1 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi đến T S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này lòng biết ơn chân[.]
-1- LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình hồn thành luận văn lịng biết ơn chân thành sâu sắc Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tìm tịi tài liệu nghiên cứu Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong bảo chân thành thầy, cô bạn -2- MỤC LỤC Trang MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN §2 KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHƠNG GIAN BANACH 12 §3 PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 16 CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHƠNG GIAN BANACH 24 §1 PHÂN LỚP CÁC DÃY KHỚP NGẮN 24 §2 TÍCH DÃY KHỚP NGẮN VỚI CÁC CẤU XẠ 28 §3 CẤU TRÚC NHĨM ABEL CHO EXT(C,A) 48 §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 -3- MỞ ĐẦU Trong Homology, việc tính tốn cụ thể phần tử, Saunders MacLane xây dựng hàm tử Ext phạm trù môđun Bây ta thay phạm trù môđun phạm trù không gian Banach liệu ta xây dựng hàm tử Ext hay khơng? Với ý tưởng này, chúng tơi cố gắng phân tích, đánh giá đường chứng minh MacLane góc độ phạm trù tìm cách chứng minh kết phạm trù khơng gian Banach mục đích luận văn Bố cục luận văn chia làm ba chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày cách khái quát đường xây dựng hàm tử Ext phạm trù mơđun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Xây dựng phạm trù khơng gian Banach trình bày số kết liên quan tới cấu trúc không gian Banach với ánh xạ tuyến tính ♦ Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Dựa sở phép tính Berơ, vốn trình bày lý thuyết môđun Chúng đưa số kết xem tương tự lý thuyết môđun, vậy, việc chứng minh có phần phức tạp đặc trưng riêng phạm trù xét -4- CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN Giả sử A C môđun trái vành R Ta gọi mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn R-môđun trái R-đồng cấu: = E χ σ → B →C → ( χ ,σ ) : → A Tập hợp mở rộng A nhờ C ta kí hiệu £(C,A) Bây ta xây dựng hàm tử Ext qua ba giai đoạn chính: phân lớp tập £(C,A) thành Ext(C,A) → trang bị cho Ext(C,A) phép toán hai ngơi để Ext(C,A) trở thành nhóm Aben (nhóm giao hốn) → xây dựng hàm tử Ext Đầu tiên ta thực phân lớp tập £(C,A) Định nghĩa 1.1.1 χ σ Trong tập £(C,A) cho hai mở rộng E : → A → B → C → χ' σ' E ' : → A ' → B ' →C ' → Cấu xạ toàn đẳng E E ' (nếu có) ba đồng cấu mơđun = T (1A , β ,1C ) : E → E ' làm cho biểu đồ sau giao hoán: χ σ → B →C → E : → A ↓β ↓ 1A χ' ↓ 1C σ' E ' : → A ' → B ' → C ' → Khi ta nói E tồn đẳng với E ' kí hiệu E ≡ E ' Nhận xét : Nhờ bổ đề ngắn ta dễ dàng kiểm tra quan hệ toàn đẳng £(C,A) quan hệ tương đương Do thực phân lớp tập £(C,A) Ta gọi tập thương £(C,A) theo quan hệ toàn đẳng Ext(C,A) Đó tập lớp toàn đẳng lớp mở rộng A nhờ C Lớp chứa mở rộng E ta kí -5- hiệu E đơn giản E không sợ nhầm lẫn Tiếp theo ta trang bị cho Ext(C,A) phép tốn cộng để trở thành nhóm giao hốn Để làm điều trước tiên ta cần đưa định nghĩa tích bên trái tích bên phải mở rộng với đồng cấu Định nghĩa 1.1.2 χ σ Cho E : → A → B → C → mở rộng A nhờ C đồng cấu χ' σ' γ : C ' → C Mở rộng E ' : → A → B ' → C ' → gọi tích bên phải cấu xạ Tγ mở rộng E đồng cấu γ tồn tại= ta có biểu đồ sau giao hoán : (1A , β , γ ) : E → E ' Tức χ' σ' E ' : → A → B ' →C ' → ↓ 1A ↓β ↓γ χ σ E : → A → B →C → Khi ta kí hiệu E ' = Eγ Mệnh đề 1.1.3 χ σ Cho mở rộng E : → A → B → C → đồng cấu γ : C ' → C Khi ln ln tồn (chính xác tới tồn đẳng) mở rộng χ' σ' → B ' → C ' → thỏa E ' = Eγ E ' : → A ' Chứng minh : Để chứng minh tồn E ' ta cần tìm môđun B ' đồng cấu χ ' : A → B ',σ ' : B ' → C ', β ' : B ' → B cho biểu đồ χ' σ' E ' : → A → B ' →C ' → ↓β ↓γ χ σ E : → A → B →C → (1) giao hoán dòng khớp Ta lấy B ' tập B ⊕ C ' xác định: B ' = ( b, c ' ) σ ( b ) {= γ ( c ')} Ta chọn β , σ ' phép chiếu từ môđun B ' xuống môđun thành phần B β ( b, c ') b= , σ ' ( b, c ' ) c ' C ' tương ứng, tức là:= -6- Đồng cấu χ xác định: χ ' ( a ) = ( χ ( a ) ,0 ) Với cách xây dựng ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (1) giao hốn dịng khớp Hơn nữa, tồn E ' xác tới tồn đẳng, nghĩa tồn E " = Eγ E " ≡ E Nhận xét 2: Với cách xây dựng B ' cấu xạ σ ' : B ' → C ', β : B ' → B σ' B ' →C ' biểu đồ ↓ β (2) ↓ γ níu xét theo cấp độ phạm trù σ B →C Chứng minh: Theo cách xây dựng β , σ ' hiển nhiên biểu đồ (2) giao hoán Giả sử f : X → C ' g : X → B cặp đồng cấu thỏa γ f = σ g Khi ∀x ∈ X ta có γ f ( x ) = σ g ( x ) Suy ( g ( x ) , f ( x ) ) ∈ B ' Do ta xây dựng cấu xạ h : X → B ' sau: x h ( x ) = ( g ( x ) , f ( x ) ) βh g Ta có: β h= ( x) β ( g ( x), f = ( x ) ) g ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= σ ' h= σ 'h f ( x ) σ '( g ( x ) , f = ( x ) ) f ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= β h = g Ta cần chứng minh h đồng cấu thỏa = σ ' h f β h = g Gọi h1 : X → B ' đồng cấu thỏa Ta có σ ' h1 = f β h1 ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ X mà = ' h x f x σ ( ) ( ) ' nên h1 ( x ) β , σ ' hai cấu xạ chiếu từ B ' lên B C = Suy h1 = h ( g ( x ) , f ( x ) ) , ∀x ∈ X σ' B ' →C ' Vậy biểu đồ ↓ β ↓ γ níu σ B →C Tương tự với cách xây dựng mệnh đề 1.1.3, ta có kết sau: -7- Mệnh đề 1.1.4 C' Trong phạm trù môđun biểu đồ ↓ nâng lên thành níu B→C Mệnh đề 1.1.5 (1A , β , γ ) : Eγ → E có tính chất phổ dụng Tức cấu xạ (α , β1 , γ ) : E1 → E với γ = γ phân tích cách qua T = Cấu xạ T = T1 ( ) ( ) → Eγ →E dạng: E1 α , β ',1 T = 1, β ,γ Định nghĩa 1.1.6 χ σ Cho mở rộng E : → A → B → C → đồng cấu α : A → A ' Mở rộng χ' σ' E ' : → A ' → B ' → C → gọi tích bên trái mở rộng E đồng cấu α tồn tại= cấu xạ Tα (α , β ,1C ) : E → E ' Tức ta có biểu đồ sau giao hoán: χ σ E : → A → B →C → ↓α ↓β ↓ 1C χ' σ' E ' : → A → B ' →C → Khi ta kí hiệu E ' = α E Mệnh đề 1.1.7 χ σ Cho mở rộng E : → A → B → C → đồng cấu α : A → A ' Khi ln ln tồn (chính xác tới tồn đẳng) mở rộng χ' σ' E ' : → A ' → B ' → C → thỏa E ' = α E Chứng minh : Để chứng minh tồn mở rộng E ' ta cần tìm mơđun B ' đồng cấu χ ' : A ' → B ', σ ' : B ' → C , β : B → B ' cho biểu đồ χ σ E : → A → B →C → ↓α ↓β χ' σ' E ' : → A ' → B ' →C → (3) giao hốn dịng khớp -8- { } Gọi N = ( −α ( a ) , χ ( a ) ) a ∈ A ⊂ A '⊕ B Lấy B=' A '⊕ B N Ta xây dựng đồng cấu β , χ ', σ ' sau: β (= b) ( 0, b ) + N , ∀b ∈ B χ ' ( a= ') ( a ',0 ) + N , ∀a ' ∈ A ' σ ' ( ( a ', b ) + N = ) σ ( b ) , ∀ ( ( a ', b ) + N ) ∈ B ' Với cách xây dựng trên, ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (2) giao hốn dịng khớp Hơn tồn E ' (chính xác tới tồn đẳng) Nhận xét 3: Với cách xây dựng B ' , cấu xạ β χ ' biểu đồ χ A →B ↓α ↓ β (4) buông xét theo cấp độ phạm trù χ' A ' →B' Chứng minh: Giả sử f : B → D g : A ' → D cặp đồng cấu thỏa f χ = gα +N Lấy ( a '1 , b1 ) = ( a '2 , b2 ) + N ∈ B ' Khi ( a '2 − a '1 , b2 − b1 ) ∈ N , tức tồn phần −α ( a ) a '2 + α ( a ) a '2 − a '1 = a '1 = tử a ∈ A thỏa Khi ta có: ⇔ b2 − b1 = χ ( a ) b1 = b2 + χ ( a ) g ( a '1 ) + f ( b1 ) = g ( a '2 + α ( a ) ) + f ( b2 − χ ( a ) ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) + gα ( a ) − f χ ( a ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) Vì ta xây dựng đồng cấu h : B → D sau: N) ( a ', b ) + N h ( ( a ', b ) + = g ( a ') + f ( b ) , ∀a ' ∈ A ', ∀b ∈ B Khi đó: hχ ' ( a= ') h ( ( a ',0 ) + N = ) g ( a ') , ∀a ' ∈ A hay h= χ' g ) g ( a ') + f (= hβ (= b ) h ( ( 0, b ) + N = b ) f ( b ) , ∀b ∈ B hay h= β f ) g ( ) + f (= -9- β h = f Ta cần chứng minh h đồng cấu thỏa σ ' h = g h β = f Gọi h1 : B ' → D cấu xạ thỏa h1χ ' = g Với phần tử ( a ', b ) + N ∈ B ' , ta có : h1 ( ( a ', b ) + N= ) h1 ( ( 0, b ) + N ) + h1 ( ( a ',0 ) + N=) h1β ( b ) + h1χ ' ( a ) = f ( b ) + g ( a ') =h ( ( a ', b ) + N ) β h = f Điều chứng tỏ h thỏa σ ' h = g χ A →B Vậy biểu đồ ↓ α ↓ β buông χ' A ' →B' Tương tự cách xây dựng mệnh đề 1.1.7 ta có kết sau : Mệnh đề 1.1.8 χ →B A Trong phạm trù môđun biểu đồ ↓ α A' buông nâng lên thành Mệnh đề 1.1.9 (α , β ,1C ) : E → α E có tính chất phổ dụng Tức cấu xạ = T1 (α1 , β1 , γ ) : E → E1 (với α1 = α ) phân tích cách qua (α , β ',1) (1, β ,γ ) T dạng: E E1 (α = α1 ) →α E → Cấu xạ T = 1 Mệnh đề 1.1.10 Với cặp đồng cấu α : A → A ' γ ' : C ' → C mở rộng E thuộc £(C,A) ta ln có (α E ) γ ≡ α ( Eγ ) - 10 - Mệnh đề 1.1.11 Cho E ∈£(C,A) E ' ∈ £ ( C ', A ') Khi mọi= cấu xạ T ta toàn đẳng α E = E ' γ (α , β , γ ) : E → E ' cho Mệnh đề 1.1.12 Nếu E1 ∈£ ( C1 , A1 ) , E2 ∈ £ ( C2 , A2 ) α1 : A1 → A '1 , α : A2 → A '2 thì: (α ⊕ α )( E1 ⊕ E2 ) ≡ α1E1 ⊕ α E2 Mệnh đề 1.1.13 Nếu E1 ∈£ ( C1 , A1 ) , E2 ∈ £ ( C2 , A2 ) γ : C '1 → C1 , γ : C '2 → C2 thì: : ( E1 ⊕ E2 )(γ ⊕ γ ) ≡ E1γ ⊕ E2γ Mệnh đề 1.1.14 Cho E ∈£(C,A) Khi đó: i) ∆ A E ≡ ( E ⊕ E ) ∆ C ii) E∇C ≡ ∇ A ( E ⊕ E ) Định nghĩa 1.1.15 χ σ Ta nói mở rộng → A → B → C → tự phân rã tồn đẳng với i1 p2 mở rộng : → A → A ⊕ C → C → Mệnh đề 1.1.16 Với mở rộng E = ( χ , σ ) , kết hợp χ E Eσ tự phân rã Bây cho E1 , E2 , E1 ', E2 ' mở rộng A nhờ C với E1 ≡ E1 ', E2 ≡ E2 ' Ta dễ dàng kiểm tra E1 ⊕ E2 ≡ E1 '⊕ E2 ' theo kết tích bên trái bên phải mở rộng đồng cấu ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ≡ ∇ A ( E1 '⊕ E2 ') ∆ C Nhờ mà tính hợp lý phép cộng ta đưa bảo đảm : Định nghĩa 1.1.17 (phép cộng Berơ) ... §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN §2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 12 §3 PHẠM TRÙ CÁC KHƠNG GIAN BANACH 16 CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHƠNG GIAN. .. việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù không gian Banach Xây dựng phạm trù không gian Banach trình bày số kết liên quan tới cấu trúc không gian Banach với ánh xạ tuyến tính ♦ Chương 2: Xây dựng hàm tử. .. : Ext ( C , A ) → Ext ( C , A '') Khi hàm tử Ext ( C , − ) hàm tử hiệp biến ♦ Cho A môđun cố định, ta xây dựng hàm tử Ext ( −, A ) từ phạm trù môđun đến phạm trù nhóm giao hốn cách cho tương ứng