cấu tự nhiên, dãy khớp chẻ, ta chứng minh A nhóm chia Vì dãy khớp dãy khớp chẻ nên B = Im µ ⊕ B1 = A ⊕ B1 với B1 nhóm nhóm B Khi với a ∈ A ta có µ(a) = a + b1 với b1 ∈ B1 Ta xét đồng cấu chiếu ϕ : B = A ⊕ B1 −→ A, ϕ(a + b1 ) = a Ta có sơ đồ sau A µ y B = A ⊕ B1 / 1A A Khi đó, với a ∈ A ta có ϕ(µ(a)) = ϕ(a + b1 ) = a = 1A (a) Suy ϕ(µ) = 1A (vì ϕµ đơn cấu) Tức A nhóm nội xạ Từ suy A nhóm chia Từ Mệnh đề 2.2.2 ta suy tính chất sau: Mệnh đề 2.2.6 Nếu tồn m ∈ N mà mA = mC = m Ext(C, A) = Trong khẳng định đây, đồng cấu nhân số nguyên m vào nhóm m G kí hiệu G −→ G Hạt nhân đồng cấu G [m] = {g ∈ G | mg = o} Ảnh đồng cấu mG = {mg | g ∈ G} Mệnh đề 2.2.7 Nếu mA = A (m ∈ Z) m Ext(C, A) = Ext(C, A) 2.2 Tính chất hàm tử Ext 29 Chứng minh Với mA = A nên ta có dãy khớp m −→ A −→ A −→ Do theo Định lí 2.1.9 ta có dãy khớp sau m Ext(C, A) −→ Ext(C, A) −→ Suy ánh xạ nhân m vào Ext(C, A) toàn cấu hay m Ext(C, A) = Ext(C, A) Mệnh đề 2.2.8 Nếu C [ m ] = 0, m ∈ Z m Ext(C, A) = Ext(C, A) Chứng minh Vì C [ m ] ánh xạ nhân m vào C đơn cấu Do ta có dãy khớp sau m −→ C −→ C Theo định lí 2.1.9 dãy sau khớp m Ext(C, A) −→ Ext(C, A) −→ Do ánh xạ nhân m vào Ext(C, A) toàn cấu hay m Ext(C, A) = Ext(C, A) Mệnh đề 2.2.9 Với nhóm A số nguyên dương m ta có Ext(Z(m), A) ∼ = A/mA Chứng minh Xét dãy khớp m −→ Z −→ Z −→ Z /mZ = Z(m) −→ Do Z nhóm tự nên theo Mệnh đề 2.2.4 ta có Ext(Z, A) = Khi áp dụng Định lí 2.1.9 ta có dãy sau khớp m Hom(Z, A) −→ Hom(Z, A) −→ Ext(Z(m), A) −→ (14) Theo Mệnh đề 1.5.3 Hom(Z, A) ∼ = A Ta chứng minh sơ đồ sau giao hoán Hom (Z, A) m α A Hom (Z, A) α m A 2.2 Tính chất hàm tử Ext 30 với α : Hom(Z, A) −→ A, f 7→ f (1) Thật vậy, với f ∈ Hom(Z, A) ta có (αm)(f ) = α(mf ) = mα(f ) = (mα)(f ) Vậy sơ đồ giao hoán Từ (14) suy Ext(Z(m), A) ∼ = Hom(Z,A) /m Hom(Z,A) ∼ = A /mA Mệnh đề 2.2.10 Với nhóm C số nguyên m ta có Ext(C, Z(m)) ∼ = Ext(C [ m ] , Z(m)) m Chứng minh Xét dãy khớp −→ C [ m ] −→ C −→ mC −→ Theo Định lí 2.1.9 dãy sau khớp m Ext(mC, Z(m)) −→ Ext(C, Z(m)) −→ Ext(C [ m ] , Z(m)) −→ (15) Theo Hệ 2.2.3 Mệnh đề 2.2.6 mZ(m) = nên ảnh Ext(mC, Z(m)) dãy khớp (15) Vậy Ext(C, Z(m)) ∼ = Ext(C [ m ] , Z(m)) Mệnh đề 2.2.11 Nếu A p-nhóm chia C p-nhóm Ext(C, A) = Chứng minh Gọi D bao chia A Khi đó, dãy sau khớp −→ A −→ D −→ D /A −→ Theo Định lí 2.1.9 dãy sau khớp: Hom(C, D /A ) −→ Ext(C, A) −→ Ext(C, D) Vì C p-nhóm D/ A có p-thành phần (khơng có phần tử khác có bậc lũy thừa p) nên Hom(C, D /A ) = Thật vậy, xét f : C −→ D /A c ∈ C p-nhóm Suy o(c) = pn hay pn c = Và pn f (c) = f (pn c) = f (0) = Suy o(f (c)) lũy thừa p Suy f (c) = Vì D bao chia A nên theo Mệnh đề 2.2.5 ta có Ext(C, D) = Từ ta có Ext(C, A) = Mệnh đề 2.2.12 Mỗi tự đẳng cấu α ∈ Aut A γ ∈ Aut C cảm sinh tự đẳng cấu Ext(C, A) Chứng minh Do α ∈ Aut A nên tồn α−1 ∈ Aut A Phép nhân α vào mở rộng e A C biểu diễn theo sơ đồ sau 2.2 Tính chất hàm tử Ext 31 µ e:0 A α αe : ν B C C β A µ 0 B ν 0 Xét ánh xạ α∗ : e −→ αe (α−1 )∗ : e −→ α−1 e Theo Mệnh đề 2.2.2 ta có α∗ (α−1 )∗ = (αα−1 ) = (1A )∗ đẳng cấu đồng Ext(C, A) Suy α∗ đẳng cấu Do γ ∈ Aut C nên tồn γ −1 ∈ Aut C Phép nhân γ vào mở rộng e A C biểu diễn theo sơ đồ sau eγ : 0 A B A B 0 C C γ e:0 ∗ Xét ánh xạ γ ∗ : e −→ eγ (γ −1 ) : e −→ eγ −1 Theo Mệnh đề 2.2.2 ta có ∗ ∗ γ ∗ (γ −1 ) = (γγ −1 ) = (1C )∗ - đẳng cấu đồng Ext(C, A) Suy γ ∗ đẳng cấu Mệnh đề 2.2.13 Ext(Q, A) nhóm khơng xoắn chia với nhóm A Chứng minh Q nhóm khơng xoắn nên với m ∈ N ta có Q [m] = Từ suy m Ext(Q, A) = Ext(Q, A) (theo Mệnh đề 2.2.7) Vậy Ext(Q, A) nhóm chia m Mặt khác, với số nguyên m Q − → Q đẳng cấu , nên theo Mệnh đề m 2.2.12 ta có Ext(Q, A) − → Ext(Q, A) đẳng cấu Do Ext(Q, A) [ m ] = với m Vậy Ext(Q, A) nhóm khơng xoắn Mệnh đề 2.2.14 Với nhóm A, Ai , C, Ci tồn đẳng cấu: Ext( ⊕ Ci , A) ∼ = Ext(Ci , A) i∈I Q i∈I Q Ext(C, Ai ) ∼ = Ext(C, Ai ) Q i∈I i∈I Chứng minh Với i ∈ I, xét phép giải tự Ci −→ Hi −→ Fi −→ Ci −→ 2.3 Nhóm đối xoắn 32 Theo Định lí 2.1.9 ta có dãy khớp Hom(Fi , A) −→ Hom(Hi , A) −→ Ext(Ci , A) −→ Ext(Fi , A) = Vì Fi nhóm tự nên −→ ⊕ Hi −→ ⊕ Fi −→ ⊕ Ci −→ i∈I i∈I i∈I cảm sinh khớp sơ đồ giao hoán ! Hom ⊕ Fi , A ! Hom ⊕ Hi , A i∈I i∈I Ext ⊕ Ci , A i∈I α Q ! i∈I γ β Hom (Fi , A) Q i∈I Hom (Hi , A) Q i∈I Ext (Ci , A) Với số tùy ý tập I, theo Mệnh đề 1.5.4 có đẳng cấu sau: Hom( ⊕ Fi , A) ∼ = i∈I ! Q i∈i ∼ Q Hom ⊕ Hi , A = i∈I Hom(Fi , A) i∈I Hom (Hi , A) Q Do từ dãy khớp ta có Ext( ⊕ Ci , A) ∼ = Ext(Ci , A) i∈I Q i∈IQ Chứng minh tương tự ta có Ext(C, Ai ) ∼ = Ext(C, Ai ) i∈I 2.3 i∈I Nhóm đối xoắn Định nghĩa 2.3.1 Một nhóm G gọi nhóm đối xoắn Ext(A, G) = với nhóm khơng xoắn A Ví dụ 2.3.2 Q chia nên Ext(A, Q) = với nhóm A theo Mệnh đề 2.2.5 Do Q nhóm đối xoắn Mệnh đề 2.3.3 Nhóm G nhóm đối xoắn Ext(Q, G) = Chứng minh Hiển nhiên G đối xoắn Ext(Q, G) = Q nhóm khơng xoắn Ngược lại, giả sử Ext(Q, G) = A nhóm khơng xoắn Ta chứng minh Ext(A, G) = Do A nhóm khơng xoắn nên theo Mệnh đề 1.3.3 ta có A nhúng vào tổng trực tiếp Q, nghĩa ta có dãy khớp 2.3 Nhóm đối xoắn 33 −→ A −→ ⊕ Q i∈I Theo Định lí 2.1.9 ta có dãy khớp ! Ext ⊕ Q, G −→ Ext(A, G) −→ i∈I ! Mà theo Định lí 2.2.14 ta có Ext ⊕ Q, G ∼ = i∈I Q Ext(Q, G) i∈I Do Ext(A, G) = Vậy G nhóm đối xoắn Mệnh đề 2.3.4 Một tích trực tiếp Q i∈I Gi nhóm đối xoắn Gi nhóm đối xoắn với i ∈ I Chứng minh cho Q i∈I Gi nhóm đối xoắn, ta chứng minh Gi nhóm đối xoắn với i ∈ I Do Gi nhóm đối xoắn nên theo Mệnh đề 2.3.3 ta Q Q Gi ) = Theo Định lí 2.2.14 Ext(Q, Gi ) ∼ = Ext(Q,Gi ) Từ Q i∈I có Ext(Q, Q i∈I i∈I i∈I Ext(Q, Gi ) = Vậy Gi nhóm đối xoắn theo Mệnh đề 2.3.3 Ngược lại, cho Gi nhóm đối xoắn với i ∈ I, ta chứng minh Q i∈I Gi nhóm đối xoắn Với i ∈ I, Gi nhóm đối xoắn nên Ext(Q, Gi ) = Mặt Q Q Q khác, ta lại có Ext(Q, Gi ) ∼ Gi nhóm đối xoắn = Ext(Q,Gi ) Vậy i∈I i∈I i∈I Mệnh đề 2.3.5 Cho G nhóm đối xoắn rút gọn Nhóm H nhóm đối xoắn G/H nhóm rút gọn Chứng minh Do G nhóm rút gọn Q nhóm chia nên theo Mệnh đề 1.5.2 Hom(Q, G) = Mặt khác, G nhóm đối xoắn nên Ext(Q, G) = Do H nhóm G nên dãy khớp −→ H −→ G −→ G/H −→ Theo Định lí 2.1.9 dãy sau khớp: = Hom(Q, G) −→ Hom(Q, G /H ) −→ Ext(Q, H) −→ Ext(Q, G) = Suy Ext(Q, H) = (hay H nhóm đối xoắn) Hom(Q, G /H ) = Điều tương đương với G/H nhóm rút gọn Mệnh đề 2.3.6 Ảnh tồn cấu nhóm đối xoắn nhóm đối xoắn Chứng minh Cho G nhóm đối xoắn cho tồn cấu 2.3 Nhóm đối xoắn 34 f : G −→ H Do f tồn cấu nên ta có dãy khớp f −→ Ker f −→ G −→ H −→ Mặt khác, G nhóm đối xoắn nên Ext(Q, G) = Khi đó, theo Định lí 2.1.9 ta có dãy khớp = Ext(Q, G) −→ Ext(Q, H) −→ Do Ext(Q, H) = Vậy H nhóm đối xoắn Mệnh đề 2.3.7 Cho f tự đồng cấu nhóm đối xoắn rút gọn G Khi Ker f Im f nhóm đối xoắn Chứng minh Xét tự đồng cấu f : G −→ G Theo định lí 1.2.1 Im f ∼ = G / Ker f Theo Mệnh đề 2.3.6 Im f nhóm đối xoắn Mặt khác, G nhóm đối xoắn rút gọn G / Ker f ∼ = Im f nhóm rút gọn nên theo mệnh đề 2.3.5 ta có Ker f nhóm đối xoắn KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày chi tiết có hệ thống 1) Việc xây dựng nhóm mở rộng nhóm Abel thông qua hệ nhân tử dãy khớp ngắn (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.9 ) 2) Các tính chất hàm tử Ext 3) Một số tính chất nhóm Đối xoắn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Laszlo Fuch , Abelian groups, Springer Monographs in Mathematics, 2015 [2] Laszlo Fuch , Infinite Abelian groups, Springer Monographs in Mathematics, 2015