Định lý cơ bản của đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ KIM LIÊN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Thái Ngun, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu KiÕn thøc chuẩn bị 1.1 Đa thức trờng 1.2 NghiÖm cđa ®a thøc Lịch sử Định lí Đại số 11 2.1 Một số đóng góp ban ®Çu 11 2.2 §ãng gãp cña Jean le Rond D’Alembert 14 2.3 §ãng gãp cña Leonhard Euler 16 2.4 Joseph-Louis Lagrange vµ Pierre Simon Laplace 20 2.5 §ãng gãp cđa Carl Friedrich Gauss 21 Một số chứng minh Định lí Đại số 26 3.1 Chứng minh dùng công cụ đại sè 26 3.2 Chøng minh dïng c«ng gi¶i tÝch phøc 31 3.3 Chøng minh dïng c«ng t«p« 35 PhÇn phơ lơc 37 KÕt luËn 43 Tµi liƯu tham kh¶o 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Sau trình nhận đề tài nghiên cứu dới hớng dẫn khoa học PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn Định lí Đại số đà đợc hoàn thành Có đợc kết này, nhờ dạy bảo tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô gia đình! Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo-Khoa học-Quan hệ quốc tế Khoa Toán-Tin Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trờng nh thời gian hoàn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin đà để lại lòng ấn tợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Thủy Nguyên thành phố Hải Phòng Trờng trung học sở Dơng Quan - nơi công tác đà tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K4B (Khóa 2010-2012) đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vơ cđa m×nh Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Định lí Đại số phát biểu đa thức biến khác với hệ số phức có nghiệm phức Đôi khi, Định lí Đại số đợc phát biểu dới dạng: Mỗi đa thức biến khác với hệ số phức có số nghiệm phức (mỗi nghiệm tính với sè béi cđa nã) ®óng b»ng bËc cđa ®a thøc Mặc dù tên định lí Định lí Đại số nhng chứng minh túy đại số cho định lí Tất chứng minh cho Định lí cần đến tính đầy đủ tập số thực, dạng tơng đơng tính đầy đủ, mà tính đầy đủ lại không khái niệm đại số Hơn nữa, Định lí Đại số tảng Đại số đại Tên định lí đợc đặt vào thời điểm mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu để giải phơng trình đa thức Peter Roth ngời phát biểu gợi mở Định lí Đại số sách Arithmetica Phylosophica công bố năm 1608: “Mét ®a thøc bËc n víi hƯ sè thùc có không n nghiệm Tiếp đến khẳng định cđa Albert Giard (1595-1632) cn s¸ch “L’invention nouvelle en lAlge` bre xuất năm 1629: Phơng trình đa thức bậc n có n nghiệm, trừ phơng trình bị khuyết Nhiều nhà toán học đà tin Định lí ®óng, vµ ®ã hä tin r»ng mäi ®a thøc với hệ số thực khác viết dới dạng tích đa thức với hệ số thực bậc hai Bên cạnh lại có ngời (Gottfried Wilhelm Leibniz, Nikolaus II Bernoulli) cố tìm đa thức bậc với hệ số thực không tích đa thức bậc Tuy nhiên, phản ví dụ họ đợc Leonhard Euler phản bác, điều làm cho nhà toán học thời tin tởng tính đắn §Þnh lÝ Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh cho Định lí thuộc DAlembert vào năm 1746, nhng chứng minh không hoàn chỉnh Euler 1749 có chứng minh cho Định lí trờng hợp bậc đa thức Các chứng minh khác đợc thực hiƯn bëi Euler 1749, De Foncenex 1759, Lagrange 1772 vµ Laplace 1795 có nhiều chỗ cha chặt chẽ Kể chứng minh Gauss năm 1799 không đầy đủ MÃi đến năm 1816, Gauss đa chứng minh xác cho Định lí Mục tiêu luận văn giới thiệu lịch sử Định lí Đại số, nhấn mạnh đóng góp quan trọng DAlembert, Euler Gauss, đồng thời trình bày số chứng minh sau cho Định lí cách sử dụng công cụ đại số, giải tích phức tôpô Các kết thông tin luận văn đợc viết dựa vào báo [Ba] Baltus Historia Mathematica 2004, báo [Ca] J Carrera Publicions Matematiques 1992, sách [MF] Miller-File 2003, đặc biệt báo [Du] Dunham 1991 Dunham đà đợc Hội Toán học Mỹ trao giải thởng Polya năm 1992 báo Luận văn gồm chơng Chơng trình bày kiến thức chuẩn bị đa thức Chơng giới thiệu lịch sử Định lí Đại số với đóng góp tiêu biểu số nhà toán học Chơng đa số chứng minh cho Định lí cách sử dụng công cụ Đại số, Giải tích phức Tôpô Ngoài ra, luận văn có Phần phụ lục trình bày kiÕn thøc vỊ sè phøc, më réng tr−êng, tr−êng ph©n rà nh hình ảnh số nhà toán học có đóng góp quan trọng cho Định lí S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chơng Kiến thức chuẩn bị Mục đích chơng nhắc lại số khái niệm kết liên quan đến đa thức tr−êng nh− phÐp chia víi d−, nghiƯm cđa ®a thøc để phục vụ việc trình bày kết chơng sau 1.1 Đa thức trờng 1.1.1 Định nghĩa Một tập K với hai phép toán cộng nhân đợc gọi trờng nếu: (a) Kết hợp: a+(b+c) = (a+b)+c (ab)c = a(bc) với a, b, c ∈ K (b) Giao ho¸n: a + b = b + a vµ ab = ba víi mäi a, b ∈ K (c) Ph©n phèi: a(b + c) = ab + ac víi mäi a, b, c K (d) Tồn đơn vị K cho a1 = 1a = a víi mäi a K (e) Tồn phần tử K cho a + = + a = a với a K (g) Mỗi a K, tồn phần tử đối a K cho a + (a) = (h) Mỗi = a K, tồn phần tử khả nghịch a1 ∈ K cho aa−1 = = a−1 a Chẳng hạn, Q, R, C trờng TËp Q[ 7] = {a+b | a, b ∈ Q} √ √ lµ mét tr−êng Q[ p] = {a + b p | a, b ∈ Q} lµ mét trờng p số nguyên tố S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ hết chơng này, giả thiết K trờng 1.1.2 Định nghĩa Một biĨu thøc d¹ng f (x) = an xn + + a0 ®ã ∈ K víi i đợc gọi đa thức ẩn x (hay biÕn x) víi hƯ sè K NÕu an = an đợc gọi hệ số cao f (x) số tự nhiên n đợc gọi bậc f (x), kí hiệu deg f (x) xi vµ g(x) = Chó ý hai đa thức f (x) = bi xi b»ng nÕu vµ chØ nÕu = bi víi i Ta định nghĩa bậc cho đa thức khác 0, ta quy ớc đa thức bậc Kí hiệu K[x] tập ®a thøc Èn x víi hƯ sè K Víi f (x) = định nghĩa f (x) + g(x) = ck = i+j=k xi vµ g(x) = (ai bi)xi vµ f (x)g(x) = bi xi , ck xk , bj Ta dễ dàng kiểm tra đợc tính chất sau bậc đa thøc 1.1.3 Bỉ ®Ị Víi f (x), g(x) ∈ K[x] ta lu«n cã deg(f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg(f (x).g(x)) = deg f (x) + deg g(x) Định lí sau đây, gọi Định lí phép chia với d, đóng vai trò quan trọng lí thuyết đa thức 1.1.4 Định lý Cho f (x), g(x) ∈ K[x], ®ã g(x) = Khi tồn cặp đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), víi r(x) = hc deg r(x) < deg g(x) Chøng minh Tr−íc hÕt ta chøng minh tÝnh nhÊt Gi¶ sư f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), ®ã r(x), r1 (x) có bậc nhỏ bậc g(x) Khi ®ã g(x)(q(x) − q1 (x)) = r1 (x) − r(x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NÕu r(x) = r1 (x) th× deg(r − r1) = deg g(q − q1 ) = deg g + deg(q q1 ) Điều mâu thuẫn deg(r r1 ) max{deg r, deg r1 } < deg g deg g + deg(q − q1) Do vËy, r1 (x) = r(x) Suy g(x)(q(x) q1 (x)) = Vì g(x) = nên q(x) − q1 (x) = 0, tøc lµ q(x) = q1 (x) Bây ta chứng minh tồn NÕu deg f (x) < deg g(x) th× ta chän q(x) = r(x) = f (x) Giả sử deg f (x) ≥ deg g(x) ViÕt f (x) = am xm + + a0 vµ g(x) = bn xn + + b0 víi am , bn = vµ am m−n n m Chọn h(x) = x Đặt f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) Khi ®ã bn f1 (x) = f1(x) có bậc thực bé bậc f (x) Trong tr−êng hỵp f1 (x) = 0, ta tìm đợc d phép chia f (x) cho g(x) r(x) = thơng q(x) = h(x) Nếu f1(x) = ta tiếp tục làm tơng tự với f1 (x) ta đợc đa thức f2 (x) Cứ tiếp tục trình ta đợc dÃy ®a thøc f1 (x), f2(x), , nÕu chúng khác chúng có bậc giảm dần Vì sau hữu hạn bớc ta đợc đa thức có bậc bé bậc g(x) đa thức d r(x) Nếu đa thức cđa d·y b»ng th× d− r(x) = ThÕ vào nhóm lại ta tìm đợc q(x) Trong định lý trên, q(x) đợc gọi thơng r(x) đợc gäi lµ d− cđa phÐp chia f (x) cho g(x) NÕu d− cđa phÐp chia f (x) cho g(x) lµ tồn q(x) K[x] cho f (x) = g(x)q(x) Trong trờng hợp ta nói f (x) chia hÕt cho g(x) hay g(x) lµ −íc cđa f (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 NghiƯm cđa đa thức 1.2.1 Định nghĩa Với f (x) = an xn + + a1 x + a0 K[x] phần tử trờng chứa K, ta đặt f () = an n + + a1α + a0 NÕu f () = ta nói nghiệm f (x) Chẳng hạn, số R nghiệm đa thức x2 Q[x] 1.2.2 Hệ Phần tử a K nghiệm đa thức f (x) K[x] tồn đa thức g(x) K[x] cho f (x) = (x − a)g(x) Chøng minh Chia f (x) cho x − a, d− hc b»ng hc đa thức bậc bậc (x a) Vì vậy, d phần tö r ∈ K Ta cã f (x) = (x−a)q(x)+r Thay x = a vào đẳng thức ta đợc r = f (a) Cho k > lµ mét sè nguyên Một phần tử a K đợc gọi mét nghiƯm béi k cđa ®a thøc f (x) ∈ K[x] nÕu f (x) chia hÕt cho (x − a)k nh−ng kh«ng chia hÕt cho (x−a)k+1 NÕu k = a đợc gọi nghiệm đơn Nếu k = a đợc gọi nghiệm kép 1.2.3 Hệ Phần tử a K nghiệm bội k cđa f (x) ∈ K[x] nÕu vµ chØ nÕu f (x) = (x − a)k g(x) víi g(x) ∈ K[x] g(a) = Chứng minh Giả sử a nghiệm bội k f (x) Vì f (x) chia hÕt cho (x − a)k nªn f (x) = (x − a)k g(x) víi g(x) ∈ K[x] NÕu g(a) = theo Hệ 1.2.2 ta có g(x) = (x − a)h(x) víi h(x) ∈ K[x] vµ ®ã f (x) chia hÕt cho (x − a)k+1, v« lí Vậy g(a) = Ngợc lại, f (x) = (x − a)k g(x) nªn f (x) chia hÕt cho (x − a)k NÕu f (x) chia hÕt cho (x − a)k+1 th× f (x) = (x − a)k+1 h(x) víi h(x) ∈ K[x] Do ®ã (x − a)k g(x) = (x − a)k+1 h(x) Do K lµ tr−êng nªn g(x) = (x − a)h(x) Suy g(a) = 0, mâu thuẫn Vậy f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.4 HƯ qu¶ Cho a1 , a2 , , ar K nghiệm phân biệt f (x) K[x] Giả sử nghiệm bội ki cđa f (x) víi i = 1, 2, , r Khi ®ã f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2)k2 (x ar )kr u(x), u(x) K[x] u(ai) = víi mäi i = 1, , r Chøng minh Ta chøng minh b»ng quy nạp theo r Trờng hợp r = đợc suy tõ HƯ qu¶ 1.2.3 Cho r > Theo giả thiết quy nạp, tồn h(x) K[x] cho f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2)k2 (x − ar−1 )kr−1 h(x), ®ã h(x) ∈ K[x] vµ h(ai) = víi mäi i = 1, , r − Vì ar nghiệm f (x) nên ta có = f (ar ) = (ar − a1 )k1 (ar − a2 )k2 (ar − ar−1 )kr−1 h(ar ) Do ar = víi mäi i = 1, , r − nªn h(ar ) = Gi¶ sư h(x) = (x − ar )t u(x) ®ã u(x) ∈ K[x], u(ar ) = t > số nguyên Vì h(ai ) = nên u(ai ) = víi mäi i = 1, , r − Do ar lµ nghiƯm béi kr cđa f (x) nên t kr Hơn nữa, f (x) có sù ph©n tÝch f (x) = (x − ar )kr v(x), v(x) K[x] v(ar ) = V× thÕ ta cã f (x) = (x − ar )kr v(x) = (x − a1)k1 (x − ar−1)kr−1 (x − ar )t u(x) Chó ý K trờng, giản ớc hai vế cho (x ar )t ta đợc (x ar )kr −t v(x) = (x − a1)k1 (x − ar−1)kr−1 u(x) NÕu t < kr th× thay x = ar vào đẳng thức ta có vế trái 0, vế phải khác 0, điều vô lý Vậy t = kr Vì f có phân tích f (x) = (x − a1 )k1 (x − ar−1 )kr−1 (x − ar )kr u(x) ®ã u(ai ) = víi mäi i = 1, , r 1.2.5 HƯ qu¶ Cho = f (x) ∈ K[x] đa thức Khi số nghiệm f (x), nghiệm tính với số bội nó, không vợt bậc f (x) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Do an−1, an−2, , a0 ∈ K nªn ta suy g(α1 , , αn ) ∈ K B©y giê chóng ta cã thĨ đa chứng minh cho Định lí 3.1.6 Định lí Đại số Cho p(x) ®a thøc víi hƯ sè phøc cã bËc t > Khi ®ã p(x) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm phøc Chứng minh Trớc hết ta khẳng định cần chứng minh Định lí cho trờng hợp đa thức với hệ số thực đủ Thật vậy, giả sử p(x) = (at + bt i)xt + + (a1 + b1 i)x + (a0 + b0 i) Đặt p(x) = (at − bt i)xt + + (a1 − b1 i)x + (a0 − b0) Khi ®ã p(x)p(x) = (at xt + + a1x + a0)2 + (bt xt + + b1 x + b0 )2 đa thức víi hƯ sè thùc vµ nÕu z = a + bi nghiệm p(x)p(x) z nghiệm p(x) z = a bi lµ nghiƯm cđa p(x) B−íc tiÕp theo lµ chøng minh Định lí quy nạp theo n, p(x) đa thức với hệ số thực có bậc t = 2n (2m + 1) Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát, ta giả thiết p(x) có hệ số cao nhÊt b»ng Cho n = Khi ®ã p(x) có bậc 2m+1 số lẻ Do theo Bổ đề 3.1.1(i), p(x) có nghiệm thực Giả sử đà chứng minh Định lí cho trờng hợp n < N Ta chứng minh cho trờng hợp bậc đa thức p(x) lµ d = 2N (2m + 1) Theo Bỉ ®Ị 3.1.1(ii), tån t¹i mét tr−êng E cho p(x) cã sù ph©n tÝch d(d − 1) p(x) = (x − r1 ) (x − rd ) víi r1 , , rd ∈ E Đặt s = Với k = 1, , s + 1, đặt qk (x) = (x − ri − rj − kri rj ) i r Vì 1/p(z) liên tục nên |z| miền |z| r Vì 1/p(z) bị chặn r Vậy, 1/p(z) bị chặn toàn mặt phẳng phức Vì p(z) = với z C nên 1/p(z) xác định C Do 1/p(z) khả vi C, tức giải tích C Theo Định lí Liouville, p(z) S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 hµm hằng, điều vô lí với giả thiết bậc cña p(z) = n > VËy p(z) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm C 3.2.2 Chøng minh th«ng qua Định lí Eugene Rouche Để chứng minh Định lí Đại số, ta sử dụng Định lÝ cđa E Rouche (xem [MF, Trang 3) Tr−íc hÕt ta nhắc lại Định lí Rouche 3.2.2.1 Định lí (Rouche) Cho miỊn M ⊆ C víi biªn cđa M B(M) Nếu f (z) h(z) hàm giải tích miền M cho |h(z)| < |f (z)| biên B(M) f (z) f (z) + h(z) cã cïng sè nghiƯm trªn miỊn M Bây ta chứng minh Định lí Đại số 3.2.2.2 Định lí Cho p(z) mét ®a thøc víi hƯ sè phøc cã bËc n > Khi ®ã p(z) cã n nghiƯm phøc Chøng minh Cho p(z) = an z n + + a1z + a0 đa thức với hƯ sè phøc bËc n > Ta cÇn chøng minh p(z) có nghiệm phức Đặt f (z) = an z n vµ h(z) = p(z) − f (z) = an−1 z n−1 + + a1z + a0 Lấy số thực r > Trên đờng tròn |z| = r ta cã |f (z)| = |an z n | = |an ||z|n = |an |rn ; vµ |h(z)| = |an−1 z n−1 + + a1 z + a0 | |an | = nªn ta đặt K= |an1|rn1 + + |a1 |r + |a0 | V× |an−1 | + + |a1 | + |a0 | |an | Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chän r > max{1, K} Khi ®ã |h(z)| |an−1 |rn−1 + + |a1|r + |a0 | |an−1| + + |a1 | + |a0| rn−1 < (r|an |)rn−1 = |an |rn = |f (z)| V× thÕ |h(z)| < |f (z)| với z nằm đờng tròn tâm gốc tọa độ, bán kính r Chú ý đờng tròn |z| = r biên miền M := {z ∈ C | |z| r} Râ rµng f (z) = an z n cã n nghiÖm phøc (thùc f (z) cã mét nghiƯm z = víi bội n) Do theo Định lí Rouche, p(z) = f (z) + h(z) cã n nghiÖm phøc 3.2.3 Chøng minh thông qua bán kính hội tụ Cho p(z) = an z n + + a1 z + a0 đa thức với hệ số phức có bậc n dơng Nếu a + = p(z) cã nghiƯm z = Do ®ã ta cã thể giả thiết a0 = Đặt f (z) = 1/p(z) Gi¶ sư p(z) = víi mäi z ∈ C Khi tồn khai triển điểm f (z) thành chuỗi f (z) = b0 + b1 z + b2 z + Trớc hết, ta khẳng định tồn hai sè phøc c, r ∈ R cho |bk | > crk với nhiều vô hạn k Thật vậy, rõ ràng = p(z)f (z) Đồng hệ số tự hai vế ta đợc a0 b0 = Suy |b0 | = 1/|a0| Do tồn c < 1/|a0 | ta có kết với k0 = Giả sử kết đà cho mét sè k, tøc lµ |bk | > crk Ta cần chứng minh tồn số k để |bk | > crk Giả sử điều không đúng, tức k số lín nhÊt cã tÝnh chÊt |bk | > crk Khi ®ã hƯ sè cđa z n+k p(z)f (z) lµ a0 bn+k + a1 bn+k−1 + + an bk , đồng hệ số z n+k đẳng thức = p(z)f (z) ta cã a0 bn+k + a1bn+k−1 + + an bk = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Suy a0 bn+k + a1 bn+k−1 + = an bk Vì môđun tổng số phức không vợt tổng mô đun số phức với i = 0, , n − ta cã |aibk+n−i | = |ai ||bk+ni| |ai|crk+ni Từ ta dễ dàng suy |a0 |rn + |a1 |rn−1 + + |an−1|r NÕu r |bk | = 1, |an | |a0 + + |an−1 | |a0 bk+n + + an−1 bk+1 | |an | |an | th× ta cã |a0 bk+n | + + |an−1 bk+1| |an | crk với r đủ nhỏ Điều vô lí Đặt z = 1/r Ta cã |bk z k | = |bk | >c rk với vô hạn số tự nhiên k Do chuỗi b0 + b1 z + b2z + không hội tụ, điều vô lí Vậy, tồn z C để p(z) = 3.3 Chøng minh dïng c«ng t«p« Để chứng minh Định lí Đại số, ta sử dụng công cụ tôpô Định lÝ cđa Charles E Picard (xem [MF, Trang 3,4) Tr−íc hết ta nhắc lại Nguyên lí Bolzano - Weierstrasss dÃy số miền bị chặn (đây tính chất tôpô) 3.3.1 Bổ đề (Nguyên lí Bolzano - Weierstrasss) Mỗi d y {zn } số phức miền bị chặn mặt phẳng phức trích đợc d y hội tụ Tiếp theo, ta nhắc lại Định lí Picard S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 3.3.2 Bổ đề (Định lí Picard) Cho f (z) hàm nguyên (tức f (z) khả vi toàn mặt phẳng phức) Giả sử tồn z1 = z2 , z1, z2 ∈ C cho f (z) = z1, f (z) = z2 víi mäi z C f (z) hàm Bây ta chứng minh Định lí Đại số 3.3.3 Định lý Cho p(z) đa thức víi hƯ sè phøc cã bËc n > Khi ®ã p(z) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm phøc Chøng minh Rõ ràng p(z) khả vi C Giả sử p(z) nghiệm phức Khi p(z) = với z C Đặt z1 = Ta cã p(z) = z1 víi mäi z ∈ C Ta chứng minh tồn điểm z2 = z1 cho p(z) = z2 víi mäi z ∈ C Gi¶ sử với k N cho trớc, tồn zk ∈ C cho p(zk ) = 1/k Chó ý r»ng |p(z)| → ∞ |z| → ∞ (xem chứng minh Định lí Tiết 3.1) Do tồn số thực r dơng đủ lớn cho |p(z)| > víi mäi z ∈ / M, ®ã M hình tròn tâm gốc tọa độ, bán kÝnh r V× |p(zk )| = 1/k víi mäi < k ∈ N Do ®ã zk ∈ M víi mäi k ∈ N Theo Nguyªn lÝ Bolzano - Weierstrasss, dÃy số phức miền bị chặn ®Ịu trÝch ®−ỵc mét d·y héi tơ Do dÃy {zk } M M miền bị chặn nên tồn dÃy {zni } {zk } cho zni → z ′ ∈ C Do p(z) hàm liên tục nên p(z ) = lim p(zni ) = lim 1/ni = ni →∞ ni Điều mâu thuẫn với giả sử p(z) nghiệm phức Do tồn < k ∈ N cho p(z) = 1/k víi mäi z ∈ C Chän z2 = 1/k Râ rµng z1 = = 1/k = z2 vµ p(z) = z1 , p(z) = z2 víi mäi z ∈ C Theo Định lí Picard, p(z) hàm hằng, vô lí víi gi¶ thiÕt bËc cđa p(z) = n > VËy p(z) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm phøc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Phần phụ lục Kiến thức phần mục tiêu luận văn Tuy nhiên, để ngời đọc tiện theo dõi, trình bày khái niệm kết đà nhắc đến Chơng nh số phức phép toán, mở rộng trờng, trờng phân rÃ, trờng đóng đại số Ngoài ra, đa vào mục thông tin số nhà toán học có đóng góp cho Định lí Đại số A Số phức phép toán trờng số phức 4.1.1 Định nghĩa số phức Số phức biểu thức có dạng z = a + bi a, b ∈ R vµ i2 = −1 Ta gäi a phần thực b phần ảo z Số i đợc gọi đơn vị ảo Kí hiệu tập hợp số phức C Nếu a = z = bi đợc gọi số ảo, b = z = a số thực Hai số phức đợc gọi phần thực phần ảo chúng tơng ứng b»ng nhau, tøc lµ a + bi = c + di vµ chØ a = c vµ b = d Số phức z = a bi đợc gọi số phức liên hợp z = a + bi đợc kí hiệu z Dễ thấy z z = a2 + b2 lµ mét sè thùc Chú ý liên hợp tổng (hiệu, tích, thơng) tổng (hiệu, tích, thơng) liên hợp, tức z z lµ z ± z ′ = z ± z ′ , z z ′ = z z ′ z = = z z 4.1.2 Phép toán số phức Biểu diễn số phức z = a + bi đợc gọi biểu diễn đại số số phức z Phép cộng, trừ, nhân chia số S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 phức đợc thực nh sau: (a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i; (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i; a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd bc − ad + i = = c + di (c + di)(c − di) c + d2 c + d2 TËp C số phức với phép cộng phép nhân lËp thµnh mét tr−êng chøa tr−êng sè thùc R, số thực a đợc đồng với sè phøc a + 0i 4.1.3 BiĨu diƠn h×nh häc số phức Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc xOy, số phức z = a + bi đợc đồng với điểm Z(a, b) Khi tập số phức lấp đầy mặt phẳng ta gọi mặt phẳng phức Xét góc tạo chiều dơng trục hoành với véc tơ OZ gọi r độ dài véc tơ OZ, ®ã z = a + bi = r(cos + i sin ) Ta gọi r môđun cđa sè phøc z vµ ký hiƯu lµ |z| Gãc đợc gọi argument z kí hiƯu lµ arg(z) Râ rµng |z| = a2 + b2 BiĨu diƠn z = r(cos α + i sin α) đợc gọi biểu diễn lợng giác z Chú ý môđun số phức xác định argument số phức xác định sai khác bội nguyên lần 2, tức lµ r(cos α + i sin α) = r′ (cos α′ + i sin α′ ) nÕu vµ chØ nÕu r = r′ vµ α = α′ + 2kπ víi k Z Sau vài tính chất môđun: |z|=|z|; |z1 |.|z2| = |z1|.|z2| |z n | =|z|n ; |z1 + z2| |z1| + |z2 | 4.1.4 Lũy thừa khai số phức Cho hai số phức dới dạng lợng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z ′ = r′ (cos ϕ′ + i sin ϕ′ ) Khi ®ã z.z ′ = z r r.r′ cos(ϕ + ϕ′ ) + i sin(ϕ + ϕ′ ) vµ ′ = ′ cos(ϕ − ϕ′ ) + i sin(ϕ − ϕ′ ) z r Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Từ ta dễ dàng nâng lên lũy thừa công thức sau (gọi công thức Moirve): z n = rn (cos n + i sin n) Chú ý số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ) kh¸c có n bậc n, k = √ ϕ + k2π ϕ + k2π n r(cos + i sin ) n n víi k = 0, 1, , n − B Më rộng trờng, trờng phân rà 4.2.1 Định nghĩa Cho T trờng Giả sử K trờng chứa T Khi ta nói T K mét më réng tr−êng √ 4.2.2 VÝ dô (i) Tr−êng Q[ 2] lµ më réng cđa tr−êng Q (ii) Víi T ⊆ C lµ mét tr−êng vµ α ∈ C, ®Ỉt T (α) = f (α) | f (x), g(x) ∈ T [x], g(α) = g(α) Khi ®ã T (α) lµ tr−êng nhá nhÊt chøa T vµ α Ta gäi T (α) lµ tr−êng më réng cđa T cách ghép thêm phần tử (iii) Với T ⊆ C lµ mét tr−êng vµ A ⊆ C, kÝ hiệu T (A) tập số nhận đợc từ T A phép toán cộng, trừ, nhân chia cho phần tử khác Khi T (A) lµ tr−êng nhá nhÊt chøa T vµ A Ta gäi T (A) lµ tr−êng më réng cđa T cách ghép thêm tập A 4.2.3 Định nghĩa Cho T K mở rộng trờng Khi K có cấu trúc T -không gian vectơ Số chiều T -không gian vectơ K đợc gọi bậc mở rộng trờng T K đợc ký hiƯu lµ [K : T ] Chó ý r»ng T K L dÃy më réng tr−êng th× [L : T ] = [L : K][K : T ] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 4.2.4 Định nghĩa Cho T K mở rộng trờng K Ta nói đại số T có đa thức = f (x) ∈ T [x] nhËn α lµm nghiƯm NÕu không đại số T ta nói siêu việt T Đặt T [] = {f (α) | f (x) ∈ T [x]} NÕu α đại số T T [] trờng T [] = T () Khi siêu việt T T [] không trờng, T () trờng 4.2.5 Định nghĩa Cho T trờng Đa thức f (x) T [x] bất khả quy T nÕu deg f (x) > vµ f (x) không tích hai đa thức có bậc bé Dới công thức tính bậc mở rộng cách ghép thêm phần tử đại số 4.2.6 Bổ đề Cho T K mở rộng trờng K Giả sử L = T (), đại số T Khi tồn đa thøc p(x) ∈ T [x] bÊt kh¶ quy nhËn α lµm nghiƯm vµ cã hƯ sè cao nhÊt b»ng Giả sử deg p = m Khi [L : T ] = m 4.2.7 Định nghĩa Cho T trờng (i) Cho f (x) T [x] đa thøc bËc n Mét tr−êng K cùc tiÓu chøa T chứa n nghiệm f (x) đợc gọi trờng phân r f (x) T (ii) T đóng đại số đa thức biến bậc n > T có n nghiệm T , nghiệm tính với số bội 4.2.8 Mệnh đề Cho T trờng Khi (i) Mỗi đa thức f (x) T [x] có trờng phân r trờng phân r f (x) T xác định sai khác đẳng cấu (ii) Mỗi trờng chứa trờng đóng đại số Theo Định lí Đại số, trờng C đóng đại số đa thức với hệ số hữu tỷ (thực, phức) có trờng phân rà C S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Kết luận Luận văn trình bày lịch sử số chứng minh Định lí Đại số Nội dung luận văn là: ã Trình bày kiến thức chuẩn bị đa thức với hệ số trờng, nghiệm đa thức phục vụ diễn giải liên quan Chơng Chơng luận văn ã Trình bày sơ lợc lịch sử Định lí Đại số, đặc biệt đóng góp quan trọng số nhà to¸n häc: Jean le Rond D’Alembert, Leonhard Euler, Pierre Simon Laplace Carl Friedrich Gauss ã Đa số chứng minh quan trọng Định lí Đại số (dùng công cụ đại số, công cụ giải tích phức, công cụ tô pô) ã Phần phụ lục chứa đựng số khái niệm mở rộng trờng, trờng phân rà đa thức, số phức phép toán trờng số phức, đồng thời có hình ảnh số nhà toán học liên quan đến Định lí Đại số S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [Ba] Christopher Baltus, DAlemberts proof of the fundamental theorem of algebra, Historia Mathematica, 31 (2004), 414-428 [Ca] Josep Carrera, The fundamental theorem of algebra before Carl Friedrich Gauss, Publicacions Matemµtiques, 36 (1992), 879-911 [C] Ngun Tù Cờng, Đại số đại, tập 1, NXB ĐHQGHN, 2001 [DA] Jean Le Rond D’Alembert, Recherches sur le calcul integral, Histoire de l’Acadmie Royale des Sciences et Belles Lettres, anne’e MDCCXLVI, 182-224 Berlin (1746) [Du] William Dunham, Euler and the Funcdamental Theorem of Algebra, The College Mathematics Journal, 22(4) (1991), 282-293 [Eu] Leonhard Euler, Recherches sur les racines imaginaires des Ðquations, Memoires de l’acadÐmie des sciences de Berlin, (1949), 1752, 222-228 [La] Pierre Simon Laplace, Lesons de mathÐmatiques donÐs µ l’Ecole normale, Oeuvres complÌtes, 14 (1795), 10-177 [MF] Steven Miller and Dan File, Fundamental theorem of algebra, Lecture notes from the Reading Classics, Autumn 2003 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... đủ tập số thực, dạng tơng đơng tính đầy đủ, mà tính đầy đủ lại không khái niệm đại số Hơn nữa, Định lí Đại số tảng Đại số đại Tên định lí đợc đặt vào thời điểm mà việc nghiên cứu đại số chủ yếu... xác định sai khác đẳng cấu (ii) Mỗi trờng chứa trờng đóng đại số Theo Định lí Đại số, trờng C đóng đại số đa thức với hệ số hữu tỷ (thực, phức) có trờng phân rà C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại. .. khác cho Định lí S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chơng Một số chứng minh Định lí Đại số Trong chơng này, trình bày số chứng minh Định lí Đại số 3.1 Chứng