Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Mối liên quan giữa phổ nguyên tố của vành và cấu trúc của một số lớp vành

Việc tìm hiểu cấu trúc các ideal nguyễn tổ, ideal Wi đại trên một vành giao hoàn có đơn vị A gọi tất là vành A cho ta được nhitng kết quả rất lý thi.Tập hợp những ideal nguyên tố trong

42? 242 On

Yet du (m, (C vin chan thanh cam on giác se — lien ai

Bai #ưỡng 2é hhea loin tutitng bat hee He Pham Shank Phé He Chi

Minh, ngutt thay da nhiél linh huting din léé (ương suél qud hinh hein

thinh luin vin lel nghiép nay.

Tei vin get let ÁWỮ on dén quy Shiy Cé dit che led whitng hién lhite dé

Thành Phố Hồ Chi Minh, 06200!

Sinh vién ldp todn 4P

Phan Phụng Hiệp

LỜI MỞ ĐẦU

Trong Đại số giao hoán, lý thuyết vành là một trong những vấn dé hay

được để cập đến Việc tìm hiểu cấu trúc các ideal nguyễn tổ, ideal Wi đại trên một

vành giao hoàn có đơn vị A ( gọi tất là vành A) cho ta được nhitng kết quả rất lý thi.Tập hợp những ideal nguyên tố trong vành A mà ta sẽ gọi là phổ nguyên tố Spec(A) làkhong gian tôpô Zariski, Đây là một không gian tôpô đặc biệt Mat khác, gita vành A

và pho nguyên tế Spec(A) cũng có những mdi liên quan khá mật thiết với nhau, Chẳng hạn, trong vanh A ta luôn có mọi ideal tổì đại là ideal nguyên tổ nhưng nếu Spec(A) la

Tị - không gian thi moi ideal nguyên tổ trong A là ideal tổi đại, và ngược lại Hom

nữa, trên cấu tric của một số lớp vành đặc biệt nhu vành Boole, vành Note, vành

Artin phổ nguyên tế của ching cũng thể hiện những tính chất tôpô tương ting khásâu sắc như tính tách, tính liên thông, tính bất khả quy, tính Note mà chúng ta sẽ tìm

hiểu một phần nao trong luận văn này.

Luận văn này chúng tôi chia làm hai chương, mỗi chương gồm hai phần :

* Chương I: chúng tôi trình bày những vấn dé cơ bản về lý thuyếtvành giao hoán có đơn vị, mà trọng tâm là cdc ideal nguyên tố, ideal tối đại, các vành

Boole, Note, Artin (Phdn1) và một vài khái niệm , tính chất trong không gian tôpô

(Phần 2).

* Chương HH : chúng tôi trình bày việc xây đựng phổ nguyên tố cúa

vành A cùng với các tính chất của nó (Phan!) và những mối liên quan giữa phổ

nguyen tế với cấu trúc của một số lớp vành đặc biệt (Phần 2).

Lưu ý : trong chương | có một số kết quả, định lí mà chúng tôi nghĩ rằng

đã quen thuộc thì chỉ trình bày dưới dạng nhắc lại để dùng cho chương II chứ khôngchưng minh,

MỤC LỤC

Lời mở đầu

Qui ước, ký hiệu

Chương I ; MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT CÁC VÀNH GIAO HOÁN CÓ

DON VỊ VÀ CÁC TÍNH CHAT CUA KHÔNG GIAN TOPO

Phần | : Vanh giao hoán có đơn vị

L ĐINH cuppa iss eres ceca nee trang |

H Phép toán trên các ideal o cccscseccceseesesseenssnnnnnnnsarennennenennnsenranensnns trang |

HH Ideal nguyên tố- deal tối đại 6-5555 S512 6 x2x52 trang 3

IV NIITddRCRL=:RAONẨ|Ìt03sa6syt (5086616250005 n0 6ssz6urdee trang Š

V Vành Boole - Vành Note =Vành Artin, Ăn trang 7

Phần 2 ; Một vài tính chất của không gian tôpô

i, a a re eee ees trang 12

Th Không gian COMPACt c.cccccsccsscsscssccscesssnssannsesaesscsaensenseesndenenseenss trang 13 IW:Không gian.'Hên thé ng 24-60 4(G12G66006062105101á26đ trang 13

[V: Không Ølán Đất Khổ QU\ G4222 trang 14

V Không gian Nơte -osSSSeeeerrrrrrererrerrrrrreereee trang 1Š

Chương IL; PHO NGUYÊN TỐ CUA VÀNH GIAO HOÁN CÓ BON VỊ VÀ MỐI

LIÊN QUAN GIỮA CHÚNG

Phần 1 ; PAG nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị

L, Đình HH: ceeceeeeeeeeeieeeeeeoieeoeesseeesearobxreanassaoassespemmoen trang 17

IL Coad cða phố nguyên WD s«s»oeese=eeasekedeareeeeeedsnassee trang 20 III Tính tách của phổ nguyên tố Si trang 22

IV Tinh compact của phổ nguyên tỐ, 5-5 se, trang 23

Phin 2 ; Mối tiên quan giữa phổ nguyên tố của vành và cấu trúc của một xố lớp

vành

I Điều kiên tách T; của phổ nguyên tố -.¿vc<e+c<2 trang 2Š

Il Điều kiện bất khả quy của phổ nguyên tố trang 26

III Phổ nguyên tố của vành Boole - se trang 29

IV Phổ nguyên tố của vành Nơte- - 5-<5s- seeceee trang 33

V Phổ nguyên tố của vành Arin 5-55 2x xe trang 36Kết luận

Tài liệu tham khảo

QUI ƯỚC, KÝ HIỆU

A : Vành giao hoán có đơn vj

f.g,h,k — : Các phẩn tử thuộc vành A

E : Tập con của vành Á

a,b : Các ideal của vành A

p : Ideal nguyên tố của vành A

m : Ideal tối đại của vành A

rad(A) : Tập hợp các phần tử lũy linh trong vành A

r(a) : radical của ideal a

X = Spec(A): Phổ nguyên tố của vành A (Không gian tôpô Zariski)

x.y : Các điểm của X = Spec(A)

Pa: Py : Các ideal nguyên tố tương ứng với x, y thudc X

V(E) : Tập con đóng trong X = Spec(A) (E c A)

X(E) : Tập con mở trong X = Spec(A) (E c A)

X¿ : Tập mở cơ bản trong X = Spec(A) (Vf € A)

M6i lê n Sita in 16 của vanh và cấu tric của mộf số Ép vanh

CHƯƠNG I „

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT CÁC VÀNH GIAO HOÁN

CÓ DON VỊ VÀ CÁC TÍNH CHAT CUA KHÔNG GIAN TOPO

PHAN |

VANH GIAO HOAN CO DON VI

Môi vành A được gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân trong A là

giao hoán, có đơn vị, mà ta ký hiệu là | Nghĩa là :

ViigeA.tacd: Ứg=gf

f.l = 1.f£=f

(Phan tử trung hòa của phép cộng trong vành A được ký hiệu là 0)

Như vậy trong một vành giao hoán có đơn vị A, các ideal trái và ideal phải là trùng

nhau, ta gọi chung là các ideal của vành A.

Trong luận văn này, chúng tôi chỉ để cập đến vành giao hoán, có đơn vị, do

đó nếu không nói gì thêm, vành A được hiểu là vành giao hoán, có đơn vị.

L/ Giao các ideal :

- Ta đã biết giao của một họ không rỗng các ideal của một vành là ideal của

vành đó Giao của tất cả các ideal chứa tập con E của vành A là ideal bé nhất

chứa E (theo quan hệ bao hàm) Ta gọi nó là ideal sinh bởi E và được kí hiệu

là < E > Nếu E có hữu hạn phần tử thi ideal sinh bởi E được gọi là ideal hữu hạn sinh.Trong trường hợp E = {f} là tập con của A, có một phần tử thì ideal

sinh bởi f gọi là ideal chính

Định lí 1.1.1

Với mọi tập con E của vành A Bộ phận a của A gồm các phần từ có dang

0d, + Bhs + t+ Rabe với g, EA, f, EE Vi =Il,n là ideal của A sinh bởi E.

Hệ quả Li.

Cho vành A : Pp

Nếu ƒ eA f= 2.8, với gn ƒ, € A Viel nhì:

Lect, —S>

M6i In giữa in 15 của vanh và cấu frúc của mot số kop vanh

là một ideal của vành A, goi là dng của các ideal a, và ay, Dễ thấy rằng tổng của

các ideal a, và a; là ideal nhỏ nhất chứa a, va az Vì vậy :

a; ta; =< a; ap>

- Hoan toàn tương tư, ta có thể định nghĩa tổng của mét họ (không nhất thiết hữu

han) các ideal của A,

Giả sử {a,},„ ¡ là một họ không rỗng các ideal của A

Khi đó tập con: D2, ={ Š›/,,f,ea, và =0 với hấu hết ¡ e I, chỉ có một

ajay = { {gy + her ++ Íg,/n œ N, f € a), g, @ ay}

là một ideal của vành A, gọi là dich của hai ideal a;, a>, và ta cũng có :

a¡8; =< Íg / Í € ai, g € 4>

Hoàn toàn tương ty, ta có thể định nghĩa tích của một họ hữu hạn các ideal

của A Giả sử a), a;, a, là các ideal của A, khi đó tập con:

[la = </:- 1⁄4 >

tài

là một ideal của A, gọi là tích của các ideal a), a2, , ay

Aiối liên giữa phố in 165 của vànk và cấu tric của móf số Kip vanh

II IDEAL NGUYEN TỔ - IDEAL TOI DAI

Cho vành A Giả sử p là một ideal nguyên tố và a, b là các ideal của A Khi đó:

Nếu p Dab thip >a hoặc p Db.

Chứng minh :

Bằng phản chứng, giả sử rằng a đ p và bơp

Khi đó 3 f e a, g e h sao cho [ # p và g £p

Suy ra: f.gep (vì p là ideal nguyên tố)

Theo định nghĩa tích hai ideal a và b thi:

- Nếu p fa, thì 3i sao cho : 4, Cp

- Nếu p =Na, thì Fi sao cho:a,=p.

Chứng minh :

* Bằng phản chứng, giả sử a/C p Vi = l,n

Suy ra :

[l⁄ ¢ p (vì p là ideal nguyên tố)

Mit khác, theo định nghĩa tích các ideal, ta luôn có :

Hie [ac Aa,

Ađĩ! lên giưa in 16 của vanh và cấu tric của mt số Kip vanh

Theo gid thiét p> đ a,

Suy ra ry ep (mâu thud LS «p)

Vay:

Ji:acp ,

* Đặc biệt, nếu pz= ÍÌ4_ suyrapcu,VI=l,n

Theo kết quả trên thì 3 ips ay ep

iy: địa: P= aw (đncm).

Định nghĩa 1.1.5

Một ideal m # A của vành A gọi là ideal tối đại nếu nĩ là phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm) trong tập các ideal (khác A) của A Nghĩa là nếu cĩ ideal a saocho mca thì a =m hộc a = A.

Định lý 1.1.3

Cho vành A, m là ideal tối đại của A <> A/m là trường

Từ hai định lý 1.1.2 và 1.1.3 ta cĩ hệ quả sau :

Moi ideal khác A của vành A đều được chita trong một ideal tối đại Nĩi

riêng, mọi vành A khác khơng đều cĩ ideal tốt đại.

Chứng minh :

Giả sử a + A là mơi ideal của A.

Xét tập S gồm tất cả các ideal của A khác A và chứa a được sắp thứ tự bởi

quan hệ bao hàm Tất nhiên S # ¿ via e S Lấy T = {a,),« ¡ là mơi tập con của S

được sắp thứ tư tồn phần bởi quan hệ bao ham.

Ta chứng minh T cĩ cận trên, thật vậy :

Đặt he Ua, , khi đĩ b là ideal của A, vì :

Vigebv he A, do T được sắp thứ tư tồn phần bởi quan hệ bao hàm nên ta cĩthể giả sử Í, g cùng nằm trong một a, € T nào đĩ, nên :

(Í=g€a,,hfe a, (doa, là ideal của A)

Suy ra:

M64 liên quan ghie phố nguyen 16 của vanh vd cấu tric của mét số Ép vành

Suy ra b là cận trên của T

Theo hổ để Zom, tập S có phần tử tối dai m, và m chính là ideal tối đại của vành A

chứa a.

Tóm lại : mọi ideal a # A đều được chứa trong một ideal tối dai Và vì vậy mọi vành

A #0 đều có ideal tối đại

Vif không khả nghịch nên < > # A

Theo định lí 1.1.4 : < f > được chứa trong một ideal tối đại Suy ra f được chứa trongideal tối đại này

IV NILRADICAL - RADICAL

Định nghĩa 1.1.6

Một phần tử f thuộc vành A được gọi là lay linh nếu3 n € N, n>0 sao cho Í” = 0

Tất nhiên nếu f # 0, f lũy linh thì f là ước của 0

Định nghĩa 1.1.7

Tập hợp tất cd các phần tử lũy linh của vành A gọi là nilradical của A, và kí

hiệu là : rad(A).

Định W115

Nilradical rad(A) của vành A là giao của tất cả các ideal nguyên tố trong A

Noi riêng, rad(A) là ideal của A.

Chứng minh :

Giả sử R là giao của tất cả các ideal nguyên tố của A

SVTH - Phan Phang Hat đưang: 5

Afối liên quan giữa in 15 của vánĂ và cấu tric của mét số É#p vành

Ta chứng minh : R = rad(A)

+ V¥ f rad(A) nghĩa là f lũy linh, nên 3n eN,n >0 sao cho Í” = Ú € p, vip

là ideal nguyên tố bất kỳ trong A, suy ra f e p và tất nhiên fe R

Vậy rad(A) CR

+ Ngược lại, Y f e R, bằng phản chứng, giả sử f € rad(A), nên í” # 0 vn > 0.

Xét tập S gồm tất cả các ideal của A sao cho:

Va e S thì ƒ" £ a, Yn »01 S được sắp thứ tự bởi quan hệ bao ham)

"Tất nhiên S # $, vide S

Lấy T = {a,}, ¿¡ là một tập con của S được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hé bao hàm

Đátb = Ua,

Tương tư định lí 1.1.4, b là ideal của A,

Vìa,eSVie nên “£a,Viel Vn>0

=Í°gbVn>0=beS.

Vậy b là cận trên của T

Theo bổ để Zorn, tập S có phần tử tối đại p.

Ta chứng minh p là ideal nguyên tố của A :

Vg,h«A: ph ep, giả sử g € p và h @ p, khi đó, p là tập con thực sự của

p+<g>va p+<h> nên các ideal p+<g>, p+<h> không thuộc S Vì vậy :

Giả sử a là một ideal bất kỳ của vành A Tập hợp tất cả các phần tử feA sao

cho: Jn eN,n>0: fea gọi là radical của ideal a Kí hiệu là fa).

M61 liên quan giữa n 15 của vanh và cấu tric của mộf số Kip vanh

Định lí 1.1.6

Radical của một ideal a của vành A là giao của tất cả các ideal nguyên tố trong

A chữa a, Noi riêng, r(a) cũng là một ideal của A, chidaa

Chứng minh :

Giả sử a là một tdeal của A Gọi R là giao của tất cả các ideal nguyên tế chứu a

Ta chứng minh : r(a) = R

* rap cR:

vie A.fena)@ineN,n>0: Mea

Do đó với moi p là ideal nguyên tố chứa a, ta có :

f°*epn=fFepE=fFeR

Suy ra ra) CR

*RCHa):

v¥ fe A.fe R Bằng phản chứng, giả sử f ¢ ra):

Goi S là tập hợp tất cả ideal b của A sao cho b Ð a và “® £bWneN,n>0

Ta thấy S # ¿ vì ae S.

Tương tư định lí L.1.5, S có phan tử tối đại p, trong đó p là mét ideal nguyên

tố chứa a Từ đó f ¢ p Vay : f £ R (mâu thuẫn f e R)

Nếu tồn tai một ideal a của A sao cho p được chứa thực sự trong a thì :

đfea : fep

M61 liên quan giữa phố nguyén fố của vanh và cấu tric của mộf số kip vânÑ

Vì A là vành Boole nên : f(f- 1)=f-f=0ep

Suy ra f— | ep (do f ¢ p và p là ideal nguyên tố)

Nếu a =<f>thia là ideal chính (theo định nghĩa)

- Néva=<f,g>:

Đậth =f+g - Íg

Ta chứng mình a = <h >:

+ Ta cóh eđa<h>ca + Mặt khác :

Suy ra a là ideal chính sinh bởi h.

Bằng qui nạp, ta có mọi ideal hữu han sinh trong vành Boole A đều là ideal chính.

2/ Vành Note :

Định lí 1.1.7

Cho vành A, các điều kiện sau là tương đương :

i> Moi ideal trong A là hữu han sinhi> Moichudi tăng các ideal trong A:

a; Ca; Cda¡C , sao cho a, #a;,,; đều hữu han, nghĩa là :

3n e€N,n>0:ayạ=d„v¡=dạ,;=

iii> Moi tập không rỗng S các ideal của A đều có phần tử wi dai (theo

quan hé bao ham).

Chứng minh :

SVTH : Phan Phung 444 rang : 8

Mối liên quan giữa n 18 của vànĂ và cấu tric của một số ip vank

‘imi

Giả sử có một chuỗi tăng các ideal của A :

đi CủyCa,C saocho á, # 4;¿¡

pat as Ua

Tương tự định lí 1.1.4 ta có a là ideal của A, va ideal a hữu han sinh theo giả thiết

Chẳng han a sinh bởi k phần tử f,, Í; fy:

Giả sử S là một tập không rỗng các ideal của A Lấy a, bất kỳ thuộc S Nếu a,

không là phan tử tối dai trong S thì a; được chứa thực sự trong một ideal a; € S nào

đó, Tương tư như a), nếu a) không là tối đại thì a) được chứa thực sự trong ideal

a, € S nào đó Như vậy ta có thể xây dựng được một chuỗi ting các ideal trong S :

- Nếu <fÍ\,f› >= a thì a hữu han sinh

- Nếu <f,, >zatia3fea:f, e <f,, f, > và ta có :<ft, ff >c<ft,Í;,Êy>

Tiếp tục như vậy ta có thể tìm được một chuỗi tăng của các ideal hữu hạn sinh của A

<f,>c<f\,f;>c <ft,Í›,f›> C

Tap S # è của các ideal hữu han sinh nay có phan tử tối dai, chẳng hạn < f,, ›, Í, >

và ideal hữu han sinh này chính là a, nếu không sẽ tồn tại ideal

<f,ñ fe Tacs > © S Ífsm¡ € a sao cho:

<í.f% Ín> c< fy , fhe fey >(mâu thuẫn tính tối đại của < fain, fe trong S)

Vậy moi ideal trong A là hữu han sinh (dpem)

Dinh lí được chứng minh xong.

Aiế! Lién giữa n 16 của vành và cấu tric của méf số Kip vanh

Định nghĩa 1.1.10

Mội vành A được gọi là vanh Note nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện

tương đương trong định lí 1.1.7.

Định lí I.1.8

Cho vành A, các điều kiện sau là tương đương :

i) Mọi chuỗi giảm các ideal trong A:

a; >a; > ,sae cho a; #a;,; đều hữu han

ii) Moi tập không rỗng S các ideal của A đều có phần tử tối tiểu (theo quan

thực sự một ideal a; e § nào đó Tiếp tục, nếu a; không là tối tiểu trong S thi a; chứa

thực sư một ideal a, € S nào đó như vậy ta có thể xây dung một chuỗi giảm các

ideal trong S :

aj) > a> 4a)>

Theo giả thiết chuỗi ideal nay là hữu han, nên trong S có phần tử tối tiểu (dpem)

i=)

Xét một chuỗi giảm bất kỳ của các ideal trong A:

a; >a:a¡

Tập hợp :

S= {a,}¡> ¡ có một phan tử tối tiểu theo giả thiết, chẳng hạn a,

Do đó chuỗi ideal trên là hữu hạn (dpem)

Định nghĩa I.1.11

Mội vành A được gọi là vành Artin nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện

tương đương trong định lí I.1.8 ,

Mệnh để I.1.6

Cho a là một ideal trong vành Artin A Thế thì vành thương A/a cũng là vành

Ariin.

Chứng minh :Xét toàn cấu chính tắc :

(p:A —èb A/a

Giả sử : ä, > ã; D là một chuỗi giảm các deal trong A/a.

Khi đó : a; > a; > là một chuỗi giảm các ideal trong A, với a, = @ {ä,)

Do A là vành Artin, nên :

SVTH : Phan Phang Happ Trang: \0

M61 liên quan giửa phố nguyên 15 của vinh và cấu frúc của mộf số lop vànñ

Giả sử p là một ideal nguyên tố trong vành Artin A

Khi đó, ta có A/p là miễn nguyên, (định lí 1.1.2)

Mặt khác :

Vie Ap fed , ta có :

(0 (5t!) 5 là chuỗi giảm các ideal trong A/p

Theo mệnh dé [ I.6 thì A/p là vành Arin

trong đó m, là các ideal tối dai của A.

Tất nhiên § # 6 và mỗi phân tử thuộc S là một ideal của A Do A là vành

Artin nên tập S có phan tử tối tiểu, chẳng han: my, Om Om,

¥ m 1a ideal tối đại trong A, ta có :

Vì rằng m cũng là ideal nguyên tố nên theo mệnh để 1.1.2 tà có :

Suy ra m = myo (vì my là ideal tối đại trong A)

Điều đó nói lên rằng trong A chỉ có hữu hạn các idal tối đại.

M61 Í£n quan giữa phố nguyên fố của vành và cấu frúc của mộf số Éúp vanh

MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

Để tiên việc trình bày các kết quả có được trong chương II, chúng tôi dành

riêng phần 2 này để trình bày môt số định nghĩa, định lí trong tôpô giải tích.

Người ta thường gắn cho các cấu trúc tôpô những điểu kiện phu sau đâythường được gọi là những tiên dé tách

Với mỗi cặp điểm khác nhau của không gian, tổn tại một lân cận của mét

trong hai điểm không chứa điểm kia.

Với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian, tổn tại một lân cận của x

không chứa y và một lân cận của y không chứa x.

Với mỗi cặp điểm khác nhau của không gian, tổn tại các lân cận rời nhau

Một điểm và một tập đóng trong không gian không chứa điểm đó có nhữnglân cận rời nhau,

* Tiên dé Ty:

Hai tập đóng rời nhau của không gian có những lân cận rời nhau.

Định nghĩa 1.2.1

Một không gian tôpô X được gọi là :

+ T,~ không gian nếu X thỏa tiên để T, (i= 0, 4)

+ Không gian chính quy nếu X thỏa 2 tiên dé T; và Ts.

+ Không gian chuẩn tắc nếu X thỏa 2 tiên đề T, và Ts.

Trong trường hợp X là T; — không gian, ta còn gọi X là không gian Hausdorff.

Định lí 1.2.1

Cho X là không gian tôpô.

X là T, - không gian <> Vx e X, tập {x} là tập đóng.

Hệ quả 1.2.1

Không gian chuẩn tắc là không gian chính quy

Không gian chính quy là không gian Hausdorff.

SVTH : Phan Phung 24/4 Trang: \2

M61 én quan giữa phố nguyen 16 của vink và cấu Írúc của mot số kip vank

Hiển nhiên không gian Hausdorff là T, không gian, và T; không gian là T;

-không gian theo định nghĩa.

1 ING GIAN C

Định nghĩa 1.2.2

Giả sử X, (ie 1) và M là các tập con của X, Ho {X,},.¡ được gọi là một phú của

MnéuMc UY, Phi £X,},„¡ của M được gọi là phd mở nếu X, là mở trongX Y ¡el

Ho {X}ies ũ c J) cũng là phủ của M thì được gọi là piui con của phủ {X,},«¡

Đinh nghĩa 1.2.3

Không gian tôpô X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có môi

phủ con hữu han.

Nghĩa là :

Với mỗi phủ mở £X,},¿¡ của X , 31 C1, J hữu han sao cho:

X =U x,

Dinh nghia 1.2.4

Tap con M của X được gọi là đập compact nếu không gian con M của X là

không gian compact (với tôpô cảm sinh)

Định lí 1.2.2

Tập con M của không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của

M đều có một phủ con hữu han,

Định lí 1.2.3

Tập đóng M trong không gianc compact X là tập compact.

Định lí 1.2.4

Không gian compact Hausdorff X là không gian chuẩn tắc.

LIL KHÔNG GIAN LIÊN THONG

Định nghĩa 1.2.5

Không gian tôpô X được gọi là liên thông, nếu không tổn tại các tập mở X,

X; khác 6 của X sao cho:

X:0X2=O,X=X,UX,

Định lí 12.5

Không gian tôpô X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một tập con

thức sự M # ó vừa đóng, vừa mở của X.

M64 Len giữa phố nt của vanh và cấu tric của mot số kop vanh

Dinh nghia 1.2.6

Tập M của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông, nếu không gian con

M là liên thông (với tônô cảm sinh) ,

Định nghĩa 1.2.7

Không gian tôpô X đước goi là Aodn toàn không liên thông nếu như moi tập

liền thông trong X là chỉ bao gồm một điểm.

Định lí 12,6

Cho X la Tụ,~ không gian.

Nếu X cú một cơ sở gồm những tập vừa mò, vừa đóng thì X là hoàn toàn không liên

thông.

Chứng minh :

Giả sử M là một tập con của X có nhiều hon một phần tử.

Khi đó ¥ x.y eM.x #y, do X là Ty — không gian nền tồn tại mốt tap mở L,

chứa x chẳng han, mà không chứa y Do U, mở trong X nên :

U, = UJ*X,,X, thuốc cơ sở Viel

Vixe U, nên 3kel:xe XxX,

Xét Y=Mm¬X::

Với tôpô cảm sinh trong M, do Xy thuộc cơ sở của X nên X, vừa đóng, vừa

mở trong X nên Y vừa đóng, vừa mở trong M.

Mái khác :

- VixeM.xe X, nén Yeo

- ViyeU, my e€X=ye Y,nén Y#M (do ye M)

Vay tồn tai tập Y vừa mở, vừa đóng , Y# 6, Y# M, trong không gian con M nền M

không liền thông (định lí 1.2.5)

Suy ra tip liên thông trong X chỉ gồm một phần tử nên X là hoàn toàn không

liên thông (dpem)

Hệ qua 1.2.2,

Không gian tôpô rời rac là hoàn toàn không liên thông.

Định nghĩa I.2.8

Mot không gian tôpô X đước gọi là bđf khả guy nếu X # va nếu X,# 6,

X= ở là hai tap mở trong X thì: X; ¬ X: # Ò.

M61 liên quan giữa phố nguyén fố của vảnñ và cấu frúc của mộf số Ép vanh

Định lí 1.2.7

Không gian tôpô X là bất khả quy nếu và chỉ nếu mọi tập mở khác rỗng là trù

trật trong X.

Chứng minh :Giả sử X; là một tập mở khác rỗng trong X Vì X là bất khả quy nền mọi tập

mở X; # ¿ Ta có : X;¬aX;z¿

Từ dé X, là trò mật trong X

Ngược lại nếu X\, X; là hai tập mở khác rỗng trong X thì do X; trò mật chẳng

han, nên ta có X;OX2#6

Suy ra X là bất khả quy (đpcm).

V KHONG GIAN NOTE

Định lí 1.2.8

Giả sử X là không gian tôpô, các điều kiện sau đây là tương đương :

i) Moi chuỗi tăng các tập mở trong X :

X, CX; Œ , sao cho X, # X,., đều hữu hạn.

ii) Mọi tập không rỗng S các tập mở của X đều có phần từ tối đại (theo quan hébao hàm ).

Xét chuỗi tăng các tập mở trong X :

X,c X:c , sao cho X, # Xi;

Tập S = {X,}, x có phần tử tối đại, chẳng hạn X, Do đó chuỗi tăng các tập mở này

là hữu han (dfcm).

Định nghĩa I,2.2

Một không gian tôpô X được gọi là Note nếu những tập mở của X thỏa mãn

mội trong hai điều kiện tương đương ở định lí I.2 8

- Bởi vì trong không gian tôpô X, những tập đóng là phẩn bù của những tập mở

nên ta có định lí sau :

SVTH : Phan Phang Hepp Trang: 15

M6i lên giữa n 16 của vanh và cấu tric của móộf số Ép vanh

Định lí 1.2.9

Cho X là không gian tôpô, các điều kiện sau là tương đương

i) X là không gian Note

ii) Mọi chuỗi giảm các tập đóng trong X đều hữu hạn

iii) Moi tập không rỗng S các tập đóng của X có phần tử tối tiểu (theo quan

hé bao hàm).

SVTH : Phan Phang 2444 rang : \6

M61 liên quan giữa phố n 16 của vanh và cấu tric của móf số kip vanh

‘HUONG

PHO NGUYEN TO CUA VANH GIAO HOAN CO DON VI

VÀ MỐI LIÊN QUAN GIUA CHUNG

PHO NGUYEN TO CUA VANH GIAO HOAN CO DON VI

L ĐỊXH NG ;HĨA

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị 1, với mỗi tập con E của A, ta ký hiệu

V(E) là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố p của vành A mà p chứa E.

Với những tập V(E) được định nghĩa như trên, ta có những mệnh dé sau :

Mệ |

Cho vành A, E là tập con của A Nếu a là ideal của A sinh bởi E thì :

V(E) = V(a) = Virfa)).

X =V(0), = V(1), trong đó X là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của A