1 MỤC LỤC Mở đầu 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 21 1 1 Một số khái niệm và tính chất bổ trợ 21 1 2 Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa 25 1 3 Kết luận Chương 1 31 Chương 2 Đạo hàm của ánh xạ nón[.]
1 MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 21 1.1 Một số khái niệm tính chất bổ trợ 21 1.2 Tính chất quy điều kiện chuẩn hóa 25 1.3 Kết luận Chương 31 Chương Đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện quy mêtric 2.1 Tính tốn đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến 2.2 Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng 32 32 52 2.3 Kết luận Chương 60 Chương Ổn định xiên thông qua đạo hàm ánh xạ vi phân cho lớp toán tối ưu với giả thiết quy gần kề 62 3.1 Đặc trưng bậc hai tính ổn định xiên cho lớp tốn tối ưu khơng ràng buộc 63 3.2 Ổn định xiên quy hoạch phi tuyến với giả thiết quy mêtric 74 3.3 Kết luận Chương 102 Kết luận chung kiến nghị 104 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 106 Tài liệu tham khảo 107 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn x ∀x với x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) : X → Y đạo hàm f x δΩ (·) hàm tập Ω R tập số thực R− tập số thực không dương R tập số thực suy rộng R ∪ {±∞} Sn tập tất ma trận thực đối xứng cấp n Rn không gian Ơclit n chiều Rn+ tập hợp véctơ với tọa độ không âm Rn Rn− tập hợp véctơ với tọa độ không dương Rn ∅ tập rỗng x ∈ Rn x phần tử tập Rn C ⊂ Rn C tập Rn h., i tích vơ hướng Rn k.k chuẩn Ơclit Rn intΩ phần tập Ω convΩ bao lồi tập Ω C⊥ phần bù trực giao C Rn , tức C ⊥ := u ∈ Rn | hu, xi = với x ∈ C Co nón cực C Rn , tức C o := u ∈ Rn | hu, xi ≤ với x ∈ C posC tổ hợp tuyến tính dương C Rn , tức nP k λi ci | λi ≥ 0, ci ∈ C ∪ {0}, posC := i=1 o i = 1, k, k ∈ N {xi } dãy véctơ ϕ x → x¯ ϕ(x) → ϕ(¯ x) x → x¯ Ω x → x¯ x ∈ Ω ε↓0 ε → ε ≥ [γ]+ phần dương γ , tức [γ]+ := max{γ, 0} dΩ (x) khoảng cách từ x đến Ω δΓ hàm tập Γ o(t) vô bé bậc cao t (tức lim o(t) t = 0) P := Q P định nghĩa Q kết thúc chứng minh lim inf ϕ giới hạn hàm số ϕ lim sup ϕ bΩ (x) N giới hạn hàm số ϕ NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn Ω x TΩ (x) b ∗F D nón tiếp tuyến Bouligand-Severi Ω x DF b ∂ϕ đạo hàm đồ thị ánh xạ F ∂ϕ vi phân qua giới hạn hàm ϕ x → x¯ t→0 nón pháp tuyến Fréchet Ω x đối đạo hàm Fréchet ánh xạ F vi phân Fréchet hàm ϕ I(x) tập số hoạt x I + (λ) tập số bù chặt Λ(x, x∗ ) tập nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗ ) Λ(x, x∗ ; v) tập nhân tử nhân tử theo hướng v K(x, x∗ ) nón tới hạn Γ (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange Lg (x, α, λ) hàm Lagrange suy rộng LP(v) tốn quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v DP(v) toán đối ngẫu LP(v) subregF (¯ x, y¯) mơđun tính quy mêtric F (¯ x, y¯) tilt(f, x ¯) mơđun xác tính ổn định xiên f x ¯ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEPP tính chất điểm cực biên bị chặn CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương CRCQ chuẩn hóa ràng buộc hạng KKT Karush-Kuhn-Tucker LICQ chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính MFCQ chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz MSCQ chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏng RCQ chuẩn hóa ràng buộc Robinson RUSOSC điều kiện đủ bậc hai nới lỏng SSOSC điều kiện đủ bậc hai mạnh USOSC điều kiện đủ bậc hai MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát toán tối ưu toán liên quan, đầu năm 1960, R T Rockafellar J.-J Moreau đề xuất nghiên cứu khái niệm vi phân cho hàm lồi Giữa thập niên 1970, F H Clarke B S Mordukhovich độc lập đưa khái niệm vi phân cho hàm khơng lồi Đạo hàm đối đạo hàm ánh xạ đa trị xuất vào đầu thập niên 1980 Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, đạo hàm, vi phân bậc hai, đạo hàm bậc hai, ) giới thiệu nghiên cứu Năm 1998, R.T Rockafellar R J.-B Wets xuất sách chuyên khảo “Variational Analysis” ([70]) sở tổng hợp, hệ thống hóa bổ sung kết theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu đời Giải tích biến phân Đến nay, giải tích biến phân bậc hồn thiện, giải tích biến phân bậc hai nghiên cứu mạnh mẽ phát triển nhanh ([21], [55], [56], [70]) Lĩnh vực thu hút ý nhiều nhà toán học thời gian gần ([6], [8], [55], [70]) Vi phân suy rộng đóng vai trị trung tâm giải tích biến phân ứng dụng ([55]) Hơn nữa, cấu trúc vi phân suy rộng nào, ln có hai vấn đề đặt cách tự nhiên: thứ cấu trúc phản ánh tính chất hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai làm để tính tốn ước lượng cấu trúc theo liệu ban đầu toán Thực tế để giải thấu đáo vấn đề người ta cần đến thơng tin tính quy hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]) Chính vậy, tính chất quy đối tượng nghiên cứu quan trọng giải tích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]) Tính quy mêtric tính chất quy đáng ý giải tích biến phân bậc ([15], [21], [36], [43], [51]) Gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu tính quy mêtric giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]) Tuy vậy, vai trị tính chất giải tích biến phân bậc hai vấn đề thú vị cần khảo sát thêm Với lý thế, chúng tơi lựa chọn đề tài luận án “Một số kết tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập kết nghiên cứu dựa vào việc khảo sát hai vấn đề nêu trên, góp phần làm rõ vai trị tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án tính quy giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị ánh xạ vi phân (còn gọi đạo hàm đồ thị gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness) Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả đạo hàm đồ thị gradient việc nhận biết tính ổn định xiên cho tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề Đồng thời, luận án quan tâm đến toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện quy mêtric với hàm mục tiêu hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị gradient cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện quy mêtric sử dụng kết tính tốn để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập ánh xạ nghiệm cho lớp phương trình suy rộng Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân kĩ thuật giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm quy tắc tính tốn giải tích biến phân; đồng thời, luận án đề xuất cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện số kết tính ổn định xiên quy hoạch phi tuyến; qua làm rõ vai trị tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Luận án tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu ứng dụng Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất quy đóng vai trị quan trọng giải tích biến phân ứng dụng ([55], [56], [70]) Một mặt, tính chất dùng để thiết lập điều kiện cực trị nghiên cứu vấn đề ổn định cho 10 toán tối ưu toán liên quan Mặt khác, chúng sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính tốn giải tích biến phân Ngồi ra, tính chất quy dùng để khảo sát hội tụ thuật toán tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58]) Trong giải tích biến phân, người ta đề xuất nghiên cứu nhiều khái niệm quy khác cho tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng ánh xạ đa trị Đối với tập hợp, tập quy Clarke tập quy gần kề hai khái niệm đáng ý, vai trò quan trọng chúng việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng ứng dụng Những khái niệm dùng để định nghĩa tính quy cho hàm giá trị thực mở rộng ánh xạ đa trị Chẳng hạn, hàm giá trị thực mở rộng quy vi phân đồ thị quy Clarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị quy đồ thị đồ thị quy Clarke ([70, Definition 8.38]); hàm giá trị thực mở rộng quy gần kề đồ thị quy gần kề ([65, Theorem 3.5]) Đối với ánh xạ đa trị, khái niệm quy kiểu mêtric quy mêtric, quy mêtric mạnh, quy mêtric quy mêtric mạnh có vai trị quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng ([21], [44], [70]) Ngoài ra, nhiều mở rộng biến thể khái niệm quy đề cập xuất giải tích biến phân tìm ứng dụng định Phần tổng quan tập trung vào tính quy gần kề số tính chất quy kiểu mêtric, khái niệm quy liên quan trực tiếp đến đóng góp luận án Khái niệm hàm quy gần kề Poliquin Rockafellar ([65]) giới thiệu năm 1996 Ngồi hàm lồi thường nửa liên tục dưới, lớp hàm quy gần kề cịn bao gồm nhiều hàm số quan trọng khác giải tích biến phân lý thuyết tối ưu, hàm khả vi có đạo hàm Lipschitz địa phương, hàm dưới-C , hợp hàm lồi thường nửa ... cứu Trong luận án này, sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân kĩ thuật giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án. .. quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Luận án tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu ứng dụng Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số. .. quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án tính quy giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị ánh xạ vi phân (còn gọi đạo hàm đồ thị gradient), tính ổn định