Iđêan tuyệt đối của nhóm abel không xoắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHĨM ABEL KHƠNG XOẮN MÃ SỐ: CS2015.19.62 Cơ quan chủ trì: Khoa Tốn-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM Chủ nhiệm đề tài: TS Phạm Thị Thu Thủy THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 05 / 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHĨM ABEL KHƠNG XOẮN MÃ SỐ: CS2015.19.62 Xác nhận quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 05 / 2017 DANH SÁCH NGƯỜI THAM GIA ĐỀ TÀI Họ tên Phạm Thị Thu Thủy Đơn vị công tác lĩnh vực chun mơn Khoa Tốn Tin, trường ĐH Sư phạm TPHCM Nội dung nghiên cứu cụ thể giao Tiêu chuẩn nhóm RAI afi hồn tồn phân rã BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: − Tên đề tài: IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHĨM ABEL KHƠNG XOẮN − Mã số: CS2015.19.62 − Chủ nhiệm: TS Phạm Thị Thu Thủy − Cơ quan chủ trì: Khoa Tốn-Tin học, Đại học Sư phạm TPHCM − Thời gian thực hiện: 09/2015-09/2016 Mục tiêu: Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối cấu trúc nhóm RAI, afi nhóm Abel khơng xoắn rank lớp nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã Tính sáng tạo: Các kết có idean tuyệt đối nhóm Abel, nhóm RAI, nhóm afi tập trung lớp nhóm xoắn Nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm RAI, nhóm afi nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã sở cần thiết để có nhìn tổng qt tốn lớp nhóm Abel khơng xoắn Kết nghiên cứu: Mô tả iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng nêu điều kiện cần, điều kiện đủ để nhóm Abel nhóm RAI, nhóm afi Sản phẩm: Phạm Thị Thu Thủy, Iđêan tuyệt đối nhóm Abel khơng xoắn // Tạp chí Khoa học trường Đại học Sư phạm TPHCM, Khoa học Tự nhiên công nghệ, 03/2017, tập 15, trang 68-75 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Kết đề tài sử dụng để giảng dạy chuyên đề Lý thuyết nhóm Abel cho sinh viên Tốn khóa sinh viên cao học Toán Xác nhận quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017 Chủ nhiệm đề tài BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tp.HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2017 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: − Project title: ABSOLUTE IDEALS OF TORSION FREE ABELIAN GROUPS − Code number: CS2015.19.62 − Coordinator: Dr Phạm Thị Thu Thủy − Implementing institution: Mathematics and Informatics Department, Ho Chi Minh City University of Education − Duration: From 09/2015 to 09/2016 Objective(s): Describe the absolute ideals and the structures of RAI-groups, afi-groups in the class of Abelian torsion-free groups Creativeness and innovativeness: Most results on absolute ideals of Abelian groups, RAI-groups and afi-groups concentrate in the class of torsion Abelian groups The study of these problems in the class of completely decomposable Abelian groups is the first step for further researches in the class of torsion-free Abelian groups in general Research results: Describe the absolute ideals of isotype completely decomposable Abelian groups and give a criterion for a group of this class to be an RAI-group or afi-group Products: Pham Thi Thu Thuy, Absolute ideal of completely decomposable Abelian groups // Ho Chi Minh City University of Education, Journal of science, Special issue: Natural sciences and technology, 03/2017, Vol 15, pp 68-75 Effects, transfer alternatives of research results and applicability: The results of this project can be used as references or lectures on Abelian group theory for BS or MS students of mathematics major Xác nhận quan chủ trì Ngày 02 tháng 05 năm 2017 Chủ nhiệm đề tài MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Giới thiệu Vành nhóm Abel hồn tồn phân rã Iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng 12 KẾT LUẬN 16 LỜI MỞ ĐẦU Một câu hỏi đặt để hiểu rõ tính chất vành nhóm Abel G “vai trị nhóm thay đổi vành khác G?” Do đó, nhiều nghiên cứu đặc biệt quan tâm tới nhóm G mà ln iđêan, Nil iđêan hay vành vành G Những nhóm gọi iđêan (Nil iđêan, vành con) tuyệt đối nhóm G Trong số nghiên cứu theo hướng kể tới cơng trình K McLean, E Fried, L Fuchs, A Chekhlov, E Kompantseva, v.v Nhiều toán đặt nhà Tốn học uy tín cho thấy cần thiết nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm Abel Năm 1973, tập “Nhóm Abel vô hạn” (“Infinite Abelian groups”), coi cẩm nang lý thuyết nhóm Abel, L Fuchs đặt tốn (vấn đề số 93): “Mơ tả tất nhóm Abel mà xây dựng cấu trúc vành cho iđêan iđêan tuyệt đối.” Những nhóm gọi nhóm RAI Tính quan trọng nhóm RAI cịn thể chỗ lớp nhóm chứa nhiều nhóm quan tâm nghiên cứu nhóm Nil E-nhóm Nghiên cứu nhóm RAI, thế, mang lại thơng tin bổ ích lớp nhóm nói Một nhóm có vai trị đặc biệt nhóm Abel G nhóm hồn tồn đặc trưng nó, tức nhóm bất biến đồng cấu G Mối liên hệ chặt chẽ iđêan tuyệt đối nhóm hồn tồn đặc trưng L.Fuchs ghi “Nhóm Abel vơ hạn” [1] Một nhóm hồn tồn đặc trưng ln iđêan tuyệt đối, chiều ngược lại không Bài tốn mơ tả nhóm Abel iđêan tuyệt đối nhóm hồn tồn đặc trưng E Fried đặt [2] đạt số kết cơng trình E Fried K McLean Cần ghi kết đạt iđêan tuyệt đối, nhóm RAI afi tập trung lớp nhóm xoắn số lớp nhóm hỗn hợp mà cấu trúc liên quan chặt chẽ tới nhóm xoắn Tiêu chuẩn nhóm RAI xoắn đưa chứng minh hoàn chỉnh [6,7] McLean giải tốn mơ tả nhóm afi lớp nhóm Abel xoắn hoàn toàn bắc cầu [5] Tuy nhiên, lớp nhóm khơng xoắn tốn cịn Gần đây, [4], Kompantseva E I Fomin A A mơ tả nhóm RAI lớp lớp nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã Khơng khó để thấy ngun nhân: hạn chế kết nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel khơng xoắn khơng cho phép có nhìn tồn diện vành chúng Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm RAI, nhóm afi nhóm khơng xoắn cần thiết để có nhìn tổng qt vấn đề Hơn nữa, nghiên cứu ngày nhiều vành không xoắn R Baer, R Beaumont R Pierce, L Fuchs, Mader Vinsonhaler, K Rangaswamy, A Fomin, E Blagaveshenskaya v.v cho thấy quan tâm nhà tốn học tính chất vành nhóm khơng xoắn MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Nghiên cứu mơ tả iđêan tuyệt đối cấu trúc nhóm RAI, afi lớp nhóm Abel khơng xoắn CÁCH TIẾP CẬN Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm RAI, nhóm afi lớp nhóm khơng xoắn nhóm có cấu trúc nhất: nhóm khơng xoắn rank tổng trực tiếp chúng: nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã (completely decomposable torsion-free groups) Nhóm Abel hồn tồn phân rã xác định hệ sở Đây điều kiện quan trọng để mơ tả vành nhóm Abel hồn tồn phân rã, từ mơ tả ideal tuyệt đối giải toán đặt lớp nhóm PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Suy luận lý thuyết PHẠM VI NGHIÊN CỨU: nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng Trong báo cáo này, nhóm đề cập nhóm Abel Do đó, để đơn giản, từ "nhóm" mặc định hiểu "nhóm Abel" GIỚI THIỆU 1.1 Định nghĩa Một phép nhân nhóm G hàm song tuyến tính µ : G × G → G Để đơn giản, ta thường dùng ký hiệu × cho phép nhân, nghĩa a×b = µ (a, b) Nhóm G với phép nhân × gọi vành nhóm G , ký hiệu (G, ×) 1.2 Định nghĩa Nhóm A nhóm G gọi iđêan tuyệt đối G A iđêan vành G Nhóm RAI nhóm Abel mà xây dựng vành iđêan iđêan tuyệt đối Vấn đề mơ tả nhóm RAI đặt Fuchs L [3, vấn đề 93] Nhóm Abel gọi nhóm afi iđêan tuyệt đối A nhóm hồn tồn đặc trưng, nghĩa ϕ ( A) ⊆ A với tự đồng cấu ϕ ∈ End (G ) Ta sử dụng số khái niệm kết sau [6] [7] 1.3 Định nghĩa [6] Iđêan tuyệt đối sinh g nhóm G , ký hiệu 〈 g 〉 AI , iđêan tuyệt đối nhỏ chứa g Để phân biệt, ta ký hiệu iđêan sinh g vành (G, ×) 〈 g 〉 × 1.4 Định lý [6] Cho G nhóm Khi điều kiện sau tương đương: i Nhóm G nhóm RAI ii Trên G tồn vành (G, ×) cho 〈 g 〉 × iđêan tuyệt g ∈ G iii Trên G tồn vành (G, ×) cho 〈 g 〉 × =〈 g 〉 AI với g ∈ G 1.5 Định lý [7] Nhóm G nhóm afi 〈 g 〉 AI nhóm hồn toàn đặc trưng G với g ∈ G VÀNH TRÊN NHĨM ABEL HỒN TỒN PHÂN RÃ 2.1 Định nghĩa Cho G nhóm, p số nguyên tố g ∈ G Khi số nguyên dương n lớn cho p n∣g G gọi p -cao độ phần tử g G ký hiệu hp(G ) ( g ) ; số nguyên dương n khơng tồn ta nói hp( G ) ( g ) = ∞ Để đơn giản, ta xét cao độ phần tử nhóm cố định, ta dùng ký hiệu hp ( g ) cho p -cao độ phần tử g Cho p1 , p2 ,… tất số nguyên tố xếp theo thứ tự tăng dần Khi dãy = χ ( g ) (hp ( g ), hp ( g ), …, hp ( g ), …) gọi n dãy cao độ hay đặc trưng phần tử g nhóm G Như vậy, dãy cao độ chứa số nguyên ký hiệu ∞ Hai dãy cao độ gọi tương đương chúng có hữu hạn (hoặc khơng có) vị trí khác nhau, vị trí phải số nguyên Dễ thấy, quan hệ dãy cao độ thực quan hệ tương đương Ta gọi lớp tương đương dãy cao độ dạng Dạng phần tử g ∈ G dạng chứa χ ( g ) ký hiệu t ( g ) Dễ thấy, G nhóm khơng xoắn hạng 1, phần tử khác phụ thuộc tuyến tính với có dãy cao độ tương đương Do đó, phần tử khác nhóm G khơng xoắn hạng có dạng, gọi dạng nhóm G khơng xoắn hạng ký hiệu t (G ) Thực tế, hai nhóm khơng xoắn hạng đẳng cấu với chúng có dạng Mệnh đề sau dễ dàng có từ [3, Định lý 85.1] 2.2 Mệnh đề Cho G nhóm khơng xoắn hạng dạng t Nếu e phần tử   u s ≤ h ( e )  , hiển nhiên, R có dạng t i pi si  ∏ pi  khác G G = = Re với R  Ngược lại R nhóm hữu tỉ có dạng t = t (G ) ta ln chọn G phần tử e cho G = Re  2.3 Định nghĩa Cho = χ1 (k1 , k2 , …) = χ ( s1 , s2 , …) hai dãy cao độ có dạng t1 t2 Ta định nghĩa: i Tích hai dãy cao độ: χ1 χ = (k1 + s1 , k2 + s2 ,…) ii Giao hai dãy cao độ: χ1 ∩ χ (min{k1 , s1}, min{k2 , s2 },…) = iii Tích giao hai dạng: t1t2 = t ( χ1 χ ) t1 ∩ t2= t ( χ1 ∩ χ ) Dãy cao độ χ (dạng t ) gọi lũy đẳng χ = χ ( t = t ) Dễ thấy dãy cao độ χ lũy đẳng χ chứa ∞ Và dạng t lũy đẳng phần tử đại diện chứa hữu hạn (hoặc khơng có) số ngun khác 2.4 Mệnh đề [3, Mệnh đề 85.3] Cho (G, ×) vành G Khi χ (a × b) ≥ χ (a) χ (b) với a, b ∈ G  10 2.5 Định nghĩa: Ta nói= χ1 (k1 , k2 , …) ≤= χ ( s1 , s2 , …) ki ≤ si với i ∈ I Ta nói t1 ≤ t2 tồn χ1 ∈ t1 χ ∈ t2 cho χ1 ≤ χ Dễ thấy, quan hệ so sánh dãy cao độ dạng quan hệ thứ tự khơng tồn phần 2.6 Định nghĩa Nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã nhóm biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm khơng xoắn hạng 2.7 Mệnh đề [3, Mệnh đề 86.1] Cho G = ⊕Gi nhóm khơng xoắn hồn tồn i∈I phân rã với Gi nhóm khơng xoắn hạng Bộ dạng {ti = t (Gi )}i∈I bất biến nhóm G , nghĩa khơng phụ thuộc vào cách phân tích G thành tổng trực tiếp nhóm khơng xoắn hạng Nếu G = ⊕Gi nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã G biểu diễn i∈I dạng= G = G ⊕R e ⊕ i∈I i i∈I i i với Ri nhóm hữu tỉ dạng ti = t (Gi ) Tập hợp {ei }i∈I tạo thành hệ độc lập tuyến tính tối đại, gọi sở, nhóm G phần tử g ∈ G biểu diễn dạng = g ri1 ei1 + ri2 ei2 +…+ rin ein với rik ∈ Rik 2.8 Định lý Cho nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã G = ⊕Ri ei Khi đó, với i∈I {ai }i∈I phần tử G thỏa χ (ai ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) với i, j ∈ I , tồn vành (G, ×) G cho ei × e j = aij Chứng minh Cho {ai }i∈I phần tử G thỏa χ (ai ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) Ta xét quy tắc nhân sau: Cho = x n ∑ r= i ei , y n ∑ s e ∈G , =i =i i i với i, j ∈ I ta có χ (aij ) ≥ χ (ei ) χ (e j ) n ri ei , rj e j ∈ G nên ri s j∣ai hay ri s j aij ∈ G Ta đặt x × y = ∑ ri s j aij Dễ thấy, × đồng cấu i , j =1 song tuyến tính từ G × G vào G , nên (G, ×) vành G Hơn phần tử biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính ei , I ∈ I phép nhân song tuyến tính G nên phép nhân ×  11 IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHĨM KHƠNG XOẮN HỒN TỒN PHÂN RÃ ĐỒNG NHẤT 3.1 Định nghĩa Nhóm khơng xoắn đồng nhóm khơng xoắn mà phần tử có dạng Dễ thấy, G nhóm khơng xoắn đồng dạng t lũy đẳng ta ln chọn hệ sở {ei }i∈I cho G = ⊕Rei , χ (ei ) lũy đẳng R nhóm i∈I hữu tỉ dạng t Bổ đề sau dễ dàng suy từ [3, Mệnh đề 85.4] 3.2 Bổ đề Cho G nhóm khơng xoắn hạng có dạng = t (k1 , k2 , …, kn , …) Khi đó, quy tắc ϕ tự đồng cấu G ϕ có dạng ϕ ( x) = khơng chia hết cho số nguyên tố pi mà ki ∈ ¢ m x với m, n ∈ ¢ n n  3.3 Định lý (Nhóm đồng dạng khơng lũy đẳng) Nếu G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng t với t không lũy đẳng i nhóm G iđêan tuyệt đối G nhóm RAI; ii G nhóm afi hạng G t không chứa ∞ Chứng minh i Giả sử (G, ×) vành G a, b hai phần tử khác G Vì G đồng t khơng lũy đẳng nên t (a ) = t (b)= t < t Mặt khác t (a × b) ≥ t (a )t (b) = t Vì G lũy đẳng dạng t nên a × b = Vậy G tồn vành tầm thường Hiển nhiên nhóm G iđêan tuyệt đối G nhóm RAI ii Giả sử G nhóm khơng xoắn hạng có dạng t khơng chứa ∞ Cho ϕ tự đồng cấu G a ∈ G Vì t khơng chứa ∞ nên từ Bổ đề 3.2 suy ϕ (a) = ma với m ∈ ¢ Do ϕ (a ) ∈ 〈 a〉 AI Vậy theo Định lý 1.3 nhóm G nhóm afi Giả sử r (G ) > Khi G biểu diễn dạng G = Re1 ⊕ Re2 ⊕ A với R nhóm hữu tỉ dạng t Xét ánh xạ ϕ : G → G với ϕ (re1 ) = re2 ϕ ( x) = x ∉ Re1 Rõ ràng ϕ tự đồng cấu G ϕ ( Re1 ) = Re2  Re1 , nên Re1 khơng nhóm hồn tồn đặc trưng G Mặt khác, theo chứng minh phần trên, ta có Re1 iđêan tuyệt đối G Vậy G khơng nhóm afi 12 Giả sử r (G ) = t chứa ∞ Không tính tổng quát, giả sử ∞ đứng vị trí t Theo Bổ đề 3.2, quy tắc tương ứng ϕ : G → G với ϕ ( x) = cấu G Cho a ∈ G a ≠ Khi rõ ràng ϕ (= a) x tự đồng p1 a ∉ 〈 a〉 , nên 〈 a〉 khơng nhóm p1 hồn tồn đặc trưng G Mặt khác, theo chứng minh phần trên, ta có 〈 a〉 iđêan tuyệt đối G Vậy G khơng nhóm afi  3.4 Bổ đề Cho G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã, χ1 , χ hai dãy đặc trưng tương đương Khi G ( χ1 ∩ χ )= G ( χ1 ) + G ( χ ) Chứng minh Cho g ∈ G ( χ1 ∩ χ ) Đặt= χ1 (k1 , k2 ,… ) = χ (l1 , l2 , … ) Vì χ1 χ tương đương nên tồn tồn hữu hạn giá trị i ∈ ¥ * cho ki ≠ li , vị trí ki , li ∈ ¢ Đặt m = ∏ piki n = ∏ pili Rõ ràng UCLN (m, n) = nên tồn u , v ∈ ¢ cho li < ki ki

li từ cách xây dựng m ta có piki∣m , nên ki ≤ hp (umg ) Vậy χ (umg ) ≥ χ1 hay (um) g ∈ G ( χ1 ) Chứng minh tương tự ta có i (vn) g ∈ G ( χ ) Vậy g = (um) g + (vn) g ∈ G ( χ1 ) + G ( χ ) , hay G ( χ1 ∩ χ ) ⊆ G ( χ1 ) + G ( χ ) Chiều ngược lại hiển nhiên χ1 , χ ≥ χ1 ∩ χ Vậy G ( χ1 ∩ χ )= G ( χ1 ) + G ( χ )  3.5 Định lý (Iđêan tuyệt đối chính) Cho G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng lũy đẳng {ei }i∈I sở G cho G = ⊕Rei χ (ei ) lũy i∈I đẳng Cho = g r1e1 +…+ rn en ∈ G Khi đó, 〈 g= 〉 AI n rG ∑= i =1 i G ( χ ( g )) Chứng minh n Khi a = r1a1 + L + rn an với a1 ,…, an ∈ G Vì χ (ei ) lũy đẳng Cho a ∈ ∑ rG i i =1 t (ai ) = t (ei ) với i ∈1, n nên χ (ei ) χ= (e1 ) χ (ei ) ≤ χ (ai ) Do đó, tồn vành (G, ×) G 13 cho ei × e1 = với i ∈1, n ei × e j = trường hợp lại Khi ta có n n  n  g ×= e1  ∑ ri ei  ×= e1 ∑ ri (ei × = e1 ) ∑ r= a Suy a ∈ 〈 g 〉 × ⊆ 〈 g 〉 AI Do i = i =i  i 1=  n ∑ rG ⊆ 〈 g 〉 i i =1 AI Vì G ( χ ( g )) iđêan tuyệt đối G chứa g , nên 〈 g 〉 AI ⊆ G ( χ ( g )) Vì = g r1e1 +…+ rn en ∈ G n χ ( g ) = I χ (ri ei ) Từ Bổ đề 3.4 ta suy nên i =1 n n ∑ G( χ (r e )) = G ( χ ( g )) G= (I χ (ri ei )) i i i =1 i =1 Hiển nhiên với a ∈ G , χ (a) ≥ χ (ri ei ) Do ri∣a hay a ∈ rG i n G ( χ ( g )) ⊆ ∑ rG i i =1 Vậy 〈 g= 〉 AI n rG ∑= i =1 i G ( χ ( g ))  Định lý 3.5 cho thấy iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã nhóm hồn tồn đặc trưng Do đó, từ Định lý 1.3 ta có kết sau 3.6 Hệ Nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng lũy đẳng nhóm afi  3.7 Định lý Nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng lũy đẳng nhóm RAI Chứng minh Nếu G hạng 1, biểu diễn G dạng G = Re với χ (e) lũy đẳng Khi χ (e) χ (e) = χ (e) nên tồn vành (G, ×) e × e = e Cho g= re ∈ G a ∈ rG Khi tồn b= se ∈ G cho a = rb Khi a= r ( se)= re × se= g × b ∈ 〈 g 〉 × Vậy rG ⊆ 〈 g 〉 × Chiều ngược lại hiển nhiên rG iđêan (G, ×) chứa g Do G nhóm RAI Nếu G có hạng ≥ 2, G biểu diễn dạng G = ⊕Rei với ei phần tử i∈I có với χ (ei ) lũy đẳng Khi ta xây dựng phép nhân G sau: ei × ei = ei × e j = ei i ≠ j 14 Trước hết ta chứng minh 〈ei 〉 × =G với i ∈ I Cho = a r1e1 +…+ rn en ∈ G Cho rα (eα ×= ei ) (rα eα ) × ei ∈ 〈 ei 〉 × Trường hợp α = i , G có hạng ≥ α ∈1, n Nếu α ≠ i r= α eα nên tồn β ≠ α I , rα eα = rα ei= rα ei × eβ = ei × (rα eβ ) ∈ 〈ei 〉 × Vậy = a r1e1 +…+ rn en ∈ 〈 ei 〉 × , 〈 ei 〉 × =G với i ∈ I Cho = g s1e1 +…+ sn en Từ cách xây dựng phép nhân × trên, ta có g1 s1e1 +…+ sn −1en −1 ∈ 〈 g 〉 × sn en= g − g1 ∈ 〈 g 〉× Chứng minh g ×= en s1e1 +…+ sn −1en −1 , nên = tương tự ta có sn −1en −1 ,…, s1e1 ∈ 〈 g 〉 × Suy n ta có n ∑ 〈 si ei 〉× =∑ siG Suy =i =i n n ∑ 〈s e 〉 ∑ siG ⊆ 〈 g 〉× Mặt khác, i =1 ⊆ 〈 g 〉 × Theo chứng minh i i × i =1 n ∑sG i =1 i n n i =1 i =1 nhóm hồn tồn đặc trưng, iđêan (G, ×) g ∈ ∑ si G Vậy 〈 g 〉 × =∑ si G iđêan tuyệt đối G Vậy theo Định lý 1.3 ta có G nhóm RAI 15  KẾT LUẬN Đề tài đưa mô tả vành nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã Đối với lớp nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng nhất, mơ tả ideal tuyệt đối sinh phần tử bất kỳ, từ chứng minh hai kết sau - nhóm Abel G khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng ln nhóm RAI, - nhóm Abel G khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng nhóm afi hai trường hợp: G có dạng lũy đẳng G có dạng khơng lũy đẳng khơng chứa ∞ Lớp nhóm Abel hồn tồn phân rã đồng lớp nhóm đơn giản so với lớp nhóm Abel hồn tồn phân rã nói riêng nhóm Abel khơng xoắn nói chung Với số lớp nhóm lớn nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã mà tập dạng lũy đẳng đơi so sánh được, dự kiến đạt kết tương tự Với trường hợp tổng qt nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã, tốn trở nên phức tạp Tuy nhiên phân loại lớp nhóm lớp nhóm cách hiệu dựa tập dạng hạng tử trực tiếp, việc mở rộng kết hoàn toàn khả thi 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Beaumont R.A., Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups Duke Math J., 1948, Vol.15, pp 367 - 369 [2] Fried E., On the subgroups of Abelian groups that are ideals in every ring, Proc Colloq Abelian Groups, Budapest, 1964, pp 51-55 [3] Fuchs L., Infinite Abelian groups, Vol.2, Academic Press, New York and London, 1973 [4] Kompantseva E I., Fomin A A., Absolute ideals of almost completely decomposable abelian groups, Chebyshevskii Sb., 2015, Volume 16, Issue 4, pp 200–211 [5] McLean K.R., The additive ideals of a p-ring, J London Math Soc., 1975, V.2, pp 523-529 [6] Thuy, P.T.T., Torsion Abelian RAI-Groups, J Math Sci, 2014, Vol 197, Issue 5, pp 658–678 [7] Thuy, P.T.T., Torsion Abelian afi-Groups, J Math Sci, 2014, Vol 197, Issue 5, pp 679–683 17 ... mơ tả iđêan tuyệt đối cấu trúc nhóm RAI, afi lớp nhóm Abel khơng xoắn CÁCH TIẾP CẬN Việc nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm RAI, nhóm afi lớp nhóm khơng xoắn nhóm có cấu trúc nhất: nhóm khơng xoắn. .. lớp nhóm xoắn Nghiên cứu iđêan tuyệt đối nhóm RAI, nhóm afi nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã sở cần thiết để có nhìn tổng qt tốn lớp nhóm Abel khơng xoắn Kết nghiên cứu: Mô tả iđêan tuyệt đối nhóm. .. Nghiên cứu mô tả iđêan tuyệt đối cấu trúc nhóm RAI, afi nhóm Abel khơng xoắn rank lớp nhóm Abel khơng xoắn hồn tồn phân rã Tính sáng tạo: Các kết có idean tuyệt đối nhóm Abel, nhóm RAI, nhóm afi tập