(Luận án tiến sĩ) Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Văn Tấn Hà Nội, 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan kết trình bày luận án trung thực, đăng tải tạp chí Tốn học uy tín nước quốc tế, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Sơn ii LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc tới GS Trần Văn Tấn, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo, động viên hỗ trợ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên Lam Sơn tạo điều kiện thuận lợi để tơi chun tâm học tập, nghiên cứu Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn nghiên cứu sinh Bộ mơn Hình học Tơ pơ có trao đổi, góp ý bổ ích học thuật, đồng nghiệp Ban giám hiệu tổ Toán trường chuyên Lam Sơn động viên, trợ giúp công việc để tơi sớm hồn thành luận án Cuối cùng, xin gửi tặng thành đạt đến gia đình người thân thay lời cảm ơn cho hy sinh, vất vả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 Tổng quan 1.1 Định lí thứ hai 1.2 Định lí khơng gian Schmidt Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu 2.1 11 Một số kiến thức chuẩn bị 11 2.1.1 Các hàm Lí thuyết Nevalinna 11 2.1.2 Toán tử Wronski Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình 13 2.1.3 Họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh số khái niệm liên quan 15 2.1.4 Đạo hàm cầu ánh xạ chỉnh hình 16 2.1.5 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình tính Brody đường cong nguyên 16 2.2 Định lí thứ hai Định lí Picard cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu 17 2.2.1 Trọng Nochka ứng với hệ vectơ 17 iv 2.2.2 Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt Định lí Picard 18 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên 28 2.3 Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu 30 2.3.1 Một số bổ đề 30 2.3.2 Một dạng định lí thứ hai không ngắt bội 30 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa 38 tạp đại số xạ ảnh 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38 3.1.1 Định giá trường số 38 3.1.2 Chuẩn hóa định giá cơng thức tích 40 3.1.3 Độ cao Logarit hàm 41 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động tập số 43 3.2 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 45 3.2.1 Một số bổ đề 46 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 63 Kết luận kiến nghị 68 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 70 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Các kí hiệu sau thống toàn luận án ❼ Pn (C): không gian xạ ảnh phức n chiều ❼ ∥z∥ = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm ❼ ∥f ∥ = |f0 |2 + · · · + |fn |2 1/2 với (f0 : · · · : fn ) ∈ Pn (C) biểu diễn rút gọn f ❼ o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ ❼ O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ ❼ O(1): hàm bị chặn r ❼ log+ x = max{log x, 0}, x > ❼ “ ∥ P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ ❼ #S : lực lượng tập hợp S ❼ BCN N {d1 , , dq }: bội số chung nhỏ số nguyên dương d1 , , dq ❼ deg D: bậc đa thức xác định siêu mặt D ❼ PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trường k ❼ Mk : tập tất lớp tương đương định giá trường k ❼ ∥.∥v : chuẩn hóa định giá v k ❼ h(x): độ cao logarit x, với x ∈ k ❼ λHj ,v : hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj định giá v ❼ NS (Hj , x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm lí thuyết Nevanlinna) ❼ f # : đạo hàm cầu f ❼ Hol(X, Y ): tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y ❼ E : Hàm độ dài đa tạp X vi Mở đầu Lí chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay cịn gọi Lí thuyết Nevanlinna, hình thành từ nghiên cứu Nevanlinna [24] phân bố giá trị hàm phân hình biến phức công bố vào năm 1925 Các kết Nevanlinna nhanh chóng nhiều nhà tốn học mở rộng sang trường hợp chiều cao nhiều biến như: A Bloch [6] xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên không gian xạ ảnh phức; H Weyl , J Weyl [44] Ahlfors [4] đưa cách tiếp cận hình học; Stoll [37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ khơng gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Nội dung Lí thuyết Nevanlinna đưa mối quan hệ hàm đặc trưng (đo lan tỏa ảnh ánh xạ) với hàm đếm giao điểm ảnh ánh xạ với mục tiêu Cốt lõi Lí thuyết Nevanlinna nằm hai định lí thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Ở đó, Định lí thứ đưa chặn cho hàm đặc trưng hàm đếm, cịn Định lí thứ hai đưa chặn cho hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu Với Định lí thứ nhất, ta nhìn hệ Cơng thức Jensen ngày có hiểu biết thỏa đáng Tuy nhiên, với Định lí thứ hai thiết lập cho không nhiều trường hợp Trước thập kỷ 80 kỷ 20, Định lí thứ hai thiết lập chủ yếu cho trường hợp mà mục tiêu siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Sang thập kỷ 80, số nhà toán học phát mối liên hệ sâu sắc Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu từ cơng trình Osgood [27] cơng bố năm 1981, sau Vojta nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, báo [43], Vojta lập bảng tương ứng khái niệm kết thuộc hai lĩnh vực mà ngày thường gọi từ điển Vojta Theo đó, Định lí thứ hai tương ứng với Định lí khơng gian Schmidt Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Khơng có tương đồng khái niệm kết quả, hai lí thuyết cịn có bổ trợ lẫn phương pháp giải vấn đề Sự bổ trợ qua lại làm cho hai lí thuyết đạt thành tựu bật giai đoạn từ đầu kỷ 21 đến nay, thiết lập nhiều Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp mục tiêu siêu mặt Tiêu biểu kết Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti [15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29] Trong dịng chảy sơi động đó, chọn đề tài nghiên cứu: Về dạng Định lí thứ hai cho đường cong nguyên Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu ứng dụng việc xây dựng tính Brody đường cong Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí khơng gian Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Định lí khơng gian Schmidt, Định lí thứ hai, đường cong Brody toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Đề tài luận án nghiên cứu phạm vi Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt luận án giải cách kế thừa phát triển phương pháp Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đạt luận án làm gia tăng tri thức Lí thuyết Nevanlinna Lí thuyết xấp xỉ Diophantine ứng dụng Định lí thứ hai việc nghiên cứu họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody Sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng sử dụng luận án tài liệu tham khảo trình học tập, nghiên cứu Cấu trúc luận án Luận án trình bày thành ba chương Trong đó, chương thứ dành để phân tích, tìm hiểu kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu Chương III Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Luận án viết dựa theo kết nghiên cứu tác giả đồng tác giả công bố ba báo đăng tạp chí khoa học nước quốc tế Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mặt khác, (N0 + d∥I∥ − d∥I0 ∥) − d∥I∥ = N0 − d∥I0 ∥ ≥ n0 , N − ∥I∥ ≥ n0 (để ý I ∈ τN0 ), nên theo Bổ đề 3.2.11, ta có mI = mIN0 +d∥I∥−d∥I0 ∥ = mIN Do đó, từ (3.18) ta có m ≥ mI = mIN Bởi tính nhỏ m, ta thu mIN = m với I ∈ τN (3.19) dimRA,Q IA,Q (V )N = dimk I(V )N (3.20) Bây ta chứng minh Thật vậy, lấy {P1 , , Ps } sở k - không gian vectơ I(V )N Rõ ràng IRA,Q (V )N không gian vectơ RA,Q sinh I(V )N Do đó, {P1 , , Ps } hệ sinh IA,Q (V )N Vì vậy, để có (3.20) ta cần chứng minh, t1 , , ts ∈ RA,Q thỏa mãn t1 · P1 + · · · + ts · Ps ≡ 0, (3.21) t1 = · · · = ts ≡ Ta viết (3.21) dạng     C ∈Mat( M +N N t1 ts      ·  ·         C ·  ·  = · ,      ·  ·     × s, RA,Q ) Nếu hệ có nghiệm khơng tầm thường rank RA,Q C < s Khi đó, rank k C(α) < s với α ∈ A, tập hữu hạn Lấy a ∈ A cho rank k C(a) < s Khi đó, hệ phương trình tuyến tính     t1 ts      ·  ·         C(a) ·  ·  =  ·  ,      ·  ·     60 có nghiệm khơng tầm thường (t1 , , ts ) = (α1 , , αs ) ∈ k s \ {0} Vậy α1 · P1 + · · · + αs · Ps ≡ Điều xảy {P1 , , Ps } sở k - không gian vectơ I(V )N Vì ta có (3.20) Theo Bổ đề 3.2.10 (3.20), ta có mIN = dimRA,Q I∈τN RA,Q [x0 , , xM ]N k[x0 , , xM ]N = dimk IA,Q (V )N I(V )N k[x0 , , xM ]N I(V (k))N Nn + O(N n−1 ), = deg V · n! = dimk (3.22) với N đủ lớn Kết hợp với (3.19), ta có m · #τN + mIN = deg V · I∈τN \τN Nn + O(N n−1 ) n! (3.23) Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.11, với I ∈ τN \ τN0 , ta có mIN ≤ c′ Do đó, từ (3.16) ta có m = deg V · dn Kết hợp với (3.19), ta mIN = deg V · dn với I ∈ τN0 Từ Bổ đề 3.2.12, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.13 Với s ∈ {1, , n} với số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, ta có mIN · is ≥ I=(i1 , ,in )∈τN deg V N n+1 − O(N n ) d · (n + 1)! Chứng minh Trước tiên ta thấy, I = (i1 , , in ) ∈ τN0 hốn vị I ′ = (iσ(1) , , iσ(n) ) I thuộc τN0 Mặt khác, từ Bổ đề 3.2.12, ta có Vì vậy, từ (3.16) ta có mIN = deg V · dn với I ∈ τN 61 mIN · in mIN · i1 = · · · = I=(i1 , ,in )∈τN I=(i1 , ,in )∈τN = deg V · dn · I∈τ ∥I∥ n N = deg V · dn ·   ≥ deg V · dn   = deg V · dn  I∈τN N d k=0 N d k=0 N d = deg V · dn = deg V ≥ k=1 N n d ·d ∥I∥ − n k · n k · n I∈τN \τN k+n−1 n−1 k+n−1 n−1 k+n−1 n +n n+1  ∥I∥  n − #τN − #τN · − O(N n−1 ) ·  N nd  N nd − O(N n ) − O(N n ) deg V N n+1 − O(N n ) d · (n + 1)! Do đó, với s ∈ {1, , n}, ta có mIN · is mIN · is ≥ I=(i1 , ,in )∈τN I=(i1 , ,in )∈τN ≥ deg V N n+1 − O(N n ) d · (n + 1)! Nhắc lại rằng, theo (3.22), với số nguyên dương N đủ lớn ta có dimRA,Q RA,Q [x0 , , xM ]N Nn + O(N n−1 ) = HV (N ) = deg V · IA,Q (V )N n! Kết hợp Bổ đề 3.2.10 Bổ đề 3.2.13 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.14 Với số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, tồn đa thức φ1 , , φHV (N ) RA,Q [x0 , , xM ]N cho chúng lập nên 62 sở RA,Q -không gian vectơ HV (N ) φj − (Q1 · · · Qn ) RA,Q [x0 , , xM ]N , IA,Q (V )N deg V ·N n+1 −u(N ) d·(n+1)! · P ∈ IA,Q (V )N , j=1 u(N ) hàm thỏa mãn u(N ) ≤ O(N n ) P ∈ RA,Q [x0 , , xM ] đa thức có bậc N · HV (N ) − 3.2.2 deg V · N n+1 n · deg V · N n+1 + u(N ) = + O(N n ) (n + 1)! (n + 1)! Chứng minh Định lí 3.2.1 Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.9, tồn tập số vô hạn A ⊂ Λ quán ứng với họ siêu mặt Q Theo Nhận xét 3.2.2, ta giả sử đa thức Qj có bậc d ≥ hệ số chúng thuộc trường RA,Q Theo Nhận xét 3.1.10, B tập A B quán ứng với Q RB,Q ⊂ RA,Q , chứng minh ta chuyển từ tập A sang tập chứa vô hạn phần tử dùng kí hiệu A Từ giả thiết, với a ∈ RA,Q v ∈ Mk ta có log+ ∥a(α)∥v = h(a(α)) ≤ o(h(x(α))) log∥a(α)∥v ≤ (3.24) v∈Mk với α ∈ A Theo Bổ đề 3.2.4, tồn tập vô hạn A mà ta kí hiệu A, cho với tập I ⊂ {1, , q}, #I = n + tồn hàm ℓ1,v , ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2,v (α)∥x(α)∥dv ≤ max ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v (α)∥x(α)∥dv , j∈I ∼ với v ∈ S α ∈ A Đặt hv = (1 + ℓ2,v ) với ℓ2,v chạy khắp lựa chọn ℓ2,v Bổ đề 3.2.4 ứng với tập J(v, α) Do ℓ2,v ∈ Cx , nên ta có ∼ h v ∈ Cx Với v ∈ S α ∈ A, tồn tập J(v, α) = {j1 (v, α), , jn (v, α)} ⊂ 63 {1, , q} cho < ∥Qj1 (v,α) (α)(x(α))∥v ≤ ≤ ∥Qjn (v,α) (α)(x(α))∥v ≤ j ∈{j / (v,α), ,jn (v,α)} ∥Qj (α)(x(α))∥v Khi đó, ta có q n j=1 ∥Qji (v,α) (α)(x(α))∥v ∥Qj (α)(x(α))∥v + log ∥Qj (α)(x(α))∥v = log log i=1 j̸∈J(v,α) ∼ ≥ (q − n)dlog∥x(α)∥v − log hv (α) n (3.25) ∥Qji (v,α) (α)(x(α))∥v + log i=1 Theo Bổ đề 3.2.14, tồn đa thức φ1J(v,α) , , φJ(v,α) (phụ thuộc HV (N ) vào J(v, α)) RA,Q [x0 , , xM ]N hàm u(N ), v(N ) (có thể chọn chung cho tất J(v, α)) cho {φiJ(v,α) } lập thành sở RA,Q -không gian vectơ RA,Q [x0 , , xM ]N IA,Q (V )N HV (N ) J(v,α) φℓ − (Qj1 (v,α) Qjn (v,α) ) deg V ·N n+1 −u(N ) d(n+1)! PJ(v,α) ∈ IA,Q (V )N , ℓ=1 PJ(v,α) ∈ RA,Q [x0 , , xM ] đa thức bậc deg V ·N n+1 (n+1)! + v(N ) Vì vậy, với x(α) ∈ V (k), ta có HV (N ) n J(v,α) φℓ (α)(x(α)) ℓ=1 = Qji (v,α) (α)(x(α)) deg V ·N n+1 −u(N ) d(n+1)! PJ(v,α) (α)(x(α)) i=1 Mặt khác, dễ thấy tồn hàm hJ(v,α) ∈ Cx cho deg PJ(v,α) ∥PJ(v,α) (α)(x(α))∥v ≤ ∥(x(α))∥v deg V ·N n+1 = ∥(x(α))∥v 64 (n+1)! hJ(v,α) (α) +v(N ) hJ(v,α) (α) Vì vậy, HN (V ) J(v,α) ∥φℓ (α)(x(α))∥v log deg V.N n+1 − u(N ) · log∥ d(n + 1)! ≤ ℓ=1 + log+ hJ(v,α) (α) + n Qji (v,α) (α)(x(α))∥v i=1 n+1 deg V.N + v(N ) log∥x(α))∥v (n + 1)! Suy ra, tồn hàm ω1 (N ), ω2 (N ) ≤ O( N1 ) cho n d(n + 1)! ω1 (N ) − n+1 · log n+1 deg V.N N Qji (v,α) (α)(x(α))∥v ≥ log∥ i=1 + HN (V ) J(v,α) ∥φℓ (α)(x(α))∥v ℓ=1 ∼ − log hJ(v,α) (α) − (d + ω2 (N ))log∥x(α))∥v , (3.26) ∼ với hJ(v,α) ∈ Cx Từ (3.25) (3.26), ta có q ∼ ∥Qj (α)(x(α))∥v ≥ (q − n − 1)dlog∥x(α)∥v − log+ hv (x(α)) log j=1 d(n + 1)! ω1 (N ) + − · log deg V.N n+1 N n+1 HN (V ) J(v,α) ∥φℓ (α)(x(α))∥v ℓ=1 ∼ − log+ hJ(v,α) (α) − ω2 (N )log∥x(α))∥v (3.27) Ta cố định đa thức Φ1 , , ΦHN (V ) ∈ RA,Q [x0 , , xM ]N cho chúng tạo nên sở RA,Q -khơng gian vectơ đó, tồn đa thức bậc J(v,α) L1 RA,Q [x0 , , xM ]N Khi IA,Q (V )N J(v,α) , , LHN (V ) ∈ RA,Q [y1 , , yHV (N ) ] cho chúng độc lập tuyến tính RA,Q J(v,α) φℓ J(v,α) − Lℓ (Φ1 , , ΦHN (V ) ) ∈ IA,Q (V )N , với ℓ = 1, , HV (N ) Rõ ràng lúc ta có h(LℓJ(v,α) (β)) = o(h(x(β))) với HN (V ) β ∈ A A quán ứng với {Lℓ }ℓ=1 Ta có, HN (V ) HV (N ) J(v,α) (α)(x(α))∥v ∥φℓ ℓ=1 J(v,α) ∥Lℓ = ℓ=1 65 (Φ1 , , ΦHV (N ) )(α)(x(α))∥v (3.28) Ta viết HV (N ) J(v,α) (y1 , , yHV (N ) ) Lℓ = gℓs ys , gℓs ∈ RA,Q s=1 Do J(v,α) J(v,α) L1 , , LHN (V ) độc lập tuyến tính RA,Q nên ta có det(gℓs ) ̸= ∈ RA,Q Vì vậy, từ tính qn A, ta có det(gℓs )(β) ̸= với β ∈ A, tập hữu hạn A Bằng cách chuyển qua tập vô hạn cần J(v,α) thiết, ta giả sử L1J(v,α) (β), , LH (β) độc lập tuyến tính k với N (V ) β ∈ A Xét điểm di động F (α) = [Φ1 (x(α)), , ΦHN (V ) (x(α))] từ A vào PHV (N )−1 (k) } PHV (N )−1 (k), đánh siêu phẳng di động L := {L1J(v,α) , , LJ(v,α) HN (V ) số A Ta có F khơng suy biến tuyến tính ứng với L Thật vậy, giả sử trái lại, tồn dạng tuyến tính L ∈ RB,L [y1 , , yHN (V ) ] với tập vô hạn B ⊂ A quán ứng với họ L cho L(F )|B ≡ Điều khơng thể xảy x khơng suy biến đại số ứng với Q Theo Định lí 1.2.2, với ϵ > 0, tồn tập gồm vô hạn phần tử A (chung cho J(v, α)), kí hiệu A, cho HV (N ) log v∈S J(v,α) ∥F (α)∥v ∥Lℓ J(v,α) ℓ=1 ∥Lℓ (α)∥v (α)(F (α))∥v (3.29) ≤ (HV (N ) + ε)h(F (α)), với α ∈ A Kết hợp với (3.27) (3.28) ta có q log v∈S j=1 ∥x(α)∥dv ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ (n + 1)d log∥x(α)∥v + ω2 (N ) v∈S ω1 (N ) d(n + 1)! − n+1 + n+1 deg V · N N − HV (N ) log∥x(α))∥v v∈S HN (V ) log v∈S d(n + 1)! ω1 (N ) − n+1 n+1 deg V · N N J(v,α) ∥F (α)∥v ∥Lℓ J(v,α) ℓ=1 ∥Lℓ (α)∥v (α)(x(α))∥v log∥F (α)∥v v∈S (3.30) + o(h(x(α))) Do bất đẳng thức không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ (xạ ảnh) x(α) nên ta chọn cho thành phần tọa độ S -nguyên Khi 66 đó, log∥x(α)∥v = h(x(α)), v∈S log∥F (α)∥v = h(F (α)) ≤ N h(x(α)) + o(h(x(α))) (3.31) v∈S Kết hợp (3.31) với (3.30) (3.29), ta q log v∈S j=1 ∥x(α)∥dv ≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2 (N )h(x(α)) ∥Qj (α)(x(α))∥v d(n + 1)! ω1 (N ) − n+1 (HV (N ) + ε)h(F (α)) n+1 deg V · N N ω1 (N ) d(n + 1)! − n+1 h(F (α)) − HV (N ) n+1 deg V · N N + + o(h(x(α)) Vì q log v∈S j=1 ∥x(α)∥dv ∥Qj (α)∥v ≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2 (N )h(x(α)) ∥Qj (α)(x(α))∥v +ϵ d(n + 1)! ω1 (N ) − n+1 h(F (α)) + o(h(x(α))) n+1 deg V.N N (3.32) Ở lưu ý h(Qj (α)) = o(h(x(α))) Kết hợp với (3.31) cách chọn ω1 , ω2 với N đủ lớn, chia hết cho d, ta q log v∈S j=1 ∥x(α)∥dv ∥Qj (α)∥v ≤ (n + + ε)dh(x(α)), ∥Qj (α)(x(α))∥v với α ∈ A Định lí 3.2.1 chứng minh 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp siêu mặt đạt số kết sau đây: ❼ Định lí thứ hai Định lí Picard tương ứng đường cong nguyên khơng gian xạ ảnh, có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.2.4 Định lí 2.2.5 ) ❼ Định lí tính bị chặn đạo hàm cầu đường cong nguyên toàn cục rút từ tính bị chặn tập tạo ảnh hợp đủ nhiều siêu mặt vị trí tổng qt (Định lí 2.2.8) ❼ Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh (Định lí 3.2.1) 68 Kiến nghị Trong trình nghiên cứu vấn đề luận án, suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau ❼ Cho tới nay, kết Định lí thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên khác giao siêu mặt di động cịn yếu (hoặc khơng chặn bội, chặn tổng số khuyết lớn) Việc cải tiến Định lí thứ hai trường hợp vấn đề thực có ý nghĩa ❼ Thơng qua ánh xạ Gauss, tiêu chuẩn cho đường cong Brody thiết lập luận án có tương tự tới điều kiện bị chặn cho độ cong Gauss siêu mặt cực tiểu 69 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N T Son, T V Tan, and N V Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J Number Theory 186, 346–369 [2] N T T Hang, N T Son, and V V Truong (2020), A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, 65, 31–40 [3] N T Son, T V Tan (2022), A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal Synerg 8, (https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z) 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình số vấn đề liên quan, NXB Đại học Sư phạm [2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đường cong nguyên không gian xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm [3] Trần Văn Tấn (2020), Ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh điều kiện tạo ảnh mục tiêu, NXB Đại học Sư phạm [4] L V Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves, Acta Soc Sci Fennicae, Nova Ser A, 3, 3–31 [5] G Aladro and S G Krantz (1991), A criterion for normality in Cn , J Math Anal Appl., 161, 1-8 [6] A Bloch (1926), Sur les système de fonctions uniformes satisfaisant l’équantion d’une variétés algébrique dont l’irrégularité dépasse la dimension, J Math Pures Appl 5, 19–66 [7] H Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaires de p funtions holomorphes données, Mathematica 7, 80–103 [8] Z Chen, M Ru, Q.Yan (2012), The degenerated second main theorem and Schmidt’s subspace theorem, Science China, 7, 1367–1380 [9] Z Chen, M Ru, Q.Yan (2015), Schmidt’s subspace theorem with moving hypersurfaces, Int Math Res Notices 15, 6305–6329 [10] P Corvaja and U Zannier (2004), On the general Thue’s equation, Amer J Math, 126, 1033–1055 71 [11] G Dethloff and T.V Tan (2011), A second main theorem for moving hypersurface targets, Houston J Math, 37, 79–111 [12] G Dethloff and T V Tan (2020), Holomorphic curves into alge- braic varieties intersecting moving hypersurface targets, Acta Math Vietnam https://doi.org/10.1007/s40306-019-00336-3 [13] G Dethloff and T.V Tan and D D Thai (2011), An extension of the Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces, Internat J Math, 22, 863–885 [14] A Eremenko (2010), Brody curves omitting hyperplanes, Ann Acad Sci Fenn Math 35, 565-570 [15] J H Evertse and R G Ferretti (2002), Diophantine inequalities on projective varieties, Internat Math Res Notices 25, 1295–1330 [16] J H Evertse and R G Ferretti (2008), A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree, Developments in Mathematics 16, 175–198, Springer-Verlag, NewYork [17] H Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in Rm , Vieweg-Verlag, Braunschweig [18] L Giang (2015), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, International Journal of Number Theory Vol 11 No 1, 139–158 [19] L Giang (2016), An explicit estimate on multiplicity truncation in the degenerated second main theorem, Houston J Math 42, 447-462 [20] N T T Hang, N T Son, and V V Truong (2020), A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, Volume 65, Issue 6, pp 31-40 [21] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad Texts in Math vol 52, Springer-Verlag, New York 72 [22] A Levin (2014), On the Schmidt subspace theorem for algebraic points, Duke Math J Vol 163.No 15, 2841-2885 [23] H Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publication Company, Massachusetts [24] R Nevanlinna (1925), Zur theorie der meromorphen funktionen, Acta Math 46, 1–99 [25] E I Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov Math Dokl, 27: 377–81 [26] J Noguchi and Winkelmann (2014) Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 350, Springer Japan [27] C F Osgood (1981), A number theoretic-differential equations approach to generalizing Nevanlinna theory, India J Math 23, 1–15 [28] S D Quang (2019), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurfaces in subgeneral position, Int J Number Theory, https://doi.org/10.1142/S1793042118500082 [29] S D Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans Amer Math Soc., 371, 2431-2453 [30] S D Quang and D P An (2017), Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties, Acta Math Vietnam., 42, 455-470 [31] M Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, Amer J Math, 126, 215–226 [32] M Ru (2009), Holomorphic curves into algebraic varieties, Ann Math 169, 255–267 [33] M Ru and W Stoll (1991), The second main theorem for moving targets, J Geom Anal 1, 99–138 73 [34] M Ru and P Vojta (1997), Schmidt’s subspace theorem for moving targets, Inventiones Mathematicae 127, 51–65 [35] M Ru and P-M Wong (1991), Integral points of Pn − {2n + 1} hyperplanes in general position, Invent Math 106, 195–216 [36] W M Schmidt (1975), Simultaneous approximation to algebraic numbers by elements of a number fiel, Monatsh of Math 79, 55–66 [37] W Stoll (1953), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen, I,, Acta Math 90, 1–15 [38] W Stoll (1954), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen, II,, Acta Math 92, 55–169 [39] N T Son, T V Tan (2022), A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal Synerg 8, https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z [40] N T Son, T V Tan, and N V Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J Number Theory 186, 346–369 [41] T V Tan (2021), Higher dimensional generalizations of some theorems on normality of meromorphic functions, to appear in Michigan Math J, DOI: 10.1307/mmj/20195842 [42] T V Tan (2021), A normality criterion for families of holomorphic mappings under a condition of uniform boundedness of their tangent mappings, Bull Sci Math 170, https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2021.102994 [43] P Vojta (1987), Diophantine Approximations and Value Distribution Theory, Lecture Notes in Math 1239, Springer-Verlag [44] H Weyl and J Weyl (1938), Meromorphic curves, Ann Math 39, 516–538 [45] O Zariski (1937), Generalized weight properties of the resultant of n + polynomials in n indeterminates, Trans AMS, 41, 249-265 74