Khi đó f{K là tập có độ do không trong Rt: Tập K được gọi là tập của những điểm tới hạn.. Lúc đó tập những điểm tới hạn được định nghĩa như thế nào để kết quả trên vẫn còn đúng; đó chính
Trang 1BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN ~ TIN HỌC
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Trong việc nghiên phép tính vi tích phân ở đại học có một định lí
quan trọng như sau : “Cho D là một tập mở trong R'; f: D — R” có
đạo hàm liên tạc .Đặt K = {x € D, det ƒ(x) = 0J Khi đó f{K) là tập
có độ do không trong Rt: Tập K được gọi là tập của những điểm tới
hạn Định lí này được mở rộng trong đa tạp khả vì Lúc đó tập những
điểm tới hạn được định nghĩa như thế nào để kết quả trên vẫn còn
đúng; đó chính là nội dung của định li Sard.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu định lí Sard gém ba
phần:
Phân ! Giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất về đa tạp khả vi
ánh xạ khả vi ,hạng của ánh xạ khả vì, không gian tiếp xúc ,vi phân của
ánh xa khả vi.
Phẩn2 Khảo sát điểm tới hạn thông qua một số ví du và tính
chất của nó và ứng dụng trong việc xác định vị trí của một mặt qua mặt
tiếp tuyến trong RẺ.
Phân 3 Trình bày nội dung và cách chứng mình định lí Sard
Em đặc biệt biết ơn thay NGUYEN HÀ THANH, đã dành nhiều
thời gian và công sức để đọc, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt qua
trình thực hiện và hoàn thành Luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm on QUÝ THAY CÔ và BAN CHỦ
NHIỆM KHOA TOÁN, đặc biệt là TỔ HÌNH HỌC đã tận tình giảng
dạy, hướng dẫn, chúng em trong suốt quá trình học tập ở Đại học và đã
tạo điều kiện cho em thực hiện luận văn này
Do điêu kiện về khả năng bản thân, em nghĩ rằng trong nội dung Luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định, em rất
mong được sự chỉ bảo quý báu của Thầy Cô.
TPHCM, tháng 5 năm 2003
LÊ THANH QUANG
Trang 3in văn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
1,1 Định nghĩa đa tạp tôpô
1.2 Phép chuyển bản đồ, đổi hệ tọa độ địa phương 6
3.1 Biểu diễn địa phương của hàm f
3.2 Dinh nghĩa tính khả vi của hàm f
3.3 Ma trận Jacobi -Hang của ánh xạ khả vi-Phép ngập
4 Không gian tiếp xúc lì
4.1 Đường cong khả vi
4.2 Vectơ tiếp xúc với đường cong khả vi
4.3 Định nghĩa không gian tiếp xúc
trên không gian hữu hạn chiéu 21
Trang 4Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Phan 3 Dinh lí Sard 32
Tài liệu tham khảo 43
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 2
Trang 5ân vấn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Kí hiệu
C*`,C” : Tập các hàm số khả vi lớp k, œ.
Bilsym(E) : Không gian vectơ đạng song tuyến tính đối xứng trên
E.
cif : Tập các giá wi tới hạn của hàm f.
df, : Vi phân của hàm f tại p.
f(x) : Đạo hàm của f tại x.
Hess, : Hessienne của ftại x.
Indice, : Chỉ số của f tại x.
M, : Đa tạp có số chiều là n
RP° : Không gian xạ ảnh thực có số chiều là n.
s ; Hình cầu với số chiéu là n
X; : Dao hàm của f theo hướng của vectơ tiếp xúc X
T.(X) : Không gian tiếp xúc của đa tạp X tại x
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 3
Trang 6Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Phần 1
Sơ lược về đa tạp khả vi
Định lí Sard được phát biểu tổng quát trong hình học và liên quan
đến đa tap do đó cần thiết phải trình bày những kiến thức cơ bản như là:
đa tap khả vi, ánh xạ khảvi, hạng của ánh xạ khả vi, không gian tiếp xúc
„vi phân của ánh xa khả vi.
1 Da tạp tôpô
1.1 Định nghĩa đa tạp tôpô
Cho M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được M goi
là đa tạp tôpô n chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide
Trang 7Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
g:U >VcR"
uh Ø(u)=(x\u),x (u), x"(u)) Trong đó: x', xỶ x"; U—>R là n hàm thành phần của Ø.
Ta gọi (U, x', xỶ x” } là hệ tọa độ địa phương (xung quanh x) ứng với
bản đồ (U, @)
Một hệ {(Ua,Ve)},, gọi là một atlat của M nếu (Ue, Va) là bản dé địa
phương V @, và họ {Ug}, là phủ mở của M.
Atlat ‹# = {(Us,Va)},, gọi là atlat tối đại nếu nó không bị chứa trong
một atlat nào khác chính nó.
Nhân xét
Có thể có hai bản đổ (U,Ø) và (U,y) (chung miễn xác định U va
@# Trong một atlat c#= {(Uc,Va)}, ta quy ước :
(Uaz,Ø„) # (Uz,Ø;) nếu Us # Up hoặc Ø, # Oy
Trang 8dn văn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyên Hà Thanh
Dễ thấy {Us}, — là phủ mở của S”.
Cho M là đa tạp tôpô n chiểu Giả sử (Uz,@,) , (Us,@,) 1a hai bản đổ
địa phương sao cho U„ f1 Us # Ó.
{ Ua: te tite Lm ] ; hệ tọa độ địa phương ứng với (U„‹Ø„)
(UpixgiX pny) : hệ tọa độ địa phương ứng với (U.@„)
Vx € UzñU, thì:
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 6
Trang 9Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
(x! (x), x? (x), = x (x)) : toa độ địa phương ứng với (U,,.¢,)
( X};(x), x?(X), hàn (x)): tọa độ địa phương ứng với (Uz,Ø@;)
Ta có ;
Ppa = 0Ø > Pq UalUs) => Ø;(UañU¿)
là déng phôi ; gọi là phép chuyển bản dé (đổi tọa độ)
lúc đó ta có :
(X;(X),X}(X)„„ NOD) = Ø¿„(X„(X), X2 (X),.„ XOX)
2 Đa tạp vi phân (đa tạp khả vi)
2,1 Atlat khả vi
Cho ‹# ={(U„,Ø„)}„ là một atlat của đa tạptôpô n chiều M
Tabảo ‹# làatat khả vi lớp C* nếu:
V cặp chỉ số @,B: UaU; # đ; ta đều có phép đổi tọa độ :
Ppa = 0;0, : - Ø„(UañU¿) > Ø;(UanU¿)
4 4
(mở trong R") (mở trong R")
là ánh xa khả vi lớp C* (mỗi hàm thành phẩn của gp, có đạo hàm riêng
cấp k liên tục )
k = 0 điều kiện trên đương nhiên được thỏa man
2.2 Atlat tương đương
Cho.# và @ là hai atlat khả vi lớp CỄ của M Ta nói ‹# Lương
đương với Ø2: cA ~ B nếu:
V(U,g) € ‹#; V(V,V/)€ B saocho UNV # ổ đều có:
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 7
Trang 10Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
yoo : g(UNV) => (UAV) khả vi lớp c (theo nghĩa thông thường của giải tích nhiều chiều).
Nóiriêng of U B là mộtatlatkhả vi lớp C*,
Nhân xét: ~ là quan hệ tương đương trên tập tất cả các atlat khả vi
của đa tạp tôpô M Do đó sinh ra sự chia lớp Mỗi lớp tương đương gọi là
một "cấu trúc khả vi" lớp C* trên đa tạp tôpô M.
%3 bili weld tba
- Đa tap tôpô M cùng với cấu trúc khả vi trên nó gọi là da tap vi phân
lớp CX n chiểu.
Lúc đó đa tạp tôpô ban dau gọi là đa tạp tôpô nền của đa tạp khả vi
lớp C đang xét.
- Đa tạp tôpô chính là đa tạp vi phân lớp C°
- Đa tạp trơn chính là đa tạp vi phân lớp C”.
Ví đụ
1 (R" id) : Đa tạp đa tạp vi phân lớp C”Ý.
Hay là : cấu trúc vi phân chính tắc trên R”.
2.(R( )) Oday ()`:R ->R
x
là đa tạp đa tạp vi phân lớp C”,
3 S” với atlat đã xét là đa tạp vi phân n chiéu lớp C*
4 XétM = RP” là không gian xạ ảnh (thực) số học n chiểu.
Pp" + RP°
SVTH: Lé Thanh Quang Trang 8
Trang 11n văn tốt nghỉ GVHD: TS Neuyễn Hà Thanh
RP" =RTM*!' \{0} \~_ (quan hệ lệ)
x”,x! x" e R và không đồng thời bằng không.
Xét atlat«# ((U.„Ø,)} trên RP” xác định bởi:
U, = RPˆ\ (i= 0,n)
(siêu phang x' = 0)
gy: U => R*(i=0n)
Dễ thấy ‹# là một atlat lớp c và RP” trở thành một đa tạp vi phân n
chiều lớp C gọi là “ đa tạp xa ảnh thực số học n chiều”
3 Định nghĩa ánh xa kha vi
Cho M là một da tạp vi phân n chiéu lớp CẺ.
N là một đa tạp vi phân m chiểu lớp CỲ.
Xét một ánh xạ liên tục f: M > N
(hình vẽ)
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 9
Trang 12n văn tốt nghiệ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
3.1 Biểu điễn địa phương của f
Xét một bản đổ (U,@) tùy ý của M
và một bản đổ (V,y) tùy ý của N
sao cho f(U)C V
Lúc đó, ánh xạ n biến nhận giá trị vectơ m chiều:
yot|,og': ø(U) => W(V)
(mở trong R") (mở trong R”)
Ox) Bò (f(x'x! x?), POC dee MMO ND)
yot|,,og'' = (ff ) gọi là biểu diễn địa phương của f ứng với cặp
bản đồ {(U,Ø@), (V,ự/)} (mà f(U)C V)
Ta thường đồng nhất f], = yof|,,og"', tức là xem f[, như là ánh xạ n
biến nhận giá trị vectơ m chiều
3.2 Dinh nghĩa tính khả vi
Ta bảo f là ánh xạ khả vi lớp C' (i < min(h,k}) nếu mỗi biểu diễn
địa phương f|,, = yot| yO | đều là ánh xạ khả vi lớp C' theo định nghĩa
thông thường của giải tích toán học.
Định nghĩa trên là “hợp lí”, không phụ thuộc vào atlat chọn ở trên M
và N vì mọi phép chuyển bản dé trên M,N đều khả vi lớp C`, C" tương ứng
(chỉ phụ thuộc vào cấu trúc vi phân)
Trang 13Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
f|,, = yot| og! = (fL,fÌ ,f0) là biểu diễn địa phương của f ứng
với cặp ((U,Ø@),(V,V )].
Chú ý rằng:
f|:Ø@(U)—>R, i=lm; f(U)CR"
đều là các hàm khả vi lớp é ; nói riêng có thể xét các đạo hàm riêng:
Ta nói f là phép ngập nếu rank(f) = m; Vx € M (nói riêng m < n)
4 Không gian tiếp xúc:
4.1 Đường cong khả vị;
Cho M là đa tạp vi phan n chiều Xét (a,b) là khoảng mở tùy ý trên R
và xem nó là một đa tạp con của R (với cấu trúc vi phân chính tắc thông
thường).
SVTH: Lê Thanh Quang Trang l1
Trang 14Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Một ánh xạ c : (a,b) —> M gọi là đường cong khả vi trên M nếu c là ánh
xạ khả vi Vt) €(a,b) > xo= (to) € M; Xo gọi là điểm của đường cong c
ứng với tham số t=
4.2 Vectơ tiếp xúc với đường cong khả vi:
Cho c : 1 = (a,b) > M là một đường cong khả vi trên M, x„ là một điểm
nào đó của c ứng với tham số t = tụ € (a,b) Vectơ tiếp xúc của c tại x, là
mot toá n tử:
X: F(xs) > R
d
0
Trong đó: F(X») = { f: U(xo) —>R / f khả vi trong lân cận mở U(x») của xo
trong M; U(X») thay đổ theo f }
Xr= $ (oct) - gọi là đạo hàm của f theo hướng của *“vectơ tiếp
0
xúc” X hoặc là dao ham theo hướng của c tại xX» = c().
4.3 Không gian tiếp xúc
Kí hiệu Tx „(M) là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc X (của một đường cong
thy ý) tại xo và gọi là KGTX của M tại xo
Như vậy, Tx„(M)= ( X / tồn tại đường cong khả vi e trên M mà xụ= c()
và X là vectơ tiếp xúc của c tại Xo}
Tx„(M) là không gian vectơ do có cấu trúc của không gian vectơ:
(X+Y)¿=Xr+Y(., V f eF(x)
(AX)p= ACXD, WA ER, V f eF(x,)
SVTH: Lé Thanh Quang Trang 12
Trang 15Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
V X,Y € Tx, (M)
Xét (U, x', x") là một hệ tọa độ dia phương quanh điểm x, EM Giả sử
(xp.X¿„ X0) là tọa độ địa phương của xạ EM Ta có dimT,, (M) =n và
Cho M là đa tạp vi phân n chiều
M' là đa tạp vi phân m chiều
éx' ox? ax" dy' dy”
chính là ma tran Jacobi của f
ay?
SVTH: Lé Thanh Quang Trang 13
Trang 16Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
xt) 2x0) Fe axe?
tức là ma trận: = ~ = “
ô ô ô
sa0 a0) ove 209
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 14
Trang 17Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Phần 2
Khảo sát điểm tới hạn
Kết quả của định lí Sard là “ Tập những giá trị tới hạn có độ đo
không'', do đó cần tìm hiểu giá trị tới hạn là gì Việc định nghĩa giá trị tới
hạn phải thông qua định nghĩa điểm tới han, do đó mục đích của phan này
là khảo sát điểm tới hạn để có những hình ảnh trực quan về điểm này.
1.Định nghĩa và ví dụ
1,1 Định nghĩa
Cho X và Y là hai đa tạp và f là ánh xạ từ X vào Y Một điểm xthuộc X được gọi là điểm tới hạn của f (tương ứng: điểm chính qui) nếu |
không là phép ngập tại x (tương ứng: là phép ngập).
Một điểm y thuộc Y được gọi là điểm tới hạn của f (tương ứng:
điểm chính qui) nếu tổn tai x € f(y) sao cho x là điểm tới han của f ( tương ứng: với mọi x € f(y),x là điểm chính qui) Trường hợp đặc biệt, ta
có ngay y là điểm chính qui nếu fÌ(y) = ¢.
ta chỉ xét hai trường hợp đặc biệt sau:
a) Nếu Y=R và f © CŸ(X) thì x là điểm tới hạn của f nếu và chỉ nếu Ty
Trang 18n văn tốt ngh GVHD: TS Nguyên Hà Thanh
x=> (u|xXx)
Nếu N,V vuông góc với V tại x thì x là điểm tới hạn khi và chỉ
khiu e N,V.
Thực vậy, ta có df(x) =(u,O,(.)) là ánh xạ tuyến tính trên T,X; Ta
xem f là hạn chế của (u | ) xuống V Vì vậy (u , Ox (.)) là ánh xạ không
néu
u € (Oy (TyX ))* = NxV
Nếu ta xem u có hướng thẳng đứng thi (u | ) là cao độ (cote) Lúc
đó cao độ là điểm tới hạn tại x nếu mat phẳng tiếp xúc tại đó nằm ngàng
Trang 19n văn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
b) Cho hình xuyến V = (S!(~)} được nhúng vào RẺ, thi:
Cho X và Y là hai đa tạp có số chiều bằng nhau X là tập compact
và cho f là ánh xạ từ X vào Y sao cho y là một giá trị chính quy của f.
Tổn tại một lân cận V của y sao cho hạn chế của f xuống f'(V) (Xem
như là ánh xạ từ f'(V) vào V) có một lớp (revétement).
Chứng minh
Cho y € Y là một giá trị chính quy, thế thì: với mọi x € f'(y),x là điểm chính quy.
Vì T„f € Isom(TxX ,TxY), ta tìm được một tập mở Uy chứa
x sao cho f hạn chế xuống U, là một ánh xạ vi phôi từ Uy vào f(Ux)
Suyra : f'(y) rời rạc trong X
Bởi vì nếu tổn tại một day (x„} những điểm thuộc fÌ(y),có x là
điểm tụ, chọn n đủ lớn chúng ta có xạ € Ux , dođó fi, không phải
là đơn ánh (injective).
Vì X compact, do đó f'(y) hữu hạn và dat:
f*(y)= ( Xu, Xz».~ Xa]
SVTH: Lê Thanh Quang Trang 17
Trang 20n văn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Hiển nhiên , các tập f(Ux, ) là không bằng nhau, các tập Ux,
cũng có thể không rời nhau
Khi X là rời rạc thì có một số hữu hạn điểm ; chúng ta có thể tìm
được những tập mở U;"’ C Ux; và chứa x,, từng đôi một rời nhau Nhưng
f(U,`') không phải là những tập bằng nhau Khi đó dat:
V'= fU'') và U =Uj*n f1(V')
Và fly, là song ánh; ta có f(U,') =V', ci > UY,
U,` mở và giới hạn của f trên U;’ là một vi i h
phôi từ U,' vào V' a 2
Trang 21Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Mà Z đóng trong X do đó Z compact và f(Z) cũng compact
trong V’ Suyra V' đóng và y £ fZ) Tổn tại 1 lân cận V của y
- Nếu X không compact kết quả trênkhông còn đúng nữa Ví dụ trong
hình dưới đây, trong một lân cận của y, giá trị đó là 1,2 hay 3.
Trang 22Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Morse
Cho X là một đa tạp có số chiểu d và f€ CŸ(X) với pz 2 và cho
x € X khi đó df(x) là ánh xạ tuyến tính từ T,X vào R; df(x) € (TxX)”
không gian đối ngẫu của T„X Hơn nda; fo@”, nếu (U,Ø) là 1 hệ tọa
độ địa phương của x, từ @ (U) vào R Thuộc lớp CẺ có đạo hàm cấp hai là một phiếm hàm song tuyến tính đối xứng từ R° x RŸ vào R.
Cho @ là một đẳng cấu T,X —> RỂ tươngứng với (U, @), ta
định nghĩa ánh xạ song tuyến tính liên tục B trên TựyX bởi:
Cho X là đa tạp thuộc lớp CP, p21 và f e CP(X) Nếu x là
điểm tới hạn của f thì ánh xa_ song tuyến tính liên tục trên T,X được
định nghĩa như trên không phụ thuộc vào cách chọn bản đổ địa phương
Ta kí hiệu là Hess„ và gọi nó là Hessienne của f tai x.
Cho (U, Ø@);(U,) là hai bản đổ của x và Ø: T,X — RỂ
n: T,X —> RÍ là hai đẳng cấu wong ứng với hai bản đổ.
Trang 23in văn tốt nghỉ GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Cho (I,#) là một cung trong X sao cho œ(0)=u € T„X, và x
là điểm tới hạn của f Khi đó:
ang song i \ không gian hưu hạn chỉ:
Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên R Chúng ta
kí hiệu Bilsym(E) là không gian vectơ dang song tuyến đối xứng trên E
Cho A € Bilsym(E) Hai vectơ x,y được gọi là vuông góc theo A nếu :
Trang 24Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
Ví du
a) Trong hình 3 tại x; chỉ số là 0, tại xy chỉ số là 2 và tại x;, xạ chỉ số là 1
b) Trên Ros Â(x, X¿}= <x? -.-x}+x$,+ +x3 là một dạng khơng suy biến
của chỉ số i.
3.3 Định nghĩ
Cho f là ánh xạ từ X vào R thuộc lớp CP, điểm tới hạn x của f
được gọi là khơng suy biến nếu Hess,f là khơng suy biến Chỉ số của f
tại x là chỉ số của Hess,f và được kí hiệu là indice;f.
3.4 Định lí
Cho X là một đa tạp C’, p > 3;f € CP(X), và x là một điểm tới
hạn khơng suy biến của f với chỉ số ¡ Thế thì tổn tại một bản đổ địa
phương (U,@) tai x sao cho nếu xạ x„ là tọa độ địa phương tương ứng
của x thì:
(fò j= x} -.-x?+xÈ¡+ +xỶ.
Ta chỉ trình bày chứng minh trong trường hợp d = 2.
Bổ để 1
Cho U là một tập mở hình sao tâm (0,0) trong RỲ và f € CŸ(X)
sao cho f(0,0) =0 Tổn tại g va he cP) sao cho f=xg + yh.
Chứng minh
Với mọi (x,y) € U và t € (0,1), ta cĩ: (tx,ty) € U.
Hàm: t E> f(tx,ty) là xác định trên [0,1] và:
1
J (fxsty)) = fix,y) - (0,0) = fixy)
0
ma < (f(tx,ty)) = x (tx,ty) + ye (tx,ty)
SVTH: Lé Thanh Quang Trang 22
Trang 25Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh
f(x,y) = x $= cexaynt +y (5 cexavndt
Dat g= {= (tx,ty}dt ; h= { (tx.ty)dt
Thì f=xg+yh và g,he CP! ta có dpem.
Nhân xét
g(00) = f= (00M = = (00)
va h(0,0)= 200
Bổ dé 2
Cho U là một tập mở hình sao của RỶ và f: (Z,??)->f(Ệ,); fe
CP(U,R) Nếu f(0,0) = 0 và f(0,0) = 0 thì tổn tại các hàm u,vw e CTM
“(U,R) sao cho: f = x2u + 2xyu + y*w.
