Định lý cơ bản về lý thuyết đường và lý thuyết mặt

Trang 1

Bộ Giáo Dục và Đào Tạo

Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Khoa Toan-Tin

ELD Le) IRI

LUAN VAN TOT NGHIEP

(Chuyén nganh Hinh Hoc ) ‘Binh ly co ban ve Ly thuyết đườnổ & lý thuyết mặt GVHD: TSLé Anh Ya SVTH: Tường Thị Thủy Tiên Lớp : Toán 4Á —_—_——_—————— -ˆ ~.- 1 tTH4HƯ-U/(EH - ¿

TP rrig ucts bhoig lý Ht, av ` YE* !4% 0~- Tle NAM ee '

Niên khóa 1998 - 2002

THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH Tháng 5 năm 2002

Trang 2

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Các kí hiệu

Chương I : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§I Nhắc lại không gian R° và E* §2 Sơ lược về tôpô trong R” $3 Phép tính vi phân trong R°

$4 Trường vectơ - trường mục tiêu

$5 Tập đơn liên trong R"

Chudng Il: DUONG TRONG R" §1 Đường trong R" $2 Trường mục tiêu Frenet §3 Phương trình Frenet §4 Định lý cơ bản về lý thuyết đường Bài tập áp dụng Chương III: LÝ THUYẾT MẶT TRONG R} §1 Mat trong R? §2 Dạng cơ bản thứ nhất §3 Dạng cơ bản thứ hai §4 Đường trên mặt §5 Độ cong chính - độ cong Gauss —- độ cong trung bình §6 Dạng chuẩn tắc của mặt

Trang 3

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VŨ

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là một ngành thuộc lĩnh vực tôpô_ hình học mà trong

đó các đối tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp giải tích tốn

học và cơng cụ đầu tiên là phép tính vi phân

Đối tượng quan trọng nhất của hình học vi phân là các đường và mặt

trong không gian Eulide thông thường cũng như họ các đường, các mài Đặc trưng cơ bản của hình học vi phân là nghiên cứu các tính chất của đổi tượng

(đường, mặt) trên một phần nhỏ tùy ý của chúng Những tính chất đó goi là tính chất vô cùng bé hay tính chất vi phân

Trong khuôn khổ của bản luận văn này, chúng tôi sẽ để cập đến nội dung

cơ bản của hình học vi phân cổ điển Cụ thể luận văn sẽ tìm hiếu sâu hơn về lý

thuyết đường và lý thuyết mặt sơ với chương trình đã học ở học kỳ II, năm thứ ba nghành toán ĐHSP Mục đích cơ bản của luận văn là việc giới thiệu hai định lý cơ bản về lý thuyết đường và lý thuyết mặt Tức là hai định lý cho phép xác định được đường hay mặt (sai kém phép đẳng cự) khi cho trước các hàm độ cong hay các dạng toàn phương cơ bản thứ nhất, thứ hai với một số điều kiện

bổ trợ

Về nội dung, luận văn gồm lời nói đâu, ba chương và phần kết luận

Chương : Trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chương

sau

Chương lI : Trình bày nội dung cơ bản của lý thuyết đường trong R" ma

trọng tâm là định lý cơ bản của lý thuyết đường

Chương III : Trình bày nội dung của lý thuyết mặt trong R` với trọng tâm

là định lý cơ bản của lý thuyết mặt

Do thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế nên bản luận văn không

tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được qúy thầy cô và các bạn đồng môn đóng góp ý kiến

Trong quá trình làm bài luận văn chúng tôi có tham khảo một số tài liệu,

Trang 4

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ký hiệu (E¡) sì Tu il (hi,) K H sign K(u,) Vij ix’ CAC KY HIEU Y nghia

không gian vectơ n_chiêu

không gian vectơ Euclide n_chiéu

chuẩn của vectơ X

Jacobien cua f tat x,, gradien cua t tai x

phân thớ tiếp xúc trên U

tập hợp các trường vecta trén U tập hợp các ánh xạ trơn

không gian tiếp xúc với R” tại cít,)

đạo hàm của c(U theo biến t thành phần trực giao của phép đẳng cự B độ cong thửi đạo hàm của f theo biến thứ uì pháp vectơ dạng cơ bản thứ nhất ma trận của dạng cơ bản thứ nhất mặt cầu tâm O bán kính 1 trong RÌ ánh xạ Weingarten dạng cơ bản thứ hai ma trận của dạng cơ bản thử hai độ cong Gauss độ cong trung bình

đấu của K(u,)

Trang 5

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Chuong I:

CAC KIEN THUC CHUAN BI

Chương này nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản có liên quan đến phần

chính của luận văn được trình bày ở các chương sau Trong phần này , các tính

chất , định lý được trình bày ngắn gọn và không chứng minh

§1 NHẮC LẠI KHƠNG GIAN R" VÀ E"

1.1 Không gian vectơ n_chiểu trên R:

Không gian vectơ n-chiều trên R được kí hiệu là : R" ={ x = (x) x7x") ÍxÌx?, x" eR*)

có cơ sở chính tắc : { e,= e,"” = (0 1, ,0)}j = Ln

vị trí thứ i

Mỗi ánh xạ tuyến tính ọ : R”-> R” ứng với một ma trân thực m dòng , n cột

trong cặp cơ sở chính tắc Công thức toạ độ của ọ :

\ 8 8, Vx

7) l&.&, fX

*XJj Và sa Aể

tướng ứng này cho ta đẳng cấu : Hom (R°, R”) z Mat( m,n,R)

Chú ý :Mat( m,n,R) là không gian vectơ m.n_chiểu trên R và đẳng cấu chính

tắc với R””,

Có thể xem R° là không gian affine n_chiểu liên kết với không gian vectơ n_chiéu R° bởi cấu trúc affine

Ta định nghĩa :

Trang 6

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ i i x"! a, a, x! b' a? 2 2 x - eo xe + er a," 8.” AX” b”

ở đó (x”' x"") là tọa độ của f(x) với x = (x', x") ER", (b' , , Bb”) 1a toa dd

của f{0) với 0e R°, (a/)„„„ chính là ma trận của ánh xạ tuyến tính nền: p:R" > R™ cia f 1.2 Không gian vectơ Euclide n_chiều: 1.2.1 Dinh nghĩa: Ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc trên R° là ánh xạ : (ss): R°xR"-—› R (x,y)E> (xy) = >ox'y' ol

với mọi x = (xÌ, ,X") ,y= (y', sy") x

Cặp (R”;(s,s)) gọi là không gian vectơ Euclide n_chiéu Ki hi€u :E*

Vectơ x trực giao với y :x L y nếu (x,y}=0

Chuẩn của vectơ: |xỈ:= \@&.x) = [a'r gọi là chuẩn ( hay độ dài) của

ot

vectơ xe R"

1.2.2 Tính chất :

¡) |x|> 0,Vx e R°, |x[=0 =x=0

ii) (x,y) = ` < [Say {Sor = |xify].vx,y € R”

dấu "=*” xảy ra nếu và chỉ nếu {x , y} phụ thuộc tuyến tính

iii) |x + y‡< [x|+ [y|.vx.y < R" iv) [Ax|| =|A||x[.A < R ,xe R"

1.2.3 Có thể xét các phép biến đổi trực giao của không gian vectơ Euclide

n_chiều,tức là đẳng cấu tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Khi đó ma trận ứng với@ là ma trận trực giao cấp n,

Cơ sở chính tắc {e, , cạ } của R” bây giờ trở thành cơ sở trực chuẩn của

E* gọi là cơ sở trực chuẩn chính tắc

Trang 7

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

Khi xem R” là không gian affine trên nền E” ta thu được không gian Euclide

n_chiều mà cũng kí hiệu là E”

Ta cod:

*Í{y - x|| chính là khoảng cách giữa x và y

Mục tiêu trực chuẩn chính tắc của E* là {0;e;, e„ } tất nhiên ta có thể

chon mục tiêu bất kỳ {X„;Vvụ, , vạ } của E”

Ta có thể xét các phép đẳng cự của không gian Euclide tức là phép affine

hảo toàn khoảng cách:

Cho phép biến đổi affine f : E* —> E” có phương trình là : (x']= A [x] + [b]

(A là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính ọ liên kết với f)

[ trả thành phép biến đổi đẳng cự hay phép dời hình khi và chỉ khi A là ma trận

trực giao tức là A*A=l( ma trận đơnvị)

Nếu A là ma trận trực giao và detA=l thì f gọi là phép dời hình thuận Nếu A là ma trận trực giao và detA= -! thi f gọi là phản dời hình

Tóm lại : Trên E" vừa có cấu trúc không gian vectơ Euclide n_chiểu vừa có

thể xét các ánh xạ tuyến thính, phép biến đổi tuyến tính, biến đổi trực giao, ánh xạ affine, phép affine, phép đẳng cự

1.3 Định hướng :

Ta xem R” như là không gian vectơ và trên tập tất cả các cơ sở của R” xét

quan hệ tương đương sau :

Hai cơ sở (e) , (e') tương đương nếu ma trận chuyển T: (e)—> (e') có định

thức detTz 0

Quan hệ này định ra sự chia lớp (tương đương) trên họ các cơ sở của c Rõ ràng chỉ có hai lớp Ta bảo rằng mỗi lớp xác định một hướng trên R”

Lớp các cơ sở chính tắc xác định một hướng của R” mà ta gọi là hướng

chính tắc hay hướng dương Hướng còn lai gọi là hướng đối chính tắc hay hướng

Trang 8

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

§2 SƠ LƯỢC VỀ TÔPÔ TRONG R"

2.1 Vài kiểu tập con trong R°:

Hình cầu n_chiểu mở : B°(x„r) = {xeR* | [x - x,|<r}

Hình cầu n_chiểu đóng: B""{x„;r) = {xeR" | |x-x,„Ï<r) Mặt cầu (n-l) chu :S*x„r)= {xeR*| |x- x |=r}

Hình hộp n_chiểu mở :ïˆ= [J@ b,)

it

={x= (x! x eR" | a,< x'< bi}i= Ln

Hình hộp n_chiểu đóng :I'"= T& ] = {x=(x!„.x")eR" la, < x' < bị} ¡ = l,n 2.2 Tập con mở , đóng , lân cận : Tập mở : UC R” gọi là mở nếu : Vx eU, 3e = e(x) >0 :B(x;e)C U Tập đóng: V CR' gọi là mở nếu :V* = R”V là tập mở Lân cận :

Cho x thuộc R*, § là tập con của R”, S gọi là lân cận của x nếu : tổn tại

Trang 9

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ thì '(x)=y!, 1s js m va f(x) =( f'(x), f(x) )

Cac hamf ,j=1,m, gọi là hàm thành phẩn thứ j của f Ký hiệu f = (f' f®)

Như vậy cho hàm vectơ trên U lấy giá trị trong R” tương đương với việc cho

m ham ( giá trị thực) trên U

Anh xa f :U+R™ (U CR"), gọi là liên tục tại xạ thuộc U nếu : We > 0,35 = 8(x, ,e)>0:Vxe u, [dx — xX, < 8) => (f(x) - f(x, |< e)|

Trang 10

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

§3 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG R"

3.1 Ánh xạ khả vi :

3.1.1 Định nghĩa ánh xạ khả vi:

fí:UDOR”3 ,UCcR` ,x¿eU

a) — Giả sử U mở, f gọi là khả vi tại xạ e U nếu tổn tại ánh xạ tuyến tính : i: R* R" suo cho: lim f(x) - f(x,)-(x-x,)] | X > Xp Ik-x,| - b) — Nếu U không mở, f gọi là khả vi tại xẹ e U nếu tổn tại tập mở Ức R°, I chứa U và ánh xạ f: U +R®

sao cho f khả vi tại xạ và ƒ |ụ= f

Anh xạ tuyến tính | trong định nghĩa trên được gọi là vi phân của f tai x,

kí hiệu : df x„ Như vậy ta luôn có :

lim — |f(x)-f(x¿)-l(x—x,)}

XX, x -x,|

f gọi là khả vi trên U nếu nó khả vỉ tại mỗi x thuộc U

c) Nếu f khả vi tại x„, ký hiệu : rank x fhayr x (f) la hang cla df x tức là : 0 =0 r x, (f = r(df x,) 3.1.2 Nhận xét quan trọng :

a) Nếu f:U -+ R”(Uc R`) khả vi tại xạ e U thì đf x„ là duy nhất

Ma trận của df x, : R* -> R” trong cặp cơ sở chính tắc sẽ được kí hiệu

bởi: f*(xu) và gọi là ma trận Jacobi của f tại xạ Như vậy , (xạ) là một ma trận

thực mxn

Đặc biệt khi m =n, f(xạ) là ma trận vuông cấp n Định thức det f(x›)

sẽ được gọi là định thức hàm Jacobi hay Jacobien của f tại xạ , kí hiệu JÁxạ)

Trang 11

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

hị — Nếu f khả vi trên U thì tổn tại df, , Vx e U, do đó thu được ánh xạ df: U — Hom(R", R™) = Mat(m,n;R) =R™

xe df, 2@ f(x)

goi là vi phân của f trên U

Nếu df khả vi trên U thì vi phân của df sẽ kí hiệu là d”f và ma trận Jacobi của df tại x sẽ kí hiệu là : F*(x) hay f?(x) và tương tự cho các vi phân cấp cao hơn Nếu tổn tại dẺf liên tục (k 2 1) thi ta bao f kha vi lớp C* Khi f liên tục thì ta cũng bảo f khả vi lớp C° Nếu tổn tại d*f, Vk e N thì f gọi là khả vi lớp C”, hay còn gọi là ánh xạ frơn trên U

a) Gia st f: U + R, U md chifa trong R va Xx» € U khi đó f kha vi tai Xp khi và chỉ khi f có đạo hàm hữu hạn tai xy

Hơn nữa , ma trận Jacobi f'(xụ) của f tại xẹ chính là đạo hàm của tại Xọ

Còn vi phân df x„ : R => R chính là ánh xạ tuyến tính cho bởi phép nhân với

f'(x„)

3.1.3 Vi phôi :

Giả sử f: U ——> V ; U,Vmởtrong R"

Nếu f và f' đều khả vi lớp c* thì f được gọi là vi phôi lớp C*

Vi phôi lớp C” là vi phôi trơn

Cho f: U — R”, U mở trong R°, xạ thuộc U

Ta bảo f vi phôi trơn địa phương tại xọ nếu tổn tại lân cận Uy cla xạ sao

cho :

f| „„ : Uạ — f(Uạ) là vi phôi trơn

3.2 Các tính chất cơ bản đầu tiên của ánh xạ khả vi :

3.2.1 Giả sử f: U ->› R”" U chứa trong R" g:V > R? V chifa trong R™

Trang 12

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ 3.2.2.Chof,g:U =R,UCR" Nếu f, g khả vi tại xạ eU thì f+g ; f.g kha vi tai xụ và : d(f+g) x, = df x, + dg x, d(f.g) x, = g(X») dfx, + f(x») dg x, ( qui tắc Leibnitz ) Néu g(x) # 0, ¥x e U thi kha vi tai xạ và af £) xo = g(x, dfx, - f(x, dex, g (e(x,)} Nếu f, g khả vi trên U thì f + g ; f.g khả vi trên U và : d(f + g) = df + dg d(f.g) = fdg + gdf Nếu thêm g(x) « 0, Vx e U thì ề khả vi trên Ú và 49) = ¬ e _ e

3.2.3 Cho f = (f', f"):U + R™(U mé chifa R")

Nếu f khả vi trên U thì tổn tại đạo hàm riêng ¬0,YxeU ,Vi=lm,

j=ln

Điều ngược lại chỉ đúngkhi đạo hàm riêng ox) tồn tại và liên tục , khi

F(x)= ¬r0 l <i<m; l<sj<n

Nói riêng f: U —› R (m = I) thì f khả vi trên U khi và chỉ khi tổn tại đạo hàm riêng Sị trên U, j= Ln va f(x) = & (eon oC] ,xeU ox! ax"

Lúc này f'{x) gọi là gradien của f tại x Ký hiệu grad f,, x eU

Trang 13

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

§4 TRƯỜNG VECTƠ - TRƯỜNG MỤC TIỂU

4.1 Không gian tiếp xúc , phân thớ tiếp xúc :

4.1.1 Mỗi x„ thuộc R°, tập R”x_ = (x,}x R” được gọi là không gian tiếp xúc với R” tại x„ Có thể hình dung R°x_ là tập các vectơ của R° đặt tại gốc x„ Mỗi phần tử (x,„x) thuộc R”x_ sẽ được viết đơn giản là xx, Cấu trúc không gian

tuyến tính , affine , Euclide trên R”x_ được xác định mộ cách tự nhiên nhờ R" Cu thé : Xx +Y¥x = (X+y)x, (AXx (AX) x Xx,Yx,=XY=y-X Cơ sở {€tx,.,- €ax¿ } của R”x_ cũng gọi là cơ sở chính tắc

4.1.2 Giả sử U mở trong R°, x„ thuộc U

Khi đó R”x_ cũng gọi là không gian tiếp xúc với U tại X„

4.1.3 TậpTU= |j R*x, =U xR° gọi là phân thở tiếp xúc trên U

x €U

Lit ¥ rdng : TU = UxR" Cc R°xR" = R™ va TU md trong R™.Do 46 c6 thé ndi

đến tính liên tục, khả vi, trơn của các 4nh xa TU > R” và U'—> TU(U' là tập con của R`)

4.2 Trường vectd:

Cho U là tập mở trong R°, TU = U x R” là phân thớ tiếp xúc trên U

a) Anh xạ trơn: X:U > TU

x X(x) e R°”x gọi là trường vectơ trên U

Trang 14

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU Ky higu “# (U) ={ f: U->RÌ f trơn }, ta có thể xét phép nhân ngoài một phần tử của với một trường vectơ như sau :

-#(U) x X(U) > X(U) (f, X) > fX định nghĩa : (ÍX)x = Í(x).Xx ,xeUÚ và ta có: f(X+Y)=fX +fY (f+g)X = fX + gX (f.g)X = f(gX) = g(fX) lụX = X ởđđó: lụ:U-+R x>le R,Vxe R là hàm hằng trên U nhận giá trị hằng là số thực I

Ta bảo rằng X (U)là một 7 (U) _modun Ngoài ra trên X (U) còn có tích vô hướng sau :

(e,s): X (U)x X (U) — “#(U)

(X,Y) + (X,Y)

Dinh nghia :(X, Y\x) =(Xx,Yx),xeU

Trang 15

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LÊ ANH VŨ

ở a ° Ở

X=X—+ +X" Ox' + ox" =) 2 X'— Ôx'

Ta bảo : ng là cơ sở của -(U)_modun X(U)

Ox ox" 4.3 Trường mục tiêu :

Cho U là tập mở trong R°

Một tương ứng # đặt mỗi x thuộc U với một mục tiêu affine xác định :

(x:E;(X), , £;(x)} của không gian affine R” gốc x, cơ sở nền {£¡(X), ea(X)}

gọi là một trường mục tiêu trên U Tùy vào mục tiêu đó trực giao (hay trực

chuẩn) mà cũng được gọi là trương mục tiêu trực giao (hay trực chuẩn)

Có thể xem là tương ứng đặt mỗi x thuộc U với cơ sở {£;(X)x „ £z(X)x } của R”x_, hoặc cơ sở {£¡(x), ea(x)} của không gian vectơ R°.,

Goi T(x) là ma trận chuyển cơ sở từ {e(X)x €,(x)x }sang cơ sở

{£Ei(X)x „ Es(X)x } giả sử T(x) = ((X))a„„, xe U, tức là :

E(x), => 0e,@), ,Ì<j<n,xeU

Khi đó ta thu được n” hàm : tỷ: U->R; x E> t) (x), 1s i,j < n trên U ,gọi là các

hàm thành phần của R

Trường mục tiêu & gọi là trơn nếu các hàm thành phẩn t' của nó trơn Từ

nay ta chỉ xét các trường mục tiêu trơn và chỉ gọi đơn giản là trường mục tiêu

4.4 Ánh xạ cam sinh :

Cho U là tập mở trong R”, ánh xạ trơn f: U —> R”,

Với mỗi x, thuộc U, f cảm sinh ra ánh xạ tuyến tính

fÍx,:R°x, >R”f((x,)

cho bởi : fÍ x,(xx,)=(đfx ())f(,)

Để đơn giản ta thường chỉ viết f” thay cho fÏ x_ với mọi xạ thuộc U

Trang 16

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VO

§5 TẬP ĐƠN LIÊN TRONG R"

5.1 Định nghĩa khái niệm đường cong liên tục và đóng : Ảnh xạ c : L= [a;b] —> U cR* gọi là đường cong trên U Cho đường cong trên R" , c : 1 > R", c được gọi là đường cong liên tục và đóng nếu c(a) = c(b) “ + ` ~ ` - - oe ` - of ` = - -“ ¬x - "< >

5.2 Định nghĩa đường cong đóng, co rút được :

Cho c : I —> R° là một đường cong đóng, c(a) = c(b )=M

Trang 17

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

t F,(t)

là đường cong hằng tại điểm M

¡0 F¿(U = cít) ,V ¡ e I (tức là c = F¡ : I—> R biến mỗi t thuộc I thành F¡(t))

lii) F(a) = F(b) =M.,Vse [0:1]

Š.3, Đơn liên (*):

Tập con D trong R° gọi là một tập đơn liên nếu mọi đường cong đóng trong nó đều co rút được Tức là trên D không chứa một lỗ trống nào

PD

Tập đơn liên Tập không đơn liên

Trang 18

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP - GVHD : TS LE ANH VŨ

Chương II :

ĐƯỜNG TRONG R"

Trong chương này , chúng ta sẽ tìm hiểu môi số định nghĩa vẻ lý thuyết

đường trong R°* Phần này sẽ trình bày lại một cách tổng quát và cuo hưn việc

cho trước đường trong R” và tính các độ cong kị,kạ, k„., như đã học ở học kỳ |

năm thứ ba Tuy nhiên điều ngược lại liệu có xảy ra, đó là nội dung chính của "định lý cơ bản về lý thuyết đường” sẽ được trình bày trong chương này

§1 ĐƯỜNG TRONG R",

1.1 Định nghĩa:

Cho / là một khoảng mở trong R

Anh xạ c : / —= R° là đường tham số hoá trong R”° thuộc lớp C”

c được gọi là chính qui nếu với mỗi r e / thì ¿()# 0 ( ¿:lấy đạo hàm theo t)

* Vhận xét :

e Nếu / không là khoảng mở thì :c thuộc lớp C” khi tổn tại khoảng mở /ˆ chứa / và ánh xa c°: / * — R* thuộc lớp C” sao cho c:= c Ì;

e Gid tris € / được gọi là tham số của c

e Không gian tiếp xúc R, =T, R của R tại:, e / có cơ sở chính tắc là:

I=(r„„ 1) Đôi khi ta viết _ thay cho („1) = 1

e Nếuc:/ + R” là một đường tham số hoá, vectơ đc, (1) e Tụụ, JR° được

định nghĩa tốt

Vil eft) = c(t„) =đe, _ (LJ( t - t„) Í= o( t— t„) nên ta có :

dc, (l1) = Lim =) = ¢(t,)goi la dao ham của hàm giá trị thực trong

“ jot {=

R" cua c(t) tait, € 7

1.2 Định nghĩa trường vectơ :

1.2.1 Trường vectơ dọc theo c : / — R° là ánh xạ khả vị X :/ +» R”

Trang 19

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

Vectơ X(), giá trịcủa X tại r, tổn tai trong R" ( đã được đồng nhất với T, R°) 1.2.2 Trường vectơ tiếp xúc với c : / —> R* là trường vectd doc theo

c :Í => R” biến mỗi t thuộc / thành ¿() 1.3 Đường trong R”:

1.3.1 Phép đổi tham số:

Cho 7 và 7là hai khoảng trên R Anh xạ ở: 7 gọi là phép đổi tham số

nếu øvi phôi 7 lên / và ø đơn điệu tăng

I.3.2 Các đường tương đương:

Choc:/ > R"

c7 R"

là hai đường trong R° thuộc lớp C`,

Ta bảo c~ £nếu tổn tại một phép đổi tham số ó: Ÿ —> / sao cho ế =ccớ RO rang “~ là quan hệ tương đương

Anh xạ ø được gọi là bảo toàn hướng nếu >0,

!.3.3 Nhận xét:

Cho c= £ ta cóc chính qui khi và chỉ khi £ chính qui 1.3.4 Định nghĩa đường trong R”:

Lớp tương đương các đường tham số hoá lớp C* trong R" gọi là đường lớp

C* trong R"

Đường gọi là chính qui nếu một ( do đó tất cả) đường tham số hoá thuộc nó

chính qui

Đường chứa đường tham số hoá c : / => R” ký hiệu là c

1.4 Tham số tự nhiên _ độ dài của đường: 1.4.1 Tham số tự nhiên:

Trang 20

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU Cho c : 7 => R” là đường tham số hoá khả vị Công thức tính độ dài của c :

Lie) = fleinjde

DO dai cung tif eft;) dn cft)) cla c duve ký hiệu bởi

L,*(c)= fleck

1.4.3 Ménh đề (về tham số hoá tự nhiên đường chính qui):

Mọi đường cong chính qui c: / -> R° có thể được tham số hóa bởi tham số

Trang 21

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU 1.5 Vidu: 1.5.1 Đường thẳng : Cho c(t) =tv + V, ; te R;v.v, eR" Tacé :c(t)=v c)z0 & ve

Vậy đường cong c(t) = tv + v, la chinh qui khi va chi khi v # 0 Trong

trường hợp này , nó là đường thẳng

1.5.2 Đường tròn và đường xoắn ốc :

Cho c(t) = ( acost, asint, bt); a,bte R a+b’ #0)

Khi b=0, c(t) là đường tròn có bán kính bang a

Khi a =0, c(t) là đường thẳng

Trong trường hợp chung ; c(t) là đường xoắn ốc

Xét ¿(t)= (-asint , acost „b ), ta thấy e(t)# 0, ¥a,b,te R a+b +0

Trang 22

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU

§2 TRUONG MUC TIEU FRENET

Mục này sơ bộ nghiên cứu trường mục tiêu Frenet đối với đường trong không gian R” 2.1 Định nghĩa trường mục tiêu : Choc:/—> R* ¡) Trường mục tiêu n chiều dọc theo c là tập hợp của n ánh xa khả vi: e:Ï->R”,l<¡<n sao cho: th fa Yrel:e(t).e(gy= 0 khi r# / Mỗi e/() là một trường vectơ dọc theo e và e; (t) được xem là một vcctơ trong TR"

¡) Trường mục tiêu n chiều được gọi là đrường mực tiêu Frenet n chiều hay

đơn giản hơn là : trường mục tiêu Frenet nếu :

Với mọi k e [ I;n ] ,đạo hàm cấp k của c(¡) tổn tại trong không gian xinh

bởi ể,(1), e;(!}, .e(t)

2.2 Mệnh để : (sự tồn tại và duy nhất của trường mục tiêu Frenet) :

Cho đường cong c :/ => R” sao cho với mọi t thuộc /, các vectơ : ¿(),c2'0), c®*"œ) độc lập tuyến tính

Khi đó tồn tại duy nhất trường mục tiêu Frenet có các tính chất sau :

i) Với Ì <k <n-l thì ¿(f), c'“' và e,(U), e,(0) có cùng sự định hướng

ti) et) , edt) c6 sự định hướng dương.Mục tiêu này gọi là trường mục tiêu

Erenet được đánh dấu

*Vhận xét :

Nhắc lại : hai cơ sở trong không gian vectơ thực có cùng sự định hướng

thì phép biến đối tuyến tính từ cơ sở này sang cơ sở khác có định thức dương

Một cơ sở trong R° được định hướng dương nếu nó có cùng sự định

hướng với cơ sở chính tắc của R"

Chứng minh :

Ta dùng phương pháp trực giao hóa Gram_Smith

Giả thiết : e(r),e(), c'"”'œ) độc lập tuyến tính , tạ suy ra được : c1 #0

Trang 23

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

tt)

Dat ate (to 2 ler (1) |

Thưo phương pháp trực giao hóa Gram Smith:

Trang 24

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU § 3 PHƯƠNG TRÌNH FRENET 3.1.Mệnh đề: Cho eft), re ƒ là một đường cong cùng với trường mục tiêu e//).| < / š n, rel Khi đó ta có những phương trình vi phần sau : cu) = > a@,(the,(t) é (= Sow, (te, ()) trong 46: @, (1) = é (le (1) = -@ (0) (*) Nếu (e/¿)) là trường mục tiêu Frenet được đánh dấu đã định nghĩa trong (2.3) thi: œ(0)=|¿)| ,œ,đ)=0 với ¿ > Ì "` (**) @, (1) =0 với j>i+] Chứng mình : Dat w, = eft).e (1)

Ta có : °6)5,0)=| sông VỀ HIẾN 0 khi ¿# j

Suy ra: ẻ,(f).e,(f)+e,(r),()=0

= é,(t).e,(t) =-é (t).e, (1)

= @, (1) =0,

Vậy (*) đã được chứng minh

Trang 25

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD TS LE ANH VU

nén e{t) biéu dién tuyén tinh qua e"'(1)

é& (1) được biểu diễn tuyến tính qua c) và c"*“() mà định nghĩa (2 ) nói rằng :

o*“1) 1a tổ hợp tuyến tính của e,(1) ez(f) e1)

nên e,(r) là tổ hợp tuyến tính của e,(1), e4!), e,„,(1) Do đó: e0)= 3ø (0)e£,0) trong đó : ø (=0 khiy > s+, Vậy (**) đã được chứng minh * Nhận vét : Nếu ø/) là họ các ma trận @/f), l< ¡,j<n, một tham số, ta có thể viết n phương trình : ¿(0= 3 @„()£,(0, l<¡<n thành = ef) = ø@()e(r) trong đó e(L) là ma tran ma méi hang Ia cic vectd eft) Do wt) = - wt)

nên : wild ma tran d6i xứng lệch

Trang 26

LƯẬN VĂN TỐT NGHIỆP — | 0) (0,› &),, ty ‘ w@,, =6); 0 ,, (U (0.„ uo ~(@,„ ' “(5.5 “@ , <n () Ons HH w,,, 1 @,,, ” (by, * (9, to 0) 4 GVHD : TS LE ANH VU Mãt khác ¿2/(7) = 0 khi >i nén ma tran wird thanh ; — ¬ 0 a, OO () 0) —0\; () (2y () () w= () () Ủ 4š :Ð a | 0 0) G0 an -w,, UF | 3.2 Ménh dé:

¡) Cho đường tham số hoá c : ƒ - R* và B : R” —› R° là một phép đắng cự của R” _ mà các thành phần trực giao của R là R

Cho ế =Bsc :/ — R" va (e(0),là trường mục tiêu dọc theo c

Khi đó :(£,(0)):= (Re,(0)),¿= Im là trường mục tiêu dọc theo @

Nếu @, (1) là hệ số của phương trình frenet liên lết với Z , Z,(z) thì : ứ) =|ldŒ|} và ð,Œ)=ø, ¡¡) Cho các đường tham số hóa trong R° : c:i OP Z:J->R" liên hệ với nhau bởi phép đổi tham số bảo toàn hướng ø (nói cách khác “C=co Ó với #' > 0)

Cho #0), ¡ = l,n ,là trường mục tiêu dọc c

Khi đó: (e (s))= (e, số(š)),! = l,n là trường mục tiêu dọc &

Nếu Z(s) z () thì:

Trang 27

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LẼ ANH VŨ (,(s) _ £2,(Ø(S)) (sl eos) Chứng minh: itacd: F)=Bec(s) = F(t) = R.c(t) = Êu|=|R.ct)| = |eứ| Ta có: ð„()=ẽ0).£,(0) = Ré (1).Re (1) =é€(1).e (1) (do R bảo tồn tích vơ hướng) =, (1) it) Ta cG: @,,(8) z'() é (s) =ẽ ($) f(s) * |fG) e (Ø(s)) = ¿ (6(9)).Ø (1).————————— a lc(ø(s)).ø (x) : ó (5) =ẻ,(6(s)).£,(@(š)).—————~— £ ø lc(#(s))|ø (s) _ ®,(6(3)) |lc(@(s))| ` 3.3 Định nghĩa:

Cho c : ƒ —> R" là đường tham số hóa khả vi thỏa mãn điều liện của mệnh dé (2.2), xét trường mục tiêu Frenet chính tắc của nó

Độ cong thứ 7 của c là một hàm :

(0,,„(t) tin

0 —-

Trang 28

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU - —- 0 kẻ 0 „0 0 -k, O kw OO = |eứ)| 0 0 eK ow @ ke 0 0 0 ek 0 chúng ta chỉ có thể định nghĩa k, củatham số hố khả vị khơng suy hiến điều kiện (2.2) 3.4 Mệnh đề:

Trang 29

LUẬN VẤN TỐT NGHIỆP " GVHD : TS LE ANH VŨ

*Nhdn xét :

Những hàm độ cong này mang ý nghĩa đặc trưng cho đường Trong trường hợp đặc biệt :

en= 2.Ta có c:/— RỶ là đường phẳng trên đó ta xác định được duy nhất

mot ham d6 cong k

Ý nghĩa cơ học của độ cong : k đặc trưng cho vận tốc quay ue thei cua

trưởnw mục tiêu Frenet,

Ý nghĩa hình học của đô cong :độ cong càng lớn thì dường càng không

thang

en =3 Ta c6 c:/—RỶ là đường ghẻnh , trên đó ta xác định được hai hàm đô

cùng Kị ,kạ còn gọi là độ cong và độ xoắn

Y nghĩa cơ học của độ xoắn :

|k,(s)|= ‘s = đ(s) đặc trưng cho vận tốc nghiêng tức thời của mặt phẳng mật tiếp Ws)

Độ nghiêng càng lớn đường càng ghẻnh trong không gian Độ nghiêng bằng

Trang 30

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS, LE ANH VU §4.DINH LY CO BAN VE LY THUYET DUONG Ta nhận thấy rằng: Cho đường tham số hóa khả vị lớp CÝ : c :/ => R° chính quy với điều kiện: ¿(t),€(t), c®w) độc lập tuyến tính thì ta tìm được (n -L) hàm độ cong k,(Q),kạ(U), ,k„.,(U trong đó k/(()>0 Vi=l,2 n-2

Điều ngược lại : liệu cho trước (n-l) hàm khả vì kạ(, kạ(t} k„.;(U thỏa một số điều kiện cho trước , ta có thể nào m được đường cong tham số hóa khả vi c nhận k,(s) làm độ cong thứ ¿ hay không ?

Câu trả lời ở định lý sau:

Định lý cơ bản về lý thuyết đường:

Ciiả sử k,(s), ka(s), , Kạ.,(s) là các hàm khả vị xác định tại môi lần cận (-£,+£) của 0e R với k(s) >0, V izl 2 n-2.Khi đó:

(i) — Tổn tại đường cong tham số hóa khả vi c :l @ R" (Qe 1) sao cho: + le(s=1

+ {(s),&(s), ,c°°"(s)}ddc lap tuyén tinh ,s € I, sao cho:

k (s),k,(s), , kK, ,(s)l& cdc d6cong cia e

(ji) Néu3@:/-—> R" (Oe J) cé tinh chất như c thì tổn tại B :R" -> R° la phép dang cy sao cho: € = Bee

Trang 31

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VU

X'(s} = A(s).X(s)

X(0) =1d

với: X(s) : là hàm giá trị ma trận cấp nxn

Id : là ma trận đơn vị cấp nxn

theo các định lý về lý thuyết phương trình ví phân tổn tại nghiệm X(s) của

phương trình xác đình trong lân can (-¢,+€) cla Ve R

Vì A(s) là ma trận phắn đối xứng nên: (|[X(s)J'.X(s))' = [A(s).X(s)[.X(s) + |X(s)J'.A(š).X(š) =[X(@s)['.|A(s)J!.X(s) + [X(s)]'.A(s).X(s) = Ú, Như thế : [X(s)]'.X(s) là ma trận hằng mà: = ({X(0)}.X(0) = ld nên: ([X(s)Ƒ.X(s)) z ld Do đó X(s) là ma trận trực giao Đặt T(s) là cột thứ nhất của X(s) và đặt:

e(s)= [reat sel

Ta có thể kiém tra | cach true tiép ring c(s) la một đường cong vận tốc đơn vị

với trường mục tiêu Frenet chính tắc chính là X(s) và các hàm độ cong của nó là : ka(s), kạ.;(s) Thật vậy: c(s) = T(s) # Ú vì X(s)là ma trận vuông cấp n nên c(s) là chính qui (i)Giảsử c:l => R° £:I>R"

là 2 đường cong thỏa mãn điều kiện (¡)

Gọi (e,(s)) và (ẽ,(s)) là trường mục tiêu của c và £ (i = l, 2, , n).Do c và ẽ

đều có các hàm độ cong thứ ¡ là k/(s) (¡ = l , 2, n) nên:

l(sJ=@œJ (œ9)

Ta chứng mình được rằng : tổn tại duy nhất một phép dang cu : B :R" > R"

sao cho : Z = Boc

Trang 32

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ

nite la ta có thể suy ra : Øjj{S) = Øjj (S) „ Vij=l,n

Ta lại có : &j(s) = 2Øjj(š) j(S) = > wij (se js) (1) J J Mat khác : Èị(S)= Ö Ø¡j(S)€ j(5) j = Rej(s)= RY’ @ij(s)e j(s) = > wij (s)Re j(s) (2) J J Từ (l)và (2)suy raẽ(s)và Re¡(s)là nghiệm của hệ phương trình vì phân tuyến tính Mà : Re¡(s¿)= ẽ(sạ) cho nên : Re¡ (S) = ẽ(s) Vsel Đặc biệt: c(s)=lé(s)lej(s) = R(s)=lẻ(s)l Re¡(s)=lẾ(s)lẽ1 (s)= ế(s) § § Dođó: Bc(s)-Bc(s¿)= [Re( dt = feat = ¢(s)-&(S,) S, § suy ra: Bc(s) = ế(s)

Vậy tổn tại phép đẳng cự tuyến tính như (*) để £ = Bee

Bây giờ , ta sẽ chứng minh B là duy nhất Thật vậy : Giả sử 3 B' là phép đẳng cự : £ = B°c khi đó , B' biến trường mục tiêu Frenet được đánh dấu của c thành é (hay nói cách khác B và B' có cùng thành phần trực giao) Ngoài ra : B'se (Sạ) = £(Sụ) nên B và B' có cùng thành phần tịnh tiến Vậy B =B

Kết luận - ta luôn xác định được duy nhất một phép dang cy B :R" > R" bién c

thành ẽ hay nói cách khác đường cong c(s) tìm được ở (¡) là duy nhất (theo

nghĩa sai khác một đẳng cự)

Trang 33

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU

Bai tap ap dung:

Bài 1: Cho x(s) = l/a

Trang 34

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS LE ANH VŨ tu š pl Tương tự : X; =c, Xi SẺ SMS vs: lẾ ° i + =*CŒ, SIN—+C; COS—= ? 2 a § 18 so way C,COS— +C;ÑIn— C¡€0S—+€; SỈn— Vậy: X(s)= ae : ` $ _., ` ạ ie -c,sin—+e,cos— -c,'sin—+c¢,'cos— a a a a ma X(O)=Idchonén: c, =] cạ= c,=0 c; =l ` CA —= cột thứnhất của X(s) là : T(s)= „ -sin— a Đặt: c(s)= [Tw de u Xét c,(s)= Ícos~ dt =sin~ ; a a C;(s)= fsin + dt = ~cos +1 5 | a a Vậy đường cong c(s) được xác định như sau : c(s) =(c,(s),c¢,(s))=(sin TS cos~ +1 ) a a

Bài 2: Cho K,(s) = a/(a'+b”) ; ka(s) = b/( a+b’)

Tìm đường cong vận tốc đơn vị c(s) nhận k,(s} k;(s) làm độ cong thứ nhất và

độ cong thứ hai Giải

Ta có hàm giá trị ma trận s => À(s) với;

Trang 35

LUẬN VĂN TỐT NGHIÊP GVHD: TS LE ANH VU 0) : (0) a +h ie] a +b" HD uo +b —— () ~ b : () a +h“

xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: X'(x)=A(x).X(s) với mà trận :

Trang 36

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP + Fale GVHD: TS LE ANH VU ¢, SiN ————— - C; COS—==———— V2 +b? TẠI me sos +b? vn Ta có: y,=- X, + xì a’ a+b ee | i i a : da '+b ` vVa?+bh` Va? +b] Ja? +b? Ny 4 s 5 -i

= (a? eb? data be Canh

_ b` Ệ sin : ~C con pote |e e

Trang 37

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU a : s y,(s)=—- SID—=———== đa: +b ` Va’ +b? ah s ab Z{s)=- = COS +— -

a+b’ Ja? +h a+b

Trang 38

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LE ANH VU Chương IH LÝ THUYẾT MẶT TRONG R° §1 MẶT TRONG R? 1.1 Thuật ngữ và ký hiệu Ta qui ước: “Khả vi lớp C”” là khả vi U là tập mở trong R

u là điểm thuộc U và viết w = (w”,uˆ) đôi khi viết (u, v) là điểm thuộc U

Ánh xạ khả vi ƒ:U —> RỶ sao cho đƒ„ :7„R—> 7„RỶ là đơn ánh với mọi

u thuộc Ú gọi là chính qui

Không gian vectơ hai chiểu đƒ,„( R?) được gọi là không gian tiếp xúc của ƒtại u Ký hiệu T,f Phần tử của 7„/ được gọi là vectơ tiếp xúc của ƒ tại u * Nhận xét: Cơ sở tự nhiên e; =(1,0);ea =(0,1) của T„ R z RỶ qua 4nh xa df, trở thành cơ sở T,ƒ safe ab By f 1,2

Ta viét: Muley) = (us ue"); dfule2) = — 5 (u ue)

hoặc đơn giản: df,(e;) = ful: df,,(e>) = fu? Với ư =(uÏ u2) những vectơ cơ sở

này của Taf ST pug) R = RỶ bằng với dao ham riêng bậc nhất của ƒ tai

(ul uz)

Trang 39

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS LÊ ANH VŨ Ta có: |flu)~ ffu,,)- đu, (á - ạ) = 0(u - ư„ ) nên: lim: 29) 4í, (10|~ø va u=(uÏ,MỄ); tạ =(MẠ,M2) u =>u,| 4 -uUy, do đó; dfy, (1,0)= df, ¢; = Xu ) tương tự, ta có: đƒ„ (0,1) = Ful ud) Ou 1.2 Mặt tham số hóa

Ánh xạ khả vi chính qui ƒ: U-> R là mặt tham số hóa trong RỶ Các

Trang 40

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: TS LE ANH VU

Ta hảo ƒtượng đương với / ky hiệu / - / nếu tồn tại phép đổi tham số đ V +»L sau chủ Ỉ = fd « Nhan xeét: Quan he ~ la quan he tuday diving, 1.3.3 Mặt trong RÌ oe \ ; -

SL lớp tướng đương các mát tham so hoa ong R gọi là mát (không

tham so head trong RỶ

1.4 Trưởng veclơ trên mặt

frum vecty doi Ƒ =|ƒ c + RẺ) là ánh xa khá vị X :U — RỲ,

[rưởng vectd X dục theo / nhận gi trị trong không giản tiếp xúc của RÌ thu hep lén mặt /, tức là: Xe Fgh Xót ánhxạ: Ä:U->TRỲ ur (flu), X(u)) X rõ ràng là ánh xạ khả vi cho / ta có thể xác định rõ ánh xạ X Ngược lại: cho trường vectd X dọc theo ánh xa ƒ/, ta luôn xác định được ánh xạ X

Một trường vectø X dọc theo / U RÌ gọi là:

trường vectơ tiếp xúc nếu (f(u), X(u)) eT„ƒƑ._ Vu U

trường vectơ pháp tuyến nếu (ffu), X(u)) e Tạ„RỶ trực giao với Tf voi

moru thude U

* Vhận xét:

l pfu), J2 (w) là trường vect+ tiếp xúc dọc ƒ, còn gọi là trường vectØ tọa độ

Trường vectd f slurs f: ¿002 gọi là trường vectơ pháp tuyến dọc theo /,

Cả bà £ /(), f xí); f ru + f xíu) đều khả vì

1 “ a (í