Luận văn phương trình au = f trong không gian banach

www VNMATH.com MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU §1 Tốn tử §2 Tính khả vi liên tục Lipschitz §3 Hàm đa điều hịa miền giả lồi §4 Phương trình 12 CHƯƠNG 2: CÁC BỔ ĐỀ PHỤ TRỢ 15 §1 Chuỗi vơ hạn biến 15 §2 Bổ đề chìa khóa 21 §3 Ước lượng nghiệm phương trình CHƯƠNG 3: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH §1 Phương trình hình cầu 31 36 36 §2 Định lý tồn nghiệm 38 §3 Một ví dụ 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 www VNMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Mục đích luận văn nhằm nghiên cứu phương trình không gian Banach Do hạn chế mặt thời gian lực tác giả nên phạm vi đề tài thu hẹp không gian định lý tính giải phương trình phản ví dụ hàm tập mở Trong luận văn có trình bày Đặc biệt có mà phương trình khơng giải Nội dung luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm tốn tử tính chất Các khái niệm hàm không gian Banach Chương 2: Các bổ đề bổ trợ Chương trình bày mệnh đề, khái niệm, bất đẳng thức ước lượng dùng để phục vụ cho chương Chương 3: Các kết Chương chứng minh định lý tồn nghiệm cho phản ví dụ mà phương trình khơng giải khơng gian Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn thầy đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tác giả học tập nghiên cứu Cảm ơn quan chủ quản, gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt luận văn www VNMATH.com CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU §1 Tốn tử Định nghĩa 1.1.1: Cho không gian Banach thực Ta ký hiệu gian tất ánh xạ khơng - tuyến tính Định nghĩa 1.1.2: Cho không gian Banach phức, ký hiệu với Chúng ta không gian tất cho : Định nghĩa 1.1.3: Nếu tập mở ta ký hiệu véc tơ tất ánh xạ : không gian Và ký hiệu gồm tất lớp Định nghĩa 1.1.4: Cho tập mở tất ta ký hiệu cho Tương tự ký hiệu không gian tất cho Mệnh đề 1.1.5: Nếu tập mở khơng gian www VNMATH.com a) b) Chứng minh: Có phép chiếu liên tục : cho Điều sinh phép chiếu : cho Nếu lớp rõ ràng Nếu ta có Ở Do Định nghĩa 1.1.6: Cho tập mở Với : Hay nói cách khác: Mệnh đề 1.1.7: Nếu tập mở : ta định nghĩa www VNMATH.com a) Cả ánh xạ tuyến tính b) c) d) và e) Nếu : Chứng minh: a), b) c) dễ thấy Ta chứng minh d) Ta có Nhưng ta lại có theo c) , , Theo mệnh đề 1.1.5 ta có Chứng minh e): Ta có Ta có Do theo mệnh đề 1.1.5 ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.8: Cho mở, cho không gian Banach phức Cho với tập www VNMATH.com a) b) Chứng minh: a) Nếu Do b) Với - tuyến tính ta có : Mà Theo mệnh đề 1.1.5 ta có : Mệnh đề 1.1.9: Cho tập mở cho Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh : Hiển nhiên : Giả sử , lấy ta có www VNMATH.com (1.1) Chọn số phân biệt khoảng Đặt , , Áp dụng (1.1) với , Ta hệ phương trình với tuyến tính Dễ thấy : số phân biệt nên hệ phương trình có định thức Vandermonde ta có điều phải chứng minh §2 Tính khả vi liên tục Lipschitz Cho không gian Banach phức, tập mở, hàm Định nghĩa 1.2.1: Với tập Khi Nếu ta xét chuẩn sau : đơn giản viết , thay cho nói Định nghĩa 1.2.2: , liên tục Lipschitz www VNMATH.com dạng - vi phân chuẩn , , hình cầu đơn vị V Xét sau: Chúng ta nói liên tục Lipschitz Ta ký hiệu đơn giản Xét ánh xạ lớp , Bằng tính tốn đơn giản ta có: (1.2) Hầu hết tơ pơ sử dụng để nghiên cứu không gian hàm dạng vi phân tô pô compact mở Trong tô pô (tương ứng ) chúng hội tụ tất tập compact ứng ) Vì (tương Tuy nhiên yếu Mệnh đề 1.2.3: Nếu tập compact tập compact liên tục Nếu Chứng minh: Rõ ràng hạn chế Đặt Do liên tục compact www VNMATH.com Định nghĩa 1.2.4: Giả sử Chúng ta nói yếu) khơng gian hữu hạn (theo nghĩa , theo nghĩa phân phối Khi hữu hạn chiều theo nghĩa theo nghĩa phân phối Dưới số kết quen thuộc : Mệnh đề 1.2.5: Nếu , , tập compact (tương ứng ( tương ứng ) ) Mệnh đề 1.2.6: Nếu , , (tương ứng theo nghĩa yếu theo nghĩa ban đầu liên tục Lipschitz) (tương ứng ) Mệnh đề 1.2.7: Nếu (tương ứng compact (tương ứng ) bị chặn tập ) đồng liên tục phủ tập mở mà đồng liên tục) §3 Hàm đa điều hòa miền giả lồi Ta ký hiệu hình cầu tâm bán kính Định nghĩa 1.3.1: (suy www VNMATH.com Cho tập mở hàm (tương ứng gọi nửa liên tục gọi nửa liên tục dưới) thỏa mãn ta có tập (tương ứng ) tập mở Định nghĩa 1.3.2: Cho tập mở hàm gọi đa điều hịa thỏa mãn điều kiện đây: i) nửa liên tục ii) cho Ví dụ: Xét hàm Khi rõ ràng thỏa mãn điều kiện i) Ta chứng minh chúng đa điều hòa cách chứng minh chúng thỏa mãn điều kiện ii) Thật vậy: Lấy +) Do ii) nên theo cơng thức tích phân Cauchy với hàm chỉnh hình ta có : Bằng ước lượng tính tốn đơn giản ta có thỏa mãn điều kiện ii) +) Lấy đa thức cho với Do Từ suy rằng: 10 www VNMATH.com Với ta định nghĩa ánh xạ chỉnh hình bới cơng thức: với Nếu phép nhúng với phép chiếu xuyên tâm với tâm Ta có Cũng ta có với Thật vậy, Mặt khác Do Đặc biệt ta có Áp dụng giả thiết quy nap với dạng vi phân tồn thỏa mãn bất đẳng thức: với Định nghĩa dạng Thì (2.23) đóng trên , (2.24) 34 www VNMATH.com Với (2.25) Đặt Từ tính liên tục Lipschitz (2.24) suy từ dạng vi phân – (0,1) đóng , đo bị chặn Vì theo mệnh đề 2.3.1 có hàm phương trình lời giải thỏa mãn (2.26) Với số phụ thuộc vào lời giải phương trình mệnh đề 1.2.6 lượng Vì lớp Bởi tính quy elliptic, Để hồn thành chứng minh ta ước Đầu tiên ta lấy Từ (2.23) ta có (2.27) Bây ta ước lượng Đầu tiên ta tính tốn 35 www VNMATH.com , Theo (1.2) ta có: Nó kéo theo bị chặn vế phải Từ (2.24) (2.25) ta có (2.26) Từ Kết hợp bất đẳng thức cuối với (2.27), có với 36 www VNMATH.com CHƯƠNG 3: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH §1 Phương trình hình cầu Định lý 3.1.1: Cho số Nếu dạng phương trình phụ thuộc vào tỷ số liên tục Lipschitz có lời giải chọn phụ thuộc tuyến tính vào với tính chất - đóng Lời giải thỏa mãn : (3.1) Chứng minh: Nhúng không gian vào ánh xạ: cho ký hiệu cho phép chiếu Đầu tiên chứng minh định lý với giả sử Cho trình: nút với ký hiệu lời giải chuẩn tắc phương xây dựng bổ đề 2.2.6 hệ 2.2.7 với sở ta ước lượng 37 với www VNMATH.com Đặt Áp dụng mệnh đề 2.3.2 với Chúng ta có phụ thuộc vào nghiệm phương trình thay thỏa mãn với Đặc biệt theo (2.16) bổ đề 2.2.6 thỏa mãn với Và bổ đề cho ta ước lượng lời giải chuẩn tắc : Vì thỏa mãn Bây trường hợp tổng quát nghĩa định lý ta định Từ hội tụ đến ánh xạ đồng , tập compact, compact Cho tập ký hiệu lời giải phương trình xây dựng chứng minh Chúng ta chứng minh dãy hội tụ Hệ 2.2.8 suy hội tụ tập trù mật thỏa mãn với số ; đặc biệt, Vì Hơn (3.1) bị chặn địa phương, đồng liên tục địa phương bổ đề 2.1.2 mệnh đề 1.2.7 Nó kéo theo dãy hội tụ tập compact Giới hạn thỏa mãn (3.1); liên tục mệnh đề 1.2.3; mệnh đề 1.2.4, 38 www VNMATH.com mệnh đề 1.2.5, Từ phụ thuộc tuyến tính thế §2 Định lý tồn nghiệm Định lý 3.2.1: Cho ký hiệu cho hình cầu bán kính gian Banach , giả sử dạng - tục Lipschitz tất hình cầu hàm liên tục khả vi Nếu thêm điều kiện tâm không phức , Nếu mà liên - đóng có lời giải phương trình khả vi liên tục cấp , Định nghĩa 3.2.2: Cho chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình Với lân cận Ký hiệu Chú ý Định lý 3.2.3: Giả sử hàm chỉnh hình có hàm chỉnh hình Đối với cho Định lý tương đương với bổ đề đây: Bổ đề 3.2.4: Cho , cho Giả sử với dãy đa số chọn 39 , cho www VNMATH.com (3.2) (3.3) thỏa mãn , (3.3) với (3.4) thỏa mãn Chứng minh: Giả sử Cố định , với cho đủ lớn đặt với làm thỏa mãn hữu hạn số Điều xếp, từ với chọn; lấy lại Với theo (3.3) đủ nhỏ có cho ta : Chứng minh định lý 3.2.3: Nếu khai triển , đặt Từ bổ đề 3.2.4 định lý 2.1.6 ta suy chỉnh hình rõ ràng là: Chứng minh định lý 3.2.1: Chọn dãy với lời giải phương trình hàm chỉnh hình cho (theo định lý 3.1.1) Vì , theo định lý 3.2.3 tồn hàm chỉnh 40 www VNMATH.com hình cho với kéo theo Và Với , hội tụ tập compact (b) Điều với tụ hàm định lý 2.1.5 , nhìn lại mệnh đề 1.2.3 ta thấy , tập compact hội Cuối theo mệnh đề 1.2.4; tương ứng , theo mệnh đề 1.2.5 §3 Một ví dụ Dưới ta đưa ví dụ dạng đóng - mà phương trình khơng có nghiệm Trong mục ta ký hiệu Và ký hiệu chuẩn Định lý 3.3.1: Đối với bất kỳ tập mở có dạng phương trình - đóng cho khơng có lời giải Hơn chọn cho thỏa mãn điều kiện: , Coeure đưa ví dụ hàm (3.5) với trường hợp (xem [C],[M]) Trong mục ta mở rộng hàm 41 www VNMATH.com Mệnh đề 3.3.2: Giả sử , với hàm có giá compact thỏa mãn : Thì (3.6) định nghĩa dạng - đóng (3.7) Chứng minh: Theo bất đẳng thức Holder (3.6) hội tụ với , (3.7) thỏa mãn Tương tự, chuỗi tạo việc lấy vi phân (3.6) theo hướng ta (bất đẳng thức cuối suy từ việc áp dụng lần bất đẳng thức Holder), hội tụ tổng bị chặn địa phương Từ mệnh đề 2.1.3 mệnh đề 1.2.3 suy chuỗi hội tụ tập compact riêng (3.6) biểu diễn dạng vi phân phần - đóng nên giới hạn Từ tổng , mà thân thành - đóng Mệnh đề 3.3.3: Hàm , lớp định nghĩa đĩa đơn vị Chứng minh: 42 www VNMATH.com Giả sử với Đặt Khi Có thể coi Ta có: Mặt khác Do Chú ý hàm lớp khơng phải lớp lại Chứng minh định lý 3.3.1: Lấy ta thấy chặn hàm với giá compact cho mà lớp trừ hàm Ta thấy , xây dựng hàm bị mệnh đề 3.3.2 Nhìn mệnh đề 3.3.2, 3.3.3 ta chứng minh định lý khơng tập mở mà có lời giải liên tục 43 phương trình www VNMATH.com Giả sử hình cầu số Với bất có lời giải Giả sử bị chặn với kỳ ta nhúng vào Từ Nó kéo theo hàm chỉnh hình Vì ta tìm hàm chỉnh hình cho : với (3.8) Tiếp theo ta chứng minh chí có đa thức bậc mãn (3.8) Thật vậy, ta thay thỏa ban đầu ý Với tinh thần giống với tác động trên, lấy Hạn chế ký hiệu cho nhóm phần tử bậc trên , Dựa vào (3.8) việc lấy trung bình quỹ đạo cho ta đa thức Do thỏa mãn (3.8) mà bất biến tác động tổ hợp tuyến tính đa thức đối xứng biến nên ta có Cuối tính thỏa mãn (3.8) với số 44 www VNMATH.com Với ta đặt Vì Thay vào (3.8) ta có Rõ ràng điều khơng thể thỏa mãn với tất Điều mâu thuẫn chứng tỏ với đủ lớn giải lân cận Bây giả sử cho Nhúng tập mở không rỗng, điểm trường hợp vào với ánh xạ Nếu 45 khớp lân cận khớp lân cận không giải Vì www VNMATH.com KẾT LUẬN Luận văn xây dựng định lý tồn nghiệm trình (Định lý 3.2.1) đưa phản ví dụ 3.3.1) Trong [Le] Lempert phương trình giải tập giả lồi lời giải - phương (Định lý dạng - (0,1) đóng liên tục Lipschitz (Xem hệ 0.2 [Le]) Hướng nghiên cứu nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm - phương trình không gian Banach vô hạn chiều khác Đây toán mở 46 www VNMATH.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [C] G.Coeure, Les equations de Cauchy – Riemann sur un espace de Hilbert, manuscript [D] S.Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Space, North Holland, Amsterdam, 1981 [H] G.M.Hekin, Integral representations of function holomorphic in strictly pseudoconvex domain and some applications, Math Sb 82 (1970), 300 308; English translation, Math USSR.11 (1970), 273 - 281 MR 42:7938 [Ho] L Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variable, 3rd edition, North Holland, Amsterdam, 1990 [Le] L.Lempert, The Dolbeault complex in infinite dimensions III, J.Amer Math Soc (2000) 579 – 603 [M] P.Mazet, Analytic Sets in Locally Convex Space, North Holland, Amsterdam, 1984 [Mu] J.Mujica, Complex Analysis in Banach spaces, North Holland, Amsterdam, 1986 47 www VNMATH.com [R] P.Raboin, Le probleme du sur un espace de Hilbert, Bull Soc Math Fr 107 (1979) 225 – 240, MR 80i: 32052 [Ry] R.A.Ryan, Holomorphic mappings in (1987), 797 – 811 MR 88h:46089 48 , Trans Amer Math Soc 302 ... đích luận văn nhằm nghiên cứu phương trình khơng gian Banach Do hạn chế mặt thời gian lực tác giả nên phạm vi đề tài thu hẹp khơng gian định lý tính giải phương trình phản ví dụ hàm tập mở Trong. .. Trong luận văn có trình bày Đặc biệt có mà phương trình khơng giải Nội dung luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm tốn tử tính chất Các khái niệm hàm không. .. tử Định nghĩa 1.1.1: Cho không gian Banach thực Ta ký hiệu gian tất ánh xạ không - tuyến tính Định nghĩa 1.1.2: Cho khơng gian Banach phức, ký hiệu với Chúng ta không gian tất cho : Định nghĩa