Hàm tử tor trong phạm trù các nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Khang HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC NHÓM ABEL U N V N THẠC S TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Khang HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC NHÓM ABEL Chuyên ngành: s v t u ts Mã s : 60 46 01 04 U N V N THẠC S TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơ tên Trần Qu c K ang, ọc v ên k oa Toán c u ên ng n L t u t s Tô x n cam đoan uận văn t t ng ệp n k oa ọc t ực t ân tô , t ực s v cơng trìn ng ên cứu ện dướ ướng dẫn TS Trần Huyên Các thông tin tham k ảo đề t n t u n ập từ n ững nguồn đáng t n cậ , k ểm c ứng, công b rộng rã v tô tr c dẵn rõ r ng mục t c n tô t ực ệu t am k ảo Các k t ng ên cứu uận văn n ện ng êm túc, trung t ực v k ông trùng ặp vớ đề t k ác Tô x n ấ dan dự v u t n t ân để đảm bảo c o cam đoan n Học viên thực Trần Quốc Khang LỜI CẢM ƠN ể o nt n tận tìn uận văn n ướng dẫn, g ảng d u ện t trường tô x n c ân t n cảm ơn T ầ Cô su t trìn ọc tập, ng ên cứu v rèn ọc Sư p m TPHCM Có uận văn tót ng ệp n , bên c n nỗ ực t ân, tô n ận g úp đỡ n ều từ t ầ P ịng Sau b ệt Học v đặc g úp đỡ TS Trần Hu ên Tô x n gử cảm ơn c ân t n v sâu sắc tớ t ầ , ngườ g ảng d tô từ bậc ọc v trực t p ướng dẫn, c ỉ bảo c o tô n ững k n t ức mặt c u ên môn t ét t ực Mặc dù có n ều c gắng để t ực n ưng k ỏ n ững t nc ện đề t o n c ỉn n ất mặt k n t ức v k n ng ệm nên k ơng t ể trán u sót n ất địn m t ân c ưa t ấ Tơ mong góp ý q T ầ , Cô để uận văn o n c ỉn ơn Tô x n gử cảm ơn đ n quý T ầ , Cô Hộ đồng Bảo vệ Luận văn T c sĩ đóng góp ý k n, đưa n ững n ận xét v đán g để uận văn o n t ện Tô x n c ân t n cảm ơn! Học viên thực Trần Quốc Khang MỤC LỤC Lờ cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .1 Chƣơng D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH §1 Một vài khái niệm k t lý thuy t môđun v đ i s đồng đ ều §2 Phép giải x ảnh môđun §3 Xây dựng hàm tử xoắn nhờ phép giải x ảnh .13 §4 Các k t hàm tử Torn ph m trù nhóm Abel 20 Chƣơng D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC NH M ABE NHỜ CÁC BỘ BA 23 §1 Tính khớp phải t c tenxơ 23 §2 Xây dựng nhóm abel Top  G, A 26 §3 Sự tương đương hàm tử Top với hàm tử Tor ph m trù nhóm abel 39 KẾT LU N 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Các m tử Tor ng n Toán ọc t ể ện n ững công cụ quan trọng n ều ện đ : m tử Tor n s , ìn ọc v G ả t c V ệc ng ên cứu p m trù k ác n au Toán ọc n ững xu ướng ng ên cứu n k ác n au mỗ p m trù m Toán ọc Do n ững đặc t ù m tử Tor có n ững t n c ất r êng b ệt bên ngo v có n ững t n c ất c ung Mục đ n c n đề t đưa các xâ dựng p m trù n óm Abe : Xem xét t n c ất m tử Tor p m trù n óm Abe , c ứng tỏ các xâ dựng p m trù n óm Abe m tử Tor m tử Tor tương đương vớ n au uận văn gồm chƣơng Chƣơng 1: ây dựng hàm tử Tor phạm trù Module phép giải xạ ảnh - Xây dựng p ép g ả x ản modu e v địn ng ĩa Tor n dẫn xuất - m tử Tensor ưa s t n c ất m tử Tor p m trù nhóm Abel Chƣơng 2: ây dựng hàm tử Top phạm trù nhóm Abel nhờ ba - Xâ dựng n óm Abe Top  G, A vớ G , A n óm Ae c o trước n ba - Xét t n c ất m tử Top  G, A - Sự tương đương trù nhóm Abel m tử Top vớ m tử Tor p m Chƣơng D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ MODU E B NG PH P GIẢI Ạ ẢNH §1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun đại số đồng điều 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Môđun xạ ảnh 1.1.1.1 Định nghĩa Môđun P môđun x ảnh n u hàm tử Hom  P;  hàm tử khớp 1.1.1.2 Định nghĩa môđun x ảnh n u với toàn cấu  : B  C , mỗ đồng Môđun P gọ cấu f : P  C , tồn t i đồng cấu  : P  B cho f   1.1.1.3 Định lý Mỗ môđun tự F mơđun x ảnh 1.1.1.4 Tính chất Tổng trực ti p họ môđun P   Pi x ảnh mỗ môđun t n iI phần Pi x ảnh 1.1.1.5 Định lý i với mỗ môđun P, phát biểu sau i P tương đương môđun x ảnh   ii Mỗi dãy khớp  A  B  P  chẻ iii P đẳng cấu với h ng tử trực ti p mơđun tự 1.1.2 Tích tenxơ hai môđun 1.1.2.1 Định nghĩa Cho X R R Y môđun p ải trái vành hệ tử R T c tenxơ môđun X Y nhóm abel mà ta ký hiệu X  Y , cho có ánh x song n tính  : X  Y  X  Y có tính chất với ánh x song n tính  : X  Y  G tồn t i đồng cấu f : X  Y  G thỏa   f 1.1.2.2 Tích tenxơ tổng trực tiếp Cho họ  X t tI họ R – môđun p ải Yk kK họ R – môđun trá K ta có:  X     Y   t tI kK k  t ,k I K  X t  Yk  1.1.2.3 Tích tenxơ hai đồng cấu Cho f : X  X ' , g : Y  Y ' lần ượt R - môđun p ải trái Ký hiệu đồng cấu h  f  g t c tenxơ a đồng cấu f g cho bởi:  f  g  x  y   f  x   g  y  , x  y  X  Y 1.1.2.4 Tính chất N u 1X : X R  X R' 1Y :R Y  R Y ' 1X  1Y : X  Y  X ' Y ' đồng cấu đồng đồng cấu đồng 1.1.2.5 Tính chất f f' g g' N u A  B  C X  Y  Z lần ượt đồng cấu R - môđun p ải trái  f ' f    g ' g    f ' g ' f  g  1.1.2.6 Tính chất N u f , f1 , f : X  X ' đồng cấu R – môđun p ải g , g1 , g : Y  Y ' đồng cấu R – môđun trá K ta có:  f1  f2   g  f1  g  f  g f   g1  g   f  g1  f  g 1.1.2.7 Định lý Cho A R – môđun p ải dãy khớp R – môđun trá   E :  X Y  Z  t ì dã sau k ớp   A  X  A  Y  A  Z  Hơn nữa, n u dãy E khớp chẻ dãy sau khớp    A  X  A Y  A  Z  1.1.2.8 Một số tính chất tích tenxơ i ii iii A B  B  A B B n BB nB 1.1.3 Phức hợp đồng điều Cho R vành tùy ý, phức hợp dây chuyền K R môđun Kn , nn ọ gồm R – môđun K n R – đồng cấu  n : K n  K n1 cho theo tất s nguyên n,   n   ơn  n n1  đ ều kiện tương đương với Im  n1  ker  n N phức hợp K dãy vô tận hai đầu K:  K 2  K 1  K  K1  t c a đồng cấu n i ti p Phức K gọ dương n u K n  n  1.1.3.1 Đồng điều ồng đ ều H n  K  họ môđun Hn  K   ker n Im n1  ker  Kn  Kn1  n1Kn1 ẳng thức Hn  K   n u dãy K khớp t i K n Chu trình n – chiều phức K phần tử môđun Cn  K   ker n , phần tử  n 1K n 1 t ì gọi bờ n – chiều K H n  Cn K n1 môđun t ương môđun c u trìn t eo mơđun bờ Lớp ghép chu trình c H n kí hiệu clsc 1.1.3.2 Biến đổi dây chuyền Cho hai phức hợp K v K’, b n đổi dây chuyền f : K  K ' họ đồng cấu f n : K n  K n'  n cho 'n fn  fn1n với mọ n ều kiện n ng ĩa b ểu đồ sau giao hoán: n K:  fn 1 K ': ể giản tiện ơn k  n 1  K n1  K n  K n1   fn  fn 1  K n' 1 ' K n'  K n' 1  ' n  n 1 v t, ta không dùng s n  n dấu phẩy  'n 1.1.3.3 Đồng luân dây chuyền C o b n đổ dâ c u ền f , g : K  K ' từ p ức K  Kn , n tớ p ức K '  K n' ,  'n  ồng uân dâ c u ền g ữa a b n đổ dâ c u ền f , g đồng cấu sn : K n  K n' 1 , n  n u t ỏa 'n1sn  sn1n  fn  gn K ta v t s : f g Với ánh x  fn *  Hn  f  : Hn  K   Hn  K ' cho  f n *  c  Kn1   f n  c   Kn' 1, n  đồng cấu 1.1.3.4 Định lý ọ 29 2.2.2.1 Định lý Với nhóm cyclic G  g  có cấp q, tồn t đẳng cấu  : qA  Top  G, A a   a   g0 , q, a  (2.2.5) với qA  a  A | qa  0  A Chứng minh i  đồng cấu Lấy a1 , a2  A , ta có   a1  a2   g0 , q, a1  a2  g0 , q, a1    g0 , q, a2    a1     a2  ii  đẳng cấu Ta xây dựng đồng cấu ngược  : Top G, A  qA Lấy  g0k , m, a Top G, A  với ma  g km  G hay km  0mod  q   n  : km  nq  n  km q Ta có  g k , m, a  g , km, a  g , nq, a  g , q, na  Tớ đâ ta đ n ng ĩa  : Top  G, A  qA  g0 k , m, a  km a q  km  km Do q  a  qA a   kma  k  mb   hay q q   Ta kiểm tra  bảo toàn hệ thức (2.2.1) đ n (2.2.4) 30  2.2.1    g0k1  g0k2 , m, a     k1  k2  m a  k1m a  k2m a q q q     g k1 , m, a       g k2 , m, a   với  g0ki  m   ma  2.2.2     g0k , m, a1  a2    km km km  a1  a2   a1  a2 q q q     g k , m, a1       g k , m, a2   với g km   mai  2.2.3    g0k , mn, a    kmn  km  n a    g km, n, a  a   với q q g kmn   na  2.2.4    g0k , mn, a    kmn km a  na      g0k , m, na   với q q a0 km   mnb Nên  đồng cấu Hơn nữa, a  qA ta có   a      g0 , q, a    1.q aa q    1qA Tương tự   g0k , m, a Top G, A ta có  km  a   g0k , m, a   q     g0k , m, a         1TopG , A Vậy   đồng cấu ngược nên  đẳng cấu Khi c địn n óm c c c G t ì đẳng cấu  tự n ên t eo A n ưng p ụ thuộc vào việc chọn phần tử sinh G 31 2.2.2.2 Định lý C o n óm abe A xem n qA  a  A | qa  0 , ta có  mơđun, q  đẳng cấu Top  q , A  qA Chứng minh Xét ánh x  : qA  Top  q , A cho   a    q , q, a  , ta kiểm tra t n đồng cấu  a,b  qA :   a  b    q , q, a  b   q , q, a     q , q, B     a    b  ể chứng minh  đẳng cấu, ta xây dựng ánh x ngược  : Top  Lấy phần tử sinh  r  q , m, a  Top  r  q m   q q , A   qA q , A  với  rm  q  t  : rm  qt  t  rm  q  r  q , m, a   q , rm, a   q , qt , a  rm   q , q, ta   q , q, a  q Từ án x  xác định    r  q , m, a    rm a q Ta dễ dàng kiểm tra  bảo toàn hệ thức (2.2.1) đ n (2.2.4) (2.2.1)    r  q  r ' q , m, a       r  r ' q , m, a   32   r  r ' m a  rm a  r ' m a q q q     r  q , m, a       r ' q , m, a   (2.2.2)    r  q , m, a1  a2     rm  a1  a2  v rm rm a1  a2     r  q , m, a1       r  q , m, a2   q q (2.2.3)    r  q , mn, a    rmn a    r  q q (2.2.4)    r  q , mn, a    rmn rm a na     r  q , m, na   q q Do   m, n, a   đồng cấu Hơn nữa,   r  q , m, a  Top  q , A  rm  rm a    q , q, a  q  q     r  q , m, a        q , rm, a  r  q , m, a     1Top q ,A  Tương tự, a  qA ta có   a       q , q, a    1.q aa q    1qA Vậy  : qA  Top  q , A đẳng cấu 2.2.2.3 Định lý C oA n óm abe v xem n  môđun, đặt   A  a  A | r  \ 0 :  0là tập hợp tất phần tử xoắn A 33 Top   , A    A Chứng minh Xét ánh x  :   A   Top cho   a    ,A   , r , a  với r cấp a r Vớ địn ng ĩa t ì  rõ ràng ánh x , ta kiểm tra t n đồng cấu  a, b   A , a có cấp r b có cấp s, giả sử a  b có cấp t, ta có rs  a  b   s    r  sb    rs t  rs  kt 1 s r  , r , a     , s, b  r s rs rs 1   , rs, a     , rs, b   , rs, a  b  rs rs rs 1   , kt , a  b   , t , a  b    a  b  kt t   a     b    , r , a     , s, b  Do  đẳng cấu ể chứng minh  đẳng cấu ta xây dựng ánh x ngược  : Top Lấy phần tử sinh  u    m   v    u  , m, a  Top v   , A    A   , A với um  q v u 1  , m, a   , um, a   , vq, a  v v v 1 um   , v, qa   , v, a v v v 34 Từ  xác định  u  v       , m, a    um a v Vớ địn ng ĩa t ì  ánh x khơng phụ thuộc vào cách biểu diễn phần tử môđun t ương Ta kiểm tra  bảo toàn hệ thức (2.2.1) đ n (2.2.4)  u    u'   u u'  (2.2.1)           , m, a         , m, a     v'   v v'   v  um u 'm  uv ' u ' v   uv ' u ' v  m    , m, a    a a a vv ' vv ' v v'    u   u'       , m, a        , m, a    v   v'   u  um (2.2.2)     , m, a1  a2     a1  a2   v  v  um um  u   u  a1  a2      , m, a1        , m, a2   v v  v   v   u   u  umn  a        m, n, a   (2.2.3)     , mn, a    v  v    v  um  u  umn  u  a na      , m, na   (2.2.4)     , mn, a    v v  v   v  Do  đồng cấu   1.r aa Hơn nữa, a   A :   a       , r , a     r  r    1  A Tương tự ta k ểm tra được:   Top nên  :   A   Top  ,A  đẳng cấu  A  35 Ta thấy tích xoắn sinh tính khơng khớp  Ta đ đ n định lý sau: 2.2.2.4 Định lý   N u E :  X Y  Z  dãy khớp nhóm abel với nhóm abel G, ta có dãy khớp: * * E* 1G  1G   Top  G, X  Top  G,Y  Top G, Z  G  X  G  Y  G  Z  (2.2.6) Các ánh x n cảm sinh  , E* xác định E*  g, m, z  k  g , m, z  (2.2.7) k  g , m, z   g  x  ker 1G    với mg   mz x phần tử thuộc X thỏa   x   my   y   z Chứng minh Hiển nhiên, E* đồng cấu địn ng ĩa E*  g , m, z  k  g , m, z  thỏa đồng thức tử (2.1.1) đ n (2.1.4) đề cập c ương II §1 Do E*  g , m, z  k  g , m, z   ker 1G    nên Im E*  ker 1G    Ta dễ dàng kiểm tra Im  *  ker E* Ta chứng minh bao hàm thức ngược l i Ta để chứng m n ta cần chứng m n trường hợp G hữu h n s n Cụ thể, ta chứng minh ker 1G     Im E* n Lấy u   gi  xi  G  X xác định với hữu h n phần tử thuộc G thỏa i 1 m  n  n 1G    u  1G      gi  xi    gi    xi     hi  yi i 1  i 1  i 1 (đẳng thức xác lập hữu h n phần tử sinh G  Y ) 36 Ta đặt G0  g1, g2 , , gn , h1, h2 , , hm phép nhúng i : G0  G n K u0   gi  xi phần tử G0  X  i 1X   u   u i 1 Ta có biểu đồ giao hốn * 1  E* Top  G0 , Z   G0  X  G0  Y i1X i* i1Y * E* Top  G, Z   G  X  G  Y giả thi t dòng khớp Xét biểu đồ phần tử * E* t0  u0  *  u0     t0  u   *  u  E* Vì Go chứa tất phẩn tử h j  G sử dụng để xác lập đẳng thức    1G0    u   *  u  v đẳng thức *  u0   G0  Y Suy u0  Im *  ker E*  t0 Top G0 , Z  : E* t0   u0 Do hình vng bên trái giao hốn nên ta có E*i* t0    i 1X  E* t0   i 1X  u0   u hay ker 1G     Im E* Vậy dãy khớp t i G  X Ti p theo G hữu h n sinh nên G tổng trực ti p nhóm cyclic Vì Top  bi n tổng trực ti p thành tổng trực ti p nên dãy (2.2.6) tổng trực ti p dã tương ứng với h ng tử cyclic G N u G tích xoắn dãy n i tớ đẳng cấu với dãy khớp ngắn E c o 37 N u G  a  nhóm cyclic hữu h n cấp q, dựa v o đẳng cấu b t Tor  , ta có biểu đồ giao hoán sau E*  Top  G, Y   Top  G, Z   G  X    qY    E# qZ  X qX  E# xác định theo quy tắc E#  z    1q 1z  qX Ta kiểm tra tính khớp dòng E#  qX  qY  qZ  X  qX Y qY Z qZ 0  Do dãy khớp E :  X Y  Z  nên dảy sau  qX  qY  qZ X qX Y qY Z qZ  k ớp N ta cần kiểm tra thêm tính khớp t i qZ X Ta kiểm tra t i X qX qX : Lấy z  qZ   1  z  Y  q 1  z   qY ,  E#  z      1q 1  z   qX   q 1  z   qY  qY hay Im E#  ker  Lấy x  qX  ker  :   x  qX     x   qY  qY  y Y :   x   qy    y   z  qZ qz  q  y     qy     x   E#  z    1q 1  z   qX   1qy  qX   1  x   qX  x  qX Do dã k ớp t i X qX Ti p theo tính khớp t i qZ : 38 Lấy y  qY   1  y   X   1  qy   q  1  y   qX , E#  y    1q 1  y   qX   1  qy   qX  qX hay Im   ker E# Lấy z  ker E#  qZ  E#  z   qX   1q 1z  qX  qX  x  X :  1 1 z  x    x   y  qY qy  q  x   q 1 1 z   1  qz      y     x    1 1z  z hay ker E#  Im  nên dã k ớp t i qZ Vì ánh x   khớp dòng đẳng cấu nên dòng khớp dẫn đ n tính 39 §3 Sự tƣơng đƣơng hàm tử Top với hàm tử Tor phạm trù nhóm abel Ta cách xây dựng Tor c ương I mà cụ thể ph m trù nhóm abel Tor1 mà ta vẵn kí hiệu Tor o n to n tương đương với hàm tử Top xây dựng nhờ vào ba c ương II 2.3.1 Định lý Với G R – môđun p ải A R – môđun trá , k Tor  G, A  Top  G, A Chứng minh   Lấy dãy khớp ngắn E :  K  F  A  vớ K, F môđun tự Theo k t c ương I ta có dãy khớp  Tor G, K   Tor G, F   Tor G, A  G  K  G  F  G  A  Theo k t c ương II ta có dãy khớp  Top G, K   Top G, F   Top G, A  G  K  G  F  G  A  Mà Tor  G, K   Tor G, F   Top  G, K   Top  G, F   K, F môđun tự do, từ ta có b ểu đồ sau *  Tor  G, A  G  K  G  F  G  A  0  Tor  G, A  G  K  G  F  G  A  * Do dòng khớp nên Tor  G, A  ker *  Top  G, A 40 2.3.2 Định lý Các đ ều kiện sau c o n óm G tương đương (i) G khơng có phần tử cấp hữu h n ngồi (ii) Tor  G, A  với nhóm abel A (iii) N u  :XY đơn cấu 1G   : G  X  G  Y đơn cấu (iv) Bất kỳ dãy khớp ngắn n o bảo tồn tính khớp k tenxơ với G Chứng minh i   ii  : G khơng có phần tử cấp hữu h n Xét phần tử sinh  g , m, a Tor  G, A thỏa gm   ma Suy g   m   g , m, a   Tor G, A  ii   i  : Hiển nhiên ii   iii  : Vớ đơn cấu  : X  Y ta có dãy khớp ngắn sau  p  X Y  Y p p ép c Im  0 u tự nhiên Áp dụng định lý 8, ta có dãy khớp dài *  p*  Tor  G, X   Tor  G, Y  Tor G, Y E* 1G   1G  p G  X  G  Y  G  Y Im   Im   0  Theo giả thi t (ii) Tor  G, X   Tor  G, Y   Tor G, Y Im   nên dãy trở thành 41 1G   1G  p  G  X  G Y  G  Y hay 1G   Im  0 đơn cấu iii   iv  : Cho G R – môđun p ải dãy khớp ngắn   E :  X Y  Z  Do 1G : G  G  : X  Y đơn cấu nên theo giả thi t (iii) 1G   : G  X  G  Y đơn cấu với tích tenxơ c u ển dãy khớp E thành dãy khớp phải nên ta dãy khớp 1G   1G   G  X  G Y  G  Z  iv   ii  : Cho G R – môđun p K A  F R vớ F ải A R – môđun trá môđun tự do, cho ta dãy khớp i   RF  A  Áp dụng định lý 8, ta có dãy khớp dài * i*  Tor  G, R   Tor  G, F   Tor  G , A  E* 1G i 1G  G  R  G  F  G  A  Suy ker 1G  i   Im E* Theo giả thi t ( v), ta có dã sau a k ớp 1G i 1G  0GR GF  G A0 Từ ta ker 1G  i   hay Tor  G, A  42 KẾT LU N Trong luận văn n , tơ trìn b a xâ dựng hoàn toàn khác hàm tử Tor, xét ph m trù n óm Abe , tô c ứng m n s tính chất đặc trưng hàm tử Tor ph m trù N ưng dù với cách xây dựng n o, c úng có n ững tính chất tương tự n au ặc biệt, c úng tô c ứng m n tương đương hai cách xây dựng hoàn toàn tự nhiên 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Saunders Mac Lane (1975), Homology, Springer Baer, R (1940), Abelian Group that Are Direct Summands of Every Containing Abelian Group, Bull AMS 46 Eilenberg, S (1955), On the Homology Theory of Abelian Groups, Can J Math Whitney, H (1938), Tensor Products of Abelian Groups, Duke Math Freyd, P (1960), Functor Theory, Dissertation, Princeton University ... Sự tƣơng đƣơng hàm tử Top với hàm tử Tor phạm trù nhóm abel Ta cách xây dựng Tor c ương I mà cụ thể ph m trù nhóm abel Tor1 mà ta vẵn kí hiệu Tor o n to n tương đương với hàm tử Top xây dựng... .13 §4 Các k t hàm tử Torn ph m trù nhóm Abel 20 Chƣơng D NG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC NH M ABE NHỜ CÁC BỘ BA 23 §1 Tính khớp phải t c tenxơ 23 §2 Xây dựng nhóm abel Top... BỘ BA Trong c ương I ta để ý hàm tử Tor pham trù nhóm abel cần xem xét Tor1 Trong c ương n , ta tìm cách xây dựng khác hàm tử Tor1 nhờ nhóm sinh ba từ đán g t n k ông k ớp bên trái hàm tử tenxơ