Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - PHẠM VĂN NAM PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM THỊ LOAN Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phạm Văn Nam ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Phạm Thị Loan tận tình hướng dẫn cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia ngồi trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học- trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả luận văn Phạm Văn Nam iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN .iii MỤC LỤC .iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Bài toán học kết cấu 1.2 Các phương pháp giải 1.2.1 Phương pháp lực 1.2.2 Phương pháp chuyển vị 1.2.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp 1.2.4 Phương pháp sai phân hữu hạn 1.2.5 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân CHƯƠNG 2PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN .6 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 2.1.1 Nội dung phương pháp phần tử hữa hạn theo mơ hình chuyển vị 2.1.1.1 Rời rạc hoá miền khảo sát 2.1.1.2 Chọn hàm xấp xỉ 2.1.1.3 Xây dựng phương trình cân phần tử, thiết lập ma trận độ cứng [K]e vectơ tải trọng nút {F}e phần tử thứ e .9 2.1.1.4 Ghép nối phần tử xây dựng phương trình cân toàn hệ 12 2.1.1.5: Sử lý điều kiện biên toán 22 2.1.1.6 Giải hệ phương trình cân 28 2.1.1.7 Xác định nội lực .28 2.1.2 Cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử chịu uốn .28 iv 2.1.3 Cách xây dựng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu 31 CHƯƠNG 3.PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN 36 3.1 Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli [ ] 36 3.1.1 Dầm chịu uốn túy phẳng 36 3.1.2 Dầm chịu uốn ngang phẳng 39 3.2 Giải toán dầm liên tục phương pháp phần tử hữu hạn .46 3.2.1 Tính tốn dầm liên tục 46 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .71 v MỞ ĐẦU Bài toán học kết cấu nói chung xây dựng theo bốn đường lối là: Xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp coi xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp xây dựng dựa ý tưởng rời rạc hóa cơng trình thành phần tử nhỏ (số phần tử hữu hạn) Các phần tử nhỏ nối lại với thơng qua phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp theoba mơ hình gồm:Mơ hình chuyển vị, xem chuyển vị đại lượng cần tìm hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị phần tử; Mơ hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố ứng suất hay nội lực phần tử mơ hình hỗn hợp, coi đại lượng chuyển vị ứng suất hai yếu tố độc lập riêng biệt Các hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị lẫn ứng suất phần tử Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mơ hình chuyển vị để xây dựng giải toán dầm liên tục chịu tác dụng tải trọng tĩnh tập trung Mục đích nghiên cứu đề tài “Xác định nội lực chuyển vị dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng để giải toán dầmliên tục, chịu tác dụng tải trọng tĩnh tập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƯƠNG BÀI TỐN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương giới thiệu toán học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng 1.1 Bài toán học kết cấu Bài toán học kết cấu nhằm xác định nội lực chuyển vị hệ thanh, tấm, vỏ tác dụng loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: tốn có cấu tạo hình học bất biến hình đủ liên kết tựa với đất, liên kết xếp hợp lý, chịu loại tải trọng Để xác định nội lực chuyển vị cần dùng phương trình cân tĩnh học đủ; - Bài toán siêu tĩnh: toán có cấu tạo hình học bất biến hình thừa liên kết (nội ngoại) chịu loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,… Để xác định nội lực chuyển vị ngồi phương trình cân ta phải bổ sung phương trình biến dạng Nếu tính đến tận ứng suất, nói tốn học vật rắn biến dạng nói chung tốn học kết cấu nói riêng toán siêu tĩnh 1.2 Các phương pháp giải Đã có nhiều phương pháp để giải toán siêu tĩnh Hai phương pháp truyền thống phương pháp lực phương pháp chuyển vị Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính Số lượng phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần hay sử dụng H Cross G Kani Từ xuất máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 1.2.1 Phương pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay liên kết thừa lực chưa biết, giá trị chuyển vị hệ tương ứng với vị trí phương lực ẩn số thân lực ngun nhân bên ngồi gây khơng Từ điều kiện ta lập hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ ta tìm ẩn số từ suy đại lượng cần tìm 1.2.2 Phương pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị nút làm ẩn Những chuyển vị phải có giá trị cho phản lực liên kết đặt thêm vào hệ thân chúng ngun nhân bên ngồi gây khơng Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện giải hệ ta tìm ẩn, từ xác định đại lượng lại Hệ phương pháp chuyển vị giới hạn giải toán phụ thuộc vào số phần tử mẫu có sẵn 1.2.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp kết hợp song song phương pháp lực phương pháp chuyển vị Trong phương pháp ta chọn hệ theo phương pháp lực không loại bỏ hết liên kết thừa mà loại bỏ liên kết thuộc phận thích hợp với phương pháp lực; chọn hệ theo phương pháp chuyển vị không đặt đầy đủ liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn chuyển vị nút mà đặt liên kết phụ nút thuộc phận thích hợp với phương pháp chuyển vị Trường hợp đầu hệ siêu tĩnh, trường hợp sau hệ siêu động Trong hai cách nói trên, tốn ban đầu đưa hai toán độc lập: Một theo phương pháp lực theo phương pháp chuyển vị 1.2.4 Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn thay hệ liên tục mơ hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng),nhận giá trị gần số hữu hạn điểm miền tích phân, giá trị điểm trung gian xác định nhờ phương pháp tích phân Phương pháp cho lời giải số phương trình vi phân chuyển vị nội lực điểm nút Thông thường ta phải thay đạo hàm sai phân hàm nút.Phương trình vi phân chuyển vị nội lực viết dạng sai phân nút, biểu thị quan hệ chuyển vị nút nút lân cận tác dụng ngoại lực 1.2.5 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có phương pháp linh động hơn: Hoặc sai phân đạo hàm phương trình biến phân sai phân theo phương biến phân theo phương khác (đối với toán hai chiều) - Véc tơ lực nút{F}:           [F ]=                      0 0     0           0 0 0    Giải phương trình (e) ta nhận được: {∆}= [K ]−1{F} Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết: {∆}= [K ]\ {F} Kết chuyển vị, góc xoay nút: ϕ1      ϕ 2  -     W {  4       63 3 ϕ  ; Mômen uốn dầm: 0.0022 =  0.0063 x Pl2    0.0012     ϕ  - 0.0110  {ϕ}= ϕ W2  - 0.0003 }= W  = 0.0017x Pl   0.0000  M1      M  {M }= M3 M 4  - 0.0130   - 0.0297    - 0.0557  =   M  5   Ta thấy kết trên: - Về mômen gần trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: + Tại gối trung gian: dầm: = 0.0557 ≈ 0.0536 + Tại = 0.0971 ≈ 0.9821 - Về chuyển vị  x Pl  0.0971     x 10  -4 -5 -10 -15 -200 10 12 14 16 Hình 3.6a Đường độ võng dầm nhịp trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: = 0.0017 Hình 3.6a Biểu đồ M Nhận xét: Nếu ta rời rạc hóa dầm thành 16 phần tử kết trùng khớp với kết xác nhận phương pháp giải tích Khi biểu đồ mơmen uốn đường độ võng dầm hình 3.6: 64 Ví dụ 3.4: Dầm hai nhịp (hình 3.7) Xác định nội lực chuyển vị dầm hai nhịp chiều dài nhịp l , độ cứng uốn SO DO DAM EJ, chịu mômen tập trung M nhịp lực tập trung P nhịp 2, hình 3.7a nút 2 n 10 ngx SO DO NUT DAM 1 0 W SO DO AN CHUYEN VI Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử.Các nút SO DO AN GOC XOAY phần tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi Hình 3.7 Dầm hai nhịp tiết diện, chiều dài phần tử khác Mỗi phần tử có ẩn 1, 2, θ1, θ2 npt phần tử rời rạc tổng cộng có npt ẩn Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phầntử thứ ( e +1) nên số bậc tự nhỏ npt Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị điều kiện liên tục góc xoay xét cách cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.1a) ta chia thành phần tử (hình 3.1b) Như vậy, tổng cộng số ẩn 11 ẩn < 4x4=16 ẩn Gọi ma trận n w ma trận chuyển vị có kích thước nw ( npt ,2) ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số chuyển vị nút phần tử (hình 3.1) nw (1,:) = [0 1]; ngx (2,:) = [1 2]; ngx (3,:) = [2 3]; ngx (4,:) = [3 4] nw = [0 1 2 3 4] 65 Gọi ma trận n θ ma trận chuyển vị có kích thước n θ ( n pt , 2) ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số góc xoay nút phần tử (hình 3.5) ngx (1,:) = [5 6]; ngx (2,:) = [7 8]; ngx (3,:) = [9 10]; ngx (4,:) = [11 12] ngx = [5 10 11 12] Sau biết ẩn số thực ta xây dựng độ cứng tổng thể (có nhiều cách ghép nối phần tử khác nhau, tùy vào trình độ lập trình người nên tác giả khơng trình bày chi tiết cách ghép nối phần tử lại để ma trận độ cứng toàn dầm xem code mơ đun chương trình tác giả) Nếu tốn có n cv ẩn số chuyển vị ngx ẩn số góc xoay ma trận độ cứng dầm K có kích thước (nxn), K ( n,n ) với n = (n cv + ngx ) Như ví dụ 3.3, n = 11 Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau: − dy = dy i i +1 dx nut2 dx dy δλ 1 − nut2 dy 2 nut2  dx δλ  dy = dx nut1   dy − −  dx (a)  dy  dx δλ nut1       = 0 dx nut1   dy4 dx   = 0    hay:  nut1  (b) Trong λi ẩn số tốn (có k ẩn số), tổng số ẩn số nut2 tốn lúc (n+k) ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng 66 K ( n + k, n + k ) Gọi k1 góc xoay nút phần tử trước, k góc xoay nút phần tử sau ta có hệ số ma trận độ cứng K: k ( n + i, k1 ) ; k ( n + i, k2 ) = (i = ÷ k) ∆x − ∆x = (c) k ( k , n + i ) ; k ( k , n + i ) = (i = ÷ k) = ∆x − ∆x (d) Nếu có hai phần tử có điều kiện góc xoay, có n pt phần tử có ( 2n pt −1) điều kiện liên tục góc xoay phần tử Như cuối ta thiết lập phương trình: [K ]{∆}= {F}(e) δ1   δ 1   {} đó: F  F1       so −hang = n  F   0 =          n ; so − hang = k   {∆}=      δn  λ 1   λ         λ   k ẩn số toán  0   Trong ví dụ 3.1 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau: 768 −768 −768 96 96 768 [K ] = [ −96−96] 96 96 −96 −96 16 8 16 - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu sau: 67  1536 0 1536  - 96  - 96  96  96  - 96  0 - 96 [K ]=  - 96 - 96 0          1056 - 96 96 0 0 0 96 96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 16 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                      96 0 0 0 16 8 0 16 0 16 8 16 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0   0 - 96 0 0 - 128 -136 96 0 - 96 0 16 0 -1  Véc tơ lực nút{F}:   [F]= 1 0 0 0 0 0                         Giải phương trình (e) ta nhận được: {∆}= [K ]−1{F} Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết: {∆}= [K ]\ {F} 68         0   0   0  0 0  Kết chuyển vị mô men uốn khichia dầm thành 160 phần tử sau: W24     53  W  94   W {W }=    135    - 0.001984   =  W M1  0.0007733     0.0004531  -  0.0002352   x ql ;     0.4606  MTrai40 - 0.2144   {M }=   Phai    M 40  = M80    M  120 M 160     Ta thấy kết trên:  - 0.5052   0.1607  x ql     -  0.04464   0.0000 - Về mômen gối x 10 -3 trung gian nhịp thứ trùng khớp với kết giải xác theo phương pháp giải tích: 0.5 -0.5 -1 - Momen ngàm nhịp thứ gần trùng khớp với kết xác - Về chuyển vị kết -1.5 -20 20 xác 60 80 100 120 140 Hình 3.8a Đường độ võng dầm trùng khớp với kết giải 40 theo phương pháp giải tích: 69 160 Biểu đồ mơmen uốn đường độ võng dầm hình 3.8: Hình 3.8a Biểu đồ M Nhận xét: Qua ví dụ thấy rằng, dầm chịu tải trọng Momen tập trung để nhận kết xác ta phải chia dầm thành nhiều phần tử 70 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán dầmliên tục chịu tác dụng tải trọng tĩnh tập trung Tác giả rút kết luận sau: Trình bày phương pháp giải tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn toán học kết cấu Đãtrình bày tốn dầm chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler Bernoulli Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung (lực tập trung) để đạt chuyển vị xác cần chia dầm thành từ đến phần tử, để tìm nội lực xác cần chia dầm thành từ đến 16 phần tử Đối với dầm chịu mômen tập trung cần chia dầm thành 100 đến 160 phần tử nhận kết xác giải phương pháp giải tích KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ 71 Danh mục tài liệu tham khảo I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 ÷ 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Đoàn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Cơng nghệ xây dựng, số 05, Qúy [8] Đoàn Văn Duẩn (2011),Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [9] Đồn Văn Duẩn (2012),Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu cơng nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [10] Đoàn Văn Duẩn (2014),Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [11] Đồn Văn Duẩn (2015),Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát,Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [12] Đoàn Văn Duẩn (2015),Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) 72 [13] Đồn Văn Duẩn (2015),Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh,Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [14] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [15] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [16] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [17] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [20] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [21] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang 73 [24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGrawHill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice,Pineridge Press Lt [27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements,J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [28] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag (Bản dịch tiếng Nga, 1987) [29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [32] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press 74 [33] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [34] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [35] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 75 ... xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai... phương pháp phần tử hữu hạn chương 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định V Tuy nhiên phương pháp. .. suất phần tử Hiện nay, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị Sau luận văn trình nội dung phương pháp phần tử hữu hạn