Hàm tử EXT trong phạm trù ABEN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN THỊ THANH HÀ HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ ABEN Chuyên ngành Mã số : Đại số lý thuyết số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên , xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người tận tình hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập tìm tòi tài liệu cho việc nghiên cứu Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô, bạn đồng nghiệp, ban lãnh đạo trường Đại học Giao Thông –Vận Tải, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Tấn T.S Phan Dân giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Vì kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong bảo chân thành thầy, cô bạn MỞ ĐẦU Trong Homology, việc tính toán cụ thể phần tử, Saunders MacLane xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun Bây ta thay phạm trù modun phạm trù aben, phạm trù mà phương diện xem mở rộng đến cấp độ “phạm trù”ø phạm trù aben liệu ta xây dựng hàm tử Ext hay không ? Với ý tưởng này, cố gắng phân tích , đánh giá đường chứng minh MacLane góc độ phạm trù tìm cách nâng kết lên cho phạm trù aben Qua đó, xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben mục đích luận văn Bố cục luận văn chia thành chương  Chương : Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu số khái niệm lý thuyết phạm trù liên quan đến đề tài lấy phạm trù modun làm minh họa cho khái niệm nêu Đồng thời trình bày cách khái quát đường xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben  Chương : Phạm trù aben Mục đích chương nghiên cứu phạm trù aben số tính chất cần dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext Trong chương xây dựng lại khái niệm phạm trù aben từ từ thông qua kiểu phạm trù: phạm trù cộng tính  phạm trù tiền aben  phạm trù aben, qua thấy rõ phạm trù aben mở rộng theo cấp độ “phạm trù” phạm trù modun  Chương : Xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben Dựa vào cách xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun thiết lập đường hoàn toàn tương tự để xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben Đó : phân lớp dãy khớp ngắn, xây dựng tích dãy khớp ngắn cấu xạ, cấu trúc nhóm aben cho Ext(C,A) cuối xây dựng hàm tử Ext CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.KHÁI NIỆM VỀ PHẠM TRÙ Phần ta nhắc lại số khái niệm phạm trù tính chất có liên quan đến đề tài 1.1.1 Khái niệm phạm trù : Một phạm trù P cấu thành lớp đối tượng mà ta gọi hình thức vật, cho cặp thứ tự vật ( A, B) xác định tập hợp ứng với MorP ( A, B ) cấu xạ có nguồn A đích B , đồng thời với ba có thứ tự vật ( A, B, C ) , luật hợp thành xác định cho cấu xạ MorP ( A, B ) MorP ( B, C ) , cụ thể với cặp cấu xạ ( ,  )  MorP ( A, B )  MorP ( B, C ) xác định tích    MorP ( A, C ) Ngoài điều kiện sau cần thoả mãn:  PT1: Nếu hai cặp vật ( A, B) ( A' , B ' ) khác hai tập hợp cấu xạ MorP ( A, B ) vaø MorP ( A' , B ' ) laø rời  PT2: Đối với ba cấu xaï ( ,  ,  )  MorP ( A, B )  MorP ( B, C )  MorP (C , D) luật hợp thành có tính chất kết hợp, tức  (  )  ( )  PT3: Tồn cấu xạ đồng 1A cho vật A , cấu xạ mà với   MorP ( A, B ) ,   MorP (C , A) ta có 1A   1A    Ví dụ có: - Phạm trù Ens tập hợp mà vật tâïp hợp, cấu xạ ánh xạ luật hợp thành cấu xạ luật hợp thành ánh xạ - Phạm trù Gr nhóm mà vật nhóm, cấu xạ đồøng cấu nhóm phép hợp thành phép lấy tích đồng cấu - Phạm trù Ab nhóm giao hoán mà vật nhóm giao hoán, cấu xạ đồng nhóm 1.1.2 Nguyên tắc đối ngẫu : Phạm trù đối (hay đối ngẫu) phạm trù A phạm trù A*,có vật A cho MorA*(A, B) = MorA(B, A) với cặp vật ( A, B) hợp thành A* xác định g * f *  ( fg ) * ( f * cấu xạ f xét A*) Ta kiểm tra lại dễ dàng tiên đề PT1, PT2, PT3 phạm trù Rõ ràng (A*)*= A nên với khái niệm định nghóa cho phạm trù có khái niệm đối ngẫu, tức khái niệm xét phạm trù đối ngẫu với Cũng thế, mêïnh đề p chứng minh phạm trù A dựa vào tiên đề phạm trù có mệnh đề đối ngẫu p* phạm trù A* Trong thực tế, để chuyển từ khái niệm hay mệnh đề qua đối ngẫu đảo ngược tất mũi tên liên quan tới khái niệm hay mệnh đề 1.1.3 Đẳng xạ : Cấu xạ  : A  B gọi đẳng xạ tồn cấu xạ  : B  A cho   A vaø   1B Dễ thấy cấu xạ  định nghóa đẳng xạ Ta gọi cấu xạ ngược cấu xạ  viết    1 Hai vật A, B phạm trù P gọi hai vật tương đương có đẳng xạ   : A  B Khi ta kí hiệu  : A  B hay A  B 1.1.4 Đơn xạ : Cấu xạ f : A  B gọi đơn xạ với cặp cấu xạ  ,  có đích A , đẳng thức f  f kéo theo    Mệnh đề 1.1.4 i) Nếu f , g đơn xạ gf (nếu xác định) đơn xạ ii) Nếu gf đơn xạ f đơn xạ Chứng minh : i) Giả sử f , g đơn xạ Gọi  ,  cặp cấu xạ thoả ( gf )  ( gf )  Do tính chất đơn xạ f g ta tức khắc suy    Vậy gf đơn xạ ii) Giả sử gf đơn xạ Gọi  ,  cặp cấu xạ thoả f  f Khi ta có ( gf )  ( gf )  , mà gf đơn xạ nên    Vậy f đơn xạ ª Ta có đối ngẫu với khái niệm đơn xạ khái niệm toàn xạ : 1.1.4* Toàn xạ : Một cấu xạ f : A  B gọi toàn xạ với cặp  ,  có nguồn B , đẳng thức f   f kéo theo    Mệnh đề 1.1.4* i) Nếu f , g toàn xạ gf (nếu xác định) toàn xạ ii) Nếu gf toàn xạ g toàn xạ Chứng mịnh : Bằng phép lấy đối ngẫu việc chứng minh mệnh đề 1.1.4, ta dễ dàng kiểm tra tính đắn mệnh đề 1.1.4* ª 1.1.5 Song xạ : Một cấu xạï gọi song xạ vừa đơn xạ vừa toàn xạ Mệnh đề 1.1.5 Một đẳng xạ song xạ Chứng minh : Giả sử f : A  B đẳng xạ Khi tồn cấu xạ f 1 : B  A thoaû ff 1  1B , f 1 f  1A Goïi  , 1 cặp cấu xạ thoả f  f Suy f 1 ( f )  f 1 ( f1 ) hay   1 Điều chứng tỏ f đơn xạ Gọi  ,  cặp cấu xạ thoả  f   f Suy ( f ) f 1  (  f ) f 1 hay    Điều chứng tỏ tính chất toàn xạ f Vậy f song xạ ª 1.1.6 Vật : Vật A' gọi vật A tồn cấu xạ f : A'  A đơn xạ Khi f gọi cấu xạ nhúng A' vào A Nói chung có nhiều đơn xạ từ A' đến A nên nói A' vật A ta cần rõ theo cấu xạ nhúng Và để kí hiệu vật A' A theo cấu xạ nhúng f : A'  A ta sử dụng cặp ( A' , f ) Ta kí hiệu P(A) lớp tất vật A phạm trù P Trong lớp P(A) đưa vào quan hệ thứ tự tự nhiên sau: Vật ( A'1 , i1 ) xem đứng trước (hay nhỏ hơn) vật ( A' , i2 ) A tồn cấu xạ  : A'1  A' cho i1  i2  i  ( i1 : A'1   A'  A) Khi đó, ta viết A'1  A' i1  i Đôi ta viết A'1  A' hay A'  A'1 Ta ý rằng, i1 , i2 đơn xạ nên cấu xạ  đơn xạ 1.1.6* Vật thương : Vật A" gọi vật thương A tồn cấu xạ g : A  A" toàn xạ Khi g gọi cấu xạ chiếu A lên A" Cũng xảy tình hình tương tự vật con, vật A" đồng thời coi vật thương khác tuỳ theo cách chọn cấu xạ chiếu khác Vì để xác vật thương A" A theo cấu xạ chiếu g ta dùng cặp ( A", g ) để kí hiệu vật thương A" theo cấu xạ chiếu g : A  A" Ta kí hiệu Q(A) lớp tất vật thương A Tương tự P(A), ta đưa vào lớp Q(A) quan hệ thứ tự sau: Vật thương ( A"1 , j1 ) xem trước (hay nhỏ hơn) vật thương ( A"2 , j ) tồn cấu xạ  : A"2  A"1 maø j1  j j  ( j1 : A  A"2   A"1 ) 1.1.7 Vật phổ dụng : - Vật A gọi vật đầu phạm trù P tập Mor ( A, X ) có phần tử với vật X thuộc P - Vật B gọi vật cuối phạm trù P tập Mor ( X , B) có phần tử với vật X thuộc P - Các vật đầu, vật cuối gọi chung vật phổ dụng phạm trù P Mệnh đề 1.1.7 Các vật đầu (vật cuối ) phạm trù P, có, tương đương Chứng minh : Gọi A, A' hai vật đầu phạm trù P Theo định nghóa vật đầu, ta có : Mor ( A, A)  A , Mor ( A' , A' )  A' , Mor ( A, A' )   : A  A', Mor ( A' , A)   : A'  A Khi   1A ,  1A' Điều chứng tỏ A A' hai vật đương đương Tính tương đương vật cuối phạm trù P chứng minh hoàn toàn tương tự ª 1.1.8 Vật không, cấu xạ không : - Một vật gọi vật không phạm trù P vừa vật đầu, vừa vật cuối phạm trù P kí hiệu O - Một cấu xạ phân tích qua vật không gọi cấu xạ không Trong phạm trù có vật không, với cặp vật ( A, B) có cấu xạ A  O cấu xạ O  B , hợp thành chúng cấu xạ không từ A đến B , kí hiệu 0AB ( hay không sợ nhầm lẫn) Từ định nghóa vật không cấu xạ không, ta dễ dàng kiểm tra kết sau : Mệnh đề 1.1.8.1 Trong phạm trù có vật không, cấu xạ O  A đơn xạ cấu xạ A  O toàn xạ Mệnh đề 1.1.8.2 Nếu hai cấu xạ cấu xạ không hợp thành chúng, có, cấu xạ không Các khái niệm dẫn xuất khái niệm vật không phạm trù khái niệm hạt nhân đối hạt nhân cấu xạ Để xây dựng khái niệm hạt nhân cấu xạ f A  B phạm trù có vật không C, trước hết ta xây dựng phạm trù Cf sau: - u A C thoã mãn điều kiện fu  Vật cấu xạ H  -  u v Cấu xạ từ vật H  A tới H '   A cấu xạ H  H ' C cho v  u Vật cuối phạm trù f Cf , có, gọi hạt nhân cấu xạ A  B Cụ thể f ta có định nghóa hạt nhân cấu xạ A  B sau: 1.1.9 Hạt nhân f Hạt nhân cấu xạ A  B cặp ( K , i ) , i : K  A cho: i) fi   u ii) Với cấu xạ H  A mà fu  tồn cấu xạ H  K cho u  i Hạt nhân cấu xạ f kí hiệu Kerf Từ định nghóa hạt nhân tính vật phổ dụng phạm trù, tức khắc suy rằng, hạt nhân cấu xạ f , có, tương đương Hơn ta có: Mệnh đề 1.1.9.1 f i  A hạt nhân cấu xạ A  B i đơn xạ Nếu K  Chứng minh : Cho u, v : K '  K với iu  iv Ta cần chứng minh u  v Đặt g  iu  iv Khi ta có fg  nên tính phổ dụng Kerf  ( K , i ) , tồn  K thoả g  i Do tính  nên u  v   cấu xạ K '  Vậy i đơn xạ ª Mệnh đề 1.1.9.2 Nếu f đơn xạ Ker f  Chứng minh: f Giả sử A  B đơn xạ Ta có : O  A  B  Giả sử K  A  B  Theo định nghóa vật O, tồn cấu xạ K  O thoả K  O  A  Khi K  A  B  K  O  A  B  Ta lại có f A  B đơn xạ nên K  A  K  O  A Vậy Kerf  ª Mệnh đề 1.1.9.3 Nếu g đơn xạ Ker f  Ker gf Chứng minh :  Giả sử u : K  A hạt nhân cấu xạ f Ta cần chứng minh u : K  A hạt nhân gf Ta có : gfu  g  Giả sử u': K '  A cấu xạ thoả gfu '  Khi fu ' (do g đơn xạ) Ngoài ra, u : K  A hạt nhân f nên tồn cấu xạ : K '  K thoả u'  u Điều chứng tỏ u : K  A hạt nhân gf Định nghóa 3.2.4 Cho   E :O  A  B  C  O  £(C,A) cấu xạ  : A  A' Dãy khớp ngắn ' ' E ': O  A'  B '  C  O gọi tích bên trái E với  tồn cấu xạ T  ( ,  ,1C ) : E  E ' Tức ta có biểu đồ sau giao hoán:   E : O  A  B  C O    1C  ' E ': O  A'  B '  C O Tích bên trái E với  ký hiệu E Vậy E '  E Mệnh đề 3.2.5 Cho E  £(C,A) cấu xạ  : A  A' Khi luôn tồn (chính xác tới toàn đẳng) E ' £(C,A’) thoả E '  E Chứng minh:  Sự tồn E ' : Để rõ tồn E ' ta cần bổ sung vào dấu “?” cấu xạ vật hợp lý để biểu đồ sau giao hoán với dòng khớp :   E : O  A  B  C O  ? ?  1C ? E ': O  A'   ?   C  O  A  B Do phạm trù xét phạm trù aben nên theo mệnh đề 2.3.10*, biểu đồ  A  B nâng lên thành buông sau     Hơn hình vuông ' A'  B'  A'  A B    giao hoán  A'   C 0   '  ' nên theo tính chất buông tồn cấu xạ  ' : B '  C thoaû  Do ta có    '  biểu đồ giao hoaùn sau :   E :O  A  B  CO     (I)  1C ' ' E ' : O  A'  B '  C O ' ' Ta kieåm tra E ': O   A'  B'  C  O dãy khớp Thật vậy: Do hình vuông (I) buông mà  đơn xạ nên  ' đơn xạ (mệnh đề 2.3.15*) 0   '  ' Mặt khác  ': B'  C cấu xạ thoả     '    Co ker  nên theo mệnh đề (2.3.12*) ta coù  '  Co ker ' Vậy E ' dãy khớp  Sự E ' : Giả sử tồn E" thoả biểu đồ giao hoán sau :   E : O  A  B  C O    "  1C ( II ) " " E": O  A'  B"  C O Ta caàn chứng minh E"  E ' Do hình vuông (II) giao hoán nên theo tính chất buông hình vuông (I) biểu đồ  "   '   "   '  ' tồn cấu xạ  ': B'  B" thoả  (1) Ta chứng minh hình vuông (2) (III) (IV) biểu đồ sau giao hoaùn :   E : O  A  B  C O  (I )   1C ' ' E ': O  A'  B '  C O  A' ( III )   ' ( IV ) " 1 C " E": O  A'  B"  C  O Từ (2) ta có hình vuông (III) giao hoán Ngoài  "  '  '   "  "  maø  '  Co ker  ' nên tồn cấu xạ u : C  C thoả  "  '  u ' Do  "  '   u '    "  "  u    u Suy u  1C (  toàn xạ ) Vaäy  "  '   ' hay (IV) giao hoán Vậy ta chứng minh tồn cấu xạ T  (1A' ,  ' ,1C ) : E '  E" neân E"  E ' ª Mệnh đề 3.2.6 Cấu xạ T  ( ,  ,1) có tính chất phổ dụng Tức cấu xạ T1  (1 ,  ,  ) : E  E1 (với (1,  ',  )  ,  ,1) E    ) phân tích cách qua T dạng : E ( E   Chứng minh : Giả sử E1  ( 1 ,  ) , E  (  ,  ) Ta có biểu đồ giao hoaùn sau :   E : O  A  B  CO  T1  (I)   1   1 E1 : O  A1  B1  C1  O Theo mệnh đề 3.2.4, E '  E cho ta biểu đồ sau giao hoaùn:   E : O  A  B  CO  ( II )  ' 1 C ' E  E ' : O  A1  B'  C  O với hình vuông (II) buông Do hình vuông (I) giao hoán nên tồn cấu xạ 1   '  (1) Khi ta có biểu đồ sau giao hoaùn :  1   '  ' ( 2)  ': B '  B1 thoaû    E : O  A  B  C O    1C ' ' B '  C O E : O  A1   A ( III )   ' ( IV )   1 1 E1 : O  A1  B1  C1  O Thaät vaäy : Từ (2) ta có hình vuông (III) giao hoán Mặt khác   '  '   1  , maø  '  Co ker  ' nên tồn cấu xạ u : C  C1 thoả   '  u ' Khi   '   u '    1  u   1  u  u   (  toàn xạ ) Do ñoù   '   1 ' Điều chứng tỏ hình vuông (IV) giao hoán T (1,  ', ) ( ,  ,1) Vậy ta có phân tích T1  ( ,  ,  ) : E   E    E1 với    ª Mệnh đề 3.2.7 Với cặp cấu xạ  : A  A'  : C '  C dãy khớp ngắn E  £ (C , A) , ta có (E )   ( E ) Chứng minh: Từ định nghóa tích bên trái tích bên phải dãy khớp ngắn với cấu xạ, ta có cấu xạ T1  (1A , 1 ,  ) : E  E cấu xạ T2  ( ,  ,1C ) : E  E Goïi T  T2 T1  ( ,  1 ,  ) : E  E Theo mệnh đề 3.2.3, cấu xạ T phân tích dạng : (1 ,  ,  ) ( ,  ',1 ) A ' E C' E   (E )  Tuy nhiên ( ,  ' ,1C ' ) lại cấu xạ dùng để xây dựng dãy khớp ngắn  ( E ) từ E Vì ta có (E )   ( E ) ª Mệnh đề 3.2.8 Cho E  £ (C , A) E ' £ (C ' , A' ) Khi cấu xạ T  ( ,  ,  ) : E  E ' cho ta toàn đẳng E  E '  Chứng minh : Cấu xạ T : E  E ' cho ta biểu đồ giao hoán sau :   E : O  A  B  C O T    ' ' E ': O  A'  B '  C' O Theo mệnh đề 3.2.6, cấu xạ T phân tích dạng : T  ( ,  , ) T (1 ,  ,  ) o C   E ' A'  E    E  Tuy nhiên cấu xạ T1  (1A' ,  ,  ) lại cấu xạ xác định E '  từ E ' Do E  E '  ª Mệnh đề 3.2.9 Neáu E1  £ (C1 , A1 ) , E £ (C , A2 ) vaø  : A1  A'1 ,  : A2  A' : (   )( E1  E )   E1   E Chứng minh : Ta xây dựng  E1  E từ E1 E sau :    1 E1 : O  A1  B1  C1  O  1  1 1 ' ,  1C  2 E : O  A2  B2  C2  O 1 '  E : O  A1 '  B1 '  C1  O  2  2  1C 2 ' 2'  E : O  A2 '  B2 '  C  O Để kiểm tra đắn mệnh đề ta cần chứng minh biểu đồ sau giao hoán:       B  B   2 C  C  O E1  E : O  A1  A2    2  1    1   1 '  '  1C  C 1 '  '  E   E : O  A1 ' A2 '    B1 ' B2 '    C1  C  O Ta coù : ( 1 '  ' )(   )  (  ' 1   ' )  ( 1 1    )  (1   )( 1   ) ( ' ' )( 1   )  ( ' 1   '  )     Vaäy (   )( E1  E )   E1   E ª Mệnh đề 3.2.10 Nếu E1  £ (C1 , A1 ) , E £ (C2 , A2 ) vaø  : C '1  C1 ,  : C '2  C2 : ( E1  E )(   )  E1  E  Chứng minh : Chứng minh hoàn toàn tương tự với mệnh đề 3.2.9 Mêïnh đề 3.2.11 Cho E £ (C , A) Khi đó: i)  A E  ( E  E ) C ii) E C   A ( E  E ) Chứng minh : i) Theo hệ 2.1.2.4 , ta có ba ( A ,  B ,  C ) làm biểu đồ sau giao hoán :    E :O  A    B  A  B C O  C   E  E : O  A  A   B  B   C  C  O Do dó theo mệnh đề 3.2.8, ta có  A E  ( E  E ) C ii) Theo hệ 2.1.2.4, ta có ba ( A ,  B ,  C ) laøm giao hoán biểu đồ sau :   E  E : O  A  A   B  B   C  C  O  A E :O  A  B    B  C    Theo mệnh đề 3.2.8, ta coù E C   A ( E  E ) C O ª Định nghóa 3.2.12   Ta nói dãy khớp ngắn O  A  B  C  O tự phân rã toàn đẳng với dãy khớp ngắn i p :O  A  A  C  C O Mệnh đề 3.2.13 Với dãy khớp ngắn E  (  ,  ) , tích E E tự phân rã Chứng minh :   Giả sử E  (  ,  ) : O  A  B  C O  Chứng minh E tự phân rã : Do tính phổ dụng cặp phép chiếu ( p1 , p ) xác định tích trực tiếp B  C cặp cấu xạ (1B ,  ) nên tồn cấu xạ  : B  B  C thoaû   p   1B  p1  đồ sau :   E : O  A  B  CO  (I ) i  1 ( II ) C p E ': O  B   B  C  C Từ (1) ta có hình vuông (II) giao hoán ( (i1 , i2 ) cặp cấu xạ nhúng ) (1) (2 ) Ta xét biểu Từ (2) ta có i11B   i1 p1  Mặt khác i2 p   i2  neân   (i1 p1  i2 p )   (i1 p1   i2 p  )  i1 p1   i1  Do hình vuông (I) giao hoán Như ta chứng minh biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E '  E mà E ' phân rã nên E phân rã  Chứng minh E phân rã : Do tính phổ dụng cặp phép nhúng ( j1 , j ) xác định tổng trực tiếp A  B cặp cấu xạ (  ,1B ) nên tồn cấu xạ  : A  B  B thoaû     j1  1B   j (3) ( 4) Ta xét biểu đồ sau : j  E": O  A  A  B  BO 1 A ( III )   ( IV ) ( ( ,  ) cặp cấu xạ chieáu )   E : O  A  B  CO Từ (3) ta có hình vuông (III) giao hoán Từ (4) suy  1B    j 2 Ngoaøi  j1    neân    ( j1  j 2 )  j1  j2  j2   Do    hay hình vuông (IV) giao hoán Như ta chứng minh biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E"  E mà E" phân rã neõn E phaõn raừ ê Đ3.CAU TRUC NHOM ABEL CHO EXT(C,A) Định nghóa 3.3.1 (phép cộng Berơ) Cho E1 , E  £ (C , A) Tổng E1 E , kí hiệu E1  E , dãy khớp ngắn cho công thức : E1  E   A ( E1  E ) C Mệnh đề 3.3.2 Cho dãy khớp ngắn E1  E  E '1  E ' E1 , E , E1 ' , E ' £ (C, A) với E1  E , E '1  E ' Khi Chứng minh : Để chứng minh mệnh đề ta cần dùng đến bổ đề sau : Bổ đề 3.3.3 Nếu E1  E , E '1  E ' E1  E  E '1  E ' Chứng minh bổ đề 3.3.3: Giả sử E1  E , E '1  E ' nhờ biểu đồ sau giao hoán :    1 E1 : O  A  B1  C O  1A   ' ,  1C  ' 1 E1 ': O  A  B1 '  C O  2 E2 : O  A  B1  C O  1A   '  1C  ' 2 E2 ': O  A  B1 '  C O Ta cần chứng minh biểu đồ sau giao hoaùn :       B  B   2C  C  O E1  E : O  A  A     A A    '  '  1C  C  ' '   B ' B '   C  C  O E1 ' E ' : O  A  A    Ta coù : (    )( 1   )  (      )  (  '  ' ) ( ' ' )( 1   )  ( '  1  '  )     Vậy biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E1  E  E '1  E ' ª Ta quay trở lại việc chứng minh mệnh đề 3.3.2 : Theo bổ đề ta coù E1  E  E '1  E ' Kết hợp với bảo đảm tính toàn đẳng nhân dãy khớp ngắn với cấu xạ suy E1  E  E '1  E '2 ª Như phép cộng đưa đảm bảo mối quan hệ toàn đẳng Nhờ ta xây dựng phép cộng cho Ext (C , A) sau : Định nghóa 3.3.4 Cho E1 , E  Ext (C , A) Lớp chứa mở rộng E1  E gọi tổng E1 E2 hay E1  E  E1  E Mệnh đề 3.3.2 cho ta định nghóa tốt hay nói cách khác tổng E1  E không phụ thuộc vào mở rộng đại diện E1  E Trong trường hợp không sợ nhầm lẫn, ta viết E1  E thay cho E1  E2 Mệnh đề 3.3.5 Cho E1 , E  Ext (C , A) ,  : A  A' ,  : C '  C Khi ñoù:  ( E1  E )  E1  E ( E1  E )  E1  E  Chứng minh :  ( E1  E2 )   A ( E1  E ) C   A' (   )(E1  E ) C   A' (E1  E ) C  E1  E ( E1  E )   A ( E1 E )  C    A ( E1  E )(   ) C '   A ( E1  E  )  C '  E1  E  Định lý 3.3.6 Tập Ext (C , A) với phép cộng định nghóa lập thành nhóm giao hoán Chứng minh : Ta chứng minh Ext (C , A) với phép cộng thỏa mãn tiên đề nhóm giao hoán :  Phần tử trung hoà phép cộng : lớp toàn đẳng với dãy khớp ngắn tự phân rã i p E0 :O  A   A  C  C  O Thật : Lấy E  Ext (C , A) Xét biểu đồ sau:   E: O A   B   CO v 0 i1  1C với v  i 2 p2 Eo : O  A   A  C  C  O Ta coù :  p v  p i 2   Vậy biểu đồ sau giao hoán  v  i2  Theo mệnh đề 3.2.8, suy ra: A E  Eo 1C  E o Do ñoù E  Eo  E  A E  1A E  A E  (1A  A ) E  1A E  E Vaäy Eo phần tử trung lập Ext (C , A)  Phần tử đối E  Ext (C , A) : lớp toàn đẳng với (1 A ) E Thaät vaäy : E  (1A E )  1A E  (1 A ) E  1A  (1 A )E  A E  Eo  Tính kết hợp : Lấy E1 , E , E  Ext (C , A) Theo meänh đề 2.1.3, ta có :  A  A  A  A   A  A  A  A  A Do theo mệnh đề 2.3.8 tức khắc ta suy ( E1  E )  E3  E1  ( E  E3 ) Khi : ( E1  E )  E3   A ( E1  E ) C  E3   A  A ( E1  E ) C  E3  C   A  A ( E1  E ) C  (1 A.E3 1C ) C   A ( A  1A )( E1  E )  E3 ( C  1C ) C   A (1A   A )E1  ( E  E3 )(1C   C ) C   A E1   A ( E  E3 ) C  C   A E1  ( E  E3 ) C  E1  ( E  E3 ) Vaäy phép cộng có tính kết hợp  Tính giao hoán :     2 1 B1  C O Laáy E1  O  A  B1  C  O , E  O  A  Ta biết rằng, phạm trù nói chung tổng trực tiếp hai vật B1 , B2 xác định không kể đến thứ tự B1 , B2 Nói cách khác hai vật B1  B2 B2  B1 ta xem một, có đồng cấu xạ   1 cấu xạ 1   , cấu xạ       Điều chứng tỏ E1  E  E  E1 Vì theo định nghóa phép cộng Ext (C , A) ta coù E1  E  E  E1 hay phép cộng có tính giao hoán Vậy Ext (C , A) với phép cộng định nghóa nhóm giao hoán ª Mệnh đề 1.3.26 Cho đồng cấu  : A  A' ,  : C '  C Khi quy tắc :  * : Ext (C , A)  Ext (C , A' ) , E  E  * : Ext (C , A)  Ext (C ' , A) E  E đồng cấu nhóm Chứng minh : Ta coù :  * ( E1  E )   ( E1  E2 )  E1  E   * ( E1 )   * ( E ) (mệnh đề 3.3.4)  * ( E1  E )  ( E1  E2 )  E1  E 2   * ( E1 )   * ( E ) (mệnh đề 3.3.4)ª Đến ta nâng số kết phạm trù modun lên cho phạm trù aben Ta kết thúc luận văn việc xây dựng hàm tử biến Ext (C ; ) Ext ( ; A) phạm trù aben §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ ABEN Định nghóa 3.4.1 Cho C vật cố định phạm trù aben, hàm tử Ext (C; ) hàm tử từ phạm trù aben đến phạm trù nhóm giao hoán xây dựng cách cho tương ứng:  Mỗi vật A với nhóm Ext (C , A)  Mỗi cấu xạ  : A  A' với cấu xạ  * : Ext (C , A)  Ext (C , A' ) Meänh đề 3.4.2 Hàm tử Ext(C;-) hàm tử hiệp biến , tức thoả mãn hai tính chất :  1A *  1Ext (C , A)   1 *   * 1 * Chứng minh :  HT1: E  Ext (C , A) , ta coù : A* ( E )  A.E  E Suy : 1A *  1Ext ( C , A)  HT2:   Cho cấu xạ A  A1  A2 Ta coù : E  Ext (C , A) , (  )* ( E )  (  ) E   ( E )   2* (1 E )   2* 1* ( E ) Suy :   *   *  * ª Định nghóa 3.4.3 Cho A vật cố định phạm trù aben, hàm tử Ext ( ; A) hàm tử từ phạm trù aben đến phạm trù nhóm giao hoán đựơc xây dựng cách cho tương ứng:  Mỗi vật C với nhóm Ext (C , A)  Mỗi cấu xạ  : C '  C với cấu xạ  * : Ext (C , A)  Ext (C ' , A) Mệnh đề 3.4.4 Hàm tử Ext(-, A) hàm tử phản biến, tức thoả mãn hai tính chất :  HT1: 1C *  1Ext (C , A)  HT2:   *   1*  * Chứng minh :  HT1: * E  Ext (C , A) , ta coù : 1C ( E )  E.1C  E Suy : 1C *  1Ext ( C , A)  HT2:   Cho cấu xạ : C  C1  C Ta coù : * * * E  Ext (C , A) , (  ) * ( E )  E (  )  ( E )   ( E )    ( E ) Suy :   *   1*  * ª KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù aben cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau : Phạm trù aben phạm trù có ảnh đối ảnh xác đinh công thức: Im f  Ker (Co ker f ), Coim f  Co ker( Ker f ) Do mà phạm trù aben có tồn dãy khớp Phạm trù aben phạm trù có níu buông Níu buông phạm trù aben có số tính chất quan trọng dùng cho việc xây dựng tích dãy khớp ngắn với cấu xạ, nhờ xây dựng phép cộng Berơ phạm trù aben Đó : Mệnh đề 2.3.13 Trong phạm trù aben, cho biểu đồ bên giao hoán: p2 A2 P v p1 f2 A1 K B u f1 Nếu hình vuông níu, u  Ker f v : K  P cấu xạ vào níu cảm sinh cặp (u,0 KA ) v  Ker p2 Mệnh đề 2.3.13* Trong phạm trù aben, cho biểu đồ giao hoán : u A1 B f2 f1 K q1 A2v f vaø v : Q  K cấu xạ cảm sinh cặp Nếu hình vuông buông, u  Co ker Q (u , A K ) v  Co kerqq2 Mệnh đề 2.3.14 p P  A2 Trong phạm trù aben , cho biểu đồ níu   p1 f2 Khi f1 toàn xạ p f A1  A toàn xạ Mệnh đề 2.3.14* f B  A1 Trong phạm trù aben, cho biểu đồ buông   q1 Khi f2 f1 đơn xạ q q A2  Q đơn xạ Tập Ext(C,A) gồm lớp toàn đẳng dãy khớp ngắn có dạng O  A    C  O phạm trù aben với phép cộng Berơ hình thành nên nhóm giao hoán Với A C vật cố định phạm trù aben hàm tử Ext(C;-) hàm tử hiệp biến hàm tử Ext(-;A) hàm tử phản biến từ phạm trù aben vào phạm trù nhóm giao hoán TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bary Mitchell (1981), Lý thuyết phạm tru ø, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, Hà nội Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh Saunder MacLane (1975), Homology Cartan, H., Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton ...  phạm trù tiền aben  phạm trù aben, qua thấy rõ phạm trù aben mở rộng theo cấp độ ? ?phạm trù? ?? phạm trù modun  Chương : Xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben Dựa vào cách xây dựng hàm tử Ext phạm. .. tổng quát hoá phạm trù modun lên kiểu phạm trù - phạm trù aben Trong chương II ta tìm hiểu phạm trù aben qua khái niệm : phạm trù cộng tính  phạm trù tiền aben  phạm trù aben §1 PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH... Phạm trù aben Mục đích chương nghiên cứu phạm trù aben số tính chất cần dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext Trong chương xây dựng lại khái niệm phạm trù aben từ từ thông qua kiểu phạm trù: phạm trù