Nghiên cứu định lí không gian con schmidt trên trường số, trường hàm đại số và định lý cơ bản thứ hai đối với họ các siêu mặt

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học uy tín nước Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh: Lê Giang ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành với giúp đỡ ủng hộ nhiều người Với lịng biết ơn chân thành nhất, tơi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất ủng hộ giúp đỡ tơi hồn thành luận án Trên hết muốn gửi lời biết ơn chân thành tới hai người Thầy hướng dẫn GS Đỗ Đức Thái GS Gerd Dethloff, người hết lòng giúp đỡ, động viên bảo từ bước công việc cuối luận án Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trường Đại học Tổng hợp Brest (Cộng hịa Pháp) giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi mà hai Trường dành cho Đặc biệt Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi mà học tập, công tác Tôi bày tỏ biết ơn chân thành đến Cục đào tạo với nước (Đề án 911) giúp đỡ ủng hộ tơi hồn thành luận án Tơi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, đồng nghiệp Khoa đồng nghiệp seminar nghiên cứu Hình học phức Hình học đại số giúp đỡ nhiều suốt q trình làm luận án Cuối tơi muốn bày tỏ biết ơn tới gia đình tơi, người bên tôi, động viên chia sẻ với vất vả khó khăn q trình hồn thành luận án Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Tổng quan Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di động 1.1 Một số khái niệm hình học đại số hình học Diophantine 12 1.2 Các kiến thức chuẩn bị 16 1.3 Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di động 18 1.3.1 Một vài bổ đề 18 1.3.2 Chứng minh Định lí 1.0.1 23 Dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt 35 2.1 Độ cao xoắn 39 2.2 Một vài ước lượng độ cao 42 2.3 Chứng minh Định lí 2.0.9 44 Dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt trường hàm 58 3.1 Các khái niệm kí hiệu iii 61 iv 3.2 Cách chọn tắc đa thức xác định X từ dạng Chow đa tạp X 62 3.3 Một vài kết hiệu 64 3.4 Chứng minh định lí 3.0.8 74 Định lí thứ hai 83 4.1 Khái niệm vài kết từ lí thuyết Nevanlinna 85 4.2 Cắt bội cụ thể định lí thứ hai suy biến 87 4.2.1 Một vài bổ đề 87 4.2.2 Chứng minh định lí 4.0.2 88 Kết luận kiến nghị 95 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 96 Tài liệu tham khảo 97 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình Diophantine hệ phương trình giải tập số nguyên Z, tập số hữu tỉ Q, tổng quát vành hữu hạn sinh Z trường hữu hạn sinh Q Hình học Diophantine nghiên cứu phương trình Diophantine thơng qua ngơn ngữ phương pháp hình học đại số trường khơng đóng đại số K Trong đó, lí thuyết Nevanlinna khảo sát tính chất đường cong chỉnh hình đa tạp đại số C Lí thuyết Nevanlinna hình học Diophantine phát triển độc lập với qua vài thập kỉ Tuy nhiên, thời gian gần đây, Osgood (xem [53, 54]), P Vojta (xem [77, 83]), Serge Lang (xem [35, 37]) số người khác phát có tương đồng đặc biệt hai đối tượng Ví dụ đường cong chỉnh hình khác đa tạp đại số tương ứng với tập vô hạn điểm hữu tỉ Vojta đưa từ điển tương ứng Thơng qua từ điển đó, số định lí lí thuyết Nevanlinna chuyển thành kết hình học Diophantine Sự hiểu biết mối liên hệ hai vấn đề vòng 30 năm qua dẫn đến bước phát triển vượt bậc hai lĩnh vực Nhiều giả thuyết đặt vài chục năm trước giải Các kết thường chứng minh lí thuyết Nevanlinna sau chuyển sang dạng tương ứng chúng hình học Diophantine Mặc dù việc chuyển sang mệnh đề tương ứng việc làm hoàn toàn hình thức, chứng minh chúng khơng hồn tồn Trong lí thuyết Nevanlinna, có khái niệm đạo hàm ánh xạ chỉnh hình Khái niệm công cụ đặc biệt quan trọng chứng minh Tuy nhiên, người ta chưa thể xây dựng khái niệm tương tự lí thuyết số Trong thời gian gần đây, kết lí thuyết số áp dụng định lí không gian Schmidt dẫn đến kết tương tự lí thuyết Nevanlinna Khi nghiên cứu trường hàm đại số, ta thấy hình học Diophantine lí thuyết Nevanlinna có liên quan mật thiết với Ta thấy trường hàm đại số có nhiều tính chất số học trường số Mặt khác, nhiều kĩ thuật lí thuyết Nevanlinna áp dụng cho trường hàm đại số kết thu thường dạng hiệu nghĩa số liên quan tính tốn cách hiệu qua trình chứng minh Luận án nhằm nghiên cứu mối liên hệ lí thuyết Nevanlinna hình học Diophantine đặc biệt tập trung vào định lí khơng gian Schmidt trường số trường hàm định lí thứ hai Luận án bao gồm chương Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu định lí khơng gian Schmidt trường số, trường hàm đại số định lí thứ hai họ siêu mặt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án mối quan hệ sâu sắc lí thuyết phân bố giá trị hình học Diophantine đặc biệt định lí khơng gian Schmidt trường số trường hàm định lí thứ hai Trong luận án, kết đạt mở rộng kết đạt gần Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp nghiên cứu Lý thuyết phân bố giá trị, Hình học Diophantine, Hình học phức đồng thời chúng tơi đưa kĩ thuật để giải vấn đề Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án chia thành bốn chương Chương dành cho việc nghiên cứu định lí khơng gian Schmidt trường số mục tiêu di động Cụ thể sau giới thiệu lại khái niệm kết hình học Diophantine, kết đạt từ trước đến việc nghiên cứu vấn đề này, chứng minh định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu họ siêu mặt di động không gian xạ ảnh Kết tổng quát hóa kết Ru-Vojta (xem [59]) Chương dành cho việc nghiên cứu dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Sau nhắc lại kết quan trọng thu từ trước đến nay, chứng minh dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt cho họ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an đa thức với nghiệm đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tổng quát trường hợp nghiên cứu Evertse-Ferretti (xem [22]) Trong chương 3, giới thiệu dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt trường hàm Cụ thể mở rộng kết trước đến trường hợp đa tạp xạ ảnh họ siêu mặt vị trí tổng quát Trong chương cuối luận án, chúng tơi nghiên cứu định lí thứ hai lí thuyết phân bố giá trị Cụ thể sau nhắc lại khái niệm lí thuyết này, chúng tơi cải tiến kết đạt gần Chen- Ru-Yan (xem [12]) việc đưa cắt bội cụ thể cho định lí thứ hai suy biến ba tác giả Cấu trúc luận án Bố cục luận án phần mở đầu phần phụ lục gồm bốn chương viết theo tư tưởng kế thừa Bốn chương luận án viết dựa bốn cơng trình hai cơng trình đăng, cơng trình nhận đăng cơng trình gửi cơng bố Chương I: Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di động Chương II: Dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Chương III: Dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt Chương IV: Định lí thứ hai Nơi thực luận án Luận án thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà nội khoa Toán, trường Đại học Tổng hợp Brest, Cộng hòa Pháp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an TỔNG QUAN Ta biết định lí khơng gian Schmidt vấn đề trung tâm hình học Diophantine Vào thập kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đưa dạng định lí Trong định lí Roth nghiên cứu xấp xỉ số đại số số hữu tỉ đường thẳng thực, định lí khơng gian nghiên cứu vấn đề xấp xỉ họ siêu phẳng cho trước không gian chiều lớn xác định trường số đại số H.P Schlickewei (xem [65]) cải tiến kết W Schmidt, xấp xỉ thực đồng thời tất định giá tập hữu hạn S cho trước trường số cho trước Sau đó, Vojta (xem [79]) cải tiến kết Schlickewei việc chứng minh độc lập siêu phẳng loại trừ từ lựa chọn số thông số định Vào thập kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) Evertse-Ferretti (xem [22]) khái quát định lí không gian tới trường hợp nghiệm xét đa tạp xạ ảnh siêu mặt nằm vị trí tổng quát Gần đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) sau A Levin (xem [42]) tổng quát hóa kết họ tới trường hợp divisor nằm vị trí tổng qt Các định lí khơng gian Schmidt nhắc đến xem định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu cố định theo nghĩa siêu mặt ”mục tiêu” cố định điểm xấp xỉ di động qua vô hạn điểm Một hướng để tổng qt hóa định lí khơng gian Schmidt cho phép ”mục tiêu” di động chậm R.Nevanlinna đặt vấn đề định lí thứ hai với mục tiêu di động, tức số thay hàm phân hình gi với log T (r, gi ) = o(log T (r, f )) Ông giải trường hợp cho ba mục tiêu di động cách sử dụng biến đổi Mobius để đưa trường hợp số Trường hợp tổng quát câu hỏi mở thời gian dài Dạng yếu định lí thứ hai khơng có cắt bội chứng minh cách độc lập C.F.Osgood (xem [53, 54]) N Steinmetz (xem [75]) (xem [64] để biết thêm chi tiết) Đó động lực thúc đẩy Vojta đưa định lí Roth cho mục tiêu di động (xem [80]) Sau đó, M Ru Vojta (xem [59]) mở rộng định lí đến định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu di động Lập luận Vojta, lấy cảm hứng từ báo N Steinmetz, thu định lí đề cập hệ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an định lí khơng gian Schmidt Gần đây, Dethloff Tan (xem [15]) chứng minh định lí thứ hai cho ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số C vào Pn (C) mục tiêu di động chậm Qj ⊂ Pn (C), j = 1, , q, (q ≥ n + 2) vị trí tổng qt Mục đích chúng tơi phần luận án chứng minh dạng số học định lí Cụ thể chúng tơi chứng minh ”Định lí khơng gian Schmidt cho siêu mặt di động” Chương luận án viết dựa báo [28] Trong chương hai luận án, nghiên cứu dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt Đây cải tiến quan trọng định lí khơng gian con, ta đưa số siêu phẳng cần thiết để chứa tất nghiệm Schmidt (xem [69]) người nghiên cứu vấn đề sau J.H-Evertse (xem [19]), J.H Evertse Schlickewei (xem [21]) cải tiến kết ông việc đưa chặn tốt cho số siêu phẳng Những chặn lớn chuẩn tắc trường số K, điều cốt yếu nhiều ứng dụng Những kết tiếp tục cải tiến Evertse Ferretti (xem [23]) Năm 2008, họ (xem [22], định lí 1.3) tổng quát kết tới trường hợp bất đẳng thức với đa thức nghiệm xét đa tạp xạ ảnh n chiều PN , N ≥ n ≥ Trong chương hai luận án, mở rộng kết họ tới trường hợp tổng quát Chương viết dựa báo [30] Chương ba luận án nghiên cứu dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt trường hàm đại số với đặc số Chúng muốn lưu ý rằng, trường số chưa chứng minh dạng hiệu định lí Tuy nhiên với kĩ thuật lí thuyết Nevanlinna, ta đưa dạng hiệu vài kết quan trọng hình học Diophantine trường hàm đại số Kết áp dụng thành cơng kĩ thuật định lí ABC trường hàm (xem [43], [78], [6], [76], [48], [33]) Sau đó, dạng hiệu định lí Roth, định lí Wirsing định lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiếp tục dựa kĩ thuật Bằng cách dựa phương pháp Vojta, J.Wang chứng minh dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt cho dạng tuyến tính trường hàm đại số có đặc số [86] Trong báo [1], An Wang mở rộng kết J Wang cho dạng không Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tuyến tính Dựa công việc Evertse Ferretti [22], Ru Wang [63] tổng quát kết tới trường hợp divisors đa tạp xạ ảnh X ⊂ PM sinh siêu mặt PM trường hàm có đặc số Phương pháp chứng minh dựa chứng minh định lí tương ứng trường số Vấn đề phải làm q trình tính tốn trở nên cụ thể hiệu Như ta nói trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) Levin (xem [42], định lí 5.1) chứng minh định lí khơng gian Schmidt cho siêu mặt vị trí m- tổng quát trường số đồng thời kết tương tự cho đường cong chỉnh hình Đây động lực cho báo chúng tơi [27] Chúng tơi tổng qt hóa kết Ru-Wang tới trường hợp siêu mặt nằm vị trí m-dưới tổng quát Phần ba luận án dùng để trình bày kết (xem [27]) Trong phần cuối luận án, chúng tơi nghiên cứu định lí thứ hai Định lí giữ vai trị quan trọng lí thuyết Nevanlinna Thơng qua từ điển Vojta, định lí thứ hai tương ứng với định lí khơng gian Schmidt Được bắt đầu R Nevanlinna, định lí nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà nghiên cứu H Cartan (xem [92], ), W Stoll ([57]), M Ru ([60, 61, 62]), G Dethloff - T V Tan-Thai ([14] ), nhiều người khác Năm 2009, Min Ru (xem [62]) chứng minh định lí thứ hai cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số vào đa tạp xạ ảnh với họ siêu mặt vị trí tổng qt Sau đó, ơng Chen, Yan (xem [11]) cải tiến kết việc đưa cắt bội cụ thể cho hàm đếm Năm 2012, ba tác giả chứng minh định lí thứ hai cho trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát (xem [12]) Trong báo họ, cắt bội không đưa cách cụ thể Khi muốn áp dụng bất đẳng thức dạng định lí thứ hai, vấn đề cốt yếu ta phải có bất đẳng thức với hàm đếm cắt bội Đưa dạng số học tương ứng định lí thứ hai có chứa hàm đếm cắt bội có lẽ vấn đề mở quan trọng hình học Diophantine Mục đích chúng tơi cải tiến kết Chen-Ru-Yan cách đưa ước lượng cụ thể cắt bội Chương cuối luận án viết dựa báo [29] Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 90 mãn {y : i ∈ Iz } sở C[y1 , , yq ]m /(IY )m sY (m, cz ) = X cz i∈Iz Bởi y ∈ Ym ( cụ thể lớp thặng dư modulo IY thuộc vào Ym ), ta biểu diễn y = Li,z (φ0 , , φnm ) dạng tuyến tính Li,z , i ∈ Iz độc lập tuyến tính (ta bỏ kí hiệu z khơng có nhầm lẫn nào) Kí hiệu J tập số dạng tuyến tính L ( ý tập phụ thuộc vào z) Từ đó, log Y |Li ◦ F (z)| = log i∈J Y |Q1 ◦ f |ai1 |Qq ◦ f |aiq i∈J = −sY (m, cz ) + dmHY (m) log kf (z)k + O(mHY (m)) Suy ra, log Y kF (z)kkLi k i∈J = sY (m, cz ) − dmHY (m) log kf (z)k |Li ◦ F (z)| + (nm + 1) log kF (z)k + O(mHY (m)) Sự lựa chọn Li , i ∈ Iz phụ thuộc vào z, số dạng tuyến tính hữu hạn Ta kí hiệu tất dạng tuyến tính Li xuất L1 , , Lp Khi ta có sY (m, cz ) ≤ max log Y kF (z)kkLi k J i∈J |Li ◦ F (z)| + dmHY (m) log kf (z)k (4.4) − (nm + 1) log kF (z)k + O(mHY (m)), max lấy tất tập hợp J ⊂ {1, , p} với ]J = nm + Li , i ∈ J độc lập tuyến tính Mặt khác, định lí 4.2.3, ta có sY (m, cz ) ≥ mHY (m) max ci,z − (2n + 1)4HY (m) max ci,z 1≤i≤q (n + 1) 1≤i≤q (4.5) Kết hợp (4.4), (4.5), (4.1), ta thu kf (z)kd kQi1 (z) k (n + 1) log ≤ |Qi1 (z) ◦ f (z)| mHY (m) max log J Y kF (z)kkLi k i∈J |Li ◦ F (z)| ! − (nm + 1) log kF (z)k (4.6) + (2n + 1)(n + 1)4 m d  max log 1≤i≤q kf (z)k kQi k |Qi ◦ f (z)|  + d(n + 1) log kf (z)k + O(1) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 91 Kết hợp (4.2), (4.6), ta có q X i=1 kf (z)kd kQi k (n + 1)N log ≤ |Qi ◦ f (z)| mHY (m) max log J Y kF (z)kkLi k i∈J |Li ◦ F (z)| ! − (nm + 1) log kF (z)k (4.7) + (2n + 1)(n + 1)N m  max log 1≤i≤q kf (z)kd kQi k |Qi ◦ f (z)|  + d(n + 1)N log kf (z)k + O(1) Tích phân hai vế (4.7), ta có  2π  Z q iθ X Y (n + 1)N  kF (re )kkLj k dθ m(f, Dj ) ≤ max log − (nm + 1)TF (r) (4.8) iθ )| 2π J mH (m) |L ◦ F (re Y j j=1 j∈J ! (2n + 1)(n + 1)N X mf (r, Dj ) + d(n + 1)N Tf (r) + O(1) + m 1≤j≤q Ở đây, ta ý số O(1) phụ thuộc vào Q1 , , Qq mà không phụ thuộc vào f z Giả sử 0 > (0 lựa chọn sau đó) Áp dụng định lí mục 4.1.5 với F Lj , ta có,  2π  Z Y kF (reiθ )kkLi k dθ (n + 1)  max log − (nm + 1)TF (r) k iθ J mHY (m) |L i ◦ F (re )| 2π i∈J ≤− (n + 1) 0 NW (r, 0) + TF (r), mHY (m) 3m.N W Wronskian F Cùng với (4.8), ta có k q X mf (r, Dj ) ≤ − j=1 + (n + 1)N 0 NW (r, 0) + TF (r) + d(n + 1)N Tf (r) mHY (m) 3m (2n + 1)(n + 1)N X mf (r, Dj ) + O(1) m 1≤j≤q Áp dụng định lí thứ quan sát thấy TF (r) ≤ dmTf (r), ta có kd(q − N (n + 1) − 0 /3)Tf (r) ≤ q X j=1 Nf (r, Dj ) − (n + 1)N NW (r, 0) mHY (m) (2n + 1)(n + 1)N X mf (r, Dj ) + O(1) + m 1≤j≤q Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (4.9) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 92 Bây giờ, ta ước lượng q X Nf (r, Dj ) − j=1 (n + 1)N NW (r, 0) mHY (m) Với z ∈ C, khơng giảm tổng qt, ta giả sử Qj ◦ f triệt tiêu z với ≤ j ≤ q1 Qj ◦ f không triệt tiêu z với j > q1 Do giả thiết "ở vị trí N-dưới tổng quát", ta thu q1 ≤ N Tồn số nguyên kj ≥ hàm chỉnh hình gj khác không điểm lân cận U z cho Qj ◦ f = (ξ − z)kj gj , với j = 1, , q, kj = q1 < j ≤ q Tương tự, ta giả sử kj ≥ nm ≤ j ≤ q0 ≤ kj < nm q0 < j ≤ q1 Giả sử c0z = (k1 − nm , , kq0 − nm , 0, , 0) Khi đó, tồn tập Iz0 {0, , qm } có số lượng phần tử nm + = HY (m) thỏa mãn {y : i ∈ Iz0 } sở C[y1 , , yq ]m /(IY )m sY (m, c0z ) = X c0z i∈Iz0 Từ đó, biểu diễn y = Li,z (φ0 , , φnm ), ta thu dạng tuyến tính độc lập với Li , i ∈ Iz0 Suy ra, Li (F ) = (Q1 ◦ f )ai,1 (Qq (f ))ai,q , i ∈ Iz0 , a (Qj ◦ f )ai,j = (ξ − z)ai,j kj gj i,j với ≤ j ≤ q Do tính chất Wronskian, ta có W = W (F0 , , Fnm ) = CW (Li (F ), i ∈ Iz0 ), C số Khơng giảm tổng quát, ta giả sử Iz0 = {0, , nm } Khi đó, W triệt tiêu z với bậc X i∈Iz0 ,1≤j≤q ai,j (kj − nm ) = X c0z = sY (m, c0z ) i∈Iz0 Áp dụng định lí 4.2.3, ta có mHY (m) max (kj − nm ) − (2n + 1)4HY (m) max (kj − nm ) 1≤j≤q0 (n + 1) 1≤j≤q0 mHY (m) ≥ max (kj − nm ) − (2n + 1)4HY (m) max kj 1≤j≤q0 (n + 1) 1≤j≤q0 sY (m, c0z ) ≥ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 93 Từ đó, ta có W triệt tiêu z với bậc mHY (m) max (kj − nm ) − (2n + 1)4HY (m) max kj 1≤j≤q0 (n + 1) 1≤j≤q0 Từ đó, q X Nf (r, Dj ) − j=1 ≤ q X Nfnm (r, Dj ) j=1 (n + 1)N NW (r, 0) mHY (m) (2n + 1)(n + 1)N + m q X ! Nf (r, Dj ) j=1 Kết hợp với (4.9), ta có q q X (2n + 1)(n + 1)N X 0 Nfnm (r, Dj ) + Nf (r, Dj ) kd(q − N (n + 1) − )Tf (r) ≤ m j=1 j=1 ! (2n + 1)(n + 1)N X + mf (r, Dj ) + O(1) m 1≤j≤q ≤ q X Nfnm (r, Dj ) + j=1 (2n + 1)(n + 1)N dq4 Tf (r) + O(1) m Lấy m đủ lớn 0 (2n + 1)(n + 1)N ≤ m Khi đó, 0 kd(q(1 −  /3) − N (n + 1) −  /3)Tf (r) ≤ q X Nfnm (r, Dj ) + O(1) j=1 Chọn 0 = 3 Khi đó, q+1 kd(q − N (n + 1) − )Tf (r) ≤ q X Nfnm (r, Dj ) + O(1) j=1 Chọn m = [6n2 N 4(q + 1)−1 ] + Bây giờ, ta ước lượng nm Theo (4.3), ta có deg Y = ≤ dn deg(V ), d = lcm(d1 , , dq ) dim Y = n Áp dụng định lí 1(xem [93]) ta có   m+n  nm ≤  n Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 94 Áp dụng bất đẳng thức     y y  x+y x+y x x y x y   ≤ (x + y) 1+ ≤e 1+ = 1+ xx y y x y y y cho số nguyên dương x, y, ta có    m+n m n n   nm ≤ ≤ 4.e + n n Ta giả sử  ≤ q Khi đó, từ lựa chọn m, ta có m ≤ 7n2 N (q + 1)4−1 Từ đó,
n nm ≤ en [7nN (q + 1)−1 ] + 4n+1
n ≤ en dn +n [7nN (q + 1).−1 ] + (deg X)n+1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết luận án: • Chứng minh định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu họ siêu mặt di động vị trí tổng qt khơng gian xạ ảnh • Chứng minh dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt cho họ đa thức nghiệm xét đa tạp xạ ảnh • Chứng minh dạng hiệu định lí khơng gian Schmidt trường hàm cho họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh • Cải tiến kết Chen-Ru-Yan việc đưa cắt bội cụ thể cho định lí thứ hai với họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu cịn có câu hỏi mở sau đây: Trong chương 2, nghiên cứu dạng định lượng định lí khơng gian Schmidt trường số chương 3, chúng tơi nghiên cứu định lí thứ hai Cả hai kết dựa bổ đề quan trọng chứng minh chương đánh giá trọng Chow đa tạp xạ ảnh Đánh giá chưa thực tốt Câu hỏi đặt liệu đưa đánh giá tốt cho trọng Chow không? Liệu thiết lập định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu siêu mặt di động vị trí tổng quát cho đa tạp xạ ảnh hay không? 95 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Danh mục cơng trình liên quan đến luận án [1] L Giang, On the quantitative subspace theorem, Journal of Number Theory, 145 (2014), 474-495 [2] L Giang, Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets International Journal of Number Theory Vol 11 No (2015), 139-158 DOI: 10 1142/S1793042115500086 [3] L Giang, An explicit estimate on multiplicity truncation in the degenerated Second Main Theorem, nhận đăng tạp chí Houston Journal of Mathematics [4] L Giang, An effective Schmidt’s subspace theorem for projective varieties over function fields, gửi đăng 96 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] T An, J T-Y Wang, An effective Schmidt’s subspace theorem for non-linear forms over function fields, J Number theory, 125 (2007), 210-228 [2] T An, A Levin, J T-Y Wang, A p-adic Nevanlinna-Diophantine correspondence Acta Arith 146 (2011), no 4, 379-397 [3] M Aschenbrenner Ideal membership in polynomial rings over the integers Journal of the American Mathematical Society 17, no (2004): 407-441 [4] E Bombieri, W Gubler, Heights in Diophantine geometry New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, Cambridge, 2006 xvi+652 pp [5] Y F Bilu, The many faces of the subspace theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier .), Astérisque (2008), no 317, Exp No 967, vii, 138, Seminaire Bourbaki Vol 2006/2007 [6] D Brownawell, D Masser, Vanishing sums in function fields Math Proc Cambridge Philos Soc 100, 427-434 (1986) [7] W D Brownawell, Applications of Cayley-Chow forms Number theory (Ulm, 1987), 1-18, Lecture Notes in Math, 1380, Springer, New York, 1989 [8] F Catanese, Chow varieties, Hilbert schemes, and moduli spaces of surfaces of general type, J Algebraic Geometry 1, no (1992), 561-595 [9] P Corvaja, U Zannier, A subspace theorem approach to integral points on curves C R Math Acad Sci Paris 334 (2002), no 4, 267-271 97 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 98 [10] P Corvaja, U Zannier, On the general Thue’s equation, Amer J Math, 126(5)(2004),1033-1055 [11] Z.Chen, M Ru, Q.Yan, The truncated second main theorem and uniqueness theorems, Science China 53(2010), no.3, 605-616 [12] Z Chen, M Ru, Q Yan, The degenerated second main theorem and Schmidt’s subspace theorem, Science China, 7, (2012), 1367-1380 [13] Z Chen, M Ru, Q Yan, Schmidt’s subspace theorem with moving hypersurfaces, to appear in IRMN [14] G Dethloff, T V Tan, D D Thai, An extension of the Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces, Int J Math 22 (2011), 863-885 [15] G Dethloff, T V Tan, A second main theorem for moving hypersurface targets, Houston J Math 37(2011), 79-111 [16] H Gordon, M Ru, Essentially large divisors and their arithmetic and functiontheoretic inequalities Asian J Math 16 (2012), no 3, 387-407 [17] L-C Hsia and J.T-Y Wang, The ABC theorem for higher-dimensional function fields Transactions of A.M.S 356 (2004), no 7, 2871-2887 [18] J H Evertse, On equations in S-units and the Thue-Mahler equation, Invent Math 75 (1984), 561-584 [19] J H Evertse, An improvement of the Quantitative Subspace Theorem, Compos Math 101 (1996), 225-311 [20] J.H Evertse, R G Ferretti, Diophantine inequalities on projective varieties, Int Math Res Notices 2002 25 (2002), 1295-1330 [21] J H Evertse, H P Schlickewei, A quantitative version of the Absolute Subspace Theorem, J Reine angew Math 548 (2002), 21-127 [22] J.H Evertse, R G Ferretti, A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree, In: Tichy R F, Schlikewei H P, Schmidt K, eds Diophantine Approximation, Festschrift for Wolfgang Schmidt Vienna: Springer-Verlag, 2008, 175-198 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 99 [23] J.H Evertse, R G Ferretti, A further improvement of the Quantitative Subspace Theorem, Annals of Math 177 (2013), 513-590 [24] R.G Ferretti, Mumford’s degree of contact and Diophantine approximations Compositio Math.121 (2000), no 3, 247-262 [25] R.G Ferretti, Diophantine approximations and toric deformations, Duke Math J 118 (2003), no 3, 493-522 [26] G Faltings, G Wustholz, Diophantine approximations on projective spaces, Invent Math 116 (1994), no 1-3, 109-138 [27] L Giang, An effective Schmidt’s subspace theorem for projective varieties over function fields, preprint, submitted [28] L Giang, Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets International Journal of Number Theory Vol 11 No (2015), 139-158 DOI: 10 1142/S1793042115500086 [29] L Giang, An explicit estimate on multiplicity truncation in the degenerated Second Main Theorem, to appear in Houston Journal of Mathematics [30] L Giang, On the quantitative subspace theorem, Journal of Number Theory, 145 (2014), 474-495 [31] R.Hartshorne,Algebraic Geometry,Grad.Texts in Math,52,Springer-Verlag,New York (1977) [32] M Hindry, J Silverman, Diophantine Geometry: An introduction, Springer-Verlag New York, 2000 [33] L C Hsia, J T-Y Wang, The ABC theorem for higher dimensional function fields, Trans Amer 356 (2004), no 7, 2871-2887 [34] J Kollár, Sharp effective Nullstellensats, J Am Math Soc, (1988), 963-975 [35] S Lang, Fundamentals of Diophantine Geometry, Berlin Heidelberg New York, Springer, 1983 [36] S Lang, Algebra, Springer-Verlag New York, 2002 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 100 [37] S Lang, Hyperbolic and Diophantine Analysis, Bull Am Math Soc 14 (1986), 159-205 [38] S Lang, Number theory III: Diophantine geometry Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 60 Springer-Verlag, Berlin, 1991 xiv+296 pp [39] A Levin, The dimensions of integral points and holomorphic curves on the complements of hyperplanes Acta Arith 134 (2008), no 3, 259-270 [40] A Levin, D McKinnon, J Winkelmann, On the error terms and exceptional sets in conjectural second main theorems Q J Math 59 (2008), no 4, 487-498 [41] A Levin, Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems Ann of Math (2) 170 (2009), no 2, 609-655 [42] A Levin, On the Schmidt subspace theorem for algebraic points, Duke Math J Vol 163 No 15 (2014), 2841-2885 [43] R.C Mason, Diophantine equations over function fields LMS Lecture Notes 96, Cambridge Univ Press, 1984 [44] D.W Masser, G Wustholz, Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions, Invent Math 72, no (1983), 407-464 [45] I Morrison, Projective stability of ruled surfaces, Invent Math, 56, 269-304, (1980) [46] D Mumford, Stability of projective varieties, Enseign Math, XXIII, 39-110, (1977) [47] J Noguchi and J Winkelmann, Nevanlinna theory in several complex variables and Diophantine Approximation, Textbook, 2013 [48] J Noguchi, Nevanlinna-Cartan theory and a Diophantine equation over function fields J reine angew Math 487, 61-83 (1997) [49] E I Nochka Defect relations of meromorphic curves Izv Moldavian Acad, Sc for Phy and Math Sc, 1982, 1: 41-47 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 101 [50] E I Nochka On the theory of meromor phic functions Sov Math Dokl, 1983, 27: 377-381 [51] Y Nesterenko, Estimates for the characteristic function of a prime ideal, Math URSS Sbornik, 51 (1985), 9-32 [52] Yu V Nesterenko, Estimate of the orders of the zeroes of functions of a certain class, and their application in the theory of transcendental numbers, (Russian) Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 41 (1977), no 2, 253-284= Math USSR Izv 11 (1977), 239-270 [53] C F Osgood, A number theoretic-differential equations approach to generalizing Nevanlinna Theory, Indian J Math 23 (1981), 1-15 [54] C F Osgood, Sometimes effective Thue-Siegel-Roth-Schmidt-Nevanlinna bounds, or better, J Number Theory 21 (1985), 347-389 [55] D Ridout, The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem, Mathematika (1958), 40-48 [56] K F Roth, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika (1955), 1-20; corrigendum, 168 [57] M Ru, W Stoll, The second main theorem for moving targets, J Geom Anal (1991), 99-138 [58] M Ru and P M Wong, Integral points of Pn − {2n + hyperplanes in general position}, Invent Math 106 (1991), 195-216 [59] M Ru, P Vojta, Schmidt’s subspace theorem with moving targets, Invent Math,127(1997), 51-65 [60] M Ru, On a general form of the second main theorem, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 5093-5105 [61] M Ru, A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, Amer J Math, 126, 215-226 (2004) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 102 [62] M Ru, Holomorphic curves into algebraic varieties, Ann Math 169 (2009), 255267 [63] M Ru, J T-Y Wang, An effective Schmidt’s subspace theorem for projective varieties over function fields, Int Math Res Not IMRN, (2012), 651-684 [64] M Ru, Nevanlinna Theory and its Relation to Diophantine Approximation World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge NJ 2001 xiv+323 pp [65] H.P Schlickewei, The p-adic Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem Arch Math (Basel) 29 (1977), no 3, 267-270 [66] H.P Schlickewei, The quantitative subspace theorem for number fields, Compos Math 82 (1992), 245-273 [67] W M Schmidt, Norm form equations, Ann of Math 29 (1972), 526-551 [68] W M Schmidt, Simultaneous approximation to algebraic numbers by elements of a number field, Monatsh Math 79 (1975), 55-66 [69] W M Schmidt, The subspace theorem in diophantine approximation, Compos Math 96 (1989), 121-173 [70] W M Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations Lecture Notes in Mathematics, 1467 Springer-Verlag, Berlin, 1991 viii+217 pp [71] Seidenberg, A Constructions in algebra Transactions of the American Mathematical Society 197 (1974): 273-313 [72] J P Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt Aspects of Mathematics, E15 Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1989 x+218 pp [73] I.R Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, revised printing, Springer Verlarg, Berlin (1977) [74] M Sombra, Bounds for the Hilbert function of polynomials ideals and for the degrees in the Nullstellensatz, J Pure Appl Algebra, 117/118 (1997), 565-599 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 103 [75] N Steinmetz, Eine Verallgemeinerung des zweiten Nevanlinnaschen Hauptsatzes, J reine angew Math 368 (1986), 134-141 [76] H.N.Shapiro, G.H Sparer, Extension of a theorem of Mason Comm Pure Appl Math XLVII, 711-718 (1994) [77] P Vojta, Diophantine Approximations and Value Distribution Theory, Lect Notes Math 1239, Berlin Heidelberg New York, Springer, 1987 [78] J.F Voloch, Diagonal equations over function fields Bol Soc Brazil Math 16, 29-39 (1985) [79] P Vojta, A refinement of Schmidt’s subspace theorem, Am J Math 111 (1989), 489-518 [80] P Vojta, Roth’s theorem with moving targets, Int Math Res Notices, 3(1996), 109-114 [81] P Vojta, On Cartan’s theorem and Cartan’s conjecture Amer J Math 119 (1997), no 1, 1-17 [82] P Vojta, Integral points on subvarieties of semiabelian varieties II Amer J Math 121 (1999), no 2, 283-313 [83] P Vojta, Diophantine approximation and Nevanlinna theory Arithmetic geometry, 111-224, Lecture Notes in Math, 2009, Springer, Berlin, 2011 [84] J Wang, An effective Roth’s theorem for function fields The Rocky Mountain J Math 26 (1996), 1225-1234 [85] J.T.-Y.Wang The truncated second main theorem of function fields J Number Theory 58 (1996), 139-157 [86] J T-Y Wang, An effective Schmidt’s subspace theorem over function fields, Math Z, 246 (2004), 811-844 [87] J T-Y Wang, Cartan’s conjecture with moving targets of same growth and effective Wirsing’s theorem over function fields Math Z 234 (2000), no 4, 739754 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn