Các phương pháp nghiên cứu định lí krasnoselskii về điểm bất động trong nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 MỞ ĐẦU Thiết lập số tính chất hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng số quy tắc tính tốn tổng đạo hàm đồ thị gradient, đạo hàm bậc hai đạo hàm parabol 527 Thiết lập điều kiện đủ cực tiểu địa phương mạnh cho hàm thường nửa liên tục thông qua đạo hàm đồ thị gradient Đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai thông qua đạo hàm đồ thị gradient tính quy mêtric mạnh lớp hàm lồi biến phân lớp hàm biểu diễn dạng tổng hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng hàm liên tục vi phân, quy gần kề khả vi đồ thị hai lần 2 Nhóm quaternion suy rộng Mệnh đề Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ H nhóm Q4n Khi (i) Nếu H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n Pr(H, Q4n ) =  n+k   k | n, 2n   2n + k k ∤ n 4n (ii) Nếu H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n, ⩽ j ⩽ i − Pr(H, Q4n ) = n+i+2 4n Chứng minh (i) Giả sử H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n Theo Mệnh đề 53 ta có 2n 2n = (2n, k) k |Rk | = Do  2n r ⩽ i ⩽ −1 k  k Rk = ⟨r ⟩ = ik Ta xét hai trường hợp k sau Trường hợp 1: k | n Khi đó, theo Mệnh đề 54 ta có X X |CQ4n (x)| = |CQ4n (1)| + |CQ4n (rn )| + |CQ4n (rik) | 1⩽i⩽ 2n −1 k x∈Rk i̸= nk = 4n + 4n + = 8n +  2n k Do đó, theo Mệnh đề ??, ta có X Pr(Rk , Q4n ) = |Rk ||Q4n | x∈Rk  2n k  − |R1 |  − 2n = |CQ4n (x)| = 4n(n + k) k 4n(n + k) n+k = 2n k 2n 4n k Trường hợp 2: k ∤ n Khi đó, theo Mệnh đề 54, ta có X X |CQ4n (rik )| |CQ4n (x)| = |CQ4n (1)| + −1 1⩽i⩽ 2n k x∈Rk = 4n +  2n k  − |R1 | = 4n +  2n k  − 2n = 2n(2n + k) k Từ suy Pr(Rn , Q4n ) = X 2n(2n + k) 2n + k · |CQ4n (x)| = = 2n |Rk ||Q4n | k 4n 4n x∈Rk k (ii) Giả sử H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n, ⩽ j ⩽ i − Theo Mệnh đề 53 ta có |Ui,j | = Đặt k = 4n 4n = (n, i) i 2n Khi i |Ui,j | = 4n = 2k i Do Ui,j = {rli , rli+j s | ⩽ l ⩽ k − 1} Từ suy X X |CQ4n (x)| = x∈Ui,j |CQ4n (rli )| + 0⩽l⩽k−1 = |CQ4n (1)| + |CQ4n (rn )| + X |CQ4n (rli+j s)| 0⩽l⩽k−1 X |CQ4n (rli )| + 1⩽l⩽k−1 l̸= k2 X |CQ4n (rli+j s)| 0⩽l⩽k−1 = |Q4n | + |Q4n | + (k − 2)|R1 | + k|Un,j | 4n(n + i + 2) = 4n + 4n + (k − 2)2n + 4k = i Do đó, theo Mệnh đề ?? Pr(Ui,j , Q4n ) = X 1 4n(n + i + 2) n+i+2 · |CQ4n (x)| = = 4n |Ui,j ||Q4n | i 4n 4n x∈Ui,j i Trong ví dụ sau ta tính lại độ giao hốn tương đối nhóm nhóm quaternion Q8 , tính độ giao hốn tương đối nhóm nhóm Q12 cách áp dụng Mệnh đề ?? Ví dụ (i) Với n = 2, xét nhóm quaternion Q8 (cho Ví dụ ??) Các nhóm Q8 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = {1}; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩; Q8 Khi Pr(R1 , Q8 ) = 2+2 2·2+4 2+1 = , Pr(R2 , Q8 ) = = 1, Pr(R4 , Q8 ) = = 1; 2·2 2·2 4·2 Pr(U2,0 , Q8 ) = Pr(U2,1 , Q8 ) = 2+2+2 = ; Pr(Q8 , Q8 ) = Pr(Q8 ) = 4·2 (ii) Với n = 3, xét nhóm quaternion Q12 = {1, r, r2 , r3 , r4 , r5 , s, rs, r2 s, r3 s, r4 s, r5 s} Các nhóm Q12 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R3 = ⟨r3 ⟩, R6 = {1}; U3,0 = ⟨r3 , s⟩, U3,1 = ⟨r3 , rs⟩, U3,2 = ⟨r3 , r2 s⟩; Q12 Khi Pr(R1 , Q12 ) = 3+1 2·3+2 = , Pr(R2 , Q12 ) = = , 2·3 4·3 3+3 2·3+6 = 1, Pr(R6 , Q12 ) = = 1; 2·3 4·3 3+3+2 Pr(U3,0 , Q12 ) = Pr(U3,1 , Q12 ) = Pr(U3,2 , Q12 ) = = ; 4·3 Pr(Q12 , Q12 ) = Pr(Q12 ) = Pr(R3 , Q12 ) = X X CH (y)N N |CN (y)| S∈G/N y∈S Áp dụng Bổ đề từ suy X X X X |CH/N (S)| |CN (y)| |H||G| Pr(H, G) ⩽ |CH/N (yN )||CN (y)| = S∈G/N y∈S = X S∈G/N |CH/N (S)| S∈G/N X X |CS (x)| = x∈N |CH/N (S)| S∈G/N y∈S X |S ∩ CG (x)| x∈N Nếu S ∩ CG (x) ̸= ∅ tồn x0 ∈ S ∩ CG (x) S = N x0 Khi ta có S ∩ CG (x) = N x0 ∩ CG (x)x0 = (N ∩ CG (x))x0 = CN (x)x0 Từ suy |S ∩ CG (x)| = |CN (x)x0 | = |CN (x)| Nếu S ∩ CG (x) = ∅ rõ ràng = |S ∩ CG (x)| < |CN (x)| Do trường hợp ta có |S ∩ CG (x)| ⩽ |CN (x)| Từ suy X X X X |H||G| Pr(H, G) ⩽ |CH/N (S)| |S ∩ CG (x)| ⩽ |CH/N (S)| |CN (x)| S∈G/N x∈N S∈G/N x∈N = |H/N ||G/N | Pr(H/N, G/N )|N | Pr(N ) = |H||G| Pr(H/N, G/N ) Pr(N ) Do Pr(H, G) ⩽ Pr(H/N, G/N ) Pr(N ) Cuối cùng, giả sử N ∩ [H, G] = Ta chứng minh xảy dấu đẳng thức Khi đó, theo Bổ đề ta có CH (y)N = CH/N (yN ) với y ∈ G N 66 Theo lập luận ta có |H||G| Pr(H, G) = X |CH/N (S)| X |S ∩ CG (x)| x∈N S∈G/N Vì N ◁ G [N, G] ⩽ N Do từ giả thiết suy [N, G] = N ∩ [N, G] ⩽ N ∩ [H, G] = 1, hay N ⩽ Z(G) Từ suy CG (x) ∩ S = G ∩ S ̸= ∅ với x ∈ N với S ∈ G/N Do |S ∩ CG (x)| = |CN (x)| với x ∈ N Từ suy xảy dấu đẳng thức Trong trường hợp đặc biệt, tích trực tiếp ta có kết sau Mệnh đề 40 Cho N H hai nhóm, N1 H1 tương ứng nhóm N H Khi Pr(N1 × H1 , N × H) = Pr(N1 , N ) Pr(H1 , H) Chứng minh Giả sử x = (x1 , x2 ) ∈ N1 × H1 Khi CN ×H (x) = {(a1 , a2 ) ∈ N × H | (x1 , x2 )(a1 , a2 ) = (a1 , a2 )(x1 , x2 )} = {(a1 , a2 ) ∈ N × H | (x1 a1 , x2 a2 ) = (a1 x1 , a2 x2 )} Do |CN ×H (x)| = |CN (x1 )||CH (x2 )| Từ suy X x∈N1 ×H1 |CN ×H (x)| = X x1 ∈N1 |CN (x1 )| X x2 ∈H1 |CH (x2 )| 67 Áp dụng Mệnh đề ?? ta có Pr(N1 × H1 , N × H) = |N1 × H1 ||N × H| X |CN ×H (x)| x∈N1 ×H1 = X X |CN (x1 )| |CH (x2 )| |N1 ||H1 ||N ||H| = |N1 ||N | x1 ∈N1 X |CN (x1 )| x1 ∈N1 x2 ∈H1 X |CH (x2 )| |H1 ||H| x2 ∈H1 = Pr(N1 , N ) Pr(H1 , H) Vây ta có điều phải chứng minh Đặc biệt, ta có kết sau Hệ 14 Cho H N hai nhóm Khi Pr(H, N × H) = Pr(H) Đối với tích nửa trực tiếp vấn đề tính độ giao hoán tương đối trở nên phức tạp nhiều Trong phần lại mục ta trường hợp đặc biệt Mệnh đề sau cho ta cơng thức tính độ giao hốn tương đối nhóm abel với tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp Mệnh đề 41 Cho A nhóm giao hốn, α tự đẳng cấu A cho α2 = idA C2 = ⟨u⟩ nhóm xiclíc cấp với u phần tử sinh Ký hiệu G = θ C2 tích nửa trực tiếp A nhóm xiclíc C2 = ⟨u⟩ với tác động θ : C2 → Aut(A) cho công thức θ(u) = α Khi Pr(A, G) = |Aα | + 2|A| Aα = {a ∈ A | α(a) = a} Chứng minh Giả sử x = (x1 , 1) ∈ A Khi ta có CG (x) = CA (x) ∪ CG\A (x) 68 Vì A nhóm giao hốn nên CA (x) = A Ta có CG\A (x) = {(a, u) ∈ G \ A | (x1 , 1)(a, u) = (a, u)(x1 , 1)} = {(a, u) ∈ G \ A | (x1 a, u) = (aθ(u)(x1 ), u)} = {(a, u) ∈ G \ A | (ax1 , u) = (aα(x1 ), u)} Ta xét hai trường hợp x1 sau Trường hợp 1: x1 ∈ Aα Khi aα(x1 ) = ax1 với a ∈ A Do |CG\A | = |A| Trường hợp 2: x1 ∈ A \ Aα Khi aα(x1 ) ̸= ax1 với a ∈ A Do CG\A = ∅, |CG\A | = Từ suy X X X X |CG (x)| = x∈A (|CA (x)| + |CG\A (x)|) = x∈A |CA (x)| + x∈A = |A|2 + X |CG\A (x)| + x∈Aα X |CG\A (x)| x∈A |CG\A (x)| x∈A\Aα = |A|2 + |A||Aα | + = |A|(|A| + |Aα |) Theo Mệnh đề ?? ta có Pr(A, G) = X |CG (x)| |A||G| x∈A = |A| |C2 | |A|(|A| + |Aα |) = |A| + |Aα | |Aα | = + 2|A| 2|A| Vậy ta có điều phải chứng minh 22 Các khái niệm Định nghĩa 12 Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm aben với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép tốn nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz, 69 với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa 13 Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép toán A) Định nghĩa 14 Iđêan trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa iđêan trái, vừa iđêan phải gọi iđêan vành R Cho I iđêan vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R Định nghĩa 15 Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I Định nghĩa 16 Cho R vành có đơn vị 1R Một R-môđun phải M bao gồm (M, +) nhóm aben tốn tử · : M × R → M thỏa mãn (1) (x + y) · r = x · r + y · r, (2) x · (r + s) = x · r + x · s, (3) (xr) · s = x · (rs), (4) x · 1R = x, r, s ∈ R x, y phần tử tùy ý M 70 Lúc R gọi vành sở, M R-môđun phải ta thường ký hiệu MR Tương tự ta đinh nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S -bên trái (ký hiệu S MR ) a) M R-môđun phải M S -mơđun trái b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Định nghĩa 17 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Định nghĩa 18 (1) Môđun MR gọi đơn M ̸= với A ≤ M A = A = M , nghĩa M ̸= M có hai mơđun M (2) Vành R gọi đơn R ̸= với A ≤R RR A = A = 0, nghĩa R ̸= R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A ̸= với B ≤ M thỏa mãn B < A B = (4) Tương tự, môđun A ≤ M gọi môđun cực đại A ̸= M với B ≤ M thỏa mãn B > A B = M Bổ đề 11 MR đơn M ̸= ∀m ∈ M, m ̸= M = mR Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cộng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử M/N lớp ghép x + N N M phép toán cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành môđun phải Định lý 29 Cho MR N ≤ M (i) Quy tắc M/N × R → M/N cho (m + N, r) → (m + N )r = mr + N phép nhân mơđun 71 (ii) Nhóm aben M/N với phép tốn nhân mơđun trở thành R-môđun phải Định nghĩa 19 M/N xác định Định lý ?? gọi môđun thương môđun M môđun N 23 Cấu trúc nhóm số nhóm hữu hạn Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Tl , Ui,j nhóm Dn có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ n, ⩽ l ⩽ n − 1, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ n − Sau số tính chất nhóm nhị diện, xem [?] Mệnh đề 42 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Khi (i) Rk nhóm xiclíc cấp n , d = (n, k), với ⩽ k ⩽ n; d (ii) Tl nhóm xiclíc cấp với ⩽ l ⩽ n − 1; (iii) Ui,j nhóm nhị diện cấp 2n , d = (n, i), với i|n, ⩽ i ⩽ n− d ⩽ j ⩽ n − Mệnh đề 43 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Khi (i) Nếu n lẻ CDn (1) = Dn , CDn (ri ) = R1 , CDn (rj s) = Tj với ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ n − 1; (ii) Nếu n chẵn CDn (1) = Dn , n CDn (rm ) = Dn , CDn (ri ) = R1 , với m = , ⩽ i ⩽ n − 1, i ̸= m, ⩽ j ⩽ n − CDn (rj s) = Um,j 72 Mệnh đề 44 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ 3, H nhóm nhóm Dn Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|n, ⩽ k ⩽ n, ⩽ l ⩽ n − 1, i|n, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn , s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Ui,j nhóm Q4n có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − Sau số tính chất nhóm quaternion suy rộng, xem [?] Mệnh đề 45 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi 2n , d = (2n, k), với ⩽ k ⩽ 2n; d 4n (ii) Ui,j nhóm quaternion suy rộng cấp , d = (n, i), d với ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − (i) Rk nhóm xiclíc cấp Mệnh đề 46 Cho nhóm Quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi CQ4n (1) = CQ4n (rn ) = Q4n , CQ4n (ri ) = R1 , CQ4n (rj s) = Un,j với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= n, ⩽ j ⩽ 2n − Mệnh đề 47 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ 2, H nhóm Q4n Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ n, i|n, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm giả nhị diện n n−1 SD2n = ⟨r, s | r2 = s2 = 1, s−1 rs = r2 −1 ⟩ với n ⩾