Định lí không gian con Schmidt
Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai Cartan. Định lí 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt, [36]) Cho k là một trường số và S ⊂M k là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho các siêu phẳng H 1 , , H q trong P n (k), ở vị trí tổng quát Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có q
(q − n − 1 − ε)h(x) ≤ N S (H j , x), j=1 với mọi x thuộc P n (k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong P n (k).
(Ở đây, M k là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k, h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và N S (H j , x) là hàm đếm của x ứng với S và siêu phẳng H j ) Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cũng đã được Ru-Wong [35] thiết lập năm 1991.
Năm 1997, Ru-Vojta [34] tiếp tục thiết lập được Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là hệ số của siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số) Kết quả này của Ru-Vojta tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động. Định lí 1.2.2 (Ru-Vojta [34], 1997) Cho k là một trường số và S là một tập con hữu hạn các định giá của k, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho Λ là một tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H 1 , , H q } là họ các siêu phẳng di động trong P M (k), đỏnh chỉ số trờn Λ Cho x = [x 0 : ã ã ã : x M ] : Λ →
P M (k) là một điểm di động Giả sử
(ii) Giả sử với mỗi j ∈{1, , q}, ta có h(H j (α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(H j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn.
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂Λ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi α ∈ A, Σ max Σ λ H j (α),v (x(α)) ≤ (M + 1 + ε)h(x(α)). v∈S j∈K Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, , q}, #K
= M + 1 sao cho các siêu phẳng H j (α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi α ∈ Λ; λ H j (α),v là hàm Weil ứng với đa thức H j (α). Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff- Trần Văn Tấn [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm
2015 Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong không gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28] Các Định lí không gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh.
Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn [12].
Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thu được như sau. Định lí 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018) Cho k là một trường số và S ⊂ M k là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes Cho x = [x 0 : ã ã ã : x M ] : Λ → V là một điểm di động Giả sử
(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3); (ii) h(Q j (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Q j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn). ΣΣ ΣΣ
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho q
1 λ d j Q j (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) v∈S j=1 đúng với mọi α ∈ A. Đặc biệt, khi V = P n (k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [8] Trong [28], Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang, Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng quát Cũng trong [28] và trong [29], Sĩ Đức Quang đã đề xuất kỹ thuật ước lượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổng quát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát Kết hợp kỹ thuật của chúng tôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễ dàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị trí m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số, theo nghĩa, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kì trong họ Q đều có giao bằng rỗng trên V ) q
Khi V = P n (k), bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang [28]. Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêu lần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng, trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể.
Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quả của chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang
[19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang [28] (cho trường hợp không gian xạ ảnh) nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vànhCohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh.
Một số kiến thức chuẩn bị
Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna
a) Hàm đếm của hàm phân hình và công thfíc Jensen. Định nghĩa 2.1.1 (Hàm đếm của một divisor) Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi
Với k là một số nguyên dương (hoặc k = +∞), hàm đếm của ν với bội được ngắt bởi k được định nghĩa bởi r
Khi k = +∞, để đơn giản ta bỏ đi kí hiệu [k] trong hàm đếm, như vậy
Cho f là một hàm phân hình trên C, kí hiệu (f )0 là divisor không điểm của f Ta gọi N f (r) := N (r, (f )0) và N [k] (r) := N [k] (r, (f )0) lần lượt là hàm đếm các không điểm của f với bội được tính đầy đủ và bội được ngắt bởi k. Định lí 2.1.2 (Công thức Jensen cho hàm phân hình) Cho f là một hàm phân hình (không đồng nhất 0 và ∞) trên C Khi đó, với mọi r > 1, ta có
0 0 b) Các hàm cơ bản cho ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh.
Cho f : C −→ P n (C) là một ánh xạ chỉnh hình Trong P n (C) ta cố định một mục tiờu xạ ảnh và giả sử (f 0 : ã ã ã : f n ) là một biểu diễn rỳt gọn của f ứng với mục tiêu đó Gọi D là một siêu mặt trong P n (C) xác định bởi đa thức thuần nhất Q(x 0 , , x n ) ∈ C[x 0 , , x n ], deg Q = deg D Giả sử D không chứa ảnh của f (tức là f (C) ̸⊂ D hay Q(f ) := Q(f 0 , , f n ) ≢ 0). Định nghĩa 2.1.3 Hàm đếm các giao điểm của siêu mặt D với ảnh của f có bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞) định nghĩa là
Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm. Định nghĩa 2.1.4 Hàm đặc trưng của ánh xạ f được định nghĩa bởi
2π 0 log∥f (e iθ )∥dθ, (r > 1), ở đó chuẩn được tính theo một trong hai dạng tương đương sau
+ ã ã ã + |f n |) 2 1 hoặc ∥f ∥ = max {|f 0|, , |f n |}. Định nghĩa 2.1.5 Hàm xấp xỉ của ánh xạ f ứng với siêu mặt D được định nghĩa bởi
2 2 ở đó ∥Q∥ là tổng của mô-đun các hệ số của Q.
Từ các định nghĩa hàm đếm, hàm đặc trưng và từ công thức Jensen đối với hàm đếm, ta có đẳng thức sau, thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất. Định lí 2.1.6 (Định lí cơ bản thứ nhất đối với ánh xạ chỉnh hình) Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ C vào P n (C) và D là một siêu mặt trong P n (C) không chứa ảnh của f Khi đó, deg D.T f (r) = N f (r, D) + m f (r, D) + O(1).
Nhận xét 2.1.7 Do m f (r, D) ≥ 0 nên từ đẳng thức trong định lí trên ta thu được bất đẳng thức sau, cũng được gọi là Định lí cơ bản thứ nhất
Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình 13
chỉnh hình Để mở rộng Bổ đề đạo hàm Logarit tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình, ta cần định nghĩa sau. Định nghĩa 2.1.8 Với g 0 , , g n là các hàm phân hình trên C, ta gọi là toán tử Wronski của g 0 , , g n , kí hiệu bởi W (g 0 , , g n ), xác định như sau g 0 g 1 g n
Nhận xét Toán tử Wronski có các tính chất sau.
1) W (hg 0 , , hg n ) = h n+1 W (g 0 , , g n ) với h là một hàm phân hình tùy ý.
2) W (H 0(g 0 , , g n ), , H n (g 0 , , g n )) = det(a ji ).W (g 0 , , g n ), với mọi dạng tuyến tớnh H j (x 0 , , x n ) = a j0 x 0 + ã ã ã + a jn x n ∈ C[x 0 , , x n ], j = 0, 1, , n.
Với f : C −→ P n (C) là một ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn (f 0 : ã ã ã : f n ) Ta kớ hiệu W (f ) := W (f 0 , , f n ) và gọi là toỏn tử Wronski của f Nếu ta thay biểu diễn rỳt gọn (f 0 : ã ã ã : f n ) của f bởi một biểu diễn rỳt gọn khỏc (uf 0 : ã ã ã : uf n ) (trong đú u là một hàm nguyờn khụng cú khụng điểm), thỡ toán tử Wronski của f thay đổi một hệ số nhân là u n+1 Nếu ta thay mục tiêu xạ ảnh
0 g n trong P n (C) bởi một mục tiêu xạ ảnh khác thì toán tử Wronski của f thay đổi một hằng số nhân bằng định thức của ma trận đổi cơ sở Tuy có sự phụ thuộc như trên vào việc chọn biểu diễn rút gọn nhưng các kết luận về toán tử Wronski ở đây áp dụng được cho mọi biểu diễn rút gọn. Định nghĩa 2.1.9 Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ P n (C) gọi là suy biến tuyến tính nếu tồn tại siêu phẳng H trong P n (C) chứa ảnh của f Trong trường hợp ngược lại, ta nói f là không suy biến tuyến tính.
Mệnh đề sau cho ta một dấu hiệu nhận biết sự suy biến tuyến tính của ánh xạ chỉnh hình.
Mệnh đề 2.1.10 Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ P n (C) suy biến tuyến tính khi và chỉ khi W (f ) ≡ 0. Định nghĩa 2.1.11 Ta gọi họ các siêu mặt D 1 , , D q (q ≥ n + 1) là ở vị trí tổng quát trong P n (C) nếu mỗi bộ n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng đều có giao bằng rỗng.
+ Từ định nghĩa trên suy ra, họ các siêu phẳng H 1 , , H q (q ≥ n + 1) trong
P n (C) gọi là ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con cấp n + 1 của ma trận hệ số các phương trình xác định siêu phẳng có định thức khác 0. + Trường hợp số siêu mặt không vượt quá n, n ≤ q, nếu tồn tại n + 1 − q siêu mặt D q+1 , , D n+1 sao cho giao của các siêu mặt D 1 , , D n+1 bằng rỗng thì ta cũng nói họ siêu mặt D 1 , , D q ở vị trí tổng quát.
Ta có Bổ đề đạo hàm Logarit mở rộng sau cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh.
Bổ đề 2.1.12 (Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình) Cho f : C −→
P n (C) là một ỏnh xạ chỉnh hỡnh khụng suy biến tuyến tớnh và (f 0 : ã ã ã : f n ) là một biểu diễn rút gọn của f Với H 0 , , H n là n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n (C) ta có q ∫
− Để ý rằng, công thức Jensen khá thuận tiện cho việc tính toán hàm đếm nhưng nó có hạn chế là chỉ áp dụng được cho trường hợp hàm đếm không được ngắt bội (bội được tính đủ) Để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai với hàm đếm được ngắt bội người ta thường sử dụng mệnh đề sau (được coi là công thức Jensen mở rộng).
Mệnh đề 2.1.13 Cho f : C −→ P n (C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và q siêu phẳng H 1 , , H q (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong
Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan
và một số khái niệm liên quan
Cho V ⊂ P n (C) là một đa tạp xạ ảnh k chiều, D 1 , , D q (q ≥ k + 1) là các siêu mặt trong P n (C) Giả sử f là một đường cong nguyên trên V , có biểu diễn rút gọn f = (f 0 : ã ã ã : f n ) trong P n (C) Kớ hiệu I(V ) là ideal nguyờn tố trong C[x 0 , , x n ] xác định V và C[x 0 , , x n ] m là C-không gian vectơ các đa thức thuần nhất bậc m (gồm cả đa thức 0) trong C[x 0 , , x n ] Đặt I(V ) m := C[x 0 , , x n ] m ∩ I(V ) Khi đó, [C x 0 , , x n ] m
I(V ) m cũng là một C-không gian vectơ. Định nghĩa 2.1.14 Các siêu mặt D 1 , , D q (q ≥ k + 1) trong P n (C) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V nếu mỗi bộ gồm k +1 siêu mặt trong chúng đều không có điểm chung trên V Định nghĩa 2.1.15 Với hai số nguyên q, N thỏa mãn q ≥ N + 1, N ≥ k Các siêu mặt D 1 , , D q trong P n (C) được gọi là ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nếu
V ∩ (∩ N D j ) = ∅, với mọi 1 ≤ j 0 < ã ã ã < j ≤ q. i N Định nghĩa 2.1.16 Đường cong nguyên f trong V được gọi là suy biến đại số nếu tồn tại siêu mặt đại số trong P n (C), chứa ảnh của f nhưng không chứa V Định nghĩa 2.1.17 Ta gọi hàm Hilbert H V của đa tạp V là hàm số được định nghĩa bởi
2) 2 Định nghĩa 2.1.18 Ta gọi là trọng Hilbert thứ m của V ứng với bộ số c (c 0 , , c n ) ∈ R n+1 , kí hiệu là S V (m, c) và được định nghĩa bởi S V (m, c) := max a i c, ở đó giá trị lớn nhất được lấy trên tập tất cả các đơn thức x a 1 , , x a HV (m) sao cho chúng lập nên một cơ sở của không gian véc tơ C[x 0 , , x n ] m
I(V ) m và a i c là tích vô hướng chính tắc.
Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình 16 2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của
Kí hiệu Π : C n+1 \ {0} −→ P n (C) là ánh xạ chiếu chính tắc Nếu ω = Π(ζ) với ζ = (ζ 0 , , ζ n ) thỡ ta viết ω = (ζ 0 : ã ã ã : ζ n ) và gọi ζ j là cỏc tọa độ thuần nhất của ω Metric Fubini - Study trên P n (C) trong hệ tọa độ thuần nhất trên được xác định bởi ds 2 dζ, dζ ζ, ζ ζ, dζ 2
⟨ζ, ζ⟩ 2 , trong đó kí hiệu ⟨., ⟩ là tích Hermitian chính tắc trong C n+1 Đạo hàm của đường cong chỉnh hình f vào P n (C) theo metric Fubini- Study có chuẩn được kí hiệu là f # và được gọi gọn là đạo hàm cầu của f Giả sử f có biểu diễn rút gọn (f 0 , , f n ) Khi đó f # 2 0≤ Σ i 3n n+d − n, trong đó d là bội chung nhỏ nhất của deg D 1 , , deg D q
Chứng minh Gọi (f 0 , , f n ) là một biểu diễn rút gọn của f Giả sử f không là đường cong Brody Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.21, họ F := {f a (z) := f (a + z) : a ∈ C} là không chuẩn tắc Theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại các dãy {z k } ⊂ C với z k → z 0 ∈ C, {a k } ⊂ C, {ρ k } ⊂ R với ρ k → 0 + , sao cho g k (ζ) := f a (z k + ρ k ζ) f (a k + z k + ρ k ζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào P n (C).
Với mỗi j 0 ∈ {1, , q} thỏa mãn g(C) ̸⊂ D j , ta sẽ chứng minh g # (ξ) = 0 với mọi ξ ∈ g −1 (D j ) Thật vậy, xét một điểm tùy ý ξ 0 ∈ g −1 (D j ) Theo Định lí Hurwitz có các giá trị {ξ k } (với mọi k đủ lớn), ξ k → ξ 0 sao cho ξ k ∈ g −1 (D j ), và như vậy, a k + z k + ρ k ξ k ∈ f −1 (D j ) Theo giả thiết, tồn tại hằng số dương M sao cho với mọi k đủ lớn,
Từ đó, với mỗi j ∈ {1, , q}, hoặc g(C) ⊂ D j , hoặc g # = 0 trên g −1 (D j ) Vì vậy, với n ≥ 2 và q > 3n n+d − n, theo Định lí 2.2.5 ta có g là một đường cong hằng, điều này không thể xảy ra Vậy f phải là một đường cong Brody.
Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu
Một số bổ đề
Để chứng minh một kết quả nghiên cứu đạt được ở tiểu mục tiếp theo, chúng tôi cần sử dụng các bổ đề dưới đây, được trình bày dựa theo [29] và [13].
Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 3.1, [29]) Cho V là một đa tạp con xạ ảnh k chiều của
P n (C) Với Q 1 , , Q N+1 là các siêu mặt trong P n (C) có cùng bậc d ≥ 1, sao cho
Khi đó tồn tại k siêu mặt P 2 , , P k+1 có dạng
Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề 3.2, [13]) Cho V ⊂ P M (C) là một đa tạp đại số n chiều và có bậc △, số nguyên m > △ và bộ số c = (c 0 , , c M ) ∈ R M +1 Với tập con {i 0 , , i n } của {0, , M } sao cho x = (x 0 : ã ã ã : x M ) ∈ P M (C) : x i
2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thfí hai không ngắt bội
0 Áp dụng kỹ thuật thay thế các siêu mặt của Sĩ Đức Quang [29] và kỹ thuật tính bội trong trường hợp đạo hàm triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu được nêu trong mục 2.2.2, chúng tôi thiết lập Định lí cơ bản thứ hai sau. Định lí 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong, [20], 2020) Cho V ⊂
P n (C) là một đa tạp xạ ảnh phức k chiều (1 ≤ k ≤ n) và Q 1 , , Q q là các siêu j Σ M − M
− 1 − mặt trong P n (C) ở vị trí N-dưới tổng quát trên V , deg Q j = d j , ở đó N ≥ k, q > (N − k + 1)(k + 1) Gọi d là bội chung của các d j Giả sử f là một đường cong nguyên đại số trong V thỏa mãn f ∗,z = 0 với mọi z ∈ ∪ q f −1 (Q j ) Khi đó, với mỗi ϵ > 0, ¨ (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ 2 q
N f (r, Q j ), j trong đó M = k + d k deg V [(2k + 1)(N − k + 1) 2 (k + 1) 2 d k−1 deg V ϵ −1 ] + 1 k Ở đây, kí hiệu f ∗,z là ánh xạ tiếp xúc tại z ∈ C của f và kí hiệu [x] := max{t ∈
Z : t ≤ x} là phần nguyên của số thực x.
So với Định lí 2.2.4, định lí trên có đánh giá bên trái tốt hơn (dẫn tới một mức chặn tốt cho tổng các số khuyết), nhưng ở vế phải các hàm đếm không được ngắt bội Trên thực tế, nếu dựa vào kĩ thuật ngắt bội mà các tác giả đi trước đã sử dụng, chúng tôi cũng có thể đưa ra một mức chặn bội cho hàm đếm ở vế phải Tuy nhiên, mức chặn bội này sẽ khá lớn và phụ thuộc vào bậc của đa tạp, điều đó gây ra những khó khăn cho việc tìm kiếm các ứng dụng của định lí thiết lập được.
Chứng minh Trước tiên ta chứng minh định lí cho trường hợp tất cả các siêu mặt Q j có cùng bậc d Kí hiệu I là tập tất cả các hoán vị của tập {1, , q}.
Ta có n 0 := #I = q! Ta viết I = {I 1 , , I n 0 } với I i = (I i (1), , I i (q)) và I 1
< I 2 < ã ã ã < I n 0 theo thứ tự từ điển Do Q 1 , , Q q ở vị trớ N -dưới tổng quỏt trờn V , ta cú Q I i (1) ∩ ã ã ã ∩ Q I i (N +1) ∩ V = ∅với mọi i ∈ {1, , n 0} Vỡ vậy, theo Bổ đề 2.3.1, với mỗi I i ∈ I, tồn tại các tổ hợp tuyến tính của Q I i (1) , , Q I i (N +1) có dạng sau
Ta định nghĩa ánh xạ Φ : V −→ P ℓ−1 (C) (ℓ := n 0(k + 1)) cho bởi Φ(x) = (P 1,1(x) : ã ã ã : P 1,k+1(x) : ã ã ã : P n 0 ,1(x) : ã ã ã : P n 0 ,k+1(x)). d
Khi đó Φ là một cấu xạ hữu hạn trên V Ta có Y := ImΦ là một đa tạp xạ ảnh phức trong P ℓ−1 (C) và dim Y = k,
Gọi f = (f 0 , , f n ) là một biểu diễn rút gọn của f Với mỗi số nguyên dương u, ta lấy v 1 , , v H Y (u) trong C[y 1,1 , , y 1,k+1 , , y n 0 ,1 , , y n 0 ,k+1] u sao cho chúng lập nên một cơ sở của không gian véc tơ C[y 1,1 , ,y 1,k+1 , ,y n u 0 ,1 , ,y n 0 ,k+1 ] u Xét đường cong nguyên F trong P H Y (u)−1 (C) với một biểu diễn rút gọn
Do f không suy biến đại số nên ta có F là không suy biến tuyến tính Theo (3.12) trong [29], với mọi ϵ ′ > 0 (mà ta sẽ chọn sau) ta có
Mặt khác, do f ∗,z = 0 với mọi z ∈
(f 0(z) : ã ã ã : f n (z)) = (f 0 ′ (z) : ã ã ã : f n ′ (z)) với mọi z ∈ ∪ q f −1 (Q j ) Vì vậy, từ (2.23) và theo công thức Euler (cho các đa thức thuần nhất v i (Φ(x)) ∈ C[x 0 , , x n ]), với mọi z ∈
Vì Q 1 , , Q q ở vị trí N -dưới tổng quát trên V nên
(Q I p (j) (f^)) 0 (a) = 0 với mọi j ∈ {N + 1, , q} (2.26) Đặt c t,s := (P t,s (f^)) 0 (a) và c := (c 1,1 , , c 1,k+1 , , c n 0 ,1 , , c n 0 ,k+1) Khi đó, có các lập thành một cơ sở của không gian véc tơ C[y 1,1 , ,y 1,k+1 , ,y n 0 ,1 , ,y n 0 ,k+1 ] u và u
(u) i=1 a i ã c, ở đó y = (y 1,1 , , y 1,k+1 , , y n 0 ,1 , , y n 0 ,k+1) Do đó, tồn tại các dạng độc lập tuyến tính L 1 , ,
= P 1,1 (f ) ã ã ã P 1,k+1 (f ) ã ã ã P n 0 ,1 (f ) ã ã ã P n 0 ,k+1 (f ), (2.27) với mọi i ∈ {1, 2, H Y (u)} Khi đó, với mọi i ∈ {1, 2, H Y (u)} ta có
(L 1(F (a)) : ã ã ã : L H Y (u) (F (a))) = ((L 1(F )) ′ (a) : ã ã ã : (L H Y (u) (F )) ′ (a)) (2.29) Theo định lí khai triển Laplace, ta có
( 1) 1+s+t L s (F ) L t (F ) det A L s (F ^) ′ L t (F ^) ′ , (2.30) trong đó A st là ma trận thu được từ ma trận L i (F^) (v)
(u) bằng cách bỏ đi hai hàng đầu tiên và hai cột thứ s và t Với mỗi 1 ≤ s < t ≤ H Y (u), rõ ràng ta có
Thật vậy, xét các trường hợp.
Khi đó, vế phải của (2.32) bằng 1, nhưng theo (2.29), vế trái của (2.32) không nhỏ hơn 1, vậy (2.32) đúng.
Vậy (2.32) đúng trong trường hợp này.
Trường hợp 3 (L s (F ))0(a) > H Y (u) − 1 và (L t (F ))0(a) < H Y (u) − 1 (và tương tự đối với trường hợp (L s (F ))0(a) < H Y (u) − 1 và (L t (F ))0(a) > H Y (u) − 1).
Như vậy (2.32) được chứng minh.
(chú ý rằng max{x − y, 0} + 1 ≥ 1 x với mọi x ≥ 0, y, z > 1) Kết hợp với (2.28), ta được z yz
Từ định nghĩa của P i,j , ta cú P p,1 ∩ ã ã ã ∩ P p,k+1 ∩ V = ∅, khi đú, theo Bổ đề 2.3.2 (hoặc Định lí 2.1 và Bổ đề 3.2 trong [32]), ta có
Từ (2.21) và (2.25), ta có (P p,1(f^)) 0 (a) = (Q I p (1)(f^)) 0 (a) và (P p,s (f^)) 0 (a) ≥ (Q I p (N −k+s)(f^)) 0 (a) Σ
Từ đó, theo (2.25), (2.26), ta có q N +1 j=1 t=1
Vì vậy, từ (2.34), ta có
Kết hợp với (2.33) ta được
Kết hợp với (2.22) ta được
Vì vậy, từ (2.35), ta có ¨ (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ q
Một số kiến thức chuẩn bị
Định giá trên trường số
Cho k là một trường số. Định nghĩa 3.1.1 Một hàm số thực |.| : k −→ R + thỏa mãn các tính chất sau được gọi là một định giá trên k, và cặp (k, |.|) (hay đơn giản là k) được gọi là trường định giá.
2 k b p Định giá có điều kiện (iii) được thỏa mãn với C = 1 gọi là định giá không
Archimedes, ngược lại gọi là định giá Archimedes. Định giá thỏa mãn |x| = 1 với mọi x giá tầm thường.
0 và |0| = 0 trên k được gọi là định Định nghĩa 3.1.2 Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số c > 0 để |x|1 = |x| c , với mọi x ∈ k. Định lí 3.1.3.
(i) Hai định giá |.|1 và |.|2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
(ii) Với một định giá bất kỳ luôn có một định giá tương đương thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nghĩa là |x + y| ≤ |x| + |y|, với mọi x, y ∈ k.
Kí hiệu M k là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k và M k ∞ , M
0 tương ứng là tập các lớp tương đương của các định giá Archimedes và không Archimedes trong M k Ta có M k = M 0 ∪M ∞ k k
Trong trường hợp k = Q là trường số hữu tỉ, ta thấy.
Hàm giá trị tuyệt đối thông thường |x| = max{x, −x} thỏa mãn Định nghĩa
3.1.1 (iii) với C = 2 nên nó là một định giá Archimedes và gọi là định giá Archimedes chính tắc, kí hiệu |.|∞.
Với p là một số nguyên tố và x ∈Q, khi đó x được biểu diễn được duy nhất thành x = p r a
(r ∈ Z; a, b ∈ Z và không chia hết cho p) Đặt |x| = p −r , khi đó hàm |.| p xác định một định giá không Archimedes trên Q gọi là định giá p-adic. Định lí 3.1.4 Mỗi định giá không tầm thường trên Q tương đương với hoặc định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-adic.
Rõ ràng ta có M Q = {p > 1, p là số nguyên tố} ∪ {∞}.
Trên một trường k tùy ý, mỗi định giá v xác định một khoảng cách và do đó xác định một tôpô trên k Định lí 3.1.3(i) cho thấy hai định giá là tương đương j nếu và chỉ nếu chúng cùng xác định một tôpô trên k Trường k với khoảng cách xác định bởi v là đầy thì v được gọi là định giá đầy và cặp (k, v) (hay đơn giản hơn là k) được gọi là trường định giá đầy Trường hợp ngược lại (v không đầy) ta kí hiệu k v là bao đầy của k ứng với định giá v Ta có tính chất sau. Định lí 3.1.5.
(i) Nếu v khác tầm thường thì k v là một trường và v được mở rộng duy nhất tới định giá vˆ trên k v sao cho vˆ(x) = v(x), ∀x ∈ k Nếu v trên k là không Archimedes thì vˆ trên k v cũng là không Archimedes
(ii) Nếu v là không Archimedes và k là trường đóng đại số thì k v cũng là trường đóng đại số.
Nếu k ′ là một mở rộng trường của k, v và v ′ tương ứng là các định giá trên k và k ′ sao cho v ′ | k = v thì ta nói v ′ nằm trên v và viết v ′ |v. Định lí 3.1.6 Giả sử (k, v) là một trường định giá đầy và k ′ là trường mở rộng hữu hạn của k Khi đó, mỗi định giá v được mở rộng duy nhất đến định giá v ′ trên k ′ Hơn nữa, (k ′ , v ′ ) cũng là một trường định giá đầy.
Giả sử v là một định giá không Archimedes không tầm thường trên k Kí hiệu vˆ là định giá mở rộng trên bao đầy k v Theo định lí trên, vˆ được mở rộng tới định giá vˆ trên bao đóng đại số k v của k v
Chuẩn hóa định giá và công thức tích
Giả sử trường số k có bậc d Trên k, mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau. +) Nếu v là Archimedes.
Gọi {σ j } d là tập các phép nhúng k vào C trên Q (d = [k : Q]) Ngoài các phép nhúng thực (ảnh vào R) các phép nhúng còn lại chia thành các cặp phức liên hợp Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp nhúng phức liên hợp xác định một lớp định giá
Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.| σ j nói trên.Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.| σ với j nào đó Khi đó, d v p v ở đó d σ j = 1 nếu σ j là nhúng thực và d σ j = 2 nếu σ j là nhúng phức.
Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.| p trên Q, ứng với số nguyên tố p nào đó Kí hiệu Q p là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.| p Với x ∈k, xột tự đồng cấu tuyến tớnh à x của Q p -khụng gian vộc tơ k v , cho bởi à x (y) = xy Định thức N k v /Q p (x) của tự đồng cấu tuyến tớnh này là một phần tử thuộc Q p và được gọi là chuẩn của x Khi đó, mở rộng bậc d v = [k v : Q p ] của v cho bởi
|x| v := |N k v /Q p (x)| p và v được chuẩn hóa bởi d v
(x) | 1 d Định lí 3.1.7 Dạng chuẩn ∥.∥ v của v thỏa mãn các tính chất sau.
(i) ∥x∥ v ≥ 0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0;
N, trong đó n v = d v /d , B v = 1 nếu v là không Archimedes và B v = n nếu v là Archimedes.
Lưu ý rằng trong trường hợp k = Q, do M Q = {p > 1, p là số nguyên tố} {∞}∪ và do định nghĩa |.| p , |.|∞ ta có công thức sau gọi là công thức tích. v
Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng có công thức tích sau. v
Độ cao Logarit và các hàm cơ bản
Với v ∈ M k , ta cũng mở rộng định giá ∥.∥ v tới bao đóng đại số k v của k. Σ Σ
Với x ∈ k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := log + ∥x∥ v , v∈M k trong đó log + ∥x∥ v = log max{∥x∥ v , 1}.
Với mỗi x = [x 0 : ã ã ã : x M ] ∈P M (k) là một điểm trong khụng gian xạ ảnh trờn trường k, ta đặt ∥x∥ v := max0≤i≤M ∥x i ∥ v Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := log∥x∥ v (3.1) v∈M k
Do công thức tích, biểu thức trên không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ P M (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.
Với mỗi số nguyên dương d, đặt
Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x 0 , , x M ] có biểu diễn
Q = Σ a I x I , trong đó x I = x i 0 x i M với x = (x 0 , , x M ) và I = (i 0 , , i M ). Đặt ∥Q∥ v := max I ∥a I ∥ v Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi h(Q) := log∥Q∥ v v∈M k
Với mỗi v ∈ M k , hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λ Q,v được định nghĩa bởi λ Q,v (x) := log ∥x∥ d ã ∥Q∥ v
Trong định nghĩa trên, hàm λ Q,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ P M (k).
Với S ⊂M k là một tập hữu hạn, chứa tất cả các lớp định giá Archimedes Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q, lần lượt kí hiệu m(Q, x), N(Q, x) và được định nghĩa bởi Σ
Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna Từ công thức tích và các định nghĩa trên, ta có công thức sau, tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna d.h(x) = m S (Q, x) + N S (Q, x) + O(1),với mọi x ∈ P M (k) sao cho Q(x) ̸= 0
Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số
Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử.
Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ P M (k) là một họ các điểm di động x(α) trong
Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (P M (k)) ∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong P M (k), α ∈ Λ.
Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)} α∈Λ bậc d trong k[x 0 , , x M ] là một siêu mặt di động Q trong P M (k) có bậc d, được đánh chỉ số trên Λ Mỗi siêu mặt di động Q có thể viết dưới dạng Q = Σ
I∈T d a I x với các hệ số a I là hàm trên Λ
I nhận giá trị trong k và không có không điểm chung.
Xét họ Q := {Q 1 , , Q q } các siêu mặt di động trong P M (k), được đánh chỉ số trên Λ Ta biểu diễn
I∈T dj Định nghĩa 3.1.8 Với mỗi j ∈ {1, , q}, ta viết T d j = {I j,1 , , I j,M dj }, ở đó
:= d j +M Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈k[x 1,1 , , x 1,M d 1 , , x q,1 , , x q,M dq ] thuần nhất đối với mỗi bộ các biến x j,1 , , x j,M dj (với j ∈ {1, , q}), thì
1 (α), , a q,I q,1 (α), , a q,I q,Mdq (α)) hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A.
Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34].
Bổ đề 3.1.9 Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q.
Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C, a) Với C 1 , C 2 ⊂A là các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C 1 , a 1) và (C 2 , a 2) được gọi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C 1 ∩ C 2 có phần bù hữu hạn trong A và a 1| C = a 2| C Kí hiệu R 0 là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên Ta thấy R 0 có cấu trúc tự nhiên của một vành Hơn nữa, có thể nhúng k vào R 0 bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng. Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q Với mỗi j ∈ {1, , q}, ta cố định một chỉ số I j ∈ T d j sao cho a j,I j ≢ 0 (theo nghĩa a j,I j (α) = 0 với mọi α A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó a a j,I j,I xác định một phần tử thuộc
Do tính nhất quán của A nên vành con của R 0 sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3, [22]) Gọi R A,Q là trường các thương của miền nguyên này Ta có nhận xét sau.
Nhận xét 3.1.10 Giả sử B ⊂A ⊂Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số Khi đó, nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và R B,Q ⊂ R A,Q
Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : a j,I j (α) = 0 k, α a j,I (α) a j,I (α) và k Q là tập các tổng hình thức có dạng m=1 t m s i
∈ k 2 mà ^c(α) 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, ta xác định hàm ^ b
^ ^ a 1 , a 2 của cùng một phần tử a A, , ta có a 1(α) = a 2(α) với mọi α A, ngoài một tập con hữu hạn Với đa thức thuần nhất P := a I x I A, [x 0 , , x M
], và với mỗi I giả sử a I là một đại diện đặc biệt của a I , khi đó P := Σ
I a I x I được gọi là một đại diện đặc biệt của P Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm ^a I
^ ^ j xác định tại α, đặt P (α) := I a I (α)x I ∈k[x 0 , , x M ] và nói rằng P xác định tại α Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt P của P được xác định với mọi α ∈A, ngoài một tập con hữu hạn, và nếu P 1 , P 2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì
P 1(α) = P 2(α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Cho V ⊂ P M (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I(V ). Định nghĩa 3.1.11 Một điểm di động x = [x 0 : ã ã ã : x M ] : Λ −→ V được gọi là
V -không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈ R A,Q[x 0 , , x M ] \ I A,Q(V ) sao cho P (α)(x 0(α), , x M (α)) = 0 với mọi α ∈A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc biệt P^ của P, trong đó I A,Q(V ) là ideal của R A,Q[x 0 , , x M ] sinh bởi I(V ). Định nghĩa 3.1.12 Họ các siêu mặt di động Q = {Q j } q , (q ≥ n + 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ
Q j i (α)(x 0 , , x M ) = 0, 0 ≤ i ≤ n, khụng cú nghiệm (x 0 , , x M ) thỏa món (x 0 : ã ã ã : x M ) ∈V (k) với mọi α ∈Λ,ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k.
Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh
Một số bổ đề
Theo nhận xét 3.2.2 (i), ta có thể giả sử Q j I∈T d a jI x I , (j = 1, , q) Gọi
A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q Với mỗi j ∈ {1, , q}, ta cố định một chỉ số I j ∈ T d sao cho a j,I j a≢ 0 (theo nghĩa a j,I j (α) 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó jI a jI j xác định một phần tử của
Xét t = ( , t jI , ) là một họ các biến, đặt
J x 0 , , x M và hệ số trong k[t] sinh bởi các đa thức P 1 , , P m , Q˜ j 0 , , Q˜ j n
0 J j α , ) là những đại diện đặc biệt của
Giả sử ideal I(V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P 1 , , P m Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j 0 , , j n } ⊂ {1, , q} tồn tại tập con
A J ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ A J ta có: a jI j (α)0 với mọi j J; các đa thức P 1 , , P m , Q j ′ 0 (α), , Q ′ j n (α)k[x 0 , , x M ] không có nghiệm chung khác tầm thường trong k M +1
Kí hiệu k[t] (P 1 , , P m , Q j 0 , , Q j n ) là ideal trong vành đa thức với các biến đa thức R˜ trong k[t] là dạng khởi đầu của các đa thức P 1 , , P m , Q˜ j 0 , ,
Q˜ j n nếu tính chất sau được thỏa mãn: Tồn tại số tự nhiên s để với mọi i = 0, , M thì x s ã R˜ ∈ k[t] (P 1 , , P m , Q˜ j , , Q˜ j )
(xem [45]) Rõ ràng tập các dạng khởi đầu I của các đa thức P 1 , , P m , Q j 0 , , Q j n là một ideal trong k[t].
Như đã biết, (m + n + 1) đa thức thuần nhất
P i (x 0 , , x M ), Q j ( , t jI , , x 0 , , x M ), i ∈ {1, , m}, j ∈ J không có nghiệm chung khác tầm thường đối với các biến x 0 , , x M tại một giá trị đặc biệt t 0 của t jI nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng khởi đầu t sao cho t 0 , ) 0 (xem [45], trang 254) Với mỗi α ∈ A , chọn J R ˜ α ∈ I là một dạng khởi đầu như vậy tương ứng với giá trị t α := a jI
R˜ J ( , a jI j , ), khi đó R J là một đại diện đặc biệt của một phần tử R A,Q Do cách định nghĩa, ta có
(và vì vậy cũng thỏa mãn điều kiện đúng với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn).
Do k[t] là vành Noether nên I được sinh bởi hữu hạn phần tử là các đa thức R˜ J , , R˜ J Với mỗi α, ta viết R˜ α = Σ s
ℓ phần tử thuộc R A,Q Rõ ràng R α = Σ s
G α R J trên A J Vì vậy, từ (3.3) ta có
›→ x với mọi α ∈A J Do đó, tồn tại ℓ 0 ∈ {1, , s} và một tập con vô hạn A ′ ⊂A J sao cho
R J ℓ 0 (α) ≠ 0 với mọi α ∈ A ′ , ngoài một tập con hữu hạn (3.4)
Bằng cách thay A ′ bởi các tập con vô hạn của nó, sau một số hữu hạn bước, ta có thể chọn được một tập con vô hạn A ′ ⊂ A chung cho mọi tập con J ⊂ {1, , q}, #J = n + 1 Vì ta có thể thu hẹp A nên có thể giả sử điều trên đúng với mọi α ∈ A.
Từ định nghĩa dạng khởi đầu, tồn tại số tự nhiên s và các đa thức thuần nhất b ij k , b iℓ ∈ R A,Q[x 0 , , x M ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg b ij k = s − d, deg b iℓ = s − deg P ℓ sao cho
ℓ=1 Định nghĩa 3.2.3 Cho x : Λ −→ V ⊂ P M (k) là một điểm di động Phần tử
(C, a) ∈ R 0 được gọi là nhỏ so với x nếu và chỉ nếu h(a(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con C ε ⊂ C với phần bù hữu hạn sao cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ C ε
Kí hiệu K x là tập tất cả các phần tử nhỏ so với x Khi đó K x là một vành con của R 0 Vành này không phải là một miền nguyên nhưng với mỗi (C, a) ∈ K x mà a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì ta có (C \ {α : a(α) = 0}, 1
) ∈ K Gọi C là tập tất cả các hàm thực g nhận x giá trị dương, xác định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn sao cho log + (g(α)) = o(h(x(α))) Khi đó C x là một vành Hơn nữa, nếu (C, a) ∈ K x \ {0}, thì với mọi v ∈ M k , hàm ∥a∥ v : C −→ R + cho bởi α ›→ ∥a(α)∥ v thuộc C x Ngoài ra, nếu (C, a) ∈ K x và a(α) 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì hàm g : α a(α) = 0 1
Với các giả thiết như của Định lí 3.2.1 kết hợp với Nhận xét 3.2.2, từ (3.4),(3.5) ta có kết quả sau mà cách chứng minh tương tự như chứng minh của Bổ đề 2.2 trong [18]. Σ
Bổ đề 3.2.4 Cho A ⊂Λ là một tập con nhất quán ứng với Q Khi đó, tồn tại tập con gồm vô hạn phần tử A ′ của A sao cho với mỗi J ⊂ {1, , q}, #J = n + 1, tồn tại các hàm ℓ 1,v , ℓ 2,v ∈ C x thỏa mãn
ℓ 2,v (α)∥x(α)∥ d ≤ max ∥Q j (α)(x(α))∥ v ≤ ℓ 1,v (α)∥x(α)∥ d , v với mọi α ∈ A ′ và mọi v ∈
Chứng minh Theo trên ta thấy, với mỗi tập con nhất quán A ⊂Λ bất kì luôn tồn tại một tập con vô hạn (mà ta vẫn kí hiệu là A) sao cho (3.4) và (3.5) đạt được Khi đó, với mỗi j ∈ J = {j 0 , , j n }, áp dụng Định lí 3.1.7 ta có
I∈T d với mọi α ∈A, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó c 1 là một hằng số dương, không phụ thuộc vào α Đặt ℓ 1,v là hàm xác định trên tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi
I∈T d ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của Bổ đề.
Theo (3.5), tồn tại số nguyên dương s và các đa thức thuần nhất b ij k , b iℓ
∈R A,Q[x 0 , , x M ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg b ij k = s − d, deg b iℓ = s −deg
Lấy b ij k là một đại diện đặc biệt của b ij k Khi đó, theo Định lí 3.1.7, tồn tại hằng số dương c 2 để với mọi i = 0, 1, , n, ta có
ℓ i i v ij k v Σ I Σ I với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn Ở đây, lưu ý rằng x(α) ∈ V.
Ta biểu diễn b ij k dưới dạng b ij k = Σ
Gọi γ I là một đại diện đặc biệt của γ I Khi đó, với mọi i = 0, 1, , n, ta có
∥R J (α)∥ v ã ∥x s (α)∥ v ≤ c 2 max ∥Q j (α)∥ v Σ ∥^γ I ∥ v ∥(x(α))∥ s−d với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Do đó, với mọi i = 0, 1, , n, ta có
≤ c 2 max ∥Q j k (α)∥ v ∥R (α)∥ với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Do ∥(x(α))∥ v = max{∥(x 0(α))∥ v , , ∥(x n (α))∥ v }, ta suy ra tồn tại i ∈ {0, , n} thỏa mãn ∥(x(α))∥ v = ∥(x i (α))∥ v Từ đó d ij k ∥ v x(α) v c 2 max k=0, ,n ∥Q j k (α)∥ v i,k,I ∥R J ℓ 0 (α)∥ v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Đặt ℓ 2,v là hàm xác định trên một tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi
∥^γ I ∥ ta nhận được bất đẳng thức còn lại của Bổ đề.
Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x 0 , , x M ] (hay của R A,Q[x 0 , , x M ]), kí hiệu W ℓ là không gian vectơ con gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ (bao gồm cả đa thức không). Định nghĩa 3.2.5 Cho W là một không gian vectơ con của R A,Q[x 0 , , x M ]. Với mỗi phần tử α ∈ A, đặt
W (α) := {P (α) : P là một đại diện đặc biệt nào đó của P, xác định tại α}.
Rõ ràng W (α) là một không gian vectơ con của k[x 0 , , x M ]. γ k k c i,k,I
^ j j mỗi đại diện đặc biệt của γ j (j = 1, , H), ta có γ ′ (α) = γ j (α) với mọi,
Vì vậy, {^γ 1(α), , ^γ H (α)} là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A 1 Mặt khác, với nên tồn tại ma trận vuông con C của (c ij ) với bậc K mà det C ≢ 0 Gọi
Bổ đề 3.2.6 Cho W là một không gian vectơ con của R A,Q[x 0 , , x M ] N Khi đó,
(i) Tồn tại γ j ∈ R A,Q[x 0 , , x M ] N , j = 1, , H sao cho γ j (α), , γ H (α) lập thành một cơ sở của W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện đặc biệt γ j của γ j , thì {γ j (α), , γ H (α)} là một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A)) Đặc biệt, số chiều của W (α) không phụ thuộc vào α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
(ii) Giả sử {h j } K là một cơ sở của W Khi đó, {h j (α)} K là một cơ sở của
W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện
^ h j của h j , thì {^ h j (α)} K tạo nên một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập con hữu hạn các α ∈A) Đặc biệt, dimR A,Q W = dim k W (α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.
Chứng minh Đặt H := max α∈A dim W (α) và lấy α 0 ∈A sao cho dim W (α 0) = H. Khi đó, tồn tại các phần tử γ j ∈ R A,Q[x 0 , , x M ] N (j = 1, , H) và các đại diện đặc biệt γ j tương ứng của γ j (j = 1, , H) sao cho {γ 1(α 0), , γ H (α 0)} là một cơ sở của W (α 0).
Gọi B là ma trận các hệ số của {^γ j } H Khi đó, B(α 0) có hạng H Vì vậy, tồn tại ma trận vuông con B 1 của B với cấp H sao cho det B 1(α 0) ≠0 Do tính nhất quán của A nên tồn tại tập con A 1 của A với phần bù là tập gồm hữu hạn phần tử, sao cho det B(α) 0 và các hệ số ^γ j xác định tại α, với mọi α ∈ A 1 Khi đó,