Xây dựng hàm tử tor trong phạm trù các môđun trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN VĂN XUÂN XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR TRONG PHẠM TRÙ CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC TP HCM-2003 LỜI CẢM TẠ Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ chúng tơi q trình học tập Đặc biệt xin bày tỏ lịng biết ơn thầy Tiến sĩ Trần Huyên, Người trực tiếp đề tài hướng dẫn suốt trình hồn thành luận văn LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TP HCM THẦY HƯỚNG DẪN: TS TRẦN HUYÊN THẦY PHẢN BIỆN 1: TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG THẦY PHẢN BIỆN 2: PGS TS MỴ VINH QUANG NGƯỜI THỰC HIỆN: TRẦN VĂN XUÂN LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM MỤC LỤC LỜI CẢM TẠ MỤC LỤC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR BANG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH CẮC DÃY NỬA KHỚP 14 1.1 Nhóm Abel Tor n (G, C) 14 1.1.1 Định nghĩa : 14 1.1.2 Quan hệ toàn đẳng Tor n (G,C): 14 1.1.3 Định lý: 15 1.1.4 Ánh xạ cảm sinh: 15 1.1.5 Tổng trực tiếp hai phần tử thuộc Tor n (G,C) 16 1.1.6 Phép cộng Tor n (G,C): 17 1.1.7 Tính chất kết hợp phép cộng: 17 1.1.8 Tính chất giao hốn phép cộng: 18 1.1.9 Phần tử không: 18 1.1.10 Phần tử đôi: 19 1.1.12 Định lý: 19 1.2 Một số trường hợp đặc biệt 20 1.2.1.Định lý: 20 1.2.2 Định lý: 21 1.2.3 Định lý: 25 1.3 Các hàm tử Tor n 26 1.3.1 Định lý : 26 1.3.2 Hàm tử Tor n 27 1.3.3 Tor n hàm tử cộng tính 27 1.3.4 Định lý: 28 1.3.5.Hệ quả: 28 1.4 Hai dãy khớp Tor n 29 1.4.1 Tích phần tử thuộc Tor n với dãy khớp ngắn 29 1.4.2 Định lý: 29 1.4.3 Định lý: 35 1.4.4 Định lý: 42 CHƯƠNG 2: CÁC HÀM TỬ TOR ĐỐI VỚI MƠ ĐUN TRÊN VÀNH CHÍNH 44 2.1 Hệ sinh Tor (G, C): 44 2.1.1 Định lý : 45 2.1.2 Hệ quả: 56 2.2 Tor mô đun hữu hạn sinh: 57 2.2.1.Định lý: 57 2.2.2 Định lý: 57 2.2.3 Định lý: 57 2.2.4 Định lý: 58 2.2.5 Hệ quả: 59 2.2.6 Định lý: 59 2.2.7 Định lý :Tor(𝑹𝑹/R,A) ≅ A t 62 2.3 Vài nhận xét 64 2.3.1 Dạng đặc biệt hai dãy khớp Tor : 64 2.3.2 Ví dụ: 67 SÁCH THAM KHẢO 70 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục nhắc lại khái niệm kết lý thuyết mô đun, việc chứng minh chúng tìm thấy sách tham khảo trang sau Đối với khái niệm mô đun, mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, đồng cấu mô đun, tổng trực tiếp mô đun, dãy khớp, hàm tử Hôm, hàm tử Ten xơ xem biết Ở nêu số kết sử dụng nhiều lần triển khai đề tài Mô đun đối ngẫu: Cho R - môđun trái A, ký hiệu A* = Hom R (A,R),trên A* ta xác định phép toán : ∀f,g ∈ A*, ∀a ∈ A (f + g)(a) = f(a) + g(a), ∀ £ A*, ∀r ∈ R, ∀a ∈ A (fr)(a) = f(a)r, Thế A* trở thành R-môđun phải gọi môđun đối ngẫu môđun A Tương tự, đối ngẫu R - môđun phải A lại R - môđun trái A* Mệnh đề: (A ⊕ B)* ≅ A* ⊕ B* Mệnh đề: Nếu L mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh a L* môđun xạ ảnh hữu hạn sinh b (L*)* = L** ≅ L c Đặc biệt: Nếu F môđun tự hữu hạn sinh với sở {ei }i =i ,n F* mơđun tự hữu hạn sinh với sở {e }i=1-n i với ei(e j ) = i = j i ≠ j Mệnh đề: Cho f:—>Y đồng cấu R-mô đun phải tự hữu hạn sinh , {e sở X , {ε j } j = 1, m sở Y f(e i ) = i } i=1-n m ∑ ε r , i = 1, n j =1 j ji Thì mơ đun đối ngẫu ta có f* : Y*-> X* cho = f * (e j ) m r e ,j ∑= i j =1 ji 1, m Phát biểu tương tự cho R-mô đun trái Phức hợp : Cho R vành có đơn vị Một phức hợp dây chuyền K R -môđun họ {K n , ∂ n } n∈Z gồm R - môđun R - đồng cấu ∂ n : K n —» K n-1 cho ∂ n ∂ n+1 = Như phức hợp (hay phức) K dãy vô tận hai đầu K : = Nếu r ≠ => g, c phần tử xoắn G C, giả sử g có cấp α, c có cấp β (a,β) = nên tồn α’,β’∈R để αα’ + ββ’ = 57 Khi ==+=+ =+=0 => Tor (G,C) = Vành R R - mơđun, Tor vành thương có nhiều tính chất đặc biệt Với q∈R, kí hiệu qR={qr \ r∈R} mơđun R, cho ta mơđun thương R/qR, với mơđun A ý, kí hiệu q A= {a∈A \ qa = 0} q A nhóm A Khi q = ta quy ước A = 2.2.4 Định lý: Tor (R/qR, A) ≅ q A Chứng minh : Đặt ξ : q A → Tor(R/qR,A) A ⟼ rõ ràng ξ đồng cấu nhóm Để chứng minh ẽ, đẳng cấu, ta xây dựng ánh xạ ngược η : Tor(R/qR,A) → q A sau : Với phần tứ sinh Tor(R/qR,A) s(r+qR) = 0+qR ⇒sr∈qR ⇒ sr = qt với t∈R - Nếu q = Tor (R, A) = A = nên η đồng cấu khơng - Nếu q ≠ rs/q = t∈R, thế: = Ta đặt η() = (rs/q)a Rõ ràng η xác định hợp lý Hơn η bảo toan đồng thức song cộng tính kết hợp phần tử sinh Tor (R/qR, A) η đồng cấu Mặt khác : ∀(r+qR,s,a)∈Tor(R/qR,A) Thì : ξ,η() = ξ((rs/q)a) = = ⇒ ξη = Tương tự ta có : ηξ = 58 Vậy ta có đẳng cấu cần chứng minh Nếu a∈ A có cấp r aR≅R/ = R/rR nên ta có : 2.2.5 Hệ quả: Nếu a∈A có cấp r thì: Tor(aR,A) = Tor(R/,A) ≅ r A Bây ta tính tốn Tor mơ đun hữu hạn sinh.Ta biết G, C hữu hạn sinh : m m i =1 j =1 G ≅ ⊕( R / α i R ) , C ≅ ⊕ ( R / β j R ) ,αi ,β j ∈R Khi đó: Tor (G, C ) ≅ ⊕ Tor ( R / α i R, R / β j R) (i , j ) Theo định lý 2.4 thì: Tor ( R / α i R, R / β j R) ≅αi ( R / β j R ) Vậy: Tor (G, C ) ≅ ⊕αi ( R / β j R) (i , j ) Tuy nhiên với trợ giúp tính ten xơ ta có kết mạnh 2.2.6 Định lý: Nêu G, C mơđun hữu hạn sinh thì: Tor(G,C) ≅ G⊗C Chứng minh : Với giả thiết : G ⊗ C ≅ ⊕ ( ( R / α i R ⊗ R / β j R) ) (i , j ) Mặt khác ta lại có : Bổ đề : Nếu α,β∈R và(α,β)=d (R/αR)⊗ (R/βR) ≅ R/dR Để chứng minh bổ đề ta cần xây dựng ánh xạ song tuyến tính τ : (R/αR)x(R/βR) → R/dR có tính chất phổ dụng ánh xạ song tuyến tính từ (R/αR)x(R/βR) → G Thật : xét τ : (R/αR)x(R/βR) → R/dR 59 (r�1 , r�2 ) ↦ r����� r2 Với 𝑟𝑟�1 = r +αR, 𝑟𝑟�2 = r +βR, ����� 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 = r r +dR ��� τ xác định hợp lý, (𝑟𝑟�1 , 𝑟𝑟�2 ) = (𝑟𝑟��� ′, 𝑟𝑟2 ′) thì: Rõ ràng τ song tuyến tính Bây giả sử ϕ: (R/αR)x(R/βR) → G ánh xạ song tuyến tính Đặt f : R/dR → G � q� ) q� ↦ φ(1, Thì f tuyến tính, ∀(r�1 , r�2 )∈(R/αR)x(R/βR) � �����) Thì fτ(r�1 , r�2 )=f(r�����) r2 = ϕ(1, r r2 = ϕ(r�1 , r�2 ) ⇒ fτ =ϕ Và f xác định f Vậy bố đề chứng minh Do tổng trực tiếp đẳng cấu đẳng cấu nên để chứng minh định lý ta cần chứng minh αi ( R / β j R) ≅ ( R / α i R) ⊗ ( R / βi R) Nhưng bổ đề ta cần chứng minh : αi ( R / β j R) ≅ R / dR, d = (α i β i ) Nói tóm lại ta cần chứng minh : Bổ đề : Nếu (α,β) = d α(R/βR) ≅ R/dR Chứng minh bổ đề : 60 i)Ta xây dựng ánh xạ η : R/dR → α (R/βR) q� ↦ (β/d) q� η xác định hợp lý, d = (α,β) ⇒ α= dα’, β = dβ’, (α’,β’) = ⇒ β β β =β' ∈ R ⇒ α q=αβ'q=α'βq = ⇒ q ∈ α (R/βR) d d d Hơn ⇒ ⇒ d=s ∈ R/dR ⇒ q-s=td,t ∈ R β β β β q- s= (q-s)= td=βt=0 R/βR d d d d ⇒ � ) = η(s̅ ) =>η(q � , s̅ ∈R/dR ii) η đồng cấu: ∀q η (q+s)= β β β (q + s)= q+ s=η (t)+η (s) d d d iii) η đơn cấu : Nếu η(q � ) = η(s̅ ) ⇒ β β β q - s) ⇒ (q-s)=βt,t ∈ R ⇒ q-s=td ⇒ q = s R/dR d d d iv) η toàn cấu : ∀q � ∈ α(R/βR) Xét phần tử s= d β q � ∈ α(R/βR) nên αq = βt, t∈R ⇒ α’q = β’t với (α’,β’) = 1⇒ q = β’k, k∈R Vì q s= d β q= d β 'k β = k ∈ R / dR 61 η (s)= Và d β s=q Vậy bổ đề chứng minh định lý 2.6 chứng minh hoàn toàn Bây ta chuyển sang xét vành R với tư cách miền nguyên, tồn �, rõ ràng R � R -môđun chứa môđun R cho trường thương R, kí hiệu R �/R Với mơ đun A, A t -tập phần tử xoắn A, nhóm ta mơđun thương R A � /R,A) ≅ At 2.2.7 Định lý :Tor(𝑹𝑹 �/R,A) Chứng minh : Giả sử phần tử sinh Tor(R rs rs ∈ R ⇒ =q∈ R t t Vì s 1 rs ⇒ + R, r , a = + R, rs, a = + R, t , a t t t t �/R,A) → A t Ta đặt ξ : Tor(R rs + R, r , a → a t t Dễ dàng chứng minh ξ, ánh xạ , không phụ thuộc vào cách biểu diễn phần tử mơ đun thương Hơn ξ, bảo tồn đồng thức song cơng tính kết hợp phần tử �/R,A) sinh Tor(R Thật : s   s'  ξ  + R  +  + R  , r, a t   t'  st '+ s ' t  s s' = ξ  +  + R, r , a = ξ + R, r , a t t ' tt '   62 r ( st '+ s ' t ) r ( st '+ s ' t ) = + R, tt ', ξ a = a tt ' tt ' tt ' = rs rs ' s s' a + a =ξ + R, r , a + ξ + R, r , a t t' t t' Hoàn toàn tương tự ta chứng minh *ξ s s s' + R, r , a + a ' = ξ + R, r , a + ξ + R, r ', a ' t t t' s s  ξ  + R  q, r , a + R, qr , a = t t  s s ξ + R, q, *ξ + R, qr , a = t t *ξ Vậy ξ đồng cấu Để chứng tỏ ξ đẳng cấu, ta xây dựng ánh xạ ngược �/R,A) η:A t → Tor(R a ↦ Trong r cấp a Rõ ràng η ánh xạ, η đồng cấu, giả sử b có cấp s ⇒η(b) = Cịn a+b có cấp t nên η(a+b) = Vì rs (a+b) = s(ra) + r(sb) = ⇒ rs = kt ⇒ 1 s r + R, r , a + + R, s, b = + R, r , a + + R, s, b r s rs rs 1 1 = + R, rs, a + + R, rs, b = + R, rs, a + b + + R, kt , a + b rs rs rs kt = + R, t , a + b t 63 Vậy η(a+b) = η(a) + η(b) s rs rs + R, r , a = η a = + R, m, a t t m t ηξ Và = s + R, r , a ⇒ η ξ =1 t Tương tự ξη = Nếu ký hiệu q  R p =  n + R, q ∈ R, n ∈ N  với p phần tử nguyên tố R, p  R p môđun R , với mơđun A đó, ký hiệu A(p) tập hợp phần tử a∈A có bậc lũy thừa p, phương pháp chứng minh tương tự ta có : Hệ qủa : Tor ( R p / R, A) ≅ A( p ) Cịn A mơđun xoắn hữu hạn sinh n A ≅ ⊕ A( pi ) , p i bất khả quy ∈R, nên ta i =1 có: Hệ 2: n Tor (⊕( Rpi / R), A) ≅ A i =1 2.3 Vài nhận xét 2.3.1 Dạng đặc biệt hai dãy khớp Tor : Trên vành chính,do Tor n =0(n>l),nên hai dãy khớp xét chương có dạng đặc biệt sau : a)Nếu E=(χ,σ) : A >→ B →> C dãy khớp ngắn mơđun, với mơđun G ta có dãy khớp : x* σ* E* → Tor (G, A) → Tor (G, B) → Tor (G, C ) → G ⊗ A → G ⊗ B → G ⊗ C → 64 b)Nếu E’=(λ,τ) : K>→ H →> G dãy khớp ngắn mơđun, với mơđun C ta có dãy khớp : λ* τ* E* ' → Tor ( K , C ) → Tor ( H , C ) → Tor (G, C ) → K ⊗ C → H ⊗ C → G ⊗ C → Hơn hai dãy khớp cịn biến dạng sau : Trước hết G = R/qR Tor(G,A) ≅ q A, Tor(G,B) ≅ q B, Tor(G,C) ≅ q C Mặt khác, ta có Bổ đề : A/qA ≅ (R/qR)⊗A Chứng minh bổ đề : Đặt η : A/qA → (R/qR)⊗A a+qA ⟼(l+qR)⊗a Thì η ánh xạ, a+qA = b+qA ⇒ a-b∈qA ⇒ a-b=qx, x∈A ⇒ (l+qR)⊗a - (l+qR)⊗b = (l+qR)⊗(a-b) =(l+qR)⊗qx = q(l+qR)⊗x = (0+qR)⊗x = ⇒ (l+qR)⊗a = (l+qR)⊗b ⇒ η(a+qA) = η(b+qA) Dễ dàng chứng minh η đồng cấu Để xây dựng ánh xạ ngược ta xét phần phần tử sinh : (r+qR)⊗a∈(R/qR)⊗A thì: (r+qR)⊗a = r(l+qR)⊗a = (l+qR)⊗ra Ta đặt :ξ: (R/qR)⊗A → A/qA (r+qR)⊗a ⟼ + qA Thế ξ thỏa đồng thức song cộng tính kết hợp tích tenxơ nên đồng cấu Và ηξ =1, ηξ [r+qR)⊗a] = η(ra+qA) = (l+qR)⊗ra = (r+qR)⊗a ηξ = vì: ηξ (a+qA) = ξ[(l+qR)⊗a] = a+qA 65 Như : A/qA = (R/qR)⊗A B/qB = (R/qR)⊗B C/qC = (R/qR)⊗C Khi dãy khớp định lý 4.4 trở thành dãy khớp mệnh đề sau : Hê 1; Dãy khớp ngắn E : A >→ B →> C cho dãy khớp sau với ∀q∈R : 0→ q A→ q B→ q C→A/qA→B/qB→C/qC→0 Dĩ nhiên dãy khớp hồn tồn chứng minh cách độc lập cách dựa vào tính chất mơđun Một kết khác suy từ dãy khớp 3.1 : Hệ : Trên vành R, môđun G dẹt G môđun không xoắn Chứng minh : Nếu G không xoắn ⇒ Tor(G,C) = 0, với dãy khớp ngắn 0→ A → B → C → , dãy khớp 3.1 trở thành → G⊗A → G⊗B → G⊗C → Vậy G môđun dẹt Ngược lại : Để chứng minh G không xoắn, ta chứng minh G khơng có phần tử có bậc hữu hạn trừ Thật : ∀q≠0∈R, thì: q R ≅ Tor(R/qR,G) Nhưng G dẹt nên Tor(R/ q R,G) = ⇒ q G = 0⇒G không xoắn Hệ : Nếu G t , C t theo thứ tự môđun xoắn G C Tor(G,C) ≅ Tor(G t ,C t ) Chứng minh : Giả sử G t môđun xoắn G G/G t khơng xoắn, giả sử a+G t ≠ 0+G t ⇒ a∈G t ⇒ a phần tử xoắn r(a+G t )=ra + G t =0 => ra∈G⇒ = ⇒r = 66 Ta có dãy khớp G t >→ G →> G/G t nên dẫn tới có dãy khớp → Tor(G,C t ) → Tor(G t ,C t ) → Tor(G/G t ,G) G/G t khơng xoắn nên Tor(G/G t ,C) = ⇒ Tor(G t ,C t ) = Tor(G,C t ) (1) Tương tự từ dãy khớp C t >→ C →> C/C t ⇒ Tor(G t ,C t ) ≅ Tor(G,C t ) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Như vậy, tính chất đặc biệt mơđun vành R, nghiên cứu hàm tử Tor thơng qua khái niệm phần tử sinh mà không cần sử dụng phức xạ ảnh hữu hạn sinh Từ vấn đề đặt R vành nghiên cứu hàm tử Tor theo đường khơng? Vì dụ sau coi câu trả lời phủ định 2.3.2 Ví dụ: Xét vành đa thức Q[x], Q trường số hữu tỷ Q[x] xem Z[x] -môđun Ta biết Z[x] miền ngun khơng phải vành Trên Q[x] ta xét hai đa thức bất khả qui sau : X2+3 x2+2, Iđêan < x2 +3>, coi Z[x] - mơđun Q[x] Ta có dãy khớp ngắn : x σ E : →< x + > → Q[ x] → Q[ x]/ < x + → với χ nhúng, σ chiếu Với môđun thương Q[x]/< x2+3> ta gọi T(Q[x]/, Q[x]/) tập hợp tất ba Với g� (x) = g(x) + , h� (x) = h(x) + Sao cho : g� (x).r(x) = = r(x) h� (x) Xét dãy : E* T (Q[ x]/ < x + >, Q[ x]/ < x + >)  → 1⊗ x → (Q[ x]/ < x + > ⊗ < x + >) → (Q[ x]/ < x + >) ⊗ Q[ x] 67 Ta chứng minh dãy không khớp Thật : i) T(Q[x]/, Q[x]/) = , vì: ∀∈T(Q[x]/ Q[x]/ (g� (x), t(x)(x2+2)) ⟼ g� (x)t(x)(x2+2) = g(x)t(x)(x2+2)+ Thì f ánh xạ song tuyến tính f ≠ 0, : f(l+, x2+2) = (x2+2)+ ≠ 0� Khi tính chất phổ dụng ánh xạ tenxơ τ : (Q[x]/)x) → (Q[x]/)⊗) tồn đồng cấu ω : (Q[x]/)⊗)→ Q[x]/ để f = ωτ Mà f ≠0 ⇒ ω≠0 ⇒ (Q[x]/)⊗≠0 iii) 1⊗x không đơn cấu : Xét phần tử sinh : t = (l+)⊗(x2+2)∈(Q[x]/)(x)(x2+2) t≠0 Nhưng (l⊗χ)(t) = (l+)⊗(x2+2)= (1+ < x2 + > ⊗ x2 +3 x2 +3 (x + 2)= =(x2 + 3)(1+)⊗ x2 +2 x +2 =0� ⊗ =0 x2 +3 x +3 68 Vậy dãy không khớp 69 SÁCH THAM KHẢO Ngô Thúc Lanh - Đại số - Nhà xuất Giáo dục - 1985 Sze-Tsen Hu - Nhập môn đại số đồng điều - Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp - 1973 Maclane - Homology - New York - 1963 SergeLang - Đại số - Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp - 1974 ( Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ dịch ) H - Cartan and s Eilenberg - Homological Algebra – Princeton University Press - 1956 70 ... 0←G⊗C←H⊗C←K⊗C? ?Tor( G,C)← τ* λ* E '* ← Torn−1 (G, C ) ←  Torn−1 ( H , C ) ←  Torn−1 ( K , C ) ← Torn (G, C ) ← 43 CHƯƠNG 2: CÁC HÀM TỬ TOR ĐỐI VỚI MÔ ĐUN TRÊN VÀNH CHÍNH Trong chương ta... hàm tử Tor n (-,C) : Mod R → Ab G → Tor n (G,C) ↓η ↓η* G’ → Tor n (G’,C) Tương ứng thỏa tiên đề hàm tử hiệp biến Tương tự, cố định G, ta có hàm tử hiệp biến : Tor n (G,-) : R Mod → Ab 1.3.3 Torn... Tính chất cộng tính hàm tử Tor n giúp ta tính tốn Tor n tổng trực tiếp hai mô đun mệnh đề sau: 27 1.3.4 Định lý: Tor( G,C ⊕C ) ≅ Tor( G,C )? ?Tor( G,C ) Tor( G1 ⊕G ,C) ≅ Tor( G ,C)? ?Tor( G ,C) R Chứng minh