Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr ng viên, t o

m u ki n thu n l tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên

c u hoàn thành lu n

Tác gi xin chân thành c c, các chuyên gia trong

và ngoài i h c Dân l p H i phòng u ki , quan tâm góp ý cho b n lu n c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c , giáo viên c a Khoa xây d ng, Phòng i h c và i h c - i h c Dân l p H i phòng,

ng nghi p u ki n thu n l tác gi trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n

Tác gi lu n

Tr

b c a chuy n v trong ph n t ; Mô hình cân b ng, hàm n i suy bi u di n

g ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t và mô hình

h n h p, c ng chuy n v và ng su t là hai y u t c l p riêng

bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a c chuy n v l n

ng su t trong ph n t

I

Tr , t c tiên trình bày các v v phép tính bi n phân, ch trình bày các khái ni n

có y(x): y gây ra s i quan h hàm gi a y và x và

c nh m l n v i s gia y khi có s gia x

N o hàm riêng liên t c b c 2 thì s gia c c xác

nh theo (1.3) có th vi t i d ng chu i

B : Cho phi m hàm tuy n tính trong không gian D1 (G m các hàm xác

N u

-y, bài toán tìm c c tr c a phi m hàm(1.6a) d n v gitrình (1.8) v u ki

Khi phi m hàm (1.6b) có h hàm yi(i=1 n) c n tìm thì ng v i m i

1.1.4 c ti p trong bài toán bi n phân

-sai phân h u h n [ 13]

Ch ng h n ; , Không ph ng cong có th nh n b t k trong m t bài toán

bi n phân c, mà ch xét các giá tr c a phi ng gãy khúc thi t l p t n c có

c nghi m c a bài toán bi thu n ti a, giá tr c a phi m hàm I c tính g ng g p khúc nêu trên, ch ng

h n, trong bài toán n nh t, thay tích phân:

Vì ch có hai s h ng th i và th (i-1) c a t ng này ph thu c vào yi:

và

(i = 1,2, , n - 1) có d ng:

( i 1) )

1.2

ph n t h u h n

n t h u h n là m c bi t có hi u

n i suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:

- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v ng c n tìm và hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a chuy n v trong ph n t

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a

ng su t hay n i l c trong ph n t

- Mô hình h n h ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t Các hàm n i suy bi u di n g ng phân b c a cchuy n v l n ng su t trong ph n t

Hi n nay, khi áp d ph n t h u h gi i các bài toán

hình chuy n v

n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n chuy n v ng c n tìm Chuy n v c l y x p x trong

d ng m n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ) Trình t phân tích bài toán theo ph n t h u h n - mô hình

2.1.1.1 R i r c hoá mi n kh o sát

Mi n kh ng nghiên c c chia thành các mi n con hay còn g i là các ph n t có hình d ng hình h c thích h p Các ph n t c coi là liên k t v i nhau t i các nút n m t nh hay biên c a ph n t S nút

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v nh ch n.Các ph n t ng có d ng hình h n (hình 2.1)

Hình 2.1 D ng hình h n c a ph n t

2.1.1.2 Ch n hàm x p x

M t trong nh ng c n t h u h n là x p x

ng c n tìm trong m i mi u này cho phép ta khthay th vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm nghi m t i các nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t c tìm b ng

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m ng chuy n v nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n chuy n v nút T ng chuy n v s nh m t tr ng thái bi n d ng,

tr ng thái ng su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành

ph n chuy n v nút c a ph n t

m b c ph n t gi m thì k t qu s h i t n nghi m chính xác.

h c

- S tham s c c x p x ph i b ng s b c t do c a ph n t ,

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t Yêu c u này cho kh

c c a hàm x p x theo giá tr ng c n tìm, t c là theo giá tr các thành ph n chuy n v t m nút c a ph n t

e

-trong

(2.21)

CB 1 2 3 4

4 5 9 10 TT

-2.1.1.5: S u ki n biên c a bài toán

h c:

( 2.27)

th c c a ma tr

tho mãn (k t c u ph i b t bi u ki c m t schuy n v ng 0 hay b ng m t giá tr nh ho c m t schuy n v nút ph i liên h v u ki n biên vào,

h cân b ng c a toàn h k t c u trong h t chung có d ng:

(2.28)

Trong th c t khi phân tích k t c ng g u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr nh

Khi biên có thành ph n chuy n v ng 0

Thành ph n chuy n v t i m t nút c a ph n t b ng v i các thành ph n chuy n v này là các liên k t v t, ta x lí b ng cách:

- Kh n v cho toàn b h , nh ng thành ph n chuy n t i

ng 0 thì ghi mã c a chuy n v mã toàn th

c a chuy n v nút theo th t n v nút c a toàn h ch bao g m các chuy n v nút còn l i

Khi biên có thành ph n chuy n v c m t giá tr

Khi thành ph n chuy n v t i m c m t giá tr xác

nh, thí d m = a (hay liên k ng v i các thành ph n chuy n v nút

m ch u chuy n v ng b c có giá tr b ng a) Lúc này ta có th gi i quy t bài toán này theo 2 cách:

v ng b t d ng t i t i tr ng tác d ng lên k t c u, vì v y khi

i tr ng tác d ng nút lên toàn b h ph i k thêm ph n t i tr ng tác

d ng nút do chuy n v ng b i tr ng nút lúc này là do chuy n v ng b c các liên k t t c t ng h p t i tr ng nút }ec a m i ph n t có liên k t t a chuy n v ng b c:

c b mô t chuy n v c a ph n t :

(2.30)

chuy n v ta th y có b n thông s c n xác thu n ti n ta thay b n thông s b ng các chuy n v và

góc xoay t i các nút c a ph n t Vì hàm chuy n v b c 3 nên ta

các l c tác d ng trên ph n t ta ph i quy v nút c a ph n t

2.1.2 Cách xây d ng ma tr c ng c a ph n t ch u u n

Xét ph n t d m có hai nút, m i nút có hai b c t do là chuy n v và góc

xoay và d m có di n tích m t c t ngang là A; mô men quán tính c a m t c t

chính xác (b ng hàm int(fx,a,b) có s n trong matlab) ho c tính b

pháp tích phân s c a Gauss và k t qu c ng c a ph n t ch u u n ngang ph

(2.39)

Bi c ma tr c ng ph n t thì ta d dàng xây d c ma tr n

c ng c a toàn thanh.N u thanh ch có m t ph n t thì ma tr n c a ph n t

c ng c a thanh Trong ph n t n u b c t do nào

không có thì trong ma tr c ng c a ph n t

ng v i b c t

2.1.3 Cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u

trình bày cách xây d ng ma tr c ng t ng th c a k t c u trong

n t h u h n, lu c trình bày thông qua ví d

gi i bài toán d m ch u u i tác d ng c a t i tr th sau (còn các bài toán khác thì cách xây d ng ma tr c ng t ng th ):

Ví d 2.5: Tính toán k t c u d m

c ng

nh chuy n v t i gi a d m

Hình 2.7 Hình ví d 2.5

Hình 2.8 R i r c hóa thanh thành các ph n tChia thanh ra thành ph n t Các nút c a ph n t ph i trùng v i v trí

t l c t p trung, chi u dài các ph n t có th khác nhau M i ph n t có 4b c

t y n u ph n t r i r c thì t ng c ng có 4 b c t

vì c m b o liên t c gi a các chuy n v là chuy n v c a nút cu i ph n t

th e b ng chuy n v c u ph n t th nên s b c t do c a thanh s nh Khi gi i ta ch c m b u ki n liên t c c a chuy n v u ki n liên t c v c xét b

u ki n ràng bu c Ví d d m trong (ví d 2.5) ta chia thành 4 ph n t(hình 2.8)

Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng

th c a thanh (có r t nhi u cách ghép n i ph n t

l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các

ph n t l c ma tr c ng c a toàn thanh và có th xem trong code

a tác gi )

N u bài toán có n s chuy n v và n s góc xoay thì ma tr

Trong ví d 2.5 khi chia thanh ra thành 4 ph n t K t qu ma tr c ng

c a thanh:

K t qu chuy n v , góc xoay t i các nút:

D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m

ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung tâm

Hình 3.1 D m ch u u n thu n túy

- M t c t ngang d u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n

d ng v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, githi t Bernoulli)

- Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và

y xa nhau (gi thi t v các th d c)

Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:

- V t li u có tính ch t liên t ng nh ng

- Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v c c a chúng

T hình 3.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i, các th i giãn ra Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có thkhông co, không giãn Th này g i là th trung hòa T p h p các th trung hòa g i là l p trung hòa, giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g i là

ng trung hòa N u ta xét m t m t c t n a d m thì sau khi b

u n nó s cho hình d 3.2

ng trung hòa c a m t c t ngang là m ng cong Vì chuy n v

Xét bi n d ng c n d m dz

c c t ra kh i d m b ng hai m t c t

1-1 và 2-2 Sau bi n d ng hai m t c t

này làm v i nhau m t góc và th

trung hòa có bán kính cong là (hình

3.3) Theo tính ch t c a th trung hòa ta

Ta tách ra t i A m t phân t hình h p b ng

các m t c t song song v i các m t t (hình

phân t sau bi n d i, nên ta suy ra

trên các m t c a phân t không có ng su t ti p

M t khác theo gi thi t th hai thì trên các m t

c a phân t song song v i tr c Z không có ng

(2.7)

c quán tính chính trung tâm Vì y là tr i

x ng nên suy ra oxy là tr c quán tính chính trung tâm c a m t c t ngang Thay (3.4) vào (3 c:

(3.8)Suy ra:

(3.9)

c ng c a d m khi u n Thay (2.9) vào (2.4) ta có:

Hình 3.5 D m ch u u n ngang ph ng

ng t m t c t ngang d m sau bi n d ng b u t i

m A b t k c a d m ta tách ra m t phân t b ng các m t song song v i các

m t t thì sau khi bi n d ng các góc vuông c a phân t không còn vuông

n có bi n d ng góc Suy ra trên các m t phân t s có ng

su t ti p

c a phân t có các ng su t sau:

c tcho th y r ng ng su t pháp r t

Trong m c nh gi thi t Bernoulli v m t c t ngang ph

i công th c tính ng su t pháp trên m t c t ngang d m là:

(3.11)

ng h p d m b u n ngang ph ng thì sau bi n d ng m t c t

i công th c (3 tính ng su t pháp không phù h p n a Tuy

ch u u n ngang ph ng ta v n có th dùng công th c (3 tính ng su t

mà sai s không l n l m

th c Durapski):

Gi s có d m m t c t ngang là hình ch nh t h p (b<h) ch u u n ngang ph ng hình 3.7.

Ta xét ng su t ti p t m b t k A(x,y) trên m t c t ngang 1-1 nào

a d m A ta k ng th ng song song v i tr c ox c t biên c a

m t c t t i B và C, c t tr c oy t c h t ta xét ng su t ti p t i B,C và D

i là b r ng c a m t c m c n tính ng

su t A Công th c (3.12) g i là công th c Durapski T công th c này và theo

u ki n cân b ng c a ph n thanh trên ta suy ra là cùng chi u v i tr c

T (3.13) ta nh n th y r ng: Lu t phân b trên m t c t là parabol

b i v i y V i y=0 (nh m n m trên tr c trung hòa ox) thì:

Bi c a m t c c v trên, hình 3.11b.

3.2 Gi i bài toán d m liên t c b n t h u h n

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.1b), s n chuy n v nw=, th t t trái sang ph i

là [1, 2] (hình 3.1c), n chuy n v t u và v trí g i trung gian c a

d m b ng không, n góc xoay ngx=8, th t t trái sang ph i là [3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10] (hình 3.1d)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

G i ma tr n ngx là ma tr n chuy n v c ngx(npt,2) là ma tr n

có hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

109:),4(

;87:),3(

;65:),2(

;43:)

c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các ph n t

l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong

a tác gi )

N u bài toán có nw n s chuy n v và n s góc xoay thì ma tr

c ng c a d m c (nxn), v i n=(nw+ngx) ví d3.1, n=10 Bây gi u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t

u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t c vi

(a)

(e)

Trong ví d 3.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

- Ma tr c ng ph n t [K e

- Ma tr c ng toàn d m [K]:

Ghép n i các ma tr c ng ph n t [Ke] vào h t chung, ta

c ma tr c ng t ng th c a toàn k t c

dài các ,

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.1b), s n chuy n v nw=, th t t trái sang ph i

là [1, 2] (hình 3.1c), n chuy n v t u và v trí g i trung gian c a

d m b ng không, n góc xoay ngx=8, th t t trái sang ph i là [3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10] (hình 3.1d)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

G i ma tr n ngx là ma tr n chuy n v c ngx(npt,2) là ma tr n

có hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

Sau khi bi t n s th c c a d m ta có th xây d c ng t ng th c a

; (c)

N u có hai ph n t thì có m u ki n v góc xoay, có ph n t thì

có u ki n liên t c v góc xoay gi a các ph n t y cu i cùng ta s thi t l

(e)

Trong ví d 3.2 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

Khi chia d m thành 4 ph n t thì s nút d m s là 5, th t t trái sang

ph i là [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.5b), s n chuy n v nw=, th t t trái sang ph i

là [1, 2] (hình 3.5c), n chuy n v t u và v trí g i trung gian c a

d m b ng không, n góc xoay ngx=8, th t t trái sang ph i là [3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10] (hình 3.5d)

y, t ng c ng s n là 10 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

G i ma tr n ngx là ma tr n chuy n v c ngx(npt,2) là ma tr n

có hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

Sau khi bi t n s th c c a d m ta có th xây d c ng t ng th c a

(e)

Trong ví d 3.3 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

u ki n ràng bu c Ví d d m trong (ví d 3.1a) ta chia thành 4 ph n t (hình 3.1b)

y, t ng c ng s n là 11 n < 4x4=16 n G i ma tr n là ma

tr n chuy n v c là ma tr n có npt hàng và 2 c t ch a các n s là chuy n v t i nút c a các ph n t (hình 3.1)

G i ma tr n là ma tr n chuy n v c là ma tr n

có hàng và 2 c t ch a các n s là góc xoay t i nút c a các ph n t (hình 3.5)

Sau khi bi t n s th c c a các thanh ta có th xây d c ng t ng

th c a thanh (có r t nhi u cách ghép n i ph n t

l p trình c a m i nên tác gi không trình bày chi ti t cách ghép n i các

ph n t l c ma tr c ng c a toàn d m và có th xem trong code

; là n s c a bài toán

Trong ví d 3.1 khi chia thanh ra thành 4 ph n t , ta có:

Gi c:

Theo ngôn ng l p trình Matlab ta có th vi t:

K t qu chuy n v và mô men u n khi chia d m thành 16 ph n t

des pièces droites, édition Eyrolles, Paris.

[18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability,

McGraw-Hill Book Company, Inc, New york Toronto London, 541 Tr

[19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái

[20] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one,

Prentice Hall International, Inc, 484 trang

[21] Klaus Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two,

Prentice Hall International, Inc, 553 trang

[22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures

-Hill Book Company, Inc, 738 trang

[23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four

edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang

[24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and

Engineers,

McGraw Moscow, 1964)

[25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity,

McGraw-Nauka-Moscow, 1979), 560 trang

[26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and

Practice, Pineridge Press Lt

[27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking

reduction in eight-node tri-linear solid finite elements,

-484

[28] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element

Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer

[29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood

Cliffs, New Jersey 07632

[30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering

University of California at Berkeley (2002) Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition,

Reprint January

[31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971)

Proceedings, ORN Symposium on