Định lý cơ bản về lý thuyết đường và lý thuyết mặt

Bộ Giáo Dục Đào Tạo Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Khoa Toan-Tin ELD Le) IRI LUAN VAN TOT NGHIEP (Chuyén nganh Hinh Hoc ) ‘Binh ly co ban ve Ly thuyết đườnổ & lý thuyết mặt GVHD: TSLé Anh Ya SVTH: Tường Thị Thủy Tiên Lớp : Toán 4Á —_—_——_—————— ~.- -ˆ tTH4HƯ-U/(EH - TP rrig YE* ucts !4% 0~- bhoig Tle lý NAM Niên khóa 1998 - 2002 THÀNH PHƠ HỖ CHÍ MINH Tháng năm 2002 ¿ Ht, ee av ` ' MỤC LỤC §I Nhắc lại không gian R° E* §2 Sơ lược tơpơ R” $3 Phép tính vi phân R° $4 Trường vectơ - trường mục tiêu $5 Tập đơn liên R" Chudng Il: DUONG TRONG R" §1 Đường R" $2 Trường mục tiêu Frenet §3 Phương trình Frenet §4 Định lý lý thuyết đường Bài tập áp dụng Chương III: LÝ THUYẾT MẶT TRONG R} §1 Mat R? §2 Dạng thứ §3 Dạng thứ hai §4 Đường mặt §5 Độ cong - độ cong Gauss —- độ cong trung bình §6 Dạng chuẩn tắc mặt §7 Các cơng thức Gauss Codazzi-Mainardi Định lý lý thuyết mặt Bài tập áp dụng Thay lời kết Tài liệu tham khảo bw {1% Chương I : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ t+h Các kí hiệu %œ Lời nói đầu Trang 13 16 18 I8 22 34 30 33 38 38 43 48 52 57 71 77 BI 82 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VŨ LỜI NĨI ĐẦU Hình học vi phân ngành thuộc lĩnh vực tơpơ_ hình học mà đối tượng hình học nghiên cứu phương pháp giải tích tốn học cơng cụ phép tính vi phân Đối tượng quan trọng hình học vi phân đường mặt không gian Eulide thông thường họ đường, mài Đặc trưng hình học vi phân nghiên cứu tính chất đổi tượng (đường, mặt) phần nhỏ tùy ý chúng Những tính chất goi tính chất vơ bé hay tính chất vi phân Trong khuôn khổ luận văn này, để cập đến nội dung hình học vi phân cổ điển Cụ thể luận văn tìm hiếu sâu lý thuyết đường lý thuyết mặt sơ với chương trình học học kỳ II, năm thứ ba nghành tốn ĐHSP Mục đích luận văn việc giới thiệu hai định lý lý thuyết đường lý thuyết mặt Tức hai định lý cho phép xác định đường hay mặt (sai phép đẳng cự) cho trước hàm độ cong hay dạng toàn phương thứ nhất, thứ hai với số điều kiện bổ trợ Về nội dung, luận văn gồm sau Chương lời nói đâu, ba chương phần kết luận : Trình bày số kiến thức cần thiết cho chương Chương lI : Trình bày nội dung lý thuyết đường R" ma trọng tâm định lý lý thuyết đường Chương III : Trình bày nội dung lý thuyết mặt R` với trọng tâm định lý lý thuyết mặt Do thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong qúy thầy cô bạn đồng môn đóng góp ý kiến Trong q trình làm luận văn chúng tơi có tham khảo số tài liệu, xin tỏ lòng chân thành cám ơn tác giủ Chúng tơi xín chân thành cảm ơn Tiến sĩ Lê Anh Vũ tận tình hướng dẫn, xin chân thành cảm ơn bạn chủ nhiệm khoa tạo điểu kiện cho chúng tơi thực hồn thành luận van Tác giả Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS.LE ANH VU CAC KY HIEU Ký hiệu Y nghia Lần xuất trang: không gian vectơ n_chiêu không gian vectơ Euclide n_chiéu chuẩn vectơ X Jacobien cua f tat x,, gradien cua t tai x tập hợp trường vecta trén U 10 12 13 |3 tập hợp ánh xạ trơn |4 không gian tiếp xúc với R” cít,) |8 đạo hàm c(U theo biến t Ls thành phần trực giao phép đẳng cự B đạo hàm f theo biến thứ uì 26 27 38 pháp vectơ 42 phân thớ tiếp xúc U độ cong thửi dạng thứ (E¡) Tu il (hi,) K H ma trận dạng thứ mặt cầu tâm O bán kính RÌ ánh xạ Weingarten dạng thứ hai ma trận dạng thử hai độ cong Gauss độ cong trung bình 45 48 49 50 50 19 "9 sign K(u,) đấu K(u,) Vij ky hiéu Christoffel loai | 71 ix’ ky hiéu Christoffel loai 71 Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ Chuong I: CAC KIEN THUC CHUAN BI Chương nhằm giới thiệu kiến thức có liên quan đến phần luận văn trình bày chương sau Trong phần , tính chất , định lý trình bày ngắn gọn khơng chứng minh §1 NHẮC LẠI KHƠNG GIAN R" VÀ E" 1.1 Khơng gian vectơ n_chiểu R: Không gian vectơ n-chiều R kí hiệu : R" ={ x = (x) x7x") ÍxÌx?, x" eR*) có sở tắc : { e,= e,"” = (0 1, ,0)}j = Ln vị trí thứ i Mỗi ánh xạ tuyến tính ọ : R”-> R” ứng với ma trân thực m dịng , n cột cặp sở tắc Công thức toạ độ ọ : \ 8, Vx 7) l&.&, fX *XJj Và sa Aể tướng ứng cho ta đẳng cấu : Hom (R°, R”) z Mat( m,n,R) Chú ý :Mat( m,n,R) không gian vectơ m.n_chiểu R đẳng cấu tắc với R””, Có thể xem R° khơng gian affine n_chiểu liên kết với không gian vectơ n_chiéu R° cấu trúc affine Ta định nghĩa : xy =y-x, WxyeR" Khi mục tiêu tắc khơng gian affine R* {0;Â,"", , eđ) Ta xột ỏnh xa affine f : R° + R™ Công thức tọa độ f cặp mục tiêu alfine tắc có dạng Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ a, i x"! x a? er - a, eo i x! b' xe a," 8.” + AX” b” (x”' x"") tọa độ f(x) với x = (x', x") ER", (b' , , Bb”) 1a toa dd f{0) với 0e R°, (a/)„„„ ma trận ánh xạ tuyến tính nền: p:R" > R™ cia f 1.2 Không gian vectơ Euclide n_chiều: 1.2.1 Dinh nghĩa: Ta định nghĩa tích vơ hướng tắc R° ánh xạ : (ss): R°xR"-—› R (x,y)E> (xy) = >ox'y' ol với x = (xÌ, ,X") ,y= (y', sy") x Cặp (R”;(s,s)) gọi không gian vectơ Euclide n_chiéu Ki hi€u :E* Vectơ x trực giao với y :x L y (x,y}=0 Chuẩn vectơ: |xỈ:= \@&.x) = [a'r gọi chuẩn ( hay độ dài) ot vectơ xe R" 1.2.2 Tính chất : ¡) |x|> 0,Vx e R°, |x[=0 =x=0 ii) (x,y) = ` < [Say {Sor = |xify].vx,y € R” dấu "=*” xảy {x , y} phụ thuộc tuyến tính iii) |x + y‡< [x|+ [y|.vx.y < R" iv) [Ax|| =|A||x[.A < R ,xe R" 1.2.3 Có thể xét phép biến đổi trực giao không gian vectơ Euclide n_chiều,tức đẳng cấu tuyến tính bảo tồn tích vơ hướng Khi ma trận ứng với@ ma trận trực giao cấp n, Cơ sở tắc {e, , cạ } R” trở thành sở trực chuẩn E* gọi sở trực chuẩn tắc Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ Khi xem R” không gian affine E” ta thu khơng gian Euclide n_chiều mà kí hiệu E” Ta cod: *Í{y - x|| khoảng cách x y Mục tiêu trực chuẩn tắc E* {0;e;, e„ } tất nhiên ta chon mục tiêu {X„;Vvụ, , vạ } E” Ta xét phép đẳng cự không gian Euclide tức phép affine hảo toàn khoảng cách: Cho phép biến đổi affine f : E* —> E” có phương trình : (x']= A [x] + [b] (A ma trận phép đẳng cấu tuyến tính ọ liên kết với f) [ trả thành phép biến đổi đẳng cự hay phép dời hình A ma trận trực giao tức A*A=l( ma trận đơnvị) Nếu A ma trận trực giao detA=l f gọi phép dời hình thuận Nếu A ma trận trực giao detA= -! thi f gọi phản dời hình Tóm lại : Trên E" vừa có cấu trúc khơng gian vectơ Euclide n_chiểu vừa xét ánh xạ tuyến thính, phép biến đổi tuyến tính, biến đổi trực giao, ánh xạ affine, phép affine, phép đẳng cự 1.3 Định hướng : Ta xem R” không gian vectơ tập tất sở R” xét quan hệ tương đương sau : Hai sở (e) , (e') tương đương ma trận chuyển T: (e)—> (e') có định thức detTz Quan hệ định chia lớp (tương đương) họ sở c Rõ ràng có hai lớp Ta bảo lớp xác định hướng R” Lớp sở tắc xác định hướng R” mà ta gọi hướng tắc hay hướng dương Hướng cịn lai gọi hướng đối tắc hay hướng am Phép biến đổi tuyến tính f R” bảo tồn hướng detT >0 ; gọi đổi hướng detT R” (U c R”), (nếu m=l gọi f đơn giản hàm U) VxeU, fx)c R” nên f(x) = (y„ y") Gọi œ:R”—› R phép chiếu tắc thứ j tức r (x' x”) = x!,j=l,m Đặt f' =mr' ef :U — R hàm U Rõ ràng VxeU, f(x)= (y` y”) eR" Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ '(x)=y!, 1s js m va f(x) =( f'(x), f(x)) Cac hamf ,j=1,m, gọi hàm thành phẩn thứ j f Ký hiệu f = (f' f®) Như cho hàm vectơ U lấy giá trị R” tương đương với việc cho m ham ( giá trị thực) U Anh xa f :U+R™ (U CR"), gọi liên tục xạ thuộc U : We > 0,35 = 8(x, ,e)>0:Vxe u, [dx — xX, < 8) => (f(x)- f(x, |< e)| f gọi liên tục U liên tục x thuộc U Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ §3 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG R" 3.1 Ánh xạ khả vi : 3.1.1 Định nghĩa ánh xạ khả vi: fí:UDOR”3 ,UCcR` ,x¿eU a) — Giả sử U mở, f gọi khả vi xạ e U tổn ánh xạ tuyến tính : i: suo cho: lim X > Xp R* R" f(x) - f(x,)-(x-x,)]| Ik-x,| - b) — Nếu U không mở, f gọi khả vi xẹ e U tổn tập mở Ức I chứa U ánh xạ f: U R°, +R® cho f khả vi xạ ƒ |ụ= f Anh xạ tuyến tính | định nghĩa gọi vi phân f tai x, kí hiệu : df x„ Như ta ln có : lim — XX, |f(x)-f(x¿)-l(x—x,)} x -x,| =0 f gọi khả vi U khả vỉ x thuộc U Nếu f khả vi x„, ký hiệu : rank x fhayr x (f) la hang cla df x c) tức : r x, (f = r(df x,) 3.1.2 Nhận xét quan trọng : a) Nếu f:U -+ R”(Uc R`) khả vi xạ e U đf x„ Ma trận df x, : R* -> R” cặp sở tắc kí hiệu bởi: f*(xu) gọi ma trận Jacobi f xạ Như , (xạ) ma trận thực mxn Đặc biệt m =n, f(xạ) ma trận vuông cấp n Định thức det f(x›) gọi định thức hàm Jacobi hay Jacobien f xạ , kí hiệu JÁxạ) Trang 10