Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Định lý minimax và một số ứng dụng

Định lý minimax đả được nhiều nhà toán học quan tâm .Cho đến nay định lý minimax 44 có nhiều dangtổng quát khác nhau nhằm ứng dung trong các lĩnh vưc khác nhau như : ứng dung trong bài t

—'- £099.

BỘ GIÁO DỤC VA ĐÀO TAO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PTS.NGUYEN BÍCH HUY

SVTH: BUI THẾ QUAN

Niên khóa : 1996 — 2tHMI

Em xin chân thành cảm ơn thây : PTS NGUYỄN BÍCH HUY

đã hudng din em hoàn thành luận vấn này

Em xin chân thành cảm on các thdy ,cô trong Khoa đã giúp dã

em trong quá trình làm luận văn.

LOI NÓI ĐẦU

Một sổ bài toán lý thuyết cũng như ứng dụng đưa đến việc trả lời

câu hỏi : với những diéu kiện nào thì ta có inf sup f(x,y) = suping f(x.y) (*).

trong đó f là một hàm số thực trên tập tích MxN Các định lý chỉ ra nhữngdiéu kiện

để (*) được thực hiên goi chung là định lý minimax

Năm 1928 , Johann von Neumann , nhà toán hoc người Mỹ gốc Hungary

là người đầu tiên đưa ra các điều kiện để có (*) Định lý minimax đả được

nhiều nhà toán học quan tâm Cho đến nay định lý minimax 44 có nhiều dangtổng quát khác nhau nhằm ứng dung trong các lĩnh vưc khác nhau như : ứng

dung trong bài toán điểm bất động , ứng dụng trong lý thuyết trò chơi , các bàitoán kinh tế

Trong luân van này chúng tôi trinh bày lại một trong các dang của định

lý minimax và một sé ứng dung của chúng Luân van này được chia làm 3

Trong chương III chúng tôi trình bày 2 ứng dung của định lý minimax là

ứng dung trong các bài toán điểm bất đông và ứng dung trong các bat đẳng

thức biến phân

Vì khả nang còn han hẹp và bứớc dau học tip nghiên cứu khoa hoe chấắc

chấn không tránh khỏi nhừng sai sót Kính mong được sự tha thứ và chi bảo

của các thầy các cô

ĐẠI HỌC SƯ PHAM TPHCM

|5 /5 /2000

BÙI THẾ QUAN

MỤC LỤC

Lời nói đầu

CHUONG I: Một Vài Kiến Thức và Kết Quả Chuẩn Bị

A.Compắc

B.Tôpô đầu ,tôpô cuối xác định bởi họ ánh xạ

C.Djnh lý Brower

D.Hàm nửa liên tục ,hàm compắc dưới

E.Không gian vectơ tôpô

CHƯƠNG II: Ứng Dung

A/ Ứng dụng vào bài toán điểm bất động

B/ Ứng dụng vào các bất đẳng thức biến phân

Tài liệu tham khảo

iy

+ 2 Hà mT—

16

16 19

20)

CHƯƠNG I: MỘT VAI KIEN THỨC VÀ.

KẾT QUA CHUAN BỊ

A,COMPẮC :

Cho không gian tôpô X và A là một tập con khác rỗng tùy ý của X.

Họ các tập con # của X được gọi là một phủ của A nếu Ac Up, zF Nếu

> chỉ có hữu han phan tử thì ta gọi đó là một phủ hữu hạn Cho #; Z:là 2hai cái phủ của A ta nói Z; là phủ con của Z; nếu F e Z; thì F e #:

Nếu mỗi phan tử của phủ #Z là mở trong X ta gọi * là một phủ mở

Định nghĩa Ï :

Cho X là một không gian tôpô A là một tập con khác rỗng tùy ý của X.

Tập A được gọi là compắc nếu từ mọi phủ mở tùy ý của A đều có thể rút ra một

ÔPÔ ĐẦU, TOPO CUO res i oN :

Định nghĩa 2 : (tôpô dau xác định bởi một họ ánh xa)

Giả sử X là một tập hợp, ((Y,, %)} „ s là một họ các không gian tôpô [Í,}, „ s

Cho họ [f,|„x ((Y, #)} ses như trên X dude trang bị tôpô đầu xác định bởi

ho [Í,},«s ø : Z => X là ánh xạ từ không gian tôpô (7, D) vào (X, 7) Khi đó g liêntuc nếu và chỉ nếu mọi ánh xa hợp í g : Z — Y, là liên tục

Định nghĩa 3 : (Tôpô cuối xác định bởi ho ánh xa)

Nghiệp ĐHSP So GVHD : PTS New

7) }ses là một họ các không gian tôpô, Y là một tập hợp {fibres là

một họ ánh xa Í, : X, => Y từ không gian tôpô (X,, #4) vào Y

Tôpô mạnh nhất 7 trên Y sao cho tất cả các ánh xạ f, đều liên tục gọi là tôpô

cuối xác định bởi họ (F,}.,«s.

Với mọi Vc Y, V e 7 nếu và chỉ nếu: fƑ'(V) e f4,Vs e S

Định lý 3:

Cho họ {(X, Tress (Ê];k«s xác định như trên, Y được trang bị tôpô cuối xác

định bởi họ {{.} s ø : Y —> Z là ánh xa từ không gian tôpô (Y, 7) vào không gian

tôpô (Z, D) Khi đó g liên tục khi và chỉ khi với mỗi s € S ánh xạ hợp gof, : X, >

i) f được gọi là nửa liên tục dưới nếu {x e X | f(x) > r} © f đối với Vr e R

ii) f được gọi là nửa liên tục trên nếu (x e X | f(x)<r} © f đối với Vr e R

Nhận xét : f nửa liên tục dưới © - f nửa liên tục trên

iii) f được goi là compắc dưới (tương ứng trên) nếu fÏ((-z r]) (tương ứng

F!((-œ, r]) ) là compắc tương đối trong X đối với Yr R

- Định lý 5 :

Cho f : X =>R các mệnh dé sau tương đương :

i) f nửa liền tục dưới trên X

ii) Với mọi x e X với mọi A e R Wa f(x) > A tổn tại một lân cân V, của x trong

X sao cho flu) > A đối với mọi u e V,.

iii) x, > x ta có : f(x) < lim inf f(X„)

Chiing minh

i) = ii) : hiển nhiên

ii) — iii): Cho À EIR và xeX sao cho f(x) >A, khi đó tồn tại một lân cận V,

của x sao cho f(x) > A với mọi x € V, Mặt khác với moi lân cận V, , Jay: Va >

œ; ta có xX, € V, Do đó:

As inf f(x.) < lim inf f(x,)

“đức a

Vì A có thể gắn f(x) một cách tùy ý, ta có điểu phải chứng minh.

iii) => i); VÀ œlR ta chứng minh A= {x | f(x) < A} là đóng.

Thật vay [x,} là một dãy trong A và x„—> x Do iii) ta có :

F(x) Sliminf ƒ(x„) <A

Do đó x € Ahay A là đóng.

Nhận xét :

1 Nếu f là liên tục dưới và compắc dưới thì f đạt cực tiểu.

2 Nếu f, (i = Ln) là những hàm liên wc dưới thì ; f,(x) = max fi(x) là nửa

liên tục dưới.

Chứng mình

1 Data = inf (f(x): x e X} ta cần chỉ ra rằng A= {x e X | f(x) = œ]} # Ø Lay day a, Ì œ và dat A, = (x | f(x) Say}, ta có A, compắc khác rổng với

mọi n, A, /Ado đó A # Ø.

2 VÀ ERR ta có A,= (x eX | f(x) <A} đóng với mọi i=l,2 n.

Ta lại có A= {x e XỈ f(x) $A} = (}A, do đó A đóng Vậy f„ là nữa liên tục

ool

dưới

Định nghĩa 6 :

Ta nói một tôpô 7 rên không gian tuyến tính X tương thích với cấu trúc đại

số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục đối với tôpô đó, tức là :

1 Ánh xa : (x,y) > x + y từ X x X vào X là liên tục, nói rõ hơn với mọi lân cận

V của điểm x + y đều tổn tại một lân cận U, của x và một lân cận U; của y sao chonếu x` e U,.y` e U, thì x'+y` eV

2 Ánh xa (x,a) ++ ơx từ X x Kl vào X là liên tục; nói cách khác với mọi lin cận

V của ax có mote > 0 và một lân can U của x sao cho nếu lu -øl <e,x'eU

thì œ`x'` œ V.

Một không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương hợp vối cấu trúc đại số

gọi là một không gian vectơ tập hay không gian tuyến tính tôpÔ.

Định nghĩa 7 :

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn và X” là không gian liên hợp với

X Tôpô yếu nhất trên X xác định bởi họ hàm f: X +R, f © X” được gọi là pd

yếu trên X và ký hiệu là ø(X, X `).

Họ tập các dạng :

Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là một không gian phản xạ nếu

phép nhúng chuẩn tắc từ không gian X vào không gian liên hợp thứ hai X”của nó là một toàn ánh.

ĐỊNH LÝ MINIMAX và BẤT ĐẲNG THỨC KYFAN

A, ĐỊNH LÝ MINIMAX :

Cho các tập hợp M, N và hàm f: Mx N > R ta sẽ ký hiệu :

vÌ =sup inf f(x,y) ;vỶ = inf sup f(x,y)

yeN xeM xeM yeN

Goi¥ là họ các tập con hữu hạn của N, với Ke# ta định nghĩa :

vệ = inf supf(x.y) :v2= sup vz

SOM yek Kes

Ta dé dàng kiểm tra vi <v` ,VKe#' nên v’Sv.Dovayv'<v’<v

Ta định nghĩa ánh xa F, : M + R" như sau :

Fx) = (fix yp Í(x, yy fix Y„)) và dat wy = sup int <A F(X) >

Nếu ta chứng minh được :

vị <Sw, VKœ# (1)

wxsv' WKeF (2)

Thì sẽ có v° = sup và < sup wy sv! <v9

Kes Ke7

Chứng minh (1) Véie> 0 ta ký hiệu LL = (1 1 1) và sẽ chứng minh

(Wx + £)L € co(Fx(M)) +|R} Nếu diéu này không dung thi thes dinh lý tách tập

lỗi ta tim được A e R” À # 8 sao cho :

<À.(wx+£e.>< inf A.V >:V © CO(FK(M))+IRE

We +05 inf{c A, Fy (x) >:xe M}s wy

Ta gap mâu thuẫn, vậy phải có z, € co(Fx(M)) ,u, € R} sao cho

(Wy +£)À= Z¿ + Uy

Mặt khác, do định nghĩa của co(Fx(M)) phải có xạ xa, x„ € M sao cho :

2 =Sa,F,(x,) Từ đây ta có : wy +22 Dali, -Y¥)) Vj=l, n

Do M lồi nên Ša,x,= x’ eM, và do giả thiết i) ta có :

Lấy sup của vế trái khi A e Ÿ* ta có : we sv!

Vậy định lý được chứng minh.

Định lý 42 :

Giả sử M là không gian tôpô và hàm f: M x N —> thỏa mãn :

i) 3y € N sao cho hàm x > Í(x, yo) là compắc dưới

ii) Vy N hàm x + f(x,y) là nửa liên tục đưới

Khi đó v` = vỶ và tổn tại điểm x eM sao cho supfix.y) =v"

Với mọi x e ( |S, ta có sup f(x,y) < v° nên vỶ < v° Vậy vỶ = vom

yen yeN

Từ định lý Al, A2 ta nhận được các định lý sau :

Định lý A3 :

Giả sử M, N là các tập lồi trong các không gian vectơ và M được trang bị tôpô

Cho hàm f: M x N =— R thỏa man:

i) Vy eN ,hàm x > f(x,y) là lỗi, nửa liên tục dưới

3y; e N, hàm x b> f{x,y¿) là compắc dưới

ii) Hàm y > f(x,y) Blom Yx eM.

Khi đó vÌ = vỶ và tổn tại xeM sao cho : vÌ = supf(x.y)

yeN

Định tý A4 (Yon Neumann) :

Giả sử M, N là các tập lỗi trong các không gian vectơ được trang bị tôpô và

hàm f: MxN —R thỏa man.

i) Hàm x + [(x.y) là lỏi, nửa liên tục dưới Vy e N,

Tén tại yo € N sao cho hàm x +> f(x,yo) là compắc dưới

ii) Hàm y +> l(x,y) là 16m, nửa liên tục trên

Tổn tại xy € M để y + f(x», y) là compấc trên

Khi đó tổn tại điểm yén ngựu (x.vy)eMxN.

Cho các lập hợp M, N và hầm f: MxNÑ ¬IR Nếu C là một ánh xạ từ M vào N

ta ký hiệu : f'(C)= inf f(x,C(x))

Nếu yeN thì ta có một ánh xạ hằng x > y, ta ký hiệu nó là y và

f(y) = inf f(x,y)

Xét e > 0 tùy ý VỐN BI E9 M H80 HE Fu, eN sao cho

sup f(x.Y) < f(x, Y )+E, Do định nghĩa v” ta có vì <ff (y,v)+e sup f !(C)+e

yen Cen"

Do g >0 tùy ý, ta có v? < sup f'(C) kết hợp với (1) ta có (2).

Cen”

Dinh lý BI :

Giả sử M là một không gian tôpô N là một tập lỗi trong một không gian vectd

tôpỏ và hàm f: M xN > R thỏa mãn các điểu kiện sau :

1) Tổn tai yo € N sao cho x + f(x, yp) là comắc dưới

Hàm x +> [(x,y) là nửa liên tục dưới Vy € N

Guia là về phải của (3) Ta có, do (1) : a sv"

Choe >0 tùy ý ta tìm thấy do mệnh để BỊ ánh xa (có thể không liên tục)

€,:M —>N sao cho: vỶ <f!(C,)+e (4)

Với mỗi x e M ta tìm được do tính nửa liên tục dưới của ánh xạ x + (x,y) một

lân cận V, của x sao cho: Wx'e VỤ :f(x.C„(x))<f(X.C,(X)*e (5)

Đặt M, ={x|f(x.y„) s v”} Tap Mạ compắc nèn có thể phủ bởi hữu hạn các tập

V.= Vo (i= I ,), Đặt Vụ = M\My Ta có [V, :í =0,n} là một phủ mở của M.

Goi {p,.i= O.n} là phân hoạch đơn vị tương thích với phd mở này Lập ánh xa C,

e €(M.N) như sau :

L) —

Từ giả thiết ii) ta có: f(x,C,(x)) 2 pạ(x)f(x.y,)+5p,(xf(x.C,(x)) (6)

Với mỗi x e M thì có ¡ = 0,n sao cho p(x) > 0

Nếu pu(x) > 0 thì x © Vo nên f(x,ya) > v”

Nếu p(x) > 0 thì x e V, (với ¡ = In), do đó từ (4) (5) ta có :

f(x,C,(x,)) > £(x,.€,(x,)) -e > vŸ—2e

Kết hợp với (6) ta có f(x,C, (x)) > vÌ~ 2e và do đó ta được : v` - 2e < fC) <a

Cho e > 0 ta có điểu phải chứng minh

Bổ dé BI : (Bất đẳng thức Ky Fan cho không gian hữu hạn chiéu)

Giả sử K là tập lỗi compắc trong RŸ và hàm @: K x K > R thỏa min:

i) Hàm x + o(x,y) nửa liên tục dưới Vy e K

ii) Hàm y +> (x,y) lõm với mọi Vx e K

Khi đó tổn tại x e K sao cho sup@(x,y) € supo(y, Y)

xek yak

Chứng minh :

Ap dung định lý BI ở trên và định lý A2 phan định lý minimax ta tim được

xeK sao cho :v° = Supa X.y) = = sup inl @(x, C(x))

yek Ce@iK, Ky SOM

Vì K là tập lỗi compắc, C : K > K liên tục nên theo định lý Brouwer C có

x điểm bat động x,- eK Do đó, la có :

Định lý B2:

Giả sử M là một không gian tps, N là một tập lỗi trong một không gian vectơ tôpô và hàm f : Mx N > R thỏa min các điều kiện sau :

i) Tổn tai yy e N để x +> f(x,y) là compắc dưới

Hàm x +> f(x,y) nửa liên tục dưới với mọi y eN

ii) Hàm y + Í(x,y) lỗm Vx eM

Khi đó tổn tại x e M sao cho

supf(x.y)= inf supf(C(y).y)

yen ce#rN 3 Mi yem

Do định lý A2 ta tim được X € M sao cho :

sup f(x y) =v” =sup inf supf(x.y)

kes xeM yen

Xét K = |Y¡ Y+ Ya} Ta dat £" = (Ae R} IDA, =I} Tacé VC € “(N.M)

inf max f(x.y ,) = inf sup, Í(x.Y,)

xeM litte VOM 65" ie:

inf sup @u.À) < sup MA, A)

wel” xa" nex”

Vì hàm y + f(x,y) lõm ta có :

a a °

MAA) < (caw dan fs f-(C)

;=l i=

Như vậy ta đã chứng minh rằng VR e.% WC © 4(N,M) thi:

inf sup f(x,y) < F(C)

xeM yạk

Do đó ta được v°< ¡inE F°(C) Định lý được chứng mình.

Caen M:

L0

Chứng minh :

Chú ý rằng ánh xa déng nhất liên tục nên từ định lý B2 ta tìm được X € K

sao cho : sup@(X,y)= inf sup@(C(y),y)<supo(y.y) MB

yek CEFR yew yek

Nhận xét:

Nếu các điều kiện của định lý BI, B2 được thỏa man , khi đó:

sup inff(x,C(x))= inf supf(C(y)y) (7?)

Ca#:NMj*xeM Cetin My yeN

Trong các định lý này, tôpô trên N đóng vai trò như một tham số Tôpô này

càng mạnh thì họ €(N.M) càng lớn trong khi họ @ (M.N) càng nhỏ do đó để có

đẳng thức (7) ta phải đặt các điều kiện chat hơn Bay giờ ta sẽ đưa vào N một tôpô

mạnh hơn moi tôpô tuyển tính cảm sinh trên N mà với nó định lý BI B2 đúng.

Định nghĩa

Giả sử N là một tập lỗi trong không gian vectơ

1 Với mỗi tập hữu hạn K ={ y;, y> ¥a} CN ta định nghĩa ánh xạ affin

Bq: 2° = N như sau: B„(À) = SA,y,

wt

2 Tôpô cuối trên N xác định bởi họ các ánh xa By K€ -F được goi là tôpô hữu

hạn trên N.

Như vay nếu tập lồi N được trang bị tôpô hữu han thì ta có :

- Anh xạC :N —M liên tục khi và chỉ khi các ánh xạ Cox liên tục VK e.Z

- Nếu ánh xạ §: ME", P(x) = (pi(x) pa(x)) liên tục thì ánh xạ C : MN

C(x) = Sp,Luy, =B,.„ P(x) liên tục với mọi K = {y\ Ys Yul CN.

Ménh dé B2 :

1 Tôpô hữu han trên tip bi Nc Y mạnh hơn thu hẹp trên N của moi tps tuyến

tính trên Y.

2 Mọi ánh xạ affin C : N — X (X là một không gian vectd) liên tục nếu trên N

và X xét tôpô hữu hạn.

Chứng minh :

| Gọi I: N — Y là ánh xạ nhúng V6iKeF ,K= {(y;, ya} acd:

LuÖy (A) = DAy, nên IpBx liên tục, từ đây ta có diéu phải chứng minh.

2 Giả sử C ; N => X là một ánh xạ affin , K = fy), Ya, nn Yo} tà có :

CoB (1) = COS AY) = 5ˆÀ,C(y,) = Bey (A) nên CoBy là liên tục

rt

Định lý B4 :

Cho M là một không gian tôpô, N là một tập lỗi được trang bi pd hữu hạn

và f:MxN —R thỏa mãn các điều kiện sau :

i) 3y, e N để x > f{x,yu) là hàm compắc dưới

Vy e N thì hàm x +> f(x,y) là hàm nửa liên tục dưới

ii) Vx € My, hàm y > f(x,y) là lõm

Khi đó tổn tai X € M sao cho:

supf(X,Vv)ì= sup ¡nfl(x.C(x))= in supf(C(y).y)

sen et iN eM UaEINM) yen

Chứng minh :

Ta lắp lại phép chứng minh của định lý BI, Anh xạ C ở đó có thể được viết ở

dạng C.=Bxup với K= (yo Ể (x,) C (x,)} PO =(p,(x) p,(Q) nên

C,, € €(N,M) với N được trang bị tôpô hữu hạn.

Với C e @(N.M) thì ánh xa @ được sử dung ở chứng minh định lý B2 có dạng

owed) = Š'A,I(C,B, (0).y, ) nên ánh xạ pe —> p(y.) nửa liên tục dưới VA e F* *

Bổ dé B2 :

Tôn tai dãy suy rông {x,,} =M sao cho:

WReS 3œ,: imsup{ sup fx,.¥)) v'

Pat A= Z xN.trong Ata định nghĩa thứ tự như sau :

a) =(K¿.n,) < ay = (Ky, ny) nếu Kị cK:,n; <n:

KhiLOK.m>n ta có :

12

(LimeiKa nyeK,

Do đó

lim sup sp xy.) inf sup |suptis, »)|s v°.

(K mei RotiL yeRy (Kari Rat mor a4 yeK¿

Định lý BS:

Giả sử K là tập lỗi trong không gian vectơ tôpô X, @: Kx K > R là hàmthoả măn các điều kiện sau :

i) Vy € K, hàm x +> œ(x.y) là nửa liên tục dưới đối với tôpô hữu hạn

3y„ € K sao cho x +> @(x.yo) là compắc dưới (đối với tôpô cảm sinh) ii), Yx e K.hàm y => (x.y) lõm và nửa liền tục trên đối với pd cảm sinh

Ta có vŸ <sup inf max @X,Y)

SaZ SECS yecoS

Ap dung định lý B4 và bổ để BI (bổ để Ky Fan cho trường hợp hữu han chiéu) ta

được : inf sup (x.y) <S sup(y.y) <0

XÁC HS Coot S) yeK

Vậy v°<0

Ap dung bố dé B2 ta tim được đãy {x„} c K sao cho:

Vy EK, 3œ(y): lim supq(x ,.y) sv" <0

< lim sup@x, z) + lim supg(z,X„) < 0+ @(Z,X)

azar) @2ait

Trong lý luận trên ta thấy ta đã sử dung giả thiết y +> (x.y) là nửa liên tục trên

Từ (9).(10) và tính 16m của hàm x>q@(X+t(y~X),x) ta có Ö < @(zz) mâu

thudn với giả thiết iii) @

Nhận xét

Trong định lý BS nếu x+> f(x,y) là nửa liên tục dưới đối với mọi y va là

compắc dưới đối với một yo nào đó trên cùng một tôpô thì ta có thể bỏ giả thiết y + f(x,y) nửa liên tục trên với mọi x và có thể thay điểu kiện @(x.y) + @(y.x) 20.

Vx,y bằng một điều kiện yếu hon: Vx,y € K, 0(x,y) $0 => @(y.x) 20 ,Thật vay

ta lap lai phép chứng minh của định lý B5 Ta cần chứng minh ọ(z X) >0

Giả sử trái lại (2, X) < 0 thé thì do giả thiết trên ta có p(X 2) 20

+ Nếu (Xz) = 0 cũng do trên ta có @(z,X) 20 , ta gặp mâu thuẫn.

+ Nếu «pf Xz) > 0 thế thì do x > f(x,y) nửa liên tục dưới nên :

lim sup @{X,, 2) 2 lim inf {X, z) 2 @(X,z) >0

Điều này trái với sự tổn tại của dãy (x„} ta có điều phải chứng minh 8

Bay giờ ta sẽ làm yếu hơn tính "nửa liên tục dưới trên N” bằng tính “nửa liêntục dưới trên giao của N với mọi không gian con hữu hạn chiều” Muốn vậy ta sẽđưa vào N một tôpô mạnh hơn thu hẹp của mọi tôpô tuyến tính trên N, mà với

tôpö đó tính “nửa liên tục đưới trên giao của N với mọi không gian con hữu hạn

chiểu " suy ra được tính “nửa liên tục dưới trên N”

Định nghĩa

Giả sử N là một tập lỗi trong không gian vectơ E

1 Đối với mỗi tập hữu hạn K = {y) .y„} CN ta định nghĩa tập

LJ a

TẾ = {aeR"| Say, EN} và ánh xa Ax: TN như sau : Ax (a) = Yay,

2 Topd cuối wén xác định bởi ho Ax K e⁄ gọi là tôpò t' - hữu hạn trên tập

lỗi N.

Bổ đề B3 : Giả sử N là một tập lồi trong không gian vcctơ X Khi đó :

1 Tôpô 1` - hữu hạn yếu hơn tôpô hữu hạn trên N

2 Nếu fs N => R là nửa liên tuc dưới đối với Wpd t`- hữu han thì nó cũng nửa

liên tục dưới đối với tôpô hữu han

Chứng minh

l4