Định lý phân tích của nhóm abel xoắn và nhóm abel đối xoắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HẢI BẰNG ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA NHĨM ABEL XOẮN VÀ NHĨM ABEL ĐỐI XOẮN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HẢI BẰNG ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH CỦA NHĨM ABEL XOẮN VÀ NHÓM ABEL ĐỐI XOẮN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn đề tài: "Định lý phân tích nhóm Abel xoắn nhóm Abel đối xoắn" kết trình tìm hiểu nghiên cứu thân tôi, thực hướng dẫn bảo tận tình TS Phạm Thị Thu Thủy Trong q trình thực luận văn, tơi kế thừa kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm có khơng trung thực trình thực luận văn Tp HCM, ngày 18 tháng 09 năm 2022 Học viên Nguyễn Hải Bằng TĨM TẮT NỘI DUNG Nhóm Abel xoắn đối xoắn hai lớp nhóm Abel quan trọng Nhóm Abel xoắn nghiên cứu sâu rộng cơng trình Kulikov [1], Fuchs [2] nhiều nhà tốn học khác Lớp nhóm Abel đối xoắn bắt đầu nghiên cứu độc lập đồng thời cơng trình Harrison [3], Nunke [4] Fuchs [5] Harrison [3] chứng minh phạm trù T nhóm Abel xoắn thu gọn phạm trù C nhóm Abel đối xoắn điều chỉnh tương đương thơng qua hai hàm tử Ext(Q/Z,∗ ) : T −→ C Tor(Q/Z,∗ ) : C −→ T Nội dung luận văn hệ thống trình bày chi tiết hai định lý phân tích hai lớp nhóm Cụ thể, nhóm Abel xoắn tổng trực tiếp p − nhóm, p − nhóm tổng trực tiếp nhóm chia p − nhóm tựa cyclic, cịn nhóm Abel đối xoắn tổng trực tiếp nhóm compact đại số nhóm đối xoắn điều chỉnh Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lý phân tích nhóm xoắn nhóm đối xoắn Chương trình bày kiến thức cần thiết để triển khai chương 2, bao gồm kiến thức nhóm Abel, đồng cấu nhóm, dãy khớp Chương gồm Bài trình bày định lý phân tích nhóm Abel xoắn Bài trình bày định lý phân tích nhóm đối xoắn với số kết nhóm mở rộng, nhóm compact đại số cần thiết để chứng minh định lý LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Thu Thủy, cô cho đề tài hấp dẫn tận tình dạy để tơi hồn thành luận văn Tiếp đến, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để học tập thực luận văn Ngồi ra, tơi xin chân thành cảm ơn gửi lời tri ân đến quý thầy, cô tận tình giảng dạy lớp cao học khóa 29, chun ngành Đại số Lý thuyết số, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đặc biệt bạn đồng nghiệp ủng hộ, động viên chia khó khăn với tơi cơng việc trình thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Do đó, tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa từ quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất Tp HCM, ngày 18 tháng 09 năm 2022 Học viên Nguyễn Hải Bằng Mục lục Danh mục ký hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Một số nhóm Abel quan trọng Định lý phân tích nhóm Abel xoắn nhóm Abel đối xoắn 15 2.1 Định lý phân tích nhóm Abel xoắn 15 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 22 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Tài liệu tham khảo 36 Danh mục ký hiệu N : Tập số hợp tự nhiên N∗ : Tập số hợp tự nhiên khác không Z : Nhóm cộng số nguyên Q : Nhóm cộng số hữu tỉ R : Nhóm cộng số thực Z(p∞ ) : p − nhóm tựa cyclic Jp : Nhóm cộng số nguyên p − adic Im α : Ảnh đồng cấu α Ker α G∼ =C : Hạt nhân đồng cấu α A≤G : Nhóm A nhóm nhóm G A/B : Nhóm thương A theo B o(a) : Cấp phần tử a A⊕C : Tổng trực tiếp nhóm A nhóm C P i∈I Q i∈I : Nhóm G đẳng cấu với nhóm C Ai , ⊕ Ai : Tổng tổng trực tiếp nhóm Ai , i ∈ I Ai : Tích trực tiếp nhóm Ai , i ∈ I i∈I Hom(A, C) : Nhóm đồng cấu từ nhóm A tới nhóm C Ext(C, A) : Nhóm mở rộng nhóm A nhóm C 1G : Tự đồng cấu đồng nhóm G ∪, ∩ : Hợp, giao tập hợp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm Abel A tập hợp khác rỗng với phép toán cộng thỏa mãn điều kiện sau: a + (b + c) = (a + b) + c với a, b, c ∈ A a + b = b + a với a, b ∈ A Có phần tử khơng, kí hiệu cho a + = a với a ∈ A Với phần tử a ∈ A tồn phần tử −a ∈ A thỏa mãn a+(−a) = Trong luận văn này, tất nhóm xét đến nhóm Abel phép tốn sử dụng nhóm phép tốn cộng Do để ngắn gọn thuận tiện việc trình bày thay ghi "nhóm cộng Abel" ta ghi "nhóm" Tâp B nhóm A gọi nhóm A B nhóm (với phép tốn cộng A), kí hiệu B ≤ A Nhóm B nhóm nhóm A b1 − b2 ∈ B với b1 , b2 ∈ B 1.1 Các định nghĩa Cho A nhóm B ≤ A Ta kí hiệu A/B = {a + B|a ∈ A} gọi tập thương nhóm A theo nhóm B Tập thương A/B phép tốn (a + B) + (b + B) = (a + b) + B tạo thành nhóm, gọi nhóm thương nhóm A theo nhóm B Giả sử X tập hợp nhóm A Nhóm B bé nhóm A chứa X gọi nhóm sinh X kí hiệu hXi Một nhóm A gọi nhóm xyclic A sinh phần tử a ∈ A Định nghĩa 1.1.2 Giả sử a phần tử nhóm A Phần tử a gọi có cấp vơ hạn khơng tồn số nguyên dương m cho ma = Phần tử a gọi có cấp m ∈ N∗ m số nguyên dương nhỏ cho ma = Cấp a kí hiệu o(a) 1) Nhóm A gọi nhóm xoắn phần tử nhóm A có cấp hữu hạn 2) Cho p số nguyên tố Một p − nhóm nhóm mà cấp phần tử nhóm lũy thừa số nguyên tố p 3) Nhóm A gọi nhóm khơng xoắn phần tử khác nhóm A có cấp vơ hạn Định nghĩa 1.1.3 1) Tập hợp tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm A tạo thành nhóm A, gọi phần xoắn A 2) Tập hợp tất phần tử A có cấp lũy thừa số nguyên tố p tạo thành nhóm A, gọi p − thành phần A Bổ đề 1.1.4 (Bổ đề Zorn) Nếu tập hợp xếp thứ tự mà tập tồn phần có cận tập hợp có phần tử tối đại 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.5 Một đồng cấu nhóm ánh xạ f từ nhóm A đến nhóm B cho với cặp a, b ∈ A f (a + b) = f (a) + f (b) Nếu A = B đồng cấu f gọi tự đồng cấu nhóm A Nếu đồng cấu nhóm f đơn ánh f gọi đơn cấu nhóm Nếu đồng cấu nhóm f tồn ánh f gọi tồn cấu nhóm Nếu đồng cấu nhóm f song ánh f gọi đẳng cấu nhóm Giả sử f : A → B đồng cấu từ nhóm A đến nhóm B Ta gọi Im f = f (A) ảnh đồng cấu f Ker f = {a ∈ A|f (a) = 0} hạt nhân đồng cấu f Dãy khớp Định nghĩa 1.1.6 1) Dãy đồng cấu (hữu hạn vô hạn) f g · · · −→ A −→ B −→ C −→ · · · gọi khớp nhóm B Im f = Ker g 2) Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng f g −→ A −→ B −→ C −→ Nghĩa đồng cấu f đơn cấu, đồng cấu g toàn cấu Im f = Ker g 3) Dãy khớp ngắn f g −→ A −→ B −→ C −→ 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 2.2 22 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn Một số tính chất nhóm mở rộng Ext(C, A) Bổ đề 2.2.1 Nếu A nhóm chia Ext(C, A) = với nhóm C Chứng minh Giả sử A nhóm chia được, để chứng minh Ext(C, A) = với nhóm C, ta lấy B ∈ Ext(C, A) mở rộng A theo C ứng với dãy khớp β α −→ A −→ B −→ C −→ (2.7) Ta chứng minh dãy khớp (2.7) dãy khớp chẻ Thật vậy, áp dụng mệnh đề 2.1.5 A nhóm chia nên A nhóm nội xạ Xét đơn cấu α : A −→ B đồng cấu đồng 1A : A −→ A, nên tồn đồng cấu ϕ : B −→ A cho tam giác sau giao hốn A 1A α B ϕ A Khi đó, ta có ϕα = 1A Áp dụng Mệnh đề 1.1.7 α có nghịch đảo trái nên dãy khớp (2.7) dãy khớp chẻ Từ suy Ext(C, A) = Bổ đề 2.2.2 Nếu C nhóm tự Ext(C, A) = với nhóm A Chứng minh Giả sử C nhóm tự do, để chứng minh Ext(C, A) = với nhóm A, ta lấy B ∈ Ext(C, A) mở rộng A theo C ứng với dãy khớp α β −→ A −→ B −→ C −→ (2.8) Ta chứng minh dãy khớp (2.8) dãy khớp chẻ Theo Mệnh đề 1.2.7 C nhóm tự nên C nhóm xạ ảnh Vì C nhóm xạ ảnh, ta xét đồng cấu đồng 1C : C −→ C toàn cấu β : B → C nên tồn đồng cấu ϕ : C −→ B cho tam giác sau giao hốn: 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 23 C 1C ϕ β B C Khi đó, ta có βϕ = 1C Áp dụng Mệnh đề 1.1.7 β có nghịch đảo phải nên dãy khớp (2.8) dãy khớp chẻ Từ suy Ext(C, A) = Bổ đề 2.2.3 Với nhóm A, C, Ai (i ∈ I), Cj (j ∈ J) ta có ! 1) Ext ⊕ Ci , A ∼ = i∈I Q i∈I Ext (Ci , A); ! 2) Ext Ci , Q j∈J Aj ∼ = Q j∈J Ext (C, Aj ) ! Chứng minh Ta chứng minh Ext ⊕ Ci , A ∼ = i∈I Q i∈I Ext (Ci , A) Với i ∈ I, xét dãy khớp −→ Hi −→ Fi −→ Ci −→ Fi nhóm tự Theo Định lý 1.2.19 ta có dãy khớp Hom(Fi , A) −→ Hom(Hi , A) −→ Ext(Ci , A) −→ Ext(Fi , A) Theo Mệnh đề 2.2.2 Fi nhóm tự nên Ext(Fi , A) = Do ta có dãy khớp Hom(Fi , A) −→ Hom(Hi , A) −→ Ext(Ci , A) −→ Mặt khác Fi nhóm tự nên −→ ⊕ Hi −→ ⊕ Fi −→ ⊕ Ci −→ i∈I i∈I i∈I cảm sinh khớp sơ đồ giao hoán ! Hom ⊕ Fi , A i∈I ! Hom ⊕ Hi , A i∈I α Q i∈I Hom (Fi , A) ! Ext ⊕ Ci , A i∈I γ β Q i∈I Hom (Hi , A) Q i∈I Ext (Ci , A) 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 24 Với i ∈ I, theo Mệnh đề 1.2.14 ta có Hom( ⊕ Fi , A) ∼ = i∈I Q i∈i Hom(Fi , A) ! Hom ⊕ Hi , A ∼ = Hom (Hi , A) Do từ dãy khớp ta có Ext( ⊕ Ci , A) ∼ = i∈I i∈I Q Q Ext(C, Ai ) Ext(Ci , A) Chứng minh tương tự ta có Ext(C, Ai ) ∼ = Q i∈I Q i∈I i∈I i∈I Mệnh đề 2.2.4 Ext(Q, A) nhóm khơng xoắn chia với nhóm A Chứng minh Cho m ∈ N∗ Vì Q nhóm khơng xoắn nên ta có đơn cấu m : Q −→ Q, ϕ(x) = mx, hay ta có dãy khớp m −→ Q −→ Q Vì phép nhân m vào Q cảm sinh phép nhân m vào Ext(Q, A) nên từ Mệnh đề 1.2.19 ta suy dãy khớp m Ext(Q, A) −→ Ext(Q, A) −→ Hay m Ext(Q, A) = Ext(Q, A) Vì m N∗ nên Ext(Q, A) nhóm chia Mặt khác, đồng cấu nhân m vào Q đẳng cấu nên đồng cấu nhân m vào Ext(Q, A) đẳng cấu Do Ext(Q, A) nhóm khơng xoắn 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 25 Nhóm đối xoắn nhóm compact đại số Định nghĩa 2.2.5 Nhóm G gọi nhóm đối xoắn G thỏa mãn Ext(A, G) = với nhóm khơng xoắn A Như vậy, G nhóm đối xoắn mở rộng G nhóm khơng xoắn dãy khớp chẻ Điều có nghĩa nhóm đối xoắn hạng tử trực tiếp nhóm chứa mà nhóm thương nhóm khơng xoắn Định nghĩa 2.2.6 Nhóm đối xoắn điều chỉnh nhóm đối xoắn thu gọn khơng có hạng tử trực tiếp khơng xoắn khác Ví dụ 2.2.7 Nhóm chia nhóm đối xoắn Một trường hợp đặc biệt nhóm đối xoắn nhóm compact đại số Định nghĩa 2.2.8 Cho A nhóm Một nhóm G A gọi túy với a ∈ A n ∈ N, từ a ∈ nG suy a ∈ nA Nhóm G gọi nhóm compact đại số G hạng tử trực tiếp nhóm A chứa G nhóm túy Mệnh đề 2.2.9 Nhóm compact đại số nhóm đối xoắn Chứng minh Cho G nhóm compact đại số B nhóm cho B/G nhóm khơng xoắn Cho g ∈ G, n ∈ N∗ g = nb, b ∈ B Khi n(b + G) = Vì B/G nhóm khơng xoắn nên b + G = hay b ∈ G Suy g ∈ nG Do đó, G nhóm túy B Vì G nhóm compact đại số nên hạng tử trực tiếp B Do G nhóm đối xoắn Khái niệm nhóm compact đại số gắn liền với p − adic topo nhóm Cho G nhóm, p − adic topo G topo xây dựng với sở lớp ghép theo nhóm pn G (n ∈ N) G, p − adic topo G Hausdoff ∩ pn G = n∈N Dãy {gi }i∈N gọi dãy Cauchy p − adic topo với n ∈ N, tồn i0 cho với i, j > i0 gj − gi ∈ pn G Dãy {gi }i∈N gọi hội tụ g p − adic topo với n ∈ N, tồn i0 cho với i > i0 gi − g ∈ pn G 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 26 Định nghĩa 2.2.10 Nhóm G gọi đầy đủ p − adic topo G Hausdoff dãy Cauchy G hội tụ Tiêu chuẩn quan trọng sau nhóm compact đại số thu gọn chứng minh Kaplansky Định lý 2.2.11 ([8]) Nhóm G nhóm compact đại số thu gọn G= Q p Gp , Gp đầy đủ p − adic topo Từ định nghĩa tiêu chuẩn nhóm compact đại số, ta thấy nhóm chia được, nhóm cyclic, nhóm số nguyên p − adic nhóm compact đại số Hơn tích trực tiếp nhóm compact đại số compact đại số Ta sử dụng Định lý 2.2.11 để chứng minh số bổ đề tính compact đại số số nhóm đồng cấu Bổ đề 2.2.12 Nếu A nhóm xoắn Hom(A, C) nhóm compact đại số thu gọn, với nhóm C Chứng minh Trước hết ta chứng minh cho trường hợp A p − nhóm Để chứng minh Hom(A, C) Hausdoff, xét đồng cấu f ∈ ∩ ∗ pn Hom(A, C) a ∈ A Vì A n∈N p − nhóm nên tồn m ∈ N∗ cho pm a = Vì α ∈ ∩ ∗ pn Hom(A, C) nên n∈N tồn β ∈ Hom(A, C) cho α = pm β Khi α(a) = pm β(a) = β(pm a) = β(0) = Suy α = Vậy ∩ ∗ pn Hom(A, C) = n∈N Cho {an }n∈N∗ dãy Cauchy Hom(A, C) Khơng tính tổng quát, giả sử αi − αj ∈ pn Hom(A, C) với i, j ≥ n Đặt α = α1 + (α2 − α1 ) + (α3 − α2 ) + Khi α thực ánh xạ Thật với a thuộc A với o(a) = n Khi với i ≥ n ta có αi+1 − αi ∈ pn Hom(A, C) nên (αi+1 − αi )(a) = Do α(a) xác định α(a) = [α1 + (α2 − α1 ) + + (αn − αn−1 )](a) = αn (a) 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 27 Ta chứng minh α giới hạn {ai }i∈N∗ Cho n ∈ N∗ , ta có αn = α1 + (α2 − α1 ) + + (αn − αn−1 ) Do α − αn = P i≥n (αi+1 − αi ) ∈ pn Hom(A, C) αi+1 − αi ∈ pn Hom(A, C) với i ≥ n Vậy Hom(A, C) đầy đủ p − adic topo với p − nhóm A Xét A nhóm xoắn Theo Bệnh đề 2.1.8 A = ⊕ Ap với Ap p p − thành phần A theo Mệnh đề 1.2.14 Hom(A, C) = Q p Hom(Ap , C) Vì Ap p − nhóm nên Hom(A, C) đầy đủ p − adic topo Vậy theo Định lý 2.2.11 ta có Hom(A, C) nhóm compact đại số Bổ đề 2.2.13 Nếu A nhóm chia Hom(G, A) nhóm compact đại số với nhóm G Chứng minh Vì A nhóm chia nên A ∼ =⊕ p ! ∞   ⊕ Z (p ) ⊕ ⊕ Q Do mp m0 theo Mệnh đề 1.2.14 ta có YY Y Hom (G, A) ∼ Hom (G, Z (p∞ )) ⊕ (G, Q) = p mp m0 Q Theo Mệnh đề 1.2.13 Hom (G, Q) ∼ = Q Theo Mệnh đề 1.2.15 m Y Y YY Y Hom (G, Z (p∞ )) ∼ Z pk ⊕ Jp ⊕ Q = Z (p∞ ) ⊕  n0  k nk  s t  Vì Z (p∞ ) , Z pk , Jp , Q nhóm compact đại số nên Hom(G, A) nhóm compact đại số Mệnh đề 2.2.14 Giả sử A nhóm khơng xoắn D bao nội xạ A Nếu C nhóm xoắn Ext(C, A) ∼ = Hom(C, D/A) Do Ext(C, A) nhóm compact đại số thu gọn Chứng minh Từ dãy khớp −→ A−→D−→D/A −→ 0, D nhóm khơng xoắn chia được, áp dụng Mệnh đề 1.2.19, suy dãy khớp δ∗ Hom(C, D)−→ Hom(C, D/A) −→ Ext(C, A) −→ Ext(C, D) (2.9) 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 28 Theo Mệnh đề 1.2.8 C nhóm xoắn D nhóm không xoắn nên Hom(C, D) = Mặt khác, theo Mệnh đề 2.2.1 D nhóm chia nên Ext(C, D) = Khi dãy khớp (2.9) trở thành δ∗ 0−→ Hom(C, D/A) −→ Ext(C, A) −→ Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.2.12 ta có Hom(C, D/A) nhóm compact đại số thu gọn Do Ext(C, A) ∼ = Hom(C, D/A) nhóm compact đại số thu gọn 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 29 Một số tính chất nhóm đối xoắn định lý phân tích nhóm đối xoắn Mệnh đề 2.2.15 Nhóm G nhóm đối xoắn Ext(Q, G) = Chứng minh Vì Q nhóm khơng xoắn nên hiển nhiên G nhóm đối xoắn Ext(Q, G) = Ngược lại giả sử Ext(Q, G) = A nhóm khơng µ xoắn Khi ta có đơn cấu µ : A −→ ⊕Q hay dãy khớp −→ A −→ ⊕Q Khi theo Mệnh đề 1.2.19 ta có Ext(⊕Q, G) −→ Ext(A, G) −→ Q Mà theo Mệnh đề 2.2.3 ta có Ext(⊕Q, G) ∼ = Ext(Q, G) nên Ext(⊕Q, G) = Suy Ext(A, G) = nên G nhóm đối xoắn Bổ đề 2.2.16 Ảnh tồn cấu nhóm đối xoắn nhóm đối xoắn Chứng minh Giả sử G nhóm đối xoắn f : G −→ A toàn cấu Ta xét dãy khớp: G −→ A −→ Áp dụng Mệnh đề 1.2.19, ta dãy khớp: Ext(Q, G) −→ Ext(Q, A) −→ Vì G nhóm đối xoắn Q nhóm khơng xoắn nên theo định nghĩa nhóm đối xoắn, ta có Ext(Q, G) = Khi đó, ta có dãy khớp: −→ Ext(Q, A) −→ Từ suy Ext(Q, A) = A nhóm đối xoắn Bổ đề 2.2.17 Cho G nhóm đối xoắn thu gọn H nhóm G Khi H nhóm đối xoắn G/H nhóm thu gọn 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 30 Chứng minh Xét dãy khớp −→ H−→G−→G/H −→ Khi theo Mệnh đề 1.2.19 ta có dãy khớp Hom(Q, G) −→ Hom(Q, G/H) −→ Ext(Q, H) −→ Ext(Q, G) Vì G nhóm thu gọn Q nhóm chia nên theo Mệnh đề 1.2.8 ta có Hom(Q, G) = Vì G nhóm đối xoắn Q nhóm khơng xoắn nên Ext(Q, G) = Do ta có dãy khớp −→ Hom(Q, G/H) −→ Ext(Q, H) −→ Do Ext(Q, H) ∼ = Hom(Q, G/H) Suy ra, H nhóm đối xoắn Hom(Q, G/H) = Vì Q nhóm khơng xoắn chia được, theo Mệnh đề 1.2.9 điều xảy G/H nhóm thu gọn Định lý 2.2.18 ([3]) Cho hai nhóm A, C Khi 1) Ext(C, A) nhóm đối xoắn; 2) Nếu C nhóm xoắn Ext(C, A) nhóm đối xoắn thu gọn Chứng minh Áp dụng Định lý 1.2.3 ta có phép giải nội xạ A µ ν E : −→ A −→ D −→ D0 −→ Khi theo Mệnh đề 1.2.19 ta có dãy khớp µ ν E∗ −→ Hom(C, A) −→ Hom(C, D) −→ Hom(C, D0 ) −→ Ext(C, A)−→ Ext(D, A) (2.10) 1) Áp dụng Bổ đề 2.2.1 D nhóm chia nên Ext(D, A) = Do Ext(C, A) ảnh tồn cấu Hom(C, D0 ) Mặt khác D0 nhóm chia nên theo Bổ đề 2.2.13, Hom(C, D0 ) nhóm compact đại số Do đó, theo Bổ đề 2.2.16, Ext(C, A) nhóm đối xoắn 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 31 2) Từ dãy (2.10) ta có dãy khớp −→ µ Hom(C, A)−→ Hom(C, D0 )−→ Ext(C, A)−→0 (2.11) Cho C nhóm xoắn Khi theo Bổ đề 2.2.13, Hom(C, A), Hom(C, D0 ) nhóm compact đại số thu gọn Vì µ đơn cấu nên µ Hom(C, A) nhóm compact đại số thu gọn Do theo Mệnh đề 2.2.14, Ext(C, A) nhóm thu gọn Bổ đề 2.2.19 Nếu G nhóm đối xoắn thu gọn G ∼ = Ext(Q/Z, G) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.19, từ dãy khớp −→ Z−→Q−→Q/Z −→ ta suy dãy khớp Hom(Q, G)−→ Hom(Z, G) −→ Ext(Q/Z, G)−→ Ext(Q, G) Theo Mệnh đề 1.2.8 Q nhóm chia G nhóm thu gọn nên Hom(Q, G) = Theo Mệnh đề 1.2.11 ta có Hom(Z, G) ∼ = G Vì G nhóm đối xoắn nên Ext(Q, G) = Do ta có dãy khớp −→ G−→ Ext(Q/Z, G) −→ Vậy Ext(Q/Z, G) ∼ = G Mệnh đề 2.2.20 Cho T nhóm xoắn thu gọn Khi Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn điều chỉnh có phần xoắn đẳng cấu với T có nhóm thương theo T (khơng xoắn) chia Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.19 từ dãy khớp µ ν −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ ta suy dãy khớp E∗ Hom(Q, T )−→ Hom(Z, T ) −→ Ext(Q/Z, T ) −→ Ext(Q, T ) −→ Ext(Z, T ) 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 32 Theo Mệnh đề 1.2.8 Q nhóm chia T nhóm thu gọn nên Hom(Q, T ) = Áp dụng Bổ đề 2.2.2 Z nhóm tự nên ta có Ext(Z, T ) = Từ ta có dãy khớp E∗ −→ Hom(Z, T ) −→ Ext(Q/Z, T )−→ Ext(Q, T ) −→ Mà theo Mệnh đề 1.2.11 ta có nhóm Hom(Z, T ) ∼ = T nhóm xoắn theo Mệnh đề 2.2.4, Ext(Q, T ) nhóm khơng xoắn chia Do Ext(Q/Z, T ) có phần xoắn đẳng cấu với T nhóm thương theo phần xoắn nhóm khơng xoắn chia Để đơn giản, ta đống T với phần xoắn Ext(Q/Z, T ) Ta chứng minh Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn điều chỉnh Lấy B hạng tử trực tiếp không xoắn Ext(Q/Z, T ) Ext(Q/Z, T ) = B ⊕ A Khi rõ ràng Ext(Q/Z, T )/T = (B ⊕ T )/T + (A + T )/T Mặt khác, giả sử b + T = a + T (b ∈ B, a ∈ A) b − a ∈ T Do tồn n ∈ N cho n(b − a) = hay nb = na ∈ A ∩ B = Vì b thuộc nhóm khơng xoắn B nên từ suy b = Vậy Ext(Q/Z, T )/T = (B ⊕ T )/T ⊕ (A + T )/T Ta có Ext(Q/Z, T )/T = (B ⊕ T )/T ⊕ (A ⊕ T )/T Ext(Q/Z, T )/T nhóm khơng xoắn chia được, (B ⊕ T )/T nhóm khơng xoắn chia Mặt khác, ta có (B ⊕ T )/T ∼ = B, từ suy B nhóm chia Tiếp theo, áp dụng Định lý 2.2.18 Q/Z nhóm xoắn nên Ext(Q/Z, T ) nhóm thu gọn Vậy Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn điều chỉnh Bổ đề 2.2.21 Nếu T phần xoắn nhóm G, Ext(Q/Z, G) ∼ = Ext(Q/Z, T ) ⊕ Ext(Q/Z, G/T ) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.19, từ dãy khớp −→ T −→G−→G/T −→ 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 33 ta suy dãy khớp Hom(Q/Z, G/T ) −→ Ext(Q/Z, T ) −→ Ext(Q/Z, G) −→ Ext(Q/Z, G/T ) −→ Áp dụng Mệnh đề 1.2.8 Q/Z xoắn G/T nhóm khơng xoắn nên Hom(Q/Z, G/T ) = Từ ta có dãy khớp −→ Ext(Q/Z, T ) −→ Ext(Q/Z, G) −→ Ext(Q/Z, G/T ) −→ (2.12) Gọi D bao nội xạ G/T , theo Mệnh đề 2.2.14 ta có Ext(Q/Z, G/T ) ∼ = Hom(Q/Z, D/(G/T )) Vì Q/Z ∼ = L p Z (p∞ ) nên áp dụng Mệnh đề 1.2.14 ta M Y Hom(Q/Z, D/(G/T ) ∼ Hom(Z (p∞ ) , D/(G/T )) = Hom( Z (p∞ ) , D/(G/T )) ∼ = p p Từ suy Y Ext(Q/Z, G/T ) ∼ Hom(Z(p∞ ), D/(G/T )) = p Tiếp theo, Z(p∞ ) nhóm chia nên theo Mệnh đề 1.2.10 ta có Hom(Z(p∞ ), D/(G/T )) khơng xoắn với p Từ đó, suy Ext(Q/Z, G/T ) nhóm khơng xoắn Tiếp theo, áp dụng Định lý 2.2.18 ta có Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn Khi từ dãy khớp (2.12) ta có Ext(Q/Z, G) ∈ Ext(Ext(Q/Z, G/T ), Ext(Q/Z, T )) Theo định nghĩa nhóm đối xoắn Ext(Q/Z, T ) Ext(Ext(Q/Z, G/T ), Ext(Q/Z, T )) = hay dãy khớp (2.12) dãy khớp chẻ Vậy Ext(Q/Z, G) ∼ = Ext(Q/Z, T ) ⊕ Ext(Q/Z, G/T ) 2.2 Định lý phân tích nhóm Abel đối xoắn 34 Định lý 2.2.22 ([3]) Cho G nhóm đối xoắn thu gọn T phần xoắn G Khi đó, ta có phân tích G∼ = Ext(Q/Z, T ) ⊕ Ext(Q/Z, G/T ), Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn điều chỉnh Ext(Q/Z, G/T ) nhóm compact đại số khơng xoắn Sự phân tích (sai khác đẳng cấu) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.19 ta có G ∼ = Ext(Q/Z, G) Hơn theo Bổ đề 2.2.21 ta có Ext(Q/Z, G) ∼ = Ext(Q/Z, T ) ⊕ Ext(Q/Z, G/T ) Từ suy G∼ = Ext(Q/Z, T ) ⊕ Ext(Q/Z, G/T ) Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.2.18 Q/Z nhóm xoắn nên Ext(Q/Z, T ) nhóm thu gọn Mặt khác, theo Mệnh đề 2.2.20 ta có Ext(Q/Z, T ) nhóm đối xoắn điều chỉnh theo Mệnh đề 2.2.14 ta có Ext(Q/Z, G/T ) nhóm compact đại số khơng xoắn Ta có điều phải chứng minh KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với số kết quan trọng sau: 1) Trình bày có hệ thống kết quan trọng liên quan đến phân tích nhóm Abel xoắn thành tổng trực tiếp nhóm chia nhóm thu gọn 2) Trình bày có hệ thống định nghĩa số tính chất quan trọng nhóm đối xoắn, nhóm compact đại số 3) Trình bày có hệ thống kết quan trọng liên quan đến phân tích nhóm Abel đối xoắn thành tổng trực tiếp nhóm đối xoắn điều chỉnh nhóm compact đại số không xoắn Tài liệu tham khảo [1] L.Ya Kulikov (1952), Moskov Mat Obshch Generalized primary groups, I [Russian] Trudy [2] L Fuchs (1953), On the structure of abelian p-groups, Acta Math Acad Sci Hungar [3] D.K Harrison (1959), Infinite abelian groups and homological methods, Ann Math [4] R.J Nunke (1959), Modules of extensions over Dedekind rings, Ill J Math [5] Fuchs (1959), Notes on abelian groups, I Annales Univ Sci [6] Laszlo Fuch ( 2015), Abelian groups, Springer Monographs in Mathematics [7] Laszlo Fuch ( 2015), Infinite Abelian groups, Springer Monographs in Mathematics [8] Kaplansky (1954), Infinite Abelian groups, Univ of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan [9] Hồng Xn Sính (1994), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [10] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh