Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Khái quát hóa một số cấu trúc đại số đã học ở bậc đại học

Phan Trường Link reO bậc đại hoc em đã được tìm hiểu một số các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường, môđun, không gian véctơ ... Với sự nhìn nhận đó, cùng với sự hướng dẫn của thay Ph

BỘ GIÁO DUC VA ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP - HỒ CHÍ MINH

LUAU CAR: MOA BAB SỐ

KHÁI QUAT HOA

C Cấu trúc đại số con

D Quan hệ đồng dạng - Cấu trúc thương.

E Tích trực tiếp những cấu trúc đại số.

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD Phan Trường Link re

O bậc đại hoc em đã được tìm hiểu một số các cấu trúc đại số như

nhóm, vành, trường, môđun, không gian véctơ trong học phan Đại Số dai

cương và chuyên dé Đại Số Một cách tổng quan, ta nhận thấy rằng giữa cáccấu trúc đó có một mối tương quan; đặc biệt các định lý trong mỗi phần tương

đối giống nhau nhưng được trình bày một cách rời rạc Với sự nhìn nhận đó,

cùng với sự hướng dẫn của thay Phan Trường Linh, em viết bài luận văn này

với để tài: “ Khái quát hoá một số cấu trúc Đại số đã học ở bậc đại học”

với mục đích giúp các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và khái quát hơn

về các cấu trúc đại số đó; đồng thời em cũng hy vọng nó giúp cho các bạn

một phần nào đó trong việc nghiên cứu lĩnh vực toán học trừu tượng Đứng ở

vị trí một sinh viên làm luận văn tốt nghiệp, có lẽ bài viết này của em hẳncòn nhiều thiếu sót Do đó, em mong rằng các thdy xem xét và đóng góp ý

kiến nhằm giúp em hoàn thành tốt bài luận van của mình.

Bài luận văn bao gồm các nội dung sau :

A Phép toán n ngôi.

B Cấu trúc đại số.

C Cấu trúc đại số con

D Quan hệ đồng dạng - Cấu trúc thương

E Tích trực tiếp những cấu trúc đại số

F Cấu trúc đồng cấu

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn :

- Thầy Phan Trường Linh - người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt

thời gian qua để em có thể hoàn thành bài luận văn này

- Thay Trần Đức Huyén, thay Nguyễn Đình Lân, thay Bùi Tường Trí

~ những người đã tạo cho em nền tảng kiến thức về học phẩn Đại số đại

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

(1) Phép +1 của n tập hợp (neN, n > 2) là các phép toán n ngôi.

(2) Gọi Mạ (R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n (n EN) với hệ số thực

Ta có: *œ¡:M,'(R) —> M,(R)

(A), A2) —> 6 (A), Ap) = Ai + Ap (phép cộng 2 ma trận)

là một phép toán 2 ngôi trong M, (R).

*œz:M,°(R) —> M,(R)

(Ay, Ac) - > @(Ai, Az) = Ay Ao (phép nhân 2 ma trận)

là một phép toán 2 ngôi trong M, (R)

SVT#H: Nguyễn Thi Mỹ Dang Trang 2

LUAN VAN TOT NGHOEP GVHD, Phan T xường Linh

(3) Vne N,n22, đặt X =N\ {0}

Anh xa @ : x" —> X

(mM), Mz mạ) |—> @›(m;, mạ)= UCLN (m,, ,m,)

là một phép toán n ngôi trong X.

Ill PHÉP TOÁN 2 NGÔI ~ CÁC TÍNH CHẤT THƯỜNG GAP:

- Giả sử: A ` — A là một phép toán 2 ngôi trong A.

(a), 42) -— > = (a), a2) Thế thi: giá tri œ (a), az) của œ tai (a), a2) gọi là cái hợp thành của aj, a.

Cái hợp thành của a;và a; thường được ký hiệu bằng cách viết a; va a>

theo một thứ tự nhất định với một dấu đặc trưng cho phép toán đặt giữa

a; Va a>

Các dấu thường dùng: dấu + và dấu (dấu thường quy ước bỏ di)

© Một phép toán 2 ngôi ký hiệu bằng dấu + gọi là phép cộng và

ai+a; gọi là tổng của a, và ap.

s® Một phép toán 2 ngôi ký hiệu bằng dấu gọi là phép nhân và

ai 8; (a;a;) gọi là tích của a, và ap.

+ Tính chất kết hợp:

Phép toán hai ngôi trên A gọi là có tính kết hợp nếu với mọi a), a;, ay

thuộc A ta có: (a;a2)a3 = a¡(a;a)

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trưởng Linh

Vậy (a;a;)a› = a¡ (A322) Do đó p; có tính chất kết hợp.

Xét pr: * Vay, az, ay € A: (a;az)a; = aya; = as

a; (axi:) = aa; = a;

Vậy (a;a:)a; = a; (aza;) Do đó p> có tính chất kết hợp.

+ Tinh chất giao hoán

Phép toán 2 ngôi trên A gọi là có tính giao hoán nếu với mọi aj, ap

thuộc A ta có: a)a2= a2a;

Ví dụ:

© Phép cộng, phép nhân trên R có tính chất giao hoán.

© Các phép toán p;, p: (ở vi dụ trên) trên một tập A không có tính giao

hoán nếu A có hơn một phần từ.

* Phan tử đơn vị của phép toán 2 ngôi:

Giả sử đã cho một phép toán 2 ngôi trong tập hợp A.

e© Phần tử e, được gọi là đơn vị trái của A nếu Va € A: e,a=a

© Phần tử e; được gọi là đơn vị phải của A nếu Va € A: ae, =a

® Phần tử e được gọi là đơn vị (hai phía) của A nếu Va € A: ee

Chú ý:

Một phép toán 2 ngôi có nhiều nhất một phần tử đơn vị.

Ví dụ:

© Số0 là phần tit đơn vị của phép cộng trong các tập hợp số

e Số 1 là phần tử đơn vị của phép nhân và là đơn vị phải của phép mii

LUAN VĂN TOT NGHIEP GVHD, Phan Trường Linh

- _ Với một lớp những cấu trúc cùng loại, ta dùng ký hiệu T = {T,) ¡ để

chỉ họ các phép toán chung cho lớp đó.

- Những cấu trúc đại số cùng loại và cùng thoả một số tính chất cho

sẵn nào đó thường có một tên riêng như : nhóm, vành, trường,

mô đun, không gian vectơ

II NHỮNG CẤU TRÚC ĐẠI SỐ THƯỜNG GAP:

1 Nửa nhóm:

La một cấu trúc đại số <A > với là một phép toán hai ngôi đã cho

trong A có tính kết hợp

Vậy:

Một nửa nhóm là một tập A khác rỗng, trên đó có trang bị một phép

toán 2 ngôi sao cho: (xy)z = x(yz); VX,y,# €A

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phon Trường Linh

(1, 2„.„ m) ; (m+1, m+2„ ;q); ; (p+1, p+2, ,n)'Ta sẽ có:

8¡8¿ Ay = (i82 Am)(Am+ifim+2 s 8a) (Ap+ip+2 - An)

% Nửa nhóm giao hoán:

Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.

Ví du:

(Z,+) và (@” ) là nửa nhóm giao hoán

SVT#H: Nguyễn Thị Mỹ Dung Trang 6

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Tring Linh

a¡a; a, (N22)

không phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử.

Chứng minh

- Với n = 2:

Do <A, > là nita nhóm giao hoán nên: Va; a; EA: a;a;=d;q;

- Giả sử mệnh dé đáng cho k nhân tà, với mọi k<n Ta chứng minh mệnh

đề đáng với n nhân từ tức là chứng mình:

ajQ>) apn = a aj 2 wel =

Trong đó (i;,i2, ,i,) là một hoán vị của {1,2, , nj

Nếu a, = a,, ta có thể viết vế hai của đẳng thức trên theo Định lý | và

tính giao hoán của A như sau:

a; -G@, q, 4q, a,

đạn, 1 Tại ”” he

= (4, 4, (a, (4, -.-4,)) (định lý 1)

= (4, GQ (4, @, )@,) (giả thiết quy nap)

= ((4, 4,,,)(4,, -4, ))4,, (giả thiết quy nạp)

= (Gi ,i, we Gi, _, đi, ee a; )ai, (dinh ly 1)

= (d;đ;> Ant )An (gid thiét quy nap)

= qịụ; a, (dpcm)

2 Nhóm

Là một cấu trúc đại số < A, ,e,'> với là một phép toán 2 ngôi; ˆ là

một phép toán 1 ngôi; e là phan tử biểu diễn của phép toán 0 ngôi và thỏa

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phon Trường Linh

Chú ý

- Nếu phép toán giao hoán thi ta gọi A là nhóm giao hoán hay

nhóm Aben Khi đó ta thay: dau nhân bằng dau cộng: phan tử e bằng phần tử

i) <A, +, 0, -> là một nhóm giao hoán.

ii) — <A, > là một nửa nhóm.

ii) Phép toán phân phối đối với phép toán +, tức là với các phần tử

tuỳ ý x,y,z thuộc A ta có:

x(y+z) = XY + Xz

(X+y)Z = XZ + yz

Vay:

Vành là một tập A khác rỗng, trên đó trang bị 2 phép toán (một ky hiệu

theo lối cộng, còn lại ký hiệu theo lối nhân) thoả các tiên để sau:

Vị: V x,y CA: X+y=y+x V2: VX,y,Z €A: (X+Y)+z = x+{y+z)

Vị: 30EA; VxeA: x+0=x

Va: VxeA, 3(-x)cA: x+(-x)=0

Vs: Wx,y,z 6A: (xy) z = x(yz)

Vo: VX,y,Z €A: so ike a 6e

(x+ y)z=xz+ yz

> Một vành gọi là vành giao hoán nếu phép toán có tinh chat

giao hoán

> Một vành gọi là có đơn vị 1 nếu phép toán có phần tử trung

hoà | Tức là: JIEA: Ix=x=xl, VxeA.

SVTH: Nguyễn Thi Mỹ Dang Trang 8

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD, Phan T sường Linh

Khi đó ta có thể xem | là phan tử biểu diễn một phép toán 0

ngôi trong A.

Ví dụ:

(Z.+.0.- va (R[x]};+,0,-, ) là các vành giao hoán có đơn vị 1.

4 Miễn nguyên:

Một mién nguyên A là một vành giao hoán có phan tử 140 và với

mọi x,y thuộc A, nếu xy=0 thì x=0 hay y=0.

Trường là một tập A khác rỗng, trên đó đã trang bị hai phép toán

cộng, nhân sao cho:

T,) VX,y€AÁ: X+y=y+x T;) VX,Y, ZEA: (x+y)+ z=x+(y+z)

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Phon Trường Linh

6 Modul:

Cho một vành R giao hoán va có phần tử | khác 0, một modul bên

trái trên R là một cấu trúc đại số <A,+,0,-,T> với <A,+,0,-> là một nhóm

giao hoán và T = {T, ,r<R} là một họ các phép toán | ngôi trong A thỏa

những điều kiện sau:

Vx.y, ZEA; r,seR, ký hiệu T, (x) = rx ta có :

- Mỗi vành A là modul trên chính nó

- Một nhóm giao hoán tay ý là một modul trên Z.

1 i H

Một modul trên một trường gọi là một không gian vectơ trên trường

đó.

Vậy :

Một không gian vectơ A trên một trường K là một tập A khác rỗng

cùng với một phép toán 2 ngôi + trong A và một họ các phép toán | ngôi

(T.).e xác định bởi : T(x) = rx ; VxeA,vreK thỏa các tính chất sau :

Vi) V xy, ze A: (x+y) +z = x +(y+z) V2) SO EA, VxeA :x+ 0 = 04x =x.

V3) VxeA, 3(-X)€A : X+(-x) =(-X)+x =0.

Vị) VX,yY€AÁ: x+y = Y+X

Vs) Vae K ; x,y € A: a(x+y) = ay+ax.

Vs) Va,b e K; xe A : (a+b)x = ax+bx.

V;) Va,b € K; xe A : a(bx) = (ab)x.

Vs) l.x=x ,Wxe A.

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Dang Trang 10

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Trưởng Linh

Vi du:

* Moi trường đều là không gian vectơ trên chính nó.

*Q,R,C là các không gian vectơ trên Q (với các phép toán + và.

thông thường).

SVTH: Nguyễn Thi Mỹ Dung Trang 11

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD, Phan Trdg Linh

a ir

C CẤU TRÚC DAI SỐ CON

I ĐỊNH NGHIA

Cho một cấu trúc đại số <A, T> với T là một ho{T,},.; những phép toán

n, ngôi trong A Một tập hợp con B khác rỗng của A được gọi là một cấu

trúc con của cấu trúc đại số A nếu với mọi phép toán n, ngôi T,, iel ta có:

T,(B°)cB Hay ta còn nói B “khép kin” đối với mọi phép toán T, eT

Chú ý;

- <B,T >là một cấu trúc đại số cùng loại với <A, T>

- Nếu A thoả tính chất P thì B không bắt buộc thoả tinh chất P

- Nếu A và B cùng thoả các tính chất để có một tên riêng như nhóm

vành, trường, thì ta sẽ gọi B là nhóm con, vành con, trường con,

Chứng minh:

© (i) > (ii)

Ta có :

B là nhóm con của A nên e €B; xye B;x' eB (VxyeB)

=>B4O; txyeB ;xycB, x'eB

© (ii)=> (iii)

Hiển nhiên B = 2

Hon nữa: Y%,yeB, ta có xeB va y'' €B nên: xy’ eB

© (i)=2(i)

Do B+ 6 nên 3xeB Khi đó xxÍ=eec B

tx,yeB : x'= ex! eB; và tương tự: y' eB

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Dang Trang 12

LUAN VĂN TOT NGHIEP GVHD, Phan Tường Linh

Hiển nhiên B z Ø, xyeB ; vx,yeB

Hơn nữa tx,ye€B thì x EB và -ye B nên: x+(-y) =x-yeB

x+y = x- (-y)eB

Vậy B là vành con của A

3 Trường con:

Giả sử B là một tập con của một trường A các điều kiện sau

diy là tương đương:

i) B là một trường con của A

Chúng mình(Ù=Xii)=Xiii) : hiển nhiên

SVTH: Nguyẫn Thi My Dang Trang 13

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Trường Link

Vậy B là trường con của trường A

i) — Nlà môđun con của M.

ii) — NzØ,x+yeN,-xeN, rxeN ; Vx,yeN, VreA

ii) N£@Ø,x-yeN,rxeN ; Vx,yeN, VreA

Hiển nhiên : rx EN, treA

Vậy N là môđun con của M

Š Không gian vectơ con:

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

a —————————==S=—=—_F—_———_—z

VryeW: x+y =x+/.y EW

Hon n@a: -l 6K nên 0 = x+(-l)xeW

Do dé:

x= 0+(-1)xeW

V2 : 0+Ay = Ay EW Vậy W là không gian vecto con của V

Ill ĐINH LÝ I

Cho một cấu trúc đại số <A, T> và một họ {(A;);j<], J#@ những

cấu trúc con của A Nếu B Ay khác rỗng thi B là một cấu trúc con

của A và thường được ký hiệu bởi : i A;

- Với phép toán T thuộc T có cấp n bất kỳ và những phần tử a),a2, đa

thuộc B; ta có:

se Trường hợp 1: n >1

đị,đ;, , An € B B=nA.

8ˆ

mà A;la một cấu trúc con của A

nên T (a¡,q;, a) CA; (Vj e J)

Giao của một họ bất kỳ những nhóm con, vành con, trường con, môđun

con, không gian vectơ con, của một nhóm, vành, trường, môđun, không

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Dung Trang 15

LUAN VĂN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

ee "TT

gian vectơ, (lần lượt ) A là một nhóm con, vành con, trường con, médun

con, không gian vectd con, của A.

s* Nhân xét

Cho một cấu trúc đại số <A, T> và một tập hợp con B của A Khi đó,

giao của tất cả các cấu trúc con của A chứa B nếu khác rỗng thì nó là một

cấu trúc con của A.

TV CẤU TRÚC CON SINH BỞI MỘT TAP:

1 Định nghĩa:

Cho một cấu trúc đại số A, B làmột tập hợp con của A Cấu trúc

đại số con bé nhất của A chứa B được gọi là cấu trúc đại số con của A

sinh ra bởi tập B

Ký hiệu: <B>

2 Định lý 1:

Cho cấu trúc đại số <A, T> với T là một họ {Tj,.; ,l#Ø

những phép toán n, ngôi trên A Giả sử B là một tập hợp con của A.

acA

Chứng minh:

Ta có:

- Hién nhiên: nan Aq /a một cấu tric con của A chứa B (1)

- Giả sử có <C, T> là một cấu trúc con của <A, T> và B <C

Ta cần chứng minh Fay AgcC

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

ii) DOB CA vì eInên |] Bi ca

iii) Vay, az, dn, € |} B, (nm 21)

Do B, c B;c B;c c Bac sessee nên

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD) Phan Tưường Linh

(2) Giả sử B là một vành con của một vành A giao hoán có đơn vị 1 ;

dạ, đ;, d„ € A Vanh con sinh bởi B, aj, a›, a„ được ký hiệu B [a), a¿,

a„| là tập tất cả những phần tử có dang Daye, 0,4)" 005" với

(ma, a, def

t„ „ © B val chạy qua tất cả tập hợp con hữu han của N

SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Dang Trang 18

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

(3) Cho M là một médun trên vành A giao hoán có đơn vi 1 va một bộ

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD Phan Trường Linh

- Một quan hệ tương đương 6 trên A gọi là quan hệ đồng dạng

trên A nếu với mọi phép toán n ngôi T thuộc T và những phần tử a;, a;,

a, € A; bị, bạ, , b, € A sao cho a¡Ð bị ; a7 8 bạ ; ; a, 8 bạ thì ta có:

T (a), a¿, An) 8 Ty, bạ, ,b,).

Hay ta nói: T duy tri 8 với mọi T thuộc T.

- Họ tất cả các quan hệ đồng dang trên A được ký hiệu Ø (A)

* Có một mối quan hệ chặt chẽ giữa quan hệ đồng dạng và

các ước chuẩn tắc trong các cấu trúc đại số thường gặp.

Sau đây ta tìm hiểu về:

II ƯỚC CHUẨN TẮC TRONG CÁC CẤU TRÚC THƯỜNG

GẶP:

(1) Trường hợp nhóm:

+ Giả sử B là một nhóm con của một nhóm A, ta định nghĩa:

quan hệ 6 trong tập A như sau: “Vx,y e A,x 8 y >x'ye B” thì 2 là

một quan hệ tương đương trên A.

Thật vậy;

i) Phản xạ: t% cA:xÌx=e EB ii) Đối xứng: giả sử x, y eA :xÍy EB

Ta có: y'x=(x'y)" EB iii)Bắc cầu: Giả sử x, y, z eA:x”y © B,y'z2 eB

Ta có: x'z =x" (yy')z = (x!y)(y!z) EB

SVTH: Nguyễn Thi Mỹ Dung Trang 20

LUAN VĂN TỐT NGHIEP GVHD: Phan Trường Linh

(=>) Giả sử a;,d;,b;,bạ € A thoả a;@ Ð) ? a> 9 b>

Ta có: (ayaa)” (byb2)= a5'a;'b,b, = a;'(a;'b, a, (a;'b, )

b’ eB= e'b' eB=>b' Oe

Vay hs = 6" labea = (b-!a) _— B (2)

Từ (1)(2) ta suy ra B là ước chuẩn tắc của A

(2) Trường hợp vành:

* Gia sử B là một vành con của một vành A, ta định nghĩa

quan hệ 6 trong tập A như sau: “V x,y €A,xÔy @x-yeB” thì 9 là một quan hệ tương đương.

That vay:

UPhdn xa: Vx € A, x-x=0 © B =x Ox

ii) Đối xứng:Giả sử x, y e A: x Oy > x-y EB

Ta có: y-x=-(x-y) EB >x Oy

li\) Bắc câu: Giả sử x, y, 2 € A: ats

SVT#H: Nguyễn Thi Mỹ Dang Trang 21

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD: Phon Trưởng Linh

Định lý:

Với B và A đã cho ở trên ta cĩ:

B là một iđêan của A khi và chỉ khi 6 là một quan hệ đồngdang trên A.

(Xx; + X2) - (y+ Yo) = (x) — yi)+(22 —Y2) € B (do **)

nên: (x; + x;) 9(y,+ y2)

ii) Ta chứng minh : x;x; 0 yry2

Ta cĩ:

XiX¿~— Vi¥2 = (Xi-Y¡)X¿ + yl x2 — Y2)

mà B là idéan của A nên:

+ Với x; - yị €B, x; € A ta cĩ : (xị — Y¡Ìx; © B + Với x; - y; € B, yị € A ta cĩ :Y; (Xa - Y¿) EB

Do đĩ: x,x; - yiy2 € B => xix2 Oyiy2

Từ (i)(ii) ta suy ra Ø là một quan hệ đơng dang trên A.

(©) - B là một vành con của vành A (giả thiết) (1)

- VaeA, VbeceB.Tacĩ:b-0=beB=b00

a& {0 {ve © Ba

PP Âøo” baØ0 “” |ba e B

Từ (1) (2) ta suy ra B là một iđêan của A.

SVTH: Nguyễn Thi Mỹ Dang Trang 22

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: Phan Trutmg Linh

nS

(3) Trường hợp médun:

Gia sử N là một médun con của một médun M trên một vành A ta

định nghĩa quan hệ 6 trong tập M như sau: “V x,y €M,xÔy ©x-yeN”

Khi đó: 6 là một quan hệ đồng dạng trên tập M.

Như vậy:

Mọi mô đun con N của một môđun M déu là ước chuẩn tắc của M.

II CẤU TRÚC THƯƠNG:

Cho <A, T> là một cấu trúc đại số với T là một họ (T;), ¡ (14 Ø)

những phép toán n, (n, € N) ngôi trong A.

Chứ bo

Với mọi T, e T và a,/@ , A, 0 đặt:

1, (a9 ASO, oy An JO.) = Tí(a,,a; ,a„,)/8

Ta có:

Giả sit (a/9, aY@, a, /0)= (b/O.b/0, , by / 9)

=> a,/0= b/9; a/O = bSO, , ag /O = b, /0

=> a Ob,, a? Ob, wr An, 0 bạ,

= T,(a,› an, ) ØT(b,,b, Bn)

=> T,(ai,a; , a„ )/Ø= Tí(b,b¿, bn WO Vậy định nghĩa trên là định nghĩa tối.

2 Định nghĩa

Cấu trúc đại số <A/9 , T> xây dựng như trên được gọi là cấu trúc

thương, thương của <A, T> bởi 8.

Các ví dụ:

a) Cho B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm A Ta thấy rằng:

B=C(e) tức là Vb eB:b 0e Khi đó: A/0 được ký hiệu là A/B là một

nhóm (thương).

SVT#H: Nguyễn Thị Mg Dung Trang 23