Nhóm abel hữu hạn sinh và nhóm abel hữu hạn đối sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC ———————o0o——————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH VÀ NHÓM ABEL HỮU HẠN ĐỐI SINH Chuyên ngành: Đại số Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 05 năm 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH VÀ NHÓM ABEL HỮU HẠN ĐỐI SINH Chuyên ngành: Đại số Giảng viên hướng dẫn: Tiến sĩ Phạm Thị Thu Thủy Sinh viên thực hiện: Lê Quang Trường Lớp: K44ToanSPA Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 05 năm 2022 Lời nói đầu Trong lĩnh vực khác Đại số Lý thuyết nhóm, Lý thuyết vành trường, Lý thuyết mơđun, Lý thuyết nhóm lĩnh vực nghiên cứu đặc trưng nhóm Những tiếp cận ban đầu kết liên quan đến nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm Abel, Ở khía cạnh đó, Lý thuyết nhóm xem lý thuyết trung tâm đại số trừu tượng, cấu trúc đại số khác vành, trường mơđun xem xét nhóm với tính chất tiên đề bổ sung Trong đó, Lý thuyết nhóm Abel phân nhánh quan trọng Lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng đại số đại Lý thuyết nhóm Abel nghiên cứu nhóm giao hốn, độc lập với lý thuyết nhóm nói chung ý tưởng, phương pháp có chút tương đồng trường hợp nhóm khơng giao hốn Theo Fuchs “Có lí để tin rằng, khơng có điều kiện khác nhóm, mà có tính định đến cấu trúc nhóm, tính giao hốn” Việc nghiên cứu lý thuyết nhóm Abel, theo Fuchs có hai lí chính: thứ nhất, “vẻ đẹp” kết liên quan đến cấu trúc đại số; thứ hai, động nghiên cứu lý thuyết Modulo có nhiều lĩnh vực Tốn học khác sử dụng rộng rãi lý thuyết nhóm Abel Nhóm Abel hữu hạn sinh đề tài dành nhiều quan tâm nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm hình học Lý thuyết nhóm hình học lĩnh vực nghiên cứu mối liên hệ tính chất Đại số nhóm hữu hạn sinh với tính chất Topo - Hình học khơng gian mà trang bị tác động nhóm Năm 1870, L Kronecker chứng minh Định lý nhóm Abel hữu hạn, khơng phát biểu thuật ngữ lý thuyết nhóm đại Định lý phát biểu chứng minh ngôn ngữ lý thuyết nhóm F G Frobenius L Stickelberger vào năm 1878 Định lý nhóm Abel hữu hạn sinh chứng minh H J S Smith năm 1861 H Poincaré năm 1900 Chứng minh L Kronecker tổng quát hóa cho nhóm Abel hữu hạn sinh E Noether năm 1926 Đề tài khóa luận “Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh” nghiên cứu tính chất hai lớp nhóm Abel nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Khóa luận tốt nghiệp bao gồm bốn chương Trong đó, chương hệ thống lại kiến thức nhóm đồng cấu nhóm giới thiệu hai học phần Các cấu trúc đại số Lý thuyết nhóm nâng cao Ngồi ra, để thuận tiện cho việc tìm hiểu chương tiếp theo, chúng tơi cịn trang bị thêm số kiến thức lớp nhóm Abel quan trọng nhóm Abel tự do, nhóm Abel chia được, nhóm rút gọn Chương chương trình bày kết nghiên cứu nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Chúng tơi cố gắng đưa nhiều kết thấy đối ngẫu chúng Đó kết liên quan đến định lý cấu trúc, tính chất liên quan đến nhóm con, nhóm thương, Cuối cùng, dành riêng chương để bàn nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian Xuất phát từ việc nghiên cứu tự tồn cấu nhóm Abel hữu hạn sinh tự đơn cấu nhóm Abel hữu hạn đối sinh, lý để chúng tơi tìm hiểu nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian Từ đó, mà có kết quan trọng liên quan đến nhóm Abel hữu hạn sinh, nhóm Abel hữu hạn đối sinh với nhóm Hopfian, nhóm đối Hopfian Để hồn thành khóa luận này, tơi đặc biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Phạm Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình làm nghiên cứu Cơ giúp tơi tìm hiểu định hướng vấn đề cần nghiên cứu, có khích lệ để tơi vượt qua khó khăn việc tìm hiểu Hơn tôi, cô “người thầy” truyền cảm hứng đam mê với chuyên ngành Đại số Và xin chân thành cảm ơn tất thầy khoa Tốn tạo điều kiện cho tơi làm khóa luận tốt nghiệp thầy cô tổ Đại số trang bị cho kiến thức phương pháp tự học, tự nghiên cứu Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn sinh viên khóa 44 ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình tơi hồn thiện khóa luận Lời cuối cùng, để hồn thành khóa luận, tơi sử dụng, tham khảo số tài liệu viết, xin cảm ơn tác giả Mặc dù, khóa luận chăm chút kỹ lưỡng mặt nội dung lẫn hình thức khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 05 năm 2022 Tác giả Lê Quang Trường Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức nhóm Đồng cấu nhóm định lý đẳng cấu Một số lớp nhóm Abel quan trọng 5 10 12 Chương Nhóm Abel hữu hạn sinh Nhóm cyclic Nhóm Abel hữu hạn sinh 15 15 16 Chương Nhóm Abel hữu hạn đối sinh Nhóm đối cyclic Nhóm Abel hữu hạn đối sinh 20 20 25 Chương Nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian 33 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh BẢNG KÝ HIỆU N, Z, Q, R N∗ Zn , Z(n) Z(p∞ ) X \Y |G| hSi hgi P Hi Tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực Tập hợp số tự nhiên khác Nhóm cộng số nguyên đồng dư modulo n, nhóm cyclic cấp n Nhóm tựa cyclic kiểu p Hiệu hai tập hợp X Y Cấp nhóm G, lực lượng tập hợp G Nhóm sinh tập hợp S Nhóm cyclic sinh phần tử g Tổng họ nhóm {Hi }i∈I i∈I Chỉ số nhóm H nhóm G Cấp (bậc) phần tử g p−cao độ phần tử x Vành tự đồng cấu nhóm G [G : H] |g|, o(g) hp (x) EndG φX Ánh xạ cảm sinh tập X Hạt nhân đồng cấu ϕ Kerϕ Imϕ Gp r(G), rp (G), r0 (G) Q Gi , i∈I L Gi i∈I Hom(G, H) A⊆X A6X A  a + a + + a (n nhân tử ) na = n =   (−a) + (−a) + + (−a) (−n nhân tử ) n < Định nghĩa 1.6 Cho G nhóm a ∈ G Ta định nghĩa cấp phần tử a, ký hiệu o(a) |a|, số nguyên dương n nhỏ cho na = ∞ na 6= với số nguyên dương n Mệnh đề 1.7 Trong nhóm G cho phần tử a Khi đó: Nếu o(a) = ∞ ka đơi khác với k ∈ Z; Nếu o(a) = n với k ∈ Z ta có ka = n | k ; Nếu o(a) = n với k, l ∈ Z ta có ka = la n | k − l Định lý 1.8 Cho G nhóm phần tử a ∈ G có cấp n Khi đó, với số nguyên k ta có: o(ak ) = n d với d ước chung lớn nguyên dương n k Z 1.3 Lớp ghép theo nhóm con, nhóm thương Định nghĩa 1.9 Cho G nhóm H nhóm G Với a ∈ G, ta đặt: a + H = {a + h|h ∈ H} Khi đó, a + H gọi lớp ghép (trái) theo nhóm H đại diện phần tử a CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trang Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Mệnh đề 1.10 Cho G nhóm, H nhóm G a ∈ G Khi đó: Quy tắc h 7−→ a + h với h ∈ H song ánh từ H vào a + H ; Với a, b ∈ G ta có a + H = b + H a − b ∈ H ; Hai lớp ghép G theo H trùng không giao nhau; G hợp tất lớp ghép không giao G theo nhóm H Định nghĩa 1.11 Tập hợp tất lớp ghép nhóm G theo nhóm H gọi tập thương nhóm G theo nhóm H ký hiệu G/H , G/H = {g + H|g ∈ G} Từ Mệnh đề 1.10, ta thấy đồng lớp ghép trùng nhau, ta xem phần tử tập thương G/H đôi không giao Nếu tập thương G/H hữu hạn số lượng phần tử lớp ghép nhóm G theo nhóm H gọi số nhóm H G ký hiệu [G : H] Trên tập thương G/H , ta xây dựng phép tốn hai ngơi sau: với a, b ∈ G, (a + H) + (b + H) = (a + b) + H Khi đó, dễ thấy với phép tốn xác định cho ta cấu trúc nhóm G/H đó, phần tử Khơng G/H H , phần tử đối phần tử a + H −a + H Ta gọi G/H nhóm thương nhóm G theo nhóm H Nhóm thương G/H nhóm thương thực G H 6= 1.4 Định lý Lagrange hệ Định lý 1.12 (Định lí Lagrange1 ) Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi đó: |G| = [G : H] · |H| Hệ 1.13 Cho G nhóm hữu hạn cấp n Khi đó: Nếu H nhóm G |H| ước n; Nếu a ∈ G o(a) ước n Định lý 1.14 Cho G nhóm có cấp nguyên tố Khi đó: Nếu H nhóm G H = H = G; G nhóm cyclic Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) nhà Toán học, thiên văn học người Ý, sau nhập tịch vào Pháp Trong tốn học, ơng có đóng góp to lớn vào lĩnh vực Giải tích, Lý thuyết số Đại số người đặt móng cho Lý thuyết nhóm CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trang Lê Quang Trường 1.5 Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Tổng trực tiếp nhóm Abel Định nghĩa 1.15 Cho {Gi }i∈I họ nhóm Trong tích Descartes Q Gi , ta i∈I định nghĩa phép toán sau: (ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I Q Dễ thấy, Gi với phép tốn lập thành nhóm Nhóm Q Gi gọi tích i∈I i∈I trực tiếp họ nhóm {Gi }i∈I Q L Gi bao gồm phần tử có hữu hạn thành phần khác Gi Tập i∈I i∈I L Q Gi gọi tổng trực tiếp Gi Nhóm 0, lập thành nhóm nhóm i∈I i∈I (ngồi) họ nhóm {Gi }i∈I Định nghĩa 1.16 Nhóm G gọi tổng trực tiếp (trong) hai nhóm H , K ký hiệu G = H ⊕ K , G = H + K = {a + b | a ∈ H, b ∈ K}; H ∩ K = Khi H, K gọi hạng tử trực tiếp G Nhóm G gọi tổng trực tiếp (trong) họ nhóm {Hi }i∈I ký L hiệu G = Hi , i∈I G = P Hi = { i∈I Hi ∩ P P | ∈ Hi = hầu hết, trừ số hữu hạn}; i∈I Hj = với i ∈ I j6=i 1.6 Hạng nhóm Abel Định nghĩa 1.17 Cho G nhóm S = {a1 , a2 , , an } tập hợp hữu hạn phần tử khác G Khi đó, S gọi độc lập tuyến tính với n P x1 , x2 , , xn ∈ Z, từ điều kiện xi = suy xi = với i ∈ 1, n Nếu S i=1 khơng độc lập tuyến tính ta nói S phụ thuộc tuyến tính Một tập hợp vơ hạn G gọi độc lập tuyến tính tập hữu hạn độc lập tuyến tính Một hệ độc lập tuyến tính S G gọi tối đại không tồn hệ độc lập tuyến tính X G cho S $ X Nói cách khác, S hệ độc lập tuyến tính tối đại S ∪ {g} phụ thuộc tuyến tính với g ∈ G Định nghĩa 1.18 Cho G nhóm Nhóm H G gọi nhóm cốt yếu với 6= K G H ∩ K 6= Khi đó, G gọi mở rộng cốt yếu H CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trang Chương Nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian Định nghĩa 4.1 Cho G nhóm Khi đó, G gọi nhóm Hopfian2 toàn cấu G −→ G tự đẳng cấu; G gọi nhóm đối Hopfian đơn cấu G −→ G tự đẳng cấu Mệnh đề 4.2 Cho G nhóm khơng tầm thường Khi đó: G nhóm Hopfian G khơng đẳng cấu với nhóm thương thực Nghĩa với nhóm H G, G/H ∼ = G H = 0; G nhóm đối Hopfian G khơng đẳng cấu với nhóm thực Nghĩa với nhóm H G, H ∼ = G H = G; Chứng minh Cho G nhóm Hopfian H nhóm G cho G/H ∼ = G Khi đó, tồn đẳng cấu ϕ : G/H −→ G Xét toàn cấu tắc ψ : G −→ G/H Khi đó, θ = ϕ ◦ ψ : G −→ G tồn cấu Vì G nhóm Hopfian nên θ đẳng cấu Suy ψ = ϕ−1 θ đẳng cấu Nên Kerψ = Mặt khác, Kerψ = H nên H = Ngược lại, giả sử G nhóm thỏa điều kiện với nhóm H G, G/H ∼ =G H = Cho φ : G −→ G toàn cấu Khi đó, theo Định lý 1.30 ta có G/Kerφ ∼ = G Mặt khác, Kerφ G nên Kerφ = Do φ đơn cấu Suy φ đẳng cấu Vậy G nhóm Hopfian Cho G nhóm đối Hopfian H nhóm G cho H ∼ = G Khi đó, tồn đẳng cấu ϕ : G −→ H Suy ánh xạ ψ : G −→ G g 7−→ ψ(g) = ϕ(g), với g ∈ G Heinz Hopf nhà Toán học người Đức, lĩnh vực nghiên cứu ơng Topo Hình học Các thuật ngữ nhóm Hopfian, nhóm co-Hopfian xuất từ năm 1960 nghiên cứu ông 33 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh đơn cấu Vì G nhóm đối Hopfian nên ψ đẳng cấu Suy H = Imϕ = Imψ = G Ngược lại, giả sử G nhóm thỏa điều kiện với nhóm H G, H ∼ =G H = G Cho φ : G −→ G đơn cấu Khi Imφ ∼ = G Mặt khác Imφ G nên Imφ = G Do φ tồn cấu Suy φ đẳng cấu Vậy G nhóm đối Hopfian  Các ví dụ cho ta thấy độc lập hai định nghĩa nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian: Ví dụ 4.3 Mọi nhóm cyclic vơ hạn nhóm Hopfian khơng phải nhóm đối Hopfian Chứng minh Để đơn giản ta xét nhóm cộng số ngun Z (vì nhóm cyclic vơ hạn đẳng cấu với Z) Cho ϕ : Z −→ Z tồn cấu n ∈ Kerϕ Khi ϕ(n) = Mặt khác ϕ đồng cấu nên nϕ(1) = Nếu ϕ(1) = ϕ(a) = aϕ(1) = với a ∈ Z, điều mâu thuẫn với việc ϕ tồn cấu Do n = suy Kerϕ = Nên ϕ tự đẳng cấu Z Vậy Z nhóm Hopfian Dễ thấy đơn cấu φ : Z −→ Z với φ(n) = 2n với n ∈ Z tự đẳng cấu (vì ∈ / Imφ) Do Z khơng phải nhóm đối Hopfian  Nhóm tựa cyclic nhóm đối Hopfian khơng phải nhóm Hopfian Chứng minh Cho nhóm tựa cyclic Z(p∞ ) với p số nguyên tố Ta chứng minh Z(p∞ ) nhóm đối Hopfian Giả sử H nhóm thực Từ Mệnh đề 3.9 suy H nhóm cyclic Do Z(p∞ )  H Nên theo Mệnh đề 4.2 ta có Z(p∞ ) nhóm đối Hopfian Ta chứng minh Z(p∞ ) khơng phải nhóm Hopfian Thật vậy, xét đồng cấu: ϕ : Z(p∞ ) −→ Z(p∞ ) x 7−→ px, với x ∈ Z(p∞ ) Cho y ∈ Z(p∞ ) Vì Z(p∞ ) nhóm chia nên tồn x ∈ Z(p∞ ) cho y = px = ϕ(x) Suy ϕ toàn cấu Dễ thấy Kerϕ = Z(p∞ )[p] Suy Kerϕ 6= Nên ϕ đơn cấu Suy Z(p∞ ) khơng phải nhóm Hopfian  Mọi nhóm hữu hạn vừa nhóm Hopfian vừa nhóm đối Hopfian Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn Ta xét H nhóm G cho G/H ∼ = G Vì G hữu hạn nên |G/H| = |G| Suy |H| = Do H = Theo Mệnh đề 4.2 ta có G nhóm Hopfian Cho K nhóm G cho K ∼ = G Vì G hữu hạn nên |K| = |G| Suy K = G Vậy G nhóm đối Hopfian  Nhóm cộng số hữu tỷ Q ví dụ nhóm vơ hạn vừa nhóm Hopfian vừa nhóm đối Hopfian CHƯƠNG NHĨM HOPFIAN VÀ NHĨM ĐỐI HOPFIAN Trang 34 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Chứng minh Ta dễ dàng có nhận xét: với tự đồng cấu φ : Q −→ Q, với q ∈ Q, ta có φ(q) = qφ(1) Cho ϕ : Q −→ Q tự toàn cấu q ∈ Kerϕ Khi ϕ(q) = Từ nhận xét suy qϕ(1) = Giả sử ϕ(1) = Khi với q ∈ Q ta có ϕ(q ) = q ϕ(1) = 0, điều mâu thuẫn với việc ϕ toàn cấu Do q = Suy Kerϕ = Mặt khác ϕ toàn cấu nên ϕ đẳng cấu Vậy Q nhóm Hopfian Cho θ : Q −→ Q tự đơn cấu Khi với 6= q ∈ Q ta có θ(q) 6= Suy θ(1) 6= Cho q ∈ Q Khi   q q0 q0 θ(1) = q với ∈ Q θ = θ(1) θ(1) θ(1) Suy θ tồn cấu Do θ đẳng cấu Vậy Q nhóm đối Hopfian  Nhóm tự có hạng vơ hạn vừa khơng phải nhóm Hopfian vừa khơng phải nhóm đối Hopfian L Chứng minh Cho I tập số vơ hạn G = hgi i nhóm tự có hạng vơ hạn i∈I với gi ∈ G, o(gi ) = ∞ Xét i0 cố định I Vì I vơ hạn nên |I| = |I \ {i0 }| Suy tồn song ánh ϕ : I \ {i0 } −→ I Do đó: M M M hgi i ∼ hgϕ(i) i ∼ hgi i = G (9) = = i∈I\{i0 } / Vì gi0 ∈ L i∈I\{i0 } hgi i nên L i∈I ϕ(i)∈ϕ(I\{i0 }) hgi i nhóm thực G Từ Mệnh đề 4.2 suy G i∈I\{i0 } khơng phải nhóm đối Hopfian L Vì G = hgi i nên theo Mệnh đề 1.32 ta có: i∈I G/hgi0 i ∼ = M hgi i (10) i∈I\{i0 } Từ (9) (10) suy G ∼ nên theo Mệnh đề 4.2 ta có G khơng phải = G/hgi0 i Vì hgi0 i = nhóm Hopfian Một cách tổng quát, tổng trực tiếp vô hạn G vừa nhóm Hopfian vừa khơng phải nhóm đối Hopfian  Nhận xét 4.4 Mọi nhóm cyclic nhóm Hopfian nhóm đối cyclic nhóm đối Hopfian CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 35 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Mệnh đề 4.5 Mọi nhóm hữu hạn sinh nhóm Hopfian; Mọi nhóm hữu hạn đối sinh nhóm đối Hopfian Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn sinh Giả sử G khơng phải nhóm Hopfian Khi tồn tự toàn cấu ϕ : G −→ G cho Kerϕ 6= Với số nguyên dương n, ta đặt ϕn+1 = ϕ ◦ ϕn ϕ1 = ϕ Dễ thấy ϕn : G −→ G tự toàn cấu với n > Ta chứng minh Kerϕ = ϕn (Kerϕn+1 ) (11) Thật vậy, cho y ∈ Kerϕ Khi y ∈ G Vì ϕn toàn cấu nên tồn x ∈ G cho y = ϕn (x) Mặt khác ϕn+1 (x) = ϕ(ϕn (x)) = ϕ(y) = (vì y ∈ Kerϕ nên ϕ(y) = 0) Suy x ∈ Kerϕn+1 Nên y ∈ ϕn (Kerϕn+1 ) Ngược lại, cho y ∈ ϕn (Kerϕn+1 ) Khi tồn x ∈ Kerϕn+1 cho y = ϕn (x) Ta có ϕ(y) = ϕ(ϕn (x)) = ϕn+1 (x) = (vì x ∈ Kerϕn+1 nên ϕn+1 (x) = 0) Suy y ∈ Kerϕ Ta chứng minh Kerϕn  Kerϕn+1 với n ∈ N∗ Thật vậy, cho g ∈ Kerϕn Suy ϕn (g) = Do ϕn+1 (g) = ϕ(ϕn (g)) = ϕ(0) = Nên g ∈ Kerϕn+1 Vì Kerϕ 6= nên tồn 6= y ∈ Kerϕ Từ (11) suy tồn x ∈ Kerϕn+1 cho y = ϕn (x) Vì y 6= nên x ∈ / Kerϕn Suy Kerϕn  Kerϕn+1 Khi Kerϕ1  Kerϕ2   Kerϕn  dãy tăng ngặt vơ hạn nhóm G, điều mâu thuẫn với việc G thỏa điều kiện tối đại nhóm Vậy G nhóm Hopfian Cho G nhóm hữu hạn đối sinh Giả sử G khơng phải nhóm đối Hopfian Khi tồn tự đơn cấu ϕ : G −→ G cho Imϕ 6= G Với số nguyên dương n, ta đặt ϕn+1 = ϕ ◦ ϕn ϕ1 = ϕ Dễ thấy ϕn : G −→ G tự đơn cấu với n > Ta chứng minh Imϕn+1 = ϕn (Imϕ) Thật vậy, cho y ∈ ϕn (Imϕ) Khi tồn x ∈ G cho y = ϕn (ϕ(x)) = ϕn+1 (x) Suy y ∈ Imϕn+1 Ngược lại, cho y ∈ Imϕn+1 Khi tồn x ∈ G cho y = ϕn+1 (x) = ϕn (ϕ(x)) Suy y ∈ ϕn (Imϕ) Ta chứng minh Im(ϕn ) Im(ϕn+1 ) với n ∈ N∗ Thật vậy, cho y ∈ Im(ϕn+1 ) CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 36 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Khi tồn x ∈ G cho y = ϕn+1 (x) = ϕn (ϕ(x)), ϕ(x) ∈ G Do y ∈ Im(ϕn ) Vì Imϕ 6= G nên tồn x ∈ G \ Imϕ Khi y = ϕn (x) ∈ Imϕn Giả sử y ∈ Im(ϕn+1 ) Khi tồn x0 ∈ G cho y = ϕn+1 (x0 ) = ϕn (ϕ(x0 )), ϕ(x0 ) ∈ G Vì ϕn đơn cấu nên x = ϕ(x0 ) ∈ Imϕ, điều mâu thuẫn với x ∈ / Imϕ Khi Im(ϕ1 ) Im(ϕ2 ) Im(ϕn ) dãy giảm ngặt vô hạn nhóm G, điều mâu thuẫn với việc G thỏa điều kiện tối tiểu nhóm Vậy G nhóm đối Hopfian  Ghi 4.6 Mệnh đề đảo Mệnh đề 4.5 khơng Thật vậy, theo Ví dụ 4.3 ta có nhóm cộng số hữu tỷ Q vừa nhóm Hopfian vừa nhóm đối Hopfian Mặt khác, dãy tăng ngặt nhóm 1 h1i < h i < < h n i < 2 dãy giảm ngặt nhóm h1i > h2i > > h2n i > vô hạn nên từ Định lý 2.13 Định lý 3.24 suy Q khơng phải nhóm hữu hạn sinh đồng thời khơng phải nhóm hữu hạn đối sinh Ngồi ra, có số tính chất nhóm hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh) khơng cịn với nhóm Hopfian (đối Hopfian) Ví dụ: theo Hệ 3.25 ta có nhóm nhóm hữu hạn đối sinh nhóm hữu hạn đối sinh Tuy nhiên, nhóm nhóm đối Hopfian khơng phải nhóm đối Hopfian Thật vậy, từ Ví dụ 4.3 suy nhóm Z Q khơng phải nhóm đối Hopfian Theo Hệ 2.14 ta có nhóm thương nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh Tuy nhiên, nhóm thương nhóm Hopfian khơng phải nhóm Hopfian Thật vậy, ta xét nhóm thương Q/Z Dễ thấy đồng cấu ϕ : Q/Z −→ Q/Z; q + Z 7−→ 2q + Z tự toàn cấu Q/Z Vì ϕ 1  +Z = + Z = Z nên + Z ∈ Kerϕ Suy ϕ đơn cấu Nên Q/Z khơng phải nhóm Hopfian Mệnh đề 4.7 cho ta trường hợp riêng mà nhóm nhóm Hopfian (nhóm đối Hopfian) nhóm Hopfian (nhóm đối Hopfian) Mệnh đề 4.7 Cho G = L Gi Khi i∈I Nếu G nhóm Hopfian Gi nhóm Hopfian với i ∈ I ; Nếu G nhóm đối Hopfian Gi nhóm đối Hopfian với i ∈ I CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 37 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Chứng minh P gi ta hiểu gi = hầu hết, trừ số hữu hạn Ta quy ước ghi i∈I Cho G nhóm Hopfian Ta chứng minh Gi nhóm Hopfian với i ∈ I L Gi Thật vậy, với i ∈ I ta xét tự toàn cấu ϕi : Gi −→ Gi Lấy g ∈ G Vì G = i∈I P gi Khi ta có nên với i ∈ I , tồn phần tử gi ∈ Gi cho g = i∈I đồng cấu ϕ : G −→ G g 7−→ ϕ(g) = X ϕi (gi ) i∈I Cho g = P gi ∈ G với gi ∈ Gi , i ∈ I Vì ϕi tồn cấu nên tồn xi ∈ Gi i∈I P P ϕi (xi ) = ϕ( xi ) cho gi = ϕi (xi ); đặc biệt gi = ta chọn xi = Khi g = i∈I i∈I P với xi ∈ G Suy ϕ tồn cấu Vì G nhóm Hopfian nên ϕ đẳng cấu Do i∈I Kerϕ = Cho g ∈ Kerϕi Khi ϕ(g) = ϕi (g) = Suy g ∈ Kerϕ Mà Kerϕ = nên Kerϕi = Do ϕi đơn cấu Suy ϕi đẳng cấu Vậy Gi nhóm Hopfian với i ∈ I Cho G nhóm đối Hopfian Ta chứng minh Gi nhóm đối Hopfian với i ∈ I Thật vậy, với i ∈ I ta xét tự đơn cấu ϕi : Gi −→ Gi Lấy g ∈ G Vì L P G= Gi nên với i ∈ I , tồn phần tử gi ∈ Gi cho g = gi Khi i∈I i∈I ta có đồng cấu ϕ : G −→ G g 7−→ ϕ(g) = X ϕi (gi ) i∈I P P Cho g = gi ∈ Kerϕ với gi ∈ Gi , i ∈ I Khi ϕi (gi ) = ϕ(g) = 0, ϕi (gi ) ∈ Gi Vì i∈I i∈I L G= Gi nên ϕi (gi ) = với i ∈ I Mặt khác ϕi đơn cấu nên gi = với i ∈ I i∈I Suy g = Do Kerϕ = Suy ϕ đơn cấu Vì G nhóm đối Hopfian nên ϕ đẳng cấu P Ta chứng minh ϕi toàn cấu Cho g ∈ Gi Vì ϕ đẳng cấu nên tồn xi ∈ G i∈I P P P với xi ∈ Gi cho g = ϕ( xi ) = ϕi (xi ) Suy g − ϕi (gi ) = ϕj (xj ) Mà i∈I i∈I j∈I,j6=i P Gi ∩ Gj = nên g = ϕi (xi ) Do ϕi tồn cấu Suy ϕi đẳng cấu Vậy Gi j∈I,j6=i nhóm đối Hopfian với i ∈ I  Ghi 4.8 Mệnh đề đảo Mệnh đề 4.7 G Baumslag đề cập [10]: “Tổng trực tiếp hai nhóm Hopfian (đối Hopfian) có phải nhóm Hopfian (đối CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 38 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Hopfian) khơng ?” Câu trả lời cho trường hợp nhóm giao hốn A L S Corner trình bày [9], A L S Corner xây dựng hai nhóm Hopfian khơng xoắn mà tổng trực tiếp chúng khơng phải nhóm Hopfian B Goldsmith Vámos [11] với số nguyên dương n, tồn nhóm Hopfian không xoắn G cho tổng trực tiếp n G nhóm Hopfian tổng trực tiếp n + G nhóm Hopfian ! α δ Mệnh đề 4.9 Cho A, B hai nhóm Hopfian φ = γ β ma trận biểu diễn cho tự toàn cấu G = A ⊕ B với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ Hom(A, B), β ∈ EndB Khi đó, α β tồn cấu φ khả nghịch Chứng minh Giả sử α tồn cấu Vì A nhóm Hopfian, α tự toàn cấu A nên α đẳng cấu Suy α khả nghịch Khi đó, với δ ta có: ! ! ! α−1 −α−1 δ α δ ! Nên α−1 −α−1 δ α δ α−1 −α−1 δ 0 = ! = ! ! khả nghịch Do đó, φ khả nghịch ∆ = α δ ! γ β α−1 −α−1 δ ! = 1 ! γα−1 β − γα−1 δ khả nghịch Dễ ! ! thấy ∆ toàn cấu Cho b ∈ B Khi đó, tồn x ∈ A, y ∈ B cho ∆ x y = Nên ta có đồng thức: b ( 1(x) =0 γα−1 (x) + (β − γα−1 δ)(y) =b Do x = (β − γα−1 δ)(y) = b Suy β − γα−1 δ tự tồn cấu B Vì B nhóm Hopfian nên β − γα−1 δ đẳng cấu Suy β − γα−1 δ khả nghịch Đặt (β − γα−1 δ)−1 =  Khi đó, ta có: ! ! ! γα−1 β − γα−1 δ −γα−1  ! 1 −γα−1  γα−1 β − γα−1 δ = ! = 0 1 ! Suy ∆ khả nghịch Vậy φ khả nghịch Hoàn toàn tương tự với trường hợp β tồn cấu, ta có φ khả nghịch  CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 39 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh α δ γ β Hệ 4.10 Cho A, B hai nhóm Hopfian φ = ! ma trận biểu diễn cho tự toàn cấu G = A ⊕ B với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ Hom(A, B), β ∈ EndB Khi đó, δ γ φ khả nghịch Chứng ! minh.!Giả sử δ = Cho a ∈ A Vì φ tồn cấu nên tồn x ∈ A, y ∈ B cho φ x y = a Nên ta có đồng thức: ( α(x) + δ(y) =a γ(x) + β(y) =0 Vì δ = nên α(x) = a Do α toàn cấu Từ Mệnh đề 4.9 suy φ khả nghịch Hoàn toàn tương tự với trường hợp γ = 0, ta có φ khả nghịch  Mệnh đề 4.11 Cho A nhóm Hopfian, B p−nhóm cyclic sinh phần tử b Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm Hopfian ! α Chứng minh Cho φ = δ tự toàn cấu G với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ γ β1B Hom(A, B), β số nguyên Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: α β1B toàn cấu Theo Mệnh đề 4.9 ta có φ khả nghịch Trường hợp 2: α β1B khơng phải tồn cấu Dễ thấy, p | β Thật vậy, giả sử (p, β) = Khi đó, (β1B )(B) = hβbi = hbi = B Suy β1B toàn cấu, điều mâu thuẫn với việc β1B tồn cấu Vì φ tồn cấu nên theo Nhận xét 1.37 ta có: α(A) + δ(B) = A Ta chứng minh δ(b) ∈ / α(A) Thật vậy, giả sử δ(b) ∈ α(A) Khi đó, δ(B) = hδ(b)i α(A) Suy α(A) = A, điều mâu thuẫn với việc α khơng phải tồn cấu Do đó, s δ(b) ∈ / α(A) Suy ! ta có ! thể viết α(A) ! ∩ δ(B) != hp δ(b)i!với s > ! Vì γ đó, dễ thấy ∆ = −γ α δ γ β1B = ! 1 −γ γ ! = γ = α + δγ nên δ ! γ + β1B γ β1B γ α + δγ = khả nghịch Khi ! δ γ + βγ β1B toàn cấu Nên theo Nhận xét 1.37 ta có: (12) (α + δγ)(A) + δ(B) = A Vì φ tồn cấu nên tồn x ∈ A, λb ∈ B cho φ ( α(x) = (1 − λ)δ(b) γ(x) = (1 − βλ)b CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN x ! λb = δ(b) b ! Do đó, ta có: Trang 40 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Vì α(A) ∩ δ(B) = hps δ(b)i nên p | − λ Dễ thấy (α + δγ)(x) = [(1 − λ) + − βλ]δ(b) Mặt khác, p | − λ p | β Nên p (1 − λ) + − βλ nguyên tố Suy δ(b) ∈ (α + δγ)(A) Kết hợp (12) ta có (α + δγ)(A) = A Nên α + δγ toàn cấu Từ Mệnh đề 4.9 suy ∆ khả nghịch Do φ khả nghịch  Định lý 4.12 Cho A nhóm Hopfian, B nhóm hữu hạn Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm Hopfian Chứng minh Được suy trực tiếp từ Mệnh đề 4.11  Định lý 4.13 Cho A nhóm Hopfian, B nhóm hữu hạn sinh Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm Hopfian Chứng minh Vì B nhóm hữu hạn sinh nên ta viết B = T ⊕ F với T nhóm hữu hạn F nhóm tự có hạng hữu hạn Khi đó, theo Định lý 4.12 ta có A ⊕ T nhóm Hopfian Do đó, ta cần chứng minh Định lý trường hợp B = hbi ∼ = Z ! α δ Cho φ = γ β tự toàn cấu G với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ Hom(A, B), β ∈ EndB Nếu γ = Từ Hệ 4.10 suy φ khả nghịch Nếu γ 6= Theo Định lý 1.30 ta có A/Kerγ ∼ = γ(A) B nhóm cyclic vơ hạn Khi đó, từ Mệnh đề 13 suy ta viết A = Kerγ ⊕ hai với a phần tử khơng xoắn A Theo Định lý 1.31 ta có A/(A ∩ φ(A)) ∼ = (A + φ(A))/φ(A) G/φ(A) ∼ = G/φ−1 (φA) Hiển nhiên A ⊆ φ−1 (φA) Nên ta viết φ−1 (φA) = A ⊕ hnbi với n ∈ Z Khi đó, G/φ(A) ∼ = G/φ−1 (φA) = G/(A ⊕ hnbi) nhóm cyclic Suy A/(A ∩ φ(A)) nhóm cyclic Nên ta viết A = (A ∩ φ(A)) + ha0 i với a0 ∈ A Ta chứng minh!A ∩ φ(A) = α(Kerγ) Cho a ∈ A ∩ φ(A) Khi đó, tồn a1 ∈ A ! cho a =φ a1 Suy a = α(a1 ) γ(a1 ) = Nên a1 ∈ Kerγ a ∈ α(Kerγ) Do đó!A ∩ φ(A) ! ⊂ α(Kerγ) Ngược lại, cho α(a) ∈ α(Kerγ) với a ∈ Kerγ Khi đó, α(a) =φ a Suy α(a) ∈ φ(A) Nên α(a) ∈ A ∩ φ(A) Do α(Kerγ) ⊂ A ∩ φ(A) Vậy A ∩ φ(A) = α(Kerγ) Do đó, ta có A = α(Kerγ) + ha0 i Dễ thấy ánh xạ µ : A −→ A thỏa µ(x + ka) = α(x) + ka0 với x ∈ Kerγ , k ∈ Z tự tồn cấu A Mà A nhóm Hopfian nên µ đẳng cấu Hơn nữa, µ  Kerγ = α  Kerγ CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 41 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Do Kerγ ∩ Kerα = {0} Thật vậy, cho x ∈ Kerγ ∩ Kerα Khi đó, µ(x) = α(x) = Mà µ đẳng cấu nên x = Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: n = Tức là, A = φ−1 (φA) Suy Kerφ ⊂ A Khi đó, dễ thấy: Kerφ = Kerγ ∩ Kerα Suy Kerφ = {0} Do φ đẳng cấu Trường hợp 2: n 6= Khi đó, G/φ(A) nhóm cyclic hữu hạn Suy ra, A/(A ∩ φ(A)) nhóm cyclic hữu hạn cấp m với m > Nên ta viết A = (A ∩ φ(A)) + ha0 i với a0 ∈ A ma0 ∈ A ∩ φ(A) Suy µ(x + ma) = α(x) + ma0 = α(x) + α(x0 ) = α(x + x0 ) x0 ∈ Kerγ ma0 ∈ α(Kerγ) Khi đó, µ(x + x0 ) = α(x + x0 ) = µ(x + ma) Vì µ đơn cấu nên x + x0 = x + ma Do đó, x0 = ma Mặt khác, A = Kerγ ⊕ hai Nên x0 = ma = Suy m = 0, điều mâu thuẫn với việc m > Khi đó, φ đẳng cấu Vậy G nhóm Hopfian  ! α δ γ β Mệnh đề 4.14 Cho A, B hai nhóm đối Hopfian φ = ma trận biểu diễn cho tự đơn cấu G = A⊕B với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ Hom(A, B), β ∈ EndB Khi đó, α β đơn cấu φ khả nghịch Chứng minh Giả sử α đơn cấu Vì A nhóm đối Hopfian, α tự đơn cấu A nên α đẳng cấu Suy α khả nghịch Khi đó, với δ ta có: ! ! ! α−1 −α−1 δ α δ ! Nên α−1 −α−1 δ α δ α−1 −α−1 δ 1 0 = ! = ! ! khả nghịch Do đó, φ khả nghịch ∆ = α δ ! γ β α−1 −α−1 δ ! = 1 ! γα−1 β − γα−1 δ ! khả nghịch Dễ thấy ∆ đơn cấu Cho b ∈ Ker(β − γα−1 δ) Khi đó, ∆ b ! = Vì ∆ đơn cấu nên b = Suy β − γα−1 δ đơn cấu Mà B nhóm đối Hopfian nên β − γα−1 δ đẳng cấu Đặt (β − γα−1 δ)−1 =  Khi đó, ta có: −1 γα β − γα−1 δ −γα−1  ! ! 1 −1 −γα  ! ! γα−1 β − γα−1 δ = = CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN 0 ! ! Trang 42 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Suy ∆ khả nghịch Vậy φ khả nghịch Hoàn toàn tương tự với trường hợp β đơn cấu, ta có φ khả nghịch  ! α δ Hệ 4.15 Cho A, B hai nhóm đối Hopfian φ = γ β ma trận biểu diễn cho tự đơn cấu G = A ⊕ B với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ Hom(A, B), β ∈ EndB Khi đó, δ γ φ khả nghịch ! ! Chứng minh Giả sử γ = Cho a ∈ Kerα Khi đó, φ a = Vì φ đơn cấu nên a = Suy α đơn cấu Từ Mệnh đề 4.14 suy φ khả nghịch Hoàn toàn tương tự với trường hợp δ = 0, ta có φ khả nghịch Mệnh đề 4.16 Cho A nhóm đối Hopfian, B p−nhóm cyclic sinh phần tử b Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm đối Hopfian ! α Chứng minh Cho φ = δ tự đơn cấu G với α ∈ EndA, δ ∈ Hom(B, A), γ ∈ γ β1B Hom(A, B), β số nguyên Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: α β1B đơn cấu Theo Mệnh đề 4.14 ta có φ khả nghịch Trường hợp 2: α β1B đơn cấu Giả sử |B| = pn với n > Dễ thấy, p | β Vì φ đơn cấu nên theo Nhận xét 1.37 ta có: ! Vì 1 ! đó, dễ thấy ∆ = α = −γ γ δ γ β1B Kerα ∩ Kerγ = {0} ! ! ! ! −γ γ ! γ = = α + δγ (13) ! nên δ ! γ + β1B γ β1B = γ α + δγ khả nghịch Khi ! δ γ + βγ β1B đơn cấu Nên theo Nhận xét 1.37 ta có: Ker(α + δγ) ∩ Ker(γ + βγ) = {0} (14) Vì α khơng phải đơn cấu nên Kerα 6= Xét 6= a ∈ Kerα Ta chứng minh Ker(α + δγ) = {0} Giả sử tồn 6= x ∈ Ker(α + δγ) Khi đó, từ (13) (14) suy ra: ( (γ + βγ)(x) = sb 6= γ(a) = tb 6= Nên pn - s, t Giả sử l bội chung nhỏ s, t us = vt = l Khi pn - l Nên lb 6= Dễ thấy (α + δγ)(ux − va) + δ(lb) = (α + δγ)(ux) − (α + δγ)(va) + lδ(b) = − v(δγ)(a) + lδ(b) = −vδ(tb) + lδ(b) = −vtδ(b) + lδ(b) = −lδ(b) + lδ(b) = CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHĨM ĐỐI HOPFIAN Trang 43 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Mặt khác, ta có (γ + βγ)(ux − va) + β1B (lb) = (γ + βγ)(ux) − γ(va) − (βγ)(va) + lβb = usb − vtb − βvtb + lβb = lb − lb − lβb + lβb = Do ! ∆ ux − va lb = α + δγ ! δ ! ux − va γ + βγ β1B lb ! = 0 Vì ∆ đơn cấu nên lb = 0, điều mâu thuẫn với lb 6= Do Ker(α + δγ) = {0} Suy α + δγ đơn cấu Nên từ Mệnh đề 4.14 suy ∆ khả nghịch Vậy φ khả nghịch  Định lý 4.17 Cho A nhóm Hopfian, B nhóm hữu hạn Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm Hopfian Chứng minh Được suy trực tiếp từ Mệnh đề 4.16  Ghi 4.18 Tổng trực tiếp nhóm đối Hopfian nhóm hữu hạn sinh khơng phải nhóm đối Hopfian Thật vậy, ta xét tổng trực tiếp Q ⊕ Z Theo Ví dụ 4.3 ta có Z khơng phải nhóm đối Hopfian Nên từ Mệnh đề 4.7 suy Q ⊕ Z nhóm đối Hopfian Định lý 4.19 Cho A nhóm đối Hopfian, B nhóm hữu hạn đối sinh Khi đó, tổng trực tiếp G = A ⊕ B nhóm đối Hopfian Chứng minh Vì B nhóm hữu hạn # ta viết B = T ⊕ D T " đối sinh nên L L nhóm hữu hạn D = Z(p∞ ) với ID rp (D) hữu hạn Khi đó, theo p∈ID rp (D) Định lý 4.17 ta có A ⊕ T nhóm đối Hopfian Do đó, ta cần chứng minh Định lý trường hợp B tổng trực tiếp hữu hạn nhóm tựa cyclic Z(p∞ ) với p số nguyên tố cho trước, M B= Z(p∞ ) rp (B) Ta viết A thành tổng trực tiếp nhóm rút gọn R nhóm chia D0 Khi đó, từ Mệnh đề 4.7 suy R, D0 nhóm đối Hopfian Vì D0 chia nên   M M M  D0 ∼ Q⊕ Z(q ∞ ) = r0 (D0 ) q∈ID0 rq (D0 ) CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 44 Lê Quang Trường Nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Dễ thấy rq (D0 ) hữu hạn với q ∈ ID0 Thật vậy, giả sử rq (D0 ) vô hạn Từ Ví dụ 4.3 L suy Z(q ∞ ) khơng phải nhóm đối Hopfian Nên D0 khơng phải nhóm rq (D0 ) đối Hopfian, điều mâu thuẫn với việc D0 nhóm đối Hopfian Suy rq (D0 ) hữu hạn với q ∈ ID0 Ta viết lại M B ⊕ D0 = Z(p∞ ) ⊕ K = H ⊕ K r " H = L r Z(p∞ ) với r = rp (B)+rp (D0 ) hữu hạn K = L r0 (D0 ) Q⊕ # Z(q ∞ ) L L q∈ID0 \{p} rq (D0 ) Khi đó, H nhóm hữu hạn đối sinh Nên theo Mệnh đề 4.5 ta có H nhóm đối Hopfian Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.33 Định lý 1.34 suy Hom(H, K) = Mà H K nhóm đối Hopfian nên theo Hệ 4.15 ta có B ⊕ D0 = H ⊕ K nhóm đối Hopfian Mặt khác, từ Mệnh đề 1.33 suy Hom(B ⊕ D0 , R) = Nên từ Hệ 4.15 suy A ⊕ B nhóm đối Hopfian  CHƯƠNG NHÓM HOPFIAN VÀ NHÓM ĐỐI HOPFIAN Trang 45 Kết luận Cuối cùng, luận văn tốt nghiệp này, đạt kết quan trọng sau: Trình bày định lý cấu trúc nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Chỉ tính chất thấy đối ngẫu chúng Tìm hiểu hai lớp nhóm Hopfian nhóm đối Hopfian Trình bày số kết bật thấy mối liên hệ chúng với nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Đặc biệt, nhóm Abel hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh) nhóm Hopfian (đối Hopfian) Ngồi ra, chúng tơi đặt số tốn làm dự định cho hướng nghiên cứu sau: Tìm hiểu thêm tính chất nhóm Abel hữu hạn sinh nhóm Abel hữu hạn đối sinh Xây dựng ví dụ nhóm Hopfian (trong trường hợp nhóm giao hốn) có nhóm khơng phải nhóm Hopfian; xây dựng hai nhóm đối Hopfian mà tổng trực tiếp chúng khơng phải nhóm đối Hopfian 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Thị Thu Thủy, Đại số đại cương, NXB Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2020 [2] Mỵ Vinh Quang, Các ví dụ phản ví dụ Đại số, NXB Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2019 [3] Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo, Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh,2002 Tiếng Anh [4] László Fuchs, Infinite Abelian Group, Academic press, 1970 [5] László Fuchs, Abelian Group, Oxford: Pergamon Press, 1960 [6] Valcan, D., Pelea, C., Modoi, C., Breaz, S., & Calugareanu, G., Exercises in Abelian group theory (Vol 25), Springer Science & Business Media, 2013 [7] Goldsmith, Brendan, and Ketao Gong A note on Hopfian and co-Hopfian Abelian groups Contemp Math 576 (2012): 129-136 [8] Clement, Anthony E., Stephen Majewicz, and Marcos Zyman.The theory of nilpotent groups Vol 43 Springer International Publishing, 2017 [9] Corner, A Three examples on hopficity in torsion-free abelian groups Acta Mathematica Hungarica 16.3-4 (1965): 303-310 [10] Baumslag, Gilbert Hopficity and abelian groups Topics in Abelian Groups, Scott Foresman, Chicago, Illinois (1963): 331-335 [11] Goldsmith, B., Vámos, P (2014) The Hopfian exponent of an abelian group Periodica Mathematica Hungarica, 69(1), 21-31 [12] Goldsmith, Brendan, and Ketao Gong Algebraic entropies, Hopficity and co-Hopficity of direct sums of Abelian Groups Topological Algebra and its Applications 3.1 (2015) 47