Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Định lý cơ bản về lý thuyết đường và lý thuyết mặt

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VŨLỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân là một ngành thuộc lĩnh vực tôpô_ hình học mà trong đó các đổi tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp giải tíc

Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 3

Các kí hiệu 4

Chương I : CÁC KIẾN THỨC CHUAN BỊ 5

§I Nhấc lại không gian R” và E* 5

§2 Sơ lược vé tôpô trong R"

-§3 Phép tính vi phân trong R” 10

$4 Trường vectơ - trường mục tiêu 13

§5 Tập đơn liên trong R* 16

Chương II: DUONG TRONG R" 18

§5 Độ cong chính - độ cong Gauss — độ cong trung bình 57

§6 Dang chuẩn tắc của mat 64

§7 Các công thức Gauss và Codazzi-Mainardi 71

Dinh lý cơ bản của lý thuyết mặt

Bài tập áp dụng 77

Thay lời kết 81

Tài liệu tham khảo 82

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VŨ

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là một ngành thuộc lĩnh vực tôpô_ hình học mà trong

đó các đổi tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp giải tích toán

học và công cụ đâu tiên là phép tính vi phân.

Đối tượng quan trọng nhất của hình học vi phân là các đường và mặt trong không gian Eulide thông thường cũng như họ các đường, các mat Đặc

trưng cơ bản của hình học vì phân là nghiên cứu các tính chất của đối tượng(đường, mặt) trên một phân nhỏ tày ý của chúng Những tính chất đỏ gọt là tính

chất vô cùng bé hay tính chất vĩ phân.

Trong khuôn khổ của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dé cập đến nội dung

cơ bản của hình học vi phân cổ điển Cụ thể luận văn sẽ tìm hiểu sâu hơn về lý

thuyết đường và lý thuyết mặt sơ với chương trình đã học ở học kỳ I, năm thứ

ba nghành toán ĐHSP Mục đích cơ bản của luận văn là việc giới thiệu hai

định lý cơ bản về lý thuyết đường và lý thuyết mặt Tức la hai định lý cho phépxác định được đường hay mặt (sai kém phép đẳng cự) khi cho trước các hàm độ

cong hay các dạng toàn phương cơ bản thứ nhất, thứ hai với một số điều kiện

bổ trợ

Về nội dung, luận văn gdm lời nói đâu ba chương và phần kết luận

Chương : Trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chương

sau.

Chương Il : Trình bày nội dung cơ bản của lý thuyết đường trong R” mà

trọng tâm là định lý cơ bản của lý thuyết đường

Chương Ill: Trình bày nội dung của lý thuyết mặt trong R? với trọng tâm

là định ly cơ bản của lý thuyết mại.

Do thời gian có hạn và kiến thúc còn hạn chế nên bản luận văn không

tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được qúy thầy cô và các bạn đồng môn

đóng góp ý kiến.

Trong quá trình làm bài luận văn chúng tôi có tham khảo một sé tài liệu,

xin tỏ lòng chân thành cám ơn các tác giả Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn, xin chân thành cảm ơn ban chi nhiệm

khoa đã tạo điêu kiện cho chúng tôi thực hiện và hoàn thành bản luận van

Tác giả

Trang 3

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

CÁC KÝ HIỆU

Ý nghĩa

không gian vectơ n_chiéu.

không gian vectơ Euclide n_chiéu

chuẩn của vectơ X

Jacobien của ft tại x,,

gradien của Í tại x

phân thd tiếp xúc trên U

tập hợp các trường vectơ trên U

tập hợp các ánh xạ trơn

không gian tiếp xúc với R" tại cit.)

đạo hàm của c(t) theo biến t thành phần trực giao của phép đẳng cự B

dấu của K(u,)

ký hiệu Christoffel loại I

ký hiệu Christoffel loại 2

13

13 14 l8

l8 26

27

38

42 44 45

Trang 4

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Chương I:

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản có liên quan đến phần

chính của luận văn được trình bày ở các chương sau Trong phân này , các tính

chất , định lý được trình bày ngắn gọn và không chứng minh

§1 NHAC LAI KHÔNG GIAN R* VÀ E"

1.1 Không gian veetơ n_chiéu trên R:

Không gian vectơ n-chiéu trên R được kí hiệu là :

tương ứng này cho ta đẳng cấu : Hom (R" , RTM) = Mat( m,n,R)

Chú ý :Mat( m,n,R) là không gian vectơ m.n_chiéu trên R và đẳng cấu chính

tắc với R””,

Có thể xem R° là không gian affine n_chiéu liên kết với không gian vectơ

n_chiéu R” bởi cấu trúc affine.

Ta định nghĩa :

xy=y-x, WxyeR"

Khi đó mục tiêu chính tắc của không gian affine R" là {0;e,"", , e,""’}

Ta xét ánh xa affine f: R°* + R” Công thức tọa độ của f trong cặp mục tiêu alfine chính tắc có dạng

Trang 5

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

với moi x = (xÌ, ,x"),y =(y`, y°) € R"

Cap (R°;(s.s)) gọi là không gian vectơ Euclide n_chiéu Kí hiệu :E*

Vectơ x trực giao với y :x L y nếu (x,y)=0

Chuẩn của vectơ : bl = /@x = Yo'y gọi là chuẩn ( hay độ dài) của

“ml

vectơ xe R"

1.2.2 Tính chất :

i) |x| z0.Vx e R", |x[= 0© x=0

ii) (x,y) = pry! [Ear le» =blb|.vx.y < R"

dấu “=" xảy ra nếu và chỉ nếu {x , y} phụ thuộc tuyến tính

iit) |x + yf sfx] +fy ¥x.y © R°

iv) [Ax| = |A||xJ.A e R xe R°

1.2.3 Có thể xét các phép biến đổi trực giao @ của không gian vectơ Euclide

n_chiểu,tức là đẳng cấu tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Khi đó ma trận ứngvới@ là ma trận trực giao cấp a.

Cơ sở chính tắc {e;, , c„ } của R® bây giờ trở thành cơ sở trực chuẩn của E” gọi là cơ sở trực chuẩn chính tắc.

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Khi xem R" là không gian affine trên nền E° ta thu được không gian Euclide

n_chiéu mà cũng kí hiệu là E”.

Ta có :

®{y - x|| chính là khoảng cách giữa x và y.

Mục tiêu trực chuẩn chính tắc của E" là {O;e¿ e„ } tất nhiên ta có thể

chon mục tiêu bất kỳ {Xu;V, , Vp } của E”,

Ta có thể xét các phép đẳng cự của không gian Euclide tức là phép affine

hảo toàn khoảng cách:

Cho phép biến đổi affine f : E° + E” có phương trình là :

{x'] =A [x] + [b]

(A là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính @ liên kết với f)

f trở thành phép biến đổi đẳng cự hay phép đời hình khi và chỉ khi A là ma trận

trực giao tức là A*A=l( ma trận đơnvị)

Nếu A là ma trận trực giao và detA=! thì f gọi là phép dời hình thuận.

Nếu A là ma trận trực giao và detA= -! thì f gọi là phản dời hình.

Tóm lại : Trên E* vừa có cấu trúc không gian vectơ Euclide n_chiểu vừa có thể xét các ánh xạ tuyến thính, phép biến đổi tuyến tính, biến đổi trực giao, ánh

xa affine, phép affine, phép đẳng cự.

1.3 Định hướng :

Ta xem R" như là không gian vectơ và trên tập tất cả các cơ sở của R" xét

quan hệ tương đương sau :

Hai cơ sở (e) , (e') tương đương nếu ma trận chuyển T: (e)—> (e') có định

thức detTz 0

Quan hệ này định ra sự chia lớp (tương đương) trên họ các cơ sở của c Rõ

ràng chỉ có hai lớp Ta bảo rằng mỗi lớp xác định một hướng trên R”

Lớp các cơ sở chính tắc xác định một hướng của R" mà ta gọi là hướng

chính tắc hay hướng dương Hướng còn lai gọi là hướng đối chính tắc hay hướng

am.

Phép biến đổi tuyến tính f của R* là bảo toàn hướng nếu detT >0 ; gọi là

đổi hướng nếu detT <0.

Phép affine của R" nếu ánh xạ tuyến tính nền của nó bảo toàn hướng.

Phép đẳng cự bảo toàn hướng (đổi hướng) của E" gọi là phép dời (phản dời)

hình.

Trang 7

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VO

§2 SƠ LƯỢC VỀ TÔPÔ TRONG R"

2.1 Vài kiểu tập con trong R":

Hình cầu n_chiểu mở : B'(x,it) = {xeR"| [x- x,Ï<r}

Hình cầu n_chiéu đóng: B""{x„;r) = {xeR"| |x-x,Ì<r)

Mặt cẩu (n-1) chiểu : S*Í(x„¡r)= {(xeR*| fx -x,] =r}

Hình hộp n_chiéu md: I"= Ïe.b2

Cho x thuộc R°, S là tập con của R”, S gọi là lân cận của x nếu : tổn tại

đương sao cho B(x;£) chứa trong S.

Đặt f'=n'ef :U> R hàm trên U

Rõ ràng VxeU, nếu f(x) =(y' y”") €RTM

Trang 8

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

thì f'{x)= y!, I<j<m và f(x) =( f'œ) f(x) )

Các hàm ,j= I,m, gọi là hàm thành phần thứ j của f Ký hiệu f = (f' f")

Như vậy cho hàm vectơ trên U lấy giá trị trong RTM tương đương với việc cho

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

§3 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG R"

3.1 Ánh xạ khả vi :

3.1.1 Định nghĩa ánh xạ khả vi:

fí:U¬R*® ,UcR"® ,x¿eU

a) — Giả sử U mở, f gọi là khả vi tại x9 e U nếu tổn tại ánh xa tuyến tính :

sao cho f khả vi tại xạ và Flue f.

Anh xạ tuyến tính | tong định nghĩa trên được gọi là vi phân của f tại x»,

kí hiệu : df x, Như vậy ta luôn có :

lim |f()~ fxạ)~1œ -x,)] =0

xx, jx—x,]

f gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mỗi x thuộc U

c) Nếu f khả vi tại x„, ký hiệu : rank x f hay r x (f) là hạng của df x

tức là :

rx (f) z= rdf x )

3.1.2 Nhận xét quan trọng :

a) Néuf:U + RTM( UCR") khả vi tại Xe e U thì df x„ là duy nhất.

Ma trận của df x, : R* ->+ R” trong cặp cơ sở chính tắc sẽ được kí hiệu bởi: f'(xu) và gọi là ma trận Jacobi của f tại xp Như vậy , f(xo) là một ma trận

thực mxn

Đặc biệt khi m = n, (xạ) là ma trận vuông cấp n Định thức det f(x»)

sẽ được gọi là định thức ham Jacobi hay Jacobien của f tại xạ , kí hiệu J/(xo)

Trang 10

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

b) Néuf khả vi trên U thì tổn tại df, , Vx € U, do đó thu được ánh xạ

df: U - Hom(R", R”) = Mat(m, n; R) =RTM

X df, =f (x).

goi là vi phân của ftrén U.

Nếu df khả vi trên U thì vi phân của df sẽ kí hiệu là dŸf và ma trận

Jacobi của df tại x sẽ kí hiệu là : f*(x) hay f(x) và tương tự cho các vi phân

a) — Giả sửf:U + R,U mở chứa trong R và xạ e U khi đó f khả vi tại xo

khi và chỉ khi f có đạo hàm hữu hạn tại x»

Hơn nữa , ma trận Jacobi f(x») của f tại xe chính là đạo hàm của f tại Xọ.

Còn vi phân df ;„ : R — R chính là ánh xạ tuyến tính cho bởi phép nhân với

P(x).

3.1.3 Vi phôi ;

Giả sử f: U ——— V ; U,V mé trong R*

Nếu f và f déu khả vi lớp c thì f được gọi là vi phôi lớp C*

Vi phôi lớp C” là vi phôi trơn

Chof: U > R”, U mở trong R°, xo thuộc U

Ta bảo f vi phôi trơn địa phương tại xo nếu tổn tại lân cận Up của xạ sao

cho :

fly, : Uy —> f(Uạ) là vi phôi trơn

3.2 Các tính chất cơ bản đầu tiên của ánh xạ khả vi :

3.2.1 Giả sử f: U > R®TM U chứa trong R"

g:V > RP V chứa trong RTM

và f(U) chứa trong V , xạ thuộc Ú.

Giả sử f khả vi tại xạ ;g khả vi tại f(x)

Khi đó f.g khả vi tại x» và

d( f.g) | x, = dg |, đfÍ x

(g.f)'(xo) = g`(f(xe)).f'(xo)

Trang 11

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Nếu thêm g(x) # 0, Vx e Uthì : khả vi trên U và (9) = —

Nói riêng f : U + R (m= 1) thì f khả vi trên U khi và chỉ khi tổn tại đạo

hàm riêng = trên U ,j= Ln và (x)= (20 2a} ,xeU

Lúc nay f(x) gọi là gradien của f tại x

Ký hiệu grad f,,x eU.

3.2.4 Cho f = (f, f®):U + RTM (U mở chứa trong R" )

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

§4, TRƯỜNG VECTƠ - TRƯỜNG MỤC TIÊU

4.1 Không gian tiếp xúc , phân thé tiếp xúc :

4.1.1 Mỗi x, thuộc R*, tập R"x, = {x„}x R" được gọi là không gian tiếp xúcvới R° tại x, Có thể hình dung R°x_ là tập các vectơ của R° đặt tại gốc x„ Mỗiphan tử (x,,x) thuộc R"x sẽ được viết đơn giản là xx Cấu trúc không gian

tuyến tính , affine , Euclide trên R*x_ được xác định mộ cách tự nhiên nhờ R°

Cụ thể :

Xx +Yx =(x+Y)x ,(ÀXx )=(X)x

Xx Yx, =xy=y~X

Cơ sd {er x, €a xạ } của R"x cũng gọi là cơ sở chính tắc

4.1.2 Giả sử U mở trong R*, x, thuộc U.

Khi đó R”x_ cũng gọi là không gian tiếp xúc với U tại x

41.3.TậpTU= |) R"x, =U xR° gọi là phân thé tiếp xúc trên U

x,eU

Lưu ý rằng : TU = UxR® c R°xR® = RTM và TU mở trong RTM.Do đó có thể nói

đến tính liên tục, khả vi, trơn của các ánh xạ TU > RTM và U'—> TU(U' là tập

con của R`)

4.2 Trường vectơ:

Cho U là tập mở trong R°, TU = U x R° là phân thé tiếp xúc trên U

a) Anh xạ trơn: X:U> TU

x X(x) eR”x

kọi là trường vecto trên U.

b) Ký hiệu : X(U) = {X : trường vectơ trên U}

Trên có thể xét các phép toán sau :

Phép cộng : (X+Y)x =Xx +Yx ;xeU; X,Y eX(U)

Phép nhân với vô hướng (AX)x =X x ):xeU AER, Xe X(U)

Khi đó ta kiểm chứng được trở thành không gian vectơ thực.

Trang 13

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Ký hiệu ~Z (U) ={ f: UR] f wan }, ta có thể xét phép nhân ngoài một

phan tử của với một trường vectơ như sau ;

~#(U) x X(U)> X(U)

ởđó: lụ:U=R

xe›leR,VxeR

là hàm hằng trên U nhận giá trị hằng là số thực |

Ta bảo rằng X (U)là một “#(U) _modun.

Ngoài ra trên X (U) còn có tích vô hướng sau :

(s,s): X (U)x X (U) — F(U)

(X,Y) > (X,Y)

Định nghĩa :(X, YXx) =(Xx,Yx ),xeU

Giả sử X © X (U), khi đó với mọi x thuộc U, Xx thuộc R" ta có :

ar:U TU inte (x) =e,(x) € R°x (1<i<n).

Ro rang = € X(U), 1 sis n Hon nữa với mỗi X = (X', , X")e X(U) ta

4 ,

đều có :

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

Một tương ứng đặt mỗi x thuộc U với một mục tiêu affine xác định :

(x:e,(x), ea(x)} của không gian affine R" gốc x, cơ sở nền {e,(X), £;(X)}

gọi là một trường mục tiêu trên U Tùy vào mục tiêu đó trực giao (hay trực

chuẩn) mà cũng được gọi là trương mục tiêu trực giao (hay trực chuẩn).

Có thé xem là tương ứng đặt mỗi x thuộc U với cơ sở {£;(X)x £„(X)x }

của R”x , hoặc cơ sở {e¡(x), e„(x)} của không gian vectơ R°

Goi T(x) là ma trận chuyển cơ sở từ {ey(x)x c„(x)x }sang cơ sở

ÍEI(X)x vow Ea(X)x } giả sử T(x) = ((X))„.„, xe U, tức là :

cu), =SU'G/0), ,l<j<n,xeU

Khi đó ta thu được n” ham: t`: U->R; x +t! (x),Ì< i,j <n trên U ,gọi là các

hàm thành phần của R

Trường mục tiêu R gọi là trơn nếu các hàm thành phẩn tj' của nó trơn Từ

nay ta chỉ xét các trường mục tiêu trơn và chỉ gọi đơn giản là trường mục tiêu.

4.4 Ánh xạ cảm sinh :

Cho U là tập mở trong R”, ánh xạ trơn f: U > R”.

Với mỗi x, thuộc U, f cảm sinh ra ánh xạ tuyến tính

f X,, >R" x, —>R”f(x,) ì

cho bởi : f' x x= (d fx, (x)) f(x.)

Để đơn giản ta thường chỉ viết f* thay cho {1 x„ với mọi x, thuộc U,

Rõ ràng ma trận của fÏ x : R”x ->R”ƒ(x_)trong cặp cơ sở chính tắc cũng

là Iˆ(x,), Xe EU.

Trang 15

LUAN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

§5 TAP DON LIÊN TRONG R"

5.1 Định nghĩa khái niệm đường cong liên tục và đóng :

Ảnh xa c : T= [a:b] > U CR" gọi là đường cong trên U

Cho đường cong trên R°,c : > R”, c được gọi là đường cong liên tục và

5.2 Định nghĩa đường cong đóng, co rút được :

Cho c : 1 => R" là một đường cong đóng, c(a) = c(b ) =M.

Ta bảo c co rút được nếu có một ánh xạ liên tục

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

t Ft)

là đường cong hằng tại điểm M

ii) F(t) = c(t) ,V ¡ € I (tức là c = F, : 1 > R biến mỗi t thuộc I thành F(t)

iii) F(a) = Fb) =M ,Vse [0;1]

5.3 Don liên (*):

Tập con D trong R® gọi là một tập đơn liên nếu mọi đường cong đóng trong

nó đều co rút được Tức là trên D không chứa một lỗ trống nào

Tập đơn liên Tập không đơn liên

(*) Thật ra tap đơa liên là tập có nhóm cơ bản bằng 0 ~ khái niệm của tôpô đại số.

Trang 17

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

Chương II :

ĐƯỜNG TRONG R".

Trong chương này , chúng ta sé tìm hiểu một số định nghĩa vẻ lý thuyết

đường trong R* Phắn này sẽ trình bày lại một cách tổng quát và cao hơn việc

cho trước đường trong R” và tính các độ cong Kị,kạ, k„., như đã học ở học kỳ I

năm thứ ba Tuy nhiên diéu ngược lại liệu có xảy ra , đó là nội dung chính của

"định lý cơ bản về lý thuyết đường” sẽ được trình bày trong chương này.

e Nếu / không là khoảng mở thì :c thuộc lớp C“ khi tổn tại khoảng mở /ˆ

chứa / và ánh xa c`: / ° => R* thuộc lớp C7 sao cho c:= cÌ„.

e Giá trị: e / được gọi là tham số của c.

© Không gian tiếp xúc R, =T, Reda R tại, € / có cơ sở chính tắc là:

1 =(„, 1) Đôi khi ta viết “ thay cho (1) =I.

e Néuc:/—> R" là một đường tham số hoá, vectd đc, (1) T,„_,R* được

định nghĩa tốt

Vil c(t) = c(t„) =đe,_ (MN t- t„) ÌÏ= o( t= t„) nên ta có :

R" của eff) tain, €/.

= ¿(„) gọi là đạo hàm của hàm giá trị thực trong

1.2 Định nghĩa trường vectơ :

1.2.1 Trường vectơ dọc theo c : / > R" là ánh xa khả vi X :/ > R*

Trang LR

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

Vectơ X(r) , giá trịcủa X tại r, tổn tại trong R° ( đã được đồng nhất với T , R°).

1.2.2 Trường vectơ tiếp xúc với c :/ > R" là trường vectd doe theo

© + =› R" biến mỗi t thuộc / thành ¿().

1.3 Đường trong R":

1.3.1 Phép đổi tham số:

Cho 7 và 7 là hai khoảng trên R Anh xạ đ:/ © 7 gọi là phép đổi tham số

nếu ø vi phôi 7 lên / và ý đơn điệu tăng.

1.3.2 Các đường tương đương:

Cho c:/ +R"

cr?r R"

là hai đường trong R" thuộc lớp C`

Ta bảo e ế nếu thn tại một phép đổi tham xế ¢:7 + / sao cho Z «cớ.

Rõ ràng ~ là quan hệ tương đương.

Anh xạ ø được gọi là bảo toàn hướng nếu ø'>0.

1.3.3 Nhận xét:

Cho ¢~ ẽ ta cóc chính qui khi và chỉ khi Z chính qui.

1.3.4 Định nghĩa đường trong R”:

Lớp tương đương các đường tham số hoá lớp C* trong R" gọi là đường lớp

C* trong R".

Đường gọi là chính qui nếu một ( do đó tất cả) đường tham số hoá thuộc nó

chính qui

Đường chứa đường tham số hoá c : / => R” ký hiệu là c

1.4 Tham số tự nhiên _ độ dài của đường:

1.4.1 Tham số tự nhiên:

Đường tham số hoá khả vi c : J > R” gọi một đường tham số hóa tự nhiên

nếu (evr) =I,V+e † (còn gọi là đường tham số hoá với vận tốc đều đơn vi)

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

Cho c : 7 => R” là đường tham số hoá khả vi Công thức tính đô dài của c :

Lic) := kưiai.

Độ dài cung từ c(t,) đến c(1;) của c được ký hiệu bởi

Le) - flecrojar

`

1.4.3 Mệnh đề (về tham số hoá tự nhiên đường chính qui):

Mọi đường cong chính qui c: / -> R° có thể được tham số hóa bởi tham số

tự nhiên Nói cách khác : cho đường cong chính qui c :/ => R” ,có một phép đổi

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

Vậy đường cong c(t) = tv + v„ là chính qui khi và chỉ khi v # 0 ,Trong

trường hợp này , nó là đường thẳng

1.5.2 Đường tròn và đường xoắn ốc :

Cho c(t) = ( acost, asint, bt); a,bte R

a+b’ #0,

Khi b =0 , c(t) là đường tròn có bán kính bằng a.

Khia =0, c(t) là đường thẳng

Trong trường hợp chung ; c(t) là đường xoắn ốc

Xét (t) = (- asint , acost , b ), ta thấy ¿(0 # 0,Va,b,te R ,aŸ+ b’ = 0

Vậy c(t) là đường cong chính qui.

Trung 2!

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD - TS LE ANH VŨ

§2 TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET

Mục này sơ bộ nghiên cứu trường mục tiêu Frenet đổi với đường trong không gian R"

2.1 Định nghĩa trường mục tiêu :

Với mọi k € { | ; n ] dao hàm cấp k của eft) tổn tại trong không gian sinh

bởi eft), c;(t†), e(t).

2.2 Mệnh để : (sự tồn tại và duy nhất của trường mục tiêu Frenet) :

Cho đường cong c :/ => R” sao cho với mọi t thuộc /, các vectơ :

¿(t),c??(t), c“*°"() độc lập tuyến tính

Khi đó tổn tại duy nhất trường mục tiêu Frenet có các tính chất sau :

i) Với 1 <k<n-l thì ¿(), c'“' và e,(f) e,(0) có cùng sự định hướng.

ti) £y(), ej(t) có sự định hướng dương.Mục tiêu này gọi là trường mục tiêu

Frenet được đánh dấu.

*Nhận xét :

Nhắc lại : hai cơ sở trong không gian vectơ thực có cùng sự định hướngthì phép biến đối tuyến tính từ cơ sở này sang cơ sở khác có định thức dương.

Một cơ sở trong R" được định hướng dương nếu nó có cùng sự định

hướng với cơ sở chính tắc của R°.

Chứng minh :

Ta dùng phương pháp trực giao hóa Gram_Smith.

Giả thiết : ¿(),€() c'“ 0) độc lập tuyến tính , ta suy ra được ; cứ) £U

Trung 22

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VE

at 2 I

Đặt e0) leary (1)

Theo phương pháp trực giao hóa Gram_Smith:

Với mọi k thỏa 1 <k <n-! , đặt:

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

Vậy (*) đã được chứng minh

Nếu eft) đã được định nghĩa trong (2.2) :

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD - TS LE ANH VŨ

nên e{t) biểu điển tuyến tính qua c (0)

e.(r) được biểu dién tuyến tính qua c1) và cn)

mà định nghĩa (2.1) nói rằng :

(1) là tổ hợp tuyến tính của eft) ext) e1).

nên é(1) là tổ hợp tuyến tính của e,(!), eÁf), œ,„,(!)

Do đó: et0)= 3ø,()£,0).

trong đó : ø@,(0=0 khi / > i+.

Vậy (**) đã được chứng minh.

Ngoài ra , nếu (e/(r)) là trường mục tiêu Frenet được đánh dấu thì ta có :

eft) là vectd đơn vị

LUAN VAN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VŨ

0 (0,; ÔN, as Go; a.

“ty; 0 @, @.,, @,,

«) =

x “O45 = 0 ,,,,

a o,, h ty, š ty, Cơ vC (0, ta 0

Mãi khác w/t) = 0 khi />¡ nên ma trận @ trở thành ;

i) Cho đường tham số hoá c : / > R" va B : R" => R" là một phép đắng cự

của R"_ mà các thành phẩn trực giao của R" là R

Cho @=Boc :/ — R" và (e(0)),là trường mục tiêu doc theo c.

Khi đó :(ẽ,()):= (Re,(2)),¡ = Ln là trường mục tiêu dọc theo &

Nếu Ø,() là hệ số của phương trình frenet liên lết với ế , Z,(z) thì :

Cho edn), ¿= l,n (là trường mục tiêu dọc €

Khi đó: (ẽ(s))=(e,sø(s)),¡ =l,n là trường mục tiêu dọc £

Nếu Zs) z0 thì:

Trang 26

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS, LE ANH VŨ

Cho k(t), 1's is n-l,là hàm đô cong được định nghĩa trong (3.3).

Khi đó :k,(U > 0 với mọi i thoả Is is n-2.

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VŨ

Ý nghĩa cơ học của độ cong : k dace trưng cho vận tốc quay tức thời của

trường mục tiêu Frenet ,

Ý nghĩa hình học của đô cong ;đô cong càng lớn thì dường cảng không

thang.

en = 3 Ta có cl OR? là đường ghénh , trên đó ta xác định được hai hàm đô

cong Kị ,k; còn gọi là độ cong và độ xoắn.

Ý nghĩa cơ học của độ xoắn :

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

§4.ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ĐƯỜNG

kha vi c nhận ks) làm độ cong thứ / hay không ?

Câu trả lời ở định lý sau:

Định lý cơ bản về lý thuyết đường:

Giả sử k,(s), kạ(s), Kạ.;(s) là các hàm khả vi xác định tại môi lân cận

(-£,+£) của Oe R với k,(s) >0, VY ¡i=l, 2 „ n-2.Khi đó:

() — Tổn tại đường cong tham số hóa khả vi c 1 R" (0€ 1) suo cho:

+ k(sj=I+ @),£Q) c'°”(s)Ì độc lập tuyến tính ,s € I,sao cho:

k,(s),k;(S) k,„(s)là các độcong của e.

Gi) — Nếu 3£: => R* (0e J có tính chất như c thì tổn tại B :R* > R*°

là phép đẳng cự sao cho: € = Boe(Ta bảo rằng tổn tại duy nhất đường c sai kém phép dang cự nhận

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VŨ

X'(s)= A(s).X(s) X(0) =ld

với: X(s) : là hàm giá trị ma trận cấp nxn

Id: là ma trận đơn vị cấp nxn

theo các định lý về lý thuyết phương trình vi phân tổn tại nghiệm X(s) của

phương trình xác định trong lân cận (-£,+£) của Ve R.

Vì A(s) là ma trận phản đối xứng nên:

là 2 đường cong thỏa mãn điều kiện (i)

Goi (e(s)) và (ẽ/s)) là trường mục tiêu của c và £ (i = 1, 2, n).Do c và £

đều có các hàm độ cong thứ i là k,(s) (i= 1, 2, , n) nên:

kœ@W=@j} (*)

Ta chứng minh được rằng : tổn tại duy nhất một phép ding cự : B :R” + R°

sao cho: = Boe

Thật vay , cố định sụ € I, ta xác định được một phép đẳng cự B thỏa min:

Bo (8) = £(S¿)

Reso) = &,(So) với R là thành phan trực giao của B.

Từ (*) ta có: @, io (S)= , inst)

mặt khác trong phan nhận xét của 1.3.1 ta có:

Trang 31

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Vậy tồn tại phép đẳng cự tuyến tính như (*) để 2 = Bec

Bây giờ , ta sẽ chứng minh B là duy nhất Thật vậy :

Kết luận - ta luôn xác định được duy nhất một phép đẳng cự B :R° > R° biến e

thành hay nói cách khác đường cong c(s) tim được ở (i) là duy nhất (theo

nghĩa sai khác một đẳng cư).

Trang 32

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Bài tập áp dụng:

Bài I: Cho «(s) = l/a

Tìm độ cong vận tốc đơn vị c(s) nhân k(s) làm đô cong trong RẺ.

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VŨ

Bài 2: Cho k,(s) = aXa*+b*) ; ka(s) = b/( a’+b*)

Tim đường cong vận tốc đơn vị c(s) nhận kạ(s), kz(s) làm đô cong thứ nhất và

độ cong thứ hai.

Giải

Ta có hàm giá trị ma trans > A(s) với:

Trang 34

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: X'{s)=A(x).X(s) với ma trận

-Tits) =(X Yụ Zz) là cội thứ nhất của XIs).

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LẺ ANH VŨ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VU

u là điểm thuộc U và viết w = (w! ,u2) đôi khi viết (u, v) là điểm thuộc U.

Ánh xạ khả vi ƒ:U — RỶ sao cho df, :7„R”-> 7„RỶ là đơn ánh với mọi

u thuộc U gọi là chính qui.

Không gian vectơ hai chiểu df,,( R) được gọi là không gian tiếp xúc của

hoặc đơn giản: df,(e;) = fu’; df,(e>) = fu? với u =(u!,u*) những vectd cơ sở

này của 7„ f CTy) R” = RÌ bằng với đạo hàm riêng bậc nhất của f tại

l

(uj ,u2 ).

Trang 38

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VŨ

Ta có: [flu ft, ) - df, ta - ty) = Ofu-u,)

nén: jim Sta 1.0) =0 và u=(wÌ,x2); se (ucla?)

Anh xạ khả vi chính qui ƒ: U-> R} là mặt tham số hóa trong R’, Các

u=(u!,u*) thuộc U gọi là tham số của /

LUẬN VAN TOT NGHIỆP _GVHD TS LE ANH VU

Ta hao f tung đương với / ky hiệu / ƒ nếu tổn tại phép đổi tham số

OV +U xao cho f= Lộ.

* Nhân vét:

Quan hệ ~ là quan hệ tương lưng,

1.3.3 Mat trong RỲ

Mor lớp tưởng đương các mat tham so hóa tong R` gọt là mát (không

tham so how) trong RỶ

1.4 Trưởng veclơ trên mat

[rưưng veers dọc ƒ =\J L¬ RẺ) là ánh xa khá vị X :U — RẺ,

Trường vectd X dọc theo / nhận gia trị trong không gian tiếp xúc của RÌ

thu hẹp lên mắt /, tức là: X, € Thuy”

Xétdnhxa: Ä:U ->TRỲ

ur (flu), X( 4))

X rõ ràng là ánh xa khả vi cho fta có thể xác định rõ ánh xạ X.

Ngược lại: cho trường vectd X dọc theo ánh xa / ta luôn xác định được

ánh xạ X.

Một trường vectơ X dọc theo / U + rR? gọi là:

trường vectơ tiếp xúc nếu (flu), X(u)) eT, f VueU

trường vectơ pháp tuyến nếu (flu), X(u)) € TguR` trực giao với Tf với

mì tì thuộc U.

+ Vhận vét:

f_;(),Ƒ >(u) là trường vects tiếp xúc dọc f, còn gọi là trường vectơ tọa độ.

Trường vectd fi j(upx f atu) gọi là trường vectơ pháp tuyến doc theo /

Cả bà f (0), £ ví); f ;(0x f stay đều khả vi

H “ a “