Luận án Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động nghiên cứu về định lí không gian con Schmidt, định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio-phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Văn Tấn Hà Nội - Năm 2022 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay cịn gọi Lí thuyết Nevanlinna, hình thành từ nghiên cứu Nevanlinna phân bố giá trị hàm phân hình biến phức cơng bố vào năm 1925 Các kết Nevanlinna nhanh chóng nhiều nhà tốn học mở rộng sang trường hợp chiều cao nhiều biến như: A Bloch xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình đa tạp Abel; Cartan mở rộng kết Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên không gian xạ ảnh phức; H Weyl , J Weyl Ahlfors đưa cách tiếp cận hình học; Stoll mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ khơng gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Nội dung Lí thuyết Nevanlinna đưa mối quan hệ hàm đặc trưng (đo lan tỏa ảnh ánh xạ) với hàm đếm giao điểm ảnh ánh xạ với mục tiêu Cốt lõi Lí thuyết Nevanlinna nằm hai định lí thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Ở đó, Định lí thứ đưa chặn cho hàm đặc trưng hàm đếm, cịn Định lí thứ hai đưa chặn cho hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu Với Định lí thứ nhất, ta nhìn hệ Cơng thức Jensen ngày có hiểu biết thỏa đáng Tuy nhiên, với Định lí thứ hai thiết lập cho không nhiều trường hợp Trước thập kỷ 80 kỷ 20, Định lí thứ hai thiết lập chủ yếu cho trường hợp mà mục tiêu siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Sang thập kỷ 80, số nhà toán học phát mối liên hệ sâu sắc Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu từ cơng trình Osgood cơng bố năm 1981, sau Vojta nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, báo, Vojta lập bảng tương ứng khái niệm kết thuộc hai lĩnh vực mà ngày thường gọi từ điển Vojta Theo đó, Định lí thứ hai tương ứng với Định lí khơng gian Schmidt Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Khơng có tương đồng khái niệm kết quả, hai lí thuyết cịn có bổ trợ lẫn phương pháp giải vấn đề Sự bổ trợ qua lại làm cho hai lí thuyết đạt thành tựu bật giai đoạn từ đầu kỷ 21 đến nay, thiết lập nhiều Định lí thứ hai Định lí không gian Schmidt cho trường hợp mục tiêu siêu mặt Tiêu biểu kết Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretti, Ru, Dethloff-Trần Văn Tấn, Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang Trong dịng chảy sơi động đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: Về dạng Định lí thứ hai cho đường cong ngun Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu ứng dụng việc xây dựng tính Brody đường cong Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí khơng gian Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Định lí khơng gian Schmidt, Định lí thứ hai, đường cong Brody toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Đề tài luận án nghiên cứu phạm vi Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong ngun khơng gian xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt luận án giải cách kế thừa phát triển phương pháp Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đạt luận án làm gia tăng tri thức Lí thuyết Nevanlinna Lí thuyết xấp xỉ Diophantine ứng dụng Định lí thứ hai việc nghiên cứu họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody Sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng sử dụng luận án tài liệu tham khảo trình học tập, nghiên cứu Cấu trúc luận án Luận án trình bày thành ba chương Trong đó, chương thứ dành để phân tích, tìm hiểu kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu Chương III Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Luận án viết dựa theo kết nghiên cứu tác giả đồng tác giả công bố ba báo đăng tạp chí khoa học nước quốc tế Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chương TỔNG QUAN Trong chương Tổng quan, xem xét lịch sử phát triển, mối quan hệ, số kết tiêu biểu mà tác giả trước đạt hai Lí thuyết Nevanlinna Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng thời nêu lên kết mà chúng tơi đạt Lí thuyết Nevanlinna vấn đề liên quan tiêu chuẩn chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh tiêu chuẩn Brody đường cong nguyên, kết đạt Lí thuyết xấp xỉ Diophantine 1.1 Định lí thứ hai Trong suốt kỷ 20, Định lí thứ hai chủ yếu thiết lập cho mục tiêu siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Kết Nevanlinna cho trường hợp chiều Cartan mở rộng sang trường hợp chiều cao vào năm 1933 sau Định lý 1.1.1 (Định lí thứ hai Cartan) Cho f đường cong nguyên, không suy biến tuyến tính (nghĩa ảnh khơng thuộc siêu phẳng nào) Pn (C) Giả sử H1 , , Hq siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) (nghĩa n + siêu phẳng chúng có giao rỗng) Khi q [n] (q − n − 1)Tf (r) ≤ Nf (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 Năm 1983, Nochka tiếp tục mở rộng kết Cartan sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình khác (thay khơng suy biến tuyến tính) Định lý 1.1.2 (Định lí thứ hai Nochka) Cho f đường cong nguyên khác Pn (C) Giả sử H1 , , Hq siêu phẳng vị trí tổng qt Pn (C), khơng chứa ảnh f Khi q [k] (q − 2n + k − 1)Tf (r) ≤ Nf (r, Hj ) + o(Tf (r)), j=1 k số chiều không gian xạ ảnh nhỏ chứa ảnh f Định lí thứ hai Nochka cho ta hệ quan trọng định lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh Theo nguyên lí Bloch, định lí kiểu Picard tương ứng với tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình dạng Bổ đề Zalcman công cụ quan trọng cho phép ta thực ý tưởng Bloch Năm 1991, Ru-Stoll mở rộng tiếp kết Cartan nói sang trường hợp mục tiêu siêu phẳng di động (có nghĩa hệ số siêu phẳng thay hàm chỉnh hình) Một thành tựu bật mà hai lí thuyết nêu đạt từ đầu kỷ 21 đến thiết lập thành công dạng Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp mà mục tiêu siêu mặt Cụ thể, năm đầu kỉ 21, tác giả Everste-Ferretti, Corvaja-Zannier thiết lập thành cơng Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu siêu mặt Áp dụng cách tiếp cận tác giả đó, năm 2004, Ru mở rộng thành cơng Định lí thứ hai Cartan sang trường hợp siêu mặt Định lý 1.1.3 (Định lí thứ hai cho siêu mặt cố định) Cho f đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa ảnh khơng thuộc siêu mặt nào) Pn (C) Giả sử D1 , , Dq (q ≥ n + 1) siêu mặt vị trí tổng quát Pn (C) (nghĩa n + siêu mặt chúng có giao rỗng) Khi đó, với ε > ta có q (q − n − − ε)Tf (r) ≤ j=1 Nf (r, Dj ) deg Dj Tiếp theo đó, Định lí thứ hai cho mục tiêu siêu mặt di động vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh (thay cho không gian xạ ảnh) giao siêu mặt vị trí tổng quát Dethloff-Trần Văn Tấn, Ru thiết lập thành cơng Các Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt thiết lập Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Lê Giang, Chen-Ru-Yan, Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An, Sĩ Đức Quang Gần đây, Trần Văn Tấn thiết lập dạng mạnh Định lí thứ hai Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong ngun khơng gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu phẳng mục tiêu Đồng thời với việc đó, tác giả đưa cách tiếp cận toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình từ tốn xác định ánh xạ chỉnh hình Hướng nghiên cứu thứ luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt Trong chương luận án, chúng tơi trình bày kết sau theo hướng nghiên cứu thứ Định lý 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho V ⊂ Pn (C) đa tạp với chiều k ≥ 1, D1 , , Dq siêu mặt Pn (C), vị trí N -dưới tổng qt V (có nghĩa N + siêu mặt chúng với V có giao rỗng) Gọi d bội chung nhỏ số deg D1 , , deg Dq Xét f đường cong nguyên V , không suy biến đại số (có nghĩa khơng tồn siêu mặt đại số Pn (C) chứa ảnh f không chứa V ) Kí hiệu f # đạo hàm cầu ánh xạ f HV hàm Hilbert đa tạp V Giả sử V ̸⊂ Dj (j = 1, , q), với f # = ∪qj=1 f −1 (Dj ) Khi đó, (2N − k + 1)HV (d) Tf (r) k+1 q 1 [κ] ≤ 1− Nf (r, Dj ) + o(Tf (r)), (k + 1)(HV (d) − 1) j=1 deg Dj q− với κ = ∞ HV (d) = κ = HV (d) − HV (d) ≥ Định lý 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho D1 , , Dq siêu mặt vị trí tổng quát Pn (C), n ≥ Gọi d bội chung nhỏ deg D1 , , deg Dq Giả sử tồn đường cong nguyên khác f Pn (C) cho với j ∈ {1, , q}, f (C) ⊂ Dj , f # = f −1 (Dj ) Khi q ≤ 3n n+d n − n Định lý 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho f đường cong nguyên Pn (C), n ≥ Giả sử siêu mặt D1 , , Dq vị trí tổng quát Pn (C) cho f # bị chặn ∪qj=1 f −1 (Dj ) Gọi d bội chung nhỏ deg D1 , , deg Dq Khi đó, q > 3n nghĩa là, f đường cong Brody 1.2 n+d n − n, f # bị chặn tồn C, Định lí khơng gian Schmidt Theo từ điển Vojta, ta có Định lí khơng gian Schmidt sau tương ứng với Định lí thứ hai Cartan Định lý 1.2.1 (Định lí khơng gian Schmidt) Cho k trường số S ⊂ Mk tập hữu hạn, chứa tất định giá Archimedes Cho siêu phẳng H1 , , Hq Pn (k), vị trí tổng quát Khi đó, với ε > ta có q (q − n − − ε)h(x) ≤ NS (Hj , x), j=1 với x thuộc Pn (k), tập hợp hữu hạn phẳng Pn (k) (Ở đây, Mk tập tất lớp tương đương định giá không tầm thường k , h(x) hàm độ cao Logarit x, NS (Hj , x) hàm đếm x ứng với S siêu phẳng Hj ) Định lí khơng gian Schmidt ứng với Định lí thứ hai Nochka Ru-Wong thiết lập năm 1991 Năm 1997, Ru-Vojta tiếp tục thiết lập Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp mục tiêu siêu phẳng di động (có nghĩa hệ số siêu phẳng hàm tập số) Kết Ru-Vojta tương ứng với Định lí thứ hai cho mục tiêu di động Định lý 1.2.2 (Ru-Vojta, 1997) Cho k trường số S tập hữu hạn định giá k , chứa tất định giá Archimedes Cho Λ tập số gồm vô hạn phần tử H := {H1 , , Hq } họ siêu phẳng di động PM (k), đánh số Λ Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → PM (k) điểm di động Giả sử (i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với tập A ⊂ Λ quán tương ứng với họ siêu phẳng H x0 |A , , xM |A độc lập tuyến tính RA,H ), (ii) Giả sử với j ∈ {1, , q}, ta có h(Hj (α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với δ > bất kỳ, h(Hj (α)) ≤ δh(x(α)) với α ∈ Λ, ngoại trừ tập hữu hạn Khi đó, với ε > 0, tồn tập vô hạn số A ⊂ Λ cho bất đẳng thức sau với α ∈ A, λHj (α),v (x(α)) ≤ (M + + ε)h(x(α)) max v∈S K j∈K Ở đây, giá trị lớn lấy tất tập K {1, , q}, #K = M + cho siêu phẳng Hj (α), j ∈ K, độc lập tuyến tính k với α ∈ Λ; λHj (α),v hàm Weil ứng với đa thức Hj (α) Định lí khơng gian Schmidt ứng với Định lí thứ hai DethloffTrần Văn Tấn Lê Giang, Chen-Ru-Yan thiết lập vào năm 2015 Các Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho mục tiêu siêu mặt vị trí tổng qt (thay vị trí tổng qt) khơng gian xạ ảnh Sĩ Đức Quang nghiên cứu Các Định lí không gian Schmidt xét trường hợp siêu mặt di động không gian xạ ảnh Hướng nghiên cứu thứ hai luận án thiết lập Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động đa tạp đại số xạ ảnh định lí ứng với Định lí thứ hai Dethloff-Trần Văn Tấn Chương luận án trình bày hướng nghiên cứu với kết thu sau Định lý 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin, 2018) Cho k trường số S ⊂ Mk tập hữu hạn chứa tất định giá Archimedes Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V điểm di động Giả sử (i) Họ siêu mặt Q vị trí tổng quát V , x V -không suy biến đại số ứng với Q (các khái niệm định nghĩa chi tiết Chương 3); (ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với α ∈ Λ j = 1, , q (nghĩa với δ > 0, h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với α ∈ Λ, tập hữu hạn) Khi đó, với ε > 0, tồn tập vô hạn số A ⊂ Λ cho q v∈S j=1 λQ (α),v (x(α)) ≤ (n + + ε)h(x(α)) dj j với α ∈ A Đặc biệt, V = Pn (k), kết trùng với kết Lê Giang , ChenRu-Yan Sĩ Đức Quang mở rộng kết Lê Giang, Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát sang vị trí tổng quát đề xuất kỹ thuật ước lượng (đánh giá) để quy trường hợp siêu mặt mục tiêu vị trí tổng quát trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát Kết hợp kỹ thuật với kỹ thuật Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức định lí dễ dàng thay bất đẳng thức sau trường hợp họ siêu mặt Q vị trí m-dưới tổng quát V (tức là, hầu hết phần tử thuộc tập số, theo nghĩa, tập hữu hạn số, m + siêu mặt họ Q có giao rỗng V ) q v∈S j=1 λQ (α),v (x(α)) ≤ ((m − n + 1)(n + 1) + ε)h(x(α)) dj j (1.1) Khi V = Pn (k), bất đẳng thức kết Sĩ Đức Quang Quan sát Định lí Nochka Eremenko-Sodin cho mục tiêu siêu phẳng, siêu mặt vị trí tổng qt, chúng tơi tin rằng, tương lai, (1.1) đánh giá Định lí thứ hai tương ứng thay đánh giá tốt đáng kể Về phương pháp giải vấn đề, điểm khác biệt lớn kết (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết Lê Giang, Chen-RuYan, Sĩ Đức Quang (cho trường hợp không gian xạ ảnh) nằm chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không vành Cohen-Macauley trường hợp đặc biệt khơng gian xạ ảnh 2.2 Định lí thứ hai Định lí Picard cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu Mục chủ yếu dành để chứng minh Định lí thứ hai kiểu Nochka cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu từ chứng minh tiếp Định lí kiểu Picard tương ứng Đây kết đạt báo [2] 2.2.1 Trọng Nochka ứng với hệ vectơ Để chứng minh định lí phần này, Định lí 2.2.5, sử dụng kết quan trọng sau Bổ đề 2.2.1 Cho S không gian vectơ phức k + chiều N, q số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + Cho v1 , , vq hệ vectơ khác không S Giả sử tập N + vectơ hệ {v1 , , vq } có hạng k + Khi đó, tồn số ω1 , , ωq Θ thỏa mãn điều kiện sau (i) (ii) (iii) (iv) < ωj ≤ Θ ≤ với j ∈ {1, , q}; q j=1 ωj k+1 2N −k+1 ≤ Θ(q − 2N + k − 1) + k + 1; ≤Θ≤ k+1 N +1 ; Nếu R ⊂ {1, , q} #R = N + 1, j∈R ωj ≤ k + Định nghĩa 2.2.2 Ta gọi số ωj (1 ≤ j ≤ q) Θ thỏa mãn tính chất (i) đến (iv) Bổ đề 2.2.1 trọng số Nochka số Nochka ứng với hệ vectơ vj Bổ đề 2.2.3 Cho S không gian vectơ k + chiều N, q số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + Cho v1 , , vq hệ vectơ khác không S Giả sử tập gồm N + vectơ hệ {v1 , , vq } có hạng k + Gọi ω1 , , ωq trọng số Nochka ứng với hệ v1 , , vq Xét E1 , , Eq số thực không âm tùy ý Khi đó, với tập R {1, , q} mà 11 #R = N + 1, tồn tập R′ ⊂ R cho {vj , j ∈ R′ } sở S ωj Ej ≤ j∈R 2.2.2 Ej j∈R′ Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt Định lí Picard Sử dụng bổ đề chứng minh Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt (Định lí 2.2.4), kết theo hướng nghiên cứu thứ mà đạt Định lý 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho V ⊂ Pn (C) đa tạp với chiều k ≥ 1, D1 , , Dq siêu mặt Pn (C), vị trí N -dưới tổng quát V Gọi d bội chung nhỏ số deg D1 , , deg Dq Xét f đường cong nguyên V , không suy biến đại số Giả sử V ̸⊂ Dj (j = 1, , q), với f # = ∪qj=1 f −1 (Dj ) Khi đó, (2N − k + 1)HV (d) Tf (r) k+1 q 1 [κ] ≤ 1− Nf (r, Dj ) + o(Tf (r)), (k + 1)(HV (d) − 1) j=1 deg Dj q− đó, κ = ∞ HV (d) = κ = HV (d) − HV (d) ≥ Từ Định lí thứ hai trên, chúng tơi tiếp tục chứng minh Định lí kiểu Picard tương ứng (Định lí 2.2.5) Định lý 2.2.5 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho D1 , , Dq siêu mặt vị trí tổng quát Pn (C), n ≥ Gọi d bội chung nhỏ deg D1 , , deg Dq Giả sử tồn đường cong nguyên khác f Pn (C) cho với j ∈ {1, , q}, f (C) ⊂ Dj , f # = f −1 (Dj ) Khi q ≤ 3n n+d − n n 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên Như nêu phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt trên, kết hợp với Bổ đề kiểu Zalcman (Bổ đề 2.2.6), đạt tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên Định lí 2.2.7 12 Bổ đề 2.2.6 Cho F họ ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C) Nếu họ F khơng chuẩn tắc tồn dãy {zk } ⊂ C với zk → z0 ∈ C, {fk } ⊂ F , {ρk } ⊂ R với ρk → 0+ , cho gk (ζ) := fk (zk + ρk ζ) hội tụ tập compact C đến ánh xạ chỉnh hình khác g từ C vào Pn (C) Định lý 2.2.7 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho f đường cong nguyên Pn (C), n ≥ Giả sử siêu mặt D1 , , Dq vị trí tổng quát Pn (C) cho f # bị chặn ∪qj=1 f −1 (Dj ) Khi f đường cong Brody q > 3n n+d − n, d bội chung nhỏ deg D1 , , deg Dq n 2.3 Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu Mục dành để chứng minh Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu, kết đạt báo [3] 2.3.1 Một số bổ đề Mục đưa bổ đề quan trọng sử dụng để chúng minh Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.3.3) Bổ đề 2.3.1 Cho V đa tạp xạ ảnh k chiều Pn (C) Với Q1 , , QN +1 siêu mặt Pn (C) có bậc d ≥ 1, cho N +1 Qi ∩ V = ∅ i=1 Khi tồn k siêu mặt P2 , , Pk+1 có dạng N −k+t ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, , k + 1, Pt = j=2 cho ∩k+1 t=1 Pt ∩ V = ∅, P1 = Q1 13 Bổ đề 2.3.2 Cho V ⊂ PM (C) đa tạp đại số n chiều có bậc △, số +1 nguyên m > △ số c = (c0 , , cM ) ∈ RM Với tập {i0 , , in } ≥ {0, , M } cho x = (x0 : · · · : xM ) ∈ PM (C) : xi0 = · · · = xin = ∩ V = ∅ Khi mHV (m) 2.3.2 SV (m, c) ≥ (2n + 1)△ (ci0 + · · · + cin ) − max ci 1≤i≤M (n + 1) m Một dạng định lí thứ hai khơng ngắt bội Áp dụng kỹ thuật thay siêu mặt Sĩ Đức Quang kỹ thuật tính bội trường hợp đạo hàm triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu (được nêu mục 2.2.2), chúng tơi thiết lập Định lí thứ hai sau Định lý 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong, 2020) Cho V ⊂ Pn (C) đa tạp xạ ảnh phức k chiều (1 ≤ k ≤ n) Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) vị trí N -dưới tổng quát V , deg Qj = dj , N ≥ k, q > (N − k + 1)(k + 1) Gọi d bội chung dj Giả sử f đường cong nguyên đại số V thỏa mãn f∗,z = với z ∈ ∪qj=1 f −1 (Qj ) Khi đó, với ϵ > 0, M2 − M − (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ M2 − M q j=1 Nf (r, Qj ), dj M = k + dk deg V [(2k + 1)(N − k + 1)2 (k + 1)2 dk−1 deg V ϵ−1 ] + k Ở đây, kí hiệu f∗,z ánh xạ tiếp xúc z ∈ C f kí hiệu [x] := max{t ∈ Z : t ≤ x} phần nguyên số thực x 14 Chương ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG GIAO ĐA TẠP ĐẠI SỐ XẠ ẢNH Như trình bày phần Tổng quan, mục đích Chương nghiên cứu thiết lập Định lí không gian Schmidt trường hợp siêu mặt di động đa tạp đại số xạ ảnh Kết tương ứng với Định lí thứ hai Dethloff-Trần Văn Tấn Lí thuyết Nevanlnna Kết Chương viết dựa báo [1] (trong mục Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, phần đầu chúng tơi trình bày số khái niệm số kết quả, tính chất quan trọng Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cho trường hợp chiều (trường k ) trường hợp chiều cao (không gian xạ ảnh Pn (k)), bao gồm: định giá trường số, mở rộng định giá, chuẩn hóa định giá, cơng thức tích, độ cao Logarit hàm bản, định lí thứ Ở phần cuối, chúng tơi trình bày khái niệm họ siêu phẳng, siêu mặt di động tập số, khái niệm tập quán họ siêu mặt di động, khái niệm điểm di động không suy biến đại số họ siêu mặt di động vị trí tổng quát đa tạp đại số xạ ảnh Bên cạnh khái niệm chúng tơi đưa số tính chất quan trọng có liên quan đến việc chứng minh kết đạt chúng tơi theo hướng nghiên cứu 15 3.1.1 Định giá trường số Trong tiểu mục này, nhắc lại khái niệm số kết định giá, định giá Archimedes không Archimedes, hai định giá tương đương, định giá đầy 3.1.2 Chuẩn hóa định giá cơng thức tích Tiểu mục trình bày khái niệm chuẩn hóa định giá cơng thức tích dạng chuẩn định giá (trên lớp tương đương định giá không tầm thường, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) 3.1.3 Độ cao Logarit hàm Tiểu mục trình bày khái niệm: Độ cao, độ cao logarit, hàm xấp xỉ, hàm đếm 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động tập số Giả sử Λ tập số gồm vô hạn phần tử Ta gọi ánh xạ x : Λ → PM (k) họ điểm di động x(α) PM (k) với α ∈ Λ Ta gọi ánh xạ H : Λ → (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) siêu phẳng di động Λ, hay nói cách khác siêu phẳng di động H Λ họ siêu phẳng H(α) PM (k), α ∈ Λ Ta gọi họ đa thức {Q(α)}α∈Λ bậc d k[x0 , , xM ] siêu mặt di động Q PM (k) có bậc d, đánh số Λ Mỗi siêu mặt di động Q viết dạng Q = I∈Td aI xI với hệ số aI hàm Λ nhận giá trị k khơng có khơng điểm chung Xét họ Q := {Q1 , , Qq } siêu mặt di động PM (k), đánh số Λ Ta biểu diễn Qj = I∈Td aj,I xI (j = 1, , q) với dj = deg Qj j Định nghĩa 3.1.1 Với j ∈ {1, , q}, ta viết Tdj = {Ij,1 , , Ij,Mdj }, Mdj := dj +M M Một tập gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ gọi quán đối 16 với họ Q với đa thức P ∈ k[x1,1 , , x1,Md1 , , xq,1 , , xq,Mdq ] biến xj,1 , , xj,Mdj (với j ∈ {1, , q}), P (a1,I1,1 (α), , a1,I1,Md (α), , aq,Iq,1 (α), , aq,Iq,Mdq (α)) triệt tiêu α ∈ A triệt tiêu hữu hạn α ∈ A Ta có kết sau Bổ đề 3.1.2 Tồn tập vô hạn A ⊂ Λ quán họ Q Cho A ⊂ Λ tập số vô hạn Với tập C ⊂ A có phần bù hữu hạn A ta kí hiệu ánh xạ a : C → k cặp (C, a) Với C1 , C2 ⊂ A tập A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1 , a1 ) (C2 , a2 ) gọi tương đương tồn tập C ⊂ C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn A a1 |C = a2 |C Kí hiệu R0A tập lớp tương đương cặp (C, a) với quan hệ tương đương Ta thấy R0A có cấu trúc tự nhiên vành Giả sử A ⊂ Λ tập quán họ siêu mặt di động Q Với aj,I xác j ∈ {1, , q}, ta cố định số Ij ∈ Tdj cho aj,Ij ̸≡ , aj,Ij định phần tử thuộc R0A với I ∈ Tdj Do tính quán A nên vành R0A sinh k phần tử nói miền nguyên Gọi RA,Q trường thương miền nguyên Ta có nhận xét sau Nhận xét Giả sử B ⊂ A ⊂ Λ hai tập vô hạn số Khi đó, A quán họ siêu mặt Q B quán họ siêu mặt đó, RB,Q ⊂ RA,Q aj,I (α) kQ tập aj,Ij (α) tổng hình thức có dạng sm=1 tm si=1 cni i , tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N Với cặp (b, c) ∈ kQ mà c(α) ̸= với α ∈ A, tập hữu hạn, ta ˆb b b(α) Gọi RA,Q tập tất xác định hàm : {α : c(α) ̸= 0} → k , α → (α) := cˆ c c(α) hàm Khi đó, phần tử a ∈ RA,Q lớp hàm a thuộc RA,Q Ta gọi a đại diện đặc biệt a Cho P := I aI xI ∈ RA,Q [x0 , , xM ] đa thức nhất, với I giả sử aI đại diện đặc biệt aI Khi đó, P := I aI xI gọi đại diện đặc biệt P Với α ∈ A cho tất hàm aI xác định α, đặt P (α) := I aI (α)xI ∈ k[x0 , , xM ] nói P xác định α Gọi A tập hàm {α ∈ A : aj,Ij (α) ̸= 0} → k, α → 17 Cho V ⊂ PM (k) đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh ideal I(V ) Định nghĩa 3.1.3 Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V gọi V -không suy biến đại số ứng với Q (hay cịn gọi khơng suy biến đại số V ) với tập quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn đa thức P ∈ RA,Q [x0 , , xM ] \ IA,Q (V ) cho P (α)(x0 (α), , xM (α)) = với α ∈ A, tập hữu hạn, với (và với mọi) đại diện đặc biệt P P, IA,Q (V ) ideal RA,Q [x0 , , xM ] sinh I(V ) Định nghĩa 3.1.4 Họ siêu mặt di động Q = {Qj }qj=1 , (q ≥ n + 1) gọi vị trí tổng qt V (hay cịn gọi V -chấp nhận được) với ≤ j0 < · · · < jn ≤ q , hệ phương trình Qji (α)(x0 , , xM ) = 0, ≤ i ≤ n, khơng có nghiệm (x0 , , xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với α ∈ Λ, ngồi tập hữu hạn, k bao đóng đại số k 3.2 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Mục dành để chứng minh Định lí khơng gian Schmidt sau cho trường hợp mục tiêu siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Định lý 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin, 2018) Cho k trường số S ⊂ Mk tập hữu hạn chứa tất định giá Archimedes Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V điểm di động Giả sử (i) Họ siêu mặt Q vị trí tổng quát V , x V -không suy biến đại số ứng với Q; (ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với α ∈ Λ j = 1, , q (nghĩa với δ > 0, h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với α ∈ Λ, tập hữu hạn) Khi đó, với ε > 0, tồn tập vô hạn số A ⊂ Λ cho q v∈S j=1 λQ (α),v (x(α)) ≤ (n + + ε)h(x(α)) dj j với α ∈ A 18 (3.1) Trước trình bày chi tiết chứng minh định lí trên, chúng tơi đưa số bổ đề bổ trợ để phát biểu, chứng minh bổ đề đó, q trình trình bày chúng tơi bổ sung thêm số khái niệm cần thiết 3.2.1 Một số bổ đề Định nghĩa 3.2.2 Cho x : Λ → V ⊂ PM (k) điểm di động Phần tử (C, a) ∈ R0A gọi nhỏ so với x h(a(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với ε > 0, tồn tập Cε ⊂ C với phần bù hữu hạn cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với α ∈ Cε Kí hiệu Kx tập tất phần tử nhỏ so với x Khi đó, Kx vành R0A Vành miền nguyên, với (C, a) ∈ Kx mà a(α) ̸= với α ∈ C , tập hữu hạn, ta có (C \ {α : a(α) = 0}, ) ∈ Kx Gọi Cx tập tất hàm thực g nhận giá trị dương, xác a định tập Λ với phần bù hữu hạn cho log+ (g(α)) = o(h(x(α))) Với giả thiết Định lí 3.2.1 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.3 Cho A ⊂ Λ tập quán ứng với Q Khi đó, tồn tập gồm vô hạn phần tử A′ A cho với J ⊂ {1, , q}, #J = n + 1, tồn hàm ℓ1,v , ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2,v (α)∥x(α)∥dv ≤ max ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v (α)∥x(α)∥dv , j∈J với α ∈ A′ v ∈ S Với số nguyên dương ℓ không gian vectơ W k[x0 , , xM ] (hay RA,Q [x0 , , xM ]), kí hiệu Wℓ khơng gian vectơ gồm đa thức thuộc W với bậc ℓ (bao gồm đa thức không) Định nghĩa 3.2.4 Cho W không gian vectơ RA,Q [x0 , , xM ] Với phần tử α ∈ A, đặt {P (α) : P đại diện đặc biệt P, xác định α} W (α) := P ∈W 19 Rõ ràng W (α) không gian vectơ k[x0 , , xM ] Bổ đề 3.2.5 Cho W không gian vectơ RA,Q [x0 , , xM ]N Khi đó, (i) Tồn γj ∈ RA,Q [x0 , , xM ]N , j = 1, , H cho γj (α), , γH (α) lập thành sở W (α), với α ∈ A, tập hữu hạn (có nghĩa với đại diện đặc biệt γj γj , {γj (α), , γH (α)} sở W (α), với mọi, trừ tập gồm hữu hạn α ∈ A)) Đặc biệt, số chiều W (α) khơng phụ thuộc vào α ∈ A, ngồi tập hữu hạn K (ii) Giả sử {hj }K j=1 sở W Khi đó, {hj (α)}j=1 sở W (α), với α ∈ A, ngồi tập hữu hạn (có nghĩa với đại diện hj hj , {hj (α)}K j=1 tạo nên sở W (α), với mọi, trừ tập hữu hạn α ∈ A) Đặc biệt, dimRA,Q W = dimk W (α) với α ∈ A, tập hữu hạn Gọi IA,Q (V ) ideal RA,Q [x0 , , xM ] sinh I(V ) Rõ ràng IA,Q (V ) không gian vectơ sinh I(V ) không gian RA,Q [x0 , , xM ] Sử dụng thứ tự từ điển Nn với I = (i1 , , in ) ta đặt ∥I∥ := i1 + · · · + in Định nghĩa 3.2.6 Với I = (i1 , · · · , in ) ∈ Nn N ∈ N thỏa mãn N ≥ d∥I∥, kí hiệu LIN tập đa thức γ ∈ RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥I∥ cho ta biểu diễn Qi11 · · · Qinn γ − Qe11 · · · Qenn γE ∈ IA,Q (V )N E=(e1 , ,en )>I với γE ∈ RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥E∥ Gọi LI ideal RA,Q [x0 , , xM ] sinh Với định nghĩa trên, ta có Bổ đề sau Bổ đề 3.2.7 Tập {LI : I ∈ Nn } gồm hữu hạn ideal Đặt mIN := dimRA,Q RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥I∥ LIN 20 I N ≥d∥I∥ LN Với số nguyên dương N, gọi τN tập tất I := (i0 , , in ) ∈ Nn thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ Xét γI1 , , γImIN ∈ RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥I∥ cho chúng RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥I∥ lập thành sở RA,Q − không gian vectơ LIN Bổ đề 3.2.8 {[Qi11 · · · Qinn · γI1 ], , [Qi11 · · · Qinn · γImIN ], I = (i1 , , in ) ∈ τN } RA,Q [x0 , , xM ]N sở RA,Q - không gian vectơ IA,Q (V )N Từ Bổ đề 3.2.5 Định lí Hilbert - Serre đa thức Hilbert với Bổ đề 3.2.7, ta thu kết sau Bổ đề 3.2.9 Tồn số tự nhiên n0 , c c′ cho RA,Q [x0 , , xM ]N −d∥I∥ = c với I ∈ Nn , N ∈ N thỏa mãn i) dimRA,Q (I(V ), Q1 , , Qn )N −d∥I∥ N − d∥I∥ ≥ n0 ii) Với I ∈ Nn tồn số tự nhiên mI cho mI = mIN với N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0 iii) mIN ≤ c′ , với I ∈ Nn N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ Đặt m := minn mI I∈N Ta cố định I0 = (i01 , , i0n ) ∈ Nn N0 ∈ N cho N0 − d∥I0 ∥ ≥ n0 mIN00 = m Với số nguyên dương N chia hết cho d, gọi τN0 tập tất I = (i1 , , in ) ∈ τN thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0 ik ≥ max{i01 , , i0n } với k ∈ {1, , n} Từ Bổ đề 3.2.8, Bổ đề 3.2.9 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.10 mIN = deg V · dn , với số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d I ∈ τN0 Từ Bổ đề 3.2.10 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.11 Với s ∈ {1, , n} với số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, ta có mIN · is ≥ I=(i1 , ,in )∈τN deg V N n+1 − O(N n ) d · (n + 1)! 21 Kết hợp Bổ đề 3.2.8 Bổ đề 3.2.11 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.12 Với số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, tồn đa thức φ1 , , φHV (N ) RA,Q [x0 , , xM ]N cho chúng lập nên RA,Q [x0 , , xM ]N sở RA,Q − không gian vectơ , IA,Q (V )N HV (N ) φj − (Q1 · · · Qn ) deg V ·N n+1 d·(n+1)! −u(N ) · P ∈ IA,Q (V )N , j=1 u(N ) hàm thỏa mãn u(N ) ≤ O(N n ) P ∈ RA,Q [x0 , , xM ] đa thức có bậc deg V · N n+1 n · deg V · N n+1 N · HV (N ) − + u(N ) = + O(N n ) (n + 1)! (n + 1)! 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 Mục trình bày chi tiết phép chứng minh Định lí 3.2.1 Trong đó, ý tưởng khái quát là: cách sử dụng bổ đề nêu (Bổ đề 3.1.2, Bổ đề 3.2.3 Bổ đề 3.2.12) thay hệ siêu mặt di động xét hệ siêu phẳng di động, sau áp dụng kết Ru-Vojta chứng minh (Định lí 1.2.2) cho trường hợp mục tiêu siêu phẳng di động để đạt bất đẳng thức cuối nêu 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu nghiên cứu Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp siêu mặt đạt số kết sau đây: ❼ Định lí thứ hai Định lí Picard tương ứng đường cong nguyên không gian xạ ảnh, có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.2.4 Định lí 2.2.5) ❼ Định lí tính bị chặn đạo hàm cầu đường cong nguyên tồn cục rút từ tính bị chặn tập tạo ảnh hợp đủ nhiều siêu mặt vị trí tổng quát (Định lí 2.2.7) ❼ Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh (Định lí 3.2.1) 23 Kiến nghị Chúng tơi đề xuất vấn đề sau cho nghiên cứu ❼ Cho tới nay, kết Định lí thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên khác giao siêu mặt di động yếu (hoặc không chặn bội, chặn tổng số khuyết cịn lớn) Việc cải tiến Định lí thứ hai trường hợp vấn đề thực có ý nghĩa ❼ Thơng qua ánh xạ Gauss, tiêu chuẩn cho đường cong Brody thiết lập luận án có tương tự tới điều kiện bị chặn cho độ cong Gauss siêu mặt cực tiểu 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N T Son, T V Tan, and N V Thin, Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J Number Theory 186(2018), 346–369 [2] N T T Hang, N T Son, and V V Truong, A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, 65(2020), 31–40 [3] N T Son, T V Tan, A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal Synerg 8(2022), (https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z) 25 ... Kết luận Luận án nghiên cứu nghiên cứu Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp siêu mặt đạt số kết sau đây: ❼ Định lí thứ hai Định lí Picard tương ứng đường cong nguyên khơng gian. .. thành cơng Định lí thứ hai Cartan sang trường hợp siêu mặt Định lý 1.1.3 (Định lí thứ hai cho siêu mặt cố định) Cho f đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa ảnh khơng thuộc siêu mặt nào)... Định lí khơng gian Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Định lí khơng gian Schmidt, Định lí thứ hai, đường cong Brody toán