Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - BÙI VĂN HƯNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Chun ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TS Trần Hữu Nghịđã hướng dẫn tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học- trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀCÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Phép tính biến phân - Các định nghĩa phương trình Euler 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Cực trị phiếm hàm, phương trình Euler [ 2,3,12,13] 1.1.3 Bài tốn cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange 1.1.4 Phương pháp trực tiếp toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn [ 13] 1.2 Bài toán học kết cấu 10 1.3 Các phương pháp giải 10 1.3.1 Phương pháp lực 10 1.3.2 Phương pháp chuyển vị 11 1.3.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp 11 1.3.4 Phương pháp sai phân hữu hạn 11 1.3.5 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân 12 CHƯƠNG 2.PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN 13 2.1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 13 2.1.1 Hàm nội suy phần tử 15 2.1.2 Ma trận độ cứng phần tử 17 2.1.3 Ma trận độ cứng tổng thể 18 iv 2.1.4 Xét điều kiện ngoại lực 20 2.1.5 Xác định nội lực 20 CHƯƠNG 3.PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN 21 3.1 Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli 21 3.1.1 Dầm chịu uốn túy phẳng 21 3.1.2 Dầm chịu uốn ngang phẳng 24 3.2.Giải toán dầm liên tục phương pháp phần tử hữu hạn 31 3.2.1.Tính tốn dầm liên tục 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 58 KẾT LUẬN 58 KIẾN NGHỊ 58 Danh mục tài liệu tham khảo 59 v MỞ ĐẦU Bài toán học kết cấu nói chung xây dựng theo bốn đường lối là: Xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp coi xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp xây dựng dựa ý tưởng rời rạc hóa cơng trình thành phần tử nhỏ Các phần tử nhỏ nối lại với thông qua phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp theoba mơ hình gồm:Mơ hình chuyển vị, xem chuyển vị đại lượng cần tìm hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị phần tử; Mơ hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố ứng suất hay nội lực phần tử mơ hình hỗn hợp, coi đại lượng chuyển vị ứng suất hai yếu tố độc lập riêng biệt Các hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị lẫn ứng suất phần tử Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mơ hình chuyển vị để xây dựng giải toán dầm liên tục chịu tác dụng tải trọng tĩnhphân bố Mục đích nghiên cứu đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều" Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn dầm chịu uốn Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, áp dụng Phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán dầmliên tục, chịu tác dụng tải trọng tĩnhphân bố Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƯƠNG BÀI TỐN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này, trước tiên trình bày vấn đề phép tính biến phân, trình bày khái niệm bản; phương trình EuLer tốn cực trị có ràng buộc (phương pháp thừa số lagrange) Đây vấn đề cần thiết toán học Sau giới thiệu tốn học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng 1.1 Phép tính biến phân - Các định nghĩa phương trình Euler 1.1.1.Các định nghĩa  Biến phân y hàm y(x) biến độc lập x hàm x xác định giá trị x hiệu hàm Y(x) hàm có y(x):  y  Y ( x)  y ( x) y gây thay đổi quan hệ hàm y x không nhầm lẫn với số gia y có số gia x  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x), yn ( x); x  số gia hàm có biến phân  yi hàm yi viết sau: F  F  y1   y1 , y2   y2 , , yn   yn ; x  F  y1, y2 , yn ; x  Nếu hàm y(x)  y khả vi  y ' định sau:  y '    y '( x)  y (1.1) gây xác dy d   y   Y ' ( x)  y ' ( x) dx dx  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x), yn ( x); y,1 ( x), y,2 ( x), y, n ( x); x (1.2)  gia số tương ứng với biến phân  yi là: F  F  y1   y1 , y2   y2 , , yn   yn ; y ,1   y ,1 , y ,   y , , , y , n   y , n , x   F  y1 , y2 , yn ; y ,1 , y , , y , n , x  (1.3)  Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc số gia xác định theo (1.3) viết dạng chuỗi Tay-lo sau: n F   i 1 F F ' n n  F 2 F 2 F '  yi   yi    yi yk   y  y   yi' yk  R    i k ' ' yi y 'i i 1 k 1 yi yk yi yk yi yk (1.4) R    đại lượng vô bé bậc cao với    y12   y '12   y22   y '22    yn2   y '2n (1.5) Tổng (1.4) tương ứng với bậc  yi  y 'i gọi biến phân bậc hàm F có ký hiệu F, tổng thứ hai tương ứng với tích chúng nửa biến phân bậc hai  F F 1.1.2 Cực trị phiếm hàm, phương trình Euler [ 2,3,12,13] Như nói trên,đối tượng phép tính biến phân tìm hàm chưa biết y(x) để đảm bảo cực trị cho tích phân xác định sau: x2 I  F  y( x), y ( x), x  dx (1.6a) ' x1 x2 I   F  y ( x), y ( x), , y ( x), y ( x), y n ' ' ( x), , yn ' ( x), x  dx (1.6b) x1 [Phép ánh xạ đặt hàm (hệ hàm) xác định tập tương ứng với đại lượng vô hướng (scalar) gọi phiếm hàm] Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phương ) hàm y(x) hệ hàm yi(x) tồn số dương  để số gia Z x2 x2 x1 x1 Z    Fdx   Fdx  (1.7) Đối với tất biến phân  y tất hệ biến phân  yi thỏa mãn điều kiện   yi2   y 'i2     y12   y '12   y22   y '22    yn2   y '2n   x1  x  x2 Cực đại (địa phương) Z Z < Có hai phương pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp phiếm hàm đưa phiếm hàm phương trình vi phân Khi đưa phiếm hàm (1.6a) phương trình vi phân từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: x2  I    F ( y, y ', x)dx  (a) x1 Với  I biến phân bậc xác định theo (1.4): x2  F F   I     y   y '  dx  x y '  y  (b) Tích phân phần biểu thức (b) ta có: x x2 F F d  F  I  y      ydx  x1 y y ' dx  y '   x1 (c) Khi điểm biên cố định số hạng thứ (c) không x2 F y 0 y x1 Và  y tùy ý từ (c) suy điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: F d  F    0 y dx  y '  (1.8) Phương trình (1.8) gọi phương trình Euler phiếm hàm (1.6a) Trong số tài liệu, phương trình Euler thường suy từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính khơng gian D1 (Gồm hàm xác định đoạn [x1,x2] liên tục với đạo hàm cấp nó) x2 Nếu  a  x   y( x)  b( x) y '( x)  dx  x1  F1      so  hang  n     Fn   đó: F   ;      so  hang  k        1     1         n  1  2      k  ẩn số tốn Trong ví dụ 3.3 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau: 768 −768 [K 𝑒 ] = [ 96 96 −768 768 −96 −96 96 96 −96−96] 16 8 16 - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu sau:  1536   - 96  - 96  96   96   K              1056 1536 0 0 - 96 - 96 96 96 0 0 - 96 16 0 0 0 0 - 128 - 96 16 0 0 0 0 - 136 96 0 16 0 0 -1 0 0 96 0 16 0 0 0 0 - 96 - 96 0 0 0 0 16 8 16 0 0 0 -1 0 0 0 48 96 0 0 0 16 0 -1 0 96 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0 0  0 0  0 0  0 0 0  0 0   49 - Véc tơ lực nút{F}:            F               0.25 0 0 0 0 0 0                        Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  Kết chuyển vị, góc xoay nút: 1   0.0000    - 0.0006             0.0016  x Pl    0.0003  W2  - 0.0001   4   W        x Pl     0.0027 W 0.0004     4  5  ; Mômen uốn dầm: M1   - 0.002451  M   0.000603      M   M    0.01393  x Pl M   - 0.02429   4    M   50 Ta thấy kết trên: - Khi chia dầm thành phần tử nhận kết chưa trùng khớp với kết xác -1 x 10 -4 -2 số mặt cắt dầm -3 -4 - Khi chia dầm thành 16 phần tử ta nhận kết sau: + Về chuyển vị, hình 3.6a -5 -6 10 12 14 16 Hình 3.6a Đường độ võng dầm W2   0.0001371    x Pl W4  - 0.0005289  W    trùng khớp với kết xác Hình 3.6a Biểu đồ M M1   - 0.007822  M   0.004397  2     M   M    0.01758  x Pl M   - 0.02246   4       M   5  Nhận xét: Nếu ta rời rạc hóa dầm thành 16 phần tử, kết trùng khớp với kết xác nhận phương pháp giải tích Khi biểu đồ mơmen uốn đường độ võng dầm hình 3.6b: 51 Ví dụ 3.4: Dầm hai nhịp (hình 3.7) Xác định nội lực chuyển vị dầm hai nhịp chiều dài nhịp l , độ cứng SO DO DAM uốn EJ, chịu tải trọng phân 2 n 10 ngx bố q tồn dầm, nút SO DO NUT DAM hình 3.7a 1 Rời rạc hóa kết cấu dầm 0 W SO DO AN CHUYEN VI thành n pt phần tử.Các nút SO DO AN GOC XOAY phần tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, Hình 3.7 Dầm hai nhịp chiều dài phần tử khác Mỗi phần tử có ẩn 𝑣1 , 𝑣2 , 1 , 2 n pt phần tử rời rạc tổng cộng có n pt ẩn Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phầntử thứ  e  1 nên số bậc tự nhỏ n pt Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị điều kiện liên tục góc xoay xét cách cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.1a) ta chia thành phần tử (hình 3.1b) Như vậy, tổng cộng số ẩn 11 ẩn < 4x4=16 ẩn Gọi ma trận n w ma   trận chuyển vị có kích thước n w n pt ,2 ma trận có n pt hàng cột chứa ẩn số chuyển vị nút phần tử (hình 3.1) nw (1, :)  0 1; ngx (2, :)  1 2 ; ngx (3, :)  2 3; ngx (4, :)  3 4 52 nw  0 1 2 3 4   Gọi ma trận n  ma trận chuyển vị có kích thước n  n pt ,2 ma trận có n pt hàng cột chứa ẩn số góc xoay nút phần tử (hình 3.5) ngx (1, :)  5 6; ngx (2, :)  7 8 ; ngx (3, :)  9 10; ngx (4, :)  11 12 ngx  5 10 11 12 Sau biết ẩn số thực ta xây dựng độ cứng tổng thể (có nhiều cách ghép nối phần tử khác nhau, tùy vào trình độ lập trình người nên tác giả khơng trình bày chi tiết cách ghép nối phần tử lại để ma trận độ cứng tồn dầm xem code mơ đun chương trình tác giả) Nếu tốn có n cv ẩn số chuyển vị n gx ẩn số góc xoay ma trận độ   cứng dầm K có kích thước (nxn), K  n,n  với n  n cv  n gx Như ví dụ 3.3, n  11 Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau: dyi dx  nut dyi 1 0 dx nut1 (a)      nut1     dy2  dy3 2     0 dx dx nut nut1      dy  dy  3     dx dx  nut nut1   (b)  dy1 dy   dx nut dx 1  hay: Trong  i ẩn số tốn (có k ẩn số), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k) ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng 53 K  n  k,n  k  Gọi k góc xoay nút phần tử trước, k góc xoay nút phần tử sau ta có hệ số ma trận độ cứng K: k  n  i,k1   2 (i   k) ; k  n  i,k    x x (c) k  k1 ,n  i   2 (i   k) ; k  k ,n  i    x x (d) Nếu có hai phần tử có điều kiện góc xoay, có n pt phần tử   có 2n pt  điều kiện liên tục góc xoay phần tử Như cuối ta thiết lập phương trình: K  F (e)  F1      so  hang  n     Fn   đó: F   ;      so  hang  k        1     1         n  1  2      k  ẩn số tốn Trong ví dụ 3.1 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau: 768 −768 [K 𝑒 ] = [ 96 96 −768 768 −96 −96 - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: 54 96 96 −96−96] 16 8 16 Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu sau:  1536 0 1536  - 96  96   96  96   - 96  K    - 96  96  96   0   0  0   0  1056 - 96 - 96 0 16 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 - 128 - 136 96 0 16 0 0 -1 0 0 96 0 16 0 0 0 0 - 96 0 0 16 0 -1 0 0 - 96 0 0 16 0 0 0 0.25 0.25 0 0 0 0 0 0                        96 0 0 0 16 0 -1 0 96 0 0 0 16 0 0 - Véc tơ lực nút{F}:            F               Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết: 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0 0  0 0  0 0  0  0  0 0    K  \ F  56 Kết chuyển vị mô men uốn khichia dầm thành 16 phần tử sau: W2  - 0.0001155    x ql W4  - 0.000392  ; W     M1   0.01249  M  - 0.00929    M   M    0.02635  M  - 0.01808  4   M   0.0000     x ql    Ta thấy kết trên: - Về mômen gối 0.5 trung gian -0.5 nhịp thứ trùng khớp -1.5 với kết giải -2.5 x 10 -4 -1 -2 xác theo phương pháp -3 -3.5 -4 giải tích: - Momen ngàm 10 12 14 Hình 3.8a Đường độ võng dầm nhịp thứ gần trùng khớp với kết xác - Về chuyển vị kết trùng khớp với kết Hình 3.8a Biểu đồ M giải xác theo phương pháp giải tích: Biểu đồ mơmen uốn đường độ võng dầm hình 3.8: 57 16 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán dầmliên tục chịu tác dụng tải trọng tĩnh phân bố Tác giả rút kết luận sau: Trình bày phương pháp giải tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn toán học kết cấu Đãtrình bày tốn dầm chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler Bernoulli Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với tốn dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố để đạt chuyển vị xác cần chia dầm thành từ đến 16 phần tử KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ 58 Danh mục tài liệu tham khảo I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Đồn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30Tr36) [8] Đoàn Văn Duẩn (2011),Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [9] Đồn Văn Duẩn (2012),Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu cơng nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [10] Đoàn Văn Duẩn (2014),Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [11] Đồn Văn Duẩn (2015),Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát,Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) 59 [12] Đoàn Văn Duẩn (2015),Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [13] Đồn Văn Duẩn (2015),Tính toán kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh,Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [14] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [15] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [16] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [17] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [20] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [21] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang 60 [24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGrawHill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất NaukaMoscow, 1979), 560 trang [26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice,Pineridge Press Lt [27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements,J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [28] C.A.Brebbia, Techniques Theory J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [32] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press 61 [33] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [34] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [35] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 62 ... CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN 2.1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) chia cơng trình thành phần nhỏ gọi phần tử Việc tính tốn thực phần tử, ... để xây dựng giải toán dầm liên tục chịu tác dụng tải trọng tĩnhphân bố Mục đích nghiên cứu đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều" Nhiệm vụ nghiên cứu... Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp coi xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp phương pháp gần như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp