Cho L là K -đại số Lie.. Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn khớp trong một không gian véctơ hữu hạn chiều nào đó, tức là mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có thể xe[r]
(1)
Ò AU
-
ỂU LUẬ
LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE
–
1 2 Lê â
3 H L
4
Lê
(2)Mục lục
Mục lục . i
Ký hiệu tiểu luận . ii
Chương 1.KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE . 1
1.1.Định nghĩa ví dụ
1.2.Liên hệ đại số đại số Lie
1.3.Đại số ideal
1.4.Đồng cấu đẳng cấu đại số Lie
1.5.Toán tử vi phân
1.6.Đại số Lie thương tích trực tiếp, cách cho đại số Lie 10
1.7.Đại số Lie giải lũy linh 14
1.8.Sơ lược biểu diễn đại số Lie 15
Chương 2.NHÓM LIE - BIỂU DIỄN NHÓM LIE . 17
2.1.Định nghĩa 17
2.2.Ví dụ 18
2.3.Đại số Lie nhóm Lie 18
2.4.Ánh xạ mũ 19
2.5.Đồng cấu nhóm Lie 19
2.6.Biểu diễn nhóm Lie 20
Chương 3.LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE . 21
3.1.Định nghĩa 21
3.2.Ví dụ 21
3.3.Môđun đại số Lie 22
3.4.Môđum môđun thương 24
3.5.Môđun khả phân môđun bất khả phân 25
3.6.Đồng cấu môđun 27
(3)MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG TIỂU LUẬN
Matn(K) Tập tất ma trận vng cấpntrên trườngK
Matn(K)−−−−→móc Lie gl(n,K) Đại số Lie tuyến tính tổng quát cấpntrênK
L(A) Đại số Lie liên kết với đại số A
A(L) Đại số liên kết với đại số Lie L
MorL(L1,L2) Tập tất đồng cấu đại số Lie từL1vào L2trong phạm trùL
MorV := Hom(V1,V2) Tập tất ánh xạ tuyến tính từV1vàoV2trong phạm trùV
Der(A) Tập tất toán tử vi phân từ A vào A
Der(A) −−−−→móc Lie Der(A) Đại số Lie toán tử vi phân A
A =L −→ Der(L) Đại số Lie toán tử vi phân L
End(H) Tập tất toán tử tuyến tính H
Tn(K) Tập ma trận tam giác vuông cấpntrên trườngK
Tno(K) Tập ma trận tam giác chặt vuông cấpntrên trườngK
gl(V) Tập tất phép biến đổi tuyến tính từ V vào V
χ(G) Đại số Lie trường véctơ khả vi trường G
GL(n,K) Tập tất ma trận vuông cấpnkhả nghịch
Lie(G) Tập tất cảXχ(G)sao cho X bất biến trái
GL(V) Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính V
sl(n,K) Tập tất ma trận vng cấpncó vét
(4)Chương 1
KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE
1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. ChoKlà trường (thường giả sửch(K)=0) vàLmộtK-không gian véctơ. Ta bảo Llà mộtK-đại số Lie nếu Lđược trang bị thêm phép phân mà gọi tích Lie (hay là móc Lie)
[., ]: L×L−→ L
(x,y) 7−→[x,y]
được gọi móc Lie hay tích Lie củaxvớiysao cho tiên đề sau thỏa mãn
• (L1):[., ]song tuyến tính.
• (L2):[., ]phản xứng tức là[x,x] =0với mọix ∈ L.
• (L3):[., ]thỏa mãn đồng Jacobi tức là[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0.
Nhận xét
• Trên K-khơng gian véctơ L trang bị móc Lie tầm thường
[x,y] = 0với mọix,y∈ Lđể trở thành đại số Lie Khi đó, ta gọiLlà đại số Lie giao hốn
• Xét tiên đề(L2):[x,x] =0vớix ∈ L Ta có
0= [x+y,x+y] = [x,x] + [x,y] + [y,x] + [y,y]⇒[x,y] =−[y,x]
Khi đó,ch(K) 6=2thì(L2) : [x,x] =0 ⇔(L02) : [x,y] = −[y,x] Nếuch(K) = 2thì
(L2)⇒(L02)
(5)• Mỗi đại số Lie không gian véctơ nên số chiều đại số Lie số chiều không gian véctơ
1.1.2 Ví dụ
Ví dụ 1.1.1. Dễ thấy(K,[., ] ≡0)làK-đại số Lienchiều giao hốn
Ví dụ 1.1.2. R3với móc Lie tích có hướng hình sơ cấp đại số Lie khơng giao hốn
Bài tập 1.1. Chứng minh rằngR3với móc Lie tích có hướng hình sơ cấp đại số Lie khơng giao hốn
Ta định nghĩa móc Lie sau
[., ] : R3×R3 −→R3
(x,y) 7−→[x,y] = x∧y
Khi đó, móc Lie thỏa mãn tiên đề sau
• (L1): [., ]song tuyến tính
Thật vậy, với x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3),z(z1,z2,z3) ∈R3vàα,β∈ Kta có
∗ [αx+βy,z] = (αx+βy)∧z=α(x∧z) +β(y∧z) =α[x,z] +β[y,z]
∗ [x,αy+βz] = x∧(αy+βz) =α(x∧y) +β(x∧z) = α[x,y] +β[x,z]
• (L2): [., ]phản xứng
Thật vậy, với x∈ R3thì[x,x] =x∧x =0.
• (L3): [., ]thỏa mãn đồng Jacobi
Thật vậy, với x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3),z(z1,z2,z3) ∈R3ta có
∗ [x,[y,z]] =x∧(y∧z)
∗ [z,[x,y]] =z∧(x∧y)
∗ [y,[z,x]] =y∧(z∧x)
Khi đó,[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0
VậyR3với móc Lie đại số Lie Hơn nữa, nếu[x,y] = 0thìx,yphụ thuộc tuyến tính hay phương nên R3 với móc Lie đại số Lie khơng giao hốn
(6)Bài tập 1.2. Chứng minh Matn(K) với móc Lie đại số Lie khơng giao hốn
Ta định nghĩa móc Lie sau
[., ]: Matn(K)×Matn(K) −→ Matn(K) (a,b) 7−→[a,b] =ab−ba
Khi đó, móc Lie thỏa mãn tiên đề sau
• (L1): [., ]song tuyến tính Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Matn(K)vàα,β∈ Kta có
[αa+βb,c] = (αa−βb)c−c(αa−βb)
=α(ac−ca) +β(bc−cb)
=α[a,c] +β[b,c]
Tương tự ta kiểm tra được[a,αb+βc] = α[a,c] +β[a,c]
• (L2): [., ]phản xứng Thật vậy, vì[a,a] = aa−aa=0với mọia ∈ Matn(K)
• (L3): [., ]thỏa mãn đồng thức Jacobi Thật vậy, với mọia,b,c∈ Matn(K)ta có
∗ [a,[b,c]] = a(bc−cb)−(bc−cb)a =abc−acb−bca+cba
∗ [c,[a,b]] = c(ab−ba)−(ab−ba)c=cab−cba−abc+bac
∗ [b,[c,a]] = b(ca−ac)−(ca−ac)b=bca−bac−cab+acb
Khi đó,[a,[b,c]] + [c,[a,b]] + [b,[c,a]] =0
Vậy Matn(K)với móc Lie đại số Lie Hơn nữa, với a,b ∈ Matn(K) cho
[a,b] = 0⇔ab−ba =0⇔ab=ba
thìa =b hoặca = I b = I Do đó, Matn(K) với móc Lie đại số Lie khơng giao hốn
Chú ý: Ta cịn ký hiệu Matn(K)bởi gl(n,K)được gọi làđại số Lie tuyến tính tổng quát cấp
ntrênK.
1.2 Liên hệ đại số đại số Lie 1.2.1 Khái niệm đại số
Định nghĩa 1.2.1. ChoKlà trường và AmộtK-không gian véctơ Ta bảo A là đại số trên
KhayK-đại số nếu Ađược trang bị phép nhân
·: A×A −→ A
(7)được gọi tích củaavớibđồng thời thỏa mãn điều kiện sau
• (A1) :Phép·phân phối với phép+tức với mọia,b,c ∈ Athì
a(b+c) = ab+acvà(a+b)c =ac+bc
• (A2) :Tính kết hợp phép· với phép nhân vô hương tức với mọia,b ∈ Avàα ∈ K
thì
α(ab) = (αa)b =a(αb)
Nhận xét
• Đại số Ađược gọi làđại số kết hợpnếu(ab)c =a(bc)với mọia,b,c ∈ A
• Đại số Ađược gọi làđại số giao hốnnếuab=bavới mọia,b ∈ A
• Đại số Ađược gọi làđại số phản giao hốnnếuab=−bavới mọia,b ∈ A
• Thơng thường người ta xét đại số kết hợp nên gọi tắt đại số
• MỗiK-đại số kết hợp cấu trúc tổng hịa khơng gian véctơ vành thêm tiên đề(A2)
• Một đại số tổng qt nói chung khơng giao hốn để sai khác với tính giao hốn ta xét tốn tử
[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A
A giao hoán⇔ [a,b] =0
1.2.2 Liên hệ đại số đại số Lie
Mệnh đề 1.2.1. MỗiK-đại số kết hợp Ađều trở thànhK-đại số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ toán tử
[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A
được ký hiệu L(A)và gọi đại số Lie liên kết với đại số A.
Chứng minh.ĐểK-đại số kết hợp Ađều trở thànhK-đại số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ toán tử
[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A
Ta kiểm tra tiên đề móc Lie sau
• (L1): [., ]song tuyến tính Thật vậy, vớia,b,c ∈ Avàα,β∈ Kta có
[αa+βb,c] = (αa+βb)c−c(αa+βb)
=α(ac−ca) +β(bc−cb)
=α[a,c] +β[b,c]
(8)• (L2): [., ]phản đối xứng Thật vậy, với mọia∈ Athì[a,a] = aa−aa=0
• (L3): Thỏa mãn đồng thức Jacobi Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Ata có
∗ [a,[b,c]] = a(bc−cb)−(bc−cb)a =abc−acb−bca+cba
∗ [c,[a,b]] = c(ab−ba)−(ab−ba)c=cab−cba−abc+bac
∗ [b,[c,a]] = b(ca−ac)−(ca−ac)b=bca−bac−cab+acb
Khi đó,[a,[b,c]] + [c,[a,b]] + [b,[c,a]] =0
Mệnh đề 1.2.2. MỗiK-đại số Lie Lđều xem làK-đại số với phép nhân móc Lie được ký hiệu A(L)và gọi đại số liên kết với đại số Lie L Đại số khơng kết hợp, khơng giao hốn móc Lie không tầm thường.
Chứng minh.Ta định nghĩa phép nhân móc Lie tức làab= [a,b]với mọia,b ∈ L Ta kiểm tra điều kiện đại số sau
• (A1) :Phép nhân phân phối với phép cộng Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Lta có
∗ a(b+c) = [a,b+c] = [a,b] + [a,c] = ab+bc
∗ (a+b)c = [a+b,c] = [a,c] + [b,c] = ac+bc
• (A2) : Phép nhân kết hợp với phép nhân vô hướng Thật vậy, vớia,b ∈ Lvàα ∈ K
ta có
∗ α(ab) = α[a,b] = [αa,b] = (αa)b
∗ α(ab) = α[a,b] = [a,αb] = a(αb)
Khi đó,α(ab) = (αa)b =a(αb) Dễ thấy đại số khơng kết hợp, khơng giao
hốn móc Lie khơng tầm thường
1.3 Đại số ideal 1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. ChoLlà mộtK-đại số Lie M không gian véctơ của L(khi xemLlà khơng gian véctơ) Khi đó
• Nếu M đóng kín với móc Lie tức là[a,b] ∈ Mvới mọia,b ∈ Mthì M đại số củaL, ký hiệu M⊂ LhoặcM <L.
• M ideal của Lnếu[a,m] ∈ Mvới mọia∈ L,m∈ M, ký hiệu MCL.
(9)1.3.2 Ví dụ
Ví dụ 1.3.1. {O}là ideal tầm thường, cịnLC Llà ideal khơng tầm thường
1.4 Đồng cấu đẳng cấu đại số Lie 1.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.4.1. Cho L,L0là cácK-đại số Lie Ánh xạ f : L −→ L0 được gọi làK-đồng cấu đại số Lie nếu f là ánh xạ tuyến tính bảo tồn móc Lie, tức với mọia,b∈ Lvàα,β∈ Kthì
• f(αx+βy) = αf(x) +βf(y)
• f ([a,b]) = [f(a), f(b)]
Ngoài ra, khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, hạt nhân ảnh hiểu khái niệm tương tự đại số tuyến tính
Nhận xét.Cho f : L −→ L0 làK-đồng cấu đại số Lie Khi
• Im f ={a0 ∈ L0 : ∃a ∈ L, f(a) = a0}là đại số củaL0
• Ker f ={a ∈ L: f(a) =0}là ideal L
1.4.2 Phạm trù đại số Lie
Phạm trù đại số LieLbao gồm
• Ob(L): Họ cácK-đại số
• MorL(L1,L2) :là cácK-đồng cấu đại số Lie từL1vàoL2
• Phép hợp thành phép hợp thành cácK-đồng cấu đại số Phạm trù khơng gian véctơVbao gồm
• Ob(V):Họ cácK-khơng gian véctơ
• MorV(V1,V2):= Hom(V1,V2) :là ánh xạ tuyến tính từV1vàoV2
• Phép hợp thành phép hợp thành cácK-ánh xạ tuyến tính Khi đó, ta có hai hàm tử sau
j: V−→L (Hàm tử nhúng)
(10)F :L−→ V (Hàm tử quên cấu trúc)
L7−→ F(L)
L0 7−→ F(L0) Nhận xét
• F.j=idV
• j.F =F
1.5 Toán tử vi phân 1.5.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.5.1. Cho A là một K-đại số Ánh xạ ϕ : A −→ A được gọi toán tử vi phân
(hay phép lấy đạo hàm trên A) nếu i) ϕlà ánh xạK-tuyến tính.
ii) ϕthỏa mãn quy tắc Leibniz tức là ϕ(ab) = ϕ(a)b+aϕ(b).
Định nghĩa 1.5.2. Cho Llà mộtK-đại số Lie Ánh xạ ϕ : L −→ Lđược gọi toán tử vi phân
(hay phép lấy đạo hàm trên L) nếu i) ϕlà ánh xạK-tuyến tính.
ii) ϕthỏa mãn quy tắc Leibniz tức là ϕ([a,b]) = [ϕ(a),b] + [a,ϕ(b)].
1.5.2 Ví dụ
Ví dụ 1.5.1. Mọi ánh xạ tuyến tính xem tốn tử vi phân đại số Lie giao hốn
Ví dụ 1.5.2. (Tốn tử phụ hợp) Cho Llà K-đại số Lie Lấy bất kỳx ∈ L cố định x Xét ánh xạ
adx : L−→ L
y7−→ adx(y):= [x,y] Mệnh đề 1.5.1. adxlà toán tử vi phân trên Lvới mọix ∈ L.
Chứng minh.Để chứng minhadx toán tử vi phân trênLvới mọix ∈ Lta cần kiểm tra điều kiện sau
(11)ii) adx thỏa mãn quy tắc Leibniz tức adx([y,z]) = [adx(y),z] + [y,adx(z)] với
y,z∈ L Thật vậy, áp dụng đồng thức Jacobi ta có
adx([y,z]) = [x,[y,z]] =−[z,[x,y]]−[y,[z,x]] = [[x,y],z] + [y,[z,x]] = [adx(y),z] + [y,adx(z)] Ta gọiadx toán tử phụ hợp củaLliên kết vớix ∈ L
1.5.3 Đại số toán tử vi phân
Cho AlàK-đại số Đặt Der(A) :={ϕ: A −→ A|ϕlà tốn tử vi phân} Khi đó,Der(A)là K- khơng gian véctơ
Mệnh đề 1.5.2. Der(A)làK-đại số kết hợp với phép nhân phép hợp thành ánh xạ.
Chứng minh.Ta định nghĩa phép nhân phép hợp thành ánh xạ Ta kiểm tra điều kiện đại số sau
• (A1) : Phép nhân phân phối với phép cộng Thật vậy, với f,g,h ∈ Der(A)
a∈ A, ta có
∗ [f(g+h)] (a) = f [(g+h)(a)] = f[g(a) +h(a)] = f g(a) + f h(a)nên
f(g+h) = f g+ f h
∗ [(f +g)h] (a) = (f +g) [h(a)] = f h(a) +gh(a)nên
(f +g)h = f h= gh
• (A2) :Phép nhân kết hợp với phép nhân vô hướng Thật vậy, với f,g ∈ Der(A)
vàa∈ A,α ∈K, ta có
∗ [α(f g)] (a) = f [αg(a)] = (αf) [g(a)] = [(αf)g] (a)nên α(f g) = (αf)g
∗ [α(f g)] (a) = f [g(αa)] = [f(αg)] (a)nên α(f g) = f(αg)
Khi đó, α(f g) = (αf)g = f(αg) Hơn nữa, với f ∈ Der(A) nên f toán tử vi
phân đồng thời ánh xạK-tuyến tính nên ln thỏa mãn tính chất kết hợp ánh xạ VậyDer(A)làK-đại số kết hợp với phép nhân phép hợp thành ánh xạ
(12)1.5.4 Biểu diễn quy
Định lí 1.5.1. ChoLlàK-đại số Lie Khi đó, ánh xạ
ad : L−→ Der(L)
x7−→ ad(x) = adx
là mộtK-đồng cấu đại số Lie.
Chứng minh.Để chứng minhadlàK-đồng cấu đại số Lie, ta cần kiểm tra điều kiện sau
• adlà ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với mọix,y,z ∈ Lvàα,β∈ Kta có
ad(αx+βy)(z) = ad(αx+βy)(z) = [αx+βy,z]
=α[x,z] +β[y,z]
=adx(z) +ady(z) =ad(x)(z) +ad(y)(z)
Do đóad(αx+βy) = αad(x) +βad(y)
• adbảo tồn móc Lie Thật vậy, với mọix,y,zta có
ad([x,y]) (z) = ad[x,y](z) = [[x,y],z]
=−[[z,x],y]−[[y,z],x] = [x,[y,z]]−[y,[x,z]]
=ad(x).ad(y)(z)−ad(y).ad(x)(z) = [ad(x)ad(y)−ad(y)ad(x)] (z) = [ad(x),ad(y)] (z)
Do đóad([x,y]) = [ad(x),ad(y)]
Định nghĩa 1.5.3. Đồng cấu đại số Liead : L −→ Der(L)được gọi biểu diễn quy của
Ltrên chínhL.
Ví dụ 1.5.3. Hãy xác định biểu diễn quy đại số Lie L=R3với móc Lie
[x,y] = x∧y,∀x,y∈ R3
Trong L=R3có sở tắce1(1, 0, 0),e2(0, 1, 0)vàe3(0, 0, 1) Khi
[e1,e2] = e3,[e2,e3] = e1,[e3,e1] =e2
Với x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3) ∈ R3thì
[x,y] = xy=
"
x2 x3
y2 y3
#
,
"
x3 x1
y3 y1
#
,
"
x1 x2
y1 y2
(13)Lấy x(x1,x2,x3) ∈ L =R3thì
adx : L−→ L
y7−→ adx(y):= [x,y] Ma trận củaadxtrong sở tắc
adx = [adx(e1)adx(e2)adx(e3)] =
0 −x3 x2
x3 −x1
−x2 x1
Đặc biệt
ade1 =
0 0
0 −1
0
,ade2 =
0
0 0
−1 0
,ade3 =
0 −1
1 0
0 0
Khi đóad : L−→ Der(L) ≡ Mat3(R)vớiadx(x1,x2,x3) =
0 −x3 x2
x3 −x1
−x2 x1
, móc Lie tốn tử hai ma trận
Nhận xét
• Im(ad):=đại số Lie LcủaDer(L)≡ Mat3(R)gồm ma trận phản đối xứng
• Ker(ad):={x(x1,x2,x3) ∈ L|adx =0}=0nên adđơn cấu
1.6 Đại số Lie thương tích trực tiếp, cách cho đại số Lie
1.6.1 Đại số Lie thương
Cho L K-đại số Lie I ideal L Xem L,I không gian véctơ nên tồn không gian thương
L/I ={x:= x+I|x ∈ L}
Với phép toán sau
x+y =x+y
αx =αx
Trên L/I ta xét móc Lie
(14)thì L/I gọi làđại số Lie thươngcủa L theo ideal I Ta chứng minh việc định nghĩa móc Lie hợp lý Thật vậy, có a,b ∈ L/I cho x = a,y = b
a−x,b−y ∈ I Do
[a,b] = [x+ (a−x),y+ (b−y)] = (x,y) + [x,b−y] + [a−x,y] + [a−x,b−y]
Suy
[a,b]−[x,y] = [x,b−y] + [a−x,y] + [a−x,b−y] ∈ I
Bây ta kiểm tra móc Lie thỏa mãn tiền đề móc Lie sau
• (L1):Hiển nhiên[., ]song tuyến tính
• (L2): [., ]phản xứng vì[x,x] = [x,x] = 0với mọix∈ L/I
• (L3): [., ]thỏa mãn đồng thức Jacobi Thật vậy, với mọix,y,z∈ L/I ta có
[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0
Suy ra[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0
Vậy L/Ivới móc Lie làK-đại số Lie
1.6.2 Tích trực tiếp đại số Lie
Định nghĩa 1.6.1. Cho A H làKđại số Lie.End(H)là tốn tử tuyến tính H với móc Lie cho tốn tử (Der(H) ⊂ End(H)) Giả sửθ : A −→ End(H)làK-đồng cấu đại số Lie Đặt
L= A⊕Hlà tổng trực tiếp xem A, H làK-không gian véctơ, tức là
L={a+h|a∈ A,h∈ H} với cấu trúcK-tuyến tính sau
• (a,h) + (b,k) = (a+b,h+k),∀(a,h),(b,k) ∈ L
• α(a,h) = (αa,αh),∀(a,h)∈ L,α ∈K
Trên L ta trang bị móc Lie sau
[(a,h),(b,k)] = ([a,b], 0) + (0,[h,k]) + (0,θ(a)(k)) + (0,−θ(b)(h)),∀(a,h),(b,k)∈ L
thì L trở thànhKđại số Lie Khi đó, L gọi tích trực tiếp A với H bởiθ.
(15)• (L1):Dễ dàng kiểm tra được[., ]song tuyến tính
• (L2): [., ]phản xứng
[(a,h),(a,h)] = ([a,a], 0) + (0,[h,h]) + (0,θ(a)(h)) + (0,−θ(a)(h)) = (0, 0),∀(a,h) ∈ L
• (L3): [., ]thỏa đồng thức Jacobi Thật vậy, với mọi(a,h),(b,k),(c,l) ∈ Lta có
∗ [(a,h),[(b,k),(c,l)]] = · · · · ∗ [(c,l),[(a,h),(b,k)]] = · · · · ∗ [(b,k),[(c,l),(a,h)]] = · · · ·
Suy ra[(a,h),[(b,k),(c,l)]] + [(c,l),[(a,h),(b,k)]] + [(b,k),[(c,l),(a,h)]] =
Vậy L với móc Lie làK-đại số Lie Nhận xét.
• Khiθ ≡0là đồng cấu khơng L tích trực tiếp A với H
• Hai ánh xạ
iA : A −→ L iH : H −→ L
a 7−→iA(a) := (a, 0) h 7−→iH(h):= (0,h)
Ta thường đồng A ≡ Im(iA) tức đồng nhấta ≡(a, 0)vàH ≡ Im(iH) tức đồng nhấth ≡(0,h)
Mệnh đề 1.6.1. Chứng minh rằng
A≡ Im(iA) <LvàH ≡ Im(iH)CL
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh A ≡ Im(iA) < L Hiển nhiên Im(iA) không gian véctơ củaL Ta kiểm tra Im(iA)đóng kín với móc Lie Thật vậy, với
(a, 0),(b, 0) ∈ Im(iA)thì
[(a, 0),(b, 0)] = ([a,b], 0) + (0,[0, 0]) + (0,θ(a)(0)) + (0,−θ(b)(0))
≡[a,b] +θ(a)(0)−θ(b)(0)
= [a,b]∈ Im(iA)
Tiếp theo ta chứng minh H ≡ Im(iH) C L Hiển nhiên H không gian véctơ L Ta kiểm tra[(b,k),(0,h)] ∈ Im(iH)với mọi(b,k) ∈ L,(0,h)∈ Im(iH) Thật
[(b,k),(0,h)] = ([b, 0], 0) + (0,[k,h]) + (0,θ(b)(h)) + (0,−θ(0)(k))
≡([b, 0], 0) + [k,h] +θ(b)(h)−θ(0)(k)
(16)1.6.3 Vài cách cho đại số Lie
Có hai cách cho đại số Lie
• Cách cho đại số Lie nhờ số cấu trúc Để cho đại số Lie nchiều trườngK, trước hết ta cần cho K-không gian véctơ nchiều L với sở (e1,e2, ,en) sau ta xác định móc Lie L, cụ thể ta cần định nghĩa
ei,ej
:= n
∑
k=1
ckijekvới1≤i <j ≤n BộnC2n =
n2(n−1)
2 vô hướng
n
Cijk|1≤i <j ≤n, 1≤k ≤nogọi làhằng số cấu trúc
của L Đồng thức Jacobi baei,ej,ek, ≤i < j<k≤ncho ta
ei,ej
,ek
+
[ek,ei],ej
+
ej,ek
,ei
=0
⇔h∑cijlel,ek
i
+
−∑cikmem,ej
+h∑cpjkep,ei
i
=0
⇔∑clij[el,ek]−∑cmik
em,ej
+∑cjkp
ep,ei
=0
⇔∑ ∑clijcqlkeq−∑ ∑cmikcqmjeq+∑ ∑cjkpcqpieq =0
⇔
n
∑
q=1
∑clijcqlk −∑cmikcmjq +∑cpjkcqpieq =0
⇔∑clijcqlk−∑cmikcqmj+∑cpjkcqpi =0 ∈K
Trong đó,ckii =0,∀i =1,n,k =1,nvàcijk =−ckji, ≤i< j ≤n,k =1,n Tóm lại, để choK-đại số Lienchiều ta cần cho sở(e1,e2, ,en) bộn2(n−1) vô hướngckij cho
ckii =0
ckij =−ckji
∑clijcqlk−∑cmikcqmj+∑cjkpcqpi =0
Lúc đó, với mọix =∑xiei,y =∑yjej ∈ Lthì [x,y] =h∑xiei,∑yjej
i
=∑ i ∑j ∑k
ckijxiyjek
• Cách cho đại số Lie nhờ tích trực tiếp Giả sử A, H haiK-đại số Lie biết
θ : A −→End(H), ký hiệu L =H tích trực tiếp A với H bởiθ
Ví dụ 1.6.1. Chẳng hạn, xét đại số Lie chiều R3 với móc Lie tích có hướng hình học sơ cấp Chọn sở tắce1(1, 0, 0),e2(0, 1, 0),e3(0, 0, 1) Khi
∗ [e1,e2] =e3nên c121 =c212 =0,c312 =1
(17)∗ [e1,e3] =−e2nên c131 =c313 =0,c213 =−1
Tóm lại, đại số Lie nêu có cố cấu trúc
(
c312 =1,c123 =1,c213 =−1
còn lại
1.7 Đại số Lie giải lũy linh 1.7.1 Xây dựng khái niệm
Cho L làK-đại số Lie Đặt
L1 =L1= [L,L] :={[x,y]|x,y∈ L};
L2 := [L1,L1],L2:= [L,L1];
Ln := [Ln−1,Ln−1],Ln := [L,Ln−1],∀n>1
Mệnh đề 1.7.1.
i) Ln C L,Ln CL,Ln C Ln.
ii) ⊂ L2⊂ L1 ⊂L (1)
⊂ L2⊂ L1 ⊂L (2)
iii) ∃m∈ N∗,∃p ∈N∗sao cho
Lm =Lm+1 =· · · =L∞ vàLp= Lp+1 =· · · =L∞
Định nghĩa 1.7.1.
• (1) gọi chuỗi iedal dẫn xuất (chuỗi dẫn xuất) L.
• (2) gọi chuỗi iedal hợp thành (chuỗi hợp thành) L.
1.7.2 Đại số Lie giải lũy linh
Định nghĩa 1.7.2. L gọi đại số Lie giải nếuL∞ =0.
Định nghĩa 1.7.3. L gọi đại số Lie lũy linh nếuL∞ =0.
Nhận xét
(18)• L đại số Lie giải được⇔ ∃m∈ N∗ đểLm = Lm+1 =· · · =0 Sốmnhỏ thỏa điều kiện gọi làbậc giải L
• L đại số Lie lũy linh ⇔ ∃p ∈ N∗ để Lp = Lp+1 = · · · = Số p nhỏ thỏa
điều kiện gọi làbậc lũy linh L
• Tên gọi "giải được" có nguồn gốc từ tính giải phương trình nhóm Lie tương ứng với đại số Lie
• Tên gọi "lũy linh" tính chất sau
L lũy linh ⇔adx lũy linh, tức là∀x ∈ L,∃m inN∗đểadmx =0
Ví dụ 1.7.1. Đặt Tn(K) := a= (aij)n ∈ Matn(K)|aij =0, ≤ j<i≤n gọi tập ma
trận tam giác trên Tno(K) :=
a= (aij)n ∈ Matn(K)|aij =0 , ≤ j ≤ i ≤ ngọi làtập
ma trận tam giác chặt Hiển nhiênTno(K) ⊂Tn(K) ⊂Matn(K) Mệnh đề 1.7.2.
i) Tn(K)là đại số Lie củaMatn(K)và đại số Lie giải được.
ii) Tno(K)là đại số Lie củaMatn(K)và đại số Lie lũy linh.
1.8 Sơ lược biểu diễn đại số Lie 1.8.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.8.1. Cho L mộtK-đại số Lie vàV là không gian véctơ Mỗi đồng cấu đại số Lie
f : L −→ gl(V)được gọi biểu diễn L không gian véctơ V Khi đó, V gọi là khơng gian biểu diễn L.
Khi f đơn cấu thìL≡ Imhgl(V)ithì ta nói f làbiểu diễn khớp
Ghi chú. End(V) := gl(V) K-đại số tuyến tính V Với lấy móc Lie tốn tử ta nhận đại số Liegl(V) Khi cố định sở V(dimV =n)thì
gl(V) ≡ gl(n,K) ≡Matn(K)
Mệnh đề 1.8.1. Mọi đại số Lie hữu hạn chiều có biểu diễn khớp khơng gian véctơ hữu hạn chiều đó, tức đại số Lie hữu hạn chiều xem đại số con của đại số ma trận.
(19)i) Mọi đại số Lie giải hữu hạn chiều tồn biểu diễn khớp mà ảnh con của đại số Lie ma trận tam giác trên, tức đại số Lie giải xem con của đại số Lie ma trân tam giác trên.
ii) Mọi đại số Lie lũy linh hữu hạn chiều tồn biểu diễn khớp mà ảnh nó là đại số Lie ma trận tam giác chặt, tức đại số Lie lũy linh có thể xem đại số Lie ma trân tam giác chặt.
Kết hợp mệnh đề 1.8.1 mệnh đề 1.8.2 để nghiên cứu đại số Lie hữu hạn chiều nghiên cứu đại số Lie ma trận đại số
1.8.2 Ví dụ kinh điển
Xét đại số Lienchiều tổng quát L trườngK ChọnV =Lxem làK-khơng gian véctơ Khi
ad : L −→ Der(L) ⊂gl(V)
x 7−→ad(x):=adx
Vìadlà đồng cấu đại số Lie nênadlà biểu diễn L Ta biết
adlà biểu diễn quy hay biểu diễn phụ hợp L nên
Ker(ad) :={x ∈ L|ad(x) =0}
={x ∈ L|adx(y) = [x,y] =0,∀y ∈ L} =Z(L)
Như vậy,adkhớp⇔Z(L) =
Lấy đối ngẫu thìV∗ = HomK(V)là đối ngẫu V Xét
ad∗ : L−→ gl(V∗)
x7−→ ad∗(x)
Trong ad∗ xác định
ad∗(x): V∗ −→ V∗
f 7−→ ad∗(x)(f)
(20)Chương 2
NHÓM LIE - BIỂU DIỄN NHÓM LIE
2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1. Mỗi nhóm Lie G nhóm (với phép nhân) đồng thời đa tạp vi phân sao cho phép toán sau khả vi.
· : G×G−→ G
(x,y)7−→ xy
(·)−1 : G−→ G x7−→ x−1
Nhận xét
• Số chiều nhóm Lie số chiều đa tạp vi phân
• Có thể thay tính khả vi phép tốn·và(·)−1bởi tính khả vi ánh xạ
GìG G
(x,y)7 xy1
ã Khỏi nim nhóm Tơpơ (là nhóm, đồng thời đa tạp vi phân với hai phép tốn liên tục) có trước khái niệm nhóm Lie
• Lalà phép tịnh tiến trái, đồng thời vi phôi
La : G−→ Gvớia ∈ Gvà cố địnha
x7−→ La(x) :=ax
Ra phép tịnh tiến phải, đồng thời vi phôi
Ra : G−→ Gvớia ∈ Gvà cố định a
(21)• Xétχ(G)là đại số Lie trường véctơ khả vi G Xem La∗,Ra∗ tương ứng
sau
La∗ : χ(G) −→χ(G)
X 7−→La∗(X)
Ra∗ : χ(G) −→χ(G)
X 7−→Ra∗(X)
ở đó,La∗,Ra∗ xác định sau
La∗(X) : G −→G
x 7−→La∗(X)x :=La∗(Xa−1x)
Ra∗(X) : G −→G
x 7−→Ra∗(X)x :=Ra∗(Xxa−1)
2.2 Ví dụ
Ví dụ 2.2.1. G= (Rn,+)là nhóm Lie giao hốnn- chiều Ví dụ 2.2.2. G= (Rn,·)là nhóm Lie giao hốn1- chiều Ví dụ 2.2.3. G=S1 =
(x,y) ∈ R2|x1+y2 =1 là nhóm Lie giao hốn - chiều.
Ví dụ 2.2.4. G = S3 = (x,y,z,t)∈ R4|x2+y2+z2+t2 =1 là nhóm Lie khơng gian
hốn - chiều
Ví dụ 2.2.5. G = GL(n,K) = A = (aij)n|Akhả nghịch thì(G,·) nhóm khơng giao hốnn2- chiều Bây ta chứng minhGL(n,K)là đa tạp vi phân Thật vậy, ánh xạ
det : Mat(n,R) ≡Rn2 −→R
A 7−→detA:= ∑
σ∈sn
sign(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n)
det−1(R):={A∈ Mat(n,R)|detA 6=0} ≡ GL(n,R) ⊂ Mat(n,R)
Vậy GL(n,R)là đa tạp mởn2- chiều củaRn2 ≡ Mat(n,R)
2.3 Đại số Lie nhóm Lie
Cho G nhóm Lie X ∈ χ(G) Khi đó, X gọi làbất biến tráinếu La∗(X) = X,∀a ∈ G
Đặt
Lie(G) :=
X ∈ χ(G)|Xbất biến trái
(22)Định nghĩa 2.3.1. Lie(G)là đại số Lie nhóm Lie G.
Nhận xét.Để cho X ∈ Lie(G)chỉ cần choXe với elà đơn vị G Lúc đó,Xx = La∗(Xe)
và
Lie(G) −→Te(G)
X 7−→Xe đẳng cấu tuyến tính
Ví dụ 2.3.1. Lie(Rn,+) =Rnlà đại số Lie giao hoán n- chiều Ví dụ 2.3.2. Lie(Rn,·) = Rlà đại số Lie giao hốn - chiều Ví dụ 2.3.3. Lie(GL(n,R)) = gl(nR)≡ Mat(n,R)
2.4 Ánh xạ mũ
Định nghĩa 2.4.1. Cho G nhóm Lie vàX ∈ Lie(G) Khi đó, X đầy sinh nhóm - tham số(x(t))t∈R ⊂G Ta định nghĩaexp(X) :=x(0)với
exp : Lie(G) −→ G X 7−→exp(X)
gọi ánh xạ mũ.
Nhận xét
• exp(tX) = x(t),∀t∈ R
• expvi phơi địa phương
Ví dụ 2.4.1. G=GL(n,R),Lie(G) = gl(n,R)thì
exp : gl(n,R) −→ GL(n,R)
A7−→exp(A) := n
∑
k=1
Ak k! 2.5 Đồng cấu nhóm Lie
2.5.1 Đồng cấu nhóm Lie
Định nghĩa 2.5.1. Mỗi đồng cấu nhóm Lie đồng cấu nhóm, đồng thời ánh xạ khả vi.
(23)2.5.2 Tính chất tự nhiên ánh xạ exp
G1
f //
G2
Lie(G1)
exp
O
O
f∗ //
Lie(G2)
exp
O
O
trong đó, f : G1 −→G2đồng cấu nhóm Lie
f∗ : Lie(G1) −→ Lie(G2)
X 7−→ f∗X
với(f∗X)e := f∗(Xe)
2.6 Biểu diễn nhóm Lie
Định nghĩa 2.6.1. Cho G nhóm Lie, V khơng gian véctơ thực và GL(V) là nhóm tự đẳng cấu tuyến tính V Mỗi đồng cấu ρ : G −→ GL(V) được gọi biểu diễn (tuyến tính)
(24)Chương 3
LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE
3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1.1. Cho L đại số Lie trườngKvà V không gian véctơ Đồng cấu đại số Lie ϕ: L −→ gl(V)là biểu diễn L Khi đó, V gọi biểu diễn L.
Nhận xét
• NếuKerϕ=0thì ϕđược gọi biểu diễn khớp
• NếuL <gl(V)và với ánh xạ đồng nhấtid : gl(V) −→ gl(V)thì ánh xạ hạn chế
ϕ≡id|L : L −→ gl(V)
x 7−→ ϕ|L(x) :=id(x)
gọi đồng cấu đại số Lie tầm thườngvà biểu diễn tự nhiên Biểu diễn tự nhiên ln biểu diễn khớp
• Đồng cấu đại số Lie ϕ: L −→ gl(n,K)được gọi làbiểu diễn ma trận
3.2 Ví dụ
Ví dụ 3.2.1. Ánh xạ phụ hợp
ad : L−→ gl(L)
x 7−→ad(x):= adx
với mọiy∈ Lthìadx(y) := [x,y]là đồng cấu đại số Lie Khi đó,adđược gọi làbiểu diễn phụ
hợpcủa L DoKer(adx) = Z(L)nên adxlà biểu diễn khớp khiZ(L) =0 Chẳng hạn, xét L =sl(2,C)có sở là(h,e, f)vớih =
"
1
0 −1
#
,e=
"
0 0
#
, f =
"
0
#
(25)adh : sl(2,C) −→sl(2,C)
a 7−→adh(a) := [h,a] Khi
adh(h) = [0] =0h+0e+0f
adh(e) =
"
0 0
#
=0h+2e+0f adh(f) =
"
0
−2
#
=0h+0e−2f
Suy ma trận biểu diễn adh =
0 0
0
0 −2
Bằng cách làm tương tự ta tìm ma trận biểu diễn củaade,adf
Ví dụ 3.2.2. Mỗi đại số Lie có biểu diễn tầm thường cách định nghĩa
ϕ: L −→ gl(K)
x 7−→ ϕ(x) :=0
Đây biểu diễn khớp với L khác không
3.3 Môđun đại số Lie
Định nghĩa 3.3.1. Cho L đại số Lie trườngKvà V không gian véctơ Một môđun Lie L hay L-môđun làK-không gian véctơ V với ánh xạ
θ : L×V −→V
(x,v) 7−→θ(x,v) :=x·v
thỏa mãn điều kiện sau
ã (M1): (x+ày)Ãv=(xÃv) +à(yÃv)
ã (M2): xÃ(v+àw) = (xÃv) +à(xÃw)
ã (M3): [x,y]Ãv=xÃ(yÃv)yÃ(xÃv)
vi mix,y L,v,w Vv,à K.
Nhn xột
ã iu kiện(M1)và(M2)cho ta θlà ánh xạ song tuyến tính
• NếuL <gl(V)thì dễ dàng kiểm tra V L-mơđun, đóx·vlà ảnh củav
(26)• Từ(M2)suy với mỗix ∈ Lthì ánh xạv 7−→x·vlà tự đồng cấu tuyến tính V
Vì vậy, phần tử L tác động lên V ánh xạ tuyến tính Mệnh đề 3.3.1. V biểu diễn L trở thành L-môđun ta định nghĩa
x·v:= ϕ(x)(v), vớix ∈ L,v∈ V
Chứng minh.Do V biểu diễn L nên ϕ: L −→ gl(V)là đồng cấu đại số Lie Bây
ta kiểm tra điều kiện L - môđun sau
• (M1): (αx+βy)·v=α(x·v) +β(y·v),∀x,y ∈ L,v,w∈ V vàα,β∈K Thật
(αx+βy)·v= ϕ(αx+βy)(v)
=αϕ(x)(v) +βϕ(y)(v)
=α(x·v) +β(y·v)
• (M2):Tương tự ta kiểm tra x·(αv+βw) =α(x·v) +β(x·w)
• (M3): [x,y]·v=x·(y·v)−y·(x·v)với mọix,y∈ L,v ∈ V Thật
x·(y·v)−y·(x·v) = ϕ(x)(y·v)−ϕ(y)(y·v)
= ϕ(x)ϕ(y)(v)−ϕ(y)ϕ(x)(v)
= (ϕ(x)ϕ(y)−ϕ(y)ϕ(x)) (v)
= ϕ([x,y]) (v)
= [x,y]·v
Mệnh đề 3.3.2. V L-môđun trở thành biểu diễn L nếu
ϕ: L−→ gl(V)
x7−→ ϕ(x)
trong đó, ϕ(x)được xác định ánh xạ tuyến tínhv 7−→x·vvới mọiv ∈ V.
Chứng minh.Để V biểu diễn L ta chứng minh ϕlà đồng cấu đại số Lie Hiển nhiên ϕlà ánh xạ tuyến tính, ta chứng minhϕbảo tồn móc Lie, tức ϕ([x,y]) = [ϕ(x),ϕ(y)],
với mọix,y ∈ L Thật vậy, với mọiv ∈V ta có
ϕ([x,y]) (v) = [x,y]·v
=x·(y·v)−y·(x·v)
= ϕ(x)ϕ(y)(v)−ϕ(y)ϕ(x)(v)
= (ϕ(x)ϕ(y)−ϕ(y)ϕ(x)) (v)
= [ϕ(x),ϕ(y)] (v)
(27)3.4 Môđum môđun thương
Định nghĩa 3.4.1. Cho V L-môđun đại số Lie L W khơng gian véctơ V Khi đó, W gọi môđun V với mỗix ∈ Lvàw ∈W thìx·w ∈W.
Nhận xét
• Trong ngôn ngữ lý thuyết biểu diễn đại số Lie người ta cịn gọimơđun conlàbiểu diễn con
• Đại số Lie L trở thành L-môđun với biểu diễn phụ hợp mơđun L ideal L
Ví dụ 3.4.1. Nếu đại số Lie L trở thành L-mơđun với biểu diễn phụ hợp ideal L mơđun L
Ví dụ 3.4.2. Lấy L = Tn(K) đặtV =Kn V L-môđun tự nhiên Cho(e1,e2, ,en) sở tự nhiên củaKn Với mỗir =1,nta đặtWr :=Span{e1,e2, ,er}thìWr môđun củaKn
Hiển nhiên Wr không gian véctơ Kn, ta chứng minh với x ∈ Tn(K)
w ∈ Wr x·w ∈ Wr Do Kn L-môđun tự nhiên nên x·v := ϕ(x)(v) với x ∈
Tn(K),v∈ Kn, ϕ: Tn(K) −→ gl(Kn)là biểu diễn tự nhiên củaTn(K) Do
x·w= ϕ(x)(w)
= ϕ(x)(w1e1+· · ·+wrer)
=w1ϕ(x)(e1) +· · ·+wrϕ(x)(er) =w1e1+· · ·+wrer ∈Wr
Định nghĩa 3.4.2. Giả sử W môđun L-môđun V ta trang bị cho không gian thương
V/W cấu trúc L-môđun sau
x·(v+W) := (x·v) +W,∀x ∈ L,v∈ V
Khi đó,V/Wtrở thành L-mơđun thương.
Trước tiên, ta chứng minh việc định nghĩa cấu trúc L-môđun không gian thương
V/W hợp lý Thật vậy, lấy tùy ýv+W =u+W ∈ V/Wnênv−u∈ Wta có
x·(v+W)−x·(u+W) = x·(v−u) +W =0+W ∈W
(28)• (M1): (αx+βy)·(v+W) =α[x·(v+W)] +β[y·(v+W)]với mọix,y ∈ L;u,v∈
V vàα,β∈ K Thật
(αx+βy)·(v+W) = [(αx+βy)·v] +W
= [α(x·v) +β(y·v)] +W
=α(x·v) +W+β(y·v) +W
=α[x·(v+W)] +β[y·(v+W)]
• (M2):Tương tự ta chứng minh
x·[α(v+W) +β(u+W)] =α[x·(v+W)] +β[x·(v+W)]
• (M3) : [x,y]·(v+W) = x·[y·(v+W)]−y·[x·(v+W)] với x,y ∈ L
v+W ∈V/W Thật
[x,y]·(v+W) = ([x,y]·v) +W
= [x·(y·v)−y·(x·v)] +W
=x·[(y·v) +W]−y·[(x·v) +W] =x·[y·(v+W)]−y·[x·(v+W)]
Ví dụ 3.4.3. Giả sử I ideal đại số Lie L I môđun L xem L L-môđun với biểu diễn phụ hợp Khi đó, khơng gian véctơ thươngL/Ilà L-mơđun thương cấu trúc L-môđun sau
x·(y+I) :=ad(x)(y) +I = [x,y] +I,∀x,y∈ L
Dễ dàng kiểm tra việc định nghĩa cấu trúc L-môđun hợp lý thỏa mãn điều kiện L-môđun Hơn nữa, L/I đại số Lie nên trở thành L/I-mơđun Đồng thời, mơđun thươngL/Ilà biểu diễn phụ hợp L/I
3.5 Mơđun khả phân mơđun bất khả phân
Định nghĩa 3.5.1. Môđun Lie V gọi khả phân (hay gọi đơn) V khác khơng và khơng có mơđun ngồi{0}và V.
Nhận xét.
a) Một biểu diễn đại số Lie L gọi làkhả phânnếu khơng chứa biểu diễn thực
(29)Ví dụ 3.5.1. Nếu V L-mơđun 1-chiều V khả phân Chẳng hạn, biểu diễn tầm thường khả phân
Ví dụ 3.5.2. Nếu L đại số Lie đơn trở thành L-môđun với biểu diễn phụ hợp khả phân Chẳng hạn,sl(2,C)là môđun khả phân
Ví dụ 3.5.3. Nếu L đại số Lie phức giải tất biểu diễn khả phân L 1-chiều
Mệnh đề 3.5.1. V môđun khả phân bất kỳ v 6= 0mà v ∈ V thì mơđun con
U =hvichứa tất phần tử V.
Chứng minh.
• ⇒)Do V mơđun khả phân nên có mơđun là{0}và V Hơn nữa,U =hvi
là môđun khác không V nênU =V Vậy U chứa tất phần tử V
• ⇐) Hiển nhiên {0} mơđun V, ta chứng minh môđun khác không V V Lấy mơđun thực W V nên tồn 6= v ∈ W Do đó, mơđun conU = hvichứa tất phần tử V nênU = V
(U = hvi môđun khác không) Hơn nữa,U ⊂ W nên W = V Vậy V môđun khả phân
Định nghĩa 3.5.2. Nếu V L-môđun choV =U⊕Wvới U, W hai L-môđun V thì V gọi tổng trực tiếp L-mơđun U W.
Nhận xét.NếuV = L
α∈I
Uα V gọi tổng trực tiếp họ L-môđun con{Uα}α∈I Định nghĩa 3.5.3. L-môđun V gọi bất khả phân không tồn môđun khác không U, W V choV =U⊕W.
Định nghĩa 3.5.4. L-môđun V gọi khả quy hồn tồn (hay cịn gọi nửa đơn) nếu
V =S1⊕S2· · · ⊕Sk vớiSilà môđun khả phân Nhận xét
• Một biểu diễn V L gọi làkhả phân hồn tồnnếu tổng trực tiếp biểu diễn khả phân
• Nếu V mơđun khả phân V mơđun bất khả phân
Ví dụ 3.5.4. Cho L =d(n,K)là đại số củagl(n,K) Môđun tự nhiên V = Kn khả quy hồn tồn Si := Span{ei} Si môđun khả phân 1-chiều V
(30)3.6 Đồng cấu môđun
Định nghĩa 3.6.1. Cho L làK-đại số Lie W, V L-môđun Đồng cấu L-môđun hay đồng cấu Lie ánh xạ tuyến tínhθ: V −→ Wthỏa mãn
θ(x·v) = x·θ(v)với mọiv∈ Vvàx∈ L
Nhận xét
• Một đồng cấu biểu diễn ϕV : L −→ gl(V),ϕW : L−→ gl(W)của đại số Lie L ánh xạ tuyến tính
θ : V −→W
thỏa mãnθ◦ ϕV = ϕW◦θ
• Các khái niệm tồn cấu, đơn cấu, đẳng cấu, Ker, Im hiểu khái niệm đại số tuyến tính
Định lí 3.6.1. (Định lí đẳng cấu)
i) Nếu θ : V −→ W đồng cấu L-mơđun thì Kerθ là L-mơđun V và Imθ là L-môđun
con W có phép đẳng cấu L-mơđunV/Kerθ ∼= Imθ.
ii) Nếu U W mơđun V thìU+WvàU∩Wlà môđun V và
(U+W)/W ∼=U/(U∩W)
iii) Nếu U W môđun V cho U ⊆ W thì W/U là mơđun của V/U và môđun thương(V/U)/(W/U)là đẳng cấu vớiV/W.
Chứng minh.
i) Theo đại số tuyến tính thìKerθ,Imθlần lượt khơng gian véctơ củaV,W
• Với u ∈ Kerθ vàx ∈ Lthìθ(x·u) = x·θ(u) = 0nên x·u ∈ Kerθ Do vậy,
Kerθlà L-môđun V
• Với p∈ Imθ vàx ∈ Lthì∃v∈ V : θ(v) = p Hơn θ(x·v) = x·θ(v) = x·p ∈ Imθ
Do vậy,Imθlà L-môđun của W
Ta định nghĩa ánh xạ
ϕ:V/Kerθ −→ Imθ
(31)định nghĩa hợp lí cóv+Kerθ =u+Kerθ thìv−u ∈ Kerθ Do ϕ(x+Kerθ) = θ(v) = θ(u) = ϕ(u+Kerθ)
Ta chứng minh ϕ đẳng cấu L-môđun Thật vậy, θ ánh xạ tuyến tính nên ϕ
cũng ánh xạ tuyến tính Mặt khác
x·ϕ(v+Kerθ) = x·θ(v)
=θ(x·v)
= ϕ(x·(v+Kerθ))
Do đó, ϕlà đồng cấu L-mơđun Ta lại có
Kerϕ={v+Kerθ ∈ V/Kerθ|ϕ(v+Kerθ) =0} ={v+Kerθ ∈V/Kerθ|θ(v) =0}
={v+Kerθ ∈V/Kerθ|v∈ Kerθ}=0
Suy ϕđơn cấu Hơn nữa, với mọiy ∈ Imθthì∃v ∈V :θ(v) =ytức ϕ(v+Kerθ) = y∈ Imϕ
Suy ϕtoàn cấu Vậy ϕlà đẳng cấu L-môđun tức làV/Kerθ ∼= Imθ
ii) Dễ kiểm tra rằngU+WvàU∩W môđun V, ta chứng minh
(U+W)/W ∼=U/(U∩W)
Ta định nghĩa ánh xạ
f :U −→ (U+W)/W u7−→ f(u):=u+W
định nghĩa hợp lí cóu= p ∈ Uthì f(u) = u+W = p+W = f(v), ta chứng minh f đồng cấu L-môđun Thật vậy, với mọiu,p ∈ Uvàα,β ∈ Kta
có
f(αu+βp) = (αu+βp) +W =α(u+W) +β(p+W) = αf(u) +βf(p)
nên f ánh xạ tuyến tính Hơn nữa, với mọiu ∈Uvàx ∈ Lthì
f(x·u) = (x·u) +W = x·(u+W) = x· f(u)
Do đó, f đồng cấu L-môđun Mặt khác
Ker f ={u ∈U|f(u) = 0}
={u ∈U|u+W =0}
(32)Áp dụng i) ta đượcU/(U∩W) ∼= Im f Ta lại có, với mọiu+w+W ∈ (U+W)/W
thì
u+w+W =u+W = f(u)∈ f(U)
nên f toàn cấu tức Im f =U+W/W VậyU/U∩W ∼=U+W/W
iii) Dễ kiểm tra rằngW/Ulà môđun củaV/U, ta chứng minh
(V/U)/(W/U) ∼=V/W
VìU ⊆W nên tồn ánh xạ
g :V/U −→V/W
v+U 7−→g(v+U) :=v+W
ta chứng minhg đồng cấu L-môđun Dễ kiểm tra đượcglà ánh xạ tuyến tính, ta chứng minh với mọiv+U ∈ V/Uvàx∈ Lthì
g(x·(v+U)) =x·g(v+U)
Thật vậy,g(x·(v+U)) = (x·(v+U)) +W =x·(v+W) = x·g(v+U) Hơn
Kerg={v+U|g(v+U) =0}
={v+U|v+W =0}
={v+U|v ∈W} =W/U
Áp dụng i) ta (V/U)/(W/U) ∼= Img Mặt khác, với v+W ∈ V/W
v+W =g(v+U) ∈ g(V/U)nên gtoàn cấu tức Img=V/W Vậy
(V/U)/(W/U) ∼=V/W
3.7 Bổ đề Shur’s
Bổ đề 1. (Bổ đề Shur’s)Cho L đại số Lie phức S L-môđun khả phân Ánh xạ
θ :S −→ S
là đồng cấu L-môđun nếuθchính phép nhân vơ hướng với phép biến đổi đồng nhất,
tức làθ =λ1S vớiλ∈ C. Chứng minh.
(33)• ⇒)Doθlà đồng cấu L-mơđun nên xemθlà ánh xạ tuyến tính khơng gian
véctơ phức Do đó, θcó giá trị riêng, giả sử λ Khi đó,θ−λ1S đồng cấu L-mơđun Ker(θ−λ1S)chứa véctơ riêng ứng với giá trị riêngλcủaθ
mơđun khác rỗng S Vì S khả phân nên Ker(θ−λ1S) = S Suy raθ = λ1S vớiλ ∈C
Bổ đề 2. Cho L đại số Lie phức V L-môđun khả phân Nếu z ∈ Z(L) thì ztác động bởi phép nhân vô hướng V, tức là∃λ ∈Csao choz·v=λv,∀v ∈V.
Chứng minh.Do V L-môđun khả phân nên với mỗiz∈ Z(L)thì ánh xạ tuyến tính
ϕz : V −→V
v 7−→ ϕz(v):=z·v đồng cấu L-mơđun với x∈ Lthì
z·(x·v) = x·(z·v)−[x,z]·v =x·(z·v) + [z,x]·v=x·(z·v)
Áp dụng bổ đề Shur’s∃λ∈ Csao cho ϕz(v) = λ1V(v), tức