Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đồng cấu giữa các nhóm Abel hoàn toàn phân rã

thì Lý thuyết nhóm là một lĩnh vực nghiên cứu về các đặc trưng cơ ban của nhóm.. O một khía cạnh nào đó, Lý thuyết nhóm dude xem là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH

_ ĐỒNG CẤU GIỮA CÁC _

NHÓM ABEL HOÀN TOÀN PHÂN RÃ

Chuyên ngành: Dai số

Giang viên hướng din: Tiến sĩ Phạm Thị Thu Thủy

Sinh viên thực hiện: Lé Hoàng Minh Quân

Mã số sinh viên: 46.01.101.123

Lớp: 46.01.TOAN.SPC

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2024

Lời nói dau

Trong các lĩnh vực khác nhau của Dai số như Lý thuyết nhóm, Lý thuyết vành và trường, Lý thuyết môđun, thì Lý thuyết nhóm là một lĩnh vực nghiên cứu về các đặc trưng cơ ban của nhóm Những tiếp cận ban dau là các kết qua liên quan đến nhóm

cyclic, nhóm hữu han, nhóm Abel O một khía cạnh nào đó, Lý thuyết nhóm dude

xem là lý thuyết trung tâm của đại số trừu tượng, những cấu trúc đại số khác như vành,trường và môđun có thé được xem xét như các nhóm với các tính chất và tiền đề bổsung Trong đó, Lý thuyết nhóm Abel là một phân nhánh quan trọng của Lý thuyếtnhóm và có nhiều ứng dụng trong đai số hiền đại

Lý thuyết nhóm Abel nghiên cứu vé các nhóm giao hoán, nó khá độc lập với Lý thuyết nhóm nói chung và về các ý tưởng, phương pháp chỉ có một chút tương đồng trong trường hợp nhóm không giao hoán Những nghiên cứu ban dau vé nhóm Abel

được mở dau bởi Niels Henrik Abel, một nhà toán học người Na Ủy, vào thé kỷ 19 Abel

đã đặt nên móng cho Lý thuyết nhóm Abel thông qua những công trình của mình Các công trình của Abel đã đưa ra một cách tiếp cận sáng tạo và đột phá trong việc nghiên

cứu tính chất của các nhóm Abel, và từ đó, mở ra một lĩnh vực nghiên cứu mới Bắt

đầu từ đây, việc nghiên cứu vẻ nhóm Abel ngày càng được phát triển và nó bắt dau

được chú ý vào những năm 1930 với các công trình của Baer, Kulikov và Szele.

Khi nghiên cứu về nhóm Abel, một bài toán quan trọng không thể bỏ qua là bài

toán mô tả về nhóm đồng cau giữa các nhóm Abel Bài toán này nghiên cứu su tương

đồng và khác biệt giữa các nhóm Abel thông qua các ánh xạ đồng cấu Việc hiểu rõ

về nhóm đồng cấu giữa các nhóm này khong chỉ giúp chúng ta nắm bat được sư tươngquan giữa các đối tượng đại số, mà còn mở ra cánh cửa cho việc xây dựng các định lý và

phát triển lý thuyết mới trong lĩnh vực này Chính vi vậy mà gin day, lý thuyết về vành

tr đồng cấu của một nhóm Abel đã và đang trở thành một lĩnh vực phát triển nhanhchóng của Dai số Một mặt, nó có thế coi là một phan của lý thuyết nhóm Abel; mặtkhác, nó có thể được coi là một nhánh của lý thuyết về vành tự đồng cau của Module

và lý thuyết biểu dién của vành.

Dé tài khóa luận “Đồng cau giữa các nhóm Abel hoàn toàn phan rã” nghiên cứu về

các tính chất của lớp nhóm Abel hoàn toàn phân rã trong mỗi quan hệ mật thiết với nhóm Abel không xoắn hang 1 Khóa luận tốt nghiệp này bao gồm hai chương Trong

đó:

Chương 1: Kién thức chuẩn bị hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý

thuyết nhóm cần thiết cho khóa luận cùng một số kiến thức về nhóm Abel khôngxoắn hang 1

Chương 2: Nhóm Abel hoàn toàn phân rã trình bày các kiến thức vẻ đặc

trưng và dạng dong thời mõ tả cấu trúc của nhóm Abel hoàn toàn phan ra Bên

cạnh đó là những kết quả chính của khóa luận về nhóm Abel hoàn toàn phan rã

và nhóm đồng cấu giữa chúng Chúng toi đã đưa ra những kết quả để cho thấy suđồng cấu giữa hai nhóm Abel hoàn toàn phan rã bat kỳ và tự đồng cau của một

nhóm Déng thời chúng toi cũng chỉ ra điều kiện cần và đủ để nhóm Abel hoàn toàn phân rã đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của chính nó.

Để khóa luận có thể được hoàn thành với day đủ nội dung, tôi xin gửi lời cảm ơnchan thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ Pham Thị Thu Thủy - người đã luôn dong hành

cùng téi trong suốt quá trình làm bai Co đã tan tâm hướng dan cho khóa luận tốt

nghiệp của tdi và đưa ra những phan hồi cùng những lời góp ý quý giá để giúp toi thêm

hiểu rõ hơn về đề tài của mình, cũng như những điểm mạnh, điểm cần cải thiện trong

việc nghiền cứu của minh Va tỏi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cé

khoa Toán — Tin học đã tạo những điều kiện thuận lợi để tỏi được làm khóa luận tốt

nghiệp cùng những kiến thức quý báu mà quý thấy cô đã truyền day Đây là một cột

mốc quan trọng và đáng nhớ trong những năm thang hoc đại học nói riêng và cuộc đời

học tập của tôi nói chung Không chi vay, tỏi cũng muén bày tỏ sự biết ơn của mình

đến gia đình, bạn bè và người thân đã luôn ủng hộ và động viên trong suốt quá trình

làm khóa luận này.

Lời cuỗi cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các tác giả của tài liệu tham khảo mà tôi

đã sử dụng trong quá trình thực hiện khóa luận của mình Dù tôi đã cỗ gang đầu tư

thời gian và sức lực rat nhiều để hoàn thiên về cả nội dung và hình thức của khóa luận.thì cũng sẽ không thể tránh khỏi những sai sót Töi mong sẽ nhận được su chia sẻ cùngnhững lời đóng góp ý kiến chan thành từ quý thầy cô và các bạn sinh viên để tôi thayđược những khía canh còn chưa hoàn thiên và có thêm những kinh nghiệm quý giá để

cải thiện quá trình nghiên cứu của mình sau này.

Toi xin chân thành cảm on!

Thành pho Hà Chí Minh, ngàu 29 tháng 04 năm 2024

Tác giả

Lê Hoàng Minh Quân

Mục lục

[Lời nói đầu! 1

Chương 1Ð Kién thức chuẩn bi 5

Nhóm Abel, tong trực tiếp và hạng| 5Nhóm đồng cấu giữa các nhóm Abel 7

Nhóm Abel khong xoắn hang 8

Tap hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực

Hiệu của hai tap hợp X và Y

Đặc trưng của phan tử «

Dạng của phan tử a

Tong của họ các nhóm con {Ï1,};¿¡

Họ các phan tif a; với chỉ số i € J

p- cao dé của phan tử z

Nhóm các tut đồng cau của nhóm A

Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của họ các nhóm {G;};c¡

Nhóm các đồng cau từ nhóm A vào nhóm B

Tap hợp rỗng Nhóm thương của nhóm G theo nhóm con H

Phan tử đối của x

Phan tử Không

Chương 1

Kiên thức chuẩn bi

Trong khóa luận này, ta quy ước khi nhắc tới "nhém" mà không giải thích gì thêm thi

ta hiểu đó là nhóm Abel với phép toán cộng.

1 Nhóm Abel, tông trực tiêp và hang

Dinh nghĩa 1.1 Cho G là một tap hợp khác rồng và + là một phép toán hai ngöi

trên Œ Khi đó, G được gọi là nhóm Abel với phép toán + nếu thỏa mãn các điều kiện

sau day:

i) (Tinh chất kết hợp) Với moi a,b,c € G thi (a +b} + e=a+ (b+ ce);

ii) (Tính chất giao hoán) Với mọi a,b € Œ thia+6=6+4;

iii) Tén tại phan tử 0 € sao cho a+0= ø với mọi a € G Phan tử 0 được gọi là phan

tử trung hòa (hay phần từ Không) của G:

iv) Với mỗi a € G, ton tại a’ € G sao cho a+a‘ =0, Phan tử a được gọi là phan tử đối

của a,

Định nghĩa 1.9 Cho {A,},¿¡ là một ho các nhóm.

1 Tích trực tiếp của ho {Aj} ier là:

IL+ = {(ai)icslai € Aji € I}

ief

với phép toán hai ngôi:

(ai jie ® (bier = (a5 + b;)¡cr

2 Tap con QA; của T] A; gồm các phan tử (2,)¿¿¡ thỏa mãn điều kiện: chỉ tồn tại

el tcÍ

hữu han i € 7 sao cho a; # 0 gọi là tong trực tiếp ( ngoài) của họ

{A4;};c-Khóa luận tật nghiệp Lé Hoàng Minh Quan

Dinh nghĩa 1.3 Nhóm G được gọi là tổng trực tiếp (trong) của ho các nhóm con

{4¿};e¡ và được ký hiệu là G = @A,, nếu thỏa mãn hai điều kiện:

1 Điều kiện 1 trong Định nghĩa trên nghĩa là mọi phan tử ø € G có thể biểu diễn

thành dang tổng ø¡, + + ai, VỚI aj, € Ai,, i; € I Dé đơn giản, ta sẽ ghi phan tử

của G = $244; đưới dang $>a; với quy ước là a; bằng 0 với hau hết, trừ một số

iel iel

lượng hữu han, các chỉ số ¡ € I.

2 Tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài là hai khái niêm tương đương nhau.

Nếu G là tổng trực tiếp ngoài của các nhóm A; thì mỗi nhóm 4; sẽ đẳng cau với

nhóm con A! của Œ gốm các day (4;);c; ma aj = 0 với mọi 7 # ¡ và a¡ € Aj.

Mệnh đề 1.5 Niu G=H@K thì G/H = K.

Định nghĩa 1.6 Cho Ala một nhóm và 9 = {ay,aa, œ„} là một hệ hữu hạn các phan

tử khác 0 trong A Khi đó S$ được gọi là độc lập tuyén tính nếu với mọi mj), ma, mạ € E,

n

từ điều kiên 5” mya; = 0 luôn suy ra mya, = 0 với moi i = Tyr Nếu S không độc lập

‡=t

tuyến tính thì ta nói S phụ thuộc tuyén tink.

Một hệ võ han trong A được gọi là độc lập tuyén tink nếu mọi hệ con hữu hạn của

nó đều độc lập tuyến tinh.

Một hệ độc lap tuyến tính Š trong A được gọi là (62 đại nếu không tén tại hệ độc

lập tuyến tính X nào đó của A sao cho Š là tập con thực sự của X Nói cách khác, S$ là

hệ độc lập tuyến tính tối đại nếu SU {a} phu thuộc tuyến tính với moi a € A.

Định nghĩa 1.7 Hạng của nhóm A là lực lượng của hệ độc lập tuyến tính tối đại của

nhóm 4.

Khóa luận tốt nghiệp Lê Hoàng Minh Quân

2 Nhóm đồng cấu giữa các nhóm Abel

Định nghĩa 1.8 Cho A và C là hai nhóm Mét ánh xạ ¿ từ nhóm A vào nhóm C gọi

là đồng cau nếu với moi ø.az € A ta có

Pai + a2} = (1) + pag)

Định nghĩa 1.9 Cho a va 3 là các đồng cau từ A vào C Khi đó, tổng a + ở đượcđịnh nghĩa là ánh xạ biến mỗi phan tử a € A thành a(a) + 8{a), nghĩa là

{a+ 6)(2} = a(a) + ð(a) (œ€ A).

Ánh xa a + 8 cũng là đồng cấu từ A — C Các đồng cấu từ A vào Œ với phép cộng sẽ

tạo thành một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm đồng cau của A với C và được ký

hiệu là Hom(A,C) Nhóm này có phan tử trung hòa là đồng cấu và phan tử đối của

đồng cau ¿ là —¿ được xác định như sau:

(—)(œ) = —yfa), với mọi a € A.

Nhóm các tu đồng cầu của nhóm A hay Hom(.1 A} được kí hiệu là End.1.

Dinh lí 1.10 Cho {Ajhics {C(};cr là một ho các nhóm va A, C là nhóm Khi đá:

Hom Baie = Il Hom( Aj, C):

vel el

va

Hom | A, I] orm Ị % II Hom{A, C;).

rel ¡€7

Khóa luận tốt nghiệp Lé Hoàng Minh Quan

3 Nhóm Abel không xoắn hang 1

Định nghĩa 1.11 Nhóm A được gọi là nhám không xoắn nếu mọi phan tử khác 0 trong A déu có cấp võ hạn.

Định nghĩa 1.12 Cho A là một nhóm không xoắn, A được gọi là nhóm hạng 1 khi

a chỉ khi với mọi phan tử a,b # 0 trong A đều tôn tại m,n € Z\ {0} sao cho ma = nb.

Hơn nữa, ta có thể chọn m,n sao cho (m,n) = 1

Định nghĩa 1.13 Phan tử a của nhóm A là chia được bởi n € ZB, ký hiệu rja, nếu

phương trình

nz = a(a€ A)

có nghiệm z € A, tức là tồn tại b € A sao cho nb = a

Định nghĩa 1.14 Cho A là nhóm không xoắn và a € A.

1 Với p là một số nguyên tố, nếu tồn tại số nguyên không 4am lớn nhất & sao cho

pŸ|a, hay phương trình p*« = ø giải được trong A, thì k gọi là p- cao độ của a Ký

hiệu là h„(a) Nếu không tồn tại số nguyên & lớn nhất, thì Ap(a) = co (hay phương

trình pÈz = a có nghiệm với mọi & hoặc p*|a với mọi k}

2 Cho pq.pạ pạ là day các số nguyên tố từ bé đến lớn (2,3.5.T, ) Day các

p, - cao độ của phan tử a trong nhóm A

x(a) = (hp, (a), Rp, (@)}, -, hy, (q), )

được gọi là đác trưng hay day cao độ của a Ta có thể ký hiệu y4{a) nếu muốn chỉ

ra đặc trưng của a được tính toán trong nhóm A.

Dinh nghĩa 1.15 Hai day đặc trưng (ey, kạ, , kn, ) Và (h,la, , tay ) được gọi là

tương đương néu thoả mãn hai điều kiện:

1 ky = l„ với hầu hết œ hay chỉ tồn tại hữu hạn (hoặc khong ton tại) các số n € Ñ*

sao cho ky, # lạ,

2 Vain € N*, nêu k, # lạ thì k„ và |, đều hữu han

Ký hiệu: (ky, ka, sáo si: } ~ (h.,la Farag bass ).

Vi du 1.16.

e Hai đặc trưng (2,4,5,00,1,1,1, } và {2,3,6,00,1,1,1, ) là tương đương do chỉ có

tương ứng hai cấp cao độ khác nhau là 4 # 3, 5 # 6 và nếu hai cao dé khác nhau

thì chúng đều là hữu hạn.

Khóa luận tật nghiệp Lé Hoàng Minh Quan

e Hai đặc trưng (1,00,3,1, ) va (2,0,00,1,1, } không tương đương vi cao độ thứ

hai của hai đặc trưng khác nhau nhưng cao độ thứ hai của đặc trưng thứ nhất

không hữu hạn.

e Hai đặc trưng (1,3,2,0,0, ) và (3,4,2,1,1, ) không tương đương vì hầu hết các

cao độ tương ứng của hai đặc trưng đều khác nhau.

Định nghĩa 1.17 Các lớp tương dương của các dãy đặc trưng được gọi là các dang.

Nếu trong nhóm A, ø € A ta có x(a) thuộc dạng / thì ta nói ø là phan tử dai dién của

dang £ và viết t(@) = + Hay rõ ràng hơn, f4{a) = f nếu ta muốn nhấn mạnh dang của a

được tính trong nhóm 4.

Ghi chú 1.18 Một dạng có thể được đại diện bởi bất kỳ phần tử nào trong lớp tương đương của nó, do đó ta có thể viết £ = (hy, ko, ) nếu về (#ạ.kạ, ) là một đặc trưng

trong lớp của /.

Định nghĩa 1.19 Moi phan tử khác 0 trong nhóm A không xoắn hạng 1 đều có cùng

dang, ta gọi là dang của nhóm A, ký hiệu là ¿{4).

Định lí 1.20 Hai nhóm không roắn hạng 1 đẳng cầu uới nhau khỉ vi chỉ khi chúng có

cùng dang.

Định nghĩa 1.21 Nhóm R được gọi là nhóm hữu tỉ nếu nó là nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỉ Q.

Định lí 1.22 Cho A là một nhóm không roắn hang 1 Khi đó, tần tai một nhóm hữu

tỉ B khác không sao cho A % B.

Chương 2

Nhóm Abel hoàn toàn phan ra

1 Đặc trưng và dạng

Định nghĩa 2.1 (So sánh hai đặc trưng)

Cho hai đặc trưng xị = (kq.&¿, &„ } và Ve = (day l„ạ ) Khi đó:

1 Dac trưng yị bằng đặc trưng y2 nếu &; = ỉ¿ với mọi ¡ € Ñ* Ký hiệu xị = X2:

2 Dac trưng x; bé hơn hoặc bằng đặc trưng y2 nếu &; < ly với mọi i € N* Ký hiệu

® vị = x2 do các cao độ tương ứng của hai đặc trưng bằng nhau.

® x1 < x3 do các cao đồ của xị tương ứng nhỏ hơn hoặc bằng các cao độ của x3.

e x; không so sánh được với yy vì cao độ dau tiên của xị nhỏ hơn cao độ dau tiên

của xạ, còn cao đõ thứ hai của y; lại lớn hơn cao độ thứ hai của y4.

Mệnh đề 2.3 Cho A là nhém không xoắn, a € A Khi đó x(—a) = x(a)

Chứng mink Dé thay với mọi số nguyên tố p, số tự nhiên ø và phan tử x € A thì p"2 = a

khi và chỉ khi p"(—z) = —a Nghia là p"|a khi và chỉ khi p"| — a Suy ra kp(a) = hạ(—a}

với mọi số nguyên tố p Do đó x(a} = xÍ—d) a

Dinh nghĩa 2.4 Cho k = (ky, ha ) và b= (H,lạ, } là hai day đặc trưng Khi đó:

kALl= {min(iy, fy), mìn(&2, lạ}, "` :

kvi= (max(&¡, tị), max(ka Ía}, ` :

10

Khóa luận tốt nghiệp Lê Hoàng Minh Quân

Định lí 9.5 Cho A là nhóm không roấn tà b,c € A Khi đó, x(b +c) > x(Œ} A xfe)

Chứng mink Cho p là một số nguyên tố bat ki Dau tiên ta chứng minh

hp(b +c) > min (hp(b), hp{c))

-Goi & = min (ftp(5), tp(e})

Trường hợp 1: & = oo Khi đó hạ(b) = hg(e) = co Với mọi n € N* luôn tổn tại phan

tử ci € A sao cho p"b! = b và pc’ = c Khi đồ 6+ = p”( +) nên p" | b+ Suy ra

hp{b+c) =

Trường ‘hep? :k € N Khi đó p*|b và p*le nên tổn tại bị € B va «¡ € C sao cho

b = p*by và e = pkey Khi đó, b+ ¢ = pŠbị + pŠei = p*(b) + 1) Do đó p* | b + c Suy rah,{b +c) > k = min (hạ„(b), hp(e))

Vậy từ hai trường hợp trên ta được h„(b + e) > min (hp(b), hp(c)) với moi số nguyên

tố p Do đó x(b +e) > y{b) A x(£) =

Dinh nghĩa 9.6 (Tích của hai đặc trưng) Cho hai đặc trưng xị = (41, kạ &„, ) và

xa =Íh.tb, tạ, ) Khi đó tích xix¿ được xác đình là

XIX¿ = (Ay + ly, kạ + by Rn + Ìạ, ).

Vi dụ 2.7 Trong nhóm (2, +) thì x(20) = (2,0,1,0,0, ) và x(35) = (0,0,1,1,0, ) Khi

đó

xí(20).v(35) = (2 +0,0+0,1+1,0+1,0+9, ) = (2,0,2,1,0, ).

Dinh lí 2.8 Cho đặc trưng x = (kì, kay kay) Đặc trưng x được gọt là luỹ đẳng nêu

x? =x, nghĩa là uới mợi n, ky bằng 0 hưng 00.

Chứng mink Do y là lũy dang nên xỀ = v Khi đó ta suy ra

(2&\, 2ka, wea) = (hoy, Bay vey Ea, <=)

Do đó 2k; = &¡ với moi ¡ € N*.

e Nếu k; € N thì từ 2k; = &; ta được &; = 0.

e Nếu k¿ = 00 thi 2k; = oo Suy ra 2k; = kj.

Vậy k; bằng 0 hoặc œ với moi: < N* |

Vi du 2.9.

1 Trong nhóm (Z,+) thi x(1) = (0,0,0, ) là một lũy đẳng.

2 Trong nhóm (@, +} thì x(2) = (oo, 00, 00, ) là một lũy dang

11

Khóa luận tốt nghiệp Lê Hoàng Minh Quân

Định nghĩa 9.10 Cho hai đặc trưng yy = (Ay key Res) và xa = (h), ha, ).

Đặc trưng x lớn nhất sao cho yoy = xị được gọi là (hướng của xị và yo và ký hiệu là

X=XI:X2z:

Định nghĩa 9.11 (So sánh dang) Cho hai dang f và s Ta nói £ < s nếu có các đặc

trưng yy = (&\,kạ, } trong t và yo = (h;lạ, ) trong s sao cho (Wq,kạ, ) < (h,iạ, ).

Khi đó, ta định nghĩa s: / là dang của đặc trưng xz : Xi.

Ví dụ 2.12.

1 Nếu x(a) = (1,4,3, 00,6, 1,0, ) và x(b) = (0,3,2,,œ,0, ) thì y{a) < xí(b) và do

đó ta) < 10).

2 Cho hai đặc trưng x(a) = (1,,2,0, ) và x(b) = (,2.3,0 ) Khi đó, với mọi

XI = (hy, ha, Kn) ~ x(a) thì dy € Ñ và xa = (h.la, lạ, }) ~ XxÍb) thi — oo.

Suy ra, &¡ # ty những 4) = co nên yx, và y2 không so sánh được với nhau Do đó

mọi đặc trưng thuộc /{a) đều không so sánh được với (6) nên f(a) và £(b) không so

sánh được.

Định nghĩa 2.13 Cho đặc trưng vị = (Êt,Éa kạ ) thuộc dang tị và đặc trưng

xa = Íh,b, tạ, ) thuộc dang te Khi đó, tích xịys = (tị +h.kạ + be, hn + lạ, ) là

đặc trưng thuộc dang tích 1a.

Định nghĩa 2.14 Dạng t được gọi là lũy dang nếu nó là dang của một day cao độlũy đẳng Nếu dang + lũy đẳng this: £ = ¿

Định lí 2.15 Cho A là nhóm không xoắn tà b,c € A Khi đó, t(b +c} > t(b) A tíc).

Chứng mink Với b,c € A, theo Dinh Iib.5]ta có x(b+-c) > x(h)^Ax(c£) Mà x(b+e} € t(b+cÌ

với mọi số nguyễn tố p.

Theo chứng minh ở Dinh Kk f2.5]ta đã có được hp(b +c) > min (hạ(B), Rp(e)).

Giả sử hp(b +c) > min (hp(®), Ap{c)) = k Do A= BOC nên b+c 6 A, khi đó tồn

tại a’ € A sao cho b+c = p*ta’ Mà A = BSC nên tốn tại b' € B và ở € C sao

cho a’ = + ý Suy ra, b+c = pŸ†!(b' + ở) = pȆ1U + ph*!?, Lại do A = BOC nên

12