LỜI CAM ĐOAN Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình, chu đáo của PGS TS Nguyễn Năng Tâm Các kết quả tron[.]
LỜI CAM ĐOAN Luận án viết dựa nghiên cứu tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả luận án Vũ Văn Đồng i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người Thầy dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học Những lời chia sẻ, dạy Thầy khoa học sống hành trang quý báu để tự tin chặng đường tới Xin chân thành cám ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng thành viên Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn cán cơng nhân viên Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học Cao học làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên, Trung tâm GDTHPT PCI trường CĐCN Phúc Yên động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả Xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn nghiên cứu sinh bạn bè tác giả ln khuyến khích giúp đỡ tác giả q trình học tập nghiên cứu ii MỤC LỤC CAM ĐOAN i LỜI CÁM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG 10 1.1 Dạng tồn phương khơng gian Hilbert 10 1.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương 19 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 27 2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương không lồi 27 2.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi 51 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH 66 3.1 Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm 67 3.2 Tính liên tục hàm giá trị tối ưu 83 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 BẢNG KÍ HIỆU Tập khơng gian ∅ tập rỗng x∈X x phần tử tập X x∈ /X x không thuộc X {x ∈ X | P (x)} Tập phần tử x X tuân theo tính chất P (x) N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực dương Rn không gian Euclid n chiều H không gian Hilbert `2 không gian dãy số bình phương khả tổng L2 [a, b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] H ⊕G tổng trực tiếp H G LH khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục H A\B Tập hợp phần tử thuộc A khơng thuộc B Hàm tốn tử f :X→R hàm giá trị thực T :X→Y toán tử từ X vào Y T∗ toán tử liên hợp toán tử T A+ toán tử giả ngược toán tử A Giới hạn khả vi r(h) = o(h) tức r(h) khk → h → f (x, d), Df (x)d đạo hàm hàm f x theo hướng d f 00 (x, d), D2 f (x)d đạo hàm cấp hai hàm f x theo hướng d Chuẩn hội tụ kxk chuẩn x xn → x xn hội tụ (mạnh) tới x xn * x xn hội tụ yếu tới x Các toán tối ưu val(QP ) giá trị tối ưu toán (QP) F tập chấp nhận (tập ràng buộc) toán (QP) Sol(QP ) tập nghiệm toán (QP) (QPω ) toán tối ưu theo tham số ω F (ω) tập chấp nhận toán tham số (QPω ) ϕ(ω) hàm giá trị tối ưu toán tham số (QPω ) Sol(ω) tập nghiệm tối ưu toán tham số (QPω ) v đ k với điều kiện MỞ ĐẦU Bài tốn quy hoạch tồn phương tốn tìm nghiệm tối ưu (lớn nhỏ nhất) hàm toàn phương tập hợp xác định số hữu hạn hàm toàn phương Quy hoạch tồn phương nghiên cứu khía cạnh định tính, định lượng, thuật tốn ứng dụng khác tốn quy hoạch tồn phương Quy hoạch toàn phương phận quan trọng Quy hoạch toán học Nhiều toán ứng dụng thực tế, bao gồm toán việc lập kế hoạch lịch trình, thiết kế kĩ thuật, điều khiển phát biểu cách tự nhiên dạng tốn quy hoạch tồn phương Người ta sử dụng tốn quy hoạch tồn phương để giải xấp xỉ toán tối ưu phi tuyến phức tạp Về tầm quan trọng quy hoạch toàn phương Floudas Visweswaran trình bày đầy đủ tài liệu tham khảo [28] Bài toán quy hoạch toàn phương thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Năm 1956, Frank Wolfe mở rộng định lý quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều chứng minh định lý tồn nghiệm (gọi định lý Frank-Wolfe) cho toán tối ưu tồn phương với ràng buộc tuyến tính Định lý nói “Nếu tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn miền ràng buộc khác rỗng, có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)” Từ đến có thêm số chứng minh cho định lý nhiều phiên mở rộng Chẳng hạn, Eaves, B.C [27], Blum, E Oettli, W [12], Belousov, E.G [10], Luo, Z.Q Zhang, S [42], Belousov, E.G Klatte, D [8] Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J F Shapiro, A [13] mở rộng định lý Frank-Wolfe cho toán quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều với ràng buộc tuyến tính Các tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính khảo sát đầy đủ Nhiều kết nghiên cứu quan trọng quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính tìm thấy sách chun khảo [39] tài liệu trích dẫn Đối với tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc toàn phương Kuhn, H.W Tucker, A.W nghiên cứu từ năm đầu thập niên 50 kỷ 20 [38] Trong năm gần nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương định tính định lượng, ứng dụng chúng Ở Việt Nam, có nhiều nhà khoa học tiến hành nghiên cứu quy hoạch toàn phương, chẳng hạn Hoàng Tụy, Nguyễn Đơng n, Hồng Xn Phú, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng Ngọc Tuấn Sự quan tâm nghiên cứu toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương nước phản ánh qua số lượng chất lượng cơng trình cơng bố Điển hình như: Tuy, H [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D [37], Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D [39, 40], Tam, N N [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D., Xu, Y.F [58], Burer,S., Dong, H [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y [33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y [34], Jeyakumar, V., Rubinov, A.M, Wu, Z.Y [35, 36], Pasquale L De Angelis, Gerardo Toraldo [45], Beck, A., Eldar, Y.C [9], Nghị, T V [44] Trong cơng trình đó, tìm thấy nhiều kết thú vị vấn đề mở tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương khơng gian hữu hạn chiều Trong tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều nhận quan tâm nghiên cứu đơng đảo tác giả, cơng trình nghiên cứu lớp tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều cơng bố cịn hạn chế Theo chúng tơi biết, ngồi kết nghiên cứu toán tối ưu phi tuyến tổng qt áp dụng cho quy hoạch tồn phương, kết nghiên cứu quan trọng cho quy hoạch tồn phương khơng gian vơ hạn chiều, nay, xuất lẻ tẻ, chưa nhiều chưa trọn vẹn Trong kết có, đáng lưu ý kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Hilbert Bonnans Shapiro chứng minh vào năm 2000 [13] Ngoài ra, kể đến vài kết tồn nghiệm điều kiện cực trị tốn quy hoạch tồn phương đặc biệt tác giả Schochetman, I E., Smith, R L., Tsui, S K [49], Semple, J [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J M [53] Borwein, J.M [17] Theo biết, nhiều vấn đề toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương khơng gian vơ hạn chiều chưa nghiên cứu Vì lý đặt vấn đề nghiên cứu định tính tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Mục tiêu luận án nghiên cứu số vấn đề định tính quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định cho lớp tốn quy hoạch tồn phương hàm mục tiêu hàm tồn phương (có thể không lồi) hàm ràng buộc hàm tồn phương lồi khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vô hạn chiều) Trong không gian hữu hạn chiều tính chất nghiên cứu đầy đủ [39, 42] tài liệu trích dẫn Trong khơng gian vơ hạn chiều tồn nghiệm tính ổn định tốn quy hoạch tồn phương nghiên cứu [13, 17] chủ yếu với ràng buộc tuyến tính Luận án nghiên cứu mở rộng kết cho trường hợp tổng quát Một kỹ thuật thường dùng nghiên cứu định tính tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert hữu hạn chiều sử dụng tính compact, tính lồi, tính quy tập ràng buộc định lý Weiertrass Để thu kết định tính tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vơ hạn chiều) sử dụng kỹ thuật với hiệu chỉnh phù hợp Tuy vậy, hiệu chỉnh nói chung không dễ dàng Trong luận án hiệu chỉnh kỹ thuật cách sử dụng tính chất Legendre dạng tồn phương Tính chất dùng để chứng minh rằng, dãy (hoặc dãy con) mà hội tụ yếu hội tụ mạnh đến giới hạn Mặt khác, nhiều tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert vơ hạn chiều, dạng tồn phương khơng có tính chất Legendre, ví dụ tốn quy hoạch tuyến tính, nên nghiên cứu tồn nghiệm chúng, luận án sử dụng giả thiết tính compact với ảnh đóng tốn tử tốn Mặc dù giả thiết mạnh, cách sử dụng giả thiết nghiên cứu tồn nghiệm lớp tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều mà khơng sử dụng đến tính chất dạng Legendre Vì dạng tồn phương khơng gian Hilbert hữu hạn chiều dạng Legendre tốn tử biểu diễn dạng tồn phương compact với ảnh đóng nên kết mà chúng tơi thu luận án thực mở rộng kết có Ngồi việc hiệu chỉnh cách phù hợp kỹ thuật sử dụng nghiên cứu toán hữu hạn chiều chúng tơi đưa điều kiện, có tên điều kiện A, để nghiên cứu tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi Các tốn quy hoạch tồn phương mà xét luận án có tập ràng buộc tập lồi đóng khơng gian Hilbert Vì tính bị chặn tương đương với tính compact yếu Tuy nhiên, tập ràng buộc khơng bị chặn, lý khái niệm nón lùi xa tập ràng buộc sử dụng suốt luận án Luận án này, phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, gồm ba chương Chương giới thiệu Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương số khái niệm kết liên quan không gian Hilbert Các khái niệm kết trình bày chương sở cho việc nghiên cứu kết đề xuất chương sau luận án Chương dành cho việc nghiên cứu tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với hàm mục tiêu toàn phương ràng buộc xác định hữu hạn bất đẳng thức toàn phương lồi không gian Hilbert Trong mục 2.1 đề xuất chứng minh số kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi Trong mục 2.2 đề xuất chứng minh số kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi Chương nghiên cứu tính liên tục ánh xạ tập nghiệm tính liên tục hàm giá trị tối ưu tốn quy hoạch tồn phương có tham số khơng gian Hilbert Trong mục 3.1 đề xuất chứng minh tính liên tục ánh xạ tập nghiệm toàn cục Trong mục 3.2 đề xuất chứng minh tính liên tục hàm giá trị tối ưu Luận án viết dựa báo [24] đăng tạp chí “Taiwanese Journal of Mathematics” hai báo [25, 26] đăng tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica” ... tồn phương lồi khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vô hạn chiều) Trong không gian hữu hạn chiều tính chất nghiên cứu đầy đủ [39, 42] tài liệu trích dẫn Trong khơng gian vơ hạn chiều. .. T V [44] Trong công trình đó, tìm thấy nhiều kết thú vị vấn đề mở toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương khơng gian hữu hạn chiều Trong tốn quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều nhận... hữu hạn hàm toàn phương Quy hoạch toàn phương nghiên cứu khía cạnh định tính, định lượng, thuật tốn ứng dụng khác toán quy hoạch toàn phương Quy hoạch toàn phương phận quan trọng Quy hoạch toán